Sim, sim: a progressão aritmética não é um brinquedo para você :)

Bem, amigos, se você está lendo este texto, então a evidência do limite interno me diz que você ainda não sabe o que é uma progressão aritmética, mas você realmente (não, assim: MUUUUITO!) quer saber. Portanto, não vou atormentá-lo com longas apresentações e imediatamente começarei a trabalhar.

Para começar, alguns exemplos. Considere vários conjuntos de números:

• 1; 2; 3; 4; ...
• 15; 20; 25; 30; ...
• $\sqrt(2);\ 2\sqrt(2);\ 3\sqrt(2);...$

O que todos esses conjuntos têm em comum? À primeira vista, nada. Mas na verdade há algo. Nomeadamente: cada próximo elemento difere do anterior pelo mesmo número.

Julgue por si mesmo. O primeiro conjunto são apenas números consecutivos, cada um mais que o anterior. No segundo caso, a diferença entre os números adjacentes já é igual a cinco, mas essa diferença ainda é constante. No terceiro caso, existem raízes em geral. No entanto, $2\sqrt(2)=\sqrt(2)+\sqrt(2)$, enquanto $3\sqrt(2)=2\sqrt(2)+\sqrt(2)$, ou seja, nesse caso, cada próximo elemento simplesmente aumenta em $\sqrt(2)$ (e não se assuste que esse número seja irracional).

Então: todas essas sequências são chamadas apenas de progressões aritméticas. Vamos dar uma definição estrita:

Definição. Uma sequência de números em que cada próximo difere do anterior exatamente na mesma quantidade é chamada de progressão aritmética. A própria quantidade pela qual os números diferem é chamada de diferença de progressão e é mais frequentemente indicada pela letra $d$.

Notação: $\left(((a)_(n)) \right)$ é a própria progressão, $d$ é sua diferença.

E apenas algumas observações importantes. Em primeiro lugar, a progressão é considerada apenas ordenadamente seqüência de números: eles podem ser lidos estritamente na ordem em que são escritos - e nada mais. Você não pode reorganizar ou trocar números.

Em segundo lugar, a própria sequência pode ser finita ou infinita. Por exemplo, o conjunto (1; 2; 3) é obviamente uma progressão aritmética finita. Mas se você escrever algo como (1; 2; 3; 4; ...) - isso já é uma progressão infinita. As reticências após os quatro, por assim dizer, sugerem que muitos números vão mais longe. Infinitamente muitos, por exemplo. :)

Também gostaria de observar que as progressões estão aumentando e diminuindo. Já vimos crescentes - o mesmo conjunto (1; 2; 3; 4; ...). Aqui estão alguns exemplos de progressões decrescentes:

• 49; 41; 33; 25; 17; ...
• 17,5; 12; 6,5; 1; −4,5; −10; ...
• $\sqrt(5);\ \sqrt(5)-1;\ \sqrt(5)-2;\ \sqrt(5)-3;...$

Ok, ok: o último exemplo pode parecer muito complicado. Mas o resto, eu acho, você entende. Portanto, introduzimos novas definições:

Definição. Uma progressão aritmética é chamada de:

1. aumentando se cada próximo elemento for maior que o anterior;
2. decrescente, se, pelo contrário, cada elemento subsequente for menor que o anterior.

Além disso, existem as chamadas sequências "estacionárias" - elas consistem no mesmo número de repetição. Por exemplo, (3; 3; 3; ...).

Resta apenas uma pergunta: como distinguir uma progressão crescente de uma decrescente? Felizmente, tudo aqui depende apenas do sinal do número $d$, ou seja, diferenças de progressão:

1. Se $d \gt 0$, então a progressão é crescente;
2. Se $d \lt 0$, então a progressão é obviamente decrescente;
3. Finalmente, há o caso $d=0$ — neste caso toda a progressão é reduzida a uma sequência estacionária de números idênticos: (1; 1; 1; 1; ...), etc.

Vamos tentar calcular a diferença $d$ para as três progressões decrescentes acima. Para fazer isso, basta pegar dois elementos adjacentes (por exemplo, o primeiro e o segundo) e subtrair do número à direita o número à esquerda. Isso parecerá assim:

• 41−49=−8;
• 12−17,5=−5,5;
• $\sqrt(5)-1-\sqrt(5)=-1$.

Como você pode ver, nos três casos a diferença realmente acabou sendo negativa. E agora que descobrimos mais ou menos as definições, é hora de descobrir como as progressões são descritas e quais propriedades elas têm.

Membros da progressão e da fórmula recorrente

Como os elementos de nossas sequências não podem ser trocados, eles podem ser numerados:

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( ((a)_(1)),\ ((a)_(2)),((a)_(3) )),... \direita\)\]

Os elementos individuais deste conjunto são chamados membros da progressão. Eles são indicados dessa maneira com a ajuda de um número: o primeiro membro, o segundo membro e assim por diante.

Além disso, como já sabemos, os membros vizinhos da progressão estão relacionados pela fórmula:

\[((a)_(n))-((a)_(n-1))=d\Rightarrow ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d \]

Resumindo, para encontrar o $n$th termo da progressão, você precisa saber o $n-1$th termo e a diferença $d$. Essa fórmula é chamada de recorrente, porque com sua ajuda você pode encontrar qualquer número, conhecendo apenas o anterior (e, de fato, todos os anteriores). Isso é muito inconveniente, então existe uma fórmula mais complicada que reduz qualquer cálculo ao primeiro termo e à diferença:

\[((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)d\]

Você provavelmente já se deparou com essa fórmula antes. Eles gostam de dar em todos os tipos de livros de referência e reshebniks. E em qualquer livro sensato de matemática, é um dos primeiros.

No entanto, sugiro que você pratique um pouco.

Tarefa número 1. Escreva os três primeiros termos da progressão aritmética $\left(((a)_(n)) \right)$ if $((a)_(1))=8,d=-5$.

Decisão. Então, conhecemos o primeiro termo $((a)_(1))=8$ e a diferença de progressão $d=-5$. Vamos usar a fórmula dada e substituir $n=1$, $n=2$ e $n=3$:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)d; \\ & ((a)_(1))=((a)_(1))+\left(1-1 \right)d=((a)_(1))=8; \\ & ((a)_(2))=((a)_(1))+\left(2-1 \right)d=((a)_(1))+d=8-5= 3; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+\left(3-1 \right)d=((a)_(1))+2d=8-10= -2. \\ \end(alinhar)\]

Resposta: (8; 3; -2)

Isso é tudo! Observe que nossa progressão está diminuindo.

Claro, $n=1$ não poderia ter sido substituído - já conhecemos o primeiro termo. No entanto, substituindo a unidade, garantimos que, mesmo para o primeiro termo, nossa fórmula funciona. Em outros casos, tudo se resumia a uma aritmética banal.

Tarefa número 2. Escreva os três primeiros termos de uma progressão aritmética se seu sétimo termo for -40 e seu décimo sétimo termo for -50.

Decisão. Escrevemos a condição do problema nos termos usuais:

\[((a)_(7))=-40;\quad ((a)_(17))=-50.\]

\[\left\( \begin(align) & ((a)_(7))=((a)_(1))+6d \\ & ((a)_(17))=((a) _(1))+16d \\ \end(align) \right.\]

\[\left\( \begin(align) & ((a)_(1))+6d=-40 \\ & ((a)_(1))+16d=-50 \\ \end(align) \direita.\]

Coloquei o sinal do sistema porque esses requisitos devem ser atendidos simultaneamente. E agora notamos que se subtrairmos a primeira equação da segunda equação (temos o direito de fazer isso, porque temos um sistema), obtemos isso:

\[\begin(align) & ((a)_(1))+16d-\left(((a)_(1))+6d \right)=-50-\left(-40 \right); \\ & ((a)_(1))+16d-((a)_(1))-6d=-50+40; \\ & 10d=-10; \\&d=-1. \\ \end(alinhar)\]

Simples assim, encontramos a diferença de progressão! Resta substituir o número encontrado em qualquer uma das equações do sistema. Por exemplo, no primeiro:

\[\begin(matrix) ((a)_(1))+6d=-40;\quad d=-1 \\ \Downarrow \\ ((a)_(1))-6=-40; \\ ((a)_(1))=-40+6=-34. \\ \end(matriz)\]

Agora, conhecendo o primeiro termo e a diferença, resta encontrar o segundo e o terceiro termos:

\[\begin(align) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=-34-1=-35; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+2d=-34-2=-36. \\ \end(alinhar)\]

Preparar! Problema resolvido.

Resposta: (-34; -35; -36)

Observe uma propriedade curiosa da progressão que descobrimos: se pegarmos os termos $n$th e $m$th e subtraímos um do outro, obtemos a diferença da progressão multiplicada pelo número $n-m$:

\[((a)_(n))-((a)_(m))=d\cdot \left(n-m \right)\]

Uma propriedade simples, mas muito útil, que você definitivamente deve conhecer - com sua ajuda, você pode acelerar significativamente a solução de muitos problemas com progressões. Aqui está um excelente exemplo disso:

Tarefa número 3. O quinto termo da progressão aritmética é 8,4, e seu décimo termo é 14,4. Encontre o décimo quinto termo desta progressão.

Decisão. Como $((a)_(5))=8,4$, $((a)_(10))=14,4$, e precisamos encontrar $((a)_(15))$, notamos o seguinte:

\[\begin(align) & ((a)_(15))-((a)_(10))=5d; \\ & ((a)_(10))-((a)_(5))=5d. \\ \end(alinhar)\]

Mas pela condição $((a)_(10))-((a)_(5))=14.4-8.4=6$, então $5d=6$, de onde temos:

\[\begin(alinhar) & ((a)_(15))-14,4=6; \\ & ((a)_(15))=6+14,4=20,4. \\ \end(alinhar)\]

Resposta: 20,4

Isso é tudo! Não precisávamos compor nenhum sistema de equações e calcular o primeiro termo e a diferença - tudo foi decidido em apenas algumas linhas.

Agora vamos considerar outro tipo de problema - a busca por membros negativos e positivos da progressão. Não é segredo que, se a progressão aumentar, enquanto seu primeiro termo for negativo, mais cedo ou mais tarde aparecerão termos positivos. E vice-versa: os termos de uma progressão decrescente mais cedo ou mais tarde se tornarão negativos.

Ao mesmo tempo, nem sempre é possível encontrar esse momento “na testa”, ordenando sequencialmente os elementos. Muitas vezes, os problemas são projetados de tal forma que, sem conhecer as fórmulas, os cálculos levariam várias folhas - simplesmente adormeceríamos até encontrar a resposta. Portanto, tentaremos resolver esses problemas de maneira mais rápida.

Tarefa número 4. Quantos termos negativos em uma progressão aritmética -38,5; -35,8; …?

Decisão. Então, $((a)_(1))=-38.5$, $((a)_(2))=-35.8$, a partir do qual encontramos imediatamente a diferença:

Observe que a diferença é positiva, então a progressão é crescente. O primeiro termo é negativo, então, de fato, em algum momento, encontraremos números positivos. A única questão é quando isso vai acontecer.

Vamos tentar descobrir: por quanto tempo (ou seja, até que número natural $n$) a negatividade dos termos é preservada:

\[\begin(align) & ((a)_(n)) \lt 0\Rightarrow ((a)_(1))+\left(n-1 \right)d \lt 0; \\ & -38.5+\left(n-1 \right)\cdot 2.7 \lt 0;\quad \left| \cdot 10 \direito. \\ & -385+27\cdot \left(n-1 \right) \lt 0; \\ & -385+27n-27 \lt 0; \\ & 27n \lt 412; \\ & n \lt 15\frac(7)(27)\Rightarrow ((n)_(\max ))=15. \\ \end(alinhar)\]

A última linha precisa de esclarecimentos. Então sabemos que $n \lt 15\frac(7)(27)$. Por outro lado, apenas valores inteiros do número nos servirão (além disso: $n\in \mathbb(N)$), então o maior número permitido é precisamente $n=15$, e em nenhum caso 16.

Tarefa número 5. Na progressão aritmética $(()_(5))=-150,(()_(6))=-147$. Encontre o número do primeiro termo positivo dessa progressão.

Este seria exatamente o mesmo problema que o anterior, mas não sabemos $((a)_(1))$. Mas os termos vizinhos são conhecidos: $((a)_(5))$ e $((a)_(6))$, então podemos encontrar facilmente a diferença de progressão:

Além disso, vamos tentar expressar o quinto termo em termos do primeiro e a diferença usando a fórmula padrão:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)\cdot d; \\ & ((a)_(5))=((a)_(1))+4d; \\ & -150=((a)_(1))+4\cdot 3; \\ & ((a)_(1))=-150-12=-162. \\ \end(alinhar)\]

Agora vamos proceder por analogia com o problema anterior. Descobrimos em que ponto da nossa sequência os números positivos aparecerão:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=-162+\left(n-1 \right)\cdot 3 \gt 0; \\ & -162+3n-3 \gt 0; \\ & 3n \gt 165; \\ & n \gt 55\Rightarrow ((n)_(\min ))=56. \\ \end(alinhar)\]

A solução inteira mínima desta desigualdade é o número 56.

Por favor, note que na última tarefa tudo foi reduzido a desigualdade estrita, então a opção $n=55$ não nos convém.

Agora que aprendemos a resolver problemas simples, vamos para os mais complexos. Mas primeiro, vamos aprender outra propriedade muito útil das progressões aritméticas, que nos poupará muito tempo e células desiguais no futuro. :)

Média aritmética e recuos iguais

Considere vários termos consecutivos da progressão aritmética crescente $\left(((a)_(n)) \right)$. Vamos tentar marcá-los em uma reta numérica:

Membros da progressão aritmética na reta numérica

Observei especificamente os membros arbitrários $((a)_(n-3)),...,((a)_(n+3))$, e não qualquer $((a)_(1)) , \ ((a)_(2)),\ ((a)_(3))$ etc. Porque a regra, que vou dizer agora, funciona da mesma forma para qualquer "segmento".

E a regra é muito simples. Vamos lembrar a fórmula recursiva e anotá-la para todos os membros marcados:

\[\begin(alinhar) & ((a)_(n-2))=((a)_(n-3))+d; \\ & ((a)_(n-1))=((a)_(n-2))+d; \\ & ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n+1))+d; \\ \end(alinhar)\]

No entanto, essas igualdades podem ser reescritas de maneira diferente:

\[\begin(align) & ((a)_(n-1))=((a)_(n))-d; \\ & ((a)_(n-2))=((a)_(n))-2d; \\ & ((a)_(n-3))=((a)_(n))-3d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(n+3))=((a)_(n))+3d; \\ \end(alinhar)\]

Bem, e daí? Mas o fato de os termos $((a)_(n-1))$ e $((a)_(n+1))$ estarem à mesma distância de $((a)_(n)) $ . E essa distância é igual a $d$. O mesmo pode ser dito sobre os termos $((a)_(n-2))$ e $((a)_(n+2))$ - eles também são removidos de $((a)_(n) )$ pela mesma distância igual a $2d$. Você pode continuar indefinidamente, mas a imagem ilustra bem o significado

Os membros da progressão estão à mesma distância do centro

O que isso significa para nós? Isso significa que você pode encontrar $((a)_(n))$ se os números vizinhos forem conhecidos:

\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-1))+((a)_(n+1)))(2)\]

Deduzimos uma afirmação magnífica: cada membro de uma progressão aritmética é igual à média aritmética dos membros vizinhos! Além disso, podemos desviar de nosso $((a)_(n))$ para a esquerda e para a direita não por um passo, mas por $k$ passos - e ainda assim a fórmula estará correta:

\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-k))+((a)_(n+k)))(2)\]

Aqueles. podemos encontrar facilmente $((a)_(150))$ se soubermos $((a)_(100))$ e $((a)_(200))$, porque $(( a)_ (150))=\frac(((a)_(100))+((a)_(200)))(2)$. À primeira vista, pode parecer que esse fato não nos dá nada de útil. No entanto, na prática, muitas tarefas são especialmente "aguçadas" para o uso da média aritmética. Dê uma olhada:

Tarefa número 6. Encontre todos os valores de $x$ de modo que os números $-6((x)^(2))$, $x+1$ e $14+4((x)^(2))$ sejam membros consecutivos de uma progressão aritmética (em ordem especificada).

Decisão. Como esses números são membros de uma progressão, a condição de média aritmética é satisfeita para eles: o elemento central $x+1$ pode ser expresso em termos de elementos vizinhos:

\[\begin(align) & x+1=\frac(-6((x)^(2))+14+4((x)^(2)))(2); \\ & x+1=\frac(14-2((x)^(2)))(2); \\ & x+1=7-((x)^(2)); \\ & ((x)^(2))+x-6=0. \\ \end(alinhar)\]

O resultado é uma equação quadrática clássica. Suas raízes: $x=2$ e $x=-3$ são as respostas.

Resposta: -3; 2.

Tarefa número 7. Encontre os valores de $$ de forma que os números $-1;4-3;(()^(2))+1$ formem uma progressão aritmética (nessa ordem).

Decisão. Novamente, expressamos o termo médio em termos da média aritmética dos termos vizinhos:

\[\begin(alinhar) & 4x-3=\frac(x-1+((x)^(2))+1)(2); \\ & 4x-3=\frac(((x)^(2))+x)(2);\quad \left| \cdot 2\direito.; \\ & 8x-6=((x)^(2))+x; \\ & ((x)^(2))-7x+6=0. \\ \end(alinhar)\]

Outra equação quadrática. E novamente duas raízes: $x=6$ e $x=1$.

Resposta 1; 6.

Se, no processo de resolução de um problema, você obtiver alguns números brutais ou não tiver certeza absoluta da exatidão das respostas encontradas, há um truque maravilhoso que permite verificar: resolvemos o problema corretamente?

Digamos que no problema 6 obtivemos as respostas -3 e 2. Como podemos verificar se essas respostas estão corretas? Vamos apenas ligá-los na condição original e ver o que acontece. Deixe-me lembrá-lo de que temos três números ($-6(()^(2))$, $+1$ e $14+4(()^(2))$), que devem formar uma progressão aritmética. Substitua $x=-3$:

\[\begin(align) & x=-3\Rightarrow \\ & -6((x)^(2))=-54; \\ &x+1=-2; \\ & 14+4((x)^(2))=50. \end(alinhar)\]

Temos os números -54; −2; 50 que diferem por 52 é, sem dúvida, uma progressão aritmética. A mesma coisa acontece para $x=2$:

\[\begin(align) & x=2\Rightarrow \\ & -6((x)^(2))=-24; \\ &x+1=3; \\ & 14+4((x)^(2))=30. \end(alinhar)\]

Novamente uma progressão, mas com uma diferença de 27. Assim, o problema é resolvido corretamente. Quem quiser pode conferir a segunda tarefa por conta própria, mas logo digo: está tudo certo lá também.

Em geral, ao resolver os últimos problemas, nos deparamos com outro fato interessante que também precisa ser lembrado:

Se três números são tais que o segundo é a média do primeiro e do último, então esses números formam uma progressão aritmética.

No futuro, entender essa afirmação nos permitirá literalmente “construir” as progressões necessárias com base na condição do problema. Mas antes de nos engajarmos em tal “construção”, devemos atentar para mais um fato, que decorre diretamente do que já foi considerado.

Agrupamento e soma de elementos

Vamos voltar para a reta numérica novamente. Notamos lá vários membros da progressão, entre os quais, talvez. vale muitos outros membros:

6 elementos marcados na reta numérica

Vamos tentar expressar a "cauda esquerda" em termos de $((a)_(n))$ e $d$, e a "cauda direita" em termos de $((a)_(k))$ e $ d$. É muito simples:

\[\begin(alinhar) & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(k-1))=((a)_(k))-d; \\ & ((a)_(k-2))=((a)_(k))-2d. \\ \end(alinhar)\]

Agora observe que as seguintes somas são iguais:

\[\begin(alinhar) & ((a)_(n))+((a)_(k))=S; \\ & ((a)_(n+1))+((a)_(k-1))=((a)_(n))+d+((a)_(k))-d= S; \\ & ((a)_(n+2))+((a)_(k-2))=((a)_(n))+2d+((a)_(k))-2d= S. \end(alinhar)\]

Simplificando, se considerarmos como início dois elementos da progressão, que no total são iguais a algum número $S$, e então começarmos a caminhar desses elementos em direções opostas (um em direção ao outro ou vice-versa para nos afastarmos), então as somas dos elementos em que tropeçaremos também serão iguais$S$. Isso pode ser melhor representado graficamente:

Os mesmos recuos dão somas iguais

Compreender este fato nos permitirá resolver problemas de um nível de complexidade fundamentalmente maior do que aqueles que consideramos acima. Por exemplo, estes:

Tarefa número 8. Determine a diferença de uma progressão aritmética em que o primeiro termo é 66, e o produto do segundo e décimo segundo termos é o menor possível.

Decisão. Vamos anotar tudo o que sabemos:

\[\begin(alinhar) & ((a)_(1))=66; \\&d=? \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\min . \end(alinhar)\]

Então, não sabemos a diferença da progressão $d$. Na verdade, toda a solução será construída em torno da diferença, já que o produto $((a)_(2))\cdot ((a)_(12))$ pode ser reescrito da seguinte forma:

\[\begin(align) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=66+d; \\ & ((a)_(12))=((a)_(1))+11d=66+11d; \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\left(66+d \right)\cdot \left(66+11d \right)= \\ & =11 \cdot \left(d+66 \right)\cdot \left(d+6 \right). \end(alinhar)\]

Para aqueles no tanque: tirei o fator comum 11 do segundo suporte. Assim, o produto desejado é uma função quadrática em relação à variável $d$. Portanto, considere a função $f\left(d \right)=11\left(d+66 \right)\left(d+6 \right)$ - seu gráfico será uma parábola com ramificações para cima, porque se abrirmos os colchetes, teremos:

\[\begin(align) & f\left(d \right)=11\left(((d)^(2))+66d+6d+66\cdot 6 \right)= \\ & =11(( d)^(2))+11\cdot 72d+11\cdot 66\cdot 6 \end(align)\]

Como você pode ver, o coeficiente com o termo mais alto é 11 - este é um número positivo, então estamos realmente lidando com uma parábola com ramificações para cima:

gráfico de uma função quadrática - parábola

Atenção: esta parábola toma seu valor mínimo em seu vértice com a abcissa $((d)_(0))$. Claro, podemos calcular essa abcissa de acordo com o esquema padrão (existe uma fórmula $((d)_(0))=(-b)/(2a)\;$), mas seria muito mais razoável observe que o vértice desejado está na simetria do eixo da parábola, então o ponto $((d)_(0))$ é equidistante das raízes da equação $f\left(d \right)=0$:

\[\begin(alinhar) & f\left(d\right)=0; \\ & 11\cdot \left(d+66 \right)\cdot \left(d+6 \right)=0; \\ & ((d)_(1))=-66;\quad ((d)_(2))=-6. \\ \end(alinhar)\]

Por isso não tive pressa de abrir os colchetes: na forma original, as raízes eram muito, muito fáceis de encontrar. Portanto, a abcissa é igual à média aritmética dos números −66 e −6:

\[((d)_(0))=\frac(-66-6)(2)=-36\]

O que nos dá o número descoberto? Com ele, o produto necessário assume o menor valor (a propósito, não calculamos $((y)_(\min ))$ - isso não é exigido de nós). Ao mesmo tempo, esse número é a diferença da progressão inicial, ou seja, encontramos a resposta. :)

Resposta: -36

Tarefa número 9. Insira três números entre os números $-\frac(1)(2)$ e $-\frac(1)(6)$ de forma que junto com os números dados eles formem uma progressão aritmética.

Decisão. Na verdade, precisamos fazer uma sequência de cinco números, com o primeiro e o último número já conhecidos. Denote os números ausentes pelas variáveis ​​$x$, $y$ e $z$:

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( -\frac(1)(2);x;y;z;-\frac(1)(6) \right\ )\]

Observe que o número $y$ é o "meio" da nossa sequência - é equidistante dos números $x$ e $z$, e dos números $-\frac(1)(2)$ e $-\frac (1)(6)$. E se no momento não podemos obter $y$ dos números $x$ e $z$, então a situação é diferente com as extremidades da progressão. Lembre-se da média aritmética:

Agora, conhecendo $y$, encontraremos os números restantes. Observe que $x$ está entre $-\frac(1)(2)$ e $y=-\frac(1)(3)$ recém encontrado. então

Argumentando de forma semelhante, encontramos o número restante:

Preparar! Encontramos os três números. Vamos escrevê-los na resposta na ordem em que devem ser inseridos entre os números originais.

Resposta: $-\frac(5)(12);\ -\frac(1)(3);\ -\frac(1)(4)$

Tarefa número 10. Entre os números 2 e 42, insira vários números que, juntamente com os números dados, formam uma progressão aritmética, se for conhecido que a soma do primeiro, segundo e último dos números inseridos é 56.

Decisão. Uma tarefa ainda mais difícil, que, no entanto, é resolvida da mesma maneira que as anteriores - através da média aritmética. O problema é que não sabemos exatamente quantos números inserir. Portanto, por definição, assumimos que após a inserção haverá exatamente $n$ números, e o primeiro deles é 2 e o último é 42. Nesse caso, a progressão aritmética desejada pode ser representada como:

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( 2;((a)_(2));((a)_(3));...;(( a)_(n-1));42 \direito\)\]

\[((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56\]

Observe, no entanto, que os números $((a)_(2))$ e $((a)_(n-1))$ são obtidos dos números 2 e 42 posicionados nas bordas um passo em direção ao outro , ou seja. para o centro da sequência. E isso significa que

\[((a)_(2))+((a)_(n-1))=2+42=44\]

Mas então a expressão acima pode ser reescrita assim:

\[\begin(align) & ((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56; \\ & \left(((a)_(2))+((a)_(n-1)) \right)+((a)_(3))=56; \\ & 44+((a)_(3))=56; \\ & ((a)_(3))=56-44=12. \\ \end(alinhar)\]

Conhecendo $((a)_(3))$ e $((a)_(1))$, podemos facilmente encontrar a diferença de progressão:

\[\begin(align) & ((a)_(3))-((a)_(1))=12-2=10; \\ & ((a)_(3))-((a)_(1))=\left(3-1 \right)\cdot d=2d; \\ & 2d=10\Seta para a direita d=5. \\ \end(alinhar)\]

Resta apenas encontrar os membros restantes:

\[\begin(alinhar) & ((a)_(1))=2; \\ & ((a)_(2))=2+5=7; \\ & ((a)_(3))=12; \\ & ((a)_(4))=2+3\cdot 5=17; \\ & ((a)_(5))=2+4\cdot 5=22; \\ & ((a)_(6))=2+5\cdot 5=27; \\ & ((a)_(7))=2+6\cdot 5=32; \\ & ((a)_(8))=2+7\cdot 5=37; \\ & ((a)_(9))=2+8\cdot 5=42; \\ \end(alinhar)\]

Assim, já no 9º passo chegaremos ao extremo esquerdo da sequência - o número 42. No total, apenas 7 números tiveram de ser inseridos: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37.

Resposta: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37

Tarefas de texto com progressões

Para concluir, gostaria de considerar alguns problemas relativamente simples. Bem, tão simples: para a maioria dos alunos que estudam matemática na escola e não leram o que está escrito acima, essas tarefas podem parecer um gesto. No entanto, são precisamente essas tarefas que aparecem no OGE e no USE em matemática, por isso recomendo que você se familiarize com elas.

Tarefa número 11. A equipe produziu 62 peças em janeiro e, em cada mês seguinte, produziu mais 14 peças do que no anterior. Quantas peças a brigada produziu em novembro?

Decisão. Obviamente, o número de peças, pintadas por mês, será uma progressão aritmética crescente. E:

\[\begin(alinhar) & ((a)_(1))=62;\quad d=14; \\ & ((a)_(n))=62+\left(n-1 \right)\cdot 14. \\ \end(align)\]

Novembro é o 11º mês do ano, então precisamos encontrar $((a)_(11))$:

\[((a)_(11))=62+10\cdot 14=202\]

Portanto, 202 peças serão fabricadas em novembro.

Tarefa número 12. A oficina de encadernação encadernou 216 livros em janeiro, e a cada mês encadernou 4 livros a mais do que no mês anterior. Quantos livros a oficina encadernou em dezembro?

Decisão. Tudo o mesmo:

$\begin(alinhar) & ((a)_(1))=216;\quad d=4; \\ & ((a)_(n))=216+\left(n-1 \right)\cdot 4. \\ \end(align)$

Dezembro é o último 12º mês do ano, então estamos procurando por $((a)_(12))$:

\[((a)_(12))=216+11\cdot 4=260\]

Esta é a resposta - 260 livros serão encadernados em dezembro.

Bem, se você leu até aqui, apresso-me a parabenizá-lo: você concluiu com sucesso o “curso jovem lutador” em progressões aritméticas. Podemos passar com segurança para a próxima lição, onde estudaremos a fórmula da soma da progressão, bem como as consequências importantes e muito úteis dela.

Tipo de aula: aprendendo novos materiais.

Lições objetivas:

• ampliação e aprofundamento das ideias dos alunos sobre tarefas resolvidas por progressão aritmética; organização da atividade de pesquisa dos alunos ao derivar a fórmula da soma dos n primeiros membros de uma progressão aritmética;
• desenvolvimento de habilidades para adquirir novos conhecimentos de forma independente, usar conhecimentos já adquiridos para realizar a tarefa;
• desenvolvimento do desejo e necessidade de generalizar os fatos obtidos, o desenvolvimento da independência.

Tarefas:

• generalizar e sistematizar o conhecimento existente sobre o tema “Progressão aritmética”;
• derivar fórmulas para calcular a soma dos primeiros n membros de uma progressão aritmética;
• ensinar como aplicar as fórmulas obtidas na resolução de vários problemas;
• chamar a atenção dos alunos para o procedimento para encontrar o valor de uma expressão numérica.

Equipamento:

• cartões com tarefas para trabalho em grupo e dupla;
• papel de avaliação;
• apresentação"Progressão aritmética".

I. Atualização de conhecimentos básicos.

1. Trabalho independente em pares.

1ª opção:

Defina uma progressão aritmética. Escreva uma fórmula recursiva que defina uma progressão aritmética. Dê um exemplo de progressão aritmética e indique sua diferença.

2ª opção:

Escreva a fórmula para o enésimo termo de uma progressão aritmética. Encontre o 100º termo de uma progressão aritmética ( a}: 2, 5, 8 …
Neste momento, dois alunos no verso do quadro estão preparando respostas para as mesmas perguntas.
Os alunos avaliam o trabalho do parceiro comparando-o com o quadro. (Os folhetos com as respostas são entregues).

2. Momento do jogo.

Exercício 1.

Professora. Eu concebi uma progressão aritmética. Faça-me apenas duas perguntas para que, após as respostas, você possa nomear rapidamente o 7º membro dessa progressão. (1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15…)

Perguntas dos alunos.

1. Qual é o sexto termo da progressão e qual é a diferença?
2. Qual é o oitavo termo da progressão e qual é a diferença?

Se não houver mais perguntas, o professor pode estimulá-las - uma “proibição” de d (diferença), ou seja, não é permitido perguntar qual é a diferença. Você pode fazer perguntas: qual é o 6º termo da progressão e qual é o 8º termo da progressão?

Tarefa 2.

Há 20 números escritos no quadro: 1, 4, 7 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, 40, 43, 46, 49, 52, 55, 58.

O professor fica de costas para o quadro-negro. Os alunos dizem o número do número, e o professor imediatamente liga para o próprio número. Explique como posso fazer?

O professor se lembra da fórmula do enésimo termo a n \u003d 3n - 2 e, substituindo os valores dados de n, encontra os valores correspondentes a .

II. Declaração da tarefa educativa.

Proponho resolver um antigo problema que remonta ao 2º milênio aC, encontrado em papiros egípcios.

Tarefa:“Diga-se a você: divida 10 medidas de cevada entre 10 pessoas, a diferença entre cada pessoa e seu vizinho é 1/8 da medida.”

• Como esse problema se relaciona com o tópico da progressão aritmética? (Cada próxima pessoa recebe 1/8 da medida a mais, então a diferença é d=1/8, 10 pessoas, então n=10.)
• O que você acha que o número 10 significa? (A soma de todos os membros da progressão.)
• O que mais você precisa saber para facilitar e simplificar a divisão da cevada de acordo com a condição do problema? (O primeiro termo da progressão.)

Objetivo da lição- obter a dependência da soma dos termos da progressão em seu número, o primeiro termo e a diferença, e verificar se o problema foi resolvido corretamente nos tempos antigos.

Antes de derivar a fórmula, vamos ver como os antigos egípcios resolveram o problema.

E resolveram assim:

1) 10 medidas: 10 = 1 medida - share médio;
2) 1 medida ∙ = 2 medidas - dobrado média compartilhar.
dobrou média a parte é a soma das partes da 5ª e 6ª pessoa.
3) 2 medidas - 1/8 medida = 1 7/8 medidas - o dobro da proporção da quinta pessoa.
4) 1 7/8: 2 = 5/16 - a parte do quinto; e assim por diante, você pode encontrar a participação de cada pessoa anterior e posterior.

Obtemos a sequência:

III. A solução da tarefa.

1. Trabalhe em grupos

1º grupo: Encontre a soma de 20 números naturais consecutivos: S 20 \u003d (20 + 1) ∙ 10 \u003d 210.

Em geral

II grupo: Encontre a soma dos números naturais de 1 a 100 (Legend of Little Gauss).

S 100 \u003d (1 + 100) ∙ 50 \u003d 5050

Conclusão:

III grupo: Encontre a soma dos números naturais de 1 a 21.

Solução: 1+21=2+20=3+19=4+18…

Conclusão:

Grupo IV: Encontre a soma dos números naturais de 1 a 101.

Conclusão:

Este método de resolução dos problemas considerados é chamado de “método de Gauss”.

2. Cada grupo apresenta a solução do problema no quadro.

3. Generalização das soluções propostas para uma progressão aritmética arbitrária:

a 1 , a 2 , a 3 ,…, a n-2 , a n-1 , a n .
S n \u003d a 1 + a 2 + a 3 + a 4 + ... + a n-3 + a n-2 + a n-1 + a n.

Encontramos essa soma argumentando de forma semelhante:

4. Resolvemos a tarefa?(Sim.)

4. Compreensão primária e aplicação das fórmulas obtidas na resolução de problemas.

1. Verificando a solução de um problema antigo pela fórmula.

2. Aplicação da fórmula na resolução de vários problemas.

3. Exercícios para a formação da capacidade de aplicação da fórmula na resolução de problemas.

A) Nº 613

Dado :( e n) - progressão aritmética;

(a n): 1, 2, 3, ..., 1500

Encontrar: S 1500

Decisão: , e 1 = 1, e 1500 = 1500,

B) Dado: ( e n) - progressão aritmética;
(e n): 1, 2, 3, ...
Sn = 210

Encontrar: n
Decisão:

V. Trabalho independente com verificação mútua.

Denis foi trabalhar como mensageiro. No primeiro mês, seu salário foi de 200 rublos, em cada mês subsequente aumentou em 30 rublos. Quanto ele ganhou em um ano?

Dado :( e n) - progressão aritmética;
a 1 = 200, d = 30, n = 12
Encontrar: S 12
Decisão:

Resposta: Denis recebeu 4.380 rublos por ano.

VI. Instrução de lição de casa.

1. p. 4.3 - aprenda a derivação da fórmula.
2. №№ 585, 623 .
3. Componha um problema que seria resolvido usando a fórmula da soma dos n primeiros termos de uma progressão aritmética.

VII. Resumindo a lição.

1. Folha de pontuação

2. Continue as frases

• Hoje na aula aprendi...
• Fórmulas aprendidas...
• Eu penso isso …

3. Você consegue encontrar a soma dos números de 1 a 500? Qual método você usará para resolver esse problema?

Bibliografia.

1. Álgebra, 9º ano. Livro didático para instituições de ensino. Ed. G.V. Dorofeeva. Moscou: Iluminismo, 2009.

Ao estudar álgebra em uma escola secundária (9ª série), um dos tópicos importantes é o estudo de sequências numéricas, que incluem progressões - geométricas e aritméticas. Neste artigo, consideraremos uma progressão aritmética e exemplos com soluções.

O que é uma progressão aritmética?

Para entender isso, é necessário dar uma definição da progressão em consideração, bem como dar as fórmulas básicas que serão usadas posteriormente na resolução de problemas.

Uma progressão aritmética ou algébrica é um conjunto de números racionais ordenados, cada membro dos quais difere do anterior por alguma quantidade constante. Esse valor é chamado de diferença. Ou seja, conhecendo qualquer membro de uma série ordenada de números e a diferença, você pode restaurar toda a progressão aritmética.

Vamos dar um exemplo. A próxima sequência de números será uma progressão aritmética: 4, 8, 12, 16, ..., pois a diferença neste caso é 4 (8 - 4 = 12 - 8 = 16 - 12). Mas o conjunto de números 3, 5, 8, 12, 17 não pode mais ser atribuído ao tipo de progressão considerado, pois a diferença para ele não é um valor constante (5 - 3 ≠ 8 - 5 ≠ 12 - 8 ≠ 17 - 12).

Fórmulas importantes

Apresentamos agora as fórmulas básicas que serão necessárias para resolver problemas usando uma progressão aritmética. Seja a n o enésimo membro da sequência, onde n é um inteiro. A diferença é denotada pela letra latina d. Então as seguintes expressões são verdadeiras:

1. Para determinar o valor do enésimo termo, a fórmula é adequada: a n \u003d (n-1) * d + a 1.
2. Para determinar a soma dos primeiros n termos: S n = (a n + a 1)*n/2.

Para compreender quaisquer exemplos de progressão aritmética com solução no 9º ano, basta recordar estas duas fórmulas, uma vez que quaisquer problemas do tipo em questão são construídos na sua utilização. Além disso, não esqueça que a diferença de progressão é determinada pela fórmula: d = a n - a n-1 .

Exemplo nº 1: Encontrando um membro desconhecido

Damos um exemplo simples de progressão aritmética e as fórmulas que devem ser usadas para resolver.

Seja dada a sequência 10, 8, 6, 4, ..., é necessário encontrar cinco termos nela.

Já decorre das condições do problema que os primeiros 4 termos são conhecidos. A quinta pode ser definida de duas maneiras:

1. Vamos calcular a diferença primeiro. Temos: d = 8 - 10 = -2. Da mesma forma, pode-se tomar quaisquer outros dois termos próximos um do outro. Por exemplo, d = 4 - 6 = -2. Como se sabe que d \u003d a n - a n-1, então d \u003d a 5 - a 4, de onde obtemos: a 5 \u003d a 4 + d. Substituímos os valores conhecidos: a 5 = 4 + (-2) = 2.
2. O segundo método também requer conhecimento da diferença da progressão em questão, então você precisa primeiro determiná-la, como mostrado acima (d = -2). Sabendo que o primeiro termo a 1 = 10, usamos a fórmula para o número n da sequência. Temos: a n \u003d (n - 1) * d + a 1 \u003d (n - 1) * (-2) + 10 \u003d 12 - 2 * n. Substituindo n = 5 na última expressão, obtemos: a 5 = 12-2 * 5 = 2.

Como você pode ver, ambas as soluções levam ao mesmo resultado. Observe que neste exemplo a diferença d da progressão é negativa. Essas sequências são chamadas decrescentes porque cada termo sucessivo é menor que o anterior.

Exemplo #2: diferença de progressão

Agora vamos complicar um pouco a tarefa, dar um exemplo de como

Sabe-se que em alguns o 1º termo é igual a 6, e o 7º termo é igual a 18. É necessário encontrar a diferença e restaurar essa sequência ao 7º termo.

Vamos usar a fórmula para determinar o termo desconhecido: a n = (n - 1) * d + a 1 . Substituímos os dados conhecidos da condição, ou seja, os números a 1 e a 7, temos: 18 \u003d 6 + 6 * d. A partir desta expressão, você pode calcular facilmente a diferença: d = (18 - 6) / 6 = 2. Assim, a primeira parte do problema foi respondida.

Para restaurar a sequência para o 7º membro, você deve usar a definição de progressão algébrica, ou seja, a 2 = a 1 + d, a 3 = a 2 + d, e assim por diante. Como resultado, restauramos a sequência inteira: a 1 = 6, a 2 = 6 + 2=8, a 3 = 8 + 2 = 10, a 4 = 10 + 2 = 12, a 5 = 12 + 2 = 14 , a 6 = 14 + 2 = 16 e 7 = 18.

Exemplo #3: fazendo uma progressão

Vamos complicar ainda mais a condição do problema. Agora você precisa responder à pergunta de como encontrar uma progressão aritmética. Podemos dar o seguinte exemplo: dois números são dados, por exemplo, 4 e 5. É necessário fazer uma progressão algébrica para que mais três termos caibam entre eles.

Antes de começar a resolver este problema, é necessário entender que lugar os números dados ocuparão na progressão futura. Como haverá mais três termos entre eles, então 1 \u003d -4 e 5 \u003d 5. Tendo estabelecido isso, passamos a uma tarefa semelhante à anterior. Novamente, para o enésimo termo, usamos a fórmula, obtemos: a 5 \u003d a 1 + 4 * d. De: d \u003d (a 5 - a 1) / 4 \u003d (5 - (-4)) / 4 \u003d 2,25. Aqui a diferença não é um valor inteiro, mas é um número racional, então as fórmulas para a progressão algébrica permanecem as mesmas.

Agora vamos adicionar a diferença encontrada a 1 e restaurar os membros ausentes da progressão. Obtemos: a 1 = - 4, a 2 = - 4 + 2,25 = - 1,75, a 3 = -1,75 + 2,25 = 0,5, a 4 = 0,5 + 2,25 = 2,75, a 5 \u003d 2,75 + 2,25 \u003d 5, que coincidiu com a condição do problema.

Exemplo #4: O primeiro membro da progressão

Continuamos a dar exemplos de uma progressão aritmética com uma solução. Em todos os problemas anteriores, o primeiro número da progressão algébrica era conhecido. Agora considere um problema de um tipo diferente: sejam dados dois números, onde a 15 = 50 e a 43 = 37. É necessário descobrir de qual número essa sequência começa.

As fórmulas que foram usadas até agora pressupõem o conhecimento de a 1 e d. Nada se sabe sobre esses números na condição do problema. No entanto, vamos escrever as expressões para cada termo sobre o qual temos informações: a 15 = a 1 + 14 * d e a 43 = a 1 + 42 * d. Temos duas equações nas quais existem 2 incógnitas (a 1 e d). Isso significa que o problema é reduzido a resolver um sistema de equações lineares.

O sistema especificado é mais fácil de resolver se você expressar um 1 em cada equação e depois comparar as expressões resultantes. Primeira equação: a 1 = a 15 - 14 * d = 50 - 14 * d; segunda equação: a 1 \u003d a 43 - 42 * d \u003d 37 - 42 * d. Igualando essas expressões, obtemos: 50 - 14 * d \u003d 37 - 42 * d, de onde a diferença d \u003d (37 - 50) / (42 - 14) \u003d - 0,464 (apenas 3 casas decimais são fornecidas).

Conhecendo d, você pode usar qualquer uma das 2 expressões acima para a 1 . Por exemplo, primeiro: a 1 \u003d 50 - 14 * d \u003d 50 - 14 * (- 0,464) \u003d 56,496.

Se houver dúvidas sobre o resultado, você pode verificá-lo, por exemplo, determinar o 43º membro da progressão, especificado na condição. Obtemos: a 43 \u003d a 1 + 42 * d \u003d 56,496 + 42 * (- 0,464) \u003d 37,008. Um pequeno erro se deve ao fato de ter sido utilizado arredondamento para milésimos nos cálculos.

Exemplo #5: Soma

Agora vamos ver alguns exemplos com soluções para a soma de uma progressão aritmética.

Seja uma progressão numérica da seguinte forma: 1, 2, 3, 4, ...,. Como calcular a soma de 100 desses números?

Graças ao desenvolvimento da tecnologia da computação, esse problema pode ser resolvido, ou seja, somar sequencialmente todos os números, o que o computador fará assim que uma pessoa pressionar a tecla Enter. No entanto, o problema pode ser resolvido mentalmente se você prestar atenção que a série de números apresentada é uma progressão algébrica, e sua diferença é 1. Aplicando a fórmula da soma, temos: S n = n * (a 1 + a n) / 2 = 100 * (1 + 100) / 2 = 5050.

É curioso notar que esse problema é chamado de "gaussiano", pois no início do século XVIII o famoso alemão, ainda com apenas 10 anos de idade, conseguiu resolvê-lo em sua mente em poucos segundos. O menino não conhecia a fórmula para a soma de uma progressão algébrica, mas percebeu que se somarmos pares de números localizados nas bordas da sequência, obteremos sempre o mesmo resultado, ou seja, 1 + 100 = 2 + 99 = 3 + 98 = ..., e como essas somas serão exatamente 50 (100 / 2), para obter a resposta correta, basta multiplicar 50 por 101.

Exemplo #6: soma dos termos de n a m

Outro exemplo típico da soma de uma progressão aritmética é o seguinte: dada uma série de números: 3, 7, 11, 15, ..., você precisa descobrir qual será a soma de seus termos de 8 a 14.

O problema é resolvido de duas maneiras. O primeiro deles envolve encontrar termos desconhecidos de 8 a 14 e, em seguida, resumi-los sequencialmente. Como existem poucos termos, esse método não é trabalhoso o suficiente. No entanto, propõe-se resolver este problema pelo segundo método, que é mais universal.

A ideia é obter uma fórmula para a soma de uma progressão algébrica entre os termos m e n, onde n > m são inteiros. Para ambos os casos, escrevemos duas expressões para a soma:

1. S m \u003d m * (a m + a 1) / 2.
2. S n \u003d n * (a n + a 1) / 2.

Como n > m, é óbvio que a soma 2 inclui o primeiro. A última conclusão significa que, se pegarmos a diferença entre essas somas e adicionarmos o termo a m a ela (no caso de tirar a diferença, ela é subtraída da soma S n), obteremos a resposta necessária para o problema. Temos: S mn \u003d S n - S m + a m \u003d n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m \u003d a 1 * (n - m) / 2 + a n * n / 2 + a m * (1- m / 2). É necessário substituir fórmulas para a n e a m nesta expressão. Então temos: S mn = a 1 * (n - m) / 2 + n * (a 1 + (n - 1) * d) / 2 + (a 1 + (m - 1) * d) * (1 - m / 2) = a 1 * (n - m + 1) + d * n * (n - 1) / 2 + d * (3 * m - m 2 - 2) / 2.

A fórmula resultante é um pouco complicada, no entanto, a soma S mn depende apenas de n, m, a 1 e d. No nosso caso, a 1 = 3, d = 4, n = 14, m = 8. Substituindo esses números, obtemos: S mn = 301.

Como pode ser visto nas soluções acima, todos os problemas são baseados no conhecimento da expressão para o enésimo termo e a fórmula para a soma do conjunto dos primeiros termos. Antes de começar a resolver qualquer um desses problemas, é recomendável que você leia atentamente a condição, entenda claramente o que deseja encontrar e só então prossiga com a solução.

Outra dica é buscar a simplicidade, ou seja, se você conseguir responder a pergunta sem usar cálculos matemáticos complexos, é preciso fazer exatamente isso, pois nesse caso a probabilidade de errar é menor. Por exemplo, no exemplo de uma progressão aritmética com a solução nº 6, pode-se parar na fórmula S mn = n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m, e divida a tarefa geral em subtarefas separadas (neste caso, encontre primeiro os termos a n e a m).

Se houver dúvidas sobre o resultado obtido, recomenda-se verificar, como foi feito em alguns dos exemplos apresentados. Como encontrar uma progressão aritmética, descobri. Depois de descobrir, não é tão difícil.

Por exemplo, a sequência \(2\); \(5\); \(oito\); \(onze\); \(14\)… é uma progressão aritmética, pois cada elemento seguinte difere do anterior por três (pode ser obtido do anterior somando três):

Nesta progressão, a diferença \(d\) é positiva (igual a \(3\)) e, portanto, cada termo seguinte é maior que o anterior. Essas progressões são chamadas aumentando.

No entanto, \(d\) também pode ser um número negativo. por exemplo, em progressão aritmética \(16\); \(dez\); \(4\); \(-2\); \(-8\)… a diferença de progressão \(d\) é igual a menos seis.

E neste caso, cada próximo elemento será menor que o anterior. Essas progressões são chamadas diminuindo.

Notação de progressão aritmética

A progressão é indicada por uma pequena letra latina.

Os números que formam uma progressão são chamados membros(ou elementos).

Eles são denotados pela mesma letra que a progressão aritmética, mas com um índice numérico igual ao número do elemento em ordem.

Por exemplo, a progressão aritmética \(a_n = \left\( 2; 5; 8; 11; 14…\right\)\) consiste nos elementos \(a_1=2\); \(a_2=5\); \(a_3=8\) e assim por diante.

Em outras palavras, para a progressão \(a_n = \left\(2; 5; 8; 11; 14…\right\)\)

Resolvendo problemas em uma progressão aritmética

Em princípio, as informações acima já são suficientes para resolver praticamente qualquer problema de progressão aritmética (incluindo os oferecidos no OGE).

Exemplo (OGE). A progressão aritmética é dada pelas condições \(b_1=7; d=4\). Encontre \(b_5\).
Decisão:

Responda: \(b_5=23\)

Exemplo (OGE). Os três primeiros termos de uma progressão aritmética são dados: \(62; 49; 36…\) Encontre o valor do primeiro termo negativo desta progressão.
Decisão:

	Recebemos os primeiros elementos da sequência e sabemos que é uma progressão aritmética. Ou seja, cada elemento difere do vizinho pelo mesmo número. Descubra qual subtraindo o anterior do próximo elemento: \(d=49-62=-13\).
	Agora podemos restaurar nossa progressão para o elemento desejado (primeiro negativo).
	Preparar. Você pode escrever uma resposta.

Responda: \(-3\)

Exemplo (OGE). Vários elementos sucessivos de uma progressão aritmética são dados: \(...5; x; 10; 12,5...\) Encontre o valor do elemento denotado pela letra \(x\).
Decisão:

	Para encontrar \(x\), precisamos saber o quanto o próximo elemento difere do anterior, ou seja, a diferença de progressão. Vamos encontrá-lo a partir de dois elementos vizinhos conhecidos: \(d=12.5-10=2.5\).
	E agora encontramos o que procuramos sem problemas: \(x=5+2.5=7.5\).
	Preparar. Você pode escrever uma resposta.

Responda: \(7,5\).

Exemplo (OGE). A progressão aritmética é dada pelas seguintes condições: \(a_1=-11\); \(a_(n+1)=a_n+5\) Encontre a soma dos seis primeiros termos desta progressão.
Decisão:

Precisamos encontrar a soma dos seis primeiros termos da progressão. Mas não sabemos seus significados, recebemos apenas o primeiro elemento. Portanto, primeiro calculamos os valores por sua vez, usando o que nos foi dado: \(n=1\); \(a_(1+1)=a_1+5=-11+5=-6\) \(n=2\); \(a_(2+1)=a_2+5=-6+5=-1\) \(n=3\); \(a_(3+1)=a_3+5=-1+5=4\) E tendo calculado os seis elementos de que precisamos, encontramos sua soma.

\(S_6=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6=\) \(=(-11)+(-6)+(-1)+4+9+14=9\)

O valor solicitado foi encontrado.

Responda: \(S_6=9\).

Exemplo (OGE). Em progressão aritmética \(a_(12)=23\); \(a_(16)=51\). Encontre a diferença dessa progressão.
Decisão:

Responda: \(d=7\).

Fórmulas importantes de progressão aritmética

Como você pode ver, muitos problemas de progressão aritmética podem ser resolvidos simplesmente entendendo o principal - que uma progressão aritmética é uma cadeia de números, e cada próximo elemento nesta cadeia é obtido adicionando o mesmo número ao anterior (a diferença da progressão).

No entanto, às vezes há situações em que é muito inconveniente resolver "na testa". Por exemplo, imagine que no primeiro exemplo, precisamos encontrar não o quinto elemento \(b_5\), mas o tricentésimo octogésimo sexto \(b_(386)\). O que é isso, nós \ (385 \) vezes para adicionar quatro? Ou imagine que no penúltimo exemplo você precisa encontrar a soma dos primeiros setenta e três elementos. Contar é confuso...

Portanto, nesses casos, eles não resolvem “na testa”, mas usam fórmulas especiais derivadas de progressão aritmética. E as principais são a fórmula do enésimo termo da progressão e a fórmula da soma \(n\) dos primeiros termos.

Fórmula para o \(n\)º membro: \(a_n=a_1+(n-1)d\), onde \(a_1\) é o primeiro membro da progressão;
\(n\) – número do elemento requerido;
\(a_n\) é um membro da progressão com o número \(n\).

Essa fórmula nos permite encontrar rapidamente pelo menos o tricentésimo, até mesmo o milionésimo elemento, conhecendo apenas o primeiro e a diferença de progressão.

Exemplo. A progressão aritmética é dada pelas condições: \(b_1=-159\); \(d=8,2\). Encontre \(b_(246)\).
Decisão:

Responda: \(b_(246)=1850\).

A fórmula para a soma dos primeiros n termos é: \(S_n=\frac(a_1+a_n)(2) \cdot n\), onde

\(a_n\) é o último termo somado;

Exemplo (OGE). A progressão aritmética é dada pelas condições \(a_n=3.4n-0.6\). Encontre a soma dos primeiros \(25\) termos dessa progressão.
Decisão:

\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2 )\) \(\cdot 25\)		Para calcular a soma dos primeiros vinte e cinco elementos, precisamos saber o valor do primeiro e do vigésimo quinto termo. A nossa progressão é dada pela fórmula do enésimo termo em função do seu número (ver detalhes). Vamos calcular o primeiro elemento substituindo \(n\) por um.
\(n=1;\) \(a_1=3,4 1-0,6=2,8\)		Agora vamos encontrar o vigésimo quinto termo substituindo vinte e cinco em vez de \(n\).
\(n=25;\) \(a_(25)=3,4 25-0,6=84,4\)		Bem, agora calculamos a quantidade necessária sem problemas.
\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \(\cdot 25=\) \(=\) \(\frac(2,8+84,4)(2)\) \(\cdot 25 =\)\(1090\)		A resposta está pronta.

Responda: \(S_(25)=1090\).

Para a soma \(n\) dos primeiros termos, você pode obter outra fórmula: você só precisa \(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \ (\cdot 25\ ) em vez de \(a_n\) substitua pela fórmula \(a_n=a_1+(n-1)d\). Nós temos:

A fórmula para a soma dos primeiros n termos é: \(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\), onde

\(S_n\) – a soma necessária \(n\) dos primeiros elementos;
\(a_1\) é o primeiro termo a ser somado;
\(d\) – diferença de progressão;
\(n\) - o número de elementos na soma.

Exemplo. Encontre a soma dos primeiros termos \(33\)-ex da progressão aritmética: \(17\); \(15,5\); \(quatorze\)…
Decisão:

Responda: \(S_(33)=-231\).

Problemas de progressão aritmética mais complexos

Agora você tem todas as informações necessárias para resolver quase qualquer problema de progressão aritmética. Vamos terminar o tópico considerando problemas nos quais você precisa não apenas aplicar fórmulas, mas também pensar um pouco (em matemática, isso pode ser útil ☺)

Exemplo (OGE). Encontre a soma de todos os termos negativos da progressão: \(-19,3\); \(-dezenove\); \(-18,7\)…
Decisão:

\(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\)		A tarefa é muito semelhante à anterior. Começamos a resolver da mesma maneira: primeiro encontramos \(d\).
\(d=a_2-a_1=-19-(-19.3)=0.3\)		Agora substituiríamos \(d\) na fórmula da soma ... e aqui aparece uma pequena nuance - não sabemos \(n\). Em outras palavras, não sabemos quantos termos precisarão ser adicionados. Como descobrir? Vamos pensar. Pararemos de adicionar elementos quando chegarmos ao primeiro elemento positivo. Ou seja, você precisa descobrir o número desse elemento. Como? Vamos escrever a fórmula para calcular qualquer elemento de uma progressão aritmética: \(a_n=a_1+(n-1)d\) para o nosso caso.
\(a_n=a_1+(n-1)d\)
\(a_n=-19,3+(n-1) 0,3\)		Precisamos que \(a_n\) seja maior que zero. Vamos descobrir para que \(n\) isso vai acontecer.
\(-19,3+(n-1) 0,3>0\)
\((n-1) 0,3>19,3\) \(|:0,3\)		Dividimos ambos os lados da desigualdade por \(0,3\).
\(n-1>\)\(\frac(19,3)(0,3)\)		Transferimos menos um, não esquecendo de mudar os sinais
\(n>\)\(\frac(19,3)(0,3)\) \(+1\)		Informática...
\(n>65.333…\)		…e acontece que o primeiro elemento positivo terá o número \(66\). Assim, o último negativo tem \(n=65\). Apenas no caso, vamos dar uma olhada.
\(n=65;\) \(a_(65)=-19,3+(65-1) 0,3=-0,1\) \(n=66;\) \(a_(66)=-19,3+(66-1) 0,3=0,2\)		Assim, precisamos adicionar os primeiros elementos \(65\).
\(S_(65)=\) \(\frac(2 \cdot (-19,3)+(65-1)0,3)(2)\)\(\cdot 65\) \(S_(65)=\)\((-38,6+19,2)(2)\)\(\cdot 65=-630,5\)		A resposta está pronta.

Responda: \(S_(65)=-630,5\).

Exemplo (OGE). A progressão aritmética é dada pelas condições: \(a_1=-33\); \(a_(n+1)=a_n+4\). Encontre a soma do elemento \(26\)th ao \(42\) inclusive.
Decisão:

\(a_1=-33;\) \(a_(n+1)=a_n+4\)	Neste problema, você também precisa encontrar a soma dos elementos, mas começando não do primeiro, mas do \(26\)th. Não temos uma fórmula para isso. Como decidir? Fácil - para obter a soma de \(26\)th a \(42\)th, você deve primeiro encontrar a soma de \(1\)th a \(42\)th e, em seguida, subtrair dela a soma de o primeiro a \ (25 \) th (veja a imagem).
	Para nossa progressão \(a_1=-33\), e a diferença \(d=4\) (afinal, adicionamos quatro ao elemento anterior para encontrar o próximo). Sabendo disso, encontramos a soma dos primeiros \(42\)-uh elementos.
\(S_(42)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(42-1)4)(2)\)\(\cdot 42=\) \(=\)\(\frac(-66+164)(2)\) \(\cdot 42=2058\)	Agora a soma dos primeiros \(25\)-ésimos elementos.
\(S_(25)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(25-1)4)(2)\)\(\cdot 25=\) \(=\)\(\frac(-66+96)(2)\) \(\cdot 25=375\)	E, finalmente, calculamos a resposta.
\(S=S_(42)-S_(25)=2058-375=1683\)

Responda: \(S=1683\).

Para uma progressão aritmética, existem várias outras fórmulas que não consideramos neste artigo devido à sua baixa utilidade prática. No entanto, você pode encontrá-los facilmente.

Qual é a essência da fórmula?

Esta fórmula permite encontrar algum POR SEU NÚMERO" n" .

Claro, você precisa saber o primeiro termo um 1 e diferença de progressão d, bem, sem esses parâmetros, você não pode escrever uma progressão específica.

Não é suficiente memorizar (ou trapacear) esta fórmula. É preciso assimilar sua essência e aplicar a fórmula em vários problemas. Sim, e não esqueça na hora certa, sim...) Como não esqueça- Não sei. E aqui como lembrar Se precisar, dou uma dica. Para aqueles que dominam a lição até o fim.)

Então, vamos lidar com a fórmula do n-ésimo membro de uma progressão aritmética.

O que é uma fórmula em geral - imaginamos.) O que é uma progressão aritmética, um número de membro, uma diferença de progressão - é claramente indicado na lição anterior. Dê uma olhada se você não leu. Tudo é simples lá. Resta saber o que enésimo membro.

A progressão em geral pode ser escrita como uma série de números:

a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , a 5 , .....

um 1- denota o primeiro termo de uma progressão aritmética, um 3- terceiro membro um 4- quarto, e assim por diante. Se estamos interessados ​​no quinto termo, digamos que estamos trabalhando com um 5, se centésimo vigésimo - de um 120.

Como definir em geral algum membro de uma progressão aritmética, s algum número? Muito simples! Assim:

a

É isso que é n-ésimo membro de uma progressão aritmética. Sob a letra n, todos os números de membros estão ocultos de uma só vez: 1, 2, 3, 4 e assim por diante.

E o que esse registro nos dá? Basta pensar, em vez de um número, eles escreveram uma carta ...

Essa notação nos dá uma ferramenta poderosa para trabalhar com progressões aritméticas. Usando a notação a, podemos encontrar rapidamente algum membro algum progressão aritmética. E um monte de tarefas para resolver em progressão. Você verá mais adiante.

Na fórmula do enésimo membro de uma progressão aritmética:

a n = a 1 + (n-1)d

um 1- o primeiro membro da progressão aritmética;

n- número de membro.

A fórmula vincula os principais parâmetros de qualquer progressão: a ; um 1; d e n. Em torno desses parâmetros, todos os quebra-cabeças giram em progressão.

A fórmula do enésimo termo também pode ser usada para escrever uma progressão específica. Por exemplo, no problema pode-se dizer que a progressão é dada pela condição:

a n = 5 + (n-1) 2.

Tal problema pode até confundir... Não há série, não há diferença... Mas, comparando a condição com a fórmula, é fácil perceber que nessa progressão a 1 \u003d 5 e d \u003d 2.

E pode ser ainda mais irado!) Se tomarmos a mesma condição: a n = 5 + (n-1) 2, sim, abra os colchetes e dê os semelhantes? Obtemos uma nova fórmula:

an = 3 + 2n.

Isso é Só não geral, mas para uma progressão específica. É aqui que está a armadilha. Algumas pessoas pensam que o primeiro termo é um três. Embora na realidade o primeiro membro seja um cinco... Um pouco mais baixo trabalharemos com essa fórmula modificada.

Em tarefas para progressão, há outra notação - um n+1. Este é, você adivinhou, o "n mais o primeiro" termo da progressão. Seu significado é simples e inofensivo.) Este é um membro da progressão, cujo número é maior que o número n por um. Por exemplo, se em algum problema tomamos por a quinto termo, então um n+1 será o sexto membro. etc.

Na maioria das vezes a designação um n+1 ocorre em fórmulas recursivas. Não tenha medo dessa palavra terrível!) Esta é apenas uma maneira de expressar um termo de uma progressão aritmética através do anterior. Suponha que nos seja dada uma progressão aritmética nesta forma, usando a fórmula recorrente:

a n+1 = a n +3

a 2 = a 1 + 3 = 5+3 = 8

a 3 = a 2 + 3 = 8+3 = 11

O quarto - até o terceiro, o quinto - até o quarto e assim por diante. E como contar imediatamente, digamos o vigésimo termo, um 20? Mas de jeito nenhum!) Enquanto o 19º termo não é conhecido, o 20º não pode ser contado. Esta é a diferença fundamental entre a fórmula recursiva e a fórmula do enésimo termo. A recursiva funciona apenas através de anterior termo, e a fórmula do enésimo termo - através primeiro e permite imediatamente encontrar qualquer membro pelo seu número. Não contando toda a série de números em ordem.

Em uma progressão aritmética, uma fórmula recursiva pode ser facilmente transformada em uma regular. Conte um par de termos consecutivos, calcule a diferença d, encontre, se necessário, o primeiro termo um 1, escreva a fórmula na forma usual e trabalhe com ela. No GIA, essas tarefas são frequentemente encontradas.

Aplicação da fórmula do n-ésimo membro de uma progressão aritmética.

Primeiro, vamos ver a aplicação direta da fórmula. No final da lição anterior, havia um problema:

Dada uma progressão aritmética (a n). Encontre um 121 se a 1 = 3 e d = 1/6.

Este problema pode ser resolvido sem fórmulas, simplesmente com base no significado da progressão aritmética. Adicionar, sim, adicionar... Uma ou duas horas.)

E de acordo com a fórmula, a solução levará menos de um minuto. Você pode cronometrar.) Nós decidimos.

As condições fornecem todos os dados para usar a fórmula: a 1 \u003d 3, d \u003d 1/6. Resta saber o que n. Sem problemas! Precisamos encontrar um 121. Aqui escrevemos:

Por favor preste atenção! Em vez de um índice n apareceu um número específico: 121. O que é bastante lógico.) Estamos interessados ​​no membro da progressão aritmética número cento e vinte e um. Este será o nosso n.É este significado n= 121 substituiremos mais adiante na fórmula, entre colchetes. Substitua todos os números na fórmula e calcule:

a 121 = 3 + (121-1) 1/6 = 3+20 = 23

Isso é tudo o que há para isso. Tão rapidamente se poderia encontrar o quingentésimo décimo membro, e o milésimo terceiro, qualquer um. Colocamos em seu lugar n o número desejado no índice da letra " uma" e entre parênteses, e nós consideramos.

Deixe-me lembrá-lo da essência: esta fórmula permite que você encontre algum termo de uma progressão aritmética POR SEU NÚMERO" n" .

Vamos resolver o problema de forma mais inteligente. Digamos que temos o seguinte problema:

Encontre o primeiro termo da progressão aritmética (a n) se a 17 =-2; d=-0,5.

Se você tiver alguma dificuldade, vou sugerir o primeiro passo. Escreva a fórmula para o enésimo termo de uma progressão aritmética! Sim Sim. Escreva à mão, diretamente no seu caderno:

a n = a 1 + (n-1)d

E agora, olhando as letras da fórmula, entendemos quais dados temos e o que está faltando? Disponível d=-0,5, há um décimo sétimo membro... Tudo? Se você pensa que é tudo, então você não pode resolver o problema, sim...

Também temos um número n! Na condição a 17 =-2 escondido duas opções. Este é o valor do décimo sétimo membro (-2) e seu número (17). Aqueles. n=17. Essa "coisinha" muitas vezes passa pela cabeça, e sem ela (sem a "coisinha", não a cabeça!) O problema não pode ser resolvido. Embora... e sem cabeça também.)

Agora podemos substituir estupidamente nossos dados na fórmula:

a 17 \u003d a 1 + (17-1) (-0,5)

Oh sim, um 17 sabemos que é -2. Ok, vamos colocar:

-2 \u003d a 1 + (17-1) (-0,5)

Isso, em essência, é tudo. Resta expressar o primeiro termo da progressão aritmética da fórmula e calcular. Você obtém a resposta: 1 = 6.

Tal técnica - escrever uma fórmula e simplesmente substituir dados conhecidos - ajuda muito em tarefas simples. Bem, você deve, é claro, ser capaz de expressar uma variável a partir de uma fórmula, mas o que fazer!? Sem essa habilidade, a matemática não pode ser estudada ...

Outro problema popular:

Encontre a diferença da progressão aritmética (a n) se a 1 =2; a 15 = 12.

O que estamos fazendo? Você ficará surpreso, escrevemos a fórmula!)

a n = a 1 + (n-1)d

Considere o que sabemos: a 1 = 2; a 15 = 12; e (destaque especial!) n=15. Sinta-se à vontade para substituir na fórmula:

12=2 + (15-1)d

Vamos fazer a aritmética.)

12=2 + 14d

d=10/14 = 5/7

Essa é a resposta correta.

Então, tarefas um n , um 1 e d decidido. Resta saber como encontrar o número:

O número 99 é membro de uma progressão aritmética (a n), onde a 1 = 12; d=3. Encontre o número deste membro.

Substituímos as quantidades conhecidas na fórmula do enésimo termo:

a n = 12 + (n-1) 3

À primeira vista, existem duas quantidades desconhecidas aqui: um n e n. Mas aé algum membro da progressão com o número n... E este membro da progressão que conhecemos! É 99. Não sabemos o número dele. n, então esse número também precisa ser encontrado. Substitua o termo de progressão 99 na fórmula:

99 = 12 + (n-1) 3

Expressamos pela fórmula n, nós pensamos. Obtemos a resposta: n=30.

E agora um problema no mesmo tópico, mas mais criativo):

Determine se o número 117 será um membro de uma progressão aritmética (a n):

-3,6; -2,4; -1,2 ...

Vamos escrever a fórmula novamente. O que, não há opções? Hm... Por que precisamos de olhos?) Vemos o primeiro membro da progressão? Nós vemos. Isso é -3,6. Você pode escrever com segurança: a 1 \u003d -3,6. Diferença d pode ser determinado a partir da série? É fácil se você souber qual é a diferença de uma progressão aritmética:

d = -2,4 - (-3,6) = 1,2

Sim, fizemos a coisa mais simples. Resta lidar com um número desconhecido n e um número incompreensível 117. No problema anterior, pelo menos se sabia que era o termo da progressão que era dado. Mas aqui a gente nem sabe disso... Como ser!? Bem, como ser, como ser... Ative suas habilidades criativas!)

Nós suponha que 117 é, afinal, um membro de nossa progressão. Com um número desconhecido n. E, assim como no problema anterior, vamos tentar encontrar esse número. Aqueles. escrevemos a fórmula (sim-sim!)) e substituímos nossos números:

117 = -3,6 + (n-1) 1,2

Novamente expressamos pela fórmulan, contamos e obtemos:

Ops! O número acabou fracionário! Cento e um e meio. E números fracionários em progressões não pode ser. Que conclusão tiramos? Sim! Número 117 não é membro da nossa progressão. Está em algum lugar entre o 101º e o 102º membros. Se o número for natural, ou seja, inteiro positivo, então o número seria um membro da progressão com o número encontrado. E no nosso caso, a resposta para o problema será: não.

Tarefa baseada em uma versão real do GIA:

A progressão aritmética é dada pela condição:

a n \u003d -4 + 6,8n

Encontre o primeiro e o décimo termos da progressão.

Aqui a progressão é definida de uma forma incomum. Algum tipo de fórmula ... Acontece.) No entanto, esta fórmula (como escrevi acima) - também a fórmula do n-ésimo membro de uma progressão aritmética! Ela também permite encontre qualquer membro da progressão pelo seu número.

Estamos procurando o primeiro membro. Aquele que pensa. que o primeiro termo é menos quatro, é um erro fatal!) Porque a fórmula do problema é modificada. O primeiro termo de uma progressão aritmética nele escondido. Nada, vamos encontrá-lo agora.)

Assim como nas tarefas anteriores, substituímos n=1 nesta fórmula:

a 1 \u003d -4 + 6,8 1 \u003d 2,8

Aqui! O primeiro termo é 2,8, não -4!

Da mesma forma, estamos procurando o décimo termo:

a 10 \u003d -4 + 6,8 10 \u003d 64

Isso é tudo o que há para isso.

E agora, para aqueles que leram até estas linhas, o bônus prometido.)

Suponha que, em uma situação de combate difícil do GIA ou do Unified State Exam, você tenha esquecido a fórmula útil do n-ésimo membro de uma progressão aritmética. Algo vem à mente, mas de alguma forma incerta ... Se n lá, ou n+1, ou n-1... Como ser!?

Calmo! Esta fórmula é fácil de derivar. Não muito rigoroso, mas definitivamente o suficiente para a confiança e a decisão certa!) Para a conclusão, basta lembrar o significado elementar da progressão aritmética e ter alguns minutos. Você só precisa fazer um desenho. Para maior clareza.

Desenhamos um eixo numérico e marcamos o primeiro nele. segundo, terceiro, etc. membros. E observe a diferença d entre membros. Assim:

Olhamos para a imagem e pensamos: a que equivale o segundo termo? Segundo 1 d:

uma 2 =a 1 + 1 d

Qual é o terceiro termo? O terceiro termo é igual ao primeiro termo mais dois d.

uma 3 =a 1 + 2 d

Você entendeu? Não coloco algumas palavras em negrito por nada. Ok, mais um passo.)

Qual é o quarto termo? Quarto termo é igual ao primeiro termo mais três d.

uma 4 =a 1 + 3 d

É hora de perceber que o número de lacunas, ou seja, d, sempre um a menos que o número do membro que você está procurando n. Ou seja, até o número n, número de lacunas vontade n-1. Então, a fórmula será (sem opções!):

a n = a 1 + (n-1)d

Em geral, as imagens visuais são muito úteis na resolução de muitos problemas de matemática. Não negligencie as imagens. Mas se for difícil desenhar uma imagem, então ... apenas uma fórmula!) Além disso, a fórmula do enésimo termo permite conectar todo o poderoso arsenal da matemática à solução - equações, desigualdades, sistemas etc. Você não pode colocar uma imagem em uma equação...

Tarefas para decisão independente.

Para aquecimento:

1. Na progressão aritmética (a n) a 2 =3; a 5 \u003d 5.1. Encontre um 3 .

Dica: de acordo com a imagem, o problema é resolvido em 20 segundos... De acordo com a fórmula, fica mais difícil. Mas para dominar a fórmula, é mais útil.) Na Seção 555, esse problema é resolvido tanto pela figura quanto pela fórmula. Sinta a diferença!)

E isso não é mais um aquecimento.)

2. Na progressão aritmética (a n) a 85 \u003d 19,1; a 236 =49, 3. Encontre a 3 .

O que, relutância em fazer um desenho?) Ainda! É melhor na fórmula, sim...

3. A progressão aritmética é dada pela condição:a 1 \u003d -5,5; an+1 = an+0,5. Encontre o centésimo vigésimo quinto termo dessa progressão.

Nesta tarefa, a progressão é dada de forma recorrente. Mas contando até o centésimo vigésimo quinto termo... Nem todos podem fazer tal façanha.) Mas a fórmula do enésimo termo está ao alcance de todos!

4. Dada uma progressão aritmética (a n):

-148; -143,8; -139,6; -135,4, .....

Encontre o número do menor termo positivo da progressão.

5. De acordo com a condição da tarefa 4, encontre a soma dos menores membros positivos e maiores negativos da progressão.

6. O produto do quinto e décimo segundo termos de uma progressão aritmética crescente é -2,5, e a soma do terceiro e décimo primeiro termos é zero. Encontre um 14 .

Não é a tarefa mais fácil, sim ...) Aqui o método "nos dedos" não funcionará. Você tem que escrever fórmulas e resolver equações.

Respostas (em desordem):

3,7; 3,5; 2,2; 37; 2,7; 56,5

Ocorrido? É legal!)

Nem tudo dá certo? Acontece. A propósito, na última tarefa há um ponto sutil. Será necessária atenção na leitura do problema. E lógica.

A solução para todos esses problemas é discutida em detalhes na Seção 555. E o elemento de fantasia para o quarto, e o momento sutil para o sexto, e abordagens gerais para resolver quaisquer problemas para a fórmula do enésimo termo - tudo é pintado. Recomendo.

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Você pode praticar a resolução de exemplos e descobrir seu nível. Testes com verificação instantânea. Aprendendo - com interesse!)

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