Considere as simetrias axiais e centrais como propriedades de algumas figuras geométricas; Considere as simetrias axiais e centrais como propriedades de algumas figuras geométricas; Ser capaz de construir pontos simétricos e ser capaz de reconhecer figuras simétricas em torno de um ponto ou de uma linha; Ser capaz de construir pontos simétricos e ser capaz de reconhecer figuras simétricas em torno de um ponto ou de uma linha; Melhorar a capacidade de resolução de problemas; Melhorar a capacidade de resolução de problemas; Continuar a trabalhar na precisão do registro e execução de um desenho geométrico; Continuar a trabalhar na precisão do registro e execução de um desenho geométrico;

Trabalho oral "Pesquisa suave" Trabalho oral "Pesquisa suave" Que ponto é chamado de ponto médio do segmento? Qual triângulo é chamado de triângulo isósceles? Que propriedade têm as diagonais de um losango? Formule a propriedade da bissetriz de um triângulo isósceles. Quais retas são chamadas de perpendiculares? O que é um triângulo equilátero? Que propriedade têm as diagonais de um quadrado? Que figuras são chamadas iguais?

Que novos conceitos você aprendeu em sala de aula? Que novos conceitos você aprendeu em sala de aula? O que você aprendeu sobre formas geométricas? O que você aprendeu sobre formas geométricas? Dê exemplos de figuras geométricas com simetria axial. Dê exemplos de figuras geométricas com simetria axial. Dê um exemplo de figuras com simetria central. Dê um exemplo de figuras com simetria central. Dê exemplos de objetos da vida circundante que tenham um ou dois tipos de simetria. Dê exemplos de objetos da vida circundante que tenham um ou dois tipos de simetria.

EU . Simetria em matemática :

Conceitos básicos e definições.

Simetria axial (definições, plano de construção, exemplos)

Simetria central (definições, plano de construção, commedidas)

Tabela de resumo (todas as propriedades, recursos)

II . Aplicações de simetria:

1) em matemática

2) em química

3) em biologia, botânica e zoologia

4) em arte, literatura e arquitetura

/dict/bse/article/00071/07200.htm

/html/simmetr/index.html

/sim/sim.ht

/index.html

1. Conceitos básicos de simetria e seus tipos.

O conceito de simetria n R percorre toda a história da humanidade. Encontra-se já nas origens do conhecimento humano. Surgiu em conexão com o estudo de um organismo vivo, o homem. E foi usado por escultores já no século 5 aC. e. A palavra "simetria" é grega, significa "proporcionalidade, proporcionalidade, a mesmice na disposição das partes". É amplamente utilizado por todas as áreas da ciência moderna sem exceção. Muitas grandes pessoas pensaram sobre esse padrão. Por exemplo, L. N. Tolstoy disse: “Parado na frente de um quadro preto e desenhando diferentes figuras nele com giz, de repente fui atingido pelo pensamento: por que a simetria é compreensível aos olhos? O que é simetria? Este é um sentimento inato, respondi a mim mesmo. Em que se baseia?" A simetria é realmente agradável aos olhos. Quem não admirou a simetria das criações da natureza: folhas, flores, pássaros, animais; ou criações humanas: edifícios, tecnologia, - tudo o que nos rodeia desde a infância, que prima pela beleza e harmonia. Hermann Weyl disse: "A simetria é a ideia através da qual o homem tentou durante séculos compreender e criar ordem, beleza e perfeição". Hermann Weyl é um matemático alemão. A sua actividade situa-se na primeira metade do século XX. Foi ele quem formulou a definição de simetria, estabelecida por quais sinais ver a presença ou, inversamente, a ausência de simetria em um caso particular. Assim, uma representação matematicamente rigorosa foi formada há relativamente pouco tempo - no início do século XX. É bastante complexo. Voltaremos e mais uma vez relembraremos as definições que nos são dadas no livro didático.

2. Simetria axial.

2.1 Definições básicas

Definição. Dois pontos A e A 1 são chamados simétricos em relação à linha a se esta linha passa pelo ponto médio do segmento AA 1 e é perpendicular a ele. Cada ponto da linha a é considerado simétrico a si mesmo.

Definição. Diz-se que a figura é simétrica em relação a uma linha reta. uma, se para cada ponto da figura o ponto simétrico a ele em relação à linha reta uma também pertence a esta figura. Em linha reta uma chamado de eixo de simetria da figura. A figura também é dita ter simetria axial.

2.2 Plano de construção

E assim, para construir uma figura simétrica em relação a uma linha reta de cada ponto, traçamos uma perpendicular a essa linha reta e a estendemos pela mesma distância, marcando o ponto resultante. Fazemos isso com cada ponto, obtemos os vértices simétricos da nova figura. Então nós os conectamos em série e obtemos uma figura simétrica desse eixo relativo.

2.3 Exemplos de figuras com simetria axial.

3. Simetria central

3.1 Definições básicas

Definição. Dois pontos A e A 1 são chamados simétricos em relação ao ponto O se O for o ponto médio do segmento AA 1. O ponto O é considerado simétrico a si mesmo.

Definição. Uma figura é dita simétrica em relação ao ponto O se para cada ponto da figura o ponto simétrico a ela em relação ao ponto O também pertence a esta figura.

3.2 Plano de construção

Construção de um triângulo simétrico ao dado em relação ao centro O.

Para construir um ponto simétrico a um ponto MAS em relação ao ponto O, basta traçar uma linha reta OA(Fig. 46 ) e do outro lado do ponto O separar um segmento igual a um segmento OA. Em outras palavras , pontos A e ; dentro e ; C e são simétricas em relação a algum ponto O. Na fig. 46 construiu um triângulo simétrico a um triângulo abc em relação ao ponto O. Esses triângulos são iguais.

Construção de pontos simétricos em torno do centro.

Na figura, os pontos M e M 1, N e N 1 são simétricos em relação ao ponto O, e os pontos P e Q não são simétricos em relação a este ponto.

Em geral, figuras que são simétricas em relação a algum ponto são iguais a .

3.3 Exemplos

Vamos dar exemplos de figuras com simetria central. As figuras mais simples com simetria central são o círculo e o paralelogramo.

O ponto O é chamado de centro de simetria da figura. Nesses casos, a figura tem simetria central. O centro de simetria de um círculo é o centro do círculo, e o centro de simetria de um paralelogramo é o ponto de interseção de suas diagonais.

A reta também possui simetria central, porém, diferentemente do círculo e do paralelogramo, que possuem apenas um centro de simetria (ponto O na figura), a reta possui um número infinito deles - qualquer ponto da reta é seu centro de simetria.

As figuras mostram um ângulo simétrico em torno do vértice, um segmento simétrico a outro segmento em torno do centro MAS e um quadrilátero simétrico em torno de seu vértice M.

Um exemplo de uma figura que não tem um centro de simetria é um triângulo.

4. Resumo da lição

Vamos resumir o conhecimento adquirido. Hoje, na lição, conhecemos dois tipos principais de simetria: central e axial. Vamos olhar para a tela e sistematizar o conhecimento adquirido.

Tabela de resumo

	Simetria axial	Simetria central
Peculiaridade	Todos os pontos da figura devem ser simétricos em relação a alguma linha reta.	Todos os pontos da figura devem ser simétricos em relação ao ponto escolhido como centro de simetria.
Propriedades	1. Pontos simétricos estão em perpendiculares à linha. 3. Linhas retas se transformam em linhas retas, ângulos em ângulos iguais. 4. Os tamanhos e formas das figuras são salvos.	1. Pontos simétricos estão em uma linha reta que passa pelo centro e pelo ponto dado da figura. 2. A distância de um ponto a uma linha reta é igual à distância de uma linha reta a um ponto simétrico. 3. Os tamanhos e formas das figuras são salvos.

II. Aplicação de simetria

Matemática	Nas aulas de álgebra, estudamos os gráficos das funções y=x e y=x As figuras mostram várias figuras representadas com a ajuda de ramos de parábolas. (a) Octaedro, (b) dodecaedro rômbico, (c) octaedro hexagonal.
língua russa	As letras impressas do alfabeto russo também possuem diferentes tipos de simetrias. Existem palavras "simétricas" em russo - palíndromos, que pode ser lido da mesma maneira em ambas as direções.	A D L M P T V- eixo vertical B E W K S E Yu - eixo horizontal W N O X- vertical e horizontal B G I Y R U C W Y Z- sem eixo Cabana de radar Alla Anna
Literatura	As sentenças também podem ser palindrômicas. Bryusov escreveu o poema "Voz da Lua", no qual cada linha é um palíndromo. Veja os quadrigêmeos de "O Cavaleiro de Bronze" de A.S. Pushkin. Se desenharmos uma linha após a segunda linha, podemos ver os elementos de simetria axial	E a rosa caiu na pata de Azor. Eu vou com a espada do juiz. (Derzhavin) "Procure um táxi" "Argentina Manit Negro", "Aprecia o Negro Argentino", "Lesha encontrou um inseto na prateleira." O Neva é revestido de granito; Pontes pairavam sobre as águas; Jardins verdes escuros As ilhas estavam cobertas com ele...

Biologia

O corpo humano é construído sobre o princípio da simetria bilateral. A maioria de nós pensa no cérebro como uma estrutura única, na verdade ele é dividido em duas metades. Essas duas partes - dois hemisférios - se encaixam perfeitamente. Em plena conformidade com a simetria geral do corpo humano, cada hemisfério é uma imagem espelhada quase exata do outro. O controle dos movimentos básicos do corpo humano e suas funções sensoriais é distribuído uniformemente entre os dois hemisférios do cérebro. O hemisfério esquerdo controla o lado direito do cérebro, enquanto o hemisfério direito controla o lado esquerdo.

Botânica

Uma flor é considerada simétrica quando cada perianto consiste em um número igual de partes. Flores, tendo partes emparelhadas, são consideradas flores com dupla simetria, etc. A tripla simetria é comum para monocotiledôneas, cinco - para dicotiledôneas.Uma característica da estrutura das plantas e seu desenvolvimento é a helicidade. Preste atenção aos brotos do arranjo das folhas - isso também é uma espécie de espiral - helicoidal. Mesmo Goethe, que não era apenas um grande poeta, mas também um naturalista, considerava a helicidade um dos traços característicos de todos os organismos, uma manifestação da essência mais íntima da vida. As gavinhas das plantas se torcem em espiral, o tecido cresce em espiral nos troncos das árvores, as sementes de um girassol são dispostas em espiral, os movimentos em espiral são observados durante o crescimento de raízes e brotos.

Uma característica da estrutura das plantas e seu desenvolvimento é a helicidade. Olhe para a pinha. As escamas em sua superfície estão dispostas de maneira estritamente regular - ao longo de duas espirais que se cruzam aproximadamente em ângulo reto. O número de tais espirais em pinhas é 8 e 13 ou 13 e 21.

Zoologia

A simetria nos animais é entendida como a correspondência em tamanho, forma e contorno, bem como a localização relativa de partes do corpo localizadas em lados opostos da linha divisória. Com simetria radial ou radiativa, o corpo tem a forma de um cilindro curto ou longo ou de um vaso com eixo central, do qual partes do corpo se estendem em ordem radial. Estes são celenterados, equinodermos, estrelas do mar. Com simetria bilateral, existem três eixos de simetria, mas apenas um par de lados simétricos. Porque os outros dois lados - o abdominal e o dorsal - não são semelhantes entre si. Esse tipo de simetria é característico da maioria dos animais, incluindo insetos, peixes, anfíbios, répteis, pássaros e mamíferos.

Simetria axial

	Diferentes tipos de simetria de fenômenos físicos: simetria de campos elétricos e magnéticos (Fig. 1) Em planos mutuamente perpendiculares, a propagação das ondas eletromagnéticas é simétrica (Fig. 2)	fig.1 fig.2
Arte	A simetria do espelho muitas vezes pode ser observada em obras de arte. A simetria do espelho é amplamente encontrada nas obras de arte das civilizações primitivas e na pintura antiga. As pinturas religiosas medievais também são caracterizadas por esse tipo de simetria. Uma das melhores primeiras obras de Rafael, O noivado de Maria, foi criada em 1504. Um vale encimado por um templo de pedra branca se estende sob o céu azul ensolarado. Em primeiro plano está a cerimônia de noivado. O Sumo Sacerdote aproxima as mãos de Maria e de José. Atrás de Maria está um grupo de meninas, atrás de José está um grupo de rapazes. Ambas as partes da composição simétrica são mantidas juntas pelo movimento dos personagens. Para os gostos modernos, a composição de tal imagem é chata, porque a simetria é óbvia demais.

Química	A molécula de água tem um plano de simetria (linha reta vertical) As moléculas de DNA (ácido desoxirribonucleico) desempenham um papel extremamente importante no mundo da vida selvagem. É um polímero de alto peso molecular de fita dupla cujo monômero é nucleotídeos. As moléculas de DNA têm uma estrutura de dupla hélice construída com base no princípio da complementaridade.
arquitectoquem	Desde os tempos antigos, o homem tem usado simetria na arquitetura. Os arquitetos antigos usavam a simetria de forma especialmente brilhante em estruturas arquitetônicas. Além disso, os antigos arquitetos gregos estavam convencidos de que em suas obras são guiados pelas leis que regem a natureza. Escolhendo formas simétricas, o artista expressou assim sua compreensão da harmonia natural como estabilidade e equilíbrio. A cidade de Oslo, capital da Noruega, possui um expressivo conjunto de natureza e arte. Este é o Frogner - parque - um complexo de esculturas de jardinagem paisagística, que foi criado ao longo de 40 anos.	Casa Pashkov Louvre (Paris)

© Sukhacheva Elena Vladimirovna, 2008-2009

Simetria axial. Com simetria axial, cada ponto da figura vai para um ponto simétrico a ela em relação a uma linha fixa.

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Simetria

"Ponto de simetria" - Simetria central. A a A1. Simetria axial e central. O ponto C é chamado de centro de simetria. Simetria na vida. O cone redondo é axialmente simétrico; o eixo de simetria é o eixo do cone. Formas que têm mais de dois eixos de simetria. O paralelogramo tem apenas simetria central.

"Simetria Matemática" - O que é simetria? simetria física. Simetria em biologia. A história da simetria. No entanto, moléculas complexas, como regra, carecem de simetria. palíndromos. Simetria. Em x e m e e. TEM MUITO EM COMUM COM A SIMETRIA TRADUCIONAL NA MATEMÁTICA. E, na verdade, como viveríamos sem simetria? Simetria axial.

"Ornamento" - b) Na faixa. Translação paralela Simetria central Simetria axial Rotação. Linear (opções de layout): Crie um ornamento usando simetria central e translação paralela. Planar. Uma das variedades de ornamento é um ornamento de malha. Transformações usadas para criar o ornamento:

"Simetria na natureza" - Uma das principais propriedades das formas geométricas é a simetria. O tema não foi escolhido por acaso, porque no próximo ano temos que começar a estudar uma nova matéria - geometria. O fenômeno da simetria na natureza viva foi notado mesmo na Grécia antiga. Estamos na sociedade científica escolar porque gostamos de aprender algo novo e desconhecido.

"Movimento na Geometria" - A matemática é linda e harmoniosa! Dê exemplos de movimento. Movimento em geometria. O que é chamado de movimento? A que ciências se aplica o movimento? Como o movimento é usado em várias áreas da atividade humana? grupo de teóricos. Conceito de movimento Simetria axial Simetria central. Podemos ver movimento na natureza?

"Simetria na Arte" - Levitan. RAFAEL. II.1. Proporção na arquitetura. O ritmo é um dos principais elementos da expressividade de uma melodia. R. Descartes. Bosque do Navio. A. V. Voloshinov. Velásquez Rendição de Breda. Externamente, a harmonia pode se manifestar em melodia, ritmo, simetria, proporcionalidade. II.4 Proporção na literatura.

Total no tópico 32 apresentações

Hoje falaremos sobre um fenômeno que cada um de nós encontra constantemente na vida: a simetria. O que é simetria?

Aproximadamente todos nós entendemos o significado deste termo. O dicionário diz: simetria é a proporcionalidade e a correspondência total do arranjo das partes de algo em relação a uma linha ou ponto. Existem dois tipos de simetria: axial e radial. Vamos olhar primeiro para o eixo. Isso é, digamos, simetria "espelho", quando uma metade do objeto é completamente idêntica à segunda, mas a repete como um reflexo. Olhe para as metades da folha. Eles são espelho simétricos. As metades do corpo humano (face inteira) também são simétricas - os mesmos braços e pernas, os mesmos olhos. Mas não nos enganemos, de fato, no mundo orgânico (vivo), a simetria absoluta não pode ser encontrada! As metades da folha não se copiam perfeitamente, o mesmo se aplica ao corpo humano (veja você mesmo); o mesmo vale para outros organismos! A propósito, vale acrescentar que qualquer corpo simétrico é simétrico em relação ao espectador em apenas uma posição. É preciso, digamos, virar o lençol, ou levantar a mão, e o quê? - Veja por si mesmo.

As pessoas alcançam a verdadeira simetria nos produtos de seu trabalho (coisas) - roupas, carros ... Na natureza, é característico de formações inorgânicas, por exemplo, cristais.

Mas vamos para a prática. Não vale a pena começar com objetos complexos como pessoas e animais, vamos tentar terminar a metade espelhada da folha como primeiro exercício em um novo campo.

Desenhe um objeto simétrico - lição 1

Vamos tentar torná-lo o mais semelhante possível. Para fazer isso, vamos literalmente construir nossa alma gêmea. Não pense que é tão fácil, especialmente na primeira vez, desenhar uma linha correspondente ao espelho com um golpe!

Vamos marcar vários pontos de referência para a futura linha simétrica. Agimos assim: desenhamos com um lápis sem pressão várias perpendiculares ao eixo de simetria - a veia do meio da folha. Quatro ou cinco é o suficiente. E nestas perpendiculares medimos à direita a mesma distância que na metade esquerda até a linha da borda da folha. Eu aconselho você a usar a régua, não confie realmente no olho. Como regra, tendemos a reduzir o desenho - isso foi notado na experiência. Não recomendamos medir distâncias com os dedos: o erro é muito grande.

Conecte os pontos resultantes com uma linha de lápis:

Agora olhamos meticulosamente - as metades são realmente as mesmas. Se tudo estiver correto, vamos circundá-lo com uma caneta hidrográfica, esclarecer nossa linha:

A folha de álamo foi concluída, agora você pode balançar na folha de carvalho.

Vamos desenhar uma figura simétrica - lição 2

Neste caso, a dificuldade está no fato de que as nervuras são indicadas e não são perpendiculares ao eixo de simetria, e não apenas as dimensões, mas também o ângulo de inclinação terão que ser observados com exatidão. Bem, vamos treinar o olho:

Então foi desenhada uma folha de carvalho simétrica, ou melhor, construímos de acordo com todas as regras:

Como desenhar um objeto simétrico - lição 3

E vamos corrigir o tópico - terminaremos de desenhar uma folha simétrica de lilás.

Ele também tem um formato interessante - em forma de coração e com orelhas na base você tem que bufar:

Aqui está o que eles desenharam:

Observe o trabalho resultante à distância e avalie com que precisão conseguimos transmitir a similaridade necessária. Aqui vai uma dica para você: olhe sua imagem no espelho, e ela lhe dirá se há algum erro. Outra maneira: dobre a imagem exatamente ao longo do eixo (já aprendemos como dobrar corretamente) e corte a folha ao longo da linha original. Olhe para a própria figura e para o papel cortado.

Você vai precisar

• - propriedades de pontos simétricos;
• - propriedades de figuras simétricas;
• - régua;
• - quadrado;
• - bússola;
• - lápis;
• - papel;
• - um computador com editor gráfico.

Instrução

Desenhe uma linha a, que será o eixo de simetria. Se suas coordenadas não forem dadas, desenhe-o arbitrariamente. De um lado desta linha, coloque um ponto arbitrário A. você precisa encontrar um ponto simétrico.

Conselho util

As propriedades de simetria são usadas constantemente no programa AutoCAD. Para isso, é utilizada a opção Mirror. Para construir um triângulo isósceles ou um trapézio isósceles, basta desenhar a base inferior e o ângulo entre ela e o lado. Espelhe-os com o comando especificado e estenda os lados para o tamanho necessário. No caso de um triângulo, este será o ponto de sua interseção, e para um trapézio, este será um valor dado.

Você constantemente encontra simetria em editores gráficos quando usa a opção “virar verticalmente / horizontalmente”. Neste caso, uma linha reta correspondente a um dos lados vertical ou horizontal da moldura é tomada como eixo de simetria.

Origens:

• como desenhar simetria central

Construir uma seção de um cone não é uma tarefa tão difícil. O principal é seguir uma sequência estrita de ações. Então esta tarefa será fácil de fazer e não exigirá muito esforço de você.

Você vai precisar

• - papel;
• - caneta;
• - círculo;
• - régua.

Instrução

Ao responder a esta pergunta, primeiro você precisa decidir para quais parâmetros a seção está definida.
Seja esta a linha de interseção do plano l com o plano e o ponto O, que é o ponto de interseção com sua seção.

A construção é ilustrada na Fig.1. O primeiro passo na construção de uma seção é através do centro da seção de seu diâmetro, estendida até l perpendicular a esta linha. Como resultado, obtém-se o ponto L. Além disso, através do ponto O, desenhe uma linha reta LW e construa dois cones direcionadores situados na seção principal O2M e O2C. Na intersecção destas guias encontra-se o ponto Q, bem como o ponto W já mostrado. Estes são os dois primeiros pontos da seção desejada.

Agora desenhe um MC perpendicular na base do cone BB1 ​​e construa os geradores da seção perpendicular O2B e O2B1. Nesta seção, desenhe uma linha reta RG passando por t.O, paralela a BB1. T.R e t.G - mais dois pontos da seção desejada. Se a seção transversal da bola fosse conhecida, ela já poderia ser construída nesta fase. No entanto, esta não é uma elipse, mas algo elíptico, tendo simetria em relação ao segmento QW. Portanto, você deve construir o maior número possível de pontos da seção para conectá-los no futuro com uma curva suave para obter o esboço mais confiável.

Construa um ponto de seção arbitrário. Para isso, desenhe um diâmetro arbitrário AN na base do cone e construa as guias correspondentes O2A e O2N. Por PO traçar uma linha reta passando por PQ e WG, até cruzar com as guias recém-construídas nos pontos P e E. Esses são mais dois pontos da seção desejada. Continuando da mesma forma e mais longe, você pode arbitrariamente pontos desejados.

É verdade que o procedimento para obtê-los pode ser ligeiramente simplificado usando simetria em relação a QW. Para isso, é possível traçar retas SS' paralelas a RG no plano da seção desejada, paralelas a RG até se cruzarem com a superfície do cone. A construção é concluída arredondando a polilinha construída a partir de cordas. Basta construir metade da seção necessária devido à já mencionada simetria em relação a QW.

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Dica 3: Como representar graficamente uma função trigonométrica

Você precisa desenhar cronograma trigonométrico funções? Domine o algoritmo de ações usando o exemplo da construção de uma senóide. Para resolver o problema, use o método de pesquisa.

Você vai precisar

• - régua;
• - lápis;
• - Conhecimentos básicos de trigonometria.

Instrução

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Nota

Se os dois semi-eixos de um hiperbolóide de uma pista são iguais, então a figura pode ser obtida girando uma hipérbole com semi-eixos, um dos quais é o acima, e o outro, que difere de dois iguais, em torno do eixo imaginário.

Conselho util

Ao considerar esta figura em relação aos eixos Oxz e Oyz, fica claro que suas seções principais são hipérboles. E quando uma dada figura espacial de rotação é cortada pelo plano Oxy, sua seção é uma elipse. A elipse da garganta de um hiperbolóide de uma tira passa pela origem, pois z = 0.

A elipse garganta é descrita pela equação x²/a² +y²/b²=1, e as demais elipses são compostas pela equação x²/a² +y²/b²=1+h²/c².

Origens:

• Elipsóides, parabolóides, hiperbolóides. Geradores retilíneos

A forma da estrela de cinco pontas tem sido amplamente utilizada pelo homem desde os tempos antigos. Consideramos bela sua forma, pois inconscientemente distinguimos as proporções da seção áurea, ou seja, a beleza da estrela de cinco pontas é justificada matematicamente. Euclides foi o primeiro a descrever a construção de uma estrela de cinco pontas em seus "Inícios". Vamos dar uma olhada em sua experiência.

Você vai precisar

• régua;
• lápis;
• bússola;
• transferidor.

Instrução

A construção de uma estrela reduz-se à construção e consequente ligação dos seus vértices entre si sequencialmente através de um. Para construir o correto, é necessário quebrar o círculo em cinco.
Construa um círculo arbitrário usando uma bússola. Marque seu centro com um O.

Marque o ponto A e use uma régua para desenhar o segmento de linha OA. Agora você precisa dividir o segmento OA ao meio, para isso, a partir do ponto A, desenhe um arco com raio OA até cruzar com um círculo em dois pontos M e N. Construa um segmento MN. O ponto E, onde MN intercepta OA, irá bifurcar o segmento OA.

Restaure o OD perpendicular ao raio OA e conecte os pontos D e E. Faça o entalhe B no OA do ponto E com o raio ED.

Agora, usando o segmento DB, marque o círculo em cinco partes iguais. Marque os vértices do pentágono regular sequencialmente com números de 1 a 5. Conecte os pontos na seguinte sequência: 1 com 3, 2 com 4, 3 com 5, 4 com 1, 5 com 2. estrela, em um pentágono regular. Foi assim que ele construiu