Neste artigo, consideraremos em detalhes as regras básicas para um tópico tão importante em um curso de matemática como a abertura de colchetes. Você precisa conhecer as regras para abrir colchetes para resolver corretamente as equações nas quais eles são usados.

Como abrir parênteses corretamente ao adicionar

Expanda os colchetes precedidos pelo sinal "+"

Este é o caso mais simples, pois se houver um sinal de adição na frente dos colchetes, quando os colchetes são abertos, os sinais dentro deles não mudam. Exemplo:

(9 + 3) + (1 - 6 + 9) = 9 + 3 + 1 - 6 + 9 = 16.

Como abrir colchetes precedidos por um sinal "-"

Nesse caso, você precisa reescrever todos os termos sem colchetes, mas ao mesmo tempo alterar todos os sinais dentro deles para os opostos. Os sinais mudam apenas para os termos daqueles colchetes que foram precedidos pelo sinal “-”. Exemplo:

(9 + 3) - (1 - 6 + 9) = 9 + 3 - 1 + 6 - 9 = 8.

Como abrir colchetes na multiplicação

Os parênteses são precedidos por um multiplicador

Nesse caso, você precisa multiplicar cada termo por um fator e abrir os colchetes sem alterar os sinais. Se o multiplicador tiver o sinal "-", ao multiplicar, os sinais dos termos são invertidos. Exemplo:

3 * (1 - 6 + 9) = 3 * 1 - 3 * 6 + 3 * 9 = 3 - 18 + 27 = 12.

Como abrir dois colchetes com um sinal de multiplicação entre eles

Nesse caso, você precisa multiplicar cada termo dos primeiros colchetes por cada termo dos segundos colchetes e, em seguida, adicionar os resultados. Exemplo:

(9 + 3) * (1 - 6 + 9) = 9 * 1 + 9 * (- 6) + 9 * 9 + 3 * 1 + 3 * (- 6) + 3 * 9 = 9 - 54 + 81 + 3 - 18 + 27 = 48.

Como abrir colchetes em um quadrado

Se a soma ou diferença de dois termos for elevada ao quadrado, os colchetes devem ser expandidos de acordo com a seguinte fórmula:

(x + y)^2 = x^2 + 2*x*y + y^2.

No caso de um menos dentro dos colchetes, a fórmula não muda. Exemplo:

(9 + 3) ^ 2 = 9 ^ 2 + 2 * 9 * 3 + 3 ^ 2 = 144.

Como abrir parênteses em um grau diferente

Se a soma ou diferença dos termos for elevada, por exemplo, à 3ª ou 4ª potência, basta quebrar o grau do colchete em “quadrados”. As potências dos mesmos fatores são somadas e, ao dividir, o grau do divisor é subtraído do grau do dividendo. Exemplo:

(9 + 3) ^ 3 = ((9 + 3) ^ 2) * (9 + 3) = (9 ^ 2 + 2 * 9 * 3 + 3 ^ 2) * 12 = 1728.

Como abrir 3 colchetes

Existem equações em que 3 colchetes são multiplicados de uma só vez. Nesse caso, você deve primeiro multiplicar os termos dos dois primeiros colchetes entre si e depois multiplicar a soma dessa multiplicação pelos termos do terceiro colchete. Exemplo:

(1 + 2) * (3 + 4) * (5 - 6) = (3 + 4 + 6 + 8) * (5 - 6) = - 21.

Essas regras de abertura de colchetes se aplicam igualmente a equações lineares e trigonométricas.

Em toda parte. Em todos os lugares e em todos os lugares, onde quer que você olhe, existem tais construções:

Essas "construções" em pessoas alfabetizadas causam uma reação ambígua. Pelo menos como "é realmente assim - certo?".
Em geral, pessoalmente, não consigo entender de onde veio a “moda” de não fechar cotações externas. A primeira e única analogia que surge a esse respeito é a analogia com colchetes. Ninguém duvida que dois colchetes seguidos são normais. Por exemplo: "Pague por toda a circulação (200 peças (das quais 100 são defeituosas))". Mas na normalidade de colocar duas cotações seguidas, alguém duvidou (eu me pergunto quem foi o primeiro?) ... E agora todos, sem exceção, começaram a produzir construções como LLC Firm Pupkov and Co. com a consciência tranquila.
Mas mesmo que você não tenha visto a regra em sua vida, que será discutida abaixo, a única opção logicamente justificada (usando os colchetes como exemplo) seria a seguinte: Firm Pupkov and Co LLC.
Então, a regra em si:
Se no início ou no final de uma citação (o mesmo se aplica ao discurso direto) houver aspas internas e externas, elas devem diferir umas das outras em um padrão (as chamadas "árvores de Natal" e "fofos" ), e as aspas externas não devem ser omitidas, por exemplo: C As laterais do navio foram transmitidas por rádio: "Leningrado entrou nos trópicos e continua seu curso." Sobre Zhukovsky, Belinsky escreve: “Contemporâneos da juventude de Zhukovsky o viam principalmente como um autor de baladas, e em uma de suas mensagens Batyushkov o chamou de “jogador de baladas”.
© Regras de ortografia e pontuação em russo. - Tula: Autógrafo, 1995. - 192 p.
Assim ... se você não tiver a oportunidade de digitar aspas, "Árvores de Natal", o que você pode fazer, terá que usar esses ícones "". No entanto, a impossibilidade (ou falta de vontade) de usar aspas russas não é de forma alguma a razão pela qual você não pode fechar as aspas externas.

Assim, parece que eles descobriram o design incorreto da Firm Pupkov and Co LLC. Também existem construções do tipo LLC Firm Pupkov and Co.
Pela regra, é bastante claro que tais construções são analfabetas ... (Correto: LLC Firm Pupkov and Co.

No entanto!
O Manual do Editor e do Autor de Milchin (edição de 2004) afirma que duas opções de design podem ser usadas nesses casos. O uso de "espinhas" e "patas" e (na ausência de meios técnicos) o uso de apenas "espinhas": duas abertura e um fechamento.
O diretório é “fresco” e pessoalmente tenho imediatamente 2 perguntas aqui. Em primeiro lugar, com que alegria você ainda pode usar uma aspas de encerramento (bem, isso é ilógico, veja acima) e, em segundo lugar, a frase “na ausência de meios técnicos” atrai especialmente a atenção. Como assim, desculpe? Aqui, abra o Bloco de Notas e digite “somente árvores de Natal: duas abrindo e uma fechando” lá. Não existem esses caracteres no teclado. Imprimir uma árvore de Natal não funciona... A combinação Shift + 2 produz o sinal " (que, como você sabe, nem é uma aspa). Agora abra o Microsoft Word e pressione Shift + 2 novamente. O programa irá corrigir "para" (ou "). Bem, acontece que a regra que existia há mais de uma dúzia de anos foi tomada e reescrita no Microsoft Word? Tipo, uma vez que a palavra de "Firm" Pupkov e Co "faz" Firme "Pupkov e Co", então agora que seja aceitável e correto ???
Parece tão. E se assim for, então há todos os motivos para duvidar da exatidão de tal inovação.

Sim, e mais um esclarecimento... sobre a própria "falta de meios técnicos". O fato é que em qualquer computador Windows sempre existem "meios técnicos" para inserir tanto "árvores de Natal" quanto "patas", então essa nova "regra" (para mim está entre aspas) está errada desde o início!

Todos os caracteres especiais em uma fonte podem ser digitados facilmente sabendo o número correspondente desse caractere. Basta manter pressionada a tecla Alt e digitar no teclado NumLock (NumLock é pressionado, a luz indicadora está acesa) o número do símbolo correspondente:

„ Alt + 0132 (pé esquerdo)
“ Alt + 0147 (pé direito)
« Alt + 0171 (espinha de peixe esquerda)
» Alt + 0187 (espinha de peixe direita)

Nesta lição, você aprenderá como transformar uma expressão que contém parênteses em uma expressão que não contém parênteses. Você aprenderá como abrir colchetes precedidos por um sinal de mais e um sinal de menos. Vamos lembrar como abrir colchetes usando a lei distributiva da multiplicação. Os exemplos considerados permitirão vincular material novo e previamente estudado em um único todo.

Tópico: Resolução de Equações

Lição: expansão de parênteses

Como abrir colchetes precedidos por um sinal "+". Uso da lei associativa da adição.

Se você precisar adicionar a soma de dois números a um número, poderá adicionar o primeiro termo a esse número e depois o segundo.

À esquerda do sinal de igual está uma expressão com parênteses e à direita uma expressão sem parênteses. Isso significa que ao passar do lado esquerdo da igualdade para o lado direito, os colchetes foram abertos.

Considere exemplos.

Exemplo 1

Expandindo os colchetes, alteramos a ordem das operações. A contagem tornou-se mais conveniente.

Exemplo 2

Exemplo 3

Observe que em todos os três exemplos, simplesmente removemos os parênteses. Vamos formular a regra:

Comente.

Se o primeiro termo entre parênteses não estiver assinado, deve ser escrito com um sinal de mais.

Você pode seguir o exemplo passo a passo. Primeiro, adicione 445 a 889. Essa ação mental pode ser realizada, mas não é muito fácil. Vamos abrir os colchetes e ver que a ordem alterada das operações simplificará bastante os cálculos.

Se você seguir a ordem de ações indicada, deve primeiro subtrair 345 de 512 e, em seguida, adicionar 1345. Ao expandir os colchetes, alteraremos a ordem das ações e simplificaremos bastante os cálculos.

Exemplo ilustrativo e regra.

Considere um exemplo: . Você pode encontrar o valor da expressão adicionando 2 e 5 e, em seguida, obtendo o número resultante com o sinal oposto. Recebemos -7.

Por outro lado, o mesmo resultado pode ser obtido somando os números opostos.

Vamos formular a regra:

Exemplo 1

Exemplo 2

A regra não muda se não houver dois, mas três ou mais termos entre parênteses.

Exemplo 3

Comente. Os sinais são invertidos apenas na frente dos termos.

Para abrir os colchetes, neste caso, precisamos relembrar a propriedade distributiva.

Primeiro, multiplique o primeiro colchete por 2 e o segundo por 3.

O primeiro colchete é precedido por um sinal “+”, o que significa que os sinais devem ser deixados inalterados. O segundo é precedido por um sinal “-”, portanto, todos os sinais devem ser invertidos

Bibliografia

1. Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Matemática 6. - M.: Mnemosyne, 2012.
2. Merzlyak A.G., Polonsky V.V., Yakir M.S. Matemática 6º ano. - Ginásio, 2006.
3. Depman I.Ya., Vilenkin N.Ya. Atrás das páginas de um livro de matemática. - Iluminismo, 1989.
4. Rurukin A.N., Tchaikovsky I.V. Tarefas para o curso de matemática do 5º ao 6º ano - ZSH MEPhI, 2011.
5. Rurukin A.N., Sochilov S.V., Tchaikovsky K.G. Matemática 5-6. Um manual para alunos do 6º ano da escola por correspondência MEPhI. - ZSH MEPHI, 2011.
6. Shevrin L.N., Gein A.G., Koryakov I.O., Volkov M.V. Matemática: Interlocutor de livros didáticos para 5-6 séries do ensino médio. Biblioteca do professor de matemática. - Iluminismo, 1989.

1. Testes de matemática online ().
2. Você pode baixar os especificados na cláusula 1.2. livros().

Trabalho de casa

1. Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Matemática 6. - M.: Mnemosyne, 2012. (ver link 1.2)
2. Dever de casa: Nº 1254, Nº 1255, Nº 1256 (b, d)
3. Outras atribuições: Nº 1258(c), Nº 1248

Agora vamos apenas abrir colchetes em expressões nas quais a expressão entre colchetes é multiplicada por um número ou expressão. Vamos formular a regra para abrir colchetes precedidos por um sinal de menos: os colchetes junto com o sinal de menos são omitidos e os sinais de todos os termos entre colchetes são substituídos por sinais opostos.

Um tipo de transformação de expressão é a expansão de parênteses. Expressões numéricas, literais e variáveis ​​são compostas por colchetes, que podem indicar a ordem em que as ações são executadas, conter um número negativo, etc. Vamos supor que nas expressões descritas acima, em vez de números e variáveis, pode haver qualquer expressão.

E vamos prestar atenção em mais um ponto referente às peculiaridades de escrever a solução ao abrir os colchetes. No parágrafo anterior, tratamos do que é chamado de expansão de parênteses. Para fazer isso, existem regras para abrir colchetes, que agora revisamos. Esta regra é ditada pelo fato de que é costume escrever números positivos sem colchetes, colchetes neste caso são desnecessários. A expressão (−3.7)−(−2)+4+(−9) pode ser escrita sem colchetes como −3.7+2+4−9.

Finalmente, a terceira parte da regra se deve simplesmente às peculiaridades de escrever números negativos à esquerda da expressão (que mencionamos na seção de colchetes para escrever números negativos). Você pode encontrar expressões compostas por um número, sinais de menos e vários pares de parênteses. Se você expandir os colchetes, movendo do interno para o externo, a solução será: −(−((−(5))))=−(−((−5)))=−(−(−5)) =−( 5)=−5.

Como abrir parênteses?

Aqui está uma explicação: −(−2 x) é +2 x, e como essa expressão vem primeiro, então +2 x pode ser escrito como 2 x, −(x2)=−x2, +(−1/ x)= −1/xe −(2 x y2:z)=−2 x y2:z. A primeira parte da regra escrita para abrir colchetes segue diretamente da regra para multiplicar números negativos. A segunda parte é uma consequência da regra para multiplicar números com sinais diferentes. Vamos passar para exemplos de expansão de colchetes em produtos e quocientes de dois números com sinais diferentes.

Abertura de colchetes: regras, exemplos, soluções.

A regra acima leva em consideração toda a cadeia dessas ações e acelera significativamente o processo de abertura de parênteses. A mesma regra permite abrir colchetes em expressões que são produtos e expressões parciais com sinal de menos que não são somas e diferenças.

Considere exemplos da aplicação desta regra. Damos a regra correspondente. Acima, já encontramos expressões da forma −(a) e −(−a), que sem colchetes são escritas como −a e a, respectivamente. Por exemplo, −(3)=3, e. Estes são casos especiais da regra declarada. Agora considere exemplos de colchetes de abertura quando somas ou diferenças são incluídas neles. Mostraremos exemplos do uso dessa regra. Denote a expressão (b1+b2) como b, após o que usamos a regra para multiplicar o colchete pela expressão do parágrafo anterior, temos (a1+a2) (b1+b2)=(a1+a2) b=( a1b+a2b)=a1b+a2b.

Por indução, essa afirmação pode ser estendida a um número arbitrário de termos em cada colchete. Resta abrir os colchetes na expressão resultante, usando as regras dos parágrafos anteriores, como resultado, obtemos 1 3 x y−1 2 x y3−x 3 x y+x 2 x y3.

A regra em matemática é a abertura de colchetes se houver (+) e (-) na frente dos colchetes, uma regra muito necessária

Esta expressão é o produto de três fatores (2+4), 3 e (5+7 8). Os colchetes devem ser abertos sequencialmente. Agora usamos a regra para multiplicar um colchete por um número, temos ((2+4) 3) (5+7 8)=(2 3+4 3) (5+7 8). Graus, cujas bases são algumas expressões escritas entre colchetes, com expoentes naturais, podem ser considerados como produto de vários colchetes.

Por exemplo, vamos transformar a expressão (a+b+c)2. Primeiro, escrevemos como um produto de dois colchetes (a + b + c) (a + b + c), agora multiplicamos o colchete por colchetes, obtemos a a + a b + a c + b a + b b+b c+ c a+c b+c c.

Dizemos também que para elevar as somas e diferenças de dois números a uma potência natural, é aconselhável usar a fórmula binomial de Newton. Por exemplo, (5+7−3):2=5:2+7:2−3:2. Não é menos conveniente substituir preliminarmente a divisão pela multiplicação e, em seguida, usar a regra apropriada para abrir colchetes no produto.

Resta descobrir a ordem de abertura dos colchetes usando exemplos. Pegue a expressão (−5)+3 (−2):(−4)−6 (−7). Substitua esses resultados na expressão original: (−5)+3 (−2):(−4)−6 (−7)=(−5)+(3 2:4)−(−6 7) . Resta apenas completar a abertura dos colchetes, como resultado temos −5+3 2:4+6 7. Isso significa que ao passar do lado esquerdo da igualdade para o lado direito, os colchetes foram abertos.

Observe que em todos os três exemplos, simplesmente removemos os parênteses. Primeiro, adicione 445 a 889. Essa ação mental pode ser realizada, mas não é muito fácil. Vamos abrir os colchetes e ver que a ordem alterada das operações simplificará bastante os cálculos.

Como abrir parênteses em um grau diferente

Exemplo ilustrativo e regra. Considere um exemplo: . Você pode encontrar o valor da expressão adicionando 2 e 5 e, em seguida, obtendo o número resultante com o sinal oposto. A regra não muda se não houver dois, mas três ou mais termos entre parênteses. Comente. Os sinais são invertidos apenas na frente dos termos. Para abrir os colchetes, neste caso, precisamos relembrar a propriedade distributiva.

Números únicos entre parênteses

Seu erro não está nos sinais, mas no trabalho errado com frações? Na 6ª série nos familiarizamos com números positivos e negativos. Como vamos resolver exemplos e equações?

Quanto está entre parênteses? O que pode ser dito sobre essas expressões? Claro, o resultado do primeiro e segundo exemplos é o mesmo, então você pode colocar um sinal de igual entre eles: -7 + (3 + 4) = -7 + 3 + 4. O que fizemos com os colchetes?

Demonstração do slide 6 com as regras de abertura de colchetes. Assim, as regras para abrir colchetes nos ajudarão a resolver exemplos, simplificar expressões. Em seguida, os alunos são convidados a trabalhar em pares: é necessário conectar a expressão contendo colchetes com a expressão correspondente sem colchetes com setas.

Slide 11 Uma vez na Sunny City, Znayka e Dunno discutiram qual deles resolveu a equação corretamente. Em seguida, os alunos resolvem a equação de forma independente, aplicando as regras de abertura de colchetes. Resolvendo equações ”Objetivos da lição: educacional (fixando ZUNs no tópico:“ Abrindo colchetes.

Tópico da lição: “Abrindo parênteses. Nesse caso, você precisa multiplicar cada termo dos primeiros colchetes por cada termo dos segundos colchetes e, em seguida, adicionar os resultados. Primeiro, são tomados os dois primeiros fatores, incluídos em mais um colchete, e dentro desses colchetes, os colchetes são abertos de acordo com uma das regras já conhecidas.

rawalan.freezeet.ru

Abertura de colchetes: regras e exemplos (7ª série)

A principal função dos colchetes é alterar a ordem das ações ao calcular os valores expressões numéricas . por exemplo, na expressão numérica \(5 3+7\) a multiplicação será calculada primeiro, e depois a adição: \(5 3+7 =15+7=22\). Mas na expressão \(5·(3+7)\), a adição entre parênteses será calculada primeiro, e só depois a multiplicação: \(5·(3+7)=5·10=50\).

No entanto, se estamos lidando com expressão algébrica contendo variável- por exemplo, assim: \ (2 (x-3) \) - então é impossível calcular o valor entre colchetes, a variável interfere. Portanto, neste caso, os colchetes são “abertos”, utilizando-se as regras apropriadas para isso.

Regras de expansão de colchetes

Se houver um sinal de mais antes do colchete, o colchete é simplesmente removido, a expressão nele permanece inalterada. Em outras palavras:

Aqui é necessário esclarecer que em matemática, para reduzir entradas, costuma-se não escrever o sinal de mais se for o primeiro da expressão. Por exemplo, se adicionarmos dois números positivos, por exemplo, sete e três, não escrevemos \(+7+3\), mas simplesmente \(7+3\), apesar de sete também ser um positivo número. Da mesma forma, se você vir, por exemplo, a expressão \((5+x)\) - saiba que há um sinal de mais na frente do colchete, que não está escrito.

Exemplo . Abra o colchete e dê termos semelhantes: \((x-11)+(2+3x)\).
Decisão : \((x-11)+(2+3x)=x-11+2+3x=4x-9\).

Se houver um sinal de menos na frente do colchete, quando o colchete for removido, cada membro da expressão dentro dele mudará o sinal para o oposto:

Aqui é necessário esclarecer que a, enquanto estava entre colchetes, tinha um sinal de mais (eles simplesmente não o escreveram) e, após remover o colchete, esse mais mudou para menos.

Exemplo : Simplifique a expressão \(2x-(-7+x)\).
Decisão : há dois termos dentro do colchete: \(-7\) e \(x\), e há um menos antes do colchete. Isso significa que os sinais mudarão - e o sete estará agora com mais e o x com menos. abra o suporte e trazer termos semelhantes .

Exemplo. Expanda o colchete e dê termos semelhantes \(5-(3x+2)+(2+3x)\).
Decisão : \(5-(3x+2)+(2+3x)=5-3x-2+2+3x=5\).

Se houver um fator na frente do colchete, cada membro do colchete será multiplicado por ele, ou seja:

Exemplo. Expanda os colchetes \(5(3-x)\).
Decisão : Temos \(3\) e \(-x\) entre parênteses e um cinco na frente dos parênteses. Isso significa que cada membro do colchete é multiplicado por \ (5 \) - lembro que o sinal de multiplicação entre um número e um colchete em matemática não é escrito para reduzir o tamanho dos registros.

Exemplo. Expanda os colchetes \(-2(-3x+5)\).
Decisão : Como no exemplo anterior, \(-3x\) e \(5\) entre colchetes são multiplicados por \(-2\).

Resta considerar a última situação.

Ao multiplicar parênteses por parênteses, cada termo do primeiro parêntese é multiplicado por cada termo do segundo:

Exemplo. Expanda os colchetes \((2-x)(3x-1)\).
Decisão : Temos um produto de colchetes e ele pode ser aberto imediatamente usando a fórmula acima. Mas para não ficar confuso, vamos fazer tudo passo a passo.
Etapa 1. Removemos o primeiro colchete - cada um de seus membros é multiplicado pelo segundo colchete:

Etapa 2. Expanda os produtos do colchete pelo fator conforme descrito acima:
- o primeiro primeiro...

Passo 3. Agora multiplicamos e trazemos termos semelhantes:

Não é necessário pintar todas as transformações em detalhes, você pode multiplicar imediatamente. Mas se você está apenas aprendendo a abrir colchetes - escreva em detalhes, haverá menos chance de cometer um erro.

Nota para toda a seção. Na verdade, você não precisa se lembrar de todas as quatro regras, você só precisa se lembrar de uma, esta: \(c(a-b)=ca-cb\) . Por quê? Porque se substituirmos um em vez de c, obtemos a regra \((a-b)=a-b\) . E se substituirmos menos um, obtemos a regra \(-(a-b)=-a+b\) . Bem, se você substituir outro colchete em vez de c, você pode obter a última regra.

parênteses dentro de parênteses

Às vezes, na prática, há problemas com colchetes aninhados dentro de outros colchetes. Aqui está um exemplo de tal tarefa: simplificar a expressão \(7x+2(5-(3x+y))\).

Para ter sucesso nessas tarefas, você precisa:
- entenda cuidadosamente o aninhamento de colchetes - qual está em qual;
- abra os colchetes sequencialmente, começando, por exemplo, pelo mais interno.

É importante ao abrir um dos suportes não toque no resto da expressão, apenas reescrevendo-o como está.
Vamos pegar a tarefa acima como exemplo.

Exemplo. Abra os colchetes e dê termos semelhantes \(7x+2(5-(3x+y))\).
Decisão:

Vamos começar a tarefa abrindo o suporte interno (o de dentro). Ao abri-lo, estamos lidando apenas com o fato de estar diretamente relacionado a ele - este é o próprio colchete e o menos na frente dele (destacado em verde). Todo o resto (não selecionado) é reescrito como estava.

Resolvendo problemas de matemática online

Calculadora on-line.
Simplificação polinomial.
Multiplicação de polinômios.

Com este programa matemático, você pode simplificar um polinômio.
Enquanto o programa está em execução:
- multiplica polinômios
- soma monômios (dá iguais)
- abre parênteses
- Eleva um polinômio a uma potência

O programa de simplificação polinomial não dá apenas a resposta ao problema, ele dá uma solução detalhada com explicações, ou seja, exibe o processo de solução para que você possa verificar seus conhecimentos de matemática e/ou álgebra.

Este programa pode ser útil para alunos de escolas de educação geral na preparação para testes e exames, ao testar conhecimentos antes do Exame Estadual Unificado e para os pais controlarem a solução de muitos problemas de matemática e álgebra. Ou talvez seja muito caro para você contratar um tutor ou comprar novos livros didáticos? Ou você só quer fazer sua lição de matemática ou álgebra o mais rápido possível? Nesse caso, você também pode usar nossos programas com uma solução detalhada.

Desta forma, pode realizar a sua própria formação e/ou a formação dos seus irmãos ou irmãs mais novos, enquanto aumenta o nível de formação no domínio das tarefas a resolver.

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Após alguns segundos, a solução aparecerá abaixo.
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Um pouco de teoria.

O produto de um monômio e um polinômio. O conceito de polinômio

Entre as várias expressões consideradas na álgebra, as somas de monômios ocupam um lugar importante. Aqui estão alguns exemplos de tais expressões:

A soma dos monômios é chamada de polinômio. Os termos em um polinômio são chamados de membros do polinômio. Os mononômios também são chamados de polinômios, considerando um monômio como um polinômio que consiste em um membro.

Representamos todos os termos como monômios da forma padrão:

Damos termos semelhantes no polinômio resultante:

O resultado é um polinômio, todos os membros do qual são monômios da forma padrão e entre eles não há semelhantes. Esses polinômios são chamados polinômios de forma padrão.

Atras do grau polinomial formulário padrão tomar o maior dos poderes de seus membros. Assim, um binômio tem um terceiro grau e um trinômio tem um segundo.

Normalmente, os membros de polinômios de forma padrão contendo uma variável são organizados em ordem decrescente de seus expoentes. Por exemplo:

A soma de vários polinômios pode ser convertida (simplificada) em um polinômio de forma padrão.

Às vezes, os membros de um polinômio precisam ser divididos em grupos, colocando cada grupo entre parênteses. Como os parênteses são o oposto dos parênteses, é fácil formular regras de abertura de parênteses:

Se o sinal + for colocado antes dos colchetes, os termos entre colchetes serão escritos com os mesmos sinais.

Se um sinal "-" for colocado na frente dos colchetes, os termos entre colchetes serão escritos com sinais opostos.

Transformação (simplificação) do produto de um monômio e um polinômio

Usando a propriedade distributiva da multiplicação, pode-se transformar (simplificar) o produto de um monômio e um polinômio em um polinômio. Por exemplo:

O produto de um monômio e de um polinômio é identicamente igual à soma dos produtos desse monômio e cada um dos termos do polinômio.

Este resultado é geralmente formulado como uma regra.

Para multiplicar um monômio por um polinômio, deve-se multiplicar esse monômio por cada um dos termos do polinômio.

Usamos repetidamente essa regra para multiplicar por uma soma.

O produto de polinômios. Transformação (simplificação) do produto de dois polinômios

Em geral, o produto de dois polinômios é identicamente igual à soma do produto de cada termo de um polinômio e cada termo do outro.

Geralmente use a seguinte regra.

Para multiplicar um polinômio por um polinômio, você precisa multiplicar cada termo de um polinômio por cada termo do outro e adicionar os produtos resultantes.

Fórmulas de multiplicação abreviadas. Quadrados de Soma, Diferença e Diferença

Algumas expressões em transformações algébricas precisam ser tratadas com mais frequência do que outras. Talvez as expressões mais comuns sejam e, ou seja, o quadrado da soma, o quadrado da diferença e a diferença de quadrados. Você notou que os nomes dessas expressões parecem incompletos, então, por exemplo, - isso, é claro, não é apenas o quadrado da soma, mas o quadrado da soma de a e b. No entanto, o quadrado da soma de a e b não é tão comum, como regra, em vez das letras a e b, contém várias expressões, às vezes bastante complexas.

As expressões são fáceis de converter (simplificar) em polinômios da forma padrão; de fato, você já encontrou essa tarefa ao multiplicar polinômios:

As identidades resultantes são úteis para serem lembradas e aplicadas sem cálculos intermediários. Formulações verbais curtas ajudam nisso.

- o quadrado da soma é igual à soma dos quadrados e duas vezes o produto.

- o quadrado da diferença é igual à soma dos quadrados sem o duplo produto.

- a diferença de quadrados é igual ao produto da diferença pela soma.

Essas três identidades permitem transformações para substituir suas partes esquerdas por direitas e vice-versa - partes direitas por esquerdas. O mais difícil neste caso é ver as expressões correspondentes e entender o que as variáveis ​​a e b são substituídas nelas. Vejamos alguns exemplos de uso de fórmulas de multiplicação abreviadas.

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Expansão do suporte

Continuamos a estudar os fundamentos da álgebra. Nesta lição, aprenderemos como abrir parênteses em expressões. Expandir colchetes significa livrar a expressão desses colchetes.

Para abrir colchetes, você precisa aprender de cor apenas duas regras. Com a prática regular, você pode abrir os colchetes com os olhos fechados, e as regras que precisavam ser memorizadas de cor podem ser esquecidas com segurança.

A primeira regra da expansão de parênteses

Considere a seguinte expressão:

O valor desta expressão é 2 . Vamos abrir os colchetes nesta expressão. Expandir parênteses significa livrar-se deles sem afetar o significado da expressão. Ou seja, após eliminar os colchetes, o valor da expressão 8+(−9+3) ainda deve ser igual a dois.

A primeira regra de expansão de parênteses se parece com isso:

Ao abrir colchetes, se houver um sinal de mais antes dos colchetes, esse sinal de mais será omitido junto com os colchetes.

Então vemos que na expressão 8+(−9+3) há um plus na frente dos colchetes. Este mais deve ser omitido junto com os parênteses. Em outras palavras, os colchetes desaparecerão junto com o sinal de mais que estava na frente deles. E o que estava entre colchetes será escrito inalterado:

8−9+3 . Esta expressão é igual a 2 , como a expressão anterior entre parênteses era igual a 2 .

8+(−9+3) e 8−9+3

8 + (−9 + 3) = 8 − 9 + 3

Exemplo 2 Expandir colchetes em uma expressão 3 + (−1 − 4)

Há um sinal de mais na frente dos colchetes, então esse sinal de mais é omitido junto com os colchetes. O que estava entre colchetes permanecerá inalterado:

3 + (−1 − 4) = 3 − 1 − 4

Exemplo 3 Expandir colchetes em uma expressão 2 + (−1)

Neste exemplo, a expansão de colchetes tornou-se uma espécie de operação inversa de substituir a subtração pela adição. O que isso significa?

Na expressão 2−1 ocorre a subtração, mas pode ser substituída pela adição. Então você obtém a expressão 2+(−1) . Mas se na expressão 2+(−1) abra os colchetes, você obtém o original 2−1 .

Portanto, a primeira regra de expansão de colchetes pode ser usada para simplificar expressões após algumas transformações. Ou seja, livrar-se de colchetes e torná-lo mais fácil.

Por exemplo, vamos simplificar a expressão 2a+a−5b+b .

Para simplificar esta expressão, podemos adicionar termos semelhantes. Lembre-se de que para reduzir termos semelhantes, você precisa adicionar os coeficientes de termos semelhantes e multiplicar o resultado pela parte da letra comum:

Tem uma expressão 3a+(−4b). Nesta expressão, abra os colchetes. Há um mais antes dos colchetes, então usamos a primeira regra para abrir colchetes, ou seja, omitimos os colchetes junto com o mais que vem antes desses colchetes:

Então a expressão 2a+a−5b+b simplificado para 3a−4b .

Tendo aberto um parênteses, outros podem se encontrar ao longo do caminho. Aplicamos-lhes as mesmas regras que ao primeiro. Por exemplo, vamos expandir os colchetes na seguinte expressão:

Há dois lugares onde você precisa expandir os colchetes. Nesse caso, aplica-se a primeira regra para expandir colchetes, ou seja, omitir os colchetes junto com o sinal de mais que vem antes desses colchetes:

2 + (−3 + 1) + 3 + (−6) = 2 − 3 + 1 + 3 − 6

Exemplo 3 Expandir colchetes em uma expressão 6+(−3)+(−2)

Nos dois lugares onde há colchetes, eles são precedidos por um sinal de mais. Aqui, novamente, a primeira regra de expansão de parênteses se aplica:

Às vezes, o primeiro termo entre parênteses é escrito sem sinal. Por exemplo, na expressão 1+(2+3−4) primeiro termo entre parênteses 2 escrito sem sinal. Surge a questão, que sinal virá antes do deuce depois que os colchetes e o sinal de mais na frente dos colchetes forem omitidos? A resposta sugere-se - haverá um plus na frente do empate.

Na verdade, mesmo estando entre parênteses, há um plus na frente do deuce, mas não o vemos devido ao fato de não estar escrito. Já dissemos que a notação completa de números positivos se parece com +1, +2, +3. Mas as vantagens não são tradicionalmente escritas, então vemos os números positivos que nos são familiares. 1, 2, 3 .

Portanto, para abrir parênteses em uma expressão 1+(2+3−4) , você precisa omitir os colchetes como de costume junto com o sinal de mais na frente desses colchetes, mas escreva o primeiro termo que estava entre colchetes com um sinal de mais:

1 + (2 + 3 − 4) = 1 + 2 + 3 − 4

Exemplo 4 Expandir colchetes em uma expressão −5 + (2 − 3)

Há um mais na frente dos colchetes, então aplicamos a primeira regra para abrir colchetes, ou seja, omitimos os colchetes junto com o mais que vem antes desses colchetes. Mas o primeiro termo, que está escrito entre parênteses com um sinal de mais:

−5 + (2 − 3) = −5 + 2 − 3

Exemplo 5 Expandir colchetes em uma expressão (−5)

Há um sinal de mais antes dos colchetes, mas não está escrito porque não havia outros números ou expressões antes dele. Nossa tarefa é remover os colchetes aplicando a primeira regra para expandir colchetes, ou seja, omitir os colchetes junto com este mais (mesmo que seja invisível)

Exemplo 6 Expandir colchetes em uma expressão 2a + (−6a + b)

Há um sinal de mais na frente dos colchetes, então esse sinal de mais é omitido junto com os colchetes. O que estava entre parênteses será escrito inalterado:

2a + (−6a + b) = 2a −6a + b

Exemplo 7 Expandir colchetes em uma expressão 5a + (−7b + 6c) + 3a + (−2d)

Nesta expressão, há dois lugares onde você precisa abrir os colchetes. Em ambas as seções, há um sinal de mais na frente dos colchetes, o que significa que esse mais é omitido junto com os colchetes. O que estava entre parênteses será escrito inalterado:

5a + (−7b + 6c) + 3a + (−2d) = 5a −7b + 6c + 3a − 2d

A segunda regra para abrir parênteses

Agora vamos olhar para a segunda regra de expansão de parênteses. É usado quando há um menos antes dos parênteses.

Se houver um menos antes dos colchetes, esse menos é omitido junto com os colchetes, mas os termos que estavam nos colchetes mudam seu sinal para o oposto.

Por exemplo, vamos expandir os colchetes na seguinte expressão

Vemos que há um sinal de menos antes dos colchetes. Portanto, você precisa aplicar a segunda regra de expansão, ou seja, omitir os colchetes junto com o menos na frente desses colchetes. Nesse caso, os termos que estavam entre colchetes mudarão de sinal para o oposto:

Temos uma expressão sem colchetes 5+2+3 . Essa expressão é igual a 10, assim como a expressão anterior com colchetes era igual a 10.

Assim, entre as expressões 5−(−2−3) e 5+2+3 você pode colocar um sinal de igual, pois eles são iguais ao mesmo valor:

5 − (−2 − 3) = 5 + 2 + 3

Exemplo 2 Expandir colchetes em uma expressão 6 − (−2 − 5)

Há um menos antes dos colchetes, então aplicamos a segunda regra para abrir colchetes, ou seja, omitimos os colchetes junto com o menos que vem antes desses colchetes. Neste caso, os termos que estavam entre parênteses são escritos com sinais opostos:

6 − (−2 − 5) = 6 + 2 + 5

Exemplo 3 Expandir colchetes em uma expressão 2 − (7 + 3)

Há um sinal de menos antes dos colchetes, então aplicamos a segunda regra para abrir colchetes:

Exemplo 4 Expandir colchetes em uma expressão −(−3 + 4)

Exemplo 5 Expandir colchetes em uma expressão −(−8 − 2) + 16 + (−9 − 2)

Há dois lugares onde você precisa expandir os colchetes. No primeiro caso, você precisa aplicar a segunda regra para abrir colchetes e, quando chegar a vez, a expressão +(−9−2) você precisa aplicar a primeira regra:

−(−8 − 2) + 16 + (−9 − 2) = 8 + 2 + 16 − 9 − 2

Exemplo 6 Expandir colchetes em uma expressão −(−a−1)

Exemplo 7 Expandir colchetes em uma expressão −(4a + 3)

Exemplo 8 Expandir colchetes em uma expressão uma −(4b + 3) + 15

Exemplo 9 Expandir colchetes em uma expressão 2a + (3b − b) − (3c + 5)

Há dois lugares onde você precisa expandir os colchetes. No primeiro caso, você precisa aplicar a primeira regra para abrir colchetes e, quando chegar a vez, a expressão −(3c+5) você precisa aplicar a segunda regra:

2a + (3b − b) − (3c + 5) = 2a + 3b − b − 3c − 5

Exemplo 10 Expandir colchetes em uma expressão -uma − (−4a) + (−6b) − (−8c + 15)

Existem três lugares onde você precisa expandir os colchetes. Primeiro você precisa aplicar a segunda regra para expandir colchetes, depois a primeira e depois novamente a segunda:

-a - (-4a) + (-6b) - (-8c + 15) = −a + 4a - 6b + 8c - 15

Mecanismo de expansão de parênteses

As regras para abrir colchetes, que já consideramos, são baseadas na lei distributiva da multiplicação:

Na realidade abertura de colchetes chame o procedimento quando o fator comum for multiplicado por cada termo entre parênteses. Como resultado dessa multiplicação, os colchetes desaparecem. Por exemplo, vamos expandir os colchetes na expressão 3×(4+5)

3 × (4 + 5) = 3 × 4 + 3 × 5

Portanto, se você precisar multiplicar um número por uma expressão entre colchetes (ou multiplicar uma expressão entre colchetes por um número), precisará dizer abra os colchetes.

Mas como a lei distributiva da multiplicação se relaciona com as regras de abertura de colchetes que consideramos anteriormente?

O fato é que antes de qualquer parênteses existe um fator comum. No exemplo 3×(4+5) fator comum é 3 . E no exemplo a(b+c) fator comum é uma variável uma.

Se não houver números ou variáveis ​​antes dos colchetes, então o fator comum é 1 ou −1 , dependendo de qual caractere vem antes dos colchetes. Se houver um mais na frente dos colchetes, então o fator comum é 1 . Se houver um menos antes dos colchetes, então o fator comum é −1 .

Por exemplo, vamos expandir os colchetes na expressão −(3b−1). Há um menos antes dos colchetes, então você precisa usar a segunda regra para abrir colchetes, ou seja, omitir os colchetes junto com o menos antes dos colchetes. E a expressão que estava entre colchetes, escreva com sinais opostos:

Expandimos os parênteses usando a regra de expansão de parênteses. Mas esses mesmos colchetes podem ser abertos usando a lei distributiva da multiplicação. Para fazer isso, primeiro escrevemos o fator comum 1 na frente dos colchetes, que não foi escrito:

O menos que costumava ficar na frente dos suportes referia-se a esta unidade. Agora você pode abrir os colchetes aplicando a lei distributiva da multiplicação. Para isso, o fator comum −1 você precisa multiplicar por cada termo entre colchetes e adicionar os resultados.

Por conveniência, substituímos a diferença entre colchetes pela soma:

−1 (3b −1) = −1 (3b + (−1)) = −1 × 3b + (−1) × (−1) = −3b + 1

Como da última vez, temos a expressão −3b+1. Todos concordarão que desta vez mais tempo foi gasto na resolução de um exemplo tão simples. Portanto, é mais razoável usar as regras prontas para abrir colchetes, que consideramos nesta lição:

Mas não custa saber como essas regras funcionam.

Nesta lição, aprendemos outra transformação idêntica. Juntamente com a abertura dos colchetes, tirando o geral dos colchetes e trazendo termos semelhantes, pode-se expandir um pouco o leque de tarefas a serem resolvidas. Por exemplo:

Aqui você precisa executar duas ações - primeiro abra os colchetes e depois traga os termos semelhantes. Então, na ordem:

1) Expanda os colchetes:

2) Damos termos semelhantes:

Na expressão resultante −10b+(−1) você pode abrir os colchetes:

Exemplo 2 Abra colchetes e adicione termos semelhantes na seguinte expressão:

1) Expanda os colchetes:

2) Apresentamos termos semelhantes. Desta vez, para economizar tempo e espaço, não vamos escrever como os coeficientes são multiplicados pela parte da letra comum

Exemplo 3 Simplifique a expressão 8m+3m e encontre seu valor em m=−4

1) Vamos simplificar a expressão primeiro. Para simplificar a expressão 8m+3m, você pode tirar o fator comum nele m para colchetes:

2) Encontre o valor da expressão m(8+3) no m=−4. Para isso, na expressão m(8+3) em vez de uma variável m substitua o número −4

m(8 + 3) = −4 (8 + 3) = −4 × 8 + (−4) × 3 = −32 + (−12) = −44

A principal função dos colchetes é alterar a ordem das ações ao calcular os valores. por exemplo, na expressão numérica \(5 3+7\) a multiplicação será calculada primeiro, e depois a adição: \(5 3+7 =15+7=22\). Mas na expressão \(5·(3+7)\), a adição entre parênteses será calculada primeiro, e só depois a multiplicação: \(5·(3+7)=5·10=50\).

Exemplo. Expanda o colchete: \(-(4m+3)\).
Decisão : \(-(4m+3)=-4m-3\).

Exemplo. Expanda o colchete e dê termos semelhantes \(5-(3x+2)+(2+3x)\).
Decisão : \(5-(3x+2)+(2+3x)=5-3x-2+2+3x=5\).

Exemplo. Expanda os colchetes \(5(3-x)\).
Decisão : Temos \(3\) e \(-x\) no colchete e cinco na frente do colchete. Isso significa que cada membro do colchete é multiplicado por \ (5 \) - lembro que o sinal de multiplicação entre um número e um colchete em matemática não é escrito para reduzir o tamanho dos registros.

Exemplo. Expanda os colchetes \(-2(-3x+5)\).
Decisão : Como no exemplo anterior, \(-3x\) e \(5\) entre colchetes são multiplicados por \(-2\).

Exemplo. Simplifique a expressão: \(5(x+y)-2(x-y)\).
Decisão : \(5(x+y)-2(x-y)=5x+5y-2x+2y=3x+7y\).

Resta considerar a última situação.

Ao multiplicar parênteses por parênteses, cada termo do primeiro parêntese é multiplicado por cada termo do segundo:

\((c+d)(a-b)=c (a-b)+d (a-b)=ca-cb+da-db\)

Exemplo. Expanda os colchetes \((2-x)(3x-1)\).
Decisão : Temos um produto de colchetes e ele pode ser aberto imediatamente usando a fórmula acima. Mas para não ficar confuso, vamos fazer tudo passo a passo.
Etapa 1. Remova o primeiro suporte - cada um de seus membros é multiplicado pelo segundo suporte:

Etapa 2. Expanda os produtos do colchete pelo fator conforme descrito acima:
- o primeiro primeiro...

Depois o segundo.

Passo 3. Agora multiplicamos e trazemos termos semelhantes:

Não é necessário pintar todas as transformações em detalhes, você pode multiplicar imediatamente. Mas se você está apenas aprendendo a abrir colchetes - escreva em detalhes, haverá menos chance de cometer um erro.

Nota para toda a seção. Na verdade, você não precisa se lembrar de todas as quatro regras, você só precisa se lembrar de uma, esta: \(c(a-b)=ca-cb\) . Por quê? Porque se substituirmos um em vez de c, obtemos a regra \((a-b)=a-b\) . E se substituirmos menos um, obtemos a regra \(-(a-b)=-a+b\) . Bem, se você substituir outro colchete em vez de c, você pode obter a última regra.

parênteses dentro de parênteses

Às vezes, na prática, há problemas com colchetes aninhados dentro de outros colchetes. Aqui está um exemplo de tal tarefa: simplificar a expressão \(7x+2(5-(3x+y))\).

Para ter sucesso nessas tarefas, você precisa:
- entenda cuidadosamente o aninhamento de colchetes - qual está em qual;
- abra os colchetes sequencialmente, começando, por exemplo, pelo mais interno.

É importante ao abrir um dos suportes não toque no resto da expressão, apenas reescrevendo-o como está.
Vamos pegar a tarefa acima como exemplo.

Exemplo. Abra os colchetes e dê termos semelhantes \(7x+2(5-(3x+y))\).
Decisão:

Exemplo. Expanda os colchetes e dê termos semelhantes \(-(x+3(2x-1+(x-5)))\).
Decisão :

\(-(x+3(2x-1\)\(+(x-5)\) \())\)		Este é um aninhamento triplo de parênteses. Começamos com o mais interno (destacado em verde). Há um sinal de mais na frente do parêntese, então ele é simplesmente removido.
\(-(x+3(2x-1\)\(+x-5\) \())\)		Agora você precisa abrir o segundo suporte, intermediário. Mas antes disso, vamos simplificar a expressão colocando termos semelhantes neste segundo colchete.
\(=-(x\)\(+3(3x-6)\) \()=\)		Agora abrimos o segundo colchete (destacado em azul). Há um multiplicador na frente do parêntese - então cada termo no parêntese é multiplicado por ele.
\(=-(x\)\(+9x-18\) \()=\)
		E abra o último parêntese. Antes do colchete menos - então todos os sinais são invertidos.

A abertura de colchetes é uma habilidade básica em matemática. Sem essa habilidade, é impossível ter uma nota acima de três nas séries 8 e 9. Portanto, recomendo uma boa compreensão deste tópico.