GEOMETRIA
Planos de aula para o 10º ano
Lição 56
Sujeito. Área de uma projeção ortogonal de um polígono
O objetivo da lição: o estudo do teorema na área da projeção ortogonal de um polígono, a formação de habilidades dos alunos para aplicar o teorema estudado na resolução de problemas.
Equipamento: conjunto estereométrico, modelo cubo.
Durante as aulas
I. Verificando a lição de casa
1. Dois alunos reproduzem no quadro as soluções dos problemas 42 e 45.
2. Interrogação frontal.
1) Defina o ângulo entre dois planos que se cruzam.
2) Qual é o ângulo entre:
a) planos paralelos;
b) planos perpendiculares?
3) Até que ponto o ângulo entre dois planos pode mudar?
4) É verdade que um plano que intercepta planos paralelos os intercepta nos mesmos ângulos?
5) É verdade que um plano que intercepta planos perpendiculares os intercepta nos mesmos ângulos?
3. Verificação da correção da solução dos problemas nº 42, 45, que os alunos recriaram no quadro.
II. Percepção e consciência do novo material
Atribuição aos alunos
1. Prove que a área de projeção de um triângulo com um lado no plano de projeção é igual ao produto de sua área pelo cosseno do ângulo entre o plano do polígono e o plano de projeção.
2. Prove o teorema para o caso em que o triângulo reticulado tem um lado paralelo ao plano de projeção.
3. Prove o teorema para o caso em que o triângulo reticulado não tem nenhum de seus lados paralelos ao plano de projeção.
4. Prove o teorema para qualquer polígono.
Solução de problemas
1. Encontre a área da projeção ortogonal de um polígono cuja área é de 50 cm2 e o ângulo entre o plano do polígono e sua projeção é de 60°.
2. Encontre a área do polígono se a área da projeção ortogonal deste polígono for 50 cm2 e o ângulo entre o plano do polígono e sua projeção for 45°.
3. A área do polígono é de 64 cm2 e a área da projeção ortogonal é de 32 cm2. Encontre o ângulo entre os planos do polígono e sua projeção.
4. Ou talvez a área da projeção ortogonal do polígono seja igual à área desse polígono?
5. A aresta do cubo é a. Encontre a área da seção transversal de um cubo por um plano que passa pelo topo da base formando um ângulo de 30° com essa base e cruzando todas as arestas laterais. (Responda. )
6. Problema nº 48 (1, 3) do livro didático (p. 58).
7. Problema nº 49 (2) do livro didático (p. 58).
8. Os lados do retângulo medem 20 e 25 cm e sua projeção sobre um plano é semelhante a ele. Encontre o perímetro de projeção. (Resposta. 72 cm ou 90 cm.)
III. Trabalho de casa
§4º, nº 34; pergunta de segurança nº 17; tarefas nº 48 (2), 49 (1) (p. 58).
4. Resumindo a lição
Pergunta para a turma
1) Formule um teorema sobre a área da projeção ortogonal de um polígono.
2) A área da projeção ortogonal de um polígono pode ser maior que a área do polígono?
3) Traça-se um plano α através da hipotenusa AB de um triângulo retângulo ABC formando um ângulo de 45° com o plano do triângulo e uma perpendicular CO com o plano α. AC \u003d 3 cm, BC \u003d 4 cm. Indique quais das seguintes afirmações estão corretas e quais estão incorretas:
a) o ângulo entre os planos ABC e α é igual ao ângulo CMO, onde o ponto H é a base da altura CM do triângulo ABC;
b) DP = 2,4 cm;
c) o triângulo AOC é uma projeção ortogonal do triângulo ABC no plano α;
d) a área do triângulo AOB é 3 cm2.
(Resposta. a) Correto; b) errado; c) errado; e) correto.)
Em problemas de geometria, o sucesso depende não apenas do conhecimento da teoria, mas de um desenho de qualidade.
Com desenhos planos, tudo fica mais ou menos claro. Mas na estereometria, a situação é mais complicada. Afinal, é preciso retratar tridimensional corpo em plano desenhando, e de tal forma que tanto você como quem olha para o seu desenho vejam o mesmo corpo tridimensional.
Como fazer isso?
Claro, qualquer imagem de um corpo tridimensional em um plano será condicional. No entanto, há um certo conjunto de regras. Existe uma maneira geralmente aceita de construir projetos - projeção paralela.
Vamos pegar um corpo sólido.
Vamos escolher plano de projeção.
Através de cada ponto do corpo volumétrico traçamos linhas retas, paralelas entre si e interceptando o plano de projeção em algum ângulo. Cada uma dessas linhas intercepta o plano de projeção em algum ponto. Juntos, esses pontos formam projeção corpo volumétrico em um plano, ou seja, sua imagem plana.
Como construir projeções de corpos volumétricos?
Imagine que você tem uma estrutura de um corpo tridimensional - um prisma, uma pirâmide ou um cilindro. Iluminando-o com um feixe de luz paralelo, obtemos uma imagem - uma sombra na parede ou na tela. Observe que imagens diferentes são obtidas de ângulos diferentes, mas alguns padrões ainda estão presentes:
A projeção do segmento será o segmento.
Obviamente, se o segmento for perpendicular ao plano de projeção, ele será exibido em um ponto.
No caso geral, a projeção de um círculo será uma elipse.
A projeção de um retângulo é um paralelogramo.
Aqui está como a projeção de um cubo em um plano se parece:
Aqui as faces frontal e traseira são paralelas ao plano de projeção
Você pode fazer diferente:
Seja qual for o ângulo que escolhermos, projeções de segmentos paralelos no desenho também serão segmentos paralelos. Este é um dos princípios da projeção paralela.
Desenhamos projeções da pirâmide,
cilindro:
Mais uma vez, repetimos o princípio básico da projeção paralela. Selecionamos o plano de projeção e traçamos linhas retas paralelas entre si através de cada ponto do corpo volumétrico. Essas linhas interceptam o plano de projeção em algum ângulo. Se este ângulo é de 90°, é projeção retangular. Com a ajuda da projeção retangular, são construídos desenhos de peças tridimensionais em engenharia. Neste caso, estamos falando de vista superior, vista frontal e vista lateral.
Demonstração detalhada do teorema da projeção ortogonal do polígono
Se - projeção de um apartamento n -gon para um plano, então, onde é o ângulo entre os planos dos polígonos e. Em outras palavras, a área de projeção de um polígono plano é igual ao produto da área do polígono projetado e o cosseno do ângulo entre o plano de projeção e o plano do polígono projetado.
Prova. EU etapa. Vamos fazer a prova primeiro para o triângulo. Vamos considerar 5 casos.
1 caso. deite-se no plano de projeção .
Let Ser as projeções de pontos sobre o plano, respectivamente. No nosso caso. Vamos supor isso. Seja - altura, então pelo teorema das três perpendiculares, podemos concluir que - altura (- a projeção do inclinado, - sua base e a linha reta passam pela base do inclinado, além disso).
Considerar. É retangular. Por definição de cosseno:
Por outro lado, como e, então, por definição, é o ângulo linear do ângulo diedro formado pelos semiplanos dos planos e com a linha de fronteira, e, portanto, sua medida é também a medida do ângulo entre os planos de projeção do triângulo e o próprio triângulo, ou seja.
Encontre a razão entre a área e:
Observe que a fórmula permanece verdadeira mesmo quando . Nesse caso
2º caso. Encontra-se apenas no plano de projeção e é paralelo ao plano de projeção .
Let Ser as projeções de pontos sobre o plano, respectivamente. No nosso caso.
Vamos desenhar uma linha reta através do ponto. No nosso caso, a linha reta intercepta o plano de projeção, o que significa que, pelo lema, a linha reta também intercepta o plano de projeção. Seja em um ponto Desde, então os pontos estão no mesmo plano, e como é paralelo ao plano de projeção, segue do sinal de paralelismo da linha reta e do plano que. Portanto, é um paralelogramo. Considere e. Eles são iguais em três lados (- comuns, como lados opostos de um paralelogramo). Observe que o quadrilátero é um retângulo e é igual (ao longo do cateto e da hipotenusa), portanto, é igual em três lados. É por isso.
Para 1 caso é aplicável:, ou seja.
3º caso. Encontra-se apenas no plano de projeção e não é paralelo ao plano de projeção .
Seja o ponto o ponto de interseção da linha com o plano de projeção. Notemos que i. Em 1 ocasião: i. Assim obtemos que
4 caso. Os vértices não estão no plano de projeção . Considere perpendiculares. Pegue a menor entre essas perpendiculares. Seja perpendicular. Pode acontecer que apenas, ou apenas. Então ainda tomamos.
Vamos separar um ponto de um ponto em um segmento, de modo que e de um ponto em um segmento, um ponto, de modo que. Tal construção é possível, pois - a menor das perpendiculares. Observe que é uma projeção e, por construção. Vamos provar que e são iguais.
Vamos considerar um quadrilátero. Por condição - perpendiculares a um plano, portanto, de acordo com o teorema, portanto. Como por construção, então, com base em um paralelogramo (em lados opostos paralelos e iguais), podemos concluir que - um paralelogramo. Meios, . Prova-se igualmente que, . Portanto, E são iguais em três lados. Então. Observe que e, como lados opostos de paralelogramos, portanto, com base no paralelismo dos planos, . Como esses planos são paralelos, eles formam o mesmo ângulo com o plano de projeção.
Para os casos anteriores aplicam-se:
5 caso. O plano de projeção cruza os lados . Vejamos as linhas retas. Eles são perpendiculares ao plano de projeção, então pelo teorema eles são paralelos. Em raios codirigidos com origens em pontos, separamos segmentos iguais, respectivamente, de modo que os vértices fiquem fora do plano de projeção. Observe que é uma projeção e, por construção. Vamos mostrar que é igual.
Desde e, por construção, então. Portanto, com base em um paralelogramo (em dois lados iguais e paralelos), - um paralelogramo. Pode-se provar que e são paralelogramos. Mas então, e (como lados opostos), portanto, é igual em três lados. Meios, .
Além disso, e, portanto, com base no paralelismo dos planos. Como esses planos são paralelos, eles formam o mesmo ângulo com o plano de projeção.
Para o caso aplicável 4:.
II etapa. Vamos dividir um polígono plano em triângulos usando diagonais desenhadas a partir do vértice: Então, de acordo com os casos anteriores para triângulos: .
Q.E.D.
Capítulo IV. Linhas e planos no espaço. Poliedros
§ 55. Área de projeção de um polígono.
Lembre-se de que o ângulo entre uma linha e um plano é o ângulo entre uma determinada linha e sua projeção no plano (Fig. 164).
Teorema. A área da projeção ortogonal do polígono no plano é igual à área do polígono projetado multiplicado pelo cosseno do ângulo formado pelo plano do polígono e o plano de projeção.
Cada polígono pode ser dividido em triângulos, cuja soma das áreas é igual à área do polígono. Portanto, basta provar o teorema para um triângulo.
Deixe ser /\
ABC é projetado em um plano R. Considere dois casos:
a) uma das partes /\
ABC é paralelo ao plano R;
b) nenhuma das partes /\
ABC não é paralelo R.
Considerar primeiro caso: deixe [AB] || R.
Desenhe através do plano (AB) R 1 || R e projetar ortogonalmente /\
ABC ligado R 1 em diante R(Fig. 165); Nós temos /\
ABC 1 e /\
ABDÔMEN".
Pela propriedade de projeção, temos /\
ABC 1 /\
A"B"C" e, portanto,
S /\ ABC1=S /\ ABC"
Vamos desenhar _|_ e o segmento D 1 C 1 . Então _|_ , a = φ é o ângulo entre o plano /\ ABC e avião R 1 . então
S /\ ABC1 = 1 / 2 | AB | | C 1 D 1 | = 1 / 2 | AB | | CD 1 | cos φ = S /\ ABC cos φ
e, portanto, S /\ A"B"C" = S /\ ABC cos φ.
Vamos para a consideração segundo caso. Desenhe um avião R 1 || R sobre aquele pico /\
ABC, a distância da qual até o avião R o menor (seja o vértice A).
Nós vamos projetar /\
ABC em um avião R 1 e R(Fig. 166); deixe suas projeções serem respectivamente /\
AB 1 C 1 e /\
ABDÔMEN".
Deixe (sol) p 1 = D. Então
S /\ A"B"C" = S /\ AB1 C1 = S /\ ADC1-S /\ ADB1 = (S /\ ADC-S /\ ADB) cos φ = S /\ ABC cos φ
Tarefa. Um plano é desenhado através do lado da base de um prisma triangular regular com um ângulo φ = 30° em relação ao plano de sua base. Encontre a área da seção resultante se o lado da base do prisma uma= 6cm.
Vamos representar a seção deste prisma (Fig. 167). Como o prisma é regular, suas arestas laterais são perpendiculares ao plano da base. Meios, /\ ABC é uma projeção /\ ADC, então
Considere o avião p e a linha que o cruza . Deixe ser MAS é um ponto arbitrário no espaço. Desenhe uma linha através deste ponto , paralela à linha . Deixe ser . Ponto é chamado de projeção pontual MAS para o avião p em projeto paralelo ao longo de uma determinada linha . Plano p , no qual os pontos do espaço são projetados é chamado de plano de projeção.
p - plano de projeção;
- projeto direto; ;
; ; ;
Projeto ortogonalé um caso especial de projeto paralelo. A projeção ortogonal é uma projeção paralela na qual a linha de projeção é perpendicular ao plano de projeção. A projeção ortogonal é muito utilizada no desenho técnico, onde uma figura é projetada em três planos - horizontal e dois verticais.
Definição:
Projeção ortográfica de um ponto M para o avião p chamado de base M 1 perpendicular MM 1, baixado do ponto M para o avião p.
Designação: , 
, .
Definição: Projeção ortográfica da figura F para o avião pé o conjunto de todos os pontos do plano que são projeções ortogonais do conjunto de pontos da figura F para o avião p.
O projeto ortogonal, como um caso especial de projeto paralelo, tem as mesmas propriedades:
p - plano de projeção;
- projeto direto; ;
1) ;
2) , .
- As projeções de linhas paralelas são paralelas.
ÁREA DE PROJEÇÃO DE UMA FIGURA PLANA
Teorema: A área da projeção de um polígono plano em um determinado plano é igual à área do polígono projetado multiplicado pelo cosseno do ângulo entre o plano do polígono e o plano de projeção.
Etapa 1: A figura projetada é um triângulo ABC, cujo lado AC está no plano de projeção a (paralelo ao plano de projeção a).
Dado:
Provar:
Prova:
1. ; ;
2. ; ; ; ;
3. ; 
;
4. De acordo com o teorema das três perpendiculares;
ВD - altura; Em 1 D - altura;
5. - ângulo linear do ângulo diedro;
6. ; ; ; 
;
Etapa 2: A figura projetada é um triângulo ABC, nenhum dos lados está no plano de projeção a e não é paralelo a ele.
Dado:
Provar:
Prova:
1. ; ;
2. ; ;
4. ; ; ;
(Estágio 1);
5. ; ; ;
(Estágio 1);
Palco: A figura projetada é um polígono arbitrário.
Prova:
O polígono é dividido por diagonais desenhadas de um vértice em um número finito de triângulos, para cada um dos quais o teorema é verdadeiro. Portanto, o teorema também será verdadeiro para a soma das áreas de todos os triângulos cujos planos formam o mesmo ângulo com o plano de projeção.
Comente: O teorema provado é válido para qualquer figura plana limitada por uma curva fechada.
Exercícios:
1. Encontre a área de um triângulo cujo plano é inclinado em relação ao plano de projeção em um ângulo se sua projeção for um triângulo regular de lado a.
2. Encontre a área de um triângulo cujo plano é inclinado em relação ao plano de projeção em um ângulo se sua projeção for um triângulo isósceles com um lado de 10 cm e uma base de 12 cm.
3. Encontre a área de um triângulo cujo plano é inclinado em relação ao plano de projeção em um ângulo se sua projeção for um triângulo com lados 9, 10 e 17 cm.
4. Calcule a área do trapézio, cujo plano é inclinado em relação ao plano de projeção em um ângulo se sua projeção for um trapézio isósceles, cuja base maior é de 44 cm, o lado é de 17 cm e a diagonal é 39cm.
5. Calcule a área de projeção de um hexágono regular com um lado de 8 cm, cujo plano é inclinado em relação ao plano de projeção em um ângulo.
6. Um losango de lado 12 cm e ângulo agudo forma um ângulo com um determinado plano. Calcule a área da projeção do losango neste plano.
7. Um losango de lado 20 cm e diagonal de 32 cm forma um ângulo com um determinado plano. Calcule a área da projeção do losango neste plano.
8. A projeção do dossel em um plano horizontal é um retângulo com lados e . Encontre a área do dossel se as faces laterais forem retângulos iguais inclinados ao plano horizontal em um ângulo , e a parte do meio do dossel for um quadrado paralelo ao plano de projeção.
11. Exercícios sobre o tema "Linhas e planos no espaço":
Os lados do triângulo são 20 cm, 65 cm, 75 cm. Uma perpendicular igual a 60 cm é traçada do vértice do ângulo maior do triângulo ao seu plano. Encontre a distância das extremidades da perpendicular ao lado maior do triângulo.
2. De um ponto separado do plano a uma distância de cm, traçam-se dois inclinados, formando ângulos com o plano igual a , e entre si - um ângulo reto. Encontre a distância entre os pontos de interseção do plano inclinado.
3. O lado de um triângulo regular mede 12 cm O ponto M é escolhido de modo que os segmentos que ligam o ponto M com todos os vértices do triângulo formem ângulos com o seu plano. Encontre a distância do ponto M aos vértices e lados do triângulo.
4. Um plano é desenhado através do lado do quadrado formando um ângulo com a diagonal do quadrado. Encontre os ângulos nos quais dois lados do quadrado estão inclinados em relação ao plano.
5. O cateto de um triângulo retângulo isósceles está inclinado em relação ao plano a que passa pela hipotenusa em um ângulo. Prove que o ângulo entre o plano a e o plano do triângulo é .
6. O ângulo diedro entre os planos dos triângulos ABC e DBC é . Encontre AD se AB = AC = 5 cm, BC = 6 cm, BD = DC = cm.
Questões de controle sobre o tema "Linhas e planos no espaço"
1. Liste os conceitos básicos de estereometria. Formule os axiomas da estereometria.
2. Prove as consequências dos axiomas.
3. Qual é a posição relativa de duas linhas no espaço? Defina linhas que se cruzam, paralelas e que se cruzam.
4. Prove o critério de interseção de linhas.
5. Qual é a posição relativa da linha e do plano? Dê definições de interseção, linhas paralelas e planos.
6. Prove o sinal de paralelismo de uma reta e um plano.
7. Qual é a posição relativa dos dois planos?
8. Defina planos paralelos. Prove um critério para o paralelismo de dois planos. Formule teoremas sobre planos paralelos.
9. Defina o ângulo entre as linhas.
10. Prove o sinal de perpendicularidade de uma reta e um plano.
11. Dê definições da base da perpendicular, da base da oblíqua, da projeção da oblíqua em um plano. Formule as propriedades da perpendicular e da oblíqua, abaixadas ao plano a partir de um ponto.
12. Defina o ângulo entre uma linha reta e um plano.
13. Prove o teorema sobre três perpendiculares.
14. Dê definições de um ângulo diedro, um ângulo linear de um ângulo diedro.
15. Prove o sinal de perpendicularidade de dois planos.
16. Defina a distância entre dois pontos diferentes.
17. Defina a distância de um ponto a uma linha.
18. Defina a distância de um ponto a um plano.
19. Defina a distância entre uma linha reta e um plano paralelo a ela.
20. Defina a distância entre planos paralelos.
21. Defina a distância entre as linhas inclinadas.
22. Defina a projeção ortogonal de um ponto em um plano.
23. Defina a projeção ortogonal de uma figura em um plano.
24. Formule propriedades de projeções em um plano.
25. Formule e prove um teorema sobre a área de projeção de um polígono plano.
