Equações logarítmicas. Do simples ao complexo.

Atenção!
Existem adicionais
material na Seção Especial 555.
Para aqueles que fortemente "não muito..."
E para aqueles que "muito...")

O que é uma equação logarítmica?

Esta é uma equação com logaritmos. Fiquei surpreso, né?) Depois eu esclareço. Esta é uma equação na qual as incógnitas (x) e as expressões com elas são dentro de logaritmos. E só lá! É importante.

Aqui estão alguns exemplos equações logarítmicas:

log 3 x = log 3 9

log 3 (x 2 -3) = log 3 (2x)

log x + 1 (x 2 + 3x-7) = 2

lg 2 (x+1)+10 = 11lg(x+1)

Bom, você entendeu a ideia... )

Observação! As mais diversas expressões com x's estão localizadas exclusivamente dentro de logaritmos. Se, de repente, um x for encontrado em algum lugar da equação fora, Por exemplo:

log 2 x = 3+x,

esta será uma equação do tipo misto. Tais equações não têm regras claras para resolver. Não vamos considerá-los por enquanto. A propósito, existem equações onde dentro dos logaritmos apenas números. Por exemplo:

O que posso dizer? Você tem sorte se se deparar com isso! O logaritmo com números é algum número. E é isso. Basta conhecer as propriedades dos logaritmos para resolver tal equação. Conhecimento de regras especiais, técnicas adaptadas especificamente para resolver equações logarítmicas, não é necessário aqui.

Então, o que é uma equação logarítmica- descobri.

Como resolver equações logarítmicas?

Decisão equações logarítmicas- uma coisa, em geral, não é muito simples. Portanto, a seção que temos é para quatro ... É necessário um suprimento decente de conhecimento em todos os tipos de tópicos relacionados. Além disso, há uma característica especial nessas equações. E esse recurso é tão importante que pode ser chamado com segurança de principal problema na resolução de equações logarítmicas. Vamos lidar com esse problema em detalhes na próxima lição.

Agora, não se preocupe. Nós vamos no caminho certo do simples ao complexo. Em exemplos específicos. O principal é se aprofundar em coisas simples e não ter preguiça de seguir os links, eu os coloco por um motivo... E você terá sucesso. Necessariamente.

Vamos começar com as equações mais elementares e simples. Para resolvê-los, é desejável ter uma ideia sobre o logaritmo, mas nada mais. Só não faço ideia logaritmo tomar uma decisão logarítmico equações - de alguma forma até embaraçoso ... Muito ousado, eu diria).

As equações logarítmicas mais simples.

Estas são equações da forma:

1. log 3 x = log 3 9

2. log 7 (2x-3) = log 7 x

3. registro 7 (50x-1) = 2

Processo de solução qualquer equação logarítmica consiste na transição de uma equação com logaritmos para uma equação sem eles. Nas equações mais simples, essa transição é realizada em uma única etapa. Por isso é simples.)

E essas equações logarítmicas são resolvidas de maneira surpreendentemente simples. Veja por si mesmo.

Vamos resolver o primeiro exemplo:

log 3 x = log 3 9

Para resolver este exemplo, você não precisa saber quase nada, sim... Pura intuição!) especialmente não gosta deste exemplo? Algo... Eu não gosto de logaritmos! Corretamente. Aqui nos livramos deles. Observamos atentamente o exemplo e surge em nós um desejo natural... Absolutamente irresistível! Pegue e jogue fora logaritmos em geral. E o que agrada é posso Faz! A matemática permite. Os logaritmos desaparecem a resposta é:

É ótimo, certo? Isso pode (e deve) sempre ser feito. Eliminar logaritmos dessa maneira é uma das principais maneiras de resolver equações e desigualdades logarítmicas. Em matemática, essa operação é chamada de potenciação. Existem, é claro, suas próprias regras para tal liquidação, mas são poucas. Lembrar:

Você pode eliminar logaritmos sem medo se eles tiverem:

a) as mesmas bases numéricas

c) os logaritmos esquerdo-direito estão limpos (sem coeficientes) e estão em esplêndido isolamento.

Deixe-me explicar o último ponto. Na equação, digamos

log 3 x = 2 log 3 (3x-1)

logaritmos não podem ser removidos. O empate à direita não permite. Coeficiente, você sabe... No exemplo

log 3 x + log 3 (x + 1) = log 3 (3 + x)

a equação também não pode ser potencializada. Não há logaritmo solitário no lado esquerdo. Existem dois deles.

Em resumo, você pode remover logaritmos se a equação se parecer com isso e apenas com isso:

log a (.....) = log a (.....)

Entre parênteses, onde as reticências podem ser qualquer tipo de expressão. Simples, super complexo, tanto faz. Qualquer que seja. O importante é que depois de eliminar os logaritmos, ficamos com uma equação mais simples. Supõe-se, é claro, que você já saiba como resolver equações lineares, quadráticas, fracionárias, exponenciais e outras sem logaritmos.)

Agora você pode resolver facilmente o segundo exemplo:

log 7 (2x-3) = log 7 x

Na verdade, está na mente. Potenciamos, obtemos:

Bem, é muito difícil?) Como você pode ver, logarítmico parte da solução da equação é apenas na eliminação de logaritmos... E então vem a solução da equação restante já sem eles. Negócio de resíduos.

Resolvemos o terceiro exemplo:

log 7 (50x-1) = 2

Vemos que o logaritmo está à esquerda:

Lembramos que esse logaritmo é algum número ao qual a base (ou seja, sete) deve ser elevada para obter uma expressão sublogarítmica, ou seja, (50x-1).

Mas esse número é dois! De acordo com a equação. Isso é:

Isso, em essência, é tudo. Logaritmo desaparecido a equação inofensiva permanece:

Resolvemos esta equação logarítmica com base apenas no significado do logaritmo. É mais fácil eliminar logaritmos?) Concordo. A propósito, se você fizer um logaritmo de dois, poderá resolver este exemplo por meio de liquidação. Você pode obter um logaritmo de qualquer número. E do jeito que precisamos. Uma técnica muito útil para resolver equações logarítmicas e (especialmente!) desigualdades.

Você sabe como fazer um logaritmo de um número!? Tudo bem. A Seção 555 descreve essa técnica em detalhes. Você pode dominá-lo e aplicá-lo ao máximo! Reduz muito o número de erros.

A quarta equação é resolvida exatamente da mesma maneira (por definição):

Isso é tudo o que há para isso.

Vamos resumir esta lição. Consideramos a solução das equações logarítmicas mais simples usando exemplos. É muito importante. E não apenas porque tais equações estão em exames de controle. O fato é que mesmo as equações mais malignas e confusas são necessariamente reduzidas às mais simples!

Na verdade, as equações mais simples são a parte final da solução algum equações. E esta parte de acabamento deve ser entendida ironicamente! E mais. Não deixe de ler esta página até o final. Tem uma surpresa...

Vamos decidir por conta própria. Enchemos a mão, por assim dizer...)

Encontre a raiz (ou a soma das raízes, se houver várias) das equações:

ln(7x+2) = ln(5x+20)

log 2 (x 2 +32) = log 2 (12x)

log 16 (0,5x-1,5) = 0,25

log 0,2 (3x-1) = -3

ln (e 2 + 2x-3) \u003d 2

log 2 (14x) = log 2 7 + 2

Respostas (em desordem, é claro): 42; 12; nove; 25; 7; 1,5; 2; dezesseis.

O que não dá certo? Acontece. Não chore! Na seção 555, a solução para todos esses exemplos é descrita de forma clara e detalhada. Com certeza você vai descobrir lá. Além disso, você aprenderá técnicas práticas úteis.

Deu tudo certo!? Todos os exemplos de "um à esquerda"?) Parabéns!

É hora de revelar a verdade amarga para você. A solução bem-sucedida desses exemplos não garante o sucesso na resolução de todas as outras equações logarítmicas. Mesmo simples como esses. Infelizmente.

O ponto é que a solução de qualquer equação logarítmica (mesmo a mais elementar!) duas partes iguais. Solução da equação e trabalho com ODZ. Uma parte - a solução da própria equação - nós dominamos. Não é tão difícil direita?

Para esta lição, selecionei especialmente exemplos em que o ODZ não afeta a resposta de forma alguma. Mas nem todo mundo é tão gentil quanto eu, certo?...)

Portanto, é necessário dominar a outra parte também. ODZ. Este é o principal problema na resolução de equações logarítmicas. E não porque seja difícil - esta parte é ainda mais fácil que a primeira. Mas porque eles simplesmente esquecem o ODZ. Ou eles não sabem. Ou ambos). E caem no chão...

Na próxima lição, vamos lidar com esse problema. Então será possível decidir com confiança algum equações logarítmicas simples e chegar perto de tarefas bastante sólidas.

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A propósito, tenho mais alguns sites interessantes para você.)

Você pode praticar a resolução de exemplos e descobrir seu nível. Testes com verificação instantânea. Aprendendo - com interesse!)

você pode se familiarizar com funções e derivadas.

Muitos alunos ficam presos em equações desse tipo. Ao mesmo tempo, as tarefas em si não são complexas - basta executar uma substituição de variável competente, para a qual você deve aprender a isolar expressões estáveis.

Além desta lição, você encontrará um trabalho independente bastante volumoso, composto por duas opções com 6 tarefas cada.

Método de agrupamento

Hoje vamos analisar duas equações logarítmicas, uma das quais não pode ser resolvida "por completo" e requer transformações especiais, e a segunda... porém, não vou contar tudo de uma vez. Assista ao vídeo, baixe trabalhos independentes - e aprenda a resolver problemas complexos.

Então, agrupando e tirando os fatores comuns do suporte. Além disso, direi quais armadilhas o domínio da definição de logaritmos carrega e como pequenas observações sobre o domínio das definições podem alterar significativamente tanto as raízes quanto toda a solução.

Vamos começar com o agrupamento. Precisamos resolver a seguinte equação logarítmica:

log 2 x log 2 (x − 3) + 1 = log 2 (x 2 − 3x )

Em primeiro lugar, notamos que x 2 − 3x pode ser fatorado:

log 2 x (x − 3)

Então nos lembramos da fórmula maravilhosa:

log a fg = log a f + log a g

Imediatamente uma pequena nota: esta fórmula funciona bem quando a, f e g são números comuns. Mas quando há funções em vez delas, essas expressões deixam de ser iguais em direitos. Imagine esta situação hipotética:

f< 0; g < 0

Nesse caso, o produto fg será positivo, portanto, log a ( fg ) existirá, mas log a f e log a g não existirão separadamente, e não poderemos realizar tal transformação.

Ignorar este fato levará a um estreitamento do domínio de definição e, como resultado, à perda de raízes. Portanto, antes de realizar tal transformação, é necessário certificar-se antecipadamente de que as funções f e g são positivas.

No nosso caso, tudo é simples. Como existe uma função log 2 x na equação original, então x > 0 (afinal, a variável x está no argumento). Há também log 2 (x − 3), então x − 3 > 0.

Portanto, na função log 2 x (x − 3) cada fator será maior que zero. Portanto, podemos decompor com segurança o produto na soma:

log 2 x log 2 (x − 3) + 1 = log 2 x + log 2 (x − 3)

log 2 x log 2 (x − 3) + 1 − log 2 x − log 2 (x − 3) = 0

À primeira vista, pode parecer que não ficou mais fácil. Pelo contrário: o número de termos só aumentou! Para entender como prosseguir, introduzimos novas variáveis:

log 2 x = a

log 2 (x − 3) = b

a b + 1 − a − b = 0

E agora agrupamos o terceiro termo com o primeiro:

(a b - a) + (1 - b) = 0

a (1 b - 1) + (1 - b) = 0

Observe que o primeiro e o segundo colchetes contêm b − 1 (no segundo caso, você terá que tirar o “menos” do colchete). Vamos fatorar nossa construção:

a (1 b − 1) − (b − 1) = 0

(b − 1)(a 1 − 1) = 0

E agora lembramos nossa maravilhosa regra: o produto é igual a zero quando pelo menos um dos fatores é igual a zero:

b − 1 = 0 ⇒ b = 1;

a − 1 = 0 ⇒ a = 1.

Vamos lembrar o que b e a são. Obtemos duas equações logarítmicas simples em que tudo o que resta é se livrar dos sinais de log e igualar os argumentos:

log 2 x = 1 ⇒ log 2 x = log 2 2 ⇒ x 1 =2;

log 2 (x − 3) = 1 ⇒ log 2 (x − 3) = log 2 2 ⇒ x 2 = 5

Temos duas raízes, mas isso não é uma solução para a equação logarítmica original, mas apenas candidatos para a resposta. Agora vamos verificar o domínio. Para o primeiro argumento:

x > 0

Ambas as raízes satisfazem o primeiro requisito. Vamos para o segundo argumento:

x − 3 > 0 ⇒ x > 3

Mas aqui já x = 2 não nos satisfaz, mas x = 5 nos convém muito bem. Portanto, a única resposta é x = 5.

Passamos para a segunda equação logarítmica. À primeira vista, é muito mais simples. No entanto, no processo de resolvê-lo, consideraremos pontos sutis relacionados ao domínio da definição, cuja ignorância complica significativamente a vida dos alunos iniciantes.

log 0,7 (x 2 - 6x + 2) = log 0,7 (7 - 2x)

Diante de nós está a forma canônica da equação logarítmica. Você não precisa converter nada - até as bases são as mesmas. Portanto, simplesmente igualamos os argumentos:

x 2 - 6x + 2 = 7 - 2x

x 2 - 6x + 2 - 7 + 2x = 0

x 2 - 4x - 5 = 0

Diante de nós está a equação quadrática dada, ela é facilmente resolvida usando as fórmulas Vieta:

(x − 5) (x + 1) = 0;

x − 5 = 0 ⇒ x = 5;

x + 1 = 0 ⇒ x = −1.

Mas essas raízes ainda não são respostas definitivas. É necessário encontrar o domínio de definição, pois existem dois logaritmos na equação original, ou seja, é estritamente necessário levar em conta o domínio da definição.

Então, vamos escrever o domínio da definição. Por um lado, o argumento do primeiro logaritmo deve ser maior que zero:

x 2 − 6x + 2 > 0

Por outro lado, o segundo argumento também deve ser maior que zero:

7 − 2x > 0

Esses requisitos devem ser atendidos ao mesmo tempo. E aqui começa o mais interessante. É claro que podemos resolver cada uma dessas desigualdades, depois intersectá-las e encontrar o domínio de toda a equação. Mas por que tornar a vida tão difícil para si mesmo?

Vamos notar uma sutileza. Livrando-se dos sinais de log, igualamos os argumentos. Isso implica que os requisitos x 2 − 6x + 2 > 0 e 7 − 2x > 0 são equivalentes. Como consequência, qualquer uma das duas desigualdades pode ser riscada. Vamos riscar o mais difícil e deixar a desigualdade linear usual para nós mesmos:

-2x > -7

x< 3,5

Como estávamos dividindo ambos os lados por um número negativo, o sinal da desigualdade mudou.

Assim, encontramos a ODZ sem quaisquer desigualdades quadradas, discriminantes e interseções. Agora resta apenas escolher as raízes que se encontram nesse intervalo. Obviamente, apenas x = −1 nos servirá, porque x = 5 > 3,5.

Você pode escrever a resposta: x = 1 é a única solução para a equação logarítmica original.

As conclusões desta equação logarítmica são as seguintes:

1. Não tenha medo de fatorar logaritmos e depois fatorar a soma dos logaritmos. No entanto, lembre-se de que, ao dividir o produto na soma de dois logaritmos, você restringe o domínio da definição. Portanto, antes de realizar tal conversão, certifique-se de verificar quais são os requisitos do escopo. Na maioria das vezes, não surgem problemas, mas não faz mal jogar pelo seguro mais uma vez.
2. Ao se livrar da forma canônica, tente otimizar os cálculos. Em particular, se for exigido que f > 0 e g > 0, mas na própria equação f = g , então riscamos corajosamente uma das desigualdades, deixando apenas a mais simples para nós. Nesse caso, o domínio de definição e respostas não sofrerá de forma alguma, mas a quantidade de cálculos será significativamente reduzida.

Isso, na verdade, é tudo o que eu queria dizer sobre o agrupamento. :)

Erros típicos na resolução

Hoje vamos analisar duas equações logarítmicas típicas que muitos estudantes tropeçam. No exemplo dessas equações, veremos quais erros são cometidos com mais frequência no processo de resolução e transformação das expressões originais.

Equações racionais fracionárias com logaritmos

Deve-se notar imediatamente que este é um tipo bastante insidioso de equação, em que uma fração com um logaritmo em algum lugar no denominador nem sempre está imediatamente presente. No entanto, no processo de transformações, essa fração necessariamente surgirá.

Ao mesmo tempo, tenha cuidado: no processo de transformações, o domínio inicial de definição de logaritmos pode mudar significativamente!

Voltamo-nos para equações logarítmicas ainda mais rígidas contendo frações e bases variáveis. Para fazer mais em uma lição curta, não vou contar uma teoria elementar. Vamos direto às tarefas:

4 log 25 (x − 1) − log 3 27 + 2 log x − 1 5 = 1

Olhando para esta equação, alguém perguntará: “O que a equação racional fracionária tem a ver com isso? Onde está a fração nesta equação? Não vamos nos apressar e dar uma olhada em cada termo.

Primeiro termo: 4 log 25 (x − 1). A base do logaritmo é um número, mas o argumento é uma função de x. Não podemos fazer nada sobre isso ainda. Ir em frente.

O próximo termo é log 3 27. Lembre-se que 27 = 3 3 . Portanto, podemos reescrever todo o logaritmo da seguinte forma:

log 3 27 = 3 3 = 3

Então o segundo termo é apenas um três. O terceiro termo: 2 log x − 1 5. Nem tudo aqui também é simples: a base é uma função, o argumento é um número comum. Proponho inverter todo o logaritmo de acordo com a seguinte fórmula:

log a b = 1/log b a

Tal transformação só pode ser realizada se b ≠ 1. Caso contrário, o logaritmo que será obtido no denominador da segunda fração simplesmente não existirá. No nosso caso, b = 5, então está tudo bem:

2 log x − 1 5 = 2/log 5 (x − 1)

Vamos reescrever a equação original levando em consideração as transformações obtidas:

4 log 25 (x − 1) − 3 + 2/ log 5 (x − 1) = 1

Temos log 5 (x − 1) no denominador da fração e log 25 (x − 1) no primeiro termo. Mas 25 \u003d 5 2, então tiramos o quadrado da base do logaritmo de acordo com a regra:

Em outras palavras, o expoente na base do logaritmo se torna a fração na frente. E a expressão será reescrita assim:

4 1/2 log 5 (x − 1) − 3 + 2/ log 5 (x − 1) − 1 = 0

Acabamos com uma longa equação com um monte de logaritmos idênticos. Vamos introduzir uma nova variável:

log 5 (x − 1) = t;

2t − 4 + 2/t = 0;

Mas esta já é uma equação fracional-racional, que é resolvida por meio da álgebra das séries 8-9. Primeiro, vamos dividi-lo em dois:

t − 2 + 1/t = 0;

(t 2 − 2t + 1)/t = 0

O quadrado exato está entre colchetes. Vamos enrolar:

(t − 1) 2 /t = 0

Uma fração é zero quando seu numerador é zero e seu denominador é diferente de zero. Nunca se esqueça deste fato:

(t − 1) 2 = 0

t=1

t ≠ 0

Vamos lembrar o que é t:

log 5 (x − 1) = 1

log 5 (x − 1) = log 5 5

Nós nos livramos dos sinais de log, igualamos seus argumentos e obtemos:

x − 1 = 5 ⇒ x = 6

Tudo. Problema resolvido. Mas vamos voltar à equação original e lembrar que havia dois logaritmos com a variável x ao mesmo tempo. Portanto, você precisa escrever o domínio de definição. Como x − 1 está no argumento do logaritmo, esta expressão deve ser maior que zero:

x − 1 > 0

Por outro lado, o mesmo x − 1 também está presente na base, portanto deve diferir de um:

x − 1 ≠ 1

Daí concluímos:

x > 1; x ≠ 2

Esses requisitos devem ser atendidos ao mesmo tempo. O valor x = 6 satisfaz ambos os requisitos, então x = 6 é a solução final para a equação logarítmica.

Vamos para a segunda tarefa:

Novamente, não vamos nos apressar e olhar para cada termo:

log 4 (x + 1) - há um quatro na base. O número usual, e você não pode tocá-lo. Mas da última vez nos deparamos com um quadrado exato na base, que teve que ser retirado sob o sinal do logaritmo. Vamos fazer o mesmo agora:

log 4 (x + 1) = 1/2 log 2 (x + 1)

O truque é que já temos um logaritmo com a variável x , embora na base - é o inverso do logaritmo que acabamos de encontrar:

8 log x + 1 2 = 8 (1/log 2 (x + 1)) = 8/log 2 (x + 1)

O próximo termo é log 2 8. Esta é uma constante, pois tanto o argumento quanto a base são números comuns. Vamos encontrar o valor:

log 2 8 = log 2 2 3 = 3

Podemos fazer o mesmo com o último logaritmo:

Agora vamos reescrever a equação original:

1/2 log 2 (x + 1) + 8/log 2 (x + 1) − 3 − 1 = 0;

log 2 (x + 1)/2 + 8/log 2 (x + 1) − 4 = 0

Vamos trazer tudo para um denominador comum:

Diante de nós está novamente uma equação fracional-racional. Vamos introduzir uma nova variável:

t = log 2 (x + 1)

Vamos reescrever a equação levando em consideração a nova variável:

Cuidado: nesta etapa, troquei os termos. O numerador da fração é o quadrado da diferença:

Como da última vez, uma fração é zero quando seu numerador é zero e seu denominador é diferente de zero:

(t − 4) 2 = 0 ⇒ t = 4;

t ≠ 0

Temos uma raiz que atende a todos os requisitos, então voltamos para a variável x:

log 2 (x + 1) = 4;

log 2 (x + 1) = log 2 2 4;

x + 1 = 16;

x=15

Pronto, resolvemos a equação. Mas como havia vários logaritmos na equação original, é necessário escrever o domínio de definição.

Então, a expressão x + 1 está no argumento do logaritmo. Portanto, x + 1 > 0. Por outro lado, x + 1 também está presente na base, ou seja. x + 1 ≠ 1. Total:

0 ≠ x > −1

A raiz encontrada atende a esses requisitos? Sem dúvida. Portanto, x = 15 é a solução para a equação logarítmica original.

Por fim, gostaria de dizer o seguinte: se você olhar para a equação e entender que precisa resolver algo complexo e fora do padrão, tente destacar estruturas estáveis, que posteriormente serão denotadas por outra variável. Se alguns termos não contêm a variável x, eles podem ser simplesmente calculados.

Era sobre isso que eu queria falar hoje. Espero que esta lição o ajude a resolver equações logarítmicas complexas. Assista a outros tutoriais em vídeo, baixe e resolva trabalhos independentes e nos vemos no próximo vídeo!

Nesta lição, repetiremos os fatos teóricos básicos sobre logaritmos e consideraremos a solução das equações logarítmicas mais simples.

Lembre-se da definição central - a definição do logaritmo. Ele está conectado com a solução da equação exponencial. Esta equação tem uma única raiz, é chamado de logaritmo de b para a base a:

Definição:

O logaritmo do número b à base a é o expoente ao qual a base a deve ser elevada para obter o número b.

Lembrar identidade logarítmica básica.

A expressão (expressão 1) é a raiz da equação (expressão 2). Substituímos o valor de x da expressão 1 em vez de x na expressão 2 e obtemos a identidade logarítmica básica:

Assim, vemos que a cada valor é atribuído um valor. Denotamos b para x (), c para y, e assim obtemos a função logarítmica:

Por exemplo:

Lembre-se das propriedades básicas da função logarítmica.

Vamos prestar atenção mais uma vez, aqui, porque sob o logaritmo pode haver uma expressão estritamente positiva, como a base do logaritmo.

Arroz. 1. Gráfico da função logarítmica para várias bases

O gráfico da função em é mostrado em preto. Arroz. 1. Se o argumento aumenta de zero a infinito, a função aumenta de menos a mais infinito.

O gráfico da função em é mostrado em vermelho. Arroz. 1.

Propriedades desta função:

Domínio: ;

Faixa de valores: ;

A função é monotônica em todo o seu domínio de definição. Quando monotonicamente (estritamente) aumenta, o maior valor do argumento corresponde ao maior valor da função. Quando monotonicamente (estritamente) diminui, o maior valor do argumento corresponde ao menor valor da função.

As propriedades da função logarítmica são a chave para resolver várias equações logarítmicas.

Considere a equação logarítmica mais simples; todas as outras equações logarítmicas, como regra, são reduzidas a esta forma.

Como as bases dos logaritmos e os próprios logaritmos são iguais, as funções sob o logaritmo também são iguais, mas não devemos perder o escopo. Apenas um número positivo pode ficar sob o logaritmo, temos:

Descobrimos que as funções f e g são iguais, então basta escolher qualquer uma das desigualdades para cumprir a ODZ.

Assim, temos um sistema misto em que existe uma equação e uma desigualdade:

A desigualdade, via de regra, não é necessária para resolver, basta resolver a equação e substituir as raízes encontradas na desigualdade, realizando assim uma verificação.

Vamos formular um método para resolver as equações logarítmicas mais simples:

Equalizar as bases dos logaritmos;

Equacionar funções sublogarítmicas;

Execute uma verificação.

Vamos considerar exemplos específicos.

Exemplo 1 - resolva a equação:

As bases dos logaritmos são inicialmente iguais;

Exemplo 2 - resolva a equação:

Esta equação difere da anterior em que as bases dos logaritmos são menores que um, mas isso não afeta a solução de forma alguma:

Vamos encontrar a raiz e substituí-la na desigualdade:

Obtivemos uma desigualdade incorreta, o que significa que a raiz encontrada não satisfaz a ODZ.

Exemplo 3 - resolva a equação:

As bases dos logaritmos são inicialmente iguais;

Vamos encontrar a raiz e substituí-la na desigualdade:

Obviamente, apenas a primeira raiz satisfaz a ODZ.

Equação logarítmicaé chamada uma equação na qual a incógnita (x) e as expressões com ela estão sob o sinal de uma função logarítmica. Resolver equações logarítmicas pressupõe que você já esteja familiarizado com e .
Como resolver equações logarítmicas?

A equação mais simples é logar a x = b, onde aeb são alguns números, x é uma incógnita.
Resolvendo a equação logarítmicaé x = a b desde: a > 0, a 1.

Deve-se notar que, se x estiver em algum lugar fora do logaritmo, por exemplo, log 2 x \u003d x-2, essa equação já é chamada de mista e é necessária uma abordagem especial para resolvê-la.

O caso ideal é quando você se depara com uma equação em que apenas os números estão sob o sinal do logaritmo, por exemplo x + 2 \u003d log 2 2. Aqui basta conhecer as propriedades dos logaritmos para resolvê-lo. Mas esse tipo de sorte não acontece com frequência, então prepare-se para coisas mais difíceis.

Mas primeiro, afinal, vamos começar com equações simples. Para resolvê-los, é desejável ter a ideia mais geral do logaritmo.

Resolvendo equações logarítmicas simples

Isso inclui equações como log 2 x \u003d log 2 16. Pode ser visto a olho nu que, omitindo o sinal do logaritmo, obtemos x \u003d 16.

Para resolver uma equação logarítmica mais complexa, geralmente se leva à solução de uma equação algébrica ordinária ou à solução da equação logarítmica mais simples log a x = b. Nas equações mais simples, isso ocorre em um movimento, razão pela qual são chamadas de mais simples.

O método acima de eliminar logaritmos é uma das principais maneiras de resolver equações e desigualdades logarítmicas. Em matemática, esta operação é chamada de potenciação. Existem certas regras ou restrições para este tipo de operações:

• logaritmos têm as mesmas bases numéricas
• logaritmos em ambas as partes da equação são livres, ou seja, sem quaisquer coeficientes e outros vários tipos de expressões.

Digamos que na equação log 2 x \u003d 2log 2 (1- x), a potenciação não é aplicável - o coeficiente 2 à direita não permite. No exemplo a seguir, log 2 x + log 2 (1 - x) = log 2 (1 + x) uma das restrições também não é satisfeita - há dois logaritmos à esquerda. Isso seria um - um assunto completamente diferente!

Em geral, você pode remover logaritmos somente se a equação tiver a forma:

loga(...) = loga(...)

Absolutamente qualquer expressão pode estar entre colchetes, isso absolutamente não afeta a operação de potencialização. E após a eliminação dos logaritmos, restará uma equação mais simples - linear, quadrática, exponencial, etc., que você já, espero, sabe resolver.

Vamos a outro exemplo:

log 3 (2x-5) = log 3 x

Aplicando a potenciação, temos:

log 3 (2x-1) = 2

Com base na definição do logaritmo, a saber, que o logaritmo é o número ao qual a base deve ser elevada para obter uma expressão que esteja sob o sinal do logaritmo, ou seja, (4x-1), obtemos:

Mais uma vez, obtivemos uma boa resposta. Aqui fizemos sem a eliminação dos logaritmos, mas a potenciação é aplicável aqui também, pois o logaritmo pode ser feito a partir de qualquer número, e exatamente aquele que precisamos. Este método é muito útil na resolução de equações logarítmicas e especialmente desigualdades.

Vamos resolver nossa equação logarítmica log 3 (2x-1) = 2 usando potenciação:

Vamos representar o número 2 como um logaritmo, por exemplo, tal log 3 9, porque 3 2 =9.

Então log 3 (2x-1) = log 3 9 e novamente obtemos a mesma equação 2x-1 = 9. Espero que tudo esteja claro.

Então vimos como resolver as equações logarítmicas mais simples, que na verdade são muito importantes, porque solução de equações logarítmicas, mesmo as mais terríveis e distorcidas, no final sempre se resume a resolver as equações mais simples.

Em tudo o que fizemos acima, deixamos de lado um ponto muito importante, que terá um papel decisivo no futuro. O fato é que a solução de qualquer equação logarítmica, mesmo a mais elementar, consiste em duas partes equivalentes. A primeira é a solução da própria equação, a segunda é trabalhar com a área de valores admissíveis (ODV). Essa é apenas a primeira parte que dominamos. Nos exemplos acima, o ODD não afeta a resposta de forma alguma, então não a consideramos.

Vamos a outro exemplo:

log 3 (x 2 -3) = log 3 (2x)

Externamente, esta equação não é diferente da elementar, que é resolvida com muito sucesso. Mas não é assim. Não, é claro que vamos resolvê-lo, mas provavelmente estará errado, porque há uma pequena emboscada, na qual tanto os alunos C quanto os excelentes alunos caem imediatamente. Vamos dar uma olhada mais de perto.

Suponha que você precise encontrar a raiz da equação ou a soma das raízes, se houver várias:

log 3 (x 2 -3) = log 3 (2x)

Aplicamos potenciação, aqui é permitido. Como resultado, obtemos a equação quadrática usual.

Encontramos as raízes da equação:

Existem duas raízes.

Resposta: 3 e -1

À primeira vista, tudo está correto. Mas vamos verificar o resultado e substituí-lo na equação original.

Vamos começar com x 1 = 3:

log 3 6 = log 3 6

A verificação foi bem sucedida, agora a fila x 2 = -1:

log 3 (-2) = log 3 (-2)

Sim, pare! Externamente, tudo é perfeito. Um momento - não há logaritmos de números negativos! E isso significa que a raiz x \u003d -1 não é adequada para resolver nossa equação. E, portanto, a resposta correta será 3, não 2, como escrevemos.

Foi aqui que o ODZ desempenhou seu papel fatal, que esquecemos.

Deixe-me lembrá-lo de que, na área de valores admissíveis, são aceitos esses valores de x que são permitidos ou fazem sentido para o exemplo original.

Sem ODZ, qualquer solução, mesmo uma absolutamente correta, de qualquer equação se transforma em uma loteria - 50/50.

Como poderíamos ser pegos ao resolver um exemplo aparentemente elementar? E aqui está no momento da potenciação. Os logaritmos se foram, e com eles todas as limitações.

O que fazer em tal caso? Recusar-se a eliminar logaritmos? E abandonar completamente a solução desta equação?

Não, nós apenas, como verdadeiros heróis de uma música famosa, vamos sair por aí!

Antes de prosseguir com a solução de qualquer equação logarítmica, escreveremos a ODZ. Mas depois disso, você pode fazer o que seu coração desejar com nossa equação. Tendo recebido a resposta, simplesmente descartamos as raízes que não estão incluídas em nossa ODZ e escrevemos a versão final.

Agora vamos decidir como escrever o ODZ. Para fazer isso, examinamos cuidadosamente a equação original e procuramos lugares suspeitos nela, como divisão por x, raiz de um grau par, etc. Até que tenhamos resolvido a equação, não sabemos a que x é igual, mas sabemos com certeza que tal x, que, ao substituir, dará uma divisão por 0 ou a extração da raiz quadrada de um número negativo, são obviamente não é adequado para a resposta. Portanto, tais x's são inaceitáveis, enquanto o restante constituirá a ODZ.

Vamos usar a mesma equação novamente:

log 3 (x 2 -3) = log 3 (2x)

log 3 (x 2 -3) = log 3 (2x)

Como você pode ver, não há divisão por 0, também não há raízes quadradas, mas há expressões com x no corpo do logaritmo. Lembramos imediatamente que a expressão dentro do logaritmo deve ser sempre > 0. Esta condição é escrita na forma de ODZ:

Aqueles. ainda não resolvemos nada, mas já escrevemos uma condição obrigatória para toda a expressão sublogarítmica. A chaveta significa que essas condições devem ser atendidas ao mesmo tempo.

A ODZ está escrita, mas também é necessário resolver o sistema de desigualdades resultante, o que faremos. Obtemos a resposta x > v3. Agora sabemos com certeza qual x não nos convém. E então começamos a resolver a própria equação logarítmica, que fizemos acima.

Tendo recebido as respostas x 1 \u003d 3 e x 2 \u003d -1, é fácil ver que apenas x1 \u003d 3 é adequado para nós e anotamos como a resposta final.

Para o futuro, é muito importante lembrar o seguinte: resolvemos qualquer equação logarítmica em 2 etapas. O primeiro - resolvemos a própria equação, o segundo - resolvemos a condição da ODZ. Ambas as etapas são realizadas independentemente uma da outra e são comparadas apenas ao escrever a resposta, ou seja, descartamos todos os desnecessários e anotamos a resposta correta.

Para consolidar o material, recomendamos ver o vídeo:

No vídeo, outros exemplos de resolução do log. equações e trabalhar o método dos intervalos na prática.

Para isso sobre o assunto, como resolver equações logarítmicas até tudo. Se algo de acordo com a decisão do log. equações permaneceram obscuras ou incompreensíveis, escreva suas perguntas nos comentários.

Nota: A Academia de Educação Social (KSUE) está pronta para aceitar novos alunos.

Exemplos:

\(\log_(2)(⁡x) = 32\)
\(\log_3⁡x=\log_3⁡9\)
\(\log_3⁡((x^2-3))=\log_3⁡((2x))\)
\(\log_(x+1)((x^2+3x-7))=2\)
\(\lg^2⁡((x+1))+10=11 \lg⁡((x+1))\)

Como resolver equações logarítmicas:

Ao resolver uma equação logarítmica, você precisa se esforçar para convertê-la na forma \(\log_a⁡(f(x))=\log_a⁡(g(x))\), e então fazer a transição para \(f( x)=g(x)\).

\(\log_a⁡(f(x))=\log_a⁡(g(x))\) \(⇒\) \(f(x)=g(x)\).

Exemplo:\(\log_2⁡(x-2)=3\)

Decisão: \(\log_2⁡(x-2)=\log_2⁡8\) \(x-2=8\) \(x=10\) Exame:\(10>2\) - adequado para ODZ Responda:\(x=10\)

ODZ: \(x-2>0\) \(x>2\)

Muito importante! Essa transição só pode ser feita se:

Você escreveu para a equação original e, no final, verifique se as encontradas estão incluídas no DPV. Se isso não for feito, raízes extras podem aparecer, o que significa uma decisão errada.

O número (ou expressão) é o mesmo à esquerda e à direita;

Os logaritmos à esquerda e à direita são "puros", ou seja, não deve haver nenhum, multiplicações, divisões, etc. - apenas logaritmos solitários em ambos os lados do sinal de igual.

Por exemplo:

Observe que as equações 3 e 4 podem ser facilmente resolvidas aplicando as propriedades desejadas dos logaritmos.

Exemplo . Resolva a equação \(2\log_8⁡x=\log_8⁡2.5+\log_8⁡10\)

Decisão :

		Vamos escrever ODZ: \(x>0\).
\(2\log_8⁡x=\log_8⁡2,5+\log_8⁡10\) ODZ: \(x>0\)		À esquerda na frente do logaritmo está o coeficiente, à direita está a soma dos logaritmos. Isso nos incomoda. Vamos transferir os dois para o expoente \(x\) pela propriedade: \(n \log_b(⁡a)=\log_b⁡(a^n)\). Representamos a soma dos logaritmos como um único logaritmo pela propriedade: \(\log_a⁡b+\log_a⁡c=\log_a(⁡bc)\)
\(\log_8⁡(x^2)=\log_8⁡25\)		Trouxemos a equação para a forma \(\log_a⁡(f(x))=\log_a⁡(g(x))\) e anotamos a ODZ, o que significa que podemos fazer a transição para a forma \(f (x)=g(x)\).
		Ocorrido . Resolvemos e obtemos as raízes.
\(x_1=5\) \(x_2=-5\)		Verificamos se as raízes se encaixam na ODZ. Para fazer isso, em \(x>0\) em vez de \(x\) substituímos \(5\) e \(-5\). Esta operação pode ser realizada oralmente.
\(5>0\), \(-5>0\)		A primeira desigualdade é verdadeira, a segunda não. Então \(5\) é a raiz da equação, mas \(-5\) não é. Nós anotamos a resposta.

Responda : \(5\)

Exemplo : Resolva a equação \(\log^2_2⁡(x)-3 \log_2(⁡x)+2=0\)

Decisão :

		Vamos escrever ODZ: \(x>0\).
\(\log^2_2⁡(x)-3 \log_2(⁡x)+2=0\) ODZ: \(x>0\)		Uma equação típica resolvida com . Substitua \(\log_2⁡x\) por \(t\).
\(t=\log_2⁡x\)
		Recebeu o habitual. Em busca de suas raízes.
\(t_1=2\) \(t_2=1\)		Fazendo uma substituição reversa
\(\log_2(⁡x)=2\) \(\log_2(⁡x)=1\)		Transformamos as partes certas, representando-as como logaritmos: \(2=2 \cdot 1=2 \log_2⁡2=\log_2⁡4\) e \(1=\log_2⁡2\)
\(\log_2(⁡x)=\log_2⁡4\) \(\log_2(⁡x)=\log_2⁡2 \)		Agora nossas equações são \(\log_a⁡(f(x))=\log_a⁡(g(x))\) e podemos pular para \(f(x)=g(x)\).
\(x_1=4\) \(x_2=2\)		Verificamos a correspondência das raízes da ODZ. Para fazer isso, em vez de \(x\) substituímos \(4\) e \(2\) na desigualdade \(x>0\).
\(4>0\) \(2>0\)		Ambas as desigualdades são verdadeiras. Portanto, \(4\) e \(2\) são as raízes da equação.

Responda : \(4\); \(2\).