Três pontos no espaço que não estão na mesma linha reta definem um único plano. Escreva uma equação para um plano que passa por três pontos dados M 1 (X 1 ; no 1 ; z 1), M 2 (X 2 ; no 2 ; z 2), M 3 (X 3 ; no 3 ; z 3). Tome um ponto arbitrário no plano M(X; no; z) e compor vetores = ( x - x 1 ; no– no 1 ; z-z 1), = (X 2 - X 1 ; no 2 – no 1 ; z 2 -z 1), = (X 3 - X 1 ; no 3 – no 1 ; z 3 -z 1). Esses vetores estão no mesmo plano, portanto, são coplanares. Usando a condição de complanaridade de três vetores (seu produto misto é igual a zero), obtemos ∙ ∙ = 0, ou seja.

= 0. (3.5)

A equação (3.5) é chamada a equação de um plano que passa por três pontos dados.

Arranjo mútuo de aviões no espaço

Ângulo entre planos

Sejam dados dois planos

MAS 1 X + NO 1 no + Com 1 z + D 1 = 0,

MAS 2 X + NO 2 no + Com 2 z + D 2 = 0.

Atras do ângulo entre planos tomamos o ângulo φ entre quaisquer dois vetores perpendiculares a eles (o que dá dois ângulos, agudo e obtuso, complementando-se até π). Como os vetores normais dos planos = ( MAS 1 , NO 1 , Com 1) e = ( MAS 2 , NO 2 , Com 2) são perpendiculares a eles, então temos

cosφ = .

A condição de perpendicularidade de dois planos

Se dois planos são perpendiculares, então os vetores normais desses planos também são perpendiculares e seu produto escalar é igual a zero: ∙ = 0. Portanto, a condição para a perpendicularidade de dois planos é

MAS 1 MAS 2 + NO 1 NO 2 + Com 1 Com 2 = 0.

Condição de paralelismo de dois planos

Se os planos são paralelos, então seus vetores normais também serão paralelos. Então as coordenadas de mesmo nome dos vetores normais são proporcionais. Portanto, a condição para planos paralelos é

= = .

Distância do pontoM 0 (x 0 , y 0 , z 0) até o avião Oh + Wu + z + D = 0.

Distância do ponto M 0 (x 0 , y 0 , z 0) para o avião ah + Wu + z + D= 0 é o comprimento da perpendicular traçada deste ponto ao plano, e é encontrado pela fórmula

d= .

Exemplo 1 R(– 1, 2, 7) é perpendicular ao vetor = (3, – 1, 2).

Decisão

De acordo com a equação (3.1) obtemos

3(x + 1) – (s- 2) + 2(z- 7) = 0,

3X – no + 2z – 9 = 0.

Exemplo 2 Escreva uma equação para um plano que passa por um ponto M(2; – 3; – 7) paralelo ao plano 2 X – 6no – 3z + 5 = 0.

Decisão

Vetor = (2; - 6; - 3) perpendicular ao plano também é perpendicular ao plano paralelo. Então o plano desejado passa pelo ponto M(2; – 3; – 7) perpendicular ao vetor = (2; – 6; – 3). Vamos encontrar a equação do plano pela fórmula (3.1):

2(X- 2) – 6(y + 3) – 3(z+ 7) = 0,

2X – 6no – 3z – 43 = 0.

Exemplo 3 Encontre a equação de um plano que passa por pontos M 1 (2; 3; - 1) e M 2 (1; 5; 3) perpendicular ao plano 3 X – no + 3z + 15 = 0.

Decisão

Vetor = (3; - 1; 3) perpendicular ao plano dado será paralelo ao plano desejado. Então o avião passa pelos pontos M 1 e M 2 paralelo ao vetor .

Deixe ser M(x; y; z) um ponto arbitrário do plano, então os vetores = ( X – 2; no – 3; z+ 1), = (– 1; 2; 4), = (3; – 1; 3) são coplanares, então seu produto misto é igual a zero:

= 0.

Calcule o determinante expandindo sobre os elementos da primeira linha:

(X – 2) – (no – 3) + (z + 1) = 0,

10(X- 2) – (– 15)(s- 3) + (– 5)(z+ 1) = 0,

2(X- 2) + 3(s- 3) – (z+ 1) = 0,

2x + 3no – z– 14 = 0 – equação plana.

Exemplo 4 Escreva uma equação para um plano que passa pela origem perpendicular aos planos 2 X – no + 5z+ 3 = 0 e X + 3no – z – 7 = 0.

Decisão

Let Ser o vetor normal do plano desejado. Por condição, o plano é perpendicular a esses planos, portanto e , onde = (2; – 1; 5), = (1; 3; – 1). Então, como um vetor, você pode pegar o produto vetorial dos vetores e , ou seja, = × .

= = – 14 + 7 + 7 .

Substituindo as coordenadas do vetor na equação do plano que passa pela origem Oh + Wu + z= 0, obtemos

– 14X + 7no + 7z = 0,

2X – no – z = 0.

Perguntas para auto-exame

1 Escreva a equação geral do plano.

2 Qual é o significado geométrico dos coeficientes em X, s, z na equação geral do plano?

3 Escreva a equação do plano que passa pelo ponto M 0 (x 0 ; y 0 ; z 0) perpendicular ao vetor = ( MAS; NO; Com).

4 Escreva a equação do plano em segmentos ao longo dos eixos e indique o significado geométrico dos parâmetros nela incluídos.

5 Escreva a equação do plano que passa pelos pontos M 1 (X 1 ; no 1 ; z 1), M 2 (X 2 ; no 2 ; z 2), M 3 (X 3 ; no 3 ; z 3).

6 Escreva a fórmula para encontrar o ângulo entre dois planos.

7 Escreva as condições para o paralelismo de dois planos.

8 Escreva a condição de perpendicularidade de dois planos.

9 Escreva a fórmula pela qual a distância de um ponto a um plano é calculada.

Tarefas para solução independente

1 Escreva uma equação para um plano que passa por um ponto M(2; – 1; 1) perpendicular ao vetor = (1; – 2; 3). ( Responda: X – 2no + 3z – 7 = 0)

2 Ponto R(1; - 2; - 2) é a base da perpendicular traçada da origem ao plano. Escreva uma equação para este plano. ( Responda: X – 2no – 2z – 9 = 0)

3 Dados dois pontos M 1 (2; – 1; 3) e M 2 (– 1; 2; 4). Escreva uma equação para um plano que passa por um ponto M 1 é perpendicular ao vetor . ( Responda: 3X – 3no – z – 6 = 0)

4 Escreva uma equação para um plano que passa por três pontos M 1 (3; – 1; 2), M 2 (4; – 1; – 1), M 3 (2; 0; 2). (Responda: 3X + 3no + z – 8 = 0)

5 M 1 (3; – 1; 2) e M 2 (2; 1; 3) paralelo ao vetor = (3; - 1; 4). ( Responda: 9X + 7no – 5z – 10 = 0)

6 Escreva uma equação para um plano que passa por um ponto M 1 (2; 3; – 4) paralela aos vetores = (3; 1; – 1) e = (1; – 2; 1). ( Responda: X + no + 7z + 14 = 0)

7 Escreva uma equação para um plano que passa por um ponto M(1; – 1; 1) perpendicular aos planos 2 X – no + z– 1 = 0 e X + 2no – z + 1 = 0. (Responda: X – 3no – 5z + 1 = 0)

8 Escreva uma equação para um plano que passa pelos pontos M 1 (1; 0; 1) e M 2 (1; 2; – 3) perpendicular ao plano X – no + z – 1 = 0. (Responda: X + 2no + z – 2 = 0)

9 Encontre o ângulo entre os planos 4 X – 5no + 3z– 1 = 0 e X – 4no – z + 9 = 0. (Responda: φ = arcos0,7)

10 Encontrar distância do ponto M(2; – 1; – 1) até o plano 16 X – 12no + 15z – 4 = 0. (Responda: d = 1)

11 Encontre o ponto de intersecção de três planos 5 X + 8no – z – 7 = 0, X + 2no + 3z – 1 = 0, 2X – 3no + 2z – 9 = 0. (Responda: (3; – 1; 0))

12 Escreva uma equação para um plano que passa pelos pontos M 1 (1; – 2; 6) e M 2 (5; - 4; 2) e corta segmentos iguais nos eixos Oh e UO. (Responda: 4X + 4no + z – 2 = 0)

13 Encontre a distância entre os aviões X + 2no – 2z+ 2 = 0 e 3 X + 6no – 6z – 4 = 0. (Responda: d = )

Usando esta calculadora online, você pode encontrar a equação de um plano que passa por um determinado ponto e é paralelo a um determinado plano. Uma solução detalhada com explicações é fornecida. Para encontrar a equação do plano, insira as coordenadas do ponto e os coeficientes da equação do plano nas células e clique no botão "Resolver".

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Equação de um plano que passa por um determinado ponto e paralelo a um determinado plano - teoria, exemplos e soluções

Seja dado um ponto M 0 (x 0 , y 0 , z 0) e a equação do plano

Todos os planos paralelos têm vetores normais colineares. Portanto, para construir um plano paralelo a (1) passando pelo ponto M 0 (x 0 , y 0 , z 0) você precisa tomar como vetor normal do plano desejado, o vetor normal n=(A, B, C) plano (1). Em seguida, você precisa encontrar esse valor D, em que o ponto M 0 (x 0 , y 0 , z 0) satisfez a equação do plano (1):

Substituindo valor D de (3) a (1), obtemos:

A equação (5) é a equação de um plano que passa pelo ponto M 0 (x 0 , y 0 , z 0) e paralela ao plano (1).

Encontre a equação de um plano que passa por um ponto M 0 (1, −6, 2) e paralelo ao plano:

Substituindo as coordenadas do ponto M 0 e as coordenadas do vetor normal em (3), obtemos.

Aula 5

1. Escreva uma equação para um plano que passa por um ponto M 0 (1, -2, 5) paralelo ao plano 7 x-y-2z-1=0.

Decisão. Denotado por R dado plano, deixe R 0 é o plano paralelo desejado que passa pelo ponto M 0 (1, -2, 5).

Considere o vetor normal (perpendicular) plano R. As coordenadas do vetor normal são os coeficientes das variáveis ​​na equação do plano 
.

Porque os aviões R e R 0 são paralelos, então o vetor perpendicular ao plano R 0 , ou seja é o vetor normal do plano R 0 .

Equação de um plano que passa por um ponto M 0 (x 0 , y 0 , z 0) com normal
:

Substituir coordenadas do ponto M 0 e vetores normais na equação (1):

Expandindo os colchetes, obtemos a equação geral do plano (resposta final):

2. Compor equações canônicas e paramétricas de uma linha reta que passa por um ponto M 0 (-2, 3, 0) paralelo à linha
.

Decisão. Denotado por eu linha dada, deixe eu 0 é a reta paralela desejada que passa pelo ponto M 0 (-2,3,0).

Vetor de guia Em linha reta eu(um vetor diferente de zero paralelo a esta linha) também é paralelo à linha eu 0 . Portanto, o vetor é o vetor de direção da linha eu 0 .

Coordenadas do vetor guia são iguais aos denominadores correspondentes nas equações canônicas da linha dada

.

Equações canônicas de uma linha reta no espaço que passa por um ponto M 0 (x 0 , y 0 , z {eu, m, n}

. (2)

Substituir coordenadas do ponto M 0 e vetor de direção na equação (2) e obtenha as equações canônicas da linha reta:

.

Equações paramétricas de uma linha reta no espaço que passa por um ponto M 0 (x 0 , y 0 , z 0) paralelo a um vetor diferente de zero {eu, m, n), tem a forma:

(3)

Substituir coordenadas do ponto M 0 e vetor de direção nas equações (3) e obtenha as equações paramétricas da linha reta:

3. Encontre um ponto
, simétrico ao ponto
, em relação a: a) direto
b) aviões

Decisão. a) Componha a equação do plano perpendicular P projetando um ponto
a esta linha:

Encontrar
usamos a condição de perpendicularidade da linha reta dada e do plano de projeção. Vetor de direção reto
perpendicular ao plano  vetor
é o vetor normal
ao plano  A equação de um plano perpendicular a uma dada reta tem a forma ou

Vamos encontrar a projeção R pontos M Em linha reta. Ponto Ré o ponto de intersecção da linha com o plano, ou seja, suas coordenadas devem satisfazer simultaneamente as equações de uma linha reta e a equação de um plano. Vamos resolver o sistema:

.

Para resolvê-lo, escrevemos a equação de uma linha reta na forma paramétrica:

Substituindo expressões por
na equação do plano, temos:

A partir daqui encontramos as coordenadas encontradas - estas são as coordenadas do meio R segmento de reta conectando um ponto
e um ponto simétrico a ele

No curso escolar de geometria, um teorema foi formulado.

Os pontos médios de um segmento são metade das somas das coordenadas correspondentes de suas extremidades.

Encontrar as coordenadas de um ponto
das fórmulas para as coordenadas do meio do segmento:

Obtemos: Então
.

Decisão. b) Para encontrar um ponto simétrico a um ponto
em relação a este plano P, solte a perpendicular do ponto
a este plano. Componha a equação de uma linha reta com um vetor de direção
passando pelo ponto
:

Perpendicularidade de uma linha e um plano significa que o vetor de direção da linha é perpendicular ao plano 
. Então a equação da linha reta projetando o ponto
em um determinado plano, tem a forma:

Resolvendo as equações juntos
e
encontre a projeção R pontos
ao avião. Para fazer isso, reescrevemos as equações da linha reta em uma forma paramétrica:

Substituir esses valores
na equação do plano: Da mesma forma que o item a), usando as fórmulas para as coordenadas do meio do segmento, encontramos as coordenadas do ponto simétrico
:

Aqueles.
.

4. Escreva uma equação para um plano que passa por a) uma linha reta
paralelo ao vetor
; b) por duas linhas que se cruzam
e
(comprovando previamente que eles se cruzam); c) por duas retas paralelas
e
; d) por uma linha reta
e apontar
.

Decisão. a) Como a reta dada está no plano desejado e o plano desejado é paralelo ao vetor , então o vetor normal do plano será perpendicular ao vetor diretor da linha
e vetor .

Portanto, como vetor normal do plano, pode-se escolher o produto vetorial dos vetores e :

Obtemos as coordenadas do vetor normal do plano
.

Vamos encontrar um ponto na linha. Igualando as razões nas equações canônicas da linha reta a zero:

,

encontrar
,
,
. Uma dada reta passa por um ponto
, portanto, o plano também passa pelo ponto
. Usando a equação de um plano que passa por um ponto dado perpendicular ao vetor , obtemos a equação do plano , ou , ou, finalmente,
.

Decisão. b) Duas linhas no espaço podem se cruzar, cruzar ou ser paralelas. Dadas linhas retas

e
(4)

não são paralelos porque seus vetores de direção
e
não colinear:
.

Como verificar se as linhas se cruzam? É possível resolver o sistema (4) de 4 equações com 3 incógnitas. Se o sistema tiver uma solução única, obteremos as coordenadas do ponto de interseção das linhas. No entanto, para resolver nosso problema - construir um plano no qual ambas as linhas se encontram, seu ponto de interseção não é necessário. Portanto, é possível formular a condição para a interseção de duas retas não paralelas no espaço sem encontrar o ponto de interseção.

Se duas linhas não paralelas se cruzam, então os vetores de direção
,
e juntando os pontos que se encontram nas linhas
e
vetor estão no mesmo plano, ou seja, coplanar  o produto misto desses vetores é igual a zero:

. (5)

Nós igualamos as razões nas equações canônicas de linhas a zero (ou a 1 ou qualquer número)

e
,

e encontre as coordenadas dos pontos nas linhas. A primeira linha passa pelo ponto
, e a segunda reta que passa pelo ponto
. Os vetores de direção dessas linhas são respectivamente iguais a
e
. Nós temos

A igualdade (5) é satisfeita, portanto, as linhas dadas se cruzam. Isso significa que há apenas um plano passando por essas duas linhas.

Vamos passar para a segunda parte do problema - elaborando a equação do plano.

Como um vetor normal do plano, você pode escolher o produto vetorial de seus vetores de direção e :

Coordenadas vetoriais normais do plano
.

Descobrimos que o direto
atravessa
, portanto, o plano desejado também passa por este ponto. Obtemos a equação do plano, ou
ou, finalmente,
.

c) Uma vez que as linhas
e
são paralelos, então o produto vetorial de seus vetores de direção não pode ser escolhido como um vetor normal, ele será igual ao vetor zero.

Determine as coordenadas dos pontos
e
por onde passam essas linhas. Deixe ser
e
, então
,
. Vamos calcular as coordenadas do vetor . Vetor
está no plano desejado e não é colinear ao vetor , então como seu vetor normal você pode escolher o produto vetorial de um vetor
e vetor de direção da primeira linha
:

Então,
.

O avião passa por uma linha reta
, então passa pelo ponto
. Obtemos a equação do plano: , ou .

d) Igualando as razões nas equações canônicas da linha reta a zero
, nós achamos
,
,
. Portanto, a reta passa pelo ponto
.

Vamos calcular as coordenadas do vetor . Vetor
pertence ao plano desejado, como seu vetor normal escolha o produto vetorial do vetor diretor da linha reta
e vetor
:

Então a equação do plano tem a forma: , ou .

Este artigo contém as informações necessárias para resolver o problema de compilar a equação de um plano que passa por uma determinada reta e um determinado ponto. Depois de resolver este problema de forma geral, daremos soluções detalhadas de exemplos para compilar uma equação para um plano que passa por uma determinada linha e ponto.

Navegação da página.

Encontrar a equação de um plano que passa por uma dada reta e um dado ponto.

Seja Oxyz fixo no espaço tridimensional, uma linha a e um ponto que não esteja na linha a sejam dados. Vamos nos propor a tarefa: obter a equação do plano que passa pela reta a e pelo ponto M 3.

Vamos primeiro mostrar que existe um único plano cuja equação queremos escrever.

Lembre-se de dois axiomas:

• por três pontos diferentes do espaço que não estão em uma linha reta, um único plano passa;
• se dois pontos distintos de uma linha estão em um determinado plano, então todos os pontos dessa linha estão nesse plano.

Destas afirmações segue-se que através de uma linha e de um ponto que não está sobre ela, pode-se traçar um plano. Assim, no problema proposto por nós, um único plano passa pela reta a e pelo ponto M 3 , e precisamos escrever a equação desse plano.

Agora vamos começar a encontrar a equação do plano que passa pela reta dada a e pelo ponto .

Se a reta a é dada especificando as coordenadas de dois pontos diferentes M 1 e M 2 que se encontram sobre ela, então nossa tarefa é encontrar a equação do plano que passa pelos três pontos dados M 1 , M 2 e M 3 .

Se a linha a é dada de forma diferente, então primeiro temos que encontrar as coordenadas de dois pontos M 1 e M 2 situados na linha a, e depois escrever a equação do plano que passa pelos três pontos M 1, M 2 e M 3, que será a equação desejada do plano que passa pela reta a e pelo ponto M 3 .

Vamos descobrir como encontrar as coordenadas de dois pontos diferentes M 1 e M 2 situados em uma determinada linha a.

Em um sistema de coordenadas retangulares no espaço, qualquer linha reta corresponde a algumas equações de uma linha reta no espaço. Assumimos que o método de especificar a linha a na condição do problema nos permite obter suas equações paramétricas da linha no espaço da forma . Então, supondo , temos um ponto , deitado na linha a . Dando ao parâmetro um valor real diferente de zero, a partir das equações paramétricas da reta a podemos calcular as coordenadas do ponto M 2 , que também está na reta a e é diferente do ponto M 1 .

Depois disso, teremos apenas que escrever a equação do plano que passa por três pontos diferentes e não está em um ponto reto e , na forma .

Assim, obtivemos a equação de um plano que passa por uma dada reta a e um dado ponto M 3 que não pertence à reta a.

Exemplos de compilação da equação de um plano que passa por um determinado ponto e uma linha reta.

Vamos mostrar as soluções de vários exemplos, nos quais analisaremos o método considerado para encontrar a equação de um plano que passa por uma determinada reta e um determinado ponto.

Vamos começar com o caso mais simples.

Exemplo.

Decisão.

Pegue dois pontos diferentes na linha de coordenadas Ox, por exemplo, e .

Agora temos a equação de um plano que passa por três pontos M 1, M 2 e M 3:

Esta equação é a equação geral desejada do plano que passa pela reta dada Ox e o ponto .

Responda:

.

Se se sabe que o plano passa por um determinado ponto e uma determinada linha reta, e é necessário escrever a equação do plano em segmentos ou a equação normal do plano, você deve primeiro obter a equação geral do dado plano, e a partir dele prossiga para a equação do plano da forma requerida.

Exemplo.

Escreva a equação normal de um plano que passa por uma linha reta. e apontar .

Decisão.

Primeiro, escrevemos a equação geral para um determinado plano. Para fazer isso, encontramos as coordenadas de dois pontos diferentes em uma linha reta . As equações paramétricas desta reta têm a forma . Deixe o ponto M 1 corresponder ao valor, e o ponto M 2 -. Calculamos as coordenadas dos pontos M 1 e M 2:

Agora podemos escrever a equação geral de uma linha reta que passa por um ponto e direto :

Resta obter a forma necessária da equação do plano multiplicando ambas as partes da equação resultante pelo fator de normalização .

Responda:

.

Assim, encontrar a equação de um plano que passa por um determinado ponto e uma determinada linha reta depende de encontrar as coordenadas de dois pontos diferentes situados em uma determinada linha reta. Esta é muitas vezes a principal dificuldade na resolução de tais problemas. Em conclusão, analisaremos a solução do exemplo para a compilação da equação de um plano que passa por um dado ponto e uma reta, que é determinada pelas equações de dois planos que se cruzam.

Exemplo.

Em um sistema de coordenadas retangulares Oxyz dado um ponto e uma linha a , que é a linha de intersecção de dois planos e . Escreva a equação do plano que passa pela reta a e pelo ponto M 3 .

Considere um plano Q no espaço.Sua posição é completamente determinada pela especificação de um vetor N perpendicular a esse plano e algum ponto fixo situado no plano Q. O vetor N perpendicular ao plano Q é chamado de vetor normal desse plano. Se denotarmos por A, B e C as projeções do vetor normal N, então

Vamos derivar a equação do plano Q passando pelo ponto dado e tendo o vetor normal dado . Para fazer isso, considere um vetor conectando um ponto com um ponto arbitrário do plano Q (Fig. 81).

Para qualquer posição do ponto M no plano Q, o vetor MXM é perpendicular ao vetor normal N do plano Q. Portanto, o produto escalar Vamos escrever o produto escalar em termos de projeções. Como , e vetor , então

e, portanto

Mostramos que as coordenadas de qualquer ponto do plano Q satisfazem a equação (4). É fácil ver que as coordenadas dos pontos que não estão no plano Q não satisfazem esta equação (no último caso, ). Portanto, obtivemos a equação requerida do plano Q. A equação (4) é chamada de equação do plano que passa pelo ponto dado. É do primeiro grau em relação às coordenadas atuais

Assim, mostramos que qualquer plano corresponde a uma equação de primeiro grau em relação às coordenadas atuais.

Exemplo 1. Escreva a equação de um plano que passa por um ponto perpendicular ao vetor.

Decisão. Aqui . Com base na fórmula (4), obtemos

ou, após simplificação,

Dando os coeficientes A, B e C da equação (4) valores diferentes, podemos obter a equação de qualquer plano que passa pelo ponto . O conjunto de planos que passam por um determinado ponto é chamado de conjunto de planos. A equação (4), na qual os coeficientes A, B e C podem assumir quaisquer valores, é chamada de equação de um feixe de planos.

Exemplo 2. Escreva uma equação para um plano que passa por três pontos (Fig. 82).

Decisão. Vamos escrever a equação para um monte de planos que passam por um ponto