Em 14 de março, um feriado muito incomum é comemorado em todo o mundo - o Dia do Pi. Todo mundo sabe disso desde os tempos de escola. Os alunos são imediatamente explicados que o número Pi é uma constante matemática, a razão entre a circunferência de um círculo e seu diâmetro, que tem um valor infinito. Acontece que muitos fatos interessantes estão relacionados a esse número.
1. A história dos números tem mais de um milênio, quase tanto tempo quanto a ciência da matemática existe. Claro, o valor exato do número não foi calculado imediatamente. No início, a razão entre a circunferência e o diâmetro era considerada igual a 3. Mas com o tempo, quando a arquitetura começou a se desenvolver, foi necessária uma medição mais precisa. Aliás, o número existia, mas recebeu uma designação de letra apenas no início do século XVIII (1706) e vem das letras iniciais de duas palavras gregas que significam “circunferência” e “perímetro”. O matemático Jones dotou o número com a letra "π", e ela entrou firmemente na matemática já em 1737.
2. Em diferentes épocas e entre diferentes povos, o número Pi teve significados diferentes. Por exemplo, no antigo Egito era 3,1604, entre os hindus adquiriu o valor de 3,162, os chineses usavam o número igual a 3,1459. Com o passar do tempo, π foi calculado cada vez com mais precisão, e quando surgiu a tecnologia computacional, ou seja, um computador, passou a ter mais de 4 bilhões de caracteres.
3. Existe uma lenda, mais precisamente, os especialistas acreditam que o número Pi foi usado na construção da Torre de Babel. No entanto, não foi a ira de Deus que causou seu colapso, mas cálculos incorretos durante a construção. Tipo, os antigos mestres estavam enganados. Existe uma versão semelhante em relação ao templo de Salomão.
4. Ressalta-se que tentaram introduzir o valor de Pi ainda em nível estadual, ou seja, por meio da lei. Em 1897, um projeto de lei foi elaborado no estado de Indiana. De acordo com o documento, Pi era 3,2. No entanto, os cientistas intervieram a tempo e, assim, evitaram um erro. Em particular, o professor Purdue, que estava presente na assembléia legislativa, se manifestou contra o projeto.
5. É interessante que vários números da sequência infinita Pi tenham seu próprio nome. Assim, seis noves de Pi têm o nome de um físico americano. Certa vez, Richard Feynman estava dando uma palestra e surpreendeu o público com um comentário. Ele disse que queria aprender os dígitos de pi até seis noves de cor, apenas para dizer "nove" seis vezes no final da história, sugerindo que seu significado era racional. Quando na verdade é irracional.
6. Matemáticos de todo o mundo não param de fazer pesquisas relacionadas ao número Pi. Está literalmente envolta em mistério. Alguns teóricos até acreditam que ela contém uma verdade universal. Para compartilhar conhecimento e novas informações sobre Pi, eles organizaram o Pi Club. Entrar não é fácil, você precisa ter uma memória excelente. Assim, aqueles que desejam se tornar membros do clube são examinados: uma pessoa deve dizer o máximo possível de sinais do número Pi de memória.
7. Eles até inventaram várias técnicas para lembrar o número Pi depois da vírgula. Por exemplo, eles vêm com textos inteiros. Neles, as palavras têm o mesmo número de letras que o dígito correspondente após a vírgula. Para simplificar ainda mais a memorização de um número tão longo, eles compõem versos de acordo com o mesmo princípio. Os membros do Pi Club geralmente se divertem dessa maneira e, ao mesmo tempo, treinam sua memória e engenhosidade. Por exemplo, Mike Keith tinha um hobby assim, que dezoito anos atrás inventou uma história em que cada palavra era igual a quase quatro mil (3834) primeiros dígitos de pi.
8. Existem até pessoas que bateram recordes para memorizar sinais Pi. Assim, no Japão, Akira Haraguchi memorizou mais de oitenta e três mil caracteres. Mas o recorde doméstico não é tão notável. Um residente de Chelyabinsk conseguiu memorizar apenas dois mil e quinhentos números após o ponto decimal de Pi.
"Pi" em perspectiva
9. O Dia do Pi é comemorado há mais de um quarto de século, desde 1988. Certa vez, um físico do Popular Science Museum em San Francisco, Larry Shaw, notou que 14 de março era escrito da mesma forma que pi. Em uma data, o mês e o dia formam 3.14.
10. O Dia do Pi é comemorado não só de uma forma original, mas de uma forma divertida. Claro, os cientistas envolvidos nas ciências exatas não perdem isso. Para eles, esta é uma maneira de não se afastar do que amam, mas ao mesmo tempo relaxar. Neste dia, as pessoas se reúnem e cozinham diferentes guloseimas com a imagem de Pi. Especialmente há um lugar para os confeiteiros passearem. Eles podem fazer bolos pi e biscoitos de formato semelhante. Depois de provar as guloseimas, os matemáticos organizam vários questionários.
11. Há uma coincidência interessante. Em 14 de março, nasceu o grande cientista Albert Einstein, que, como você sabe, criou a teoria da relatividade. Seja como for, os físicos também podem participar da celebração do Pi Day.
Recentemente, existe uma fórmula elegante para calcular pi, que foi publicada pela primeira vez em 1995 por David Bailey, Peter Borwein e Simon Pluff:
Parece: o que há de especial nisso - existem muitas fórmulas para calcular Pi: desde o método escolar de Monte Carlo até a incompreensível integral de Poisson e a fórmula de François Vieta do final da Idade Média. Mas é essa fórmula que você deve prestar atenção especial - ela permite calcular o enésimo sinal de pi sem encontrar os anteriores. Para obter informações sobre como funciona, bem como para código C pronto que calcula o 1.000.000º caractere, peço um habrakat.
Como funciona o algoritmo para calcular o enésimo sinal de Pi?
Por exemplo, se precisarmos do milésimo dígito hexadecimal de pi, multiplicamos a fórmula inteira por 16^1000, transformando assim o fator na frente dos colchetes em 16^(1000-k). Ao exponenciar, usamos o algoritmo de exponenciação binária ou, como será mostrado no exemplo abaixo, módulo de exponenciação. Depois disso, calculamos a soma de vários termos da série. Além disso, não é necessário calcular muito: à medida que k aumenta, 16 ^ (N-k) diminui rapidamente, de modo que os termos subsequentes não afetarão o valor dos dígitos desejados). Isso é tudo mágico - engenhoso e simples.
A fórmula Bailey-Borwein-Pluff foi encontrada por Simon Pluff usando o algoritmo PSLQ, que foi incluído na lista dos 10 melhores algoritmos do século em 2000. O próprio algoritmo PSLQ foi desenvolvido por Bailey. Aqui está uma série mexicana sobre matemáticos.
A propósito, o tempo de execução do algoritmo é O(N), o uso de memória é O(log N), onde N é o número ordinal do caractere desejado.
Acho que seria apropriado fornecer o código C escrito diretamente pelo autor do algoritmo, David Bailey:
/* Este programa implementa o algoritmo BBP para gerar alguns dígitos hexadecimais começando imediatamente após um determinado id de posição, ou em outras palavras, começando no id de posição + 1. Na maioria dos sistemas usando aritmética de ponto flutuante IEEE de 64 bits, este código funciona corretamente desde que d seja menor que aproximadamente 1,18 x 10^7. Se a aritmética de 80 bits puder ser empregada, esse limite será significativamente maior. Qualquer que seja a aritmética usada, os resultados para um determinado id de posição podem ser verificados repetindo com id-1 ou id+1 e verificando se os dígitos hexadecimais se sobrepõem perfeitamente a um deslocamento de um, exceto possivelmente por alguns dígitos à direita. As frações resultantes são normalmente precisas de pelo menos 11 dígitos decimais e de pelo menos 9 dígitos hexadecimais. */ /* David H. Bailey 08-09-2006 */ #include
Que oportunidades dá? Por exemplo: podemos criar um sistema de computação distribuído que calcula o número Pi e estabelece um novo recorde de precisão de cálculo para todos os Habr (que agora, aliás, são 10 trilhões de casas decimais). De acordo com dados empíricos, a parte fracionária do número Pi é uma sequência numérica normal (embora isso ainda não tenha sido comprovado de forma confiável), o que significa que sequências de dígitos dela podem ser usadas na geração de senhas e apenas números aleatórios, ou em criptografia algoritmos (por exemplo, em hashing) . Você pode encontrar uma grande variedade de maneiras de usá-lo - você só precisa ativar sua imaginação.
Você pode encontrar mais informações sobre o tema no artigo do próprio David Bailey, onde ele fala detalhadamente sobre o algoritmo e sua implementação (pdf);
E parece que você acabou de ler o primeiro artigo em russo sobre esse algoritmo no RuNet - não consegui encontrar outros.
PI
O símbolo PI representa a razão entre a circunferência de um círculo e seu diâmetro. Pela primeira vez neste sentido, o símbolo p foi usado por W. Jones em 1707, e L. Euler, tendo aceitado esta designação, introduziu-o em uso científico. Mesmo nos tempos antigos, os matemáticos sabiam que calcular o valor de p e a área de um círculo são tarefas intimamente relacionadas. Os antigos chineses e antigos judeus consideravam o número p igual a 3. O valor de p, igual a 3,1605, está contido no antigo papiro egípcio do escriba Ahmes (c. 1650 aC). Por volta de 225 aC e. Arquimedes, usando 96 gons regulares inscritos e circunscritos, aproximou a área de um círculo usando um método que resultou em um valor de PI entre 31/7 e 310/71. Outro valor aproximado de p, equivalente à representação decimal usual deste número 3,1416, é conhecido desde o século II. L. van Zeulen (1540-1610) calculou o valor de PI com 32 casas decimais. Até o final do século XVII. novos métodos de análise matemática tornaram possível calcular o valor de p de muitas maneiras diferentes. Em 1593 F. Viet (1540-1603) derivou a fórmula
Em 1665 J. Wallis (1616-1703) provou que
Em 1658, W. Brounker encontrou uma representação do número p na forma de uma fração contínua
G. Leibniz em 1673 publicou uma série
As séries permitem calcular o valor de p com qualquer número de casas decimais. Nos últimos anos, com o advento dos computadores eletrônicos, o valor de p foi encontrado com mais de 10.000 dígitos. Com dez dígitos, o valor de PI é 3,1415926536. Como número, PI tem algumas propriedades interessantes. Por exemplo, não pode ser representado como uma razão de dois números inteiros ou como um decimal periódico; o número PI é transcendental, ou seja, não pode ser representado como uma raiz de uma equação algébrica com coeficientes racionais. O número PI está incluído em muitas fórmulas matemáticas, físicas e técnicas, incluindo aquelas não diretamente relacionadas à área de um círculo ou ao comprimento de um arco de círculo. Por exemplo, a área de uma elipse A é dada por A = pab, onde a e b são os comprimentos dos semieixos maior e menor.
Enciclopédia Collier. - Sociedade aberta. 2000 .
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MAS; pl. números, aldeias, slam; cf. 1. Uma unidade de conta que expressa uma ou outra quantidade. Horas fracionárias, inteiras, simples. Horas pares, ímpares. Conte como números redondos (aproximadamente, contando como unidades inteiras ou dezenas). Horas naturais (inteiro positivo ... dicionário enciclopédico
qua quantidade, contagem, à pergunta: quanto? e o próprio sinal que expressa a quantidade, a figura. Sem número; sem número, sem contagem, muitos muitos. Coloque os aparelhos de acordo com o número de convidados. Números romanos, árabes ou de igreja. inteiro, contra. fração. ... ... Dicionário explicativo de Dahl
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Quantidade, dinheiro, composição, força, contingente, quantia, figura; dia.. qua. . Veja dia, quantidade. um número pequeno, nenhum número, cresce em número... Dicionário de sinônimos russos e expressões semelhantes em significado. debaixo. ed. N. Abramova, M.: Russos ... ... Dicionário de sinônimos
Livros
- Número do nome. Segredos da numerologia. Saída do corpo para os preguiçosos. ESP Primer (número de volumes: 3), Lawrence Shirley. Número do nome. Segredos da numerologia. O livro de Shirley B. Lawrence é um estudo abrangente do antigo sistema esotérico - numerologia. Para aprender a usar vibrações numéricas para…
- Número do nome. O significado sagrado dos números. Simbolismo do Tarô (número de volumes: 3), Uspensky Petr. Número do nome. Segredos da numerologia. O livro de Shirley B. Lawrence é um estudo abrangente do antigo sistema esotérico - numerologia. Para aprender a usar vibrações numéricas para…
Não existe ciclicidade e sistema nos dígitos após a vírgula, ou seja, na expansão decimal de Pi existe qualquer sequência de dígitos que você possa imaginar (incluindo uma raríssima sequência de um milhão de zeros não triviais em matemática, predita pelo matemático alemão Bernhardt Riemann em 1859).
Isso significa que Pi, em forma codificada, contém todos os livros escritos e não escritos e, em geral, qualquer informação que exista (e é por isso que os cálculos do professor japonês Yasumasa Kanada, que recentemente determinou o número Pi para 12411 trilhões de casas decimais, estavam certos lá classificado - com tal volume de dados não é difícil recriar o conteúdo de qualquer documento secreto impresso antes de 1956, embora esses dados não sejam suficientes para determinar a localização de qualquer pessoa, isso requer pelo menos 236734 trilhões de casas decimais - é assumiu que esse trabalho está sendo realizado agora no Pentágono (usando computadores quânticos, cuja frequência de clock dos processadores já está se aproximando da velocidade do som hoje).
Através do número Pi, qualquer outra constante pode ser definida, incluindo a constante de estrutura fina (alfa), a constante de proporção áurea (f=1,618…), sem falar no número e - é por isso que o número pi é encontrado não apenas em geometria, mas também na teoria da relatividade, mecânica quântica, física nuclear, etc. Além disso, os cientistas descobriram recentemente que é através do Pi que se pode determinar a localização das partículas elementares na Tabela de partículas elementares (anteriormente eles tentaram fazer isso através da Tabela Woody), e a mensagem de que no DNA humano recentemente decifrado, o número Pi é responsável pela própria estrutura do DNA (bastante complexo, note-se), produziu o efeito de uma bomba explodindo!
De acordo com o Dr. Charles Cantor, sob cuja liderança o DNA foi decifrado: “Parece que chegamos a desvendar algum quebra-cabeça fundamental que o universo nos lançou. O número Pi está em toda parte, ele controla todos os processos conhecidos por nós, permanecendo inalterado! Quem controla o próprio Pi? Nenhuma resposta ainda." Na verdade, Kantor é astuto, há uma resposta, é tão incrível que os cientistas preferem não torná-la pública, temendo por suas próprias vidas (mais sobre isso depois): Pi se controla, é razoável! Absurdo? Não se apresse.
Afinal, mesmo Fonvizin disse que “na ignorância humana é muito reconfortante considerar tudo como bobagem que você não conhece.
Primeiro, conjecturas sobre a razoabilidade dos números em geral têm visitado muitos matemáticos famosos de nosso tempo. O matemático norueguês Niels Henrik Abel escreveu à sua mãe em fevereiro de 1829: “Recebi a confirmação de que um dos números é razoável. Eu falei com ele! Mas me assusta não conseguir descobrir qual é esse número. Mas talvez seja o melhor. O Número me avisou que eu seria punido se fosse revelado.” Quem sabe Niels teria revelado o significado do número que falava com ele, mas em 6 de março de 1829, ele morreu.
Em 1955, o japonês Yutaka Taniyama apresenta a hipótese de que “toda curva elíptica corresponde a uma certa forma modular” (como se sabe, o teorema de Fermat foi provado com base nessa hipótese). 15 de setembro de 1955, no Simpósio Internacional de Matemática em Tóquio, onde Taniyama anunciou sua conjectura, à pergunta de um jornalista: “Como você achou isso?” - Taniyama responde: “Eu não pensei nisso, o número me falou sobre isso no telefone.”
A jornalista, achando que aquilo era uma brincadeira, resolveu “apoiá-la”: “Deu-te um número de telefone?” Ao que Taniyama respondeu seriamente: “Parece que esse número é conhecido há muito tempo, mas agora só posso dizer depois de três anos, 51 dias, 15 horas e 30 minutos”. Em novembro de 1958, Taniyama cometeu suicídio. Três anos, 51 dias, 15 horas e 30 minutos é 3,1415. Coincidência? Talvez. Mas aqui está algo ainda mais estranho. O matemático italiano Sella Quitino também, por vários anos, como ele mesmo disse vagamente, “manteve contato com um número fofo”. A figura, de acordo com Kvitino, que já estava em um hospital psiquiátrico na época, “prometeu dizer seu nome no aniversário”. Kvitino poderia ter enlouquecido tanto a ponto de chamar o número Pi de um número, ou ele estava deliberadamente confundindo os médicos? Não está claro, mas em 14 de março de 1827, Kvitino morreu.
E a história mais misteriosa está ligada ao “grande Hardy” (como todos sabem, é assim que os contemporâneos chamavam o grande matemático inglês Godfrey Harold Hardy), que, junto com seu amigo John Littlewood, é famoso por seu trabalho em teoria dos números (especialmente no campo das aproximações diofantinas) e teoria das funções (onde amigos se tornaram famosos pelo estudo das desigualdades). Como você sabe, Hardy era oficialmente solteiro, embora tenha afirmado repetidamente que estava "noivo com a rainha do nosso mundo". Os colegas cientistas o ouviram falar com alguém em seu escritório mais de uma vez, ninguém jamais viu seu interlocutor, embora sua voz - metálica e um pouco rouca - tenha sido o assunto da cidade na Universidade de Oxford, onde trabalhou nos últimos anos . Em novembro de 1947, essas conversas param e, em 1º de dezembro de 1947, Hardy é encontrado no lixão da cidade, com uma bala no estômago. A versão do suicídio também foi confirmada por uma nota, onde a letra de Hardy estava escrita: "John, você roubou a rainha de mim, não o culpo, mas não posso mais viver sem ela".
Esta história está relacionada com pi? Até agora não está claro, mas não é curioso?+
Esta história está relacionada com pi? Ainda não está claro, mas não é curioso?
De um modo geral, pode-se desenterrar muitas dessas histórias e, é claro, nem todas são trágicas.
Mas, vamos para o "segundo": como um número pode ser razoável? Sim, muito simples. O cérebro humano contém 100 bilhões de neurônios, o número de pi após o ponto decimal geralmente tende ao infinito, em geral, de acordo com sinais formais, pode ser razoável. Mas se você acredita no trabalho do físico americano David Bailey e dos matemáticos canadenses Peter
Borwin e Simon Plofe, a sequência de casas decimais em Pi está sujeita à teoria do caos, grosso modo, Pi é o caos em sua forma original. O caos pode ser racional? Certamente! Da mesma forma que o vácuo, com seu aparente vazio, como você sabe, ele não é de forma alguma vazio.
Além disso, se desejar, você pode representar esse caos graficamente - para ter certeza de que pode ser razoável. Em 1965, o matemático americano de origem polonesa Stanislav M. Ulam (foi ele quem teve a ideia-chave para o projeto de uma bomba termonuclear), estando presente em uma reunião muito longa e muito chata (segundo ele), em para se divertir de alguma forma, começou a escrever números em papel quadriculado, incluído no número Pi.
Colocando 3 no centro e movendo-se em uma espiral anti-horária, ele escreveu 1, 4, 1, 5, 9, 2, 6, 5 e outros números após a vírgula. Sem segundas intenções, ele circulou todos os números primos em círculos pretos ao longo do caminho. Logo, para sua surpresa, os círculos começaram a se alinhar ao longo das linhas retas com incrível persistência - o que aconteceu foi muito parecido com algo razoável. Especialmente depois que Ulam gerou uma imagem colorida com base neste desenho, usando um algoritmo especial.
Na verdade, essa imagem, que pode ser comparada tanto com o cérebro quanto com a nebulosa estelar, pode ser chamada com segurança de “cérebro de Pi”. Aproximadamente com a ajuda de tal estrutura, esse número (o único número razoável no universo) controla nosso mundo. Mas como é feito esse controle? Como regra, com a ajuda das leis não escritas da física, química, fisiologia, astronomia, que são controladas e corrigidas por um número razoável. Os exemplos acima mostram que um número razoável também é personificado de propósito, comunicando-se com os cientistas como uma espécie de superpersonalidade. Mas se sim, o número Pi veio ao nosso mundo, disfarçado de uma pessoa comum?
Questão complexa. Talvez tenha chegado, talvez não, não há e não pode haver um método confiável para determinar isso, mas se esse número for determinado por si mesmo em todos os casos, podemos supor que ele entrou em nosso mundo como pessoa no dia correspondente a seu valor. Claro, a data de nascimento ideal de Pi é 14 de março de 1592 (3.141592), no entanto, infelizmente, não há estatísticas confiáveis para este ano - sabe-se apenas que George Villiers Buckingham, o Duque de Buckingham de "Três Mosqueteiros". Ele era um grande espadachim, sabia muito sobre cavalos e falcoaria - mas ele era Pi? Improvável. Duncan MacLeod, que nasceu em 14 de março de 1592, nas montanhas da Escócia, poderia idealmente reivindicar o papel da personificação humana do número Pi - se ele fosse uma pessoa real.
Mas afinal, o ano (1592) pode ser determinado de acordo com sua própria cronologia mais lógica para Pi. Se aceitarmos essa suposição, haverá muito mais candidatos ao papel de Pi.
O mais óbvio deles é Albert Einstein, nascido em 14 de março de 1879. Mas 1879 é 1592 em relação a 287 AC! E por que exatamente 287? Sim, porque foi neste ano que nasceu Arquimedes, que pela primeira vez no mundo calculou o número Pi como a razão entre a circunferência e o diâmetro e provou que é o mesmo para qualquer círculo!
Coincidência? Mas não são muitas coincidências, o que você acha?
Em que personalidade Pi é personificada hoje, não está claro, mas para ver o significado desse número para o nosso mundo, não é necessário ser um matemático: Pi se manifesta em tudo o que nos cerca. E isso, aliás, é muito típico de qualquer ser inteligente, que, sem dúvida, é Pi!
Para calcular qualquer grande número de sinais de pi, o método anterior não é mais adequado. Mas há um grande número de sequências que convergem para Pi muito mais rapidamente. Vamos usar, por exemplo, a fórmula de Gauss:
| p | = 12 arctan | 1 | + 8 arctan | 1 | - 5 arctan | 1 |
| 4 | 18 | 57 | 239 |
A prova desta fórmula é simples, então vamos omiti-la.
Fonte do programa, incluindo "aritmética longa"
O programa calcula NbDigits dos primeiros dígitos de Pi. A função de cálculo arctan é chamada arccot, pois arctan(1/p) = arccot(p), mas o cálculo é realizado de acordo com a fórmula de Taylor para arctangente, ou seja, arctan(x) = x - x 3 /3 + x 5 /5 - . .. x=1/p, então arccot(x) = 1/p - 1 / p 3 / 3 + ... Os cálculos são recursivos: o elemento anterior da soma é dividido e dá o próximo .
/* ** Pascal Sebah: Setembro 1999 ** ** Assunto: ** ** Um programa muito fácil para calcular Pi com muitos dígitos. ** Sem otimizações, sem truques, apenas um programa básico para aprender ** a calcular em multiprecisão. ** ** Fórmulas: ** ** Pi/4 = arctan(1/2)+arctan(1/3) (Hutton 1) ** Pi/4 = 2*arctan(1/3)+arctan(1/ 7) (Hutton 2) ** Pi/4 = 4*arctan(1/5)-arctan(1/239) (Machin) ** Pi/4 = 12*arctan(1/18)+8*arctan(1) /57)-5*arctan(1/239) (Gauss) ** ** com arctan(x) = x - x^3/3 + x^5/5 - ... ** ** The Lehmer"s medida é a soma do inverso do logaritmo decimal ** do pk no arctan(1/pk). Quanto mais a medida ** for pequena, mais a fórmula é eficiente. ** Por exemplo, com Machin's fórmula: ** ** E = 1/log10(5)+1/log10(239) = 1,852 ** ** Dados: ** ** Um real grande (ou real de multiprecisão) é definido na base B como: ** X = x(0) + x(1)/B^1 + ... + x(n-1)/B^(n-1) ** onde 0<=x(i)Trabalhe com double em vez de long e a base B pode ** ser escolhida como 10^8 ** => Durante as iterações os números que você soma são menores ** e menores, leve isso em consideração no +, *, / ** => Na divisão de y=x/d, você pode pré-computar 1/d e ** evitar multiplicações no loop (somente com doubles) ** => MaxDiv pode ser aumentado para mais de 3000 com doubles ** => . .. */#incluirObviamente, essas não são as maneiras mais eficientes de calcular pi. Existem muitas outras fórmulas. Por exemplo, a fórmula de Chudnovsky (Chudnovsky), cujas variações são usadas no Maple. No entanto, na prática normal de programação, a fórmula de Gauss é suficiente, portanto, esses métodos não serão descritos no artigo. É improvável que alguém queira calcular bilhões de dígitos de pi, para os quais uma fórmula complexa dá um grande aumento na velocidade.
