Com projeção retangular, o sistema de planos de projeção consiste em dois planos de projeção mutuamente perpendiculares (Fig. 2.1). Um concordou em ser colocado na horizontal e o outro na vertical.

O plano de projeções, localizado horizontalmente, é chamado de plano de projeção horizontal e denotar sch, e o plano perpendicular a ele plano de projeção frontall 2 . O próprio sistema de planos de projeção é denotado p/p 2. Geralmente usam expressões abreviadas: avião EU[, plano n 2. Linha de interseção de planos sch e para 2 chamado eixo de projeçãoOH. Ele divide cada plano de projeção em duas partes - pisos. O plano horizontal de projeções possui pisos anterior e posterior, enquanto o plano frontal possui piso superior e inferior.

aviões sch e página 2 dividir o espaço em quatro partes chamadas quartos e indicado pelos algarismos romanos I, II, III e IV (ver Fig. 2.1). O primeiro quarto é chamado a parte do espaço delimitada pelos planos de projeção horizontal oco superior frontal e frontal oco. Para os restantes quartos do espaço, as definições são semelhantes à anterior.

Todos os desenhos de engenharia são imagens construídas no mesmo plano. Na fig. 2.1 o sistema de planos de projeção é espacial. Para passar para imagens no mesmo plano, concordamos em combinar os planos de projeção. Geralmente avião página 2 ficou imóvel, e o avião P gire na direção indicada pelas setas (ver Fig. 2.1), em torno do eixo OH em um ângulo de 90 ° até que esteja alinhado com o plano n 2. Com essa curva, o piso da frente do plano horizontal desce e o de trás sobe. Após o alinhamento, os planos têm a forma representada

fêmea na fig. 2.2. Acredita-se que os planos de projeção sejam opacos e o observador esteja sempre no primeiro quarto. Na fig. 2.2, a designação dos planos invisíveis após o alinhamento é feita entre parênteses, como é habitual para destacar figuras invisíveis nos desenhos.

O ponto projetado pode estar em qualquer quarto do espaço ou em qualquer plano de projeção. Em todos os casos, para construir projeções, traçam-se linhas de projeção através dela e seus pontos de encontro são encontrados com os planos 711 e 712, que são projeções.

Considere a projeção de um ponto localizado no primeiro trimestre. O sistema de planos de projeção 711/712 e o ponto MAS(Fig. 2.3). Duas LINHAS retas são traçadas através dele, perpendiculares aos PLANOS 71) E 71 2. Um deles cruzará o plano 711 no ponto MAS ", chamado projeção horizontal do ponto A, e o outro é o plano 71 2 no ponto MAS ", chamado projeção frontal do ponto A.

Linhas de projeção AA" e AA" determine o plano de projeção a. É perpendicular aos planos Kip 2, uma vez que passa por perpendiculares a eles e intercepta os planos de projeção ao longo de linhas retas A "Ah e A" A x. Eixo de projeção OH perpendicular ao plano oc, como a linha de interseção de dois planos 71| e 71 2 perpendicular ao terceiro plano (a) e, portanto, a qualquer linha situada nele. Em particular, 0X1A "A x e 0X1A "A x.

Ao combinar planos, o segmento Um "Ah, plano para 2, permanece estacionário, e o segmento Um "A x juntamente com o plano 71) será girado em torno do eixo OH até alinhado com o plano 71 2 . Vista de planos de projeção combinados junto com projeções de um ponto MAS mostrado na fig. 2.4, uma. Depois de alinhar o ponto A", Ax e A" estará localizado em uma linha reta perpendicular ao eixo OH. Isso implica que duas projeções do mesmo ponto

situam-se em uma perpendicular comum ao eixo de projeção. Essa perpendicular conectando duas projeções do mesmo ponto é chamada de linha de projeção.

O desenho na fig. 2.4, uma pode ser bastante simplificado. As designações dos planos de projeção combinados nos desenhos não estão marcadas e os retângulos que limitam condicionalmente os planos de projeção não são representados, uma vez que os planos são ilimitados. Desenho de ponto simplificado MAS(Fig. 2.4, b) também chamado diagrama(Do francês ?puro - desenho).

Mostrado na fig. 2.3 quadrilátero AE4 "A X A"é um retângulo e seus lados opostos são iguais e paralelos. Portanto, a distância do ponto MAS até o avião P, medido por um segmento AA", no desenho é determinado pelo segmento Um "Ah. O segmento A "Ax = AA" permite que você julgue a distância de um ponto MAS até o avião para 2. Assim, o desenho de um ponto dá uma visão completa de sua localização em relação aos planos de projeção. Por exemplo, de acordo com o desenho (ver Fig. 2.4, b) pode-se afirmar que o ponto MAS localizado no primeiro trimestre e retirado do avião página 2 a uma distância menor do que do plano ts b desde Um "A x Um "Ah.

Vamos passar a projetar um ponto no segundo, terceiro e quarto quartos do espaço.

Ao projetar um ponto NO, localizado no segundo trimestre (Fig. 2.5), após combinar os planos, ambas as suas projeções estarão acima do eixo OH.

A projeção horizontal do ponto C, dada no terceiro quarto (Fig. 2.6), está localizada acima do eixo OH, e a frente é mais baixa.

O ponto D representado na fig. 2.7 está localizado no quarto trimestre. Depois de combinar os planos de projeção, ambas as projeções estarão abaixo do eixo OH.

Comparando os desenhos de pontos localizados em diferentes quadrantes do espaço (veja a Fig. 2.4-2.7), você pode ver que cada um é caracterizado por sua própria localização de projeções em relação ao eixo de projeções OH.

Em casos particulares, o ponto projetado pode estar no plano de projeção. Então uma de suas projeções coincide com o próprio ponto e a outra estará localizada no eixo de projeção. Por exemplo, para um ponto E, deitado em um avião sch(Fig. 2.8), a projeção horizontal coincide com o próprio ponto, e a projeção frontal está no eixo OH. No ponto E, localizado no avião para 2(Fig. 2.9), projeção horizontal no eixo OH, e a frente coincide com o próprio ponto.

PROJEÇÃO DE UM PONTO EM DOIS PLANOS DE PROJEÇÕES

A formação de um segmento de linha reta AA 1 pode ser representada como resultado do movimento do ponto A em qualquer plano H (Fig. 84, a), e a formação de um plano pode ser representada como um deslocamento de um segmento de linha reta AB ( Fig. 84, b).

Um ponto é o principal elemento geométrico de uma linha e superfície, portanto, o estudo da projeção retangular de um objeto começa com a construção de projeções retangulares de um ponto.

No espaço do ângulo diedro formado por dois planos perpendiculares - o plano frontal (vertical) das projeções V e o plano horizontal das projeções H, colocamos o ponto A (Fig. 85, a).

A linha de intersecção dos planos de projeção é uma linha reta, que é chamada de eixo de projeção e é denotada pela letra x.

O plano V é mostrado aqui como um retângulo e o plano H como um paralelogramo. O lado inclinado deste paralelogramo é usualmente desenhado em um ângulo de 45° em relação ao seu lado horizontal. O comprimento do lado inclinado é considerado igual a 0,5 do seu comprimento real.

Do ponto A, as perpendiculares são abaixadas nos planos V e H. Os pontos a "e a da interseção das perpendiculares com os planos de projeção V e H são projeções retangulares do ponto A. A figura Aaa x a" no espaço é um retângulo. O lado aax deste retângulo na imagem visual é reduzido em 2 vezes.

Vamos alinhar o plano H com o plano V girando V em torno da linha de interseção dos planos x. O resultado é um desenho complexo do ponto A (Fig. 85, b)

Para simplificar o desenho complexo, os limites dos planos de projeção V e H não são indicados (Fig. 85, c).

As perpendiculares traçadas do ponto A aos planos de projeção são chamadas de linhas de projeção, e as bases dessas linhas de projeção - os pontos a e a "são chamadas de projeções do ponto A: a" é a projeção frontal do ponto A, a é a projeção horizontal de ponto A

A linha a "a é chamada de linha vertical da conexão de projeção.

A localização da projeção de um ponto em um desenho complexo depende da posição desse ponto no espaço.

Se o ponto A está no plano de projeção horizontal H (Fig. 86, a), então sua projeção horizontal a coincide com o ponto dado, e a projeção frontal a "está localizada no eixo. Quando o ponto B está localizado na projeção frontal plano V, sua projeção frontal coincide com este ponto, e a projeção horizontal está no eixo x. As projeções horizontal e frontal de um dado ponto C, situado no eixo x, coincidem com este ponto. Um desenho complexo de pontos A, B e C são mostrados na Fig. 86, b.

PROJEÇÃO DE UM PONTO EM TRÊS PLANOS DE PROJEÇÕES

Nos casos em que é impossível imaginar a forma de um objeto a partir de duas projeções, ele é projetado em três planos de projeção. Neste caso, é introduzido o plano de perfil das projeções W, que é perpendicular aos planos V e H. Uma representação visual do sistema de três planos de projeção é dada na fig. 87 a.

As arestas de um ângulo triédrico (a interseção dos planos de projeção) são chamadas de eixos de projeção e são denotadas por x, y e z. A interseção dos eixos de projeção é chamada de início dos eixos de projeção e é denotada pela letra O. Deixemos cair a perpendicular do ponto A ao plano de projeção W e, marcando a base da perpendicular com a letra a, vamos obter a projeção do perfil do ponto A.

Para obter um desenho complexo, os pontos A dos planos H e W são alinhados com o plano V, girando-os em torno dos eixos Ox e Oz. Um desenho complexo do ponto A é mostrado na fig. 87b e c.

Os segmentos das linhas de projeção do ponto A aos planos de projeção são chamados de coordenadas do ponto A e são denotados: x A, y A e z A.

Por exemplo, a coordenada z A do ponto A, igual ao segmento a "a x (Fig. 88, aeb), é a distância do ponto A ao plano de projeção horizontal H. A coordenada no ponto A, igual ao segmento aa x, é a distância do ponto A ao plano frontal das projeções V. A coordenada x A igual ao segmento aa y é a distância do ponto A ao plano do perfil das projeções W.

Assim, a distância entre a projeção de um ponto e o eixo de projeção determina as coordenadas do ponto e é a chave para a leitura de seu desenho complexo. Por duas projeções de um ponto, todas as três coordenadas de um ponto podem ser determinadas.

Se as coordenadas do ponto A forem fornecidas (por exemplo, x A \u003d 20 mm, y A \u003d 22 mm e z A \u003d 25 mm), três projeções desse ponto poderão ser construídas.

Para fazer isso, a partir da origem das coordenadas O na direção do eixo Oz, é colocada a coordenada z A e a coordenada y A. segmentos iguais à coordenada x A. Os pontos resultantes a "e a são as projeções frontal e horizontal do ponto A.

De acordo com duas projeções a "e um ponto A, sua projeção de perfil pode ser construída de três maneiras:

1) da origem O, um arco auxiliar é desenhado com um raio Oa y igual à coordenada (Fig. 87, b e c), a partir do ponto obtido a y1 desenhe uma linha reta paralela ao eixo Oz e coloque um segmento igual a z A;

2) a partir do ponto a y, uma linha reta auxiliar é traçada em um ângulo de 45 ° em relação ao eixo Oy (Fig. 88, a), um ponto a y1 é obtido, etc.;

3) a partir da origem O, desenhe uma linha reta auxiliar em um ângulo de 45 ° com o eixo Oy (Fig. 88, b), obtenha um ponto a y1, etc.

Neste artigo, encontraremos respostas para perguntas sobre como criar uma projeção de um ponto em um plano e como determinar as coordenadas dessa projeção. Na parte teórica, contaremos com o conceito de projeção. Daremos definições de termos, acompanharemos as informações com ilustrações. Vamos consolidar os conhecimentos adquiridos resolvendo exemplos.

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Projeção, tipos de projeção

Por conveniência de consideração de figuras espaciais, são usados ​​desenhos que representam essas figuras.

Definição 1

Projeção de uma figura em um plano- um desenho de uma figura espacial.

Obviamente, há uma série de regras usadas para construir uma projeção.

Definição 2

projeção- o processo de construção de um desenho de uma figura espacial em um plano usando regras de construção.

Plano de projeçãoé o plano em que a imagem é construída.

O uso de certas regras determina o tipo de projeção: central ou paralelo.

Um caso especial de projeção paralela é a projeção perpendicular ou projeção ortogonal: em geometria, é usada principalmente. Por esta razão, o próprio adjetivo “perpendicular” é muitas vezes omitido na fala: em geometria eles simplesmente dizem “projeção de uma figura” e significam com isso a construção de uma projeção pelo método da projeção perpendicular. Em casos especiais, é claro, o contrário pode ser estipulado.

Notamos o fato de que a projeção de uma figura sobre um plano é, de fato, a projeção de todos os pontos dessa figura. Portanto, para poder estudar uma figura espacial em um desenho, é necessário adquirir a habilidade básica de projetar um ponto em um plano. Sobre o que falaremos a seguir.

Lembre-se que na maioria das vezes em geometria, falando de projeção em um plano, eles significam o uso de projeção perpendicular.

Faremos construções que nos permitirão obter a definição da projeção de um ponto sobre um plano.

Suponha que seja dado um espaço tridimensional e nele - um plano α e um ponto M 1 que não pertence ao plano α. Traçar uma linha reta passando por um ponto dado M 1 uma perpendicular ao plano α dado. O ponto de intersecção da reta a com o plano α será denotado como H 1 , por construção servirá como base da perpendicular baixada do ponto M 1 ao plano α .

Se for dado um ponto M 2 pertencente a um determinado plano α, então M 2 servirá como uma projeção de si mesmo no plano α.

Definição 3

é o próprio ponto (se pertencer a um determinado plano), ou a base da perpendicular baixada de um determinado ponto para um determinado plano.

Encontrar as coordenadas da projeção de um ponto em um plano, exemplos

Deixe no espaço tridimensional dado: sistema de coordenadas retangulares O x y z, plano α, ponto M 1 (x 1, y 1, z 1) . É necessário encontrar as coordenadas da projeção do ponto M 1 em um determinado plano.

A solução obviamente segue da definição acima da projeção de um ponto em um plano.

Denotamos a projeção do ponto M 1 no plano α como H 1 . De acordo com a definição, H 1 é o ponto de intersecção do plano α dado e a linha a que passa pelo ponto M 1 (perpendicular ao plano). Aqueles. as coordenadas da projeção do ponto M 1 que precisamos são as coordenadas do ponto de intersecção da linha a e do plano α.

Assim, para encontrar as coordenadas da projeção de um ponto sobre um plano, é necessário:

Obtenha a equação do plano α (caso não esteja definida). Um artigo sobre os tipos de equações planas irá ajudá-lo aqui;

Determine a equação de uma reta que passa pelo ponto M 1 e perpendicular ao plano α (estude o tópico da equação de uma reta que passa por um dado ponto perpendicular a um dado plano);

Encontre as coordenadas do ponto de interseção da linha a e do plano α (artigo - encontrando as coordenadas do ponto de interseção do plano e da linha). Os dados obtidos serão as coordenadas da projeção do ponto M 1 no plano α que necessitamos.

Vamos considerar a teoria em exemplos práticos.

Exemplo 1

Determine as coordenadas da projeção do ponto M 1 (- 2, 4, 4) no plano 2 x - 3 y + z - 2 \u003d 0.

Decisão

Como podemos ver, a equação do plano nos é dada, ou seja, não há necessidade de compô-lo.

Vamos escrever as equações canônicas da reta a passando pelo ponto M 1 e perpendicular ao plano dado. Para isso, determinamos as coordenadas do vetor diretor da reta a. Como a linha a é perpendicular ao plano dado, então o vetor diretor da linha a é o vetor normal do plano 2 x - 3 y + z - 2 = 0. Por isso, a → = (2 , - 3 , 1) – vetor de direção da reta a .

Agora compomos as equações canônicas de uma linha reta no espaço passando pelo ponto M 1 (- 2, 4, 4) e tendo um vetor de direção a → = (2 , - 3 , 1):

x + 2 2 = y - 4 - 3 = z - 4 1

Para encontrar as coordenadas desejadas, o próximo passo é determinar as coordenadas do ponto de interseção da linha x + 2 2 = y - 4 - 3 = z - 4 1 e o plano 2 x - 3 y + z - 2 = 0 . Para isso, passamos das equações canônicas para as equações de dois planos que se cruzam:

x + 2 2 = y - 4 - 3 = z - 4 1 ⇔ - 3 (x + 2) = 2 (y - 4) 1 (x + 2) = 2 (z - 4) 1 (y - 4) = - 3 (z + 4) ⇔ 3 x + 2 y - 2 = 0 x - 2 z + 10 = 0

Vamos fazer um sistema de equações:

3 x + 2 y - 2 = 0 x - 2 z + 10 = 0 2 x - 3 y + z - 2 = 0 ⇔ 3 x + 2 y = 2 x - 2 z = - 10 2 x - 3 y + z = 2

E resolva usando o método de Cramer:

∆ = 3 2 0 1 0 - 2 2 - 3 1 = - 28 ∆ x = 2 2 0 - 10 0 - 2 2 - 3 1 = 0 ⇒ x = ∆ x ∆ = 0 - 28 = 0 ∆ y = 3 2 0 1 - 10 - 2 2 2 1 = - 28 ⇒ y = ∆ y ∆ = - 28 - 28 = 1 ∆ z = 3 2 2 1 0 - 10 2 - 3 2 = - 140 ⇒ z = ∆ z ∆ = - 140 - 28 = 5

Assim, as coordenadas desejadas de um dado ponto M 1 em um dado plano α serão: (0, 1, 5) .

Responda: (0 , 1 , 5) .

Exemplo 2

Os pontos À (0 , 0 , 2) são dados em um sistema de coordenadas retangular O x y z do espaço tridimensional; Em (2, - 1, 0); C (4, 1, 1) e M1 (-1, -2, 5). É necessário encontrar as coordenadas da projeção M 1 no plano A B C

Decisão

Em primeiro lugar, escrevemos a equação de um plano que passa por três pontos dados:

x - 0 y - 0 z - 0 2 - 0 - 1 - 0 0 - 2 4 - 0 1 - 0 1 - 2 = 0 ⇔ x y z - 2 2 - 1 - 2 4 1 - 1 = 0 ⇔ ⇔ 3 x - 6y + 6z - 12 = 0 ⇔ x - 2y + 2z - 4 = 0

Vamos escrever as equações paramétricas da linha reta a, que passará pelo ponto M 1 perpendicular ao plano A B C. O plano x - 2 y + 2 z - 4 \u003d 0 tem um vetor normal com coordenadas (1, - 2, 2), ou seja vetor a → = (1 , - 2 , 2) – vetor de direção da reta a .

Agora, tendo as coordenadas do ponto da reta M 1 e as coordenadas do vetor diretor desta reta, escrevemos as equações paramétricas da reta no espaço:

Em seguida, determinamos as coordenadas do ponto de interseção do plano x - 2 y + 2 z - 4 = 0 e a linha

x = - 1 + λ y = - 2 - 2 λ z = 5 + 2 λ

Para fazer isso, substituímos na equação do plano:

x = - 1 + λ , y = - 2 - 2 λ , z = 5 + 2 λ

Agora, usando as equações paramétricas x = - 1 + λ y = - 2 - 2 λ z = 5 + 2 λ, encontramos os valores das variáveis ​​x, y e z em λ = - 1: x = - 1 + (- 1) y = - 2 - 2 (- 1) z = 5 + 2 (- 1) ⇔ x = - 2 y = 0 z = 3

Assim, a projeção do ponto M 1 no plano A B C terá coordenadas (- 2, 0, 3) .

Responda: (- 2 , 0 , 3) .

Vamos nos deter separadamente na questão de encontrar as coordenadas da projeção de um ponto nos planos coordenados e planos que são paralelos aos planos coordenados.

Sejam dados os pontos M 1 (x 1, y 1, z 1) e os planos coordenados O x y , O x z e O y z. As coordenadas de projeção deste ponto nestes planos serão respectivamente: (x 1 , y 1 , 0) , (x 1 , 0 , z 1) e (0 , y 1 , z 1) . Considere também os planos paralelos aos planos de coordenadas dados:

C z + D = 0 ⇔ z = - D C , B y + D = 0 ⇔ y = - D B

E as projeções do ponto dado M 1 nestes planos serão pontos com coordenadas x 1 , y 1 , -D C , x 1 , -DB , z 1 e -DA , y 1 , z 1 .

Vamos demonstrar como esse resultado foi obtido.

Como exemplo, vamos definir a projeção do ponto M 1 (x 1, y 1, z 1) no plano A x + D = 0. Os demais casos são semelhantes.

O plano dado é paralelo ao plano de coordenadas O y z ei → = (1 , 0 , 0) é seu vetor normal. O mesmo vetor serve como vetor diretor da reta perpendicular ao plano O y z . Então as equações paramétricas de uma linha reta traçada através do ponto M 1 e perpendicular a um determinado plano terão a seguinte aparência:

x = x 1 + λ y = y 1 z = z 1

Encontre as coordenadas do ponto de intersecção desta linha e o plano dado. Primeiro substituímos na equação A x + D = 0 igualdades: x = x 1 + λ, y = y 1, z = z 1 e obtemos: A (x 1 + λ) + D = 0 ⇒ λ = - D A - x um

Em seguida, calculamos as coordenadas desejadas usando as equações paramétricas da linha reta para λ = - D A - x 1:

x = x 1 + - D A - x 1 y = y 1 z = z 1 ⇔ x = - D A y = y 1 z = z 1

Ou seja, a projeção do ponto M 1 (x 1, y 1, z 1) sobre o plano será um ponto com coordenadas - DA , y 1 , z 1 .

Exemplo 2

É necessário determinar as coordenadas da projeção do ponto M 1 (- 6 , 0 , 1 2) sobre o plano de coordenadas O x y e sobre o plano 2 y - 3 = 0 .

Decisão

O plano coordenado O x y corresponderá à equação geral incompleta do plano z = 0 . A projeção do ponto M 1 no plano z \u003d 0 terá coordenadas (- 6, 0, 0) .

A equação do plano 2 y - 3 = 0 pode ser escrita como y = 3 2 2 . Agora basta escrever as coordenadas da projeção do ponto M 1 (- 6 , 0 , 1 2) no plano y = 3 2 2:

6 , 3 2 2 , 1 2

Responda:(- 6 , 0 , 0) e - 6 , 3 2 2 , 1 2

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A projeção de um ponto em três planos de projeções do ângulo coordenado começa com a obtenção de sua imagem no plano H - o plano horizontal de projeções. Para fazer isso, através do ponto A (Fig. 4.12, a) uma viga projetada é traçada perpendicularmente ao plano H.

Na figura, a perpendicular ao plano H é paralela ao eixo Oz. O ponto de intersecção da viga com o plano H (ponto a) é escolhido arbitrariamente. O segmento Aa determina a que distância o ponto A está do plano H, indicando assim de forma inequívoca a posição do ponto A na figura em relação aos planos de projeção. O ponto a é uma projeção retangular do ponto A sobre o plano H e é chamado de projeção horizontal do ponto A (Fig. 4.12, a).

Para obter uma imagem do ponto A no plano V (Fig. 4.12, b), um feixe de projeção é desenhado através do ponto A perpendicular ao plano de projeção frontal V. Na figura, a perpendicular ao plano V é paralela ao Oy eixo. No plano H, a distância do ponto A ao plano V será representada por um segmento aa x, paralelo ao eixo Oy e perpendicular ao eixo Ox. Se imaginarmos que o feixe projetado e sua imagem são realizados simultaneamente na direção do plano V, então quando a imagem do feixe intercepta o eixo Ox no ponto a x, o feixe intercepta o plano V no ponto a. a partir do ponto a x no plano V perpendicular ao eixo Ox , que é a imagem do feixe saliente Aa no plano V, obtém-se o ponto a na intersecção com o feixe saliente. O ponto a "é a projeção frontal do ponto A, ou seja, sua imagem no plano V.

A imagem do ponto A no plano do perfil de projeções (Fig. 4.12, c) é construída usando um feixe de projeção perpendicular ao plano W. Na figura, a perpendicular ao plano W é paralela ao eixo Ox. O feixe que se projeta do ponto A ao plano W no plano H será representado por um segmento aa y, paralelo ao eixo Ox e perpendicular ao eixo Oy. Do ponto Oy paralelo ao eixo Oz e perpendicular ao eixo Oy, constrói-se uma imagem do feixe saliente aA e, na intersecção com o feixe saliente, obtém-se o ponto a. O ponto a é a projeção do perfil do ponto A, ou seja, a imagem do ponto A no plano W.

O ponto a "pode ​​ser construído desenhando do ponto a" o segmento a "a z (a imagem do feixe projetado Aa" no plano V) paralelo ao eixo Ox, e do ponto a z - o segmento a "a z paralelamente ao eixo Oy até cruzar com a viga projetada.

Tendo recebido três projeções do ponto A nos planos de projeção, o ângulo coordenado é implantado em um plano, conforme mostrado na Fig. 4.11, b, juntamente com as projeções do ponto A e os raios projetados, e o ponto A e os raios projetados Aa, Aa "e Aa" são removidos. As arestas dos planos de projeção combinados não são executadas, mas apenas os eixos de projeção Oz, Oy e Ox, Oy 1 (Fig. 4.13) são executados.

Uma análise do desenho ortogonal de um ponto mostra que três distâncias - Aa", Aa e Aa" (Fig. 4.12, c), caracterizando a posição do ponto A no espaço, podem ser determinadas descartando o próprio objeto de projeção - ponto A , em um ângulo coordenado implantado em um plano (Fig. 4.13). Os segmentos a "a z, aa y e Oa x são iguais a Aa" como lados opostos dos retângulos correspondentes (Fig. 4.12, ce 4.13). Eles determinam a distância na qual o ponto A está localizado a partir do plano de perfil das projeções. Os segmentos a "a x, a" a y1 e Oa y são iguais ao segmento Aa, determine a distância do ponto A ao plano horizontal de projeções, segmentos aa x, a "a z e Oa y 1 são iguais ao segmento Aa", que determina a distância do ponto A ao plano de projeção frontal.

Os segmentos Oa x, Oa y e Oa z localizados nos eixos de projeção são uma expressão gráfica dos tamanhos das coordenadas X, Y e Z do ponto A. As coordenadas do ponto são indicadas com o índice da letra correspondente. Ao medir o tamanho desses segmentos, você pode determinar a posição do ponto no espaço, ou seja, definir as coordenadas do ponto.

No diagrama, os segmentos a "a x e aa x estão dispostos como uma linha perpendicular ao eixo Ox, e os segmentos a" a z e a "a z - ao eixo Oz. Essas linhas são chamadas de linhas de conexão de projeção. eixos de projeção nos pontos a x e z, respectivamente. A linha de conexão da projeção que liga a projeção horizontal do ponto A com o perfil um acabou sendo “cortada” no ponto a y.

Duas projeções do mesmo ponto estão sempre localizadas na mesma linha de conexão de projeção perpendicular ao eixo de projeção.

Para representar a posição de um ponto no espaço, bastam duas de suas projeções e uma dada origem (ponto O). 4.14, b, duas projeções de um ponto determinam completamente sua posição no espaço. Usando essas duas projeções, você pode construir uma projeção de perfil do ponto A. Portanto, no futuro, se não houver necessidade de uma projeção de perfil, os diagramas serão construído em dois planos de projeção: V e H.

Arroz. 4.14. Arroz. 4.15.

Vamos considerar vários exemplos de construção e leitura de um desenho de um ponto.

Exemplo 1 Determinação das coordenadas do ponto J dadas no diagrama por duas projeções (Fig. 4.14). Três segmentos são medidos: segmento Ov X (coordenada X), segmento b X b (coordenada Y) e segmento b X b "(coordenada Z). As coordenadas são escritas na seguinte ordem: X, Y e Z, após a designação da letra do ponto, por exemplo, B20; 30; 15.

Exemplo 2. Construção de um ponto de acordo com as coordenadas dadas. O ponto C é dado pelas coordenadas C30; dez; 40. No eixo Ox (Fig. 4.15) encontre um ponto com x, no qual a linha da conexão de projeção intercepta o eixo de projeção. Para fazer isso, a coordenada X (tamanho 30) é plotada ao longo do eixo Ox a partir da origem (ponto O) e um ponto com x é obtido. Através deste ponto, perpendicular ao eixo Ox, traça-se uma linha de conexão de projeção e estabelece-se a coordenada Y a partir do ponto (tamanho 10), obtém-se o ponto c - a projeção horizontal do ponto C. A coordenada Z (tamanho 40) é plotado para cima a partir do ponto c x ao longo da linha de conexão de projeção (tamanho 40), obtém-se o ponto c" - projeção frontal do ponto C.

Exemplo 3. Construção de uma projeção de perfil de um ponto de acordo com as projeções dadas. São definidas as projeções do ponto D - d e d. Através do ponto O, desenham-se os eixos de projeção Oz, Oy e Oy 1 (Fig. 4.16, a) à direita atrás do eixo Oz. A projeção do perfil do ponto D estará localizada nesta linha, localizada à mesma distância do eixo Oz que a projeção horizontal do ponto d está localizada: do eixo Ox, ou seja, a uma distância dd x. Os segmentos d z d "e dd x são os mesmos, pois determinam a mesma distância - a distância do ponto D ao plano de projeção frontal. Essa distância é a coordenada Y do ponto D.

Graficamente, o segmento d z d "é construído transferindo o segmento dd x do plano horizontal de projeções para o de perfil. Para isso, desenhe uma linha de conexão de projeção paralela ao eixo Ox, obtenha um ponto d y no eixo Oy ( Fig. 4.16, b) Em seguida, transfira o tamanho do segmento Od y para o eixo Oy 1 , desenhando do ponto O um arco com raio igual ao segmento Od y, até cruzar com o eixo Oy 1 (Fig. 4.16 , b), obtenha o ponto dy 1. Este ponto pode ser construído e, como mostrado na Fig. 4.16, c, traçando uma linha reta em um ângulo de 45 ° ao eixo Oy a partir do ponto d y. Do ponto d y1 desenhe uma linha de conexão de projeção paralela ao eixo Oz e coloque um segmento sobre ela igual ao segmento d "d x, obtenha o ponto d".

A transferência do valor do segmento d x d para o plano de perfil das projeções pode ser feita usando um desenho de linha reta constante (Fig. 4.16, d). Neste caso, a linha de conexão de projeção dd y é traçada através da projeção horizontal do ponto paralelo ao eixo Oy 1 até cruzar com uma linha reta constante, e depois paralela ao eixo Oy até cruzar com a continuação da projeção linha de conexão d "d z.

Casos particulares de localização de pontos relativos a planos de projeção

A posição do ponto em relação ao plano de projeção é determinada pela coordenada correspondente, ou seja, o valor do segmento da linha de conexão de projeção do eixo Ox até a projeção correspondente. Na fig. 4.17 a coordenada Y do ponto A é determinada pelo segmento aa x - a distância do ponto A ao plano V. A coordenada Z do ponto A é determinada pelo segmento a "a x - a distância do ponto A ao plano H. Se um das coordenadas é zero, então o ponto está localizado no plano de projeção A Fig. 4.17 mostra exemplos de diferentes localizações de pontos em relação aos planos de projeção. A coordenada Z do ponto B é zero, o ponto está no plano H. Sua projeção frontal está no eixo Ox e coincide com o ponto b x. A coordenada Y do ponto C é zero, o ponto está localizado no plano V, sua projeção horizontal c está no eixo x e coincide com o ponto c x.

Portanto, se um ponto está no plano de projeção, então uma das projeções desse ponto está no eixo de projeção.

Na fig. 4.17, as coordenadas Z e Y do ponto D são zero, portanto, o ponto D está no eixo de projeção Ox e suas duas projeções coincidem.

projeção(lat. Projicio - eu lanço para frente) - o processo de obter uma imagem de um objeto (objeto espacial) em qualquer superfície usando raios de luz ou visuais (raios que conectam condicionalmente o olho do observador a qualquer ponto de um objeto espacial), que são chamado de projeção.

Existem dois métodos de projeção: central e paralelo .

Centralprojeção é passar por cada ponto ( A, B, C,…) do objeto retratado e de certa forma selecionado centro de projeção (S) linha reta ( SA, SB, >… — feixe de projeção).

Figura 1.1 - Projeção central

Vamos introduzir a seguinte notação (Figura 1.1):

S– centro de projeção (olho do observador);

π 1 - plano de projeção;

A, B, C

SA, SB- projetando linhas retas (raios de projeção).

Observação: botão esquerdo do mouse pode mover o ponto no plano horizontal, quando você clica no ponto com o botão esquerdo do mouse, a direção do movimento muda e você pode movê-lo verticalmente.

Ponto de projeção central o ponto de interseção da linha de projeção que passa pelo centro de projeção e o objeto de projeção (ponto) com o plano de projeção é chamado.

Propriedade 1 . Cada ponto no espaço corresponde a uma única projeção, mas cada ponto no plano de projeção corresponde a um conjunto de pontos no espaço que se encontram na linha de projeção.

Vamos provar esta afirmação.

Figura 1.1: ponto MAS 1 é a projeção central do ponto A no plano de projeções π 1 . Mas todos os pontos situados na linha de projeção podem ter a mesma projeção. Assuma a linha de projeção SA apontar Com. Ponto de projeção central Com(Com 1) no plano de projeções π 1 coincide com a projeção do ponto MAS(MAS 1):

1. Com∈ SA;
2. SC∩ π 1 = C 1 →C 1 ≡ UMA 1 .

A conclusão segue que pela projeção de um ponto é impossível julgar inequivocamente sobre sua posição no espaço.

Para eliminar essa incerteza, ou seja, faça um desenho reversível, introduzimos mais um plano de projeção (π 2) e mais um centro de projeção ( S 2) (Figura 1.2).

Figura 1.2 - Ilustração das 1ª e 2ª propriedades

Vamos construir projeções de um ponto MAS no plano de projeções π 2 . De todos os pontos no espaço, apenas um ponto MAS tem suas projeções MAS 1 ao plano π 1 e MAS 2 a π 2 ao mesmo tempo. Todos os outros pontos situados nos raios projetados terão pelo menos uma projeção diferente das projeções do ponto MAS(por exemplo, ponto NO).

Propriedade 2 . A projeção de uma linha reta é uma linha reta.

Vamos provar esta propriedade.

Ligue os pontos MAS e NO entre si (Figura 1.2). Obtemos um segmento AB definindo uma linha reta. triângulo SAB define um plano, denotado por σ. Sabe-se que dois planos se cruzam em uma linha reta: σ∩π 1 = MAS 1 NO 1, onde MAS 1 NO 1 - projeção central de uma linha reta dada por um segmento AB.

O método de projeção central é um modelo de percepção de imagem pelo olho, é usado principalmente ao fazer imagens em perspectiva de objetos de edifícios, interiores, bem como em tecnologia de filmes e óptica. O método de projeção central não resolve a principal tarefa do engenheiro - refletir com precisão a forma, as dimensões do objeto, a proporção dos tamanhos de vários elementos.

1.2. Projeção paralela

Considere o método de projeção paralela. Iremos impor três restrições que nos permitirão, ainda que em detrimento da visibilidade da imagem, obter um desenho mais conveniente para utilizá-la na prática:

1. Vamos deletar os dois centros de projeção ao infinito. Assim, garantiremos que os raios projetados de cada centro se tornem paralelos e, portanto, a razão entre o comprimento real de qualquer segmento de reta e o comprimento de sua projeção dependerá apenas do ângulo de inclinação desse segmento aos planos de projeção. e não dependem da posição do centro de projeção;
2. Vamos fixar a direção de projeção em relação aos planos de projeção;
3. Vamos colocar os planos de projeção perpendiculares entre si, o que facilitará a movimentação da imagem nos planos de projeção para o objeto real no espaço.

Assim, tendo imposto essas restrições ao método de projeção central, chegamos ao seu caso especial - método de projeção paralela(Figura 1.3) Projeção na qual os raios projetados que passam por cada ponto do objeto são paralelos à direção de projeção selecionada P, é chamado paralelo .

Figura 1.3 - Método de projeção paralela

Vamos introduzir a notação:

R– direção de projeção;

π 1 - plano horizontal de projeções;

UMA,B– objetos de projeção – pontos;

MAS 1 e NO 1 - projeções de pontos MAS e NO no plano de projeção π 1 .

Projeção de ponto paralelo é o ponto de intersecção da linha de projeção paralela à direção de projeção dada R, com o plano de projeção π 1 .

Passe pelos pontos MAS e NO projetando feixes paralelos a uma determinada direção de projeção R. Projeção de raio passando por um ponto MAS intercepta o plano de projeção π 1 no ponto MAS 1 . Da mesma forma, um raio que se projeta através de um ponto NO intercepta o plano de projeção em um ponto NO 1 . Ao ligar os pontos MAS 1 e NO 1 , obtemos um segmento MAS 1 NO 1 é a projeção do segmento AB no plano π 1 .

1.3. Projeção ortográfica. Método Monge

Se a direção de projeção R perpendicular ao plano de projeções p 1 , então a projeção é chamada retangular (Figura 1.4), ou ortogonal (gr. ortopedia- Em linha reta, gonia- ângulo) se R não perpendicular a π 1, então a projeção é chamada oblíquo .

quadrilátero AA 1 NO 1 NO define o plano γ, que é chamado de plano de projeção, pois é perpendicular ao plano π 1 (γ⊥π 1). No que segue, usaremos apenas a projeção retangular.

Figura 1.4 - Projeção ortográfica Figura 1.5 - Monge, Gaspard (1746-1818)

O cientista francês Gaspard Monge é considerado o fundador da projeção ortogonal (Figura 1.5).

Antes de Monge, construtores, artistas e cientistas possuíam informações bastante significativas sobre métodos de projeção, mas apenas Gaspard Monge é o criador da geometria descritiva como ciência.

Gaspard Monge nasceu em 9 de maio de 1746 na pequena cidade de Beaune (Borgonha), no leste da França, na família de um comerciante local. Ele era o mais velho de cinco filhos, a quem seu pai, apesar da baixa origem e relativa pobreza da família, tentou proporcionar a melhor educação disponível na época para as pessoas da classe humilde. Seu segundo filho, Louis, tornou-se professor de matemática e astronomia, o mais novo, Jean, também professor de matemática, hidrografia e navegação. Gaspard Monge recebeu sua educação inicial na escola municipal da Ordem do Oratório. Depois de se formar em 1762 como o melhor aluno, ingressou no colégio de Lyon, também propriedade dos oratorianos. Logo Gaspard foi encarregado de ensinar física lá. No verão de 1764, Monge elaborou um plano de sua cidade natal de Beaune, notavelmente preciso. Os métodos e instrumentos necessários para medir ângulos e traçar linhas foram inventados pelo próprio compilador.

Enquanto estudava em Lyon, recebeu uma oferta para ingressar na ordem e permanecer como professor universitário, no entanto, tendo demonstrado grandes habilidades em matemática, desenho e desenho, conseguiu entrar na Escola Mézieres de Engenheiros Militares, mas (devido à origem ) apenas como suboficial auxiliar e sem contracheque. No entanto, o sucesso nas ciências exatas e uma solução original para um dos problemas importantes da fortificação (a colocação de fortificações dependendo da localização da artilharia inimiga) permitiu-lhe em 1769 tornar-se assistente (assistente de ensino) em matemática, e depois em física, e já com um salário decente de 1.800 libras por ano.

Em 1770, aos 24 anos, Monge ocupou o cargo de professor ao mesmo tempo em dois departamentos - matemática e física e, além disso, ministra aulas de lapidação de pedras. Começando com a tarefa de cortar pedras com precisão de acordo com esboços dados em relação à arquitetura e fortificação, Monge veio a criar métodos que mais tarde generalizou em uma nova ciência - a geometria descritiva, cujo criador ele é legitimamente considerado. Dada a possibilidade de usar os métodos da geometria descritiva para fins militares na construção de fortificações, a liderança da escola Mézières não permitiu a publicação aberta até 1799, o livro foi publicado sob o título geometria Descritiva (Descritivo da geometria) (um registro literal dessas palestras foi feito em 1795). A abordagem para ensinar sobre essa ciência e fazer os exercícios descritos nela sobreviveu até hoje. Outra obra significativa de Monge - Aplicação da análise à geometria (L'application de l'analyse à la geometrie, 1795) - é um livro-texto de geometria analítica, no qual é dada ênfase especial às relações diferenciais.

Em 1780 foi eleito membro da Academia de Ciências de Paris, em 1794 tornou-se diretor da Escola Politécnica. Por oito meses ele serviu como ministro do mar no governo de Napoleão, foi responsável pelas fábricas de pólvora e canhões da república e acompanhou Napoleão em sua expedição ao Egito (1798-1801). Napoleão concedeu-lhe o título de conde, honrou-o com muitas outras distinções.

O método de representação de objetos de acordo com Monge consiste em dois pontos principais:

1. A posição de um objeto geométrico no espaço, neste exemplo um ponto MAS, é considerado relativo a dois planos mutuamente perpendiculares π 1 e π 2(Figura 1.6).

Eles condicionalmente dividem o espaço em quatro quadrantes. Ponto MAS localizado no primeiro quadrante. O sistema de coordenadas cartesianas serviu de base para as projeções de Monge. Monge substituiu o conceito de eixos de projeção pela linha de interseção dos planos de projeção (eixos coordenados) e propôs combinar os planos coordenados em um, girando-os em torno dos eixos coordenados.

Figura 1.6 - Modelo para construção de projeções pontuais

π 1 - plano de projeção horizontal (primeiro)

π 2 - plano de projeção frontal (segundo)

π 1 ∩ π 2 é o eixo das projeções (denotamos π 2 / π 1)

Considere um exemplo de projeção de um ponto MAS em dois planos de projeção mutuamente perpendiculares π 1 e π 2 .

Descer do ponto MAS perpendiculares (raios projetados) nos planos π 1 e π 2 e marque suas bases, ou seja, os pontos de interseção dessas perpendiculares (raios projetados) com os planos de projeção. MAS 1 - projeção horizontal (primeira) do ponto MAS;MAS 2 - projeção frontal (segunda) do ponto MAS;AA 1 e AA 2 - linhas de projeção. As setas mostram a direção de projeção no plano das projeções π 1 e π 2 . Tal sistema permite determinar de forma única a posição de um ponto em relação aos planos de projeção π 1 e π 2:

AA 1 ⊥π 1

MAS 2 MAS 0 ⊥π 2 /π 1 AA 1 = MAS 2 MAS 0 - distância do ponto A ao plano π 1

AA 2 ⊥π 2

MAS 1 MAS 0 ⊥π 2 /π 1 AA 2 \u003d A 1 A 0 - a distância do ponto A ao plano π 2

2. Vamos combinar a rotação em torno do eixo de projeções π 2 / π 1 do plano de projeção em um plano(π 1 com π 2), mas para que as imagens não se sobreponham (na direção α, Figura 1.6), obtemos uma imagem chamada de desenho retangular (Figura 1.7):

Figura 1.7 - Desenho ortogonal

Retangular ou ortogonal é chamado Diagrama de Monge .

Em linha reta MAS 2 MAS 1 chamado link de projeção , que conecta projeções opostas do ponto ( MAS 2 - frontal e MAS 1 - horizontal) é sempre perpendicular ao eixo de projeção (eixo de coordenadas) MAS 2 MAS 1 ⊥π 2 /π 1 . No diagrama, os segmentos indicados por colchetes são:

• MAS 0 MAS 1 - distância do ponto MAS ao plano π 2 correspondente à coordenada y A;
• MAS 0 MAS 2 - distância do ponto MAS ao plano π 1 correspondente à coordenada z A.

1.4. Projeções de pontos retangulares. Propriedades do desenho ortográfico

1. Duas projeções retangulares de um ponto estão na mesma linha de conexão de projeção perpendicular ao eixo de projeção.

2. Duas projeções retangulares de um ponto determinam exclusivamente sua posição no espaço em relação aos planos de projeção.

Vamos verificar a validade da última afirmação, para a qual voltamos o plano π 1 para sua posição original (quando π 1 ⊥ π 2). Para construir um ponto MAS necessário de pontos MAS 1 e MAS 2 para restaurar os raios projetados, e de fato - as perpendiculares aos planos π 1 e π 2 , respectivamente. O ponto de interseção dessas perpendiculares fixa o ponto desejado no espaço MAS. Considere um desenho ortogonal de um ponto MAS(Figura 1.8).

Figura 1.8 - Plotando um ponto

Vamos introduzir o terceiro plano (de perfil) das projeções π 3 perpendiculares a π 1 e π 2 (dado pelo eixo das projeções π 2 /π 3).

Distância da projeção do perfil de um ponto ao eixo vertical das projeções MAS‘ 0 UMA 3 permite determinar a distância do ponto MAS ao plano de projeção frontal π 2 . Sabe-se que a posição de um ponto no espaço pode ser fixada em relação ao sistema de coordenadas cartesianas usando três números (coordenadas) UMA(X UMA ; S UMA ; Z A) ou em relação aos planos de projeção usando suas duas projeções ortogonais ( UMA 1 =(X UMA ; S UMA); UMA 2 =(X UMA ; Z UMA)). Em um desenho ortogonal, usando duas projeções de um ponto, você pode determinar suas três coordenadas e, inversamente, usando três coordenadas de um ponto, construir suas projeções (Figura 1.9, aeb).

Figura 1.9 - Plotando um ponto de acordo com suas coordenadas

Pela localização no diagrama de projeção de um ponto, pode-se julgar sua localização no espaço:

• MAS — MAS 1 está sob o eixo de coordenadas X, e a frente MAS 2 - acima do eixo X, então podemos dizer que o ponto MAS pertence ao 1º quadrante;
• se no gráfico a projeção horizontal do ponto MAS — MAS 1 está acima do eixo de coordenadas X, e a frente MAS 2 - sob o eixo X, então o ponto MAS pertence ao 3º quadrante;
• MAS — MAS 1 e MAS 2 estão acima do eixo X, então o ponto MAS pertence ao 2º quadrante;
• se no diagrama houver projeções horizontais e frontais do ponto MAS — MAS 1 e MAS 2 ficam sob o eixo X, então o ponto MAS pertence ao 4º quadrante;
• se no diagrama a projeção de um ponto coincide com o próprio ponto, significa que o ponto pertence ao plano de projeções;
• um ponto pertencente ao plano de projeção ou eixo de projeção (eixos de coordenadas) é chamado ponto privado.

Para determinar em qual quadrante do espaço um ponto está localizado, basta determinar o sinal das coordenadas do ponto.

Dependências do quadrante da posição do ponto e os sinais das coordenadas

	X	S	Z
EU	+	+	+
II	+	—	+
III	+	—	—
4	+	+	—

Um exercício

Construir projeções ortogonais de um ponto com coordenadas MAS(60, 20, 40) e determine em qual quadrante o ponto está localizado.

Solução do problema: ao longo do eixo BOI deixe de lado o valor da coordenada XA=60, então por este ponto no eixo BOI restaurar a linha de conexão de projeção perpendicular à BOI, ao longo do qual colocar de lado o valor da coordenada ZA=40, e para baixo - o valor da coordenada YA=20(Figura 1.10). Todas as coordenadas são positivas, o que significa que o ponto está localizado no quadrante I.

Figura 1.10 - Solução do problema

1.5. Tarefas para solução independente

1. Com base no diagrama, determine a posição do ponto em relação aos planos de projeção (Figura 1.11).

Figura 1.11

2. Complete as projeções ortogonais ausentes dos pontos MAS, NO, Com no plano de projeção π 1 , π 2 , π 3 (Figura 1.12).

Figura 1.12

3. Construir projeções de pontos:

• E, ponto simétrico MAS em relação ao plano de projeção π 1 ;
• F, ponto simétrico NO em relação ao plano de projeções π 2 ;
• G, ponto simétrico Com em relação ao eixo de projeção π 2 /π 1 ;
• H, ponto simétrico D em relação ao plano bissetriz do segundo e quarto quadrantes.

4. Construir projeções ortogonais do ponto Para, localizado no segundo quadrante e distante dos planos de projeção π 1 por 40 mm, de π 2 - por 15 mm.