O manual fundamental de análise matemática, que passou por muitas edições e traduzido para várias línguas estrangeiras, distingue-se, por um lado, pela sua apresentação sistemática e rigorosa e, por outro, pela sua linguagem simples, explicações detalhadas e numerosos exemplos que ilustram a teoria.
O curso é destinado a estudantes de universidades, universidades pedagógicas e técnicas e há muito tempo é utilizado em diversas instituições de ensino como um dos principais auxiliares de ensino. Ele permite que o aluno não só domine o material teórico, mas também adquira as habilidades práticas mais importantes. O curso é altamente considerado pelos matemáticos como uma coleção única de vários fatos de análise, alguns dos quais não podem ser encontrados em outros livros em russo.
A primeira edição apareceu em 1948.
PREFÁCIO DO EDITOR
Curso de Cálculo Diferencial e Integral Grigory Mikhailovich Fikhtengolts é uma obra notável de literatura científica e pedagógica, que passou por muitas edições e foi traduzida para várias línguas estrangeiras. O curso é inigualável em termos de quantidade de material factual coberto, o número de várias aplicações de teoremas gerais em geometria, álgebra, mecânica, física e tecnologia. Muitos matemáticos modernos bem conhecidos notam que foi o Curso de Fikhtengolz que incutiu neles o gosto e o amor pela análise matemática em seus anos de estudante, deu-lhes a primeira compreensão clara deste assunto.
Ao longo dos 50 anos que se passaram desde a primeira edição do Curso, seu texto praticamente não ficou desatualizado e no momento ainda pode ser utilizado e é utilizado por alunos de universidades, bem como de diversas universidades técnico-pedagógicas como um dos os principais auxiliares de ensino em análise matemática e no curso de ensino superior matemática. Além disso, apesar do surgimento de novos bons livros didáticos, o número de leitores do Curso G. M. Fikhtengolts durante sua existência só se expandiu e agora inclui alunos de vários liceus de física e matemática, alunos de cursos avançados de qualificação matemática para engenheiros.
O elevado nível de procura do Curso deve-se às suas características únicas. O principal material teórico incluído no Curso é a parte clássica da análise matemática moderna, que foi finalmente formada no início do século XX (não contendo teoria da medida e teoria geral dos conjuntos). Essa parte da análise é ministrada nos dois primeiros cursos das universidades e está incluída (no todo ou em grande parte) nos programas de todas as universidades técnicas e pedagógicas. O Volume I do Curso inclui o cálculo diferencial de uma e várias variáveis reais e suas principais aplicações, o Volume II é dedicado à teoria da integral de Riemann e à teoria das séries, o Volume III - às integrais múltiplas, curvilíneas e de superfície, as Stieltjes integral, série e transformada de Fourier.
Um grande número de exemplos e aplicações, via de regra, muito interessantes, alguns dos quais não podem ser encontrados em outra literatura em russo, é uma das principais características do Curso, já mencionado acima.
Outra característica essencial é a disponibilidade, detalhe e rigor na apresentação do material. Um volume significativo do Curso não se torna um obstáculo à sua assimilação. Pelo contrário, permite que o autor preste atenção suficiente às motivações para novas definições e enunciados de problemas, demonstrações detalhadas e completas dos principais teoremas e muitos outros aspectos que facilitam a compreensão do assunto para o leitor. Em geral, o problema de combinar clareza e rigor de apresentação (a ausência deste último simplesmente leva a uma distorção dos fatos matemáticos) é bem conhecido de qualquer professor. A grande habilidade pedagógica de Grigory Mikhailovich permite-lhe ao longo do curso dar muitos exemplos de resolução deste problema; juntamente com outras circunstâncias, isso torna o Curso um modelo indispensável para um docente iniciante e objeto de pesquisa para especialistas em metodologia de ensino de matemática superior.
Outra característica do Curso é o uso muito leve de quaisquer elementos da teoria dos conjuntos (incluindo notação). Ao mesmo tempo, preserva-se todo o rigor da apresentação; em geral, como há 50 anos, essa abordagem torna mais fácil para uma parte significativa do leitor dominar inicialmente o assunto.
Na nova edição do Curso de G. M. Fikhtengolts, oferecida à atenção do leitor, foram eliminados os erros tipográficos encontrados em várias edições anteriores. Além disso, a publicação é provida de breves comentários relativos àqueles lugares no texto (muito poucos), ao trabalhar com os quais o leitor pode experimentar certos inconvenientes; são feitas notas, em especial, nos casos em que o termo ou o discurso utilizado pelo autor difere de alguma forma do mais comum atualmente. A responsabilidade pelo conteúdo das notas é inteiramente do editor da publicação.
O editor é profundamente grato ao professor B. M. Makarov, que leu os textos de todas as notas e expressou várias opiniões valiosas. Gostaria também de agradecer a todos os funcionários do Departamento de Análise Matemática da Faculdade de Matemática e Mecânica da Universidade Estadual de São Petersburgo, que discutiram com o autor destas linhas várias questões relacionadas aos textos das edições anteriores e a ideia de uma nova edição do Curso.
Os editores agradecem antecipadamente a todos os leitores que desejam melhorar ainda mais a qualidade da publicação com seus comentários.
A. A. Florinsky
Fikhtengolts G.M. (2003) Curso de cálculo diferencial e integral. T.1.
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G.M. Fikhtengoltz, Curso de cálculo diferencial e integral (Volume 2)
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CAPÍTULO OITO. FUNÇÃO DERIVADA (INTEGRAL INDETERMINADA)
§ 1. Integral indefinido e os métodos mais simples de seu cálculo
263. Conceito de função antiderivada (e integral indefinida)
264. O Problema da Integral e da Área
265. Tabela de integrais básicas
266. As Regras de Integração Mais Simples
267. Exemplos
268. Integração por Mudança de Variável
269. Exemplos
270. Integração por partes
271. Exemplos
§ 2. Integração de expressões racionais
272. Declaração do Problema de Integração na Forma Final
273. Frações simples e sua integração
274. Decomposição de frações próprias em frações simples
275. Determinação dos coeficientes. Integração de frações próprias
276. Separação da parte racional da integral
277. Exemplos
§ 3. Integração de algumas expressões contendo radicais
278. Integração de expressões
279. Integração de diferenciais binomiais. Exemplos
280. Fórmulas de redução
281. Integração de expressões. Substituições de Euler
282. Tratamento geométrico de substituições de Euler
283. Exemplos
284. Outros Métodos de Cálculo
285. Exemplos
§ 4. Integração de expressões contendo funções trigonométricas e exponenciais
286. Integração de Diferenciais R(sen x, cos x)
287. Integração de expressões
288. Exemplos
289. Revisão de outros casos
§ 5. Integrais elípticas
290. Observações e definições gerais
291. Transformações auxiliares
292. Redução à forma canônica
293. Integrais elípticas de 1º, 2º e 3º tipo
CAPÍTULO NOVE. DEFINIÇÃO INTEGRAL
§ 1. Definição e condições para a existência de uma integral definida
294. Outra abordagem para o problema da área
295. Definição
296. Somas de Darboux
297. A Condição para a Existência de um Integral
298. Classes de Funções Integráveis
299. Propriedades das Funções Integráveis
300. Exemplos e adições
301. Integrais Inferiores e Superiores como Limites
§ 2. Propriedades de integrais definidas
302. Integral em um intervalo orientado
303. Propriedades expressas por igualdades
304. Propriedades Expressas por Desigualdades PO
305. Integral Definido em Função do Limite Superior
306. Segundo Teorema do Valor Médio
§ 3. Cálculo e transformação de integrais definidas
307. Cálculo com a ajuda de somas integrais
308. Fórmula Básica do Cálculo Integral
309. Exemplos
310. Outra derivação da fórmula principal
311. Fórmulas de redução
312. Exemplos
313. A fórmula para a mudança de variável em uma integral definida
314. Exemplos
315. Fórmula de Gauss. Transformação de Landen
316. Outra derivação da fórmula de mudança de variável
§ 4. Algumas aplicações de integrais definidas
317. Fórmula de Wallis
318. Fórmula de Taylor com um termo adicional
319. Transcendência do número e
320. Polinômios de Legendre
321. Desigualdades integrais
§ 5. Cálculo aproximado de integrais
322. Apresentação do problema. Fórmulas para retângulos e trapézios
323 Interpolação Parabólica
324. Dividindo o Intervalo de Integração
325. Termo adicional da fórmula dos retângulos
326. Termo adicional da fórmula do trapézio
327. Termo adicional da fórmula de Simpson
328. Exemplos
CAPÍTULO DEZ. APLICAÇÕES DO CÁLCULO INTEGRAL À GEOMETRIA, MECÂNICA E FÍSICA
§ 1. Comprimento da curva
329 Calculando o Comprimento de uma Curva
330. Outra abordagem para a definição do conceito de comprimento de uma curva e seu cálculo
331. Exemplos
332. Equação Natural de uma Curva Plana
333. Exemplos
334. Comprimento do Arco de uma Curva Espacial
§ 2. Áreas e volumes
335. Definição do conceito de área. Propriedade de aditividade
336. Área como Limite
337. Classes de regiões quadradas
338. Expressão de área por integral
339. Exemplos
340. Definição do conceito de volume. Suas propriedades
341. Classes de corpos com volumes
342. Expressão de Volume por um Integral
343. Exemplos
344. Área de superfície de rotação
345. Exemplos
346. Área de uma superfície cilíndrica
347. Exemplos
§ 3. Cálculo de grandezas mecânicas e físicas
348. Esquema de Aplicação de uma Integral Definida
349. Encontrando os momentos estáticos e o centro de gravidade de uma curva
350. Exemplos
351. Encontrando os momentos estáticos e o centro de gravidade de uma figura plana
352. Exemplos
353. Trabalho mecânico
354. Exemplos
355. O trabalho da força de atrito em um calcanhar plano
356. Problemas para a soma de elementos infinitesimais
§ 4. As equações diferenciais mais simples
357. Conceitos básicos. Equações de primeira ordem
358. Equações de primeiro grau em relação à derivada. Separação de variáveis
359. Tarefas
360. Observações sobre a Compilação de Equações Diferenciais
361. Tarefas
CAPÍTULO ONZE. FILAS INFINITAS COM MEMBROS PERMANENTES
§ 1. Introdução
362. Conceitos básicos
363. Exemplos
364. Teoremas Fundamentais
§ 2. Convergência das séries positivas
365. Condição para a Convergência de uma Série Positiva
366. Teoremas de Comparação de Séries
367. Exemplos
368. Sinais de Cauchy e D'Alembert
369. Sinal de Raabe
370. Exemplos
371. Sinal de Kummer
372. Sinal de Gauss
373. Sinal integral de Maclaurin-Cauchy
374. Sinal de Ermakov
375. Adições
§ 3. Convergência de séries arbitrárias
376. Condição Geral para a Convergência de uma Série
377. Convergência Absoluta
378. Exemplos
379. Série de Potência, Seu Intervalo de Convergência
380. Expressão do raio de convergência em termos de coeficientes
381. Série Alternada
382. Exemplos
383. Transformação de Abel
384. Sinais de Abel e Dirichlet
385. Exemplos
§ 4. Propriedades das séries convergentes
386. Propriedade Associativa
387. Propriedade comutativa de séries absolutamente convergentes
388. O Caso da Série Não Absolutamente Convergente
389. Multiplicação de linhas
390. Exemplos
391. Teorema geral da teoria dos limites
392. Teoremas adicionais sobre a multiplicação de séries
§ 5. Linhas repetidas e duplas
393. Linhas repetidas
394. Filas duplas
395. Exemplos
396 Séries de potência com duas variáveis; região de convergência
397. Exemplos
398. Várias linhas
§ 6. Produtos infinitos
399. Conceitos básicos
400. Exemplos
401. Teoremas básicos. Relação com linhas
402. Exemplos
§ 7. Expansões de funções elementares
403. Expansão de uma função em uma série de potências; Série de Taylor
404. Expansão em uma série de funções trigonométricas exponenciais básicas, etc.
405. Série Logarítmica
406. Fórmula de Stirling
407. Série Binomial
408. Decomposição de seno e cosseno em produtos infinitos
§ 8. Cálculos aproximados com auxílio de séries. Conversão de série
409. Observações gerais
410. Calculando o número de tt
411. Calculando Logaritmos
412. Calculando Raízes
413. Transformação em Série de Euler
414. Exemplos
415. A Transformação de Kummer
416. Transformada de Markov
§ 9. Soma de séries divergentes
417. Introdução
418. Método da Série de Potência
419. Teorema de Tauber
420. Método das Médias Aritméticas
421. Relação entre os métodos de Poisson-Abel e Cesaro
422. Teorema de Hardy-Landau
423. Aplicação da soma generalizada à multiplicação de séries
424. Outros métodos de soma generalizada de séries
425. Exemplos
426. Classe geral de métodos de soma linear regular
CAPÍTULO DOZE. SEQUÊNCIAS FUNCIONAIS E SÉRIE
§ 1. Convergência uniforme
427. Observações introdutórias
428. Convergência uniforme e não uniforme
429. Condição para convergência uniforme
430. Critérios para Convergência Uniforme de Séries
§ 2. Propriedades funcionais da soma de uma série
431. Continuidade da soma de uma série
432. Uma observação sobre convergência quase uniforme
433. Transição para o limite prazo a prazo
434. Integração Termo de Séries
435. Diferenciação de Prazos de Séries
436. Ponto de Vista da Sequência
437. Continuidade da soma de uma série de potências
438. Integração e diferenciação de séries de potência
§ 3. Aplicações
439. Exemplos sobre a continuidade da soma de uma série e sobre a passagem ao limite termo a termo
440. Exemplos para integração termo a termo de séries
441. Exemplos para diferenciação termo a termo de séries
442. Método das Aproximações Sucessivas na Teoria das Funções Implícitas
443. Definição Analítica de Funções Trigonométricas
444. Um exemplo de uma função contínua sem derivada
§ 4. Informações adicionais sobre séries de potência
445. Ações em séries de potência
446. Substituindo uma linha em uma linha
447. Exemplos
448. Divisão de séries de potência
449. Números de Bernoulli e expansões em que ocorrem
450. Resolvendo Equações em Série
451. Inversão em série de potência
452. Série Lagrange
§ 5. Funções elementares de uma variável complexa
453. Números Complexos
454. Variante complexa e seu limite
455. Funções de uma Variável Complexa
456. Série de Potência
457. Função exponencial
458. Função logarítmica
459. Funções trigonométricas e suas inversas
460. Função de Potência
461. Exemplos
§ 6. Série envolvente e assintótica. Fórmula de Euler-Maclaurin
462. Exemplos
463. Definições
464. Propriedades Básicas de Expansões Assintóticas
465. Derivação da Fórmula de Euler-Maclaurin
466. Estudo de um membro adicional
467. Exemplos de Cálculos Usando a Fórmula de Euler-Maclaurin
468. Outra forma da fórmula de Euler-Maclaurin
469. Fórmula e Série de Sterling
CAPÍTULO TREZE. Integrais impróprios
§ 1. Integrais impróprias com limites infinitos
470. Definição de integrais com limites infinitos
471. Aplicação da fórmula básica do cálculo integral
472. Exemplos
473. Analogia com séries. Os teoremas mais simples
474. Convergência da Integral no Caso de Função Positiva
475. Convergência do Integral no Caso Geral
476. Sinais de Abel e Dirichlet
477. Reduzindo uma Integral Imprópria a uma Série Infinita
478. Exemplos
§ 2. Integrais impróprias de funções ilimitadas
479. Definição de Integrais de Funções Ilimitadas
480. Uma nota sobre pontos singulares
481. Aplicação da fórmula básica do cálculo integral.
482. Condições e sinais da existência de uma integral
483. Exemplos
484. Valores Principais de Integrais Impróprios
485. Uma observação sobre valores generalizados de integrais divergentes
§ 3. Propriedades e transformação de integrais impróprias
486. As Propriedades Mais Simples
487. Teoremas do Valor Médio
488 Integração por partes no caso de integrais impróprias
489. Exemplos
490. Mudança de Variáveis em Integrais Impróprias
491. Exemplos
§ 4. Métodos especiais para cálculo de integrais impróprias
492. Algumas Integrais Notáveis
493. Cálculo de integrais impróprias com a ajuda de somas integrais. O caso de integrais com limites finitos
494. O Caso das Integrais com Limite Infinito
495 Integrais de Frullani
496. Integrais de Funções Racionais entre Limites Infinitos
497. Exemplos e exercícios mistos
§ 5. Cálculo aproximado de integrais impróprias
498. Integrais com limites finitos; recursos de destaque
499. Exemplos
500. Observação sobre o cálculo aproximado de autointegrais
501. Cálculo aproximado de integrais impróprias com limite infinito
502. Uso de expansões assintóticas
CAPÍTULO 14. INTEGRAIS DEPENDENDO DE UM PARÂMETRO
§ 1. Teoria elementar
503. Declaração do problema
504. Aspiração Uniforme à Função Limite
505. Permutação de duas passagens até o limite
506. Passando ao limite sob o sinal de integral
507. Diferenciação sob o Signo Integral
508. Integração sob o signo integral
509. O Caso em que e os Limites da Integral Dependem do Parâmetro
510. Introdução de um multiplicador dependendo apenas de x
511. Exemplos
512. Demonstração gaussiana do teorema fundamental da álgebra
§ 2. Convergência uniforme de integrais
513. Definição de convergência uniforme de integrais
514. Condição para convergência uniforme. Relação com linhas
515. Testes Suficientes para Convergência Uniforme
516. Outro caso de convergência uniforme
517. Exemplos
§ 3. Uso de convergência uniforme de integrais
518. Passando ao limite sob o sinal de integral
519. Exemplos
520. Continuidade e diferenciabilidade de uma integral em relação a um parâmetro
521. Integração sobre um parâmetro
522. Aplicação ao cálculo de certas integrais
523. Exemplos de Diferenciação sob o Signo Integral
524. Exemplos de integração sob o signo integral
§ 4. Adições
525. Lema de Arzel
526. Passando ao limite sob o sinal de integral
527. Diferenciação sob o Signo Integral
528. Integração sob o signo integral
§ 5. Integrais de Euler
529. Integral de Euler de primeira espécie
530. Integral de Euler de segundo tipo
531. As Propriedades Mais Simples da Função Γ
532. Definição única da função Γ por suas propriedades
533. Outra característica funcional da função Г
534. Exemplos
535. A derivada logarítmica da função Г
536. O teorema da multiplicação para a função Ã
537. Algumas expansões em séries e produtos
538. Exemplos e adições
539. Cálculo de certas integrais definidas
540. Fórmula de Stirling 9
541 Calculando a Constante de Euler
542. Elaboração de uma tabela de logaritmos decimais da função G
CAPÍTULO QUINZE. INTEGRAL CURVILINEAR. Stieltjes integral
§ 1. Integrais curvilíneas do primeiro tipo 11
543. Definição de uma Integral Curvilínea do Primeiro Tipo 11
544. Redução ao integral definido ordinário 13
545. Exemplos 15
§ 2. Integrais curvilíneas do segundo tipo 20
546. Definição de Integrais Curvilíneas do Segundo Tipo 20
547. Existência e cálculo de uma integral curvilínea do segundo tipo
548. O caso de um circuito fechado. Orientação do plano 25
549. Exemplos 27
550. Aproximação usando uma integral tomada sobre uma linha quebrada 30
551 Calculando Áreas Usando Integrais Curvilíneas 32
552. Exemplos 35
553. Relação entre Integrais Curvilíneas de Ambos os Tipos 38
554. Problemas físicos 40 § 3. Condições para a independência da integral curvilínea do caminho 45
555. Exposição do problema, conexão com a questão do diferencial exato 45
556. Derivação de uma integral independente do caminho 46
557. Cálculo da Integral Curvilínea através da Antiderivada 49
558. Teste para Diferencial Exato e Encontrando a Antiderivada no Caso de uma Região Retangular
559. Generalização para o caso de uma região arbitrária 52
560. Resultados finais 55
561 Integrais de malha fechada 56
562. O Caso de uma Região Não Simplesmente Conectada ou a Presença de Pontos Singulares 57
563. Integral de Gauss 62
564. Caso Tridimensional 64
565. Exemplos 67
566. Aplicação a problemas físicos 71
§ 4. Funções com variação limitada 74
567. Definição de função com alteração limitada 74
568. Classes de Funções com Variação Limitada 76
569. Propriedades das Funções com Variação Limitada 79
570. Critérios para funções com alteração limitada 82
571 Funções Contínuas com Variação Limitada 84
572 Curvas Rectificáveis 87
§ 5. O Stieltjes integral 89
573. Definição da integral de Stieltjes 89
574 Condições Gerais de Existência do Stieltjes Integral 91
575. Classes de casos da existência do integral de Stieltjes 92
576 Propriedades do Integral de Stieltjes 95
577. Integração por partes 97
578 Redução do Stieltjes integral ao Riemann integral 98
579 Cálculo de Integrais de Stieltjes 100
580. Exemplos 104
581. Ilustração geométrica da integral de Stieltjes 111
582. Teorema da Média, Estimativas 112
583 Passando ao limite sob o signo da integral de Stieltjes 114
584. Exemplos e adições 115
585. Redução de uma integral curvilínea do segundo tipo a uma integral de Stieltjes
CAPÍTULO DEZESSEIS. INTEGRAL DUPLA
§ 1. Definição e propriedades elementares da integral dupla 122
586. O problema do volume de uma barra cilíndrica 122
587. Redução de uma integral dupla para uma iterada 123
588. Definição da integral dupla 125
589. Condições para a existência de um integral duplo 127
590 Classes de Funções Integráveis 128
591. Integrais Inferiores e Superiores como Limites 130
592. Propriedades de funções integráveis e integrais duplas 131
593. Integral como função aditiva de uma região; diferenciação de região
§ 2. Cálculo da integral dupla 137
594. Redução de uma integral dupla para uma iterada no caso de uma região retangular
595. Exemplos 141
596. Redução de uma integral dupla para uma iterada no caso de uma região curvilínea
597. Exemplos 152
598. Aplicações mecânicas 165
599. Exemplos 167
§ 3. Fórmula 174 de Green
600. Derivação da Fórmula 174 de Green
601. Aplicação da Fórmula de Green ao Estudo de Integrais Curvilíneas
602. Exemplos e adições 179
§ 4. Mudança de variáveis na integral dupla 182
603. Transformando Áreas Planas 182
604. Exemplos 184
605. Expressão de área em coordenadas curvilíneas 189
606. Observações adicionais 192
607. Derivação geométrica 194
608. Exemplos 196
609 Mudança de Variáveis em Integrais Duplas 204
610. Analogia com uma integral simples. Integral sobre área orientada
611. Exemplos 207
§ 5. Integrais duplos impróprios 214
612. Integrais estendidas para uma região ilimitada 214
613. O teorema da convergência absoluta de uma integral dupla imprópria
614. Redução de uma integral dupla para uma iterada 219
615. Integrais de funções ilimitadas 221
616 Mudança de Variáveis em Integrais Impróprias 223
617. Exemplos 225
CAPÍTULO DEZESSETE. ÁREA DE SUPERFÍCIE. INTEGRAL DE SUPERFÍCIE
§ 1. Superfícies de dois lados 241
618. Lado da superfície 241
617. Exemplos 243
620. Orientação de superfícies e espaço 244
621. Escolhendo um sinal em fórmulas para cossenos de direção do normal 246
622. O Caso de uma Superfície Lisa por Partes 247
§ 2. Área de uma superfície curva 248
623. Exemplo de Schwartz 248
624. Determinando a área de uma superfície curva 251
625. Observação 252
626. Existência de superfície e seu cálculo 253
627. Aproximação através de superfícies poliédricas inscritas 258
628. Casos especiais de determinação de área 259
629. Exemplos 260
§ 3. Integrais de superfície do primeiro tipo 274
630. Definição de uma Integral de Superfície do Primeiro Tipo 274
631. Redução ao integral duplo ordinário 275
632. Aplicações mecânicas de integrais de superfície do primeiro tipo 277
633. Exemplos 279
§ 4. Integrais de superfície do segundo tipo 285
634. Definição de uma integral de superfície do segundo tipo 285
635. Os Casos Especiais Mais Simples 287
636. Caso Geral 290
637. Detalhe da prova 292
638. Expressando o Volume de um Corpo por uma Integral de Superfície 293
639. Fórmula de Stokes 297
640. Exemplos 299
641. Aplicação da Fórmula de Stokes ao Estudo de Integrais Curvilíneas no Espaço
CAPÍTULO DEZOITO. INTEGRAS TRIPLAS E MÚLTIPLAS
§ 1. A integral tripla e seu cálculo 308
642. O problema de calcular a massa de um corpo 308
643. Tríplice Integral e Condições para Sua Existência 309
644. Propriedades de funções integráveis e integrais triplos 310
645. Avaliação da Tríplice Integral Estendida a um Paralelepípedo
646. Cálculo da integral tripla sobre qualquer área 314
647 Integrais Triplos Impróprios 315
648. Exemplos 316
649. Aplicações mecânicas 323
650. Exemplos 325
§ 2. Fórmula de Gauss-Ostrogradsky 333
651. Fórmula 333 de Ostrogradsky
652. Aplicação da fórmula de Ostrogradsky ao estudo de integrais de superfície
653 Integral de Gauss 336
654. Exemplos 338
§ 3. Mudança de variáveis em integrais triplos 342
655. Transformação de espaços e coordenadas curvilíneas 342
656. Exemplos 343
657 Expressando Volume em Coordenadas Curvilíneas 345
658. Observações adicionais 348
659. Derivação geométrica 349
660. Exemplos 350
661 Mudança de Variáveis em Integrais Triplas 358
662. Exemplos 359
663. Atração do Corpo e Potencial para um Ponto Interno 364
§ 4. Elementos de análise vetorial 366
664. Escalares e Vetores 366
665. Campos escalares e vetoriais 367
666. Gradiente 368
667 Fluxo vetorial através de uma superfície 370
668. A fórmula de Ostrogradsky. Divergência 371
669. Circulação vetorial. Fórmula de Stokes. Redemoinho 372
670. Campos especiais 374
671. Problema Inverso de Análise Vetorial 378
672. Aplicações 378
§ 5. Integrais múltiplos 384
673. O Problema da Atração e Potencial de Dois Corpos 384
674. Volume de um corpo n-dimensional, integral n-fold 386
675 Mudança de variáveis em integral n vezes 388
676. Exemplos 391
CAPÍTULO DEZENOVE. SÉRIES DE FOURIER
§ 1 Introdução 414
677 Quantidades Periódicas e Análise Harmônica 414
678. Determinação de Coeficientes pelo Método de Euler-Fourier 417
679. Sistemas ortogonais de funções 419
680. Interpolação Trigonométrica 424
§ 2. Expansão de Fourier de funções 427
681. Enunciado da questão. Integral de Dirichlet 427
682. Primeiro lema principal 429
683. O princípio da localização 432
684. Testes de Dini e Lipschitz para a Convergência de Fourier Série 433
685. Segundo Lema Principal 436
686. Sinal de Dirichlet-Jordânia 438
687. O Caso de uma Função Não Periódica 440
688. O Caso de um Intervalo Arbitrário 441
689. Expansões apenas em cossenos ou apenas em senos 442
690. Exemplos 446
691. Decomposição de In T(x) 461
§ 3. Adições 463
692. Série com Coeficientes Decrescentes 463
693. Soma de Séries Trigonométricas Usando Funções Analíticas de uma Variável Complexa
694. Exemplos 472
695. Forma Complexa da Série Fourier 477
696. Série conjugada 480
697 Série Múltipla de Fourier 483
§ 4. A natureza da convergência da série de Fourier 484
698. Algumas adições aos principais lemas 484
699. Testes para convergência uniforme da série de Fourier 487
700 Comportamento da série de Fourier próximo ao ponto de descontinuidade; caso especial 490
701. O Caso de uma Função Arbitrária 495
702. Singularidades da série de Fourier; observações preliminares 497
703. Construção de singularidades 500
§ 5. Uma estimativa do restante dependendo das propriedades diferenciais de uma função 502
704. Conexão entre os coeficientes de Fourier de uma função e suas derivadas 502
705 Estimativa de uma Soma Parcial no Caso de uma Função Restrita 503
706 Estimativa do resto no caso de uma função com derivada k-ésima limitada 505
707. O Caso de uma Função Tendo a k-ésima Derivada com Variação Limitada
708. Influência das descontinuidades de uma função e suas derivadas na ordem de pequenez dos coeficientes de Fourier
709. O caso de uma função definida no intervalo 514
710. Método de extração de recursos 516
§ 6. Integral de Fourier 524
711. A Integral de Fourier como Caso Limite da Série de Fourier 524
712. Observações preliminares 526
713. Sinais suficientes 527
714. Modificação da premissa básica 529
715. Várias Formas da Fórmula de Fourier 532
716. Transformada de Fourier 534
717. Algumas Propriedades das Transformadas de Fourier 537
718. Exemplos e adições 538
719. O Caso de uma Função de Duas Variáveis 545
Seção 7 Apêndices 547
720. Expressão da anomalia excêntrica de um planeta em termos de sua anomalia média
721. O Problema da Vibração de uma Corda 549
722. O Problema da Propagação de Calor em uma Barra Finita 553
723. O Caso de uma Vara Infinita 557
724. Modificação das condições limite 559
725. Distribuição de Calor em uma Placa Redonda 561
726 Análise Harmônica Prática Esquema para doze ordenadas
727. Exemplos 565
728. Esquema para vinte e quatro ordenadas 569
729. Exemplos 570
730. Comparação de Valores Aproximados e Exatos dos Coeficientes de Fourier
CAPÍTULO VINTE. SÉRIE FOURIER (continuação)
§ 1. Operações na série de Fourier. Completude e fechamento 574
731. Integração Termo a Termo da Série Fourier 574
732. Diferenciação de Prazos da Série Fourier 577
733. Completude do sistema trigonométrico 578
734. Aproximação uniforme de funções. Teoremas de Weierstrass 580
735. Aproximação de funções em média. Propriedades extremas de segmentos da série de Fourier
736. Fechamento do sistema trigonométrico. Teorema de Lyapunov 586
737. Equação de fechamento generalizada 589
738. Multiplicação da Série de Fourier 592
739. Algumas Aplicações da Equação de Fechamento 593
§ 2. Aplicação de métodos de soma generalizada à série de Fourier 599
740. Lema Principal 599
741. Soma Poisson-Abel da Série Fourier 601
742. Solução do problema de Dirichlet para um círculo 605
743. Soma de séries de Fourier pelo método Ces'aro-Fejér 607
744. Algumas aplicações da soma generalizada da série de Fourier 609
745. Diferenciação do Termo da Série Fourier 611
§ 3. Unicidade da expansão trigonométrica de uma função 613
746. Proposições Auxiliares sobre Derivadas Generalizadas 613
747. Método Riemann de soma de séries trigonométricas 616
748. Lema sobre os coeficientes de uma série convergente 620
749. Unicidade da expansão trigonométrica 621
750. Teoremas finais na série de Fourier 623
751. Generalização 626
ADIÇÃO. PONTO DE VISTA GERAL NO LIMITE
752. Diferentes Tipos de Limites Encontrados na Análise 631
753. Conjuntos ordenados (corretamente) 632
754. Conjuntos Ordenados (em Sentido Generalizado) 633
755. Uma variável ordenada e seu limite 636
756. Exemplos 637
757. Uma observação sobre o limite de uma função 639
758. Extensão da teoria dos limites 640
759. Variáveis igualmente ordenadas 643
760 Pedido com Parâmetro Numérico 644
761. Redução para variante 645
762. Limites Maiores e Menores de uma Variável Ordenada 647
