módulo ou valor absoluto um número real é chamado o próprio número, se Xé não negativo, e o número oposto, ou seja, -x se X negativo:

Obviamente, mas por definição, |x| > 0. As seguintes propriedades de valores absolutos são conhecidas:

• 1) hu| = |dg| |r/1;
• 2>--H;

Nono

• 3) |x+r/|
• 4) |dt-g/|

Módulo de diferença de dois números X - uma| é a distância entre os pontos X e uma na reta numérica (para qualquer X e uma).

Disso segue-se, em particular, que as soluções da desigualdade X - uma 0) são todos os pontos X intervalo (uma- g, um + c), ou seja números que satisfazem a desigualdade de Anúncios + G.

tal intervalo (uma- 8, uma+ d) é chamado de 8-vizinhança do ponto uma.

Propriedades básicas das funções

Como já dissemos, todas as quantidades em matemática são divididas em constantes e variáveis. Valor constanteé chamada de uma quantidade que mantém o mesmo valor.

variávelé uma quantidade que pode assumir vários valores numéricos.

Definição 10.8. variável no chamado função da variável x, se, de acordo com alguma regra, cada valor de x e X atribuído um valor específico no eu; a variável independente x é geralmente chamada de argumento, e o escopo X sua mudança é chamada de escopo da função.

O fato de que no existe uma função otx, mais frequentemente expressa em notação simbólica: no= /(x).

Existem várias maneiras de definir funções. Três são considerados os principais: analítico, tabular e gráfico.

Analítico maneira. Este método consiste em definir a relação entre o argumento (variável independente) e a função na forma de uma fórmula (ou fórmulas). Normalmente /(x) é alguma expressão analítica contendo x. Nesse caso, diz-se que a função é definida por uma fórmula, por exemplo, no= 2x + 1, no= tgx etc.

Tabular A forma como uma função é definida é que a função é dada por uma tabela contendo os valores do argumento x e os valores correspondentes da função f(.r). Exemplos são tabelas do número de crimes para um determinado período, tabelas de medidas experimentais, uma tabela de logaritmos.

Gráfico maneira. Seja um sistema de coordenadas retangulares cartesianas dado no plano ho. A interpretação geométrica da função é baseada no seguinte.

Definição 10.9. cronograma A função é chamada de lugar geométrico dos pontos do plano, as coordenadas (x, e) que satisfazem a condição: o-ah).

Diz-se que uma função é dada graficamente se seu gráfico for desenhado. O método gráfico é amplamente utilizado em medições experimentais utilizando dispositivos de auto-gravação.

Tendo um gráfico visual de funções à sua frente, não é difícil imaginar muitas de suas propriedades, o que torna o gráfico uma ferramenta indispensável para estudar uma função. Portanto, a plotagem é a parte mais importante (geralmente final) do estudo da função.

Cada método tem suas vantagens e desvantagens. Portanto, as vantagens do método gráfico incluem sua visibilidade, as desvantagens - sua imprecisão e apresentação limitada.

Passemos agora à consideração das principais propriedades das funções.

Par e impar. Função y = f(x) chamado até, se para qualquer X a condição f(-x) = f(x). Se para X do domínio de definição, a condição f(-x) = -/(x) é satisfeita, então a função é chamada ímpar. Uma função que não é par ou ímpar é chamada de função visão geral.

• 1) y = x 2é uma função par, pois f(-x) = (-x) 2 = x 2, isto é/(-x) =/(.r);
• 2) y= x 3 - função ímpar, já que (-x) 3 \u003d -x 3, s.t. /(-x) = -/(x);
• 3) y= x 2 + x é uma função geral. Aqui / (x) \u003d x 2 + x, / (-x) \u003d (-x) 2 +
• (-x) \u003d x 2 - x, / (-x) * / (x); / (-x) - / "/ (-x).

O gráfico de uma função par é simétrico em relação ao eixo Oh, e o gráfico de uma função ímpar é simétrico em relação à origem.

Monótono. Função no=/(x) é chamado aumentando entre x, se para qualquer x, x 2 e X da desigualdade x 2 > x, segue / (x 2) > / (x,). Função no=/(x) é chamado minguante, se de x 2 > x, segue / (x 2) (x,).

A função é chamada monótono entre x, se ela aumenta ao longo de todo esse intervalo ou diminui ao longo dele.

Por exemplo, a função y= x 2 diminui em (-°°; 0) e aumenta em (0; +°°).

Observe que demos a definição de uma função monotônica no sentido estrito. Em geral, as funções monotônicas incluem funções não decrescentes, ou seja, aqueles para os quais de x 2 > x, segue / (x 2) > / (x,), e funções não crescentes, ou seja. aqueles para os quais de x 2 > x, segue / (x 2)

Limitação. Função no=/(x) é chamado limitado entre x, se existe esse número M > 0 tal que |/(x)| M para qualquer x e x.

Por exemplo, a função no =-

limitado em toda a reta numérica, então

Periodicidade. Função no = f(x) chamado periódico se existe esse número T^ Ah o que f(x + T = f(x) para todos X do escopo da função.

Nesse caso Té chamado de período da função. Obviamente se T- período de função y = f(x), então os períodos desta função também são 2T, 3 T etc. Portanto, geralmente o período de uma função é o menor período positivo (se existir). Por exemplo, as funções / = cos.r tem um período T= 2P, e a função y= tg Zx - período p/3.

Seu objetivo:

conhecer claramente a definição do módulo de um número real;

compreender a interpretação geométrica do módulo de um número real e saber aplicá-la na resolução de problemas;

conhecer as propriedades do módulo e saber aplicar na resolução de problemas;

ser capaz de entender a distância entre dois pontos de uma linha de coordenadas e ser capaz de usá-la na resolução de problemas.

informações de entrada

O conceito do módulo de um número real. O módulo de um número real é chamado este próprio número, se , e o número oposto a ele, se< 0.

O módulo de um número é denotado e escrito:

Interpretação geométrica do módulo . Geometricamente o módulo de um número real é a distância do ponto que representa o número dado na linha de coordenadas até a origem.

Resolvendo equações e desigualdades com módulos baseados no significado geométrico do módulo. Usando o conceito de “distância entre dois pontos de uma linha de coordenadas”, pode-se resolver equações da forma ou desigualdades da forma , onde qualquer um dos sinais pode ser usado em vez do sinal.

Exemplo. Vamos resolver a equação.

Decisão. Vamos reformular o problema geometricamente. Como é a distância na linha de coordenadas entre pontos com coordenadas e , significa que é necessário encontrar as coordenadas de tais pontos, a distância a partir da qual pontos com coordenada 1 é igual a 2.

Em suma, na linha de coordenadas, encontre o conjunto de coordenadas dos pontos, a distância do qual até o ponto com coordenada 1 é igual a 2.

Vamos resolver este problema. Marcamos um ponto na linha de coordenadas, cuja coordenada é igual a 1 (Fig. 6). Os pontos cujas coordenadas são iguais a -1 e 3 são removidos duas unidades deste ponto. Portanto, o conjunto necessário de coordenadas de pontos é um conjunto formado pelos números -1 e 3.

Resposta 1; 3.

Como encontrar a distância entre dois pontos em uma linha de coordenadas. Um número que expressa a distância entre os pontos e , chamado de distância entre os números e .

Para quaisquer dois pontos e uma linha de coordenadas, a distância

.

Propriedades básicas do módulo de um número real:

3. ;

7. ;

8. ;

9. ;

Quando temos:

11. então somente quando ou ;

12. então somente quando ;

13. então somente quando ou ;

14. então somente quando ;

11. então somente quando .

Parte prática

Exercício 1. Pegue uma folha de papel em branco e anote as respostas para esses exercícios orais abaixo.

Verifique suas respostas com as respostas ou breves instruções colocadas no final do elemento de aprendizagem sob o título “Seu Ajudante”.

1. Expandir o sinal do módulo:

a) |–5|; b) |5|; c) |0|; d) |p|.

2. Compare os números:

a) || e -; c) |0| e 0; e) – |–3| e -3; g) –4| uma| e 0;

b) |–p| e P; d) |–7.3| e -7,3; f) | uma| e 0; h) 2| uma| e |2 uma|.

3. Como, usando o sinal de módulo, escrever que pelo menos um dos números uma, b ou com diferente de zero?

4. Como usar o sinal de igual para escrever que cada um dos números uma, b e com igual a zero?

5. Encontre o valor da expressão:

a) | uma| – uma; b) uma + |uma|.

6. Resolva a equação:

a) | X| = 3; c) | X| = -2; e) |2 X– 5| = 0;

b) | X| = 0; e) | X– 3| = 4; f) |3 X– 7| = – 9.

7. O que pode ser dito sobre os números X e no, E se:

a) | X| = X; b) | X| = –X; c) | X| = |no|?

8. Resolva a equação:

a) | X– 2| = X– 2; c) | X– 3| =|7 – X|;

b) | X– 2| = 2 – X; e) | X– 5| =|X– 6|.

9. O que pode ser dito sobre o número no se a igualdade vale:

a) eu Xï = no; b) eu Xï = – no ?

10. Resolva a desigualdade:

a) | X| > X; c) | X| > –X; e) | X| £ X;

b) | X| ³ X; e) | X| ³ – X; f) | X| £ – X.

11. Liste todos os valores de a para os quais a igualdade vale:

a) | uma| = uma; b) | uma| = –uma; dentro) uma – |–uma| =0; e) | uma|uma= –1; e) = 1.

12. Encontrar todos os valores b, para o qual vale a seguinte desigualdade:

a) | b| ³ 1; b) | b| < 1; в) |b| £0; e) | b| ³ 0; e) 1< |b| < 2.

Você pode ter encontrado algumas das seguintes tarefas nas aulas de matemática. Decida qual das seguintes tarefas você precisa concluir. Em caso de dificuldade, consulte a seção “Seu assistente”, para aconselhamento de um professor ou ajuda de um amigo.

Tarefa 2. Com base na definição do módulo de um número real, resolva a equação:

Tarefa 4. Distância entre pontos que representam números reais α e β na linha de coordenadas, é igual a | α – β |. Use isso para resolver a equação.

Na escola, na aula de matemática todos os anos, os alunos analisam novos tópicos. A 6ª série geralmente estuda o módulo de um número - este é um conceito importante em matemática, trabalho com o qual é encontrado mais tarde em álgebra e matemática superior. É muito importante inicialmente entender corretamente a explicação do termo e entender este tópico para passar com sucesso em outros tópicos.

Para começar, deve-se entender que o valor absoluto é um parâmetro em estatística (medido quantitativamente), que caracteriza o fenômeno em estudo em termos de seu volume. Neste caso, o fenômeno deve ser realizado dentro de um determinado prazo e com um determinado local. Distinguir valores:

• resumo - adequado para um grupo de unidades ou toda a população;
• individual - adequado apenas para trabalhar com uma unidade de uma determinada população.

Os conceitos são amplamente utilizados em medições estatísticas, cujo resultado são indicadores que caracterizam as dimensões absolutas de cada unidade de um determinado fenômeno. Eles são medidos em dois indicadores: natural, ou seja, unidades físicas (peças, pessoas) e condicionalmente naturais. Um módulo de matemática é uma exibição desses indicadores.

Qual é o módulo de um número?

Importante! Esta definição de "módulo" é traduzida do latim como "medida" e significa o valor absoluto de qualquer número natural.

Mas esse conceito também tem uma explicação geométrica, pois o módulo em geometria é igual à distância da origem do sistema de coordenadas ao ponto X, que é medido nas unidades de medida usuais.

Para determinar esse indicador para um número, não se deve levar em consideração seu sinal (menos, mais), mas deve-se lembrar que nunca pode ser negativo. Esse valor no papel é destacado graficamente na forma de colchetes - |a|. Neste caso, a definição matemática é:

|x| = x se x for maior ou igual a zero e -x se menor que zero.

O cientista inglês R. Kotes foi quem primeiro aplicou esse conceito em cálculos matemáticos. Mas K. Weierstrass, um matemático da Alemanha, inventou e colocou em uso um símbolo gráfico.

Na geometria do módulo, podemos considerar o exemplo de uma linha de coordenadas, na qual são plotados 2 pontos arbitrários. Suponha que um - A tenha um valor de 5 e o segundo B - 6. Após um estudo detalhado do desenho, ficará claro que a distância de A a B é de 5 unidades de zero, ou seja, origem, e o ponto B está localizado a 6 unidades da origem. Podemos concluir que os pontos do módulo, A = 5, e os pontos B = 6. Graficamente, isso pode ser denotado da seguinte forma: | 5 | = 5. Ou seja, a distância do ponto à origem é o módulo do ponto dado.

Vídeo útil: qual é o módulo de um número real?

Propriedades

Como qualquer conceito matemático, o módulo tem suas próprias propriedades matemáticas:

1. É sempre positivo, então o módulo de um valor positivo é ele mesmo, por exemplo, o módulo de 6 e -6 é 6. Matematicamente, essa propriedade pode ser escrita como |a| = a, para a> 0;
2. Os indicadores de números opostos são iguais entre si. Essa propriedade fica mais clara em uma apresentação geométrica, pois em uma linha reta esses números estão localizados em lugares diferentes, mas ao mesmo tempo estão separados da origem por igual número de unidades. Matematicamente, isso é escrito da seguinte forma: |a| = |-a|;
3. O módulo de zero é zero, desde que o número real seja zero. Esta propriedade é suportada pelo fato de que zero é a origem. Graficamente, isso é escrito da seguinte forma: |0| = 0;
4. Se você deseja encontrar o módulo de dois dígitos de multiplicação, deve entender que será igual ao produto resultante. Em outras palavras, o produto das quantidades A e B = AB, desde que sejam positivas ou negativas, e então o produto é igual a -AB. Graficamente, isso pode ser escrito como |A*B| = |A| * |B|.

A solução bem-sucedida de equações com módulo depende do conhecimento dessas propriedades, o que ajudará qualquer pessoa a calcular e trabalhar corretamente com esse indicador.

Propriedades do módulo

Importante! O expoente não pode ser negativo porque define a distância, que é sempre positiva.

Nas equações

No caso de trabalhar e resolver desigualdades matemáticas em que o módulo está presente, é sempre necessário lembrar que para obter o resultado final correto, deve-se abrir os colchetes, ou seja, módulo de sinal aberto. Muitas vezes, este é o significado da equação.

Vale lembrar que:

• se uma expressão for escrita entre colchetes, ela deve ser resolvida: |A + 5| \u003d A + 5, quando A for maior ou igual a zero e 5-A, no caso de A menor que zero;
• os colchetes geralmente precisam ser expandidos independentemente dos valores da variável, por exemplo, se a expressão no quadrado estiver entre colchetes, pois a expansão será um número positivo de qualquer maneira.

É muito fácil resolver equações com módulo inserindo valores no sistema de coordenadas, pois assim fica fácil visualizar visualmente os valores e seus indicadores.

Vídeo útil: módulo de número real e suas propriedades

Conclusão

O princípio de entender um conceito matemático como um módulo é extremamente importante, pois é usado em matemática superior e outras ciências, portanto, você precisa ser capaz de trabalhar com ele.

Em contato com

Neste artigo, analisaremos detalhadamente o valor absoluto de um número. Daremos várias definições do módulo de um número, introduziremos a notação e daremos ilustrações gráficas. Neste caso, consideramos vários exemplos de encontrar o módulo de um número por definição. Depois disso, listamos e justificamos as principais propriedades do módulo. No final do artigo, falaremos sobre como o módulo de um número complexo é determinado e encontrado.

Navegação da página.

Módulo de número - definição, notação e exemplos

Primeiro apresentamos designação do módulo. O módulo do número a será escrito como , ou seja, à esquerda e à direita do número colocaremos linhas verticais que formam o sinal do módulo. Vamos dar alguns exemplos. Por exemplo, módulo -7 pode ser escrito como ; o módulo 4.125 é escrito como , e o módulo é escrito como .

A seguinte definição do módulo refere-se a, e portanto, a, e a inteiros, e a números racionais e irracionais, como partes constituintes do conjunto de números reais. Vamos falar sobre o módulo de um número complexo em.

Definição.

Módulo de umé o próprio número a, se a for um número positivo, ou o número −a, o oposto do número a, se a for um número negativo, ou 0, se a=0 .

A definição sonora do módulo de um número é muitas vezes escrita na seguinte forma , essa notação significa que se a>0 , se a=0 e se a<0 .

O registro pode ser representado de forma mais compacta . Esta notação significa que se (a é maior ou igual a 0 ), e se a<0 .

Há também um registro . Aqui, o caso em que a=0 deve ser explicado separadamente. Neste caso, temos , mas −0=0 , pois zero é considerado um número oposto a si mesmo.

Vamos trazer exemplos de encontrar o módulo de um número com uma determinada definição. Por exemplo, vamos encontrar módulos de números 15 e . Vamos começar encontrando. Como o número 15 é positivo, seu módulo é, por definição, igual a esse próprio número, ou seja, . Qual é o módulo de um número? Como é um número negativo, então seu módulo é igual ao número oposto ao número, ou seja, o número . Por isso, .

Em conclusão deste parágrafo, damos uma conclusão, que é muito conveniente para aplicar na prática ao encontrar o módulo de um número. Da definição do módulo de um número segue que o módulo de um número é igual ao número sob o sinal do módulo, independentemente do seu sinal, e dos exemplos discutidos acima, isso é muito claramente visível. A declaração sonora explica por que o módulo de um número também é chamado o valor absoluto do número. Portanto, o módulo de um número e o valor absoluto de um número são um e o mesmo.

Módulo de um número como uma distância

Geometricamente, o módulo de um número pode ser interpretado como distância. Vamos trazer determinação do módulo de um número em termos de distância.

Definição.

Módulo de umé a distância da origem na linha de coordenadas ao ponto correspondente ao número a.

Esta definição é consistente com a definição do módulo de um número dado no primeiro parágrafo. Vamos explicar este ponto. A distância da origem ao ponto correspondente a um número positivo é igual a esse número. Zero corresponde à origem, então a distância da origem ao ponto com coordenada 0 é zero (nenhum segmento único e nenhum segmento que compõe qualquer fração do segmento unitário precisa ser adiado para ir do ponto O ao ponto com coordenada 0). A distância da origem a um ponto de coordenada negativa é igual ao número oposto à coordenada do ponto dado, pois é igual à distância da origem ao ponto cuja coordenada é o número oposto.

Por exemplo, o módulo do número 9 é 9, pois a distância da origem ao ponto com coordenada 9 é nove. Vamos dar outro exemplo. O ponto com coordenada -3,25 está a uma distância de 3,25 do ponto O, então .

A definição sonora do módulo de um número é um caso especial de definição do módulo da diferença de dois números.

Definição.

Módulo de diferença de dois números a e b é igual à distância entre os pontos da linha de coordenadas com as coordenadas a e b .

Ou seja, se pontos na linha de coordenadas A(a) e B(b) são dados, então a distância do ponto A ao ponto B é igual ao módulo da diferença entre os números a e b. Se tomarmos o ponto O (ponto de referência) como ponto B, obteremos a definição do módulo do número dado no início deste parágrafo.

Determinando o módulo de um número através da raiz quadrada aritmética

Às vezes encontrado determinação do módulo através da raiz quadrada aritmética.

Por exemplo, vamos calcular os módulos dos números -30 e com base nessa definição. Nós temos . Da mesma forma, calculamos o módulo de dois terços: .

A definição do módulo de um número em termos da raiz quadrada aritmética também é consistente com a definição dada no primeiro parágrafo deste artigo. Vamos mostrar. Seja a um número positivo e −a negativo. Então e , se a=0 , então .

Propriedades do módulo

O módulo tem vários resultados característicos - propriedades do módulo. Agora vamos dar o principal e mais comumente usado deles. Ao fundamentar essas propriedades, contaremos com a definição do módulo de um número em termos de distância.

Vamos começar com a propriedade de módulo mais óbvia - módulo de um número não pode ser um número negativo. Na forma literal, essa propriedade tem a forma de qualquer número a . Esta propriedade é muito fácil de justificar: o módulo de um número é a distância, e a distância não pode ser expressa como um número negativo.

Vamos para a próxima propriedade do módulo. O módulo de um número é igual a zero se e somente se esse número for zero. O módulo de zero é zero por definição. Zero corresponde à origem, nenhum outro ponto na linha de coordenadas corresponde a zero, pois cada número real está associado a um único ponto na linha de coordenadas. Pela mesma razão, qualquer número diferente de zero corresponde a um ponto diferente da origem. E a distância da origem a qualquer ponto diferente do ponto O não é igual a zero, pois a distância entre dois pontos é igual a zero se e somente se esses pontos coincidem. O raciocínio acima prova que apenas o módulo de zero é igual a zero.

Ir em frente. Números opostos têm módulos iguais, ou seja, para qualquer número a . De fato, dois pontos na linha de coordenadas, cujas coordenadas são números opostos, estão à mesma distância da origem, o que significa que os módulos de números opostos são iguais.

A próxima propriedade do módulo é: o módulo do produto de dois números é igual ao produto dos módulos desses números, ou seja, . Por definição, o módulo do produto dos números a e b é a b se , ou −(a b) se . Segue-se das regras de multiplicação de números reais que o produto dos módulos dos números a e b é igual a a b , , ou −(a b) , if , o que prova a propriedade considerada.

O módulo do quociente de dividir a por b é igual ao quociente de dividir o módulo de a pelo módulo de b, ou seja, . Vamos justificar esta propriedade do módulo. Como o quociente é igual ao produto, então . Pela propriedade anterior, temos . Resta apenas usar a igualdade , que é válida devido à definição do módulo do número.

A seguinte propriedade do módulo é escrita como uma desigualdade: , a , b e c são números reais arbitrários. A desigualdade escrita nada mais é do que desigualdade triangular. Para deixar isso claro, vamos tomar os pontos A(a) , B(b) , C(c) na linha de coordenadas e considerar o triângulo degenerado ABC, cujos vértices estão na mesma linha. Por definição, o módulo da diferença é igual ao comprimento do segmento AB, - ao comprimento do segmento AC, e - ao comprimento do segmento CB. Como o comprimento de qualquer lado de um triângulo não excede a soma dos comprimentos dos outros dois lados, a desigualdade , portanto, a desigualdade também vale.

A desigualdade que acabamos de provar é muito mais comum na forma . A desigualdade escrita é geralmente considerada como uma propriedade separada do módulo com a formulação: “ O módulo da soma de dois números não excede a soma dos módulos desses números". Mas a desigualdade segue diretamente da desigualdade , se colocarmos −b em vez de b nela, e tomarmos c=0 .

Módulo de número complexo

Vamos dar determinação do módulo de um número complexo. Deixe-nos ser dado número complexo, escrito na forma algébrica , onde xey são alguns números reais, representando, respectivamente, as partes real e imaginária de um dado número complexo z, e é uma unidade imaginária.

Primeiro, definimos o sinal da expressão sob o sinal do módulo e, em seguida, expandimos o módulo:

• se o valor da expressão for maior que zero, simplesmente o retiramos do sinal do módulo,
• se a expressão for menor que zero, então a removemos sob o sinal do módulo, enquanto alteramos o sinal, como fizemos anteriormente nos exemplos.

Bem, vamos tentar? Vamos estimar:

(Esqueci, repito.)

Se sim, qual é o sinal? Bem, claro, !

E, portanto, revelamos o sinal do módulo alterando o sinal da expressão:

Entendi? Então tente você mesmo:

Respostas:

Que outras propriedades o módulo tem?

Se precisarmos multiplicar os números dentro do sinal do módulo, podemos multiplicar com segurança o módulo desses números!!!

Em termos matemáticos, o módulo do produto dos números é igual ao produto dos módulos desses números.

Por exemplo:

Mas e se precisarmos dividir dois números (expressões) sob o sinal do módulo?

Sim, o mesmo que com a multiplicação! Vamos dividi-lo em dois números separados (expressões) sob o sinal do módulo:

desde que (já que você não pode dividir por zero).

Vale lembrar mais uma propriedade do módulo:

O módulo da soma dos números é sempre menor ou igual à soma dos módulos desses números:

Por que é que? Tudo é muito simples!

Como lembramos, o módulo é sempre positivo. Mas sob o sinal do módulo pode haver qualquer número: positivo e negativo. Suponha que os números e sejam ambos positivos. Então a expressão da esquerda será igual à expressão da direita.

Vejamos um exemplo:

Se sob o sinal de módulo um número é negativo e o outro é positivo, a expressão da esquerda será sempre menor que a da direita:

Parece que tudo está claro com esta propriedade, vamos considerar mais algumas propriedades úteis do módulo.

E se tivermos esta expressão:

O que podemos fazer com esta expressão? Não sabemos o valor de x, mas já sabemos o que significa.

O número é maior que zero, o que significa que você pode simplesmente escrever:

Assim chegamos a outra propriedade, que em geral pode ser representada da seguinte forma:

Qual é o significado desta expressão:

Então, precisamos definir o sinal sob o módulo. É necessário definir um signo aqui?

Claro que não, se você lembrar que qualquer número ao quadrado é sempre maior que zero! Se não lembra, veja o tópico. E o que acontece? E aqui está o que:

É ótimo, certo? Bastante conveniente. Agora para um exemplo específico:

Bem, por que duvidar? Vamos agir com ousadia!

Você entendeu tudo? Então vá em frente e pratique com exemplos!

1. Encontre o valor da expressão if.

2. Que números têm o módulo igual?

3. Encontre o significado das expressões:

Se ainda não está tudo claro e há dificuldades na tomada de decisões, vamos descobrir:

Solução 1:

Então, vamos substituir os valores na expressão

Solução 2:

Como lembramos, os números opostos são iguais em módulo. Isso significa que o valor do módulo é igual a dois números: e.

Solução 3:

a)
b)
dentro)
G)

Você pegou tudo? Então é hora de passar para algo mais complexo!

Vamos tentar simplificar a expressão

Decisão:

Assim, lembramos que o valor do módulo não pode ser menor que zero. Se o número sob o sinal do módulo for positivo, então podemos simplesmente descartar o sinal: o módulo do número será igual a esse número.

Mas se sob o sinal do módulo é um número negativo, então o valor do módulo é igual ao número oposto (ou seja, o número tomado com o sinal "-").

Para encontrar o módulo de qualquer expressão, primeiro você precisa descobrir se ela assume um valor positivo ou negativo.

Acontece que o valor da primeira expressão no módulo.

Portanto, a expressão sob o sinal do módulo é negativa. A segunda expressão sob o sinal do módulo é sempre positiva, pois estamos somando dois números positivos.

Assim, o valor da primeira expressão sob o sinal do módulo é negativo, o segundo é positivo:

Isso significa que, ao expandir o sinal do módulo da primeira expressão, devemos tomar essa expressão com o sinal “-”. Assim:

No segundo caso, simplesmente descartamos o sinal do módulo:

Vamos simplificar esta expressão em sua totalidade:

Módulo de um número e suas propriedades (definições e provas estritas)

Definição:

O módulo (valor absoluto) de um número é o próprio número se, e o número se:

Por exemplo:

Exemplo:

Simplifique a expressão.

Decisão:

Propriedades básicas do módulo

Para todos:

Exemplo:

Prove a propriedade nº 5.

Prova:

Vamos supor que existam

Vamos elevar ao quadrado as partes esquerda e direita da desigualdade (isso pode ser feito, já que ambas as partes da desigualdade são sempre não negativas):

e isso contradiz a definição de um módulo.

Consequentemente, não existem tais, o que significa que para toda a desigualdade

Exemplos de uma solução independente:

1) Prove a propriedade nº 6.

2) Simplifique a expressão.

Respostas:

1) Vamos usar a propriedade nº 3: , e já que, então

Para simplificar, você precisa expandir os módulos. E para expandir os módulos, você precisa descobrir se as expressões sob o módulo são positivas ou negativas?

uma. Vamos comparar os números e e:

b. Agora vamos comparar:

Somamos os valores dos módulos:

O valor absoluto de um número. Resumidamente sobre o principal.

O módulo (valor absoluto) de um número é o próprio número se, e o número se:

Propriedades do módulo:

1. O módulo de um número é um número não negativo: ;
2. Módulos de números opostos são iguais: ;
3. O módulo do produto de dois (ou mais) números é igual ao produto de seus módulos: ;
4. O módulo do quociente de dois números é igual ao quociente de seus módulos: ;
5. O módulo da soma dos números é sempre menor ou igual à soma dos módulos desses números: ;
6. Um fator positivo constante pode ser retirado do sinal do módulo: at;