Sabemos que no movimento retilíneo, a direção do vetor velocidade sempre coincide com a direção do movimento. O que pode ser dito sobre a direção da velocidade e do deslocamento no movimento curvilíneo? Para responder a essa pergunta, usaremos a mesma técnica que foi usada no capítulo anterior ao estudar a velocidade instantânea do movimento retilíneo.

A Figura 56 mostra algumas trajetórias curvilíneas. Suponha que um corpo se mova ao longo dele do ponto A ao ponto B.

Neste caso, a trajetória percorrida pelo corpo é um arco A B, e seu deslocamento é um vetor, é claro que não se pode supor que a velocidade do corpo durante o movimento seja direcionada ao longo do vetor de deslocamento. Tracemos uma série de cordas entre os pontos A e B (Fig. 57) e imaginemos que o movimento do corpo ocorre precisamente ao longo dessas cordas. Em cada um deles, o corpo se move em linha reta e o vetor velocidade é direcionado ao longo da corda.

Agora vamos encurtar nossas seções retas (acordes) (Fig. 58). Como antes, em cada um deles o vetor velocidade é direcionado ao longo da corda. Mas pode-se ver que a linha quebrada na Figura 58 já se parece mais com uma curva suave.

É, portanto, claro que, continuando a reduzir o comprimento das seções retas, vamos, por assim dizer, reduzi-las em pontos e a linha quebrada se transformará em uma curva suave. A velocidade em cada ponto desta curva será direcionada, mas tangente à curva neste ponto (Fig. 59).

A velocidade do corpo em qualquer ponto da trajetória curvilínea é direcionada tangencialmente à trajetória neste ponto.

O fato de que a velocidade de um ponto durante o movimento curvilíneo é de fato direcionada ao longo de uma tangente é convencido, por exemplo, pela observação do trabalho de um gochnl (Fig. 60). Se você pressionar as extremidades de uma barra de aço em uma pedra rotativa, as partículas quentes que saem da pedra serão visíveis na forma de faíscas. Essas partículas viajam na mesma velocidade que

eles possuíam no momento da separação da pedra. Vê-se claramente que a direção das faíscas sempre coincide com a tangente ao círculo no ponto em que a haste toca a pedra. O spray das rodas de um carro derrapando também se move tangencialmente ao círculo (Fig. 61).

Assim, a velocidade instantânea do corpo em diferentes pontos da trajetória curvilínea tem direções diferentes, como mostra a Figura 62. O módulo de velocidade pode ser o mesmo em todos os pontos da trajetória (ver Figura 62) ou mudar de ponto a ponto , de um ponto no tempo para outro (Fig. 63).

Com o movimento curvilíneo, a direção do vetor velocidade muda. Nesse caso, seu módulo, ou seja, o comprimento, também pode mudar. Neste caso, o vetor aceleração é decomposto em duas componentes: tangente à trajetória e perpendicular à trajetória (Fig. 10). O componente é chamado tangencial aceleração (tangencial), componente - normal(aceleração centrípeta.

Aceleração curvilínea

A aceleração tangencial caracteriza a taxa de mudança da velocidade linear, e a aceleração normal caracteriza a taxa de mudança de direção.

A aceleração total é igual à soma vetorial das acelerações tangencial e normal:

(15)

O módulo de aceleração total é:

.

Considere o movimento uniforme de um ponto ao longo de um círculo. Em que e . Deixe o ponto estar na posição 1 no tempo considerado t (Fig. 11). Após o tempo Δt, o ponto estará na posição 2, tendo percorrido o caminho Δs, igual ao arco 1-2. Neste caso, a velocidade do ponto v recebe um incremento Δv, como resultado do qual o vetor velocidade, permanecendo inalterado em magnitude, girará de um ângulo Δφ , coincidindo em magnitude com o ângulo central baseado em um arco de comprimento Δs:

(16)

onde R é o raio do círculo ao longo do qual o ponto se move. Vamos encontrar o incremento do vetor velocidade Para fazer isso, vamos mover o vetor de modo que seu início coincida com o início do vetor . Então o vetor será representado por um segmento desenhado do final do vetor até o final do vetor . Este segmento serve como base de um triângulo isósceles com lados e e ângulo Δφ no topo. Se o ângulo Δφ for pequeno (o que é verdade para Δt pequeno), para os lados desse triângulo podemos escrever aproximadamente:

.

Substituindo aqui Δφ de (16), obtemos uma expressão para o módulo do vetor:

.

Dividindo ambas as partes da equação por Δt e fazendo a transição limite, obtemos o valor da aceleração centrípeta:

Aqui as quantidades v e R são constantes, de modo que podem ser retirados do sinal de limite. O limite de relação é o módulo de velocidade Também é chamada de velocidade linear.

Raio de curvatura

O raio do círculo R é chamado raio de curvatura trajetórias. O recíproco de R é chamado de curvatura do caminho:

.

onde R é o raio do círculo em questão. Se α é o ângulo central correspondente ao arco do círculo s, então, como se sabe, a seguinte relação vale entre R, α e s:

s = Ra. (18)

O conceito de raio de curvatura se aplica não apenas a um círculo, mas a qualquer linha curva. O raio de curvatura (ou seu recíproco - curvatura) caracteriza o grau de curvatura da linha. Quanto menor o raio de curvatura (respectivamente, quanto maior a curvatura), mais a linha é dobrada. Vamos considerar esse conceito com mais detalhes.

O círculo de curvatura de uma linha plana em algum ponto A é a posição limite de um círculo que passa pelo ponto A e dois outros pontos B 1 e B 2 quando eles se aproximam infinitamente do ponto A (na Fig. 12, a curva é desenhada por um linha sólida e o círculo de curvatura é tracejada). O raio do círculo de curvatura dá o raio de curvatura da curva em questão no ponto A, e o centro deste círculo é o centro de curvatura da curva para o mesmo ponto A.

Desenhe nos pontos B 1 e B 2 as tangentes B 1 D e B 2 E ao círculo que passa pelos pontos B 1 , A e B 2 . As normais a essas tangentes B 1 C e B 2 C serão os raios R do círculo e se interceptam em seu centro C. Vamos introduzir o ângulo Δα entre as normais B1C e B 2 C; obviamente, é igual ao ângulo entre as tangentes B 1 D e B 2 E. Vamos designar a seção da curva entre os pontos B 1 e B 2 como Δs. Então, de acordo com a fórmula (18):

.

Círculo de curvatura de uma linha curva plana

Determinando a curvatura de uma curva plana em diferentes pontos

Na fig. 13 mostra círculos de curvatura de uma linha plana em diferentes pontos. No ponto A 1 , onde a curva é mais plana, o raio de curvatura é maior que no ponto A 2 , respectivamente, a curvatura da linha no ponto A 1 será menor que no ponto A 2 . No ponto A 3 a curva é ainda mais plana do que nos pontos A 1 e A 2 , então o raio de curvatura neste ponto será maior e a curvatura menor. Além disso, o círculo de curvatura no ponto A 3 está do outro lado da curva. Portanto, a magnitude da curvatura neste ponto recebe um sinal oposto ao sinal da curvatura nos pontos A 1 e A 2: se a curvatura nos pontos A 1 e A 2 for considerada positiva, então a curvatura no ponto A 3 será negativo.

Os conceitos de velocidade e aceleração são naturalmente generalizados para o caso do movimento de um ponto material ao longo trajetória curvilínea. A posição do ponto móvel na trajetória é dada pelo vetor raio r atraído para este ponto a partir de algum ponto fixo O, por exemplo, a origem (Fig. 1.2). Deixe no momento t ponto material está em posição M com vetor de raio r = r (t). Depois de pouco tempo D t, ele se moverá para a posição M 1 com raio - vetor r 1 = r (t+ D t). Raio - o vetor de um ponto material receberá um incremento determinado pela diferença geométrica D r = r 1 - r . Velocidade média ao longo do tempo D té chamado de quantidade

Direção da velocidade média V qua fósforos com a direção do vetor D r .

Limite de velocidade média em D t® 0, ou seja, a derivada do raio - vetor r por tempo

(1.9)

chamado verdadeiro ou instante velocidade do ponto material. Vetor V dirigido tangencialmenteà trajetória do ponto em movimento.

aceleração uma é chamado de vetor igual à primeira derivada do vetor velocidade V ou a segunda derivada do raio - vetor r por tempo:

(1.10)

(1.11)

Observe a seguinte analogia formal entre velocidade e aceleração. De um ponto fixo arbitrário O 1 vamos traçar o vetor velocidade V ponto de movimento em todos os momentos possíveis (Fig. 1.3).

Fim do vetor V chamado ponto de velocidade. O lugar geométrico dos pontos de velocidade é uma curva chamada hodógrafo de velocidade. Quando um ponto material descreve uma trajetória, o ponto de velocidade correspondente a ele se move ao longo do hodógrafo.

Arroz. 1.2 difere da fig. 1.3 apenas por designações. Raio - Vetor r substituído pelo vetor velocidade V , o ponto material - para o ponto de velocidade, a trajetória - para o hodógrafo. Operações matemáticas em um vetor r ao encontrar a velocidade e sobre o vetor V ao encontrar a aceleração são completamente idênticas.

Velocidade V dirigido ao longo de uma trajetória tangente. então aceleraçãouma será direcionado tangencialmente ao hodógrafo de velocidade. Pode-se dizer que aceleração é a velocidade de movimento do ponto de alta velocidade ao longo do hodógrafo. Conseqüentemente,

Você está bem ciente de que, dependendo da forma da trajetória, o movimento é dividido em retilíneo e curvilíneo. Aprendemos a trabalhar com movimento retilíneo nas lições anteriores, ou seja, resolver o principal problema da mecânica para este tipo de movimento.

No entanto, é claro que no mundo real estamos lidando mais frequentemente com movimento curvilíneo, quando a trajetória é uma linha curva. Exemplos desse movimento são a trajetória de um corpo lançado em ângulo em relação ao horizonte, o movimento da Terra em torno do Sol e até a trajetória de seus olhos, que agora seguem esse resumo.

Esta lição será dedicada à questão de como o principal problema da mecânica é resolvido no caso do movimento curvilíneo.

Para começar, vamos determinar quais diferenças fundamentais o movimento curvilíneo (Fig. 1) tem em relação ao retilíneo e a que essas diferenças levam.

Arroz. 1. Trajetória do movimento curvilíneo

Vamos falar sobre como é conveniente descrever o movimento de um corpo durante o movimento curvilíneo.

Você pode dividir o movimento em seções separadas, em cada uma das quais o movimento pode ser considerado retilíneo (Fig. 2).

Arroz. 2. Particionamento de movimento curvilíneo em segmentos de movimento retilíneo

No entanto, a abordagem a seguir é mais conveniente. Vamos representar este movimento como um conjunto de vários movimentos ao longo de arcos de círculos (Fig. 3). Observe que há menos partições do que no caso anterior, além disso, o movimento ao longo do círculo é curvilíneo. Além disso, exemplos de movimento em círculo na natureza são muito comuns. A partir disso podemos concluir:

Para descrever o movimento curvilíneo, deve-se aprender a descrever o movimento ao longo de um círculo e, em seguida, representar um movimento arbitrário como um conjunto de movimentos ao longo de arcos de círculo.

Arroz. 3. Particionamento de um movimento curvilíneo em movimentos ao longo de arcos de círculos

Então, vamos começar o estudo do movimento curvilíneo com o estudo do movimento uniforme em um círculo. Vamos ver quais são as diferenças fundamentais entre movimento curvilíneo e retilíneo. Para começar, lembremos que no nono ano estudamos o fato de que a velocidade de um corpo ao se mover ao longo de um círculo é direcionada tangencialmente à trajetória (Fig. 4). A propósito, você pode observar esse fato na prática se observar como as faíscas se movem ao usar um rebolo.

Considere o movimento de um corpo ao longo de um arco circular (Fig. 5).

Arroz. 5. A velocidade do corpo ao se mover em círculo

Observe que, neste caso, o módulo da velocidade do corpo no ponto é igual ao módulo da velocidade do corpo no ponto:

No entanto, o vetor não é igual ao vetor . Então, temos um vetor de diferença de velocidade (Fig. 6):

Arroz. 6. Vetor de diferença de velocidade

Além disso, a mudança na velocidade ocorreu depois de um tempo. Assim, obtemos a combinação familiar:

Isso nada mais é do que uma mudança na velocidade ao longo de um período de tempo, ou a aceleração de um corpo. Podemos tirar uma conclusão muito importante:

O movimento ao longo de um caminho curvo é acelerado. A natureza dessa aceleração é uma mudança contínua na direção do vetor velocidade.

Mais uma vez, notamos que, mesmo que se diga que o corpo se move uniformemente em um círculo, isso significa que o módulo da velocidade do corpo não muda. No entanto, tal movimento é sempre acelerado, pois a direção da velocidade muda.

Na nona série, você estudou o que é essa aceleração e como ela é direcionada (Fig. 7). A aceleração centrípeta é sempre direcionada para o centro do círculo ao longo do qual o corpo está se movendo.

Arroz. 7. Aceleração centrípeta

O módulo de aceleração centrípeta pode ser calculado usando a fórmula:

Voltamos à descrição do movimento uniforme do corpo em um círculo. Vamos concordar que a velocidade que você usou ao descrever o movimento de translação agora será chamada de velocidade linear. E por velocidade linear entenderemos a velocidade instantânea no ponto da trajetória de um corpo em rotação.

Arroz. 8. Movimento dos pontos do disco

Considere um disco que, por definição, gira no sentido horário. Em seu raio, marcamos dois pontos e (Fig. 8). Considere o movimento deles. Por algum tempo, esses pontos se moverão ao longo dos arcos do círculo e se tornarão pontos e . Obviamente, o ponto se moveu mais do que o ponto. A partir disso, podemos concluir que quanto mais longe o ponto está do eixo de rotação, maior a velocidade linear que ele se move.

No entanto, se olharmos atentamente para os pontos e , podemos dizer que o ângulo pelo qual eles giraram em relação ao eixo de rotação permaneceu inalterado. São as características angulares que usaremos para descrever o movimento em um círculo. Observe que para descrever o movimento em um círculo, podemos usar canto características.

Vamos começar a consideração do movimento em um círculo com o caso mais simples - movimento uniforme em um círculo. Lembre-se de que um movimento de translação uniforme é um movimento no qual o corpo faz os mesmos deslocamentos para quaisquer intervalos de tempo iguais. Por analogia, podemos dar uma definição de movimento uniforme em um círculo.

O movimento uniforme em um círculo é um movimento no qual, para quaisquer intervalos iguais de tempo, o corpo gira nos mesmos ângulos.

Da mesma forma que o conceito de velocidade linear, é introduzido o conceito de velocidade angular.

Velocidade angular de movimento uniforme ( chamada de grandeza física igual à razão entre o ângulo em que o corpo girou e o tempo durante o qual essa virada ocorreu.

Na física, a medida em radianos de um ângulo é mais comumente usada. Por exemplo, o ângulo em é igual a radianos. A velocidade angular é medida em radianos por segundo:

Vamos encontrar a relação entre a velocidade angular de um ponto e a velocidade linear desse ponto.

Arroz. 9. Relação entre velocidade angular e linear

O ponto passa durante a rotação de um arco de comprimento, enquanto gira em um ângulo. Da definição da medida em radianos de um ângulo, podemos escrever:

Vamos dividir as partes esquerda e direita da igualdade pelo intervalo de tempo , para o qual o movimento foi feito, então usaremos a definição de velocidades angulares e lineares:

Observe que quanto mais distante o ponto estiver do eixo de rotação, maior será sua velocidade linear. E os pontos localizados no próprio eixo de rotação são fixos. Um exemplo disso é um carrossel: quanto mais próximo você estiver do centro do carrossel, mais fácil será para você permanecer nele.

Essa dependência das velocidades lineares e angulares é utilizada em satélites geoestacionários (satélites que estão sempre acima de um mesmo ponto na superfície terrestre). Graças a esses satélites, podemos receber sinais de televisão.

Lembre-se de que anteriormente introduzimos os conceitos de período e frequência de rotação.

O período de rotação é o tempo de uma revolução completa. O período de rotação é indicado por uma letra e é medido em segundos no SI:

A frequência de rotação é uma quantidade física igual ao número de revoluções que o corpo faz por unidade de tempo.

A frequência é indicada por uma letra e é medida em segundos recíprocos:

Estão relacionados por:

Existe uma relação entre a velocidade angular e a frequência de rotação do corpo. Se nos lembrarmos que uma revolução completa é , é fácil ver que a velocidade angular é:

Substituindo essas expressões na dependência entre a velocidade angular e linear, pode-se obter a dependência da velocidade linear no período ou frequência:

Vamos também escrever a relação entre a aceleração centrípeta e essas quantidades:

Assim, conhecemos a relação entre todas as características do movimento uniforme em um círculo.

Vamos resumir. Nesta lição, começamos a descrever o movimento curvilíneo. Nós entendemos como relacionar o movimento curvilíneo ao movimento circular. O movimento circular é sempre acelerado, e a presença de aceleração faz com que a velocidade sempre mude de direção. Essa aceleração é chamada centrípeta. Por fim, lembramos algumas características do movimento em um círculo (velocidade linear, velocidade angular, período e frequência de rotação) e encontramos a relação entre elas.

Bibliografia

1. G.Ya. Myakishev, B. B. Bukhovtsev, N. N. Sotsky. Física 10. - M.: Educação, 2008.
2. P.A. Rymkevich. Física. Livro de problemas 10-11. - M.: Abetarda, 2006.
3. O.Ya. Savchenko. Problemas em física. - M.: Nauka, 1988.
4. AV Perishkin, V. V. Krauklis. Curso de Física. T. 1. - M.: Estado. uh.-ped. ed. min. educação da RSFSR, 1957.

1. Ayp.ru().
2. Wikipédia ().

Trabalho de casa

Ao resolver as tarefas desta lição, você poderá se preparar para as questões 1 do GIA e as questões A1, A2 do Unified State Examination.

1. Problemas 92, 94, 98, 106, 110 - sáb. tarefas de A. P. Rymkevich, ed. dez
2. Calcule a velocidade angular dos ponteiros dos minutos, segundos e horas do relógio. Calcule a aceleração centrípeta que atua nas pontas dessas setas se o raio de cada uma delas for de um metro.

A cinemática estuda o movimento sem identificar as causas que causam esse movimento. A cinemática é um ramo da mecânica. A principal tarefa da cinemática é a determinação matemática da posição e características do movimento de pontos ou corpos no tempo.

Quantidades cinemáticas básicas:

- Jogada() - um vetor conectando os pontos inicial e final.

r é o vetor raio, determina a posição do MT no espaço.

- Velocidadeé a razão entre o caminho e o tempo .

- Maneiraé o conjunto de pontos pelos quais o corpo passou.

- Aceleração - a taxa de variação da taxa, ou seja, a primeira derivada da taxa.

2. Aceleração curvilínea: aceleração normal e tangencial. Rotação plana. Velocidade angular, aceleração.

Movimento curvilíneoé um movimento cuja trajetória é uma linha curva. Um exemplo de movimento curvilíneo é o movimento dos planetas, o final do ponteiro do relógio no mostrador, etc.

Movimento curvilíneoÉ sempre rápido. Ou seja, a aceleração durante o movimento curvilíneo está sempre presente, mesmo que o módulo de velocidade não mude, mas apenas a direção da velocidade muda.

Alteração no valor da velocidade por unidade de tempo - é a aceleração tangencial:

Onde 𝛖 τ , 𝛖 0 são as velocidades no instante t 0 + Δt e t 0, respectivamente. Aceleração tangencial em um dado ponto da trajetória, a direção coincide com a direção da velocidade do corpo ou é oposta a ela.

Aceleração normalé a variação da velocidade na direção por unidade de tempo:

Aceleração normal dirigido ao longo do raio de curvatura da trajetória (em direção ao eixo de rotação). A aceleração normal é perpendicular à direção da velocidade.

Aceleração total com um movimento curvilíneo igualmente variável do corpo é igual a:

-velocidade angular mostra em que ângulo o ponto gira ao se mover uniformemente ao redor do círculo por unidade de tempo. A unidade SI é rad/s.

Rotação planaé a rotação de todos os vetores velocidade dos pontos do corpo em um plano.

3. Conexão entre vetores de velocidade e velocidade angular de um ponto material. Aceleração normal, tangencial e total.

Aceleração tangencial (tangencial)é uma componente do vetor aceleração direcionado ao longo da tangente à trajetória em um determinado ponto da trajetória. A aceleração tangencial caracteriza a mudança no módulo de velocidade durante o movimento curvilíneo.

Aceleração normal (centrípeta)é um componente do vetor aceleração direcionado ao longo da normal à trajetória do movimento em um dado ponto na trajetória do movimento do corpo. Ou seja, o vetor de aceleração normal é perpendicular à velocidade linear do movimento (veja a Fig. 1.10). A aceleração normal caracteriza a mudança de velocidade na direção e é denotada pela letra n. O vetor aceleração normal é direcionado ao longo do raio de curvatura da trajetória.

Aceleração total no movimento curvilíneo, é composto de acelerações tangenciais e normais de acordo com a regra de adição de vetores e é determinado pela fórmula.