A definição de uma sequência numérica é dada. São considerados exemplos de sequências infinitamente crescentes, convergentes e divergentes. Uma sequência contendo todos os números racionais é considerada.

Contente

Veja também:

Definição

Sequência numérica (xn)- esta é a lei (regra), segundo a qual, para cada número natural n = 1, 2, 3, . . . algum número x n é atribuído.
O elemento x n é chamado de enésimo membro ou elemento da sequência.

A sequência é indicada como o enésimo membro entre colchetes: . As seguintes designações também são possíveis: . Eles afirmam explicitamente que o índice n pertence ao conjunto dos números naturais e que a própria sequência tem um número infinito de membros. Aqui estão alguns exemplos de sequências:
, , .

Em outras palavras, uma sequência numérica é uma função cujo domínio é o conjunto dos números naturais. O número de elementos na sequência é infinito. Entre os elementos, também podem existir membros que tenham o mesmo valor. Além disso, a sequência pode ser considerada como um conjunto numerado de números, consistindo em um número infinito de membros.

Estaremos principalmente interessados ​​na questão - como as sequências se comportam quando n tende ao infinito: . Este material é apresentado na seção Limite de seqüência - teoremas básicos e propriedades. E aqui veremos alguns exemplos de sequências.

Exemplos de sequência

Exemplos de sequências infinitamente crescentes

Vamos considerar uma sequência. O termo geral desta sequência é . Vamos escrever os primeiros termos:
.
Pode-se ver que à medida que o número n cresce, os elementos aumentam indefinidamente para valores positivos. Podemos dizer que esta sequência tende a : em .

Agora considere uma sequência com um termo comum. Aqui estão alguns de seus primeiros membros:
.
À medida que o número n cresce, os elementos desta sequência aumentam em valor absoluto indefinidamente, mas não têm sinal constante. Ou seja, esta sequência tende a : em .

Exemplos de sequências convergindo para um número finito

Vamos considerar uma sequência. Seu membro comum Os primeiros termos são os seguintes:
.
Pode-se ver que à medida que o número n cresce, os elementos desta sequência aproximam-se do seu valor limite a = 0 : no . Assim, cada termo subsequente está mais próximo de zero do que o anterior. Em certo sentido, podemos supor que existe um valor aproximado para o número a = 0 com um erro. É claro que à medida que n cresce, esse erro tende a zero, ou seja, escolhendo n, o erro pode ser arbitrariamente pequeno. Além disso, para qualquer erro ε > 0 é possível especificar tal número N, que para todos os elementos com números maiores que N:, o desvio do número do valor limite a não excederá o erro ε:.

Em seguida, considere a sequência. Seu membro comum Aqui estão alguns de seus primeiros membros:
.
Nesta sequência, os termos pares são zero. Membros com n ímpar são . Portanto, à medida que n cresce, seus valores se aproximam do valor limite a = 0 . Isso também decorre do fato de que
.
Como no exemplo anterior, podemos especificar um erro arbitrariamente pequeno ε > 0 , para o qual é possível encontrar tal número N que elementos com números maiores que N se desviem do valor limite a = 0 por um valor que não exceda o erro especificado. Portanto, esta sequência converge para o valor a = 0 : no .

Exemplos de sequências divergentes

Considere uma sequência com o seguinte termo comum:

Aqui estão seus primeiros membros:


.
Pode-se ver que os termos com números pares:
,
convergem para o valor a 1 = 0 . Membros com números ímpares:
,
convergem para o valor a 2 = 2 . A própria sequência, à medida que n cresce, não converge para nenhum valor.

Sequência com termos distribuídos no intervalo (0;1)

Agora considere uma sequência mais interessante. Pegue um segmento na reta numérica. Vamos dividi-lo ao meio. Temos dois segmentos. Deixe ser
.
Cada um dos segmentos é novamente dividido ao meio. Temos quatro segmentos. Deixe ser
.
Divida cada segmento ao meio novamente. Vamos levar


.
etc.

Como resultado, obtemos uma sequência cujos elementos estão distribuídos em um intervalo aberto (0; 1) . Qualquer que seja o ponto que tomamos do intervalo fechado , sempre podemos encontrar membros da sequência que estão arbitrariamente próximos a este ponto, ou coincidem com ele.

Então, da sequência original, pode-se destacar uma subsequência que convergirá para um ponto arbitrário do intervalo . Ou seja, à medida que o número n cresce, os membros da subsequência se aproximarão cada vez mais do ponto pré-selecionado.

Por exemplo, para o ponto a = 0 você pode escolher a seguinte subsequência:
.
= 0 .

Para o ponto a = 1 escolha a seguinte subsequência:
.
Os membros desta subsequência convergem para o valor a = 1 .

Como existem subsequências que convergem para valores diferentes, a própria sequência original não converge para nenhum número.

Sequência contendo todos os números racionais

Agora vamos construir uma sequência que contém todos os números racionais. Além disso, cada número racional será incluído em tal sequência um número infinito de vezes.

O número racional r pode ser representado da seguinte forma:
,
onde é um número inteiro; - naturais.
Precisamos atribuir a cada número natural n um par de números p e q para que qualquer par de p e q seja incluído em nossa sequência.

Para fazer isso, desenhe os eixos peq no plano. Desenhamos linhas de grade através de valores inteiros p e q . Então cada nó desta grade corresponderá a um número racional. Todo o conjunto de números racionais será representado por um conjunto de nós. Precisamos encontrar uma maneira de numerar todos os nós para que não percamos um único nó. Isso é fácil de fazer se numerarmos os nós de acordo com os quadrados cujos centros estão localizados no ponto (0; 0) (Ver foto). Neste caso, as partes inferiores dos quadrados com q < 1 nós não precisamos. Portanto, eles não são mostrados na figura.

Assim, para o lado superior do primeiro quadrado temos:
.
Em seguida, numeramos a parte superior do próximo quadrado:

.
Numeramos a parte superior do próximo quadrado:

.
etc.

Desta forma, obtemos uma sequência contendo todos os números racionais. Pode-se ver que qualquer número racional aparece nesta sequência um número infinito de vezes. De fato, junto com o nó , essa sequência também incluirá nós , onde é um número natural. Mas todos esses nós correspondem ao mesmo número racional.

Então, da sequência que construímos, podemos selecionar uma subsequência (com um número infinito de elementos), todos os quais são iguais a um número racional predeterminado. Como a sequência que construímos tem subsequências convergindo para números diferentes, a sequência não converge para nenhum número.

Conclusão

Aqui nós demos uma definição precisa da sequência numérica. Também abordamos a questão de sua convergência, a partir de ideias intuitivas. A definição exata de convergência é discutida na página Determinando o limite de uma sequência. Propriedades e teoremas relacionados são descritos na página Limite de Sequência - Teoremas Básicos e Propriedades.

Veja também:

Deixe ser X (\displaystyle X)é o conjunto dos números reais R (\displaystyle \mathbb (R) ), ou o conjunto de números complexos C (\displaystyle \mathbb (C) ). Então a sequência ( x n ) n = 1 ∞ (\displaystyle \(x_(n)\)_(n=1)^(\infty)) definir elementos X (\displaystyle X) chamado sequência numérica.

Exemplos

Operações em sequências

Subsequências

Subsequência sequências (x n) (\displaystyle (x_(n)))é a sequência (x n k) (\displaystyle (x_(n_(k))))), Onde (n k) (\displaystyle (n_(k)))é uma sequência crescente de elementos do conjunto dos números naturais.

Em outras palavras, uma subsequência é obtida de uma sequência pela remoção de um número finito ou contável de elementos.

Exemplos

• A sequência dos números primos é uma subsequência da sequência dos números naturais.
• A sequência de números naturais que são múltiplos de é uma subsequência da sequência de números naturais pares.

Propriedades

Ponto limite de sequência é um ponto em qualquer vizinhança do qual existem infinitos elementos desta sequência. Para sequências numéricas convergentes, o ponto limite coincide com o limite.

Limite de sequência

Limite de sequência é o objeto que os membros da sequência se aproximam à medida que o número aumenta. Assim, em um espaço topológico arbitrário, o limite de uma sequência é um elemento em qualquer vizinhança da qual se encontram todos os membros da sequência, a partir de algum. Em particular, para sequências numéricas, o limite é um número em qualquer vizinhança da qual todos os membros da sequência se encontram, começando por algum.

Sequências fundamentais

Sequência fundamental (sequência autoconvergente , Sequência de Cauchy ) é uma sequência de elementos de um espaço métrico , no qual, para qualquer distância predeterminada, existe tal elemento, a distância da qual a qualquer um dos elementos que o seguem não excede a dada. Para sequências numéricas, os conceitos de sequência fundamental e convergente são equivalentes, mas no caso geral este não é o caso.

A matemática é a ciência que constrói o mundo. Tanto o cientista quanto o homem comum - ninguém pode prescindir dele. Primeiro, as crianças pequenas são ensinadas a contar, depois somar, subtrair, multiplicar e dividir, no ensino médio, as designações de letras entram em jogo, e no mais velho não podem mais ser dispensadas.

Mas hoje vamos falar sobre em que se baseia toda a matemática conhecida. Sobre a comunidade de números chamada "limites de sequência".

O que são sequências e onde está o seu limite?

O significado da palavra "sequência" não é difícil de interpretar. Esta é uma construção de coisas, onde alguém ou algo está localizado em uma determinada ordem ou fila. Por exemplo, a fila de ingressos para o zoológico é uma sequência. E só pode haver um! Se, por exemplo, você olhar para a fila para a loja, esta é uma sequência. E se uma pessoa de repente sai dessa fila, então essa é uma fila diferente, uma ordem diferente.

A palavra "limite" também é facilmente interpretada - este é o fim de algo. No entanto, em matemática, os limites das sequências são aqueles valores na reta numérica que uma sequência de números tende. Por que se esforça e não termina? É simples, a reta numérica não tem fim, e a maioria das sequências, como raios, tem apenas um começo e se parece com isso:

x 1, x 2, x 3, ... x n ...

Portanto, a definição de uma sequência é uma função do argumento natural. Em palavras mais simples, é uma série de membros de algum conjunto.

Como uma sequência numérica é construída?

O exemplo mais simples de uma sequência numérica pode ser assim: 1, 2, 3, 4, …n…

Na maioria dos casos, para fins práticos, as sequências são construídas a partir de números, e cada próximo membro da série, vamos denotar por X, tem seu próprio nome. Por exemplo:

x 1 - o primeiro membro da sequência;

x 2 - o segundo membro da sequência;

x 3 - o terceiro membro;

x n é o enésimo membro.

Nos métodos práticos, a sequência é dada por uma fórmula geral na qual existe alguma variável. Por exemplo:

X n \u003d 3n, a própria série de números ficará assim:

Vale lembrar que na notação geral de sequências, você pode usar qualquer letra latina, e não apenas X. Por exemplo: y, z, k, etc.

Progressão aritmética como parte de sequências

Antes de procurar os limites das sequências, convém aprofundar o próprio conceito de tal série numérica, que todos encontraram quando estavam na classe média. Uma progressão aritmética é uma série de números em que a diferença entre termos adjacentes é constante.

Tarefa: “Deixe um 1 \u003d 15 e o passo da progressão da série numérica d \u003d 4. Construa os primeiros 4 membros desta linha"

Solução: a 1 = 15 (por condição) é o primeiro membro da progressão (série numérica).

e 2 = 15+4=19 é o segundo membro da progressão.

e 3 \u003d 19 + 4 \u003d 23 é o terceiro termo.

e 4 \u003d 23 + 4 \u003d 27 é o quarto termo.

No entanto, com este método é difícil atingir grandes valores, por exemplo, até 125. . Especialmente para esses casos, foi derivada uma fórmula conveniente para a prática: a n \u003d a 1 + d (n-1). Nesse caso, um 125 \u003d 15 + 4 (125-1) \u003d 511.

Tipos de sequência

A maioria das sequências são infinitas, vale a pena lembrar por toda a vida. Existem dois tipos interessantes de séries numéricas. A primeira é dada pela fórmula a n =(-1) n . Os matemáticos costumam se referir a essas sequências de pisca-pisca. Por quê? Vamos verificar seus números.

1, 1, -1 , 1, -1, 1, etc. Com este exemplo, fica claro que os números em sequências podem ser facilmente repetidos.

sequência fatorial. É fácil adivinhar que existe um fatorial na fórmula que define a sequência. Por exemplo: e n = (n+1)!

Então a sequência ficará assim:

e 2 \u003d 1x2x3 \u003d 6;

e 3 \u003d 1x2x3x4 \u003d 24, etc.

Uma sequência dada por uma progressão aritmética é chamada infinitamente decrescente se a desigualdade -1 for observada para todos os seus membros

e 3 \u003d - 1/8, etc.

Existe até uma sequência que consiste no mesmo número. Então, e n \u003d 6 consiste em um número infinito de seis.

Determinando o limite de uma sequência

Os limites de sequência existem há muito tempo na matemática. Claro, eles merecem seu próprio design competente. Então, hora de aprender a definição de limites de sequência. Primeiro, considere o limite para uma função linear em detalhes:

1. Todos os limites são abreviados como lim.
2. A entrada de limite consiste na abreviatura lim, alguma variável tendendo a um determinado número, zero ou infinito, assim como a própria função.

É fácil entender que a definição do limite de uma sequência pode ser formulada da seguinte forma: é um certo número, do qual todos os membros da sequência se aproximam infinitamente. Exemplo simples: e x = 4x+1. Então a própria sequência ficará assim.

5, 9, 13, 17, 21…x…

Assim, esta sequência aumentará indefinidamente, o que significa que seu limite é igual ao infinito como x→∞, e isso deve ser escrito da seguinte forma:

Se tomarmos uma sequência semelhante, mas x tende a 1, obtemos:

E a série de números ficará assim: 1,4, 1,8, 4,6, 4,944, etc. Cada vez você precisa substituir o número cada vez mais próximo de um (0,1, 0,2, 0,9, 0,986). Pode-se ver nesta série que o limite da função é cinco.

A partir desta parte, vale lembrar qual é o limite de uma sequência numérica, a definição e o método para resolver tarefas simples.

Notação geral para o limite de sequências

Tendo analisado o limite da sequência numérica, sua definição e exemplos, podemos avançar para um tópico mais complexo. Absolutamente todos os limites de sequências podem ser formulados por uma fórmula, que geralmente é analisada no primeiro semestre.

Então, o que significa esse conjunto de letras, módulos e sinais de desigualdade?

∀ é um quantificador universal, substituindo as frases “para todos”, “para tudo”, etc.

∃ é um quantificador de existência, neste caso significa que existe algum valor N pertencente ao conjunto dos números naturais.

Uma longa vara vertical seguindo N significa que o dado conjunto N é "tal que". Na prática, pode significar "tal que", "tal que", etc.

Para consolidar o material, leia a fórmula em voz alta.

Incerteza e certeza do limite

O método de encontrar o limite de sequências, discutido acima, embora simples de usar, não é tão racional na prática. Tente encontrar o limite para esta função:

Se substituirmos valores de x diferentes (aumentando a cada vez: 10, 100, 1000, etc.), obtemos ∞ no numerador, mas também ∞ no denominador. Acontece uma fração bastante estranha:

Mas é realmente assim? Calcular o limite da sequência numérica neste caso parece bastante fácil. Seria possível deixar tudo como está, porque a resposta está pronta, e foi recebida em termos razoáveis, mas existe outra forma específica para esses casos.

Primeiro, vamos encontrar o grau mais alto no numerador da fração - este é 1, já que x pode ser representado como x 1.

Agora vamos encontrar o grau mais alto no denominador. Também 1.

Divida o numerador e o denominador pela variável até o grau mais alto. Nesse caso, dividimos a fração por x 1.

Em seguida, vamos descobrir a que valor cada termo que contém a variável tende. Neste caso, as frações são consideradas. Como x→∞, o valor de cada uma das frações tende a zero. Ao fazer um trabalho por escrito, vale a pena fazer as seguintes notas de rodapé:

Obtém-se a seguinte expressão:

É claro que as frações contendo x não se tornaram zeros! Mas seu valor é tão pequeno que é perfeitamente permitido não levá-lo em consideração nos cálculos. Na verdade, x nunca será igual a 0 neste caso, porque você não pode dividir por zero.

O que é um bairro?

Suponhamos que o professor tenha à sua disposição uma sequência complexa, dada, obviamente, por uma fórmula não menos complexa. O professor encontrou a resposta, mas será que ela se encaixa? Afinal, todas as pessoas cometem erros.

Auguste Cauchy surgiu com uma ótima maneira de provar os limites das sequências. Seu método foi chamado de operação de vizinhança.

Suponha que haja algum ponto a, sua vizinhança em ambas as direções na reta real é igual a ε ("épsilon"). Como a última variável é a distância, seu valor é sempre positivo.

Agora vamos definir alguma sequência x n e supor que o décimo membro da sequência (x 10) esteja incluído na vizinhança de a. Como escrever esse fato em linguagem matemática?

Suponha que x 10 esteja à direita do ponto a, então a distância x 10 -a<ε, однако, если расположить «икс десятое» левее точки а, то расстояние получится отрицательным, а это невозможно, значит, следует занести левую часть неравенства под модуль. Получится |х 10 -а|<ε.

Agora é hora de explicar na prática a fórmula mencionada acima. É justo chamar algum número a de ponto final de uma sequência se a desigualdade ε>0 vale para qualquer um de seus limites, e toda a vizinhança tem seu próprio número natural N, tal que todos os membros da sequência com números mais altos serão dentro da sequência |x n - a|< ε.

Com tal conhecimento, é fácil resolver os limites de uma sequência, provar ou refutar uma resposta pronta.

Teoremas

Teoremas sobre os limites das sequências são um componente importante da teoria, sem os quais a prática é impossível. Existem apenas quatro teoremas principais, lembrando quais, você pode facilitar significativamente o processo de resolver ou provar:

1. Unicidade do limite de uma sequência. Qualquer sequência pode ter apenas um limite ou não ter nenhum. O mesmo exemplo com uma fila que só pode ter uma extremidade.
2. Se uma série de números tiver um limite, a sequência desses números será limitada.
3. O limite da soma (diferença, produto) das sequências é igual à soma (diferença, produto) de seus limites.
4. O limite quociente de duas sequências é igual ao quociente dos limites se e somente se o denominador não se anular.

Prova de Sequência

Às vezes é necessário resolver um problema inverso, para provar um dado limite de uma sequência numérica. Vejamos um exemplo.

Prove que o limite da sequência dada pela fórmula é igual a zero.

De acordo com a regra acima, para qualquer sequência a desigualdade |x n - a|<ε. Подставим заданное значение и точку отсчёта. Получим:

Vamos expressar n em termos de "épsilon" para mostrar a existência de um certo número e provar a existência de um limite de sequência.

Nesta fase, é importante lembrar que "epsilon" e "en" são números positivos e não iguais a zero. Agora você pode dar continuidade a outras transformações usando o conhecimento sobre desigualdades adquirido no ensino médio.

Daí resulta que n > -3 + 1/ε. Como vale lembrar que estamos falando de números naturais, o resultado pode ser arredondado colocando-o entre colchetes. Assim, provou-se que para qualquer valor da vizinhança “épsilon” do ponto a = 0, foi encontrado um valor tal que a desigualdade inicial é satisfeita. A partir disso, podemos afirmar com segurança que o número a é o limite da sequência dada. Q.E.D.

Com um método tão conveniente, você pode provar o limite de uma sequência numérica, por mais complicado que possa parecer à primeira vista. O principal é não entrar em pânico com a visão da tarefa.

Ou talvez ele não exista?

A existência de um limite de sequência não é necessária na prática. É fácil encontrar essas séries de números que realmente não têm fim. Por exemplo, o mesmo pisca-pisca x n = (-1) n . é óbvio que uma sequência consistindo de apenas dois dígitos repetindo ciclicamente não pode ter um limite.

A mesma história é repetida com sequências constituídas por um único número, fracionário, tendo no decorrer dos cálculos uma incerteza de qualquer ordem (0/0, ∞/∞, ∞/0, etc.). No entanto, deve ser lembrado que o cálculo incorreto também ocorre. Às vezes, verificar novamente sua própria solução o ajudará a encontrar o limite de sucessões.

sequência monotônica

Acima, consideramos vários exemplos de sequências, métodos para resolvê-los, e agora vamos tentar pegar um caso mais específico e chamá-lo de "sequência monótona".

Definição: é justo chamar qualquer sequência monotonicamente crescente se ela satisfaz a desigualdade estrita x n< x n +1. Также любую последовательность справедливо называть монотонной убывающей, если для неё выполняется неравенство x n >xn+1.

Juntamente com essas duas condições, existem também desigualdades não estritas semelhantes. Assim, x n ≤ x n +1 (sequência não decrescente) e x n ≥ x n +1 (sequência não crescente).

Mas é mais fácil entender isso com exemplos.

A sequência dada pela fórmula x n \u003d 2 + n forma a seguinte série de números: 4, 5, 6, etc. Esta é uma sequência monotonicamente crescente.

E se pegarmos x n \u003d 1 / n, obtemos uma série: 1/3, ¼, 1/5, etc. Esta é uma sequência monotonicamente decrescente.

Limite da sequência convergente e limitada

Uma sequência limitada é uma sequência que tem um limite. Uma sequência convergente é uma série de números que tem um limite infinitesimal.

Assim, o limite de uma sequência limitada é qualquer número real ou complexo. Lembre-se que só pode haver um limite.

O limite de uma sequência convergente é uma quantidade infinitesimal (real ou complexa). Se você desenhar um diagrama de sequência, em um certo ponto ele irá, por assim dizer, convergir, tenderá a se transformar em um determinado valor. Daí o nome - sequência convergente.

Limite de sequência monotônica

Tal sequência pode ou não ter um limite. Primeiro, é útil entender quando é, a partir daqui você pode começar a provar a ausência de um limite.

Entre as sequências monotônicas, distinguem-se as convergentes e divergentes. Convergente - esta é uma sequência que é formada pelo conjunto x e tem um limite real ou complexo neste conjunto. Divergente - uma sequência que não tem limite em seu conjunto (nem real nem complexa).

Além disso, a sequência converge se seus limites superior e inferior convergem em uma representação geométrica.

O limite de uma sequência convergente pode, em muitos casos, ser igual a zero, pois qualquer sequência infinitesimal tem um limite conhecido (zero).

Qualquer que seja a sequência convergente que você tomar, elas são todas limitadas, mas longe de todas as sequências limitadas convergem.

A soma, diferença, produto de duas sequências convergentes também é uma sequência convergente. No entanto, o quociente também pode convergir se for definido!

Várias ações com limites

Limites de sequências são o mesmo valor significativo (na maioria dos casos) que números e números: 1, 2, 15, 24, 362, etc. Acontece que algumas operações podem ser realizadas com limites.

Primeiro, assim como dígitos e números, os limites de qualquer sequência podem ser somados e subtraídos. Com base no terceiro teorema sobre os limites das sequências, a seguinte igualdade é verdadeira: o limite da soma das sequências é igual à soma dos seus limites.

Em segundo lugar, com base no quarto teorema sobre os limites das sequências, a seguinte igualdade é verdadeira: o limite do produto do enésimo número de sequências é igual ao produto de seus limites. O mesmo vale para a divisão: o limite do quociente de duas sequências é igual ao quociente de seus limites, desde que o limite não seja igual a zero. Afinal, se o limite de sequências for igual a zero, a divisão por zero resultará, o que é impossível.

Propriedades do valor de sequência

Parece que o limite da sequência numérica já foi analisado com algum detalhe, mas frases como números “infinitamente pequenos” e “infinitamente grandes” são mencionadas mais de uma vez. Obviamente, se existe uma sequência 1/x, onde x→∞, então tal fração é infinitamente pequena, e se a mesma sequência, mas o limite tende a zero (x→0), então a fração se torna um valor infinitamente grande . E tais valores têm características próprias. As propriedades do limite de uma sequência com valores pequenos ou grandes arbitrários são as seguintes:

1. A soma de qualquer número de quantidades arbitrariamente pequenas também será uma quantidade pequena.
2. A soma de qualquer número de valores grandes será um valor infinitamente grande.
3. O produto de quantidades arbitrariamente pequenas é infinitamente pequeno.
4. O produto de números arbitrariamente grandes é uma quantidade infinitamente grande.
5. Se a sequência original tende a um número infinito, então a recíproca dela será infinitesimal e tenderá a zero.

Na verdade, calcular o limite de uma sequência não é uma tarefa tão difícil se você conhece um algoritmo simples. Mas os limites das sequências são um tema que exige atenção e perseverança máximas. Claro, é suficiente simplesmente entender a essência da solução de tais expressões. Começando pequeno, com o tempo, você pode alcançar grandes alturas.

Sequência numérica é chamada de função numérica definida no conjunto dos números naturais .

Se a função é dada no conjunto dos números naturais
, então o conjunto de valores da função será contável e cada número
o número é correspondido
. Neste caso, dizemos que dado sequência numérica. Os números são chamados elementos ou membros de uma sequência, e o número - geral ou -ésimo membro da sequência. Cada elemento tem um seguidor
. Isso explica o uso do termo "sequência".

A sequência geralmente é especificada listando seus elementos ou indicando a lei pela qual o elemento com o número é calculado , ou seja indicando a fórmula º membro .

Exemplo.Subsequência
pode ser dada pela fórmula:
.

Normalmente, as sequências são indicadas da seguinte forma: etc., onde a fórmula de sua º membro.

Exemplo.Subsequência
‑esta é a sequência

O conjunto de todos os elementos de uma sequência
denotado
.

Deixe ser
e
- duas sequências.

Com ummah sequências
e
chame a sequência
, Onde
, ou seja.

R aznosti dessas sequências é chamada de sequência
, Onde
, ou seja.

Se um e ‑ constantes, então a sequência
,
chamado combinação linear sequências
e
, ou seja

trabalhar sequências
e
chame a sequência -º membro
, ou seja
.

Se um
, então é possível determinar privado
.

Soma, diferença, produto e quociente de sequências
e
eles são chamados algébricocomposições.

Exemplo.Considere as sequências
e
, Onde. Então
, ou seja subsequência
tem todos os elementos iguais a zero.

,
, ou seja todos os elementos do produto e o quociente são iguais
.

Se riscarmos alguns elementos da sequência
para que haja um número infinito de elementos restantes, então obtemos outra sequência, chamada subsequência sequências
. Se riscarmos os primeiros elementos da sequência
, então a nova sequência é chamada restante.

Subsequência
limitadoacima de(de baixo) se o conjunto
limitado de cima (de baixo). A sequência é chamada limitado se for limitado acima e abaixo. Uma sequência é limitada se e somente se algum de seus restos for limitado.

Sequências convergentes

Eles disseram aquilo subsequência
converge se houver um número tal que para qualquer
existe tal
, que para qualquer
, vale a seguinte desigualdade:
.

Número chamado limite de sequência
. Ao mesmo tempo, gravam
ou
.

Exemplo.
.

Vamos mostrar que
. Defina qualquer número
. Desigualdade
realizado para
, de tal modo que
que a definição de convergência vale para o número
. Meios,
.

Em outras palavras
significa que todos os membros da sequência
com números suficientemente grandes difere pouco do número , ou seja a partir de algum número
(quando) os elementos da sequência estão no intervalo
, que é chamado - vizinhança do ponto .

Subsequência
, cujo limite é igual a zero (
, ou
no
) é chamado infinitesimal.

Aplicadas a infinitesimais, as seguintes afirmações são verdadeiras:

A soma de dois infinitesimais é infinitesimal;

O produto de um infinitesimal por um valor limitado é um infinitesimal.

Teorema .Para a sequência
tinha um limite, é necessário e suficiente que
, Onde - constante; - infinitamente pequeno .

Principais propriedades das sequências convergentes:

As propriedades 3. e 4. são generalizadas para o caso de qualquer número de sequências convergentes.

Observe que ao calcular o limite de uma fração cujo numerador e denominador são combinações lineares de potências , o limite da fração é igual ao limite da razão dos termos mais altos (ou seja, os termos que contêm as maiores potências numerador e denominador).

Subsequência
chamado:

Todas essas sequências são chamadas monótono.

Teorema . Se a sequência
aumenta monotonicamente e é limitado por cima, então converge e seu limite é igual ao seu maior limite superior; se a sequência é decrescente e limitada abaixo, então ela converge para seu maior limite inferior.

Se uma função é definida no conjunto de números naturais N, então tal função é chamada de sequência numérica infinita. Normalmente, uma sequência numérica é denotada como (Xn), onde n pertence ao conjunto dos números naturais N.

A sequência numérica pode ser dada por uma fórmula. Por exemplo, Xn=1/(2*n). Assim, atribuímos a cada número natural n algum elemento definido da sequência (Xn).

Se tomarmos sucessivamente n igual a 1,2,3, …., obtemos a sequência (Xn): ½, ¼, 1/6, …, 1/(2*n), …

Tipos de sequência

A sequência pode ser limitada ou ilimitada, crescente ou decrescente.

A sequência (Xn) chama limitado se existem dois números m e M tais que para qualquer n pertencente ao conjunto dos números naturais, a igualdade m<=Xn

Sequência (Xn), não limitado,é chamada de sequência ilimitada.

aumentando se para todos os inteiros positivos n vale a seguinte igualdade: X(n+1) > Xn. Em outras palavras, cada membro da sequência, começando pelo segundo, deve ser maior que o membro anterior.

A sequência (Xn) é chamada minguante, se para todos os inteiros positivos n a seguinte igualdade vale X(n+1)< Xn. Иначе говоря, каждый член последовательности, начиная со второго, должен быть меньше предыдущего члена.

Exemplo de sequência

Vamos verificar se as sequências 1/n e (n-1)/n são decrescentes.

Se a sequência é decrescente, então X(n+1)< Xn. Следовательно X(n+1) - Xn < 0.

X(n+1) - Xn = 1/(n+1) - 1/n = -1/(n*(n+1))< 0. Значит последовательность 1/n убывающая.

(n-1)/n:

X(n+1) - Xn =n/(n+1) - (n-1)/n = 1/(n*(n+1)) > 0. Então a sequência (n-1)/n é aumentando.