O que é um derivado?
Definição e significado da derivada de uma função

Muitos ficarão surpresos com a localização inesperada deste artigo no curso do meu autor sobre a derivada de uma função de uma variável e suas aplicações. Afinal, como era da escola: um livro padrão, antes de tudo, dá uma definição de derivada, seu significado geométrico, mecânico. Em seguida, os alunos encontram derivadas de funções por definição e, de fato, só então a técnica de diferenciação é aperfeiçoada usando tabelas derivadas.

Mas do meu ponto de vista, a seguinte abordagem é mais pragmática: antes de tudo, é aconselhável ENTENDER BEM limite de função, e especialmente infinitesimais. O fato é que a definição da derivada é baseada no conceito de limite, o que é pouco considerado no curso escolar. É por isso que uma parte significativa dos jovens consumidores de conhecimento do granito penetra mal na própria essência do derivado. Assim, se você não é bem versado em cálculo diferencial, ou o cérebro sábio se livrou com sucesso dessa bagagem ao longo dos anos, por favor, comece com limites de função. Ao mesmo tempo, domine / lembre-se de sua decisão.

O mesmo sentido prático sugere que é lucrativo primeiro Aprenda a encontrar derivadas, Incluindo derivadas de funções complexas. A teoria é uma teoria, mas, como dizem, você sempre quer diferenciar. A este respeito, é melhor trabalhar as lições básicas listadas e talvez tornar-se mestre de diferenciação sem sequer perceber a essência de suas ações.

Eu recomendo iniciar os materiais nesta página depois de ler o artigo. Os problemas mais simples com uma derivada, onde, em particular, é considerado o problema da tangente ao gráfico de uma função. Mas pode demorar. O fato é que muitas aplicações da derivada não requerem seu entendimento, e não é de se estranhar que a lição teórica tenha surgido bem tarde - quando precisei explicar encontrar intervalos de aumento/diminuição e extremos funções. Além disso, ele estava no assunto por um bom tempo " Funções e gráficos”, até que decidi colocar mais cedo.

Portanto, queridos bules, não se apressem em absorver a essência do derivado, como animais famintos, porque a saturação será insípida e incompleta.

O conceito de crescente, decrescente, máximo, mínimo de uma função

Muitos tutoriais levam ao conceito de derivação com a ajuda de alguns problemas práticos, e também criei um exemplo interessante. Imagine que temos que viajar para uma cidade que pode ser alcançada de diferentes maneiras. Descartamos imediatamente os caminhos sinuosos curvos e consideraremos apenas linhas retas. No entanto, as direções em linha reta também são diferentes: você pode chegar à cidade por uma autoestrada plana. Ou em uma estrada montanhosa - para cima e para baixo, para cima e para baixo. Outra estrada só sobe, e outra desce o tempo todo. Os caçadores de emoções escolherão uma rota pelo desfiladeiro com um penhasco íngreme e uma subida íngreme.

Mas quaisquer que sejam as suas preferências, é desejável conhecer a área, ou pelo menos ter um mapa topográfico da mesma. E se não houver essa informação? Afinal, você pode escolher, por exemplo, um caminho plano, mas, como resultado, tropeçar em uma pista de esqui com finlandeses engraçados. Não o fato de que o navegador e até mesmo uma imagem de satélite fornecerão dados confiáveis. Portanto, seria bom formalizar o relevo do caminho por meio da matemática.

Considere alguma estrada (vista lateral):

Por precaução, lembro-lhe um fato elementar: a viagem acontece da esquerda para a direita. Por simplicidade, assumimos que a função contínuo na área considerada.

Quais são as características deste gráfico?

Nos intervalos função aumenta, ou seja, cada um de seus próximos valores mais o anterior. Grosso modo, o cronograma vai baixo cima(subimos o morro). E no intervalo a função diminuindo- cada próximo valor menor o anterior, e nossa agenda vai careca(descendo a ladeira).

Vamos também prestar atenção a pontos especiais. No ponto em que chegamos máximo, ou seja existir tal seção do caminho em que o valor será o maior (mais alto). No mesmo ponto, mínimo, e existir tal sua vizinhança, em que o valor é o menor (menor).

Terminologia e definições mais rigorosas serão consideradas na lição. sobre os extremos da função, mas por enquanto vamos estudar mais uma característica importante: nos intervalos a função é crescente, mas é crescente em velocidades diferentes. E a primeira coisa que chama sua atenção é que o gráfico sobe no intervalo muito mais legal do que no intervalo. É possível medir a inclinação da estrada usando ferramentas matemáticas?

Taxa de alteração de função

A ideia é esta: tirar algum valor (leia "delta x"), que chamaremos incremento de argumento, e vamos começar a "experimentar" em vários pontos do nosso caminho:

1) Vejamos o ponto mais à esquerda: contornando a distância , subimos o declive até uma altura (linha verde). O valor é chamado incremento de função, e neste caso esse incremento é positivo (a diferença de valores ao longo do eixo é maior que zero). Vamos fazer a relação , que será a medida da inclinação da nossa estrada. Obviamente, é um número muito específico, e como ambos os incrementos são positivos, então .

Atenção! A designação é 1 símbolo, ou seja, você não pode “arrancar” o “delta” do “x” e considerar essas letras separadamente. Claro, o comentário também se aplica ao símbolo de incremento da função.

Vamos explorar a natureza da fração resultante mais significativa. Suponha que inicialmente estamos a uma altura de 20 metros (no ponto preto à esquerda). Vencida a distância de metros (linha vermelha à esquerda), estaremos a uma altura de 60 metros. Então o incremento da função será metros (linha verde) e: . Por isso, em cada metro este troço da estrada altura aumenta média por 4 metros… você esqueceu seu equipamento de escalada? =) Em outras palavras, a razão construída caracteriza a TAXA MÉDIA DE VARIAÇÃO (neste caso, crescimento) da função.

Observação : Os valores numéricos do exemplo em questão correspondem às proporções do desenho apenas aproximadamente.

2) Agora vamos percorrer a mesma distância do ponto preto mais à direita. Aqui o aumento é mais suave, então o incremento (linha carmesim) é relativamente pequeno, e a relação em relação ao caso anterior será bastante modesta. Relativamente falando, metros e taxa de crescimento da funçãoé . Ou seja, aqui para cada metro de estrada há média meio metro de altura.

3) Uma pequena aventura na montanha. Vejamos o ponto preto superior localizado no eixo y. Vamos supor que esta seja uma marca de 50 metros. Mais uma vez superamos a distância, pelo que nos encontramos mais baixos - no nível de 30 metros. Desde que o movimento foi feito careca(na direção "oposta" do eixo), então o final o incremento da função (altura) será negativo: metros (linha marrom no desenho). E neste caso estamos falando de taxa de decaimento recursos: , ou seja, para cada metro do trajeto deste trecho, a altura diminui média por 2 metros. Cuide das roupas no quinto ponto.

Agora vamos fazer a pergunta: qual é o melhor valor de "padrão de medição" a ser usado? É claro que 10 metros é muito difícil. Uma boa dúzia de solavancos pode caber facilmente neles. Por que existem solavancos, pode haver um desfiladeiro profundo abaixo e depois de alguns metros - seu outro lado com uma subida ainda mais íngreme. Assim, com um de dez metros, não obteremos uma característica inteligível de tais seções do caminho através da razão.

Da discussão acima, segue a seguinte conclusão: quanto menor o valor, mais precisamente descreveremos o relevo da estrada. Além disso, os seguintes fatos são verdadeiros:

– Para qualquer pontos de elevação você pode escolher um valor (ainda que muito pequeno) que se encaixe nos limites de um ou outro aumento. E isso significa que o incremento de altura correspondente será garantido como positivo, e a desigualdade indicará corretamente o crescimento da função em cada ponto desses intervalos.

- Da mesma maneira, para qualquer ponto de inclinação, existe um valor que caberá completamente nesta inclinação. Portanto, o aumento correspondente na altura é inequivocamente negativo, e a desigualdade mostrará corretamente a diminuição da função em cada ponto do intervalo dado.

– De particular interesse é o caso em que a taxa de variação da função é zero: . Primeiro, um incremento de altura zero () é um sinal de um caminho par. E em segundo lugar, existem outras situações curiosas, cujos exemplos você vê na figura. Imagine que o destino nos levou ao topo de uma colina com águias voando ou ao fundo de uma ravina com sapos coaxando. Se você der um pequeno passo em qualquer direção, a mudança na altura será desprezível e podemos dizer que a taxa de mudança da função é realmente zero. O mesmo padrão é observado em pontos.

Assim, nos aproximamos de uma oportunidade incrível para caracterizar com precisão a taxa de variação de uma função. Afinal, a análise matemática nos permite direcionar o incremento do argumento para zero: ou seja, torná-lo infinitesimal.

Como resultado, surge outra questão lógica: é possível encontrar para a estrada e seu horário outra função, que nos diria sobre todos os planos, subidas, descidas, picos, planícies, bem como a taxa de aumento/diminuição em cada ponto do caminho?

O que é um derivado? Definição de um derivado.
O significado geométrico da derivada e diferencial

Por favor, leia atentamente e não muito rapidamente - o material é simples e acessível a todos! Tudo bem se em alguns lugares algo não parecer muito claro, você sempre pode retornar ao artigo mais tarde. Direi mais, é útil estudar a teoria várias vezes para entender qualitativamente todos os pontos (o conselho é especialmente relevante para estudantes “técnicos”, para quem a matemática superior desempenha um papel significativo no processo educacional).

Naturalmente, na própria definição da derivada em um ponto, vamos substituí-la por:

A que chegamos? E chegamos à conclusão de que para uma função de acordo com a lei está alinhado outra função, que é chamado função derivada(ou simplesmente derivado).

A derivada caracteriza taxa de variação funções . Como? O pensamento vai como um fio vermelho desde o início do artigo. Considere algum ponto domínios funções . Seja a função diferenciável em um dado ponto. Então:

1) Se , então a função aumenta no ponto . E obviamente existe intervalo(mesmo que muito pequeno) contendo o ponto em que a função cresce, e seu gráfico vai “de baixo para cima”.

2) Se , então a função diminui no ponto . E há um intervalo contendo um ponto no qual a função diminui (o gráfico vai “de cima para baixo”).

3) Se , então infinitamente perto próximo ao ponto, a função mantém sua velocidade constante. Isso acontece, como observado, para uma constante de função e em pontos críticos da função, em particular nos pontos mínimo e máximo.

Alguma semântica. O que significa o verbo "diferenciar" em sentido amplo? Diferenciar significa destacar uma característica. Diferenciando a função , "selecionamos" a taxa de sua variação na forma de uma derivada da função . E o que, a propósito, significa a palavra "derivada"? Função ocorrido da função.

Os termos interpretam com muito sucesso o significado mecânico da derivada :
Vamos considerar a lei da mudança das coordenadas do corpo, que depende do tempo, e a função da velocidade de movimento do corpo dado. A função caracteriza a taxa de variação da coordenada do corpo, portanto é a primeira derivada da função em relação ao tempo: . Se o conceito de “movimento do corpo” não existisse na natureza, então não existiria derivado conceito de "velocidade".

A aceleração de um corpo é a taxa de variação da velocidade, portanto: . Se os conceitos originais de “movimento do corpo” e “velocidade de movimento do corpo” não existissem na natureza, então não haveria derivado o conceito de aceleração de um corpo.

Sinopse de uma aula aberta de um professor do Colégio Pedagógico No. 4 de São Petersburgo

Martusevich Tatyana Olegovna

Data: 29/12/2014.

Tópico: O significado geométrico da derivada.

Tipo de aula: aprendendo novos materiais.

Métodos de ensino: visual, parcialmente exploratória.

O objetivo da lição.

Introduzir o conceito de tangente ao gráfico de uma função em um ponto, descobrir qual é o significado geométrico da derivada, derivar a equação da tangente e ensinar como encontrá-la.

Tarefas Educacionais:

Compreender o significado geométrico da derivada; derivação da equação tangente; aprender a resolver problemas básicos;

fornecer uma repetição do material sobre o tema "Definição de um derivado";

criar condições de controle (autocontrole) de conhecimentos e habilidades.

Tarefas de desenvolvimento:

promover a formação de habilidades para aplicar métodos de comparação, generalização, destacando o principal;

continuar o desenvolvimento de horizontes matemáticos, pensamento e fala, atenção e memória.

Tarefas Educacionais:

promover a educação do interesse pela matemática;

educação da atividade, mobilidade, capacidade de comunicação.

Tipo de lição - uma aula combinada usando TIC.

Equipamento – instalação multimídia, apresentaçãoMicrosoftpotênciaapontar.

Estágio da lição

Tempo

Atividade do professor

Atividade do aluno

1. Momento organizacional.

Mensagem sobre o tema e propósito da lição.

Tópico: O significado geométrico da derivada.

O objetivo da lição.

Introduzir o conceito de tangente ao gráfico de uma função em um ponto, descobrir qual é o significado geométrico da derivada, derivar a equação da tangente e ensinar como encontrá-la.

Preparar os alunos para o trabalho em sala de aula.

Preparação para o trabalho em sala de aula.

Conscientização do tema e propósito da aula.

Tomando notas.

2. Preparação para o estudo de novos materiais através da repetição e atualização de conhecimentos básicos.

Organização da repetição e atualização dos conhecimentos básicos: definições da derivada e formulação do seu significado físico.

Formulando a definição da derivada e formulando seu significado físico. Repetição, atualização e consolidação de conhecimentos básicos.

Organização da repetição e formação da habilidade de encontrar a derivada de uma função de potência e funções elementares.

Encontrar a derivada dessas funções por fórmulas.

Repetição das propriedades de uma função linear.

Repetição, percepção de desenhos e depoimentos do professor

3. Trabalhando com novo material: explicação.

Explicação do significado da razão entre incremento de função e incremento de argumento

Explicação do significado geométrico da derivada.

Introdução de novo material através de explicações verbais usando imagens e recursos visuais: apresentação multimídia com animação.

Percepção da explicação, compreensão, respostas às perguntas do professor.

Formulação de uma pergunta ao professor em caso de dificuldade.

Percepção de novas informações, sua compreensão e compreensão primárias.

Formulação de perguntas ao professor em caso de dificuldade.

Crie um esboço.

Formulação do significado geométrico da derivada.

Consideração de três casos.

Tomando notas, fazendo desenhos.

4. Trabalhando com novos materiais.

Compreensão primária e aplicação do material estudado, sua consolidação.

Em que ponto a derivada é positiva?

Negativo?

igual a zero?

Aprender a procurar um algoritmo para respostas às questões colocadas pelo cronograma.

Compreender e compreender e aplicar novas informações para resolver um problema.

5. Compreensão primária e aplicação do material estudado, sua consolidação.

Mensagem de condição de tarefa.

Gravando uma condição de tarefa.

Formulação de uma pergunta ao professor em caso de dificuldade

6. Aplicação do conhecimento: trabalho independente de natureza docente.

Resolva o problema você mesmo:

Aplicação dos conhecimentos adquiridos.

Trabalho independente para resolver o problema de encontrar a derivada da figura. Discussão e verificação das respostas em duplas, formulando uma pergunta ao professor em caso de dificuldade.

7. Trabalhando com material novo: explicação.

Derivação da equação da tangente ao gráfico de uma função num ponto.

Uma explicação detalhada da derivação da equação da tangente ao gráfico da função em um ponto, usando como auxílio visual na forma de uma apresentação multimídia, respostas às perguntas dos alunos.

Derivação da equação tangente junto com o professor. Respostas às perguntas do professor.

Esboçar, desenhar.

8. Trabalhando com novo material: explicação.

Em um diálogo com os alunos, a derivação de um algoritmo para encontrar a equação da tangente ao gráfico de uma determinada função em um determinado ponto.

Em um diálogo com o professor, a derivação de um algoritmo para encontrar a equação da tangente ao gráfico de uma determinada função em um determinado ponto.

Tomando notas.

Mensagem de condição de tarefa.

Formação na aplicação dos conhecimentos adquiridos.

Organização da busca de soluções para o problema e sua implementação. análise detalhada da solução com uma explicação.

Gravando uma condição de tarefa.

Fazer suposições sobre possíveis formas de resolver o problema na implementação de cada item do plano de ação. Resolução de problemas em conjunto com o professor.

Registrando a solução do problema e a resposta.

9. Aplicação do conhecimento: trabalho independente de natureza docente.

Controle individual. Aconselhamento e assistência aos alunos quando necessário.

Verificação e explicação da solução usando a apresentação.

Aplicação dos conhecimentos adquiridos.

Trabalho independente para resolver o problema de encontrar a derivada da figura. Discussão e verificação das respostas em duplas, formulando uma pergunta ao professor em caso de dificuldade

10. Lição de casa.

§48, tarefas 1 e 3, entenda a solução e anote em um caderno com fotos.

№ 860 (2,4,6,8),

Mensagem de lição de casa com comentários.

Gravação do dever de casa.

11. Resumindo.

Repetimos a definição da derivada; o significado físico da derivada; propriedades de uma função linear.

Aprendemos qual é o significado geométrico da derivada.

Aprendemos a derivar a equação da tangente ao gráfico de uma determinada função em um determinado ponto.

Correção e esclarecimento dos resultados da aula.

Enumeração dos resultados da lição.

12. Reflexão.

1. Teve aula: a) facilmente; b) normalmente; c) difícil.

a) aprendi (a) completamente, posso aplicar;

b) aprendeu (a), mas tem dificuldade de aplicar;

c) não entendi.

3. Apresentação multimídia na lição:

a) auxiliou na assimilação do material; b) não auxiliou na assimilação do material;

c) interferiu na assimilação do material.

Conduzindo a reflexão.

Tipo de trabalho: 7

Doença

A linha y=3x+2 é tangente ao gráfico da função y=-12x^2+bx-10. Encontre b , dado que a abcissa do ponto de toque é menor que zero.

Mostrar solução

Decisão

Seja x_0 a abcissa do ponto no gráfico da função y=-12x^2+bx-10 pelo qual passa a tangente a este gráfico.

O valor da derivada no ponto x_0 é igual à inclinação da tangente, ou seja, y"(x_0)=-24x_0+b=3. Por outro lado, o ponto tangente pertence tanto ao gráfico da função quanto ao tangente, ou seja, -12x_0^2+bx_0-10= 3x_0 + 2. Obtemos um sistema de equações \begin(casos) -24x_0+b=3,\\-12x_0^2+bx_0-10=3x_0+2. \end(casos)

Resolvendo este sistema, obtemos x_0^2=1, o que significa x_0=-1 ou x_0=1. De acordo com a condição da abcissa, os pontos de toque são menores que zero, portanto x_0=-1, então b=3+24x_0=-21.

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Tipo de trabalho: 7
Tópico: O significado geométrico da derivada. Tangente ao gráfico da função

Doença

A reta y=-3x+4 é paralela à tangente ao gráfico da função y=-x^2+5x-7. Encontre a abcissa do ponto de contato.

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Decisão

A inclinação da linha para o gráfico da função y=-x^2+5x-7 em um ponto arbitrário x_0 é y"(x_0). Mas y"=-2x+5, então y"(x_0)=- 2x_0+5.Angular o coeficiente da linha y=-3x+4 especificado na condição é -3.Retas paralelas têm os mesmos coeficientes de inclinação.Portanto, encontramos um valor x_0 que =-2x_0 +5=-3.

Obtemos: x_0 = 4.

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Fonte: "Matemática. Preparação para o exame 2017. nível do perfil. Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Tipo de trabalho: 7
Tópico: O significado geométrico da derivada. Tangente ao gráfico da função

Doença

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Decisão

A partir da figura, determinamos que a tangente passa pelos pontos A(-6; 2) e B(-1; 1). Denote por C(-6; 1) o ponto de intersecção das linhas x=-6 e y=1, e por \alpha o ângulo ABC (pode ser visto na figura que é agudo). Então a linha AB forma um ângulo obtuso \pi -\alpha com a direção positiva do eixo Ox.

Como você sabe, tg(\pi -\alpha) será o valor da derivada da função f(x) no ponto x_0. notar que tg \alpha =\frac(AC)(CB)=\frac(2-1)(-1-(-6))=\frac15. A partir daqui, pelas fórmulas de redução, obtemos: tg(\pi -\alpha) =-tg \alpha =-\frac15=-0.2.

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Fonte: "Matemática. Preparação para o exame 2017. nível do perfil. Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Tipo de trabalho: 7
Tópico: O significado geométrico da derivada. Tangente ao gráfico da função

Doença

A linha y=-2x-4 é tangente ao gráfico da função y=16x^2+bx+12. Encontre b , dado que a abcissa do ponto de toque é maior que zero.

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Decisão

Seja x_0 a abcissa do ponto no gráfico da função y=16x^2+bx+12 através do qual

é tangente a este gráfico.

O valor da derivada no ponto x_0 é igual à inclinação da tangente, ou seja, y "(x_0)=32x_0+b=-2. Por outro lado, o ponto tangente pertence tanto ao gráfico da função quanto ao tangente, ou seja, 16x_0^2+bx_0+12=- 2x_0-4 Obtemos um sistema de equações \begin(cases) 32x_0+b=-2,\\16x_0^2+bx_0+12=-2x_0-4. \end(casos)

Resolvendo o sistema, obtemos x_0^2=1, o que significa x_0=-1 ou x_0=1. De acordo com a condição da abcissa, os pontos de toque são maiores que zero, portanto x_0=1, então b=-2-32x_0=-34.

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Fonte: "Matemática. Preparação para o exame 2017. nível do perfil. Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Tipo de trabalho: 7
Tópico: O significado geométrico da derivada. Tangente ao gráfico da função

Doença

A figura mostra um gráfico da função y=f(x) definida no intervalo (-2; 8). Determine o número de pontos onde a tangente ao gráfico da função é paralela à reta y=6.

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Decisão

A linha y=6 é paralela ao eixo Ox. Portanto, encontramos tais pontos nos quais a tangente ao gráfico da função é paralela ao eixo Ox. Neste gráfico, tais pontos são pontos extremos (pontos máximos ou mínimos). Como você pode ver, existem 4 pontos extremos.

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Fonte: "Matemática. Preparação para o exame 2017. nível do perfil. Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Tipo de trabalho: 7
Tópico: O significado geométrico da derivada. Tangente ao gráfico da função

Doença

A reta y=4x-6 é paralela à tangente ao gráfico da função y=x^2-4x+9. Encontre a abcissa do ponto de contato.

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Decisão

A inclinação da tangente ao gráfico da função y \u003d x ^ 2-4x + 9 em um ponto arbitrário x_0 é y "(x_0). Mas y" \u003d 2x-4, o que significa y "(x_0) \ u003d 2x_0-4. A inclinação da tangente y \u003d 4x-7 especificada na condição é igual a 4. As linhas paralelas têm as mesmas inclinações. Portanto, encontramos um valor x_0 que 2x_0-4 \u003d 4. Obtemos : x_0 \u003d 4.

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Fonte: "Matemática. Preparação para o exame 2017. nível do perfil. Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Tipo de trabalho: 7
Tópico: O significado geométrico da derivada. Tangente ao gráfico da função

Doença

A figura mostra o gráfico da função y=f(x) e a tangente a ela no ponto com a abcissa x_0. Encontre o valor da derivada da função f(x) no ponto x_0.

Mostrar solução

Decisão

A partir da figura, determinamos que a tangente passa pelos pontos A(1; 1) e B(5; 4). Denote por C(5; 1) o ponto de intersecção das linhas x=5 e y=1, e por \alpha o ângulo BAC (pode ser visto na figura que é agudo). Então a linha AB forma um ângulo \alpha com a direção positiva do eixo Ox.

Para descobrir o valor geométrico da derivada, considere o gráfico da função y = f(x). Tome um ponto arbitrário M com coordenadas (x, y) e um ponto N próximo a ele (x + $\Delta $x, y + $\Delta $y). Vamos desenhar as ordenadas $\overline(M_(1) M)$ e $\overline(N_(1) N)$, e traçar uma linha paralela ao eixo OX a partir do ponto M.

A razão $\frac(\Delta y)(\Delta x) $ é a tangente do ângulo $\alpha $1 formado pela secante MN com o sentido positivo do eixo OX. Como $\Delta $x tende a zero, o ponto N se aproximará de M, e a tangente MT à curva no ponto M se tornará a posição limite da secante MN. Assim, a derivada f`(x) é igual à tangente do ângulo $\alpha $ formado pela tangente à curva no ponto M (x, y) com direção positiva ao eixo OX - a inclinação da tangente (Fig. 1).

Figura 1. Gráfico de uma função

Ao calcular os valores usando as fórmulas (1), é importante não errar nos sinais, pois incremento pode ser negativo.

O ponto N situado na curva pode aproximar-se de M de qualquer lado. Então, se na Figura 1, a tangente for dada na direção oposta, o ângulo $\alpha $ mudará em $\pi $, o que afetará significativamente a tangente do ângulo e, consequentemente, a inclinação.

Conclusão

Segue-se que a existência da derivada está ligada à existência de uma tangente à curva y = f(x), e a inclinação -- tg $\alpha $ = f`(x) é finita. Portanto, a tangente não deve ser paralela ao eixo OY, caso contrário $\alpha $ = $\pi $/2, e a tangente do ângulo será infinita.

Em alguns pontos, uma curva contínua pode não ter tangente ou ter uma tangente paralela ao eixo OY (Fig. 2). Então a função não pode ter uma derivada nesses valores. Pode haver qualquer número desses pontos na curva da função.

Figura 2. Pontos excepcionais da curva

Considere a Figura 2. Deixe $\Delta $x tender a zero a partir de valores negativos ou positivos:

\[\Delta x\to -0\begin(array)(cc) () & (\Delta x\to +0) \end(array)\]

Se neste caso as relações (1) têm um corredor finito, denota-se como:

No primeiro caso, a derivada da esquerda, no segundo, a derivada da direita.

A existência de um limite fala da equivalência e igualdade das derivadas esquerda e direita:

Se as derivadas esquerda e direita não são iguais, então neste ponto existem tangentes que não são paralelas a OY (ponto M1, Fig. 2). Nos pontos M2, M3, as relações (1) tendem ao infinito.

Para N pontos à esquerda de M2, $\Delta $x $

À direita de $M_2$, $\Delta $x $>$ 0, mas a expressão também é f(x + $\Delta $x) -- f(x) $

Para o ponto $M_3$ à esquerda $\Delta $x $$ 0 e f(x + $\Delta $x) -- f(x) $>$ 0, ou seja, expressões (1) são ambas positivas à esquerda e à direita e tendem a +$\infty $ ambas quando $\Delta $x se aproxima de -0 e +0.

O caso da ausência de uma derivada em pontos específicos da reta (x = c) é mostrado na Figura 3.

Figura 3. Ausência de derivativos

Exemplo 1

A Figura 4 mostra o gráfico da função e a tangente ao gráfico no ponto com a abcissa $x_0$. Encontre o valor da derivada da função na abcissa.

Decisão. A derivada em um ponto é igual à razão entre o incremento da função e o incremento do argumento. Vamos escolher dois pontos com coordenadas inteiras na tangente. Sejam, por exemplo, os pontos F (-3,2) e C (-2,4).