Tarefas, cuja solução é convertendo expressões logarítmicas, muitas vezes encontrado no exame.

Para lidar com eles com um gasto mínimo de tempo, além das identidades logarítmicas básicas, é necessário conhecer e usar corretamente mais algumas fórmulas.

Isto é: a log a b = b, onde a, b > 0, a ≠ 1 (Decorre diretamente da definição do logaritmo).

log a b = log c b / log c a ou log a b = 1/log b a
onde a, b, c > 0; a, c ≠ 1.

log a m b n = (m/n) log |a| |b|
onde a, b > 0, a ≠ 1, m, n Є R, n ≠ 0.

a log c b = b log c a
onde a, b, c > 0 e a, b, c ≠ 1

Para mostrar a validade da quarta igualdade, tomamos o logaritmo dos lados esquerdo e direito na base a. Obtemos log a (a log c b) = log a (b log c a) ou log c b = log c a log a b; log c b = log c a (log c b / log c a); log com b = log com b.

Provamos a igualdade dos logaritmos, o que significa que as expressões sob os logaritmos também são iguais. A Fórmula 4 está comprovada.

Exemplo 1

Calcular 81 log 27 5 log 5 4 .

Decisão.

81 = 3 4 , 27 = 3 3 .

log 27 5 = 1/3 log 3 5, log 5 4 = log 3 4 / log 3 5. Portanto,

log 27 5 log 5 4 = 1/3 log 3 5 (log 3 4 / log 3 5) = 1/3 log 3 4.

Então 81 log 27 5 log 5 4 = (3 4) 1/3 log 3 4 = (3 log 3 4) 4/3 = (4) 4/3 = 4 3 √4.

Você mesmo pode concluir a tarefa a seguir.

Calcule (8 log 2 3 + 3 1 / log 2 3) - log 0,2 5.

Como dica, 0,2 = 1/5 = 5 -1 ; log 0,2 5 = -1.

Resposta: 5.

Exemplo 2

Calcular (√11) registro √3 9 log 121 81 .

Decisão.

Vamos substituir as expressões: 9 = 3 2 , √3 = 3 1/2 , log √3 9 = 4,

121 = 11 2 , 81 = 3 4 , log 121 81 = 2 log 11 3 (foi usada a Fórmula 3).

Então (√11) log √3 9- log 121 81 = (11 1/2) 4-2 log 11 3 = (11) 2- log 11 3 = 11 2 / (11) log 11 3 = 11 2 / ( 11 log 11 3) = 121/3.

Exemplo 3

Calcular log 2 24 / log 96 2 - log 2 192 / log 12 2.

Decisão.

Vamos substituir os logaritmos contidos no exemplo por logaritmos de base 2.

log 96 2 = 1/log 2 96 = 1/log 2 (2 5 3) = 1/(log 2 2 5 + log 2 3) = 1/(5 + log 2 3);

log 2 192 = log 2 (2 6 3) = (log 2 2 6 + log 2 3) = (6 + log 2 3);

log 2 24 = log 2 (2 3 3) = (log 2 2 3 + log 2 3) = (3 + log 2 3);

log 12 2 = 1/log 2 12 = 1/log 2 (2 2 3) = 1/(log 2 2 2 + log 2 3) = 1/(2 + log 2 3).

Então log 2 24 / log 96 2 – log 2 192 / log 12 2 = (3 + log 2 3) / (1/(5 + log 2 3)) – ((6 + log 2 3) / (1/( 2 + log 2 3)) =

= (3 + log 2 3) (5 + log 2 3) – (6 + log 2 3)(2 + log 2 3).

Depois de abrir os colchetes e reduzir os termos semelhantes, obtemos o número 3. (Ao simplificar a expressão, log 2 3 pode ser denotado por n e simplificar a expressão

(3 + n) (5 + n) – (6 + n)(2 + n)).

Resposta: 3.

Você pode fazer o seguinte por conta própria:

Calcular (log 3 4 + log 4 3 + 2) log 3 16 log 2 144 3.

Aqui é necessário fazer uma transição para logaritmos na base 3 e decomposição em fatores primos de grandes números.

Resposta: 1/2

Exemplo 4

Três números são dados A \u003d 1 / (log 3 0,5), B \u003d 1 / (log 0,5 3), C \u003d log 0,5 12 - log 0,5 3. Organize-os em ordem crescente.

Decisão.

Vamos transformar os números A \u003d 1 / (log 3 0,5) \u003d log 0,5 3; C \u003d log 0,5 12 - log 0,5 3 \u003d log 0,5 12/3 \u003d log 0,5 4 \u003d -2.

Vamos compará-los

log 0,5 3 > log 0,5 4 = -2 e log 0,5 3< -1 = log 0,5 2, так как функция у = log 0,5 х – убывающая.

Ou 2< log 0,5 3 < -1. Тогда -1 < 1/(log 0,5 3) < -1/2.

Responda. Portanto, a ordem de colocação dos números: C; MAS; NO.

Exemplo 5

Quantos inteiros estão no intervalo (log 3 1 / 16 ; log 2 6 48).

Decisão.

Vamos determinar entre quais potências do número 3 está o número 1/16. Temos 27/01< 1 / 16 < 1 / 9 .

Como a função y \u003d log 3 x está aumentando, então log 3 (1 / 27)< log 3 (1 / 16) < log 3 (1 / 9); -3 < log 3 (1 / 16) < -2.

log 6 48 = log 6 (36 4/3) = log 6 36 + log 6 (4/3) = 2 + log 6 (4/3). Compare log 6 (4/3) e 1/5. E para isso comparamos os números 4/3 e 6 1/5. Eleve os dois números à 5ª potência. Obtemos (4/3) 5 = 1024/243 = 4 52/243< 6. Следовательно,

registro 6 (4/3)< 1 / 5 . 2 < log 6 48 < 2 1 / 5 . Числа, входящие в двойное неравенство, положительные. Их можно возводить в квадрат. Знаки неравенства при этом не изменятся. Тогда 4 < log 6 2 48 < 4 21 / 25.

Portanto, o intervalo (log 3 1 / 16 ; log 6 48) inclui o intervalo [-2; 4] e inteiros -2 são colocados nele; -1; 0; 1; 2; 3; 4.

Resposta: 7 inteiros.

Exemplo 6

Calcule 3 lglg 2/ lg 3 - lg20.

Decisão.

3 lg lg 2/ lg 3 = (3 1/ lg3) lg lg 2 = (3 lg 3 10) lg lg 2 = 10 lg lg 2 = lg2.

Então 3 lglg2/lg3 - lg 20 = lg 2 - lg 20 = lg 0,1 = -1.

Resposta 1.

Exemplo 7

Sabe-se que log 2 (√3 + 1) + log 2 (√6 - 2) = A. Encontre log 2 (√3 -1) + log 2 (√6 + 2).

Decisão.

Números (√3 + 1) e (√3 - 1); (√6 - 2) e (√6 + 2) são conjugados.

Façamos a seguinte transformação de expressões

√3 – 1 = (√3 – 1) (√3 + 1)) / (√3 + 1) = 2/(√3 + 1);

√6 + 2 = (√6 + 2) (√6 - 2)) / (√6 - 2) = 2/(√6 - 2).

Então log 2 (√3 – 1) + log 2 (√6 + 2) = log 2 (2/(√3 + 1)) + log 2 (2/(√6 – 2)) =

Log 2 2 – log 2 (√3 + 1) + log 2 2 – log 2 (√6 – 2) = 1 – log 2 (√3 + 1) + 1 – log 2 (√6 – 2) =

2 - log 2 (√3 + 1) - log 2 (√6 - 2) = 2 - A.

Resposta: 2 - A.

Exemplo 8.

Simplifique e encontre o valor aproximado da expressão (log 3 2 log 4 3 log 5 4 log 6 5 ... log 10 9.

Decisão.

Reduzimos todos os logaritmos para uma base comum de 10.

(log 3 2 log 4 3 log 5 4 log 6 5 … log 10 9 = (log 2 / log 3) (log 3 / log 4) (log 4 / log 5) (log 5 / lg 6) ... . .. (lg 8 / lg 9) lg 9 \u003d lg 2 ≈ 0,3010. (O valor aproximado de lg 2 pode ser encontrado usando uma tabela, régua de cálculo ou calculadora).

Resposta: 0,3010.

Exemplo 9.

Calcule log a 2 b 3 √(a 11 b -3) se log √ a b 3 = 1. (Neste exemplo, a 2 b 3 é a base do logaritmo).

Decisão.

Se log √ a b 3 = 1, então 3/(0,5 log a b = 1. E log a b = 1/6.

Então log a 2 b 3√(a 11 b -3) = 1/2 log a 2 b 3 (a 11 b -3) = log a (a 11 b -3) / (2log a (a 2 b 3) ) = (log a a 11 + log a b -3) / (2(log a a 2 + log a b 3)) = (11 - 3log a b) / (2(2 + 3log a b)) que log e b = 1/6 obtemos (11 – 3 1/6) / (2(2 + 3 1/6)) = 10,5/5 = 2,1.

Resposta: 2.1.

Você pode fazer o seguinte por conta própria:

Calcule log √3 6 √2,1 se log 0,7 27 = a.

Resposta: (3 + a) / (3a).

Exemplo 10

Calcule 6,5 4/ log 3 169 3 1/ log 4 13 + log125.

Decisão.

6,5 4/ log 3 169 3 1/ log 4 13 + log 125 = (13/2) 4/2 log 3 13 3 2/ log 2 13 + 2 log 5 5 3 = (13/2) 2 log 13 3 3 2 log 13 2 + 6 = (13 log 13 3 / 2 log 13 3) 2 (3 log 13 2) 2 + 6 = (3/2 log 13 3) 2 (3 log 13 2) 2 + 6 = (3 2 /(2 log 13 3) 2) (2 log 13 3) 2 + 6.

(2 log 13 3 = 3 log 13 2 (fórmula 4))

Obtemos 9 + 6 = 15.

Resposta: 15.

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Expressões logarítmicas, solução de exemplos. Neste artigo, consideraremos problemas relacionados à resolução de logaritmos. As tarefas levantam a questão de encontrar o valor da expressão. Deve-se notar que o conceito de logaritmo é usado em muitas tarefas e é extremamente importante entender seu significado. Quanto ao USE, o logaritmo é utilizado na resolução de equações, em problemas aplicados, e também em tarefas relacionadas ao estudo de funções.

Aqui estão alguns exemplos para entender o próprio significado do logaritmo:

Identidade logarítmica básica:

Propriedades dos logaritmos que você deve sempre lembrar:

*O logaritmo do produto é igual à soma dos logaritmos dos fatores.

* * *

* O logaritmo do quociente (fração) é igual à diferença dos logaritmos dos fatores.

* * *

* O logaritmo do grau é igual ao produto do expoente pelo logaritmo da sua base.

* * *

*Transição para nova base

* * *

Mais propriedades:

* * *

O cálculo de logaritmos está intimamente relacionado ao uso das propriedades dos expoentes.

Listamos alguns deles:

A essência dessa propriedade é que ao transferir o numerador para o denominador e vice-versa, o sinal do expoente muda para o oposto. Por exemplo:

Consequência desta propriedade:

* * *

Ao elevar uma potência a uma potência, a base permanece a mesma, mas os expoentes são multiplicados.

* * *

Como você pode ver, o próprio conceito do logaritmo é simples. O principal é que é necessária uma boa prática, o que dá uma certa habilidade. Certamente o conhecimento de fórmulas é obrigatório. Se a habilidade de converter logaritmos elementares não for formada, ao resolver tarefas simples, pode-se facilmente cometer um erro.

Pratique, resolva os exemplos mais simples do curso de matemática primeiro, depois passe para os mais complexos. No futuro, definitivamente mostrarei como os logaritmos “feios” são resolvidos, não haverá tais no exame, mas eles são interessantes, não perca!

Isso é tudo! Boa sorte para você!

Atenciosamente, Alexander Krutitskikh

P.S: Agradeceria se você falasse sobre o site nas redes sociais.

As igualdades listadas ao converter expressões com logaritmos são usadas da direita para a esquerda e da esquerda para a direita.

Vale a pena notar que não é necessário memorizar as consequências das propriedades: ao realizar transformações, você pode se contentar com as propriedades básicas de logaritmos e outros fatos (por exemplo, aqueles para b≥0), dos quais o correspondente consequências seguem. O "efeito colateral" dessa abordagem é apenas que a solução será um pouco mais longa. Por exemplo, para prescindir da consequência, que é expressa pela fórmula , e começando apenas pelas propriedades básicas dos logaritmos, você terá que realizar uma cadeia de transformações da seguinte forma: .

O mesmo pode ser dito sobre a última propriedade da lista acima, que corresponde à fórmula , uma vez que também decorre das propriedades básicas dos logaritmos. O principal a entender é que sempre é possível que o grau de um número positivo com logaritmo no expoente troque a base do grau e o número sob o sinal do logaritmo. Para ser justo, notamos que exemplos envolvendo a implementação de transformações desse tipo são raros na prática. Daremos alguns exemplos a seguir.

Convertendo expressões numéricas com logaritmos

Lembramos das propriedades dos logaritmos, agora é hora de aprender como colocá-las em prática para transformar expressões. É natural começar com a transformação de expressões numéricas, e não expressões com variáveis, pois é mais conveniente e fácil aprender o básico sobre elas. Então vamos fazer isso, e vamos começar com exemplos bem simples para aprender a escolher a propriedade desejada do logaritmo, mas vamos complicando os exemplos aos poucos, até o ponto em que várias propriedades precisarão ser aplicadas em um linha para obter o resultado final.

Selecionando a propriedade desejada dos logaritmos

Não existem tão poucas propriedades de logaritmos, e é claro que você precisa escolher a apropriada, que neste caso específico levará ao resultado desejado. Normalmente, isso não é difícil de fazer comparando a forma do logaritmo ou expressão que está sendo convertida com os tipos das partes esquerda e direita das fórmulas que expressam as propriedades dos logaritmos. Se o lado esquerdo ou direito de uma das fórmulas corresponder ao logaritmo ou expressão fornecido, provavelmente é essa propriedade que deve ser aplicada durante a transformação. Os exemplos a seguir demonstram isso claramente.

Vamos começar com exemplos de expressões de transformação usando a definição do logaritmo, que corresponde à fórmula a log a b =b , a>0 , a≠1 , b>0 .

Exemplo.

Calcule, se possível: a) 5 log 5 4 , b) 10 log(1+2 π) , c) , d) 2 log 2 (−7) , e) .

Decisão.

No exemplo, a letra a) mostra claramente a estrutura a log a b , onde a=5 , b=4 . Esses números satisfazem as condições a>0, a≠1, b>0, então você pode usar com segurança a igualdade a log a b =b. Temos 5 log 5 4=4 .

b) Aqui a=10 , b=1+2 π , as condições a>0, a≠1, b>0 são satisfeitas. Neste caso, ocorre a igualdade 10 lg(1+2 π) =1+2 π.

c) E neste exemplo estamos lidando com um grau da forma a log a b , onde e b=ln15 . então .

Apesar de pertencer à mesma forma a log a b (aqui a=2 , b=−7 ), a expressão sob a letra d) não pode ser convertida pela fórmula a log a b =b . A razão é que não faz sentido porque contém um número negativo sob o sinal de logaritmo. Além disso, o número b=−7 não satisfaz a condição b>0 , o que impossibilita recorrer à fórmula a log a b =b , pois requer as condições a>0 , a≠1 , b>0 . Então, não podemos falar sobre calcular o valor 2 log 2 (−7) . Nesse caso, escrever 2 log 2 (−7) = −7 seria um erro.

Da mesma forma, no exemplo sob a letra e) é impossível dar uma solução da forma , já que a expressão original não faz sentido.

Responda:

a) 5 log 5 4 =4 , b) 10 log(1+2 π) =1+2 π , c) , d), e) expressões não fazem sentido.

Muitas vezes é útil converter um número positivo como uma potência de algum número positivo não-um com um logaritmo no expoente. Baseia-se na mesma definição do logaritmo a log a b =b , a>0 , a≠1 , b>0 , mas a fórmula é aplicada da direita para a esquerda, ou seja, na forma b=a log a b . Por exemplo, 3=e ln3 ou 5=5 log 5 5 .

Vamos passar a usar as propriedades dos logaritmos para transformar expressões.

Exemplo.

Encontre o valor da expressão: a) log −2 1, b) log 1 1, c) log 0 1, d) log 7 1, e) ln1, f) lg1, g) log 3,75 1, h) log 5 π 7 1 .

Decisão.

Nos exemplos das letras a), b) e c), as expressões log −2 1 , log 1 1 , log 0 1 são dadas, o que não faz sentido, pois a base do logaritmo não deve conter um número negativo, zero ou um, porque definimos logaritmo apenas para uma base positiva e não unitária. Portanto, nos exemplos a) - c) não se trata de encontrar o valor da expressão.

Em todas as outras tarefas, obviamente, as bases dos logaritmos contêm números positivos e não unitários 7 , e , 10 , 3,75 e 5 π 7 respectivamente, e as unidades estão em todos os lugares sob os sinais dos logaritmos. E conhecemos a propriedade do logaritmo da unidade: log a 1=0 para qualquer a>0 , a≠1 . Assim, os valores das expressões b) - f) são iguais a zero.

Responda:

a), b), c) as expressões não fazem sentido, d) log 7 1=0, e) ln1=0, f) log1=0, g) log 3,75 1=0, h) log 5 e 7 1 =0.

Exemplo.

Calcule: a) , b) lne , c) lg10 , d) log 5 π 3 −2 (5 π 3 −2), e) log −3 (−3) , f) log 1 1 .

Decisão.

É claro que temos que usar a propriedade do logaritmo da base, que corresponde à fórmula log a a=1 para a>0 , a≠1 . De fato, em tarefas sob todas as letras, o número sob o sinal do logaritmo coincide com sua base. Assim, quero dizer imediatamente que o valor de cada uma das expressões dadas é 1 . No entanto, não se apresse em conclusões: nas tarefas sob as letras a) - d) os valores das expressões são realmente iguais a um, e nas tarefas e) ef) as expressões originais não fazem sentido, então não pode dizer que os valores dessas expressões são iguais a 1.

Responda:

a) , b) lne=1 , c) lg10=1 , d) log 5 π 3 −2 (5 π 3 −2)=1, e), f) expressões não fazem sentido.

Exemplo.

Encontre o valor: a) log 3 3 11 , b) , c) , d) log −10 (−10) 6 .

Decisão.

Obviamente, sob os sinais dos logaritmos estão alguns graus de base. Com base nisso, entendemos que a propriedade do grau da base é útil aqui: log a a p =p, onde a>0, a≠1 ep é qualquer número real. Considerando isso, temos os seguintes resultados: a) log 3 3 11 =11 , b) , dentro) . É possível escrever uma igualdade semelhante para o exemplo sob a letra d) da forma log −10 (−10) 6 =6? Não, você não pode, porque log −10 (−10) 6 não faz sentido.

Responda:

a) log 3 3 11 =11, b) , dentro) d) a expressão não faz sentido.

Exemplo.

Expresse a expressão como a soma ou diferença de logaritmos na mesma base: a) , b) , c) log((−5) (−12)) .

Decisão.

a) O produto está sob o sinal do logaritmo, e conhecemos a propriedade do logaritmo do produto log a (x y)=log a x+log a y , a>0 , a≠1 , x>0 , y> 0. No nosso caso, o número na base do logaritmo e os números no produto são positivos, ou seja, satisfazem as condições da propriedade selecionada, portanto, podemos aplicá-lo com segurança: .

b) Aqui usamos a propriedade do logaritmo do quociente , onde a>0 , a≠1 , x>0 , y>0 . No nosso caso, a base do logaritmo é um número positivo e, o numerador e o denominador π são positivos, o que significa que satisfazem as condições da propriedade, então temos o direito de usar a fórmula escolhida: .

c) Primeiro, observe que a expressão lg((−5) (−12)) faz sentido. Mas, ao mesmo tempo, não temos o direito de aplicar a fórmula para o logaritmo do produto log a (x y)=log a x+log a y , a>0 , a≠1 , x>0 , y>0 , pois os números −5 e −12 são negativos e não satisfazem as condições x>0 , y>0 . Ou seja, é impossível realizar tal transformação: log((−5)(−12))=log(−5)+log(−12). Mas o que fazer? Nesses casos, a expressão original precisa ser pré-transformada para evitar números negativos. Falaremos em detalhes sobre casos semelhantes de conversão de expressões com números negativos sob o sinal do logaritmo em um, mas por enquanto daremos uma solução para este exemplo, que é claro de antemão e sem explicação: lg((−5)(−12))=lg(5 12)=lg5+lg12.

Responda:

a) , b) , c) lg((−5) (−12))=lg5+lg12 .

Exemplo.

Simplifique a expressão: a) log 3 0,25 + log 3 16 + log 3 0,5, b) .

Decisão.

Aqui, todas as mesmas propriedades do logaritmo do produto e do logaritmo do quociente que usamos nos exemplos anteriores nos ajudarão, só que agora as aplicaremos da direita para a esquerda. Ou seja, convertemos a soma dos logaritmos para o logaritmo do produto e a diferença dos logaritmos para o logaritmo do quociente. Nós temos
a) log 3 0,25+log 3 16+log 3 0,5=log 3 (0,25 16 0,5)=log 3 2.
b) .

Responda:

a) log 3 0,25+log 3 16+log 3 0,5=log 3 2, b) .

Exemplo.

Livre-se do grau sob o signo do logaritmo: a) log 0,7 5 11, b) , c) log 3 (−5) 6 .

Decisão.

É fácil ver que estamos lidando com expressões como log a b p . A propriedade correspondente do logaritmo é log a b p =p log a b , onde a>0 , a≠1 , b>0 , p é qualquer número real. Ou seja, nas condições a>0 , a≠1, b>0 do logaritmo do grau log a b p podemos ir para o produto p·log a b . Vamos realizar essa transformação com as expressões dadas.

a) Neste caso a=0,7 , b=5 ep=11 . Então log 0,7 5 11 =11 log 0,7 5 .

b) Aqui, as condições a>0, a≠1, b>0 são satisfeitas. então

c) A expressão log 3 (−5) 6 tem a mesma estrutura log a b p , a=3 , b=−5 , p=6 . Mas para b, a condição b>0 não é satisfeita, o que impossibilita a aplicação da fórmula log a b p =p log a b . Então, por que você não pode fazer o trabalho? É possível, mas é necessária uma transformação preliminar da expressão, que discutiremos em detalhes abaixo no parágrafo sob o título . A solução será assim: log 3 (−5) 6 = log 3 5 6 =6 log 3 5.

Responda:

a) log 0,7 5 11 =11 log 0,7 5 ,
b)
c) log 3 (−5) 6 =6 log 3 5 .

Muitas vezes, a fórmula para o logaritmo do grau ao realizar transformações deve ser aplicada da direita para a esquerda na forma p log a b \u003d log a b p (isso requer as mesmas condições para a, b e p). Por exemplo, 3 ln5=ln5 3 e lg2 log 2 3=log 2 3 lg2 .

Exemplo.

a) Calcule o valor de log 2 5 se for conhecido que lg2≈0,3010 e lg5≈0,6990. b) Escreva a fração como um logaritmo na base 3.

Decisão.

a) A fórmula para a transição para uma nova base do logaritmo nos permite representar esse logaritmo como uma razão de logaritmos decimais, cujos valores são conhecidos por nós: . Resta apenas realizar os cálculos, temos .

b) Aqui basta usar a fórmula de transição para uma nova base e aplicá-la da direita para a esquerda, ou seja, na forma . Nós temos .

Responda:

a) log 2 5≈2,3223, b) .

Neste estágio, consideramos escrupulosamente a transformação das expressões mais simples usando as propriedades básicas dos logaritmos e a definição de um logaritmo. Nesses exemplos, tivemos que usar uma propriedade e nada mais. Agora, com a consciência tranquila, você pode passar para exemplos cuja transformação requer o uso de várias propriedades de logaritmos e outras transformações adicionais. Trataremos deles no próximo parágrafo. Mas antes disso, vamos nos deter brevemente em exemplos da aplicação de consequências das propriedades básicas dos logaritmos.

Exemplo.

a) Elimine a raiz sob o sinal do logaritmo. b) Converta a fração para um logaritmo de base 5. c) Livrar-se das potências sob o signo do logaritmo e na sua base. d) Calcule o valor da expressão . e) Substitua a expressão por uma potência de base 3.

Decisão.

a) Se recordarmos o corolário da propriedade do logaritmo do grau , então você pode responder imediatamente: .

b) Aqui usamos a fórmula da direita para a esquerda, temos .

c) Neste caso, a fórmula leva ao resultado . Nós temos .

d) E aqui basta aplicar o corolário ao qual a fórmula corresponde . então .

e) A propriedade do logaritmo nos permite alcançar o resultado desejado: .

Responda:

a) . b) . dentro) . G) . e) .

Aplicando consistentemente várias propriedades

Tarefas reais para transformar expressões usando as propriedades dos logaritmos são geralmente mais complicadas do que aquelas que tratamos no parágrafo anterior. Neles, via de regra, o resultado não é obtido em uma etapa, mas a solução já consiste na aplicação sequencial de uma propriedade após a outra, juntamente com transformações idênticas adicionais, como abrir colchetes, reduzir termos semelhantes, reduzir frações, etc. . Então, vamos nos aproximar desses exemplos. Não há nada complicado nisso, o principal é agir com cuidado e consistência, observando a ordem em que as ações são executadas.

Exemplo.

Calcular o valor de uma expressão (log 3 15−log 3 5) 7 log 7 5.

Decisão.

A diferença de logaritmos entre parênteses pela propriedade do logaritmo do quociente pode ser substituída pelo logaritmo log 3 (15:5), e então calcular seu valor log 3 (15:5)=log 3 3=1 . E o valor da expressão 7 log 7 5 pela definição do logaritmo é 5 . Substituindo esses resultados na expressão original, obtemos (log 3 15−log 3 5) 7 log 7 5 =1 5=5.

Aqui está uma solução sem explicação:
(log 3 15−log 3 5) 7 log 7 5 =log 3 (15:5) 5=
= log 3 3 5=1 5=5 .

Responda:

(log 3 15−log 3 5) 7 log 7 5 =5.

Exemplo.

Qual é o valor da expressão numérica log 3 log 2 2 3 −1 ?

Decisão.

Vamos primeiro transformar o logaritmo, que está sob o signo do logaritmo, de acordo com a fórmula do logaritmo do grau: log 2 2 3 =3. Então log 3 log 2 2 3 =log 3 3 e então log 3 3=1 . Então log 3 log 2 2 3 −1=1−1=0 .

Responda:

log 3 log 2 2 3 −1=0 .

Exemplo.

Simplifique a expressão.

Decisão.

A fórmula para converter para uma nova base do logaritmo permite que a razão dos logaritmos para uma base seja representada como log 3 5 . Nesse caso, a expressão original terá a forma . Por definição do logaritmo 3 log 3 5 =5 , isto é , e o valor da expressão resultante, em virtude da mesma definição do logaritmo, é igual a dois.

Aqui está uma versão curta da solução, que geralmente é fornecida: .

Responda:

.

Para uma transição suave para as informações do próximo parágrafo, vamos dar uma olhada nas expressões 5 2+log 5 3 e lg0.01 . Sua estrutura não se encaixa em nenhuma das propriedades dos logaritmos. Então, o que acontece se eles não puderem ser convertidos usando as propriedades dos logaritmos? É possível se você realizar transformações preliminares que preparam essas expressões para aplicar as propriedades dos logaritmos. então 5 2+log 5 3 =5 2 5 log 5 3 =25 3=75, e lg0,01=lg10 −2 = −2 . Além disso entenderemos detalhadamente como tal preparação de expressões se executa.

Preparando expressões para aplicar as propriedades dos logaritmos

Logaritmos na expressão convertida muitas vezes diferem na estrutura da notação das partes esquerda e direita das fórmulas que correspondem às propriedades dos logaritmos. Mas com a mesma frequência, a transformação dessas expressões envolve o uso das propriedades dos logaritmos: seu uso requer apenas uma preparação preliminar. E esta preparação consiste em realizar certas transformações idênticas que levam os logaritmos a uma forma conveniente para a aplicação de propriedades.

Para ser justo, notamos que quase todas as transformações de expressões podem atuar como transformações preliminares, desde a redução banal de termos semelhantes até o uso de fórmulas trigonométricas. Isso é compreensível, pois as expressões convertidas podem conter quaisquer objetos matemáticos: colchetes, módulos, frações, raízes, graus, etc. Assim, deve-se estar preparado para realizar qualquer transformação necessária para se beneficiar ainda mais das propriedades dos logaritmos.

Digamos imediatamente que neste parágrafo não nos propusemos a classificar e analisar todas as transformações preliminares concebíveis que nos permitem aplicar as propriedades dos logaritmos ou a definição de um logaritmo no futuro. Aqui vamos nos concentrar em apenas quatro deles, que são os mais característicos e mais frequentemente encontrados na prática.

E agora em detalhes sobre cada um deles, após o que, no âmbito do nosso tópico, resta apenas lidar com a transformação de expressões com variáveis ​​sob os sinais de logaritmos.

Seleção de potências sob o signo do logaritmo e em sua base

Vamos começar imediatamente com um exemplo. Vamos ter um logaritmo. Obviamente, nesta forma, sua estrutura não é propícia ao uso das propriedades dos logaritmos. É possível de alguma forma transformar esta expressão de forma a simplificá-la, ou ainda melhor calcular o seu valor? Para responder a esta pergunta, vamos dar uma olhada nos números 81 e 1/9 no contexto do nosso exemplo. É fácil ver aqui que esses números podem ser representados como uma potência de 3 , de fato, 81=3 4 e 1/9=3 −2 . Neste caso, o logaritmo original é apresentado no formulário e torna-se possível aplicar a fórmula . Então, .

A análise do exemplo analisado dá origem à seguinte ideia: se possível, pode-se tentar destacar o grau sob o signo do logaritmo e na sua base para aplicar a propriedade do logaritmo do grau ou sua consequência. Resta apenas descobrir como destacar esses graus. Daremos algumas recomendações sobre este assunto.

Às vezes é bastante óbvio que o número sob o sinal do logaritmo e/ou em sua base representa alguma potência inteira, como no exemplo discutido acima. Quase constantemente você tem que lidar com potências de dois, que são bem familiares: 4=2 2 , 8=2 3 , 16=2 4 , 32=2 5 , 64=2 6 , 128=2 7 , 256=2 8 , 512= 2 9 , 1024=2 10 . O mesmo pode ser dito sobre os graus do triplo: 9=3 2 , 27=3 3 , 81=3 4 , 243=3 5 , ... Em geral, não faz mal se houver tabela de potências de números naturais dentro de dez. Também não é difícil trabalhar com potências inteiras de dez, cem, mil, etc.

Exemplo.

Calcule o valor ou simplifique a expressão: a) log 6 216 , b) , c) log 0,000001 0,001 .

Decisão.

a) Obviamente, 216=6 3 , então log 6 216=log 6 6 3 =3 .

b) A tabela de potências de números naturais nos permite representar os números 343 e 1/243 como potências de 7 3 e 3 −4, respectivamente. Portanto, a seguinte transformação do logaritmo dado é possível:

c) Como 0,000001=10 −6 e 0,001=10 −3, então log 0,000001 0,001=log 10 −6 10 −3 =(−3)/(−6)=1/2.

Responda:

a) log 6 216=3, b) , c) log 0,000001 0,001=1/2 .

Em casos mais complexos, para destacar as potências dos números, você deve recorrer.

Exemplo.

Altere a expressão para a forma mais simples log 3 648 log 2 3 .

Decisão.

Vamos ver qual é a decomposição do número 648 em fatores primos:

Ou seja, 648=2 3 3 4 . Por isso, log 3 648 log 2 3=log 3 (2 3 3 4) log 2 3.

Agora convertemos o logaritmo do produto na soma dos logaritmos, após o que aplicamos as propriedades do logaritmo do grau:
log 3 (2 3 3 4) log 2 3=(log 3 2 3 + log 3 3 4) log 2 3=
=(3 log 3 2+4) log 2 3 .

Em virtude do corolário da propriedade do logaritmo do grau, que corresponde à fórmula , o produto log32 log23 é o produto , e sabe-se que é igual a um. Considerando isso, obtemos 3 log 3 2 log 2 3+4 log 2 3=3 1+4 log 2 3=3+4 log 2 3.

Responda:

log 3 648 log 2 3=3+4 log 2 3.

Muitas vezes, as expressões sob o signo do logaritmo e em sua base são produtos ou razões das raízes e/ou potências de alguns números, por exemplo, , . Expressões semelhantes podem ser representadas como um grau. Para fazer isso, a transição das raízes para os graus é realizada e são aplicadas. Essas transformações permitem selecionar os graus sob o signo do logaritmo e em sua base, e então aplicar as propriedades dos logaritmos.

Exemplo.

Calcule: a) , b).

Decisão.

a) A expressão na base do logaritmo é o produto de potências com as mesmas bases, pela propriedade correspondente de potências que temos 5 2 5 −0,5 5 −1 =5 2−0,5−1 =5 0,5.

Agora vamos converter a fração sob o sinal do logaritmo: vamos passar da raiz para o grau, após o qual usaremos a propriedade da razão de graus com as mesmas bases: .

Resta substituir os resultados obtidos na expressão original, use a fórmula e finalize a transformação:

b) Como 729=3 6 , e 1/9=3 −2 , a expressão original pode ser reescrita como .

Em seguida, aplique a propriedade da raiz do expoente, mova da raiz para o expoente e use a propriedade da razão das potências para converter a base do logaritmo em uma potência: .

Levando em conta o último resultado, temos .

Responda:

a) , b).

É claro que no caso geral, para obter potências sob o signo do logaritmo e em sua base, podem ser necessárias várias transformações de várias expressões. Vamos dar alguns exemplos.

Exemplo.

Qual é o valor da expressão: a) , b) .

Decisão.

Além disso, notamos que a expressão dada tem a forma log A B p , onde A=2 , B=x+1 ep=4 . Transformamos expressões numéricas desse tipo de acordo com a propriedade do logaritmo do grau log a b p \u003d p log a b, portanto, com uma determinada expressão, quero fazer o mesmo e ir de log 2 (x + 1) 4 para 4 log 2 (x + 1). E agora vamos calcular o valor da expressão original e a expressão obtida após a transformação, por exemplo, com x=−2 . Temos log 2 (−2+1) 4 =log 2 1=0 , e 4 log 2 (−2+1)=4 log 2 (−1)- expressão sem sentido. Isso levanta uma questão legítima: “O que fizemos de errado”?

E o motivo é o seguinte: realizamos a transformação log 2 (x+1) 4 =4 log 2 (x+1) , com base na fórmula log a b p =p log a b , mas temos o direito de aplicar apenas esta fórmula se as condições a >0 , a≠1 , b>0 , p - qualquer número real. Ou seja, a transformação que fizemos ocorre se x+1>0 , que é o mesmo x>−1 (para A e p, as condições são atendidas). No entanto, no nosso caso, a ODZ da variável x para a expressão original consiste não apenas no intervalo x> −1 , mas também no intervalo x<−1 . Но для x<−1 мы не имели права осуществлять преобразование по выбранной формуле.

A necessidade de levar em conta ODZ

Vamos continuar analisando a transformação da expressão log 2 (x+1) 4 que escolhemos, e agora vamos ver o que acontece com a ODZ ao passar para a expressão 4 log 2 (x+1) . No parágrafo anterior, encontramos a ODZ da expressão original - este é o conjunto (−∞, −1)∪(−1, +∞) . Agora vamos encontrar a área de valores aceitáveis ​​da variável x para a expressão 4 log 2 (x+1). Ela é determinada pela condição x+1>0 , que corresponde ao conjunto (−1, +∞) . É óbvio que, ao passar de log 2 (x+1) 4 para 4·log 2 (x+1), a faixa de valores admissíveis se estreita. E concordamos em evitar reformas que levem a um estreitamento da ODZ, pois isso pode levar a várias consequências negativas.

Aqui vale a pena notar por si mesmo que é útil controlar a ODZ em cada etapa da transformação e não permitir que ela seja reduzida. E se, de repente, em algum estágio da transformação, houve um estreitamento da ODZ, vale a pena analisar com muito cuidado se essa transformação é permitida e se tínhamos o direito de realizá-la.

Para ser justo, dizemos que na prática geralmente temos que trabalhar com expressões nas quais a ODZ das variáveis ​​é tal que nos permite usar as propriedades dos logaritmos sem restrições na forma já conhecida por nós, tanto da esquerda para a direita quanto da direita para a esquerda, ao realizar transformações. Você se acostuma rapidamente com isso e começa a realizar as transformações mecanicamente, sem pensar se era possível realizá-las. E nesses momentos, por sorte, escapam exemplos mais complexos, nos quais a aplicação imprecisa das propriedades dos logaritmos leva a erros. Portanto, você precisa estar sempre alerta e garantir que não haja estreitamento da ODZ.

Não custa destacar separadamente as principais transformações baseadas nas propriedades dos logaritmos, que devem ser realizadas com muito cuidado, o que pode levar a um estreitamento da ODZ e, como resultado, a erros:

Algumas transformações de expressões de acordo com as propriedades dos logaritmos também podem levar ao oposto - a expansão da ODZ. Por exemplo, indo de 4 log 2 (x+1) para log 2 (x+1) 4 estende a ODZ do conjunto (−1, +∞) para (−∞, −1)∪(−1, +∞ ). Essas transformações ocorrem se você permanecer dentro da ODZ para a expressão original. Assim, a transformação que acabamos de mencionar 4 log 2 (x+1)=log 2 (x+1) 4 ocorre na variável ODZ x para a expressão original 4 log 2 (x+1) , ou seja, quando x+1> 0 , que é o mesmo que (−1, +∞) .

Agora que discutimos as nuances que você precisa prestar atenção ao converter expressões com variáveis ​​usando as propriedades dos logaritmos, resta descobrir como essas conversões devem ser realizadas corretamente.

X+2>0. Funciona no nosso caso? Para responder a essa pergunta, vamos dar uma olhada no DPV da variável x. É determinado pelo sistema de desigualdades , que é equivalente à condição x+2>0 (se necessário, veja o artigo solução de sistemas de inequações). Assim, podemos aplicar com segurança a propriedade do logaritmo do grau.

Nós temos
3 log(x+2) 7 −log(x+2)−5 log(x+2) 4 =
=3 7 log(x+2)−log(x+2)−5 4 log(x+2)=
=21 log(x+2)−log(x+2)−20 log(x+2)=
=(21−1−20)lg(x+2)=0 .

Você pode agir de forma diferente, pois o ODZ permite que você faça isso, por exemplo, assim:

Responda:

3 log(x+2) 7 −log(x+2)−5 log(x+2) 4 =0.

E o que fazer quando as condições associadas às propriedades dos logaritmos não são atendidas na ODZ? Trataremos disso com exemplos.

Sejamos obrigados a simplificar a expressão lg(x+2) 4 −lg(x+2) 2 . A transformação desta expressão, ao contrário da expressão do exemplo anterior, não permite o uso livre da propriedade do logaritmo do grau. Por quê? A ODZ da variável x neste caso é a união de dois intervalos x>−2 e x<−2 . При x>−2 podemos aplicar com segurança a propriedade do logaritmo do grau e proceder como no exemplo acima: log(x+2) 4 −log(x+2) 2 =4 log(x+2)−2 log(x+2)=2 log(x+2). Mas a ODZ contém outro intervalo x+2<0 , для которого последнее преобразование будет некорректно. Что же делать при x+2<0 ? В подобных случаях на помощь приходит . Определение модуля позволяет выражение x+2 при x+2<0 представить как −|x+2| . Тогда при x+2<0 от lg(x+2) 4 −lg(x+2) 2 переходим к log(−|x+2|) 4 −log(−|x+2|) 2 e ainda, devido às propriedades de potência de lg|x+2| 4−lg|x+2| 2. A expressão resultante pode ser transformada de acordo com a propriedade do logaritmo do grau, desde |x+2|>0 para quaisquer valores da variável. Nós temos log|x+2| 4−lg|x+2| 2 =4 log|x+2|−2 log|x+2|=2 log|x+2|. Agora você pode se livrar do módulo, já que ele fez seu trabalho. Como estamos transformando em x+2<0 , то 2·lg|x+2|=2·lg(−(x+2)) . Итак, можно считать, что мы справились с поставленной задачей. Ответ: . Полученный результат можно записать компактно с использованием модуля как .

Vamos considerar mais um exemplo para tornar o trabalho com módulos familiar. Vamos conceber a partir da expressão passe para a soma e diferença dos logaritmos dos binômios lineares x−1 , x−2 e x−3 . Primeiro encontramos a ODZ:

No intervalo (3, +∞), os valores das expressões x−1 , x−2 e x−3 são positivos, então podemos aplicar com segurança as propriedades do logaritmo da soma e diferença:

E no intervalo (1, 2), os valores da expressão x−1 são positivos, e os valores das expressões x−2 e x−3 são negativos. Portanto, no intervalo considerado, representamos x−2 e x−3 usando o módulo como −|x−2| e −|x−3| respectivamente. Em que

Agora podemos aplicar as propriedades do logaritmo do produto e do quociente, pois no intervalo considerado (1, 2) os valores das expressões x−1 , |x−2| e |x−3| - positivo.

Nós temos

Os resultados obtidos podem ser combinados:

Em geral, raciocínio semelhante permite, com base nas fórmulas do logaritmo do produto, razão e grau, obter três resultados práticos e bastante convenientes de usar:

• O logaritmo do produto de duas expressões arbitrárias X e Y da forma log a (X·Y) pode ser substituído pela soma dos logaritmos log a |X|+log a |Y| , a>0, a≠1.
• O logaritmo especial log a (X:Y) pode ser substituído pela diferença dos logaritmos log a |X|−log a |Y| , a>0 , a≠1 , X e Y são expressões arbitrárias.
• Do logaritmo de alguma expressão B para uma potência par p da forma log a B p, pode-se passar para a expressão p log a |B| , onde a>0 , a≠1 , p é um número par e B é uma expressão arbitrária.

Resultados semelhantes são dados, por exemplo, em instruções para resolver equações exponenciais e logarítmicas na coleção de problemas de matemática para candidatos a universidades, editados por M. I. Skanavi.

Exemplo.

Simplifique a expressão .

Decisão.

Seria bom aplicar as propriedades do logaritmo do grau, da soma e da diferença. Mas podemos fazer isso aqui? Para responder a essa pergunta, precisamos conhecer a ODZ.

Vamos defini-lo:

É bastante óbvio que as expressões x+4 , x−2 e (x+4) 13 no intervalo de valores possíveis da variável x podem assumir valores positivos e negativos. Portanto, teremos que trabalhar por meio de módulos.

As propriedades do módulo permitem que você reescreva como , então

Além disso, nada impede que você use a propriedade do logaritmo do grau, e depois traga termos semelhantes:

Outra sequência de transformações leva ao mesmo resultado:

e como a expressão x−2 pode assumir valores positivos e negativos na ODZ, ao tomar um expoente par 14

Tipo de aula: lição de generalização e sistematização do conhecimento

Metas:

• atualizar os conhecimentos dos alunos sobre logaritmos e suas propriedades como parte de uma repetição generalizante e preparação para o exame;
• promover o desenvolvimento da actividade mental dos alunos, das competências de aplicação dos conhecimentos teóricos na realização de exercícios;
• promover o desenvolvimento das qualidades pessoais dos alunos, habilidades de autocontrole e autoavaliação de suas atividades; cultivar diligência, paciência, perseverança, independência.

Equipamento: computador, projetor, apresentação (Apêndice 1), cartões com lição de casa (você pode anexar um arquivo com uma tarefa em um diário eletrônico).

Durante as aulas

I. Momento organizacional. Olá, prepare-se para a aula.

II. Discussão do dever de casa.

III. Mensagem sobre o tema e propósito da lição. Motivação.(Slide 1) Apresentação.

Continuamos a repetição generalizante do curso de matemática em preparação para o exame. E hoje na lição falaremos sobre logaritmos e suas propriedades.

Tarefas de cálculo de logaritmos e transformação de expressões logarítmicas estão necessariamente presentes nos materiais de controle e medição tanto do nível básico quanto do nível de perfil. Portanto, o objetivo de nossa lição é restaurar ideias sobre o significado do conceito de “logaritmo” e atualizar as habilidades de conversão de expressões logarítmicas. Anote o tema da lição em seus cadernos.

4. Atualização de conhecimento.

1. /Oralmente/ Primeiro, vamos lembrar o que é chamado de logaritmo. (Slide 2)

(O logaritmo de um número positivo b na base a (onde a > 0, a? 1) é o expoente ao qual você precisa elevar o número a para obter o número b)

Log a b = n<->a n \u003d b, (a> 0, a 1, b> 0)

Então, “LOGARIFM” é “EXPONENTE”!

(Slide 3) Então a n = b pode ser reescrito como = b é a identidade logarítmica principal.

Se a base for \u003d 10, o logaritmo é chamado de decimal e é denotado lgb.

Se um \u003d e, o logaritmo é chamado natural e denotado por lnb.

2. /Escrito/ (Slide 4) Preencha as lacunas para obter as igualdades corretas:

registro? x + Registrar um ? = Log? (?y)

logar um? - Registro ? y = Log? (x/?)

Registrar x? = pLog? (?)

Exame:

1; 1; a,y,x; x,a,a,y; p, a, x.

Estas são propriedades dos logaritmos. E outro grupo de propriedades: (Slide 5)

Exame:

a,1,n,x; n,x,p,a; x,b,a,y; a,x,b; a,1,b.

V. Trabalho oral

(Slide 6) Nº 1. Calcular:

a B C D); e).

Respostas : a) 4; b) - 2; em 2; d) 7; e) 27.

(Slide 7) Nº 2. Encontre X:

uma) ; b) (Respostas: a) 1/4; b) 9).

N ° 3. Faz sentido considerar tal logaritmo:

uma) ; b); dentro) ? (Não)

VI. Trabalho independente em grupos, alunos fortes - consultores. (Slide 8)

#1 Calcular: .

#2 Simplifique:

Não. 3. Encontre o valor da expressão se

#4 Simplifique a expressão:

#5 Calcular:

#6 Calcular:

#7 Calcular:

#8 Calcular:

Após a conclusão - verificação e discussão sobre a solução preparada ou com a ajuda de uma câmera de documentos.

VII. Resolvendo uma tarefa de maior complexidade(um aluno forte está no quadro, o resto está nos cadernos) (Slide 9)

Encontre o valor da expressão:

VIII. O dever de casa (nos cartões) é diferenciado.(Slide 10)

Nº 1. Calcular:

Instrução

Escreva a expressão logarítmica dada. Se a expressão usar o logaritmo de 10, sua notação será encurtada e ficará assim: lg b é o logaritmo decimal. Se o logaritmo tem o número e como base, então a expressão é escrita: ln b é o logaritmo natural. Entende-se que o resultado de qualquer é a potência à qual o número base deve ser elevado para obter o número b.

Ao encontrar duas funções da soma, basta diferenciá-las uma a uma e somar os resultados: (u+v)" = u"+v";

Ao encontrar a derivada do produto de duas funções, é necessário multiplicar a derivada da primeira função pela segunda e somar a derivada da segunda função, multiplicada pela primeira função: (u*v)" = u"* v+v"*u;

Para encontrar a derivada do quociente de duas funções, é necessário, do produto da derivada do dividendo multiplicado pela função divisora, subtrair o produto da derivada do divisor pela função divisora, e dividir tudo isso pela função divisor ao quadrado. (u/v)" = (u"*v-v"*u)/v^2;

Se uma função complexa é dada, então é necessário multiplicar a derivada da função interna e a derivada da externa. Seja y=u(v(x)), então y"(x)=y"(u)*v"(x).

Usando o obtido acima, você pode diferenciar quase qualquer função. Vejamos então alguns exemplos:

y=x^4, y"=4*x^(4-1)=4*x^3;

y=2*x^3*(e^x-x^2+6), y"=2*(3*x^2*(e^x-x^2+6)+x^3*(e^x-2 *x));
Há também tarefas para calcular a derivada em um ponto. Seja dada a função y=e^(x^2+6x+5), você precisa encontrar o valor da função no ponto x=1.
1) Encontre a derivada da função: y"=e^(x^2-6x+5)*(2*x +6).

2) Calcule o valor da função no ponto dado y"(1)=8*e^0=8

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Conselho util

Aprenda a tabela de derivadas elementares. Isso economizará muito tempo.

Origens:

• derivada constante

Então, qual é a diferença entre uma equação irracional e uma racional? Se a variável desconhecida estiver sob o sinal da raiz quadrada, então a equação é considerada irracional.

Instrução

O principal método para resolver tais equações é o método de elevar ambas as partes equações em um quadrado. No entanto. isso é natural, o primeiro passo é se livrar do signo. Tecnicamente, esse método não é difícil, mas às vezes pode causar problemas. Por exemplo, a equação v(2x-5)=v(4x-7). Ao elevar ambos os lados ao quadrado, obtém-se 2x-5=4x-7. Tal equação não é difícil de resolver; x=1. Mas o número 1 não será dado equações. Por quê? Substitua a unidade na equação em vez do valor de X. E os lados direito e esquerdo conterão expressões que não fazem sentido. Tal valor não é válido para uma raiz quadrada. Portanto, 1 é uma raiz estranha e, portanto, essa equação não tem raízes.

Assim, a equação irracional é resolvida usando o método de elevar ao quadrado ambas as suas partes. E tendo resolvido a equação, é necessário cortar raízes estranhas. Para fazer isso, substitua as raízes encontradas na equação original.

Considere outro.
2x+vx-3=0
Claro, esta equação pode ser resolvida usando a mesma equação que a anterior. Compostos de Transferência equações, que não possuem raiz quadrada, para o lado direito e, em seguida, use o método do quadrado. resolva a equação racional resultante e as raízes. Mas outro, mais elegante. Insira uma nova variável; vx=y. Assim, você obterá uma equação como 2y2+y-3=0. Essa é a equação quadrática usual. Encontre suas raízes; y1=1 e y2=-3/2. A seguir, resolva dois equações vx=1; vx \u003d -3/2. A segunda equação não tem raízes, da primeira encontramos que x = 1. Não se esqueça da necessidade de verificar as raízes.

Resolver identidades é bastante fácil. Isso requer fazer transformações idênticas até que o objetivo seja alcançado. Assim, com a ajuda das operações aritméticas mais simples, a tarefa será resolvida.

Você vai precisar

• - papel;
• - caneta.

Instrução

As mais simples dessas transformações são as multiplicações algébricas abreviadas (como o quadrado da soma (diferença), a diferença de quadrados, a soma (diferença), o cubo da soma (diferença)). Além disso, existem muitas fórmulas trigonométricas que são essencialmente as mesmas identidades.

De fato, o quadrado da soma de dois termos é igual ao quadrado do primeiro mais duas vezes o produto do primeiro e o segundo mais o quadrado do segundo, ou seja, (a+b)^2= (a+b )(a+b)=a^2+ab +ba+b ^2=a^2+2ab+b^2.

Simplifique ambos

Princípios gerais de solução

Repita de um livro sobre análise matemática ou matemática superior, que é uma integral definida. Como você sabe, a solução de uma integral definida é uma função cuja derivada dará um integrando. Esta função é chamada de antiderivada. De acordo com este princípio, as integrais básicas são construídas.
Determine pela forma do integrando qual das integrais da tabela é adequada neste caso. Nem sempre é possível determinar isso imediatamente. Muitas vezes, a forma tabular só se torna perceptível após várias transformações para simplificar o integrando.

Método de substituição variável

Se o integrando é uma função trigonométrica cujo argumento é algum polinômio, tente usar o método de mudança de variáveis. Para fazer isso, substitua o polinômio no argumento do integrando por alguma nova variável. Com base na razão entre a variável nova e a antiga, determine os novos limites de integração. Ao diferenciar esta expressão, encontre um novo diferencial em . Assim, você obterá uma nova forma da antiga integral, próxima ou mesmo correspondente a qualquer tabular.

Solução de integrais de segunda espécie

Se a integral for uma integral do segundo tipo, a forma vetorial do integrando, você precisará usar as regras para passar dessas integrais para escalares. Uma dessas regras é a razão Ostrogradsky-Gauss. Esta lei permite passar do fluxo do rotor de alguma função vetorial para uma integral tripla sobre a divergência de um dado campo vetorial.

Substituição de limites de integração

Após encontrar a primitiva, é necessário substituir os limites de integração. Primeiro, substitua o valor do limite superior na expressão da primitiva. Você receberá algum número. Em seguida, subtraia do número resultante outro número, o limite inferior resultante para a primitiva. Se um dos limites de integração é infinito, então, ao substituí-lo na função antiderivada, é necessário ir ao limite e encontrar para onde a expressão tende.
Se a integral for bidimensional ou tridimensional, você terá que representar os limites geométricos de integração para entender como calcular a integral. Afinal, no caso de, digamos, uma integral tridimensional, os limites de integração podem ser planos inteiros que limitam o volume a ser integrado.