O conceito mais importante na teoria dos espaços lineares é a dependência linear dos vetores. Antes de definir este conceito, vejamos alguns exemplos.

Exemplos. 1. Dado o seguinte sistema de três vetores do espaço Tk:

É fácil ver que ou

2. Tomemos agora outro sistema de vetores de

É difícil ver uma relação semelhante à igualdade (1) para este sistema de vetores. No entanto, é fácil verificar que

Os coeficientes 4, -7,5 da relação (2) podem ser encontrados como segue. Vamos denotá-los como desconhecidos, vamos resolver a equação vetorial:

Realizadas as operações indicadas de multiplicação e adição e passando para a igualdade das componentes do vetor em (2), obtemos um sistema homogêneo de equações lineares em relação a

Uma solução para este sistema é:

3. Considere o sistema de vetores:

Igualdade

leva a um sistema de equações que tem uma única solução - zero. (Verifique!) Assim, da igualdade (3) segue,

Em outras palavras, a igualdade (3) é satisfeita apenas para

Os sistemas de vetor nos exemplos 1-2 são linearmente dependentes, o sistema do exemplo 3 é linearmente independente.

Definição 3. Um sistema de vetores em um espaço linear sobre um corpo é dito linearmente dependente se não houver todos os números do corpo R iguais a zero tal que

Se para vetores a igualdade ocorre apenas em então o sistema de vetores é chamado linearmente independente.

Observe que a propriedade de dependência e independência linear é uma propriedade de um sistema de vetores. No entanto, os mesmos adjetivos são amplamente utilizados na literatura quando aplicados diretamente aos próprios vetores, e dizem, com liberdade de expressão, "um sistema de vetores linearmente independentes" e até "vetores são linearmente independentes".

Se houver apenas um vetor a no sistema, então para a propriedade 6 (§ 2) segue de Segue-se que o sistema consistindo de um vetor diferente de zero é linearmente independente. Pelo contrário, qualquer sistema de vetores contendo zero vetor 0 é linearmente dependente. Por exemplo, se então

Se o sistema de dois vetores for linearmente dependente, então a igualdade vale para (ou . Então

ou seja, os vetores são proporcionais. A recíproca também é verdadeira, uma vez que segue de. Portanto, um sistema de dois vetores é linearmente dependente se e somente se os vetores são proporcionais.

Os vetores proporcionais de estão na mesma linha reta; em conexão com isso e no caso geral, os vetores proporcionais são às vezes chamados de colineares.

Notamos algumas propriedades da dependência linear de vetores.

Propriedade 1. Um sistema de vetores contendo um subsistema linearmente dependente é linearmente dependente.

Seja um subsistema linearmente dependente

Então não existem todos os números zero tais que

Adicionando os vetores restantes do sistema dado com coeficientes zero ao lado esquerdo desta igualdade, obtemos o necessário.

Segue-se da propriedade 1 que qualquer subsistema de um sistema de vetores linearmente independente é linearmente independente.

Propriedade 2. Se o sistema de vetores

é linearmente independente, e o sistema de vetores

é linearmente dependente, então o vetor é expresso linearmente em termos dos vetores do sistema (4).

Como o sistema de vetores (5) é linearmente dependente, não existem todos os números iguais a zero tais que

Se então e então coeficientes diferentes de zero estarão entre os quais significaria uma dependência linear do sistema (4). Daí, e

Propriedade 3. Sistema ordenado de vetores diferentes de zero

é linearmente dependente se e somente se algum vetor é uma combinação linear de vetores anteriores.

Seja o sistema linearmente dependente. Porque o vetor é linearmente independente. Denote pelo menor número natural para o qual o sistema é linearmente dependente. (Isso existe: no caso extremo, se os sistemas são linearmente independentes, então nem todos os números são iguais a zero, de modo que a igualdade

Se então coeficientes diferentes de zero estariam entre e a igualdade seria válida

o que significaria uma dependência linear do sistema, mas isso contrariaria a escolha do número.

Por outro lado, da igualdade (7) a propriedade 1 implica uma dependência linear do sistema

A propriedade 3 implica facilmente que um sistema de vetores é linearmente dependente se e somente se pelo menos um de seus vetores é expresso linearmente em termos dos outros. Nesse sentido, dizem que o conceito de dependência linear equivale ao conceito de expressibilidade linear.

Propriedade 4. Se o vetor x é expresso linearmente em termos dos vetores do sistema

e o vetor é expresso linearmente em termos dos demais vetores do sistema (8), então o vetor também é expresso linearmente em termos desses vetores do sistema (8).

De fato,

Agora podemos provar um dos teoremas mais importantes sobre a dependência linear de vetores.

Teorema 1. Se cada vetor de um sistema linearmente independente

é uma combinação linear de vetores

então Em outras palavras, em um sistema linearmente independente de vetores que são combinações lineares de vetores, o número de vetores não pode ser maior que

Prova. 1º passo. Vamos construir um sistema

Por suposição, cada vetor do sistema (9), em particular, o vetor é expresso linearmente em termos de vetores (10) e, portanto, o sistema (11) é linearmente dependente. Pela propriedade 3 do sistema (11), algum vetor onde é expresso linearmente em termos dos vetores anteriores e, portanto, também em termos dos vetores do sistema

obtido de (11) deletando o vetor Daqui, pela propriedade 4, temos: cada vetor do sistema (9) é expresso linearmente em termos dos vetores do sistema (12).

2º passo. Aplicando o mesmo raciocínio do passo para sistemas de vetores

e (12) e levando em conta que o sistema de vetores é linearmente independente, obtemos um sistema de vetores

através do qual todos os vetores do sistema (9) são expressos linearmente.

Se assumirmos que, continuando esse processo, esgotaremos todos os vetores por etapas e obteremos o sistema

tal que cada vetor do sistema (9), em particular, é expresso linearmente em termos dos vetores do sistema (14). Então o sistema (9) se torna linearmente dependente, o que contradiz a condição. Resta aceitar que

Vamos agora considerar o que significa a dependência linear de vetores em diferentes espaços.

1. Espaço Se um sistema de dois vetores é linearmente dependente, então ou, ou seja, os vetores são colineares. O contrário também é verdade. Um sistema de três vetores espaciais é linearmente dependente se e somente se eles estiverem no mesmo plano. (Prove!) O sistema de quatro vetores espaciais é sempre linearmente dependente. De fato, se qualquer subsistema do nosso sistema é linearmente dependente, então todo o sistema é linearmente dependente. Se nenhum subsistema próprio é linearmente dependente, então, de acordo com o anterior, isso significa que não há três vetores do nosso sistema no mesmo plano. Segue-se então de considerações geométricas que existem números reais tais que o paralelepípedo com vetores de aresta terá uma diagonal, ou seja, na igualdade

Passemos à descrição das propriedades dos espaços lineares. Em primeiro lugar, eles incluem as relações entre seus elementos.

Combinação linear elementos sobre o corpo dos números reais R elemento chamado

Definição. Um conjunto de elementos , é chamado linearmente independente, se por igualdade

segue-se necessariamente que ,. É claro que qualquer parte dos elementos de também é linearmente independente. Se pelo menos um deles, então o conjunto é chamado linearmente dependente.

ExemploIII.6. Seja dado um conjunto vetorial. Se um dos vetores for, por exemplo, então tal sistema de vetores é linearmente dependente. De fato, seja o conjunto,, …,,, …, linearmente independente, então segue da igualdade que.

Somando a este conjunto o vetor multiplicado por, ainda temos a igualdade

Portanto, o conjunto de vetores, assim como quaisquer outros elementos contendo um elemento zero, é sempre linearmente dependente ▼.

Comente. Se o conjunto de vetores é vazio, então é linearmente independente. De fato, se não houver índices, é impossível escolher os números diferentes de zero correspondentes para eles, de modo que a soma da forma (III.2) seja igual a 0. Essa interpretação da independência linear pode ser tomada como um prova, especialmente porque tal resultado está de acordo com a teoria 11.

Em conexão com o acima, a definição de independência linear pode ser formulada da seguinte forma: um conjunto de elementos é linearmente independente se e não há índice para o qual. Em particular, este conjunto também pode estar vazio.

ExemploIII.7. Quaisquer dois vetores deslizantes são linearmente dependentes. Lembre-se de que os vetores deslizantes são vetores que se encontram em uma linha reta. Tomando um vetor unitário, você pode obter qualquer outro vetor multiplicando pelo número real correspondente, ou seja, ou. Portanto, já quaisquer dois vetores no espaço unidimensional são linearmente dependentes.

ExemploIII.8. Considere o espaço de polinômios, onde ,,,. Vamos escrever

Assumindo ,,, obtemos, identicamente em t

isto é, o conjunto é linearmente dependente. Observe que qualquer conjunto finito da forma , é linearmente independente. Para prova, considere o caso, então da igualdade

no caso da suposição de sua dependência linear, seguiria que não existem todos os números iguais a zero  1 ,  2 ,  3 , que é idêntico para qualquer (III.3), mas isso contradiz o teorema fundamental da álgebra: qualquer polinômio n-º grau não tem mais de n raízes reais. No nosso caso, esta equação tem apenas duas raízes, e não um número infinito delas. Temos uma contradição.

§ 2. Combinações lineares. bases

Deixe ser . Diremos que há combinação linear elementos.

TeoremaIII.1 (principal). O conjunto de elementos diferentes de zero é linearmente dependente se e somente se algum elemento é uma combinação linear dos elementos precedentes.

Prova. Necessidade. Suponha que os elementos ,, …, sejam linearmente dependentes e seja o primeiro número natural para o qual os elementos ,, …, são linearmente dependentes, então

para nem todos iguais a zero e necessariamente (caso contrário esse coeficiente seria, o que contraria o afirmado). Portanto, temos uma combinação linear

Adequaçãoé óbvio porque todo conjunto contendo um conjunto linearmente dependente é ele próprio linearmente dependente ▼.

Definição. Base (sistema de coordenadas) de um espaço linear eué chamado de conjunto UMA elementos linearmente independentes, de modo que cada elemento de eué uma combinação linear de elementos de UMA, 11.

Vamos considerar espaços lineares de dimensão finita ,.

ExemploIII.9. Considere um espaço vetorial tridimensional. Tome vetores unitários,,. Eles formam a base para

Vamos mostrar que os vetores são linearmente independentes. Com efeito, temos

ou . A partir daqui, de acordo com as regras de multiplicação de um vetor por um número e adição de vetores (Exemplo III.2), obtemos

Portanto, ,,▼.

Seja um vetor de espaço arbitrário; então, com base nos axiomas do espaço linear, obtemos

Raciocínio semelhante é válido para um espaço com base, . Segue do teorema principal que em um espaço linear arbitrário de dimensão finita eu qualquer elemento pode ser representado como uma combinação linear de seus elementos básicos,, ...,, ou seja,

Além disso, tal decomposição é única. Com efeito, tenhamos

então após a subtração temos

Assim, devido à independência dos elementos ,,

Isso é ▼.

TeoremaIII.2 (em adição à base). Let Ser um espaço linear de dimensão finita e ser algum conjunto de elementos linearmente independentes. Se eles não formam uma base, então é possível encontrar tais elementos,, ...,, em que o conjunto de elementos forma uma base. Ou seja, cada conjunto linearmente independente de elementos de um espaço linear pode ser completado até uma base.

Prova. Como o espaço é de dimensão finita, ele tem uma base que consiste, por exemplo, em n elementos, sejam estes elementos. Considere um conjunto de elementos.

Vamos aplicar o teorema principal. Na ordem dos elementos, considere o conjunto UMA. É obviamente linearmente dependente, uma vez que qualquer um dos elementos é uma combinação linear,,. Como os elementos,, ..., são linearmente independentes, então somando-se elementos a ele sequencialmente até que o primeiro elemento apareça, por exemplo, tal que seja uma combinação linear dos vetores anteriores deste conjunto, ou seja. Removendo este elemento do conjunto UMA, Nós temos . Continuamos este procedimento até que este conjunto contenha n elementos linearmente independentes, entre os quais todos os elementos ,, ..., e n-m dos elementos. O conjunto resultante será a base ▼.

ExemploIII.10. Prove que os vetores ,, e formam um conjunto linearmente dependente, e quaisquer três deles são linearmente independentes.

Vamos mostrar que não existem todos os números zero para os quais

De fato, para , temos

A dependência linear é comprovada. Vamos mostrar que um triplo de vetores, por exemplo ,,, forma uma base. Vamos fazer uma igualdade

Executando ações com vetores, obtemos

Equacionando as coordenadas correspondentes nas partes direita e esquerda da última igualdade, obtemos o sistema de equações ,,, resolvendo-o, obtemos.

Um raciocínio semelhante é válido para as triplas restantes de vetores ,, ou ,,.

TeoremaIII.3 (sobre a dimensão do espaço). Todas as bases de um espaço linear de dimensão finita eu consistem no mesmo número de elementos básicos.

Prova. Sejam dados dois conjuntos, onde;,. Atribuímos a cada um deles uma das duas propriedades que determinam a base: 1) através dos elementos do conjunto UMA quaisquer elementos de eu, 2) elementos do conjunto B representam um conjunto linearmente independente, mas não necessariamente todos eles. eu. Vamos supor que os elementos UMA e B ordenado.

Considere o conjunto UMA e aplicar aos seus elementos m vezes o método do teorema principal. Uma vez que os elementos de B são linearmente independentes, então obtemos, como antes, um conjunto linearmente dependente

De fato, se , então obteríamos um conjunto linearmente independente, e o restante n definir elementos B seria expresso linearmente através deles, o que é impossível, o que significa . Mas isso também não pode ser, pois por construção o conjunto (III.4) tem a propriedade da base do conjunto UMA. Porque o espaço eu de dimensão finita, então apenas , ou seja, duas bases diferentes do espaço eu consistem no mesmo número de elementos ▼.

Consequência. Em qualquer n espaço linear tridimensional () você pode encontrar infinitas bases.

Prova segue da regra da multiplicação de elementos de um espaço linear (vetorial) por um número.

Definição. A dimensão de um espaço linear eué o número de elementos que compõem sua base.

Decorre da definição que o conjunto vazio de elementos - um espaço linear trivial - tem dimensão 0, o que, como se deve notar, justifica a terminologia de dependência linear e permite afirmar: n espaço tridimensional tem dimensão n, .

Assim, resumindo o que foi dito, obtemos que cada conjunto de n+1 item n o espaço linear dimensional é linearmente dependente; conjunto de n elementos de um espaço linear é uma base se e somente se for linearmente independente (ou cada elemento do espaço é uma combinação linear de elementos de sua base); em qualquer espaço linear, o número de bases é infinito.

ExemploIII.11 (teorema de Kronecker–Cappelli).

Vamos ter um sistema de equações algébricas lineares

Onde UMA – matriz de coeficientes do sistema,  matriz estendida de coeficientes do sistema

Onde , (III.6)

esta notação é equivalente ao sistema de equações (III.5).

TeoremaIII.4 (Kronecker - Capelli). O sistema de equações algébricas lineares (III.5) é consistente se e somente se o posto da matriz A for igual ao posto da matriz , isto é.

Prova.Necessidade. Seja o sistema (III.5) consistente, então ele tem uma solução: ,,. Considerando (III.6), , mas neste caso há uma combinação linear de vetores,, …,. Portanto, através do conjunto de vetores,,, ..., pode-se expressar qualquer vetor de. Significa que.

Adequação. Deixe ser . Escolhemos qualquer base de ,, ...,, então ela é expressa linearmente através da base (pode ser tanto todos os vetores quanto sua parte) e assim, através de todos os vetores,. Isso significa que o sistema de equações é consistente ▼.

Considerar n espaço linear tridimensional eu. Cada vetor pode ser representado como uma combinação linear , onde o conjunto consiste em vetores de base. Reescrevemos a combinação linear na forma e estabelecemos uma correspondência biunívoca entre os elementos e suas coordenadas

Isso significa que entre n espaço vetorial linear tridimensional de vetores sobre n campo dimensional de números reais estabeleceu uma correspondência um-para-um.

Definição. Dois espaços lineares e sobre o mesmo campo escalar isomórfico se for possível estabelecer uma correspondência biunívoca entre seus elementos f, para que

ou seja, um isomorfismo é entendido como uma correspondência biunívoca que preserva todas as relações lineares. É claro que os espaços isomórficos têm a mesma dimensão.

Segue-se do exemplo e da definição de isomorfismo que, do ponto de vista do estudo dos problemas de linearidade, os espaços isomórficos são os mesmos, portanto, formalmente ao invés denespaço linear tridimensionaleuacima do campo, apenas o campo pode ser estudado.

Tarefa 1. Descubra se o sistema de vetores é linearmente independente. O sistema de vetores será definido pela matriz do sistema, cujas colunas consistem nas coordenadas dos vetores.

Decisão. Seja a combinação linear igual a zero. Tendo escrito esta igualdade em coordenadas, obtemos o seguinte sistema de equações:

Tal sistema de equações é chamado triangular. Tem apenas uma solução. Portanto, os vetores são linearmente independentes.

Tarefa 2. Descubra se o sistema de vetores é linearmente independente.

Decisão. Os vetores são linearmente independentes (veja o Problema 1). Vamos provar que o vetor é uma combinação linear de vetores . Os coeficientes de expansão em vetores são determinados a partir do sistema de equações

Este sistema, como um triangular, tem uma solução única.

Portanto, o sistema de vetores é linearmente dependente.

Comente. Matrizes como no problema 1 são chamadas triangular , e no problema 2 – triangular escalonado . A questão da dependência linear de um sistema de vetores é facilmente resolvida se a matriz composta pelas coordenadas desses vetores for triangular passo a passo. Se a matriz não tiver uma forma especial, então usando transformações elementares de strings , preservando as relações lineares entre os pilares, pode ser reduzido a uma forma triangular escalonada.

Transformações elementares de string matrizes (EPS) são chamadas as seguintes operações na matriz:

1) permutação de linhas;

2) multiplicar uma string por um número diferente de zero;

3) adicionar à string outra string, multiplicada por um número arbitrário.

Tarefa 3. Encontre o subsistema linearmente independente máximo e calcule o posto do sistema de vetores

Decisão. Vamos reduzir a matriz do sistema com a ajuda de EPS para uma forma triangular escalonada. Para explicar o procedimento, a linha com o número da matriz a ser transformada será denotada pelo símbolo . A coluna após a seta mostra as ações a serem realizadas nas linhas da matriz convertida para obter as linhas da nova matriz.

Obviamente, as duas primeiras colunas da matriz resultante são linearmente independentes, a terceira coluna é sua combinação linear e a quarta não depende das duas primeiras. Os vetores são chamados básicos. Eles formam o subsistema linearmente independente máximo do sistema , e a classificação do sistema é três.

Base, coordenadas

Tarefa 4. Encontre a base e as coordenadas dos vetores nesta base no conjunto de vetores geométricos cujas coordenadas satisfazem a condição .

Decisão. O conjunto é um plano que passa pela origem. Uma base arbitrária no plano consiste em dois vetores não colineares. As coordenadas dos vetores na base selecionada são determinadas resolvendo o sistema de equações lineares correspondente.

Existe outra maneira de resolver esse problema, quando você pode encontrar a base por coordenadas.

As coordenadas do espaço não são coordenadas no plano, pois estão relacionadas pela relação, ou seja, não são independentes. As variáveis ​​independentes e (chamadas livres) determinam de forma única o vetor no plano e, portanto, podem ser escolhidas como coordenadas em . Então a base consiste em vetores que se encontram e correspondem a conjuntos de variáveis ​​livres e , ou seja, .

Tarefa 5. Encontre a base e as coordenadas dos vetores nesta base no conjunto de todos os vetores no espaço , cujas coordenadas ímpares são iguais entre si.

Decisão. Escolhemos, como no problema anterior, coordenadas no espaço .

Como , as variáveis ​​livres determinam exclusivamente o vetor de e, portanto, são coordenadas. A base correspondente consiste em vetores .

Tarefa 6. Encontre a base e as coordenadas dos vetores nesta base no conjunto de todas as matrizes da forma , onde são números arbitrários.

Decisão. Cada matriz de pode ser representada exclusivamente como:

Esta relação é a expansão do vetor a partir de uma base com coordenadas .

Tarefa 7. Encontre a dimensão e a base da extensão linear de um sistema de vetores

Decisão. Usando o EPS, transformamos a matriz das coordenadas dos vetores do sistema para uma forma triangular escalonada.

As colunas da última matriz são linearmente independentes e as colunas são expressas linearmente através delas. Portanto, os vetores formam uma base , e .

Comente. A base em é escolhida de forma ambígua. Por exemplo, os vetores também formam uma base.

Seja um corpo de escalares e F seu conjunto base. Deixe - espaço aritmético -dimensional sobre - sistema arbitrário de vetores de espaço

DEFINIÇÃO. Uma combinação linear de um sistema de vetores é uma soma da forma onde . Os escalares são chamados de coeficientes da combinação linear. Uma combinação linear é chamada não trivial se pelo menos um de seus coeficientes for diferente de zero. Uma combinação linear é chamada trivial se todos os seus coeficientes forem iguais a zero.

DEFINIÇÃO. O conjunto de todas as combinações lineares de vetores de um sistema é chamado de extensão linear desse sistema e é denotado por . O vão linear de um sistema vazio é considerado um conjunto consistindo de um vetor zero.

Então, por definição,

É fácil ver que a extensão linear de um dado sistema de vetores é fechada sob as operações de adição de vetores, subtração de vetores e multiplicação de vetores por escalares.

DEFINIÇÃO. Um sistema de vetores é chamado linearmente independente se, para quaisquer escalares, as igualdades seguem da igualdade. Sistema vetorial vazio

considerados linearmente independentes.

Em outras palavras, um sistema finito de vetores é linearmente independente se e somente se qualquer combinação linear não trivial de vetores no sistema não for igual a um vetor zero.

DEFINIÇÃO. Diz-se que um sistema de vetores é linearmente dependente se existem escalares nem todos iguais a zero tais que

Em outras palavras, um sistema finito de vetores é chamado linearmente dependente se existir uma combinação linear não trivial dos vetores do sistema igual ao vetor zero.

Sistema vetorial

é chamado de sistema de vetores unitários do espaço vetorial Este sistema de vetores é linearmente independente. De fato, para qualquer escalar, igualdade implica igualdade e, portanto, as igualdades

Considere as propriedades de dependência linear e independência de um sistema de vetores.

PROPRIEDADE 1.1. O sistema de vetores contendo o vetor zero é linearmente dependente.

Prova. Se no sistema de vetores um dos vetores, por exemplo, o vetor é zero, então a combinação linear dos vetores do sistema, todos os coeficientes dos quais são zero, exceto o coeficiente em, é igual ao vetor zero. Portanto, tal sistema de vetores é linearmente dependente.

PROPRIEDADE 1.2. Um sistema de vetores é linearmente dependente se algum de seus subsistemas for linearmente dependente.

Prova. Seja um subsistema linearmente dependente do sistema, e seja pelo menos um dos coeficientes diferente de zero. Então Consequentemente, o sistema de vetores é linearmente dependente.

CONSEQUÊNCIA. Qualquer subsistema de um sistema linearmente independente é linearmente independente.

PROPRIEDADE 1.3. Sistema vetorial

em que é linearmente dependente se e somente se pelo menos um dos vetores é uma combinação linear dos vetores anteriores.

Prova. Seja o sistema (1) linearmente dependente e então existem escalares nem todos iguais a zero tais que

Denote por k o maior dos números que satisfazem a condição, então a igualdade (2) pode ser escrita como

Observe que para caso contrário, portanto, desde . De (3) segue a igualdade

Suponhamos agora que o vetor é uma combinação linear dos vetores que o precedem, ou seja, Então , ou seja, o subsistema do sistema (1) é linearmente dependente. Portanto, pela propriedade 1.2, o sistema original (1) também é linearmente dependente.

PROPRIEDADE 1.4. Se o sistema de vetores é linearmente independente, e o sistema de vetores

é linearmente dependente, então o vetor v é expresso linearmente em termos dos vetores

e de uma forma única.

Prova. Por suposição, o sistema (2) é linearmente dependente, ou seja, existem escalares nem todos iguais a zero, tais que

Além disso, desde que contradiz a independência linear do sistema (1). De (3) segue a igualdade

Em virtude da independência linear do sistema (1), isso implica que

PROPRIEDADE 1.5. Se

Prova. A condição significa que existem escalares tais que

A condição significa que existem escalares tais que

Em virtude de (1) e (2) obtemos

TEOREMA 1.2. Se um

então o sistema de vetores é linearmente dependente. Prova (realizada por indução em ).

O sistema de vetores é chamado linearmente dependente, se houver tais números , entre os quais pelo menos um é diferente de zero, que a igualdade https://pandia.ru/text/78/624/images/image004_77.gif" width="57" height="24 src =" >.

Se esta igualdade vale apenas se all , então o sistema de vetores é chamado Linearmente independente.

Teorema. O sistema de vetores linearmente dependente se e somente se pelo menos um de seus vetores é uma combinação linear dos outros.

Exemplo 1 O polinômio é uma combinação linear de polinômios https://pandia.ru/text/78/624/images/image010_46.gif" width="88 height=24" height="24">. Os polinômios constituem um sistema linearmente independente, desde o polinômio https ://pandia.ru/text/78/624/images/image012_44.gif" width="129" height="24">.

Exemplo 2 O sistema matricial , , https://pandia.ru/text/78/624/images/image016_37.gif" width="51" height="48 src="> é linearmente independente, pois a combinação linear é igual à matriz zero somente quando https://pandia.ru/text/78/624/images/image019_27.gif" width="69" height="21">, , https://pandia.ru/text/78/ 624 /images/image022_26.gif" width="40" height="21"> linearmente dependente.

Decisão.

Componha uma combinação linear desses vetores https://pandia.ru/text/78/624/images/image023_29.gif" width="97" height="24">=0..gif" width="360" height =" 22">.

Igualando as coordenadas de mesmo nome de vetores iguais, obtemos https://pandia.ru/text/78/624/images/image027_24.gif" width="289" height="69">

Finalmente obtemos

O sistema tem uma única solução trivial, então a combinação linear desses vetores é zero somente se todos os coeficientes forem zero. Portanto, esse sistema de vetores é linearmente independente.

Exemplo 4 Os vetores são linearmente independentes. Quais serão os sistemas de vetores

Decisão.

uma). Componha uma combinação linear e iguale-a a zero

Usando as propriedades das operações com vetores em um espaço linear, reescrevemos a última igualdade na forma

Como os vetores são linearmente independentes, os coeficientes para devem ser iguais a zero, ou seja, gif" largura="12" altura="23 src=">

O sistema de equações resultante tem uma única solução trivial.

Desde a igualdade (*) executado apenas em https://pandia.ru/text/78/624/images/image031_26.gif" width="115 height=20" height="20"> – linearmente independente;

b). Componha a igualdade https://pandia.ru/text/78/624/images/image039_17.gif" width="265" height="24 src="> (**)

Aplicando raciocínio semelhante, obtemos

Resolvendo o sistema de equações pelo método de Gauss, obtemos

O último sistema tem um número infinito de soluções https://pandia.ru/text/78/624/images/image044_14.gif" width="149" height="24 src=">. Assim, há um não- conjunto zero de coeficientes para os quais a igualdade (**) . Portanto, o sistema de vetores é linearmente dependente.

Exemplo 5 O sistema vetorial é linearmente independente e o sistema vetorial é linearmente dependente..gif" width="80" height="24">.gif" width="149 height=24" height="24"> (***)

Em igualdade (***) . De fato, para , o sistema seria linearmente dependente.

Da relação (***) obtemos ou denotamos .

Tarefas para solução independente (na sala de aula)

1. Um sistema contendo um vetor zero é linearmente dependente.

2. Sistema de vetor único uma, é linearmente dependente se e somente se, a=0.

3. Um sistema que consiste em dois vetores é linearmente dependente se e somente se os vetores são proporcionais (ou seja, um deles é obtido do outro multiplicando por um número).

4. Se um vetor é adicionado a um sistema linearmente dependente, então um sistema linearmente dependente é obtido.

5. Se um vetor é removido de um sistema linearmente independente, então o sistema de vetores resultante é linearmente independente.

6. Se o sistema S linearmente independente, mas torna-se linearmente dependente quando um vetor é adicionado b, então o vetor b expresso linearmente em termos dos vetores do sistema S.

c). O sistema de matrizes , , no espaço de matrizes de segunda ordem.

10. Seja o sistema de vetores uma,b,c espaço vetorial é linearmente independente. Prove a independência linear dos seguintes sistemas de vetores:

uma).a+b, b, c.

b).a+https://pandia.ru/text/78/624/images/image062_13.gif" largura="15" altura="19">– número arbitrário

c).a+b, a+c, b+c.

11. Deixe ser uma,b,c são três vetores no plano que podem ser usados ​​para formar um triângulo. Esses vetores serão linearmente dependentes?

12. Dados dois vetores a1=(1, 2, 3, 4),a2=(0, 0, 0, 1). Pegue mais dois vetores 4D a3 ea4 para que o sistema a1,a2,a3,a4 era linearmente independente .