SEÇÃO DOIS.

TRANSFORMAÇÕES DE IDENTIDADE

(QUATRO PRIMEIRAS AÇÕES ALGEBRAICAS).

Capítulo um.

Polinômio e monômio.

42. Polinômio e monômio. Uma expressão algébrica composta por várias outras expressões conectadas por sinais + ou - é chamada de polinômio. Por exemplo, esta é a expressão:

Expressões separadas, cuja combinação os sinais + ou - se tornaram um polinômio, são chamadas de membros. Normalmente os termos de um polinômio são considerados juntamente com os sinais que estão diante deles; por exemplo, eles dizem: membro - uma , membro + b 2, etc. Antes do primeiro membro, se nenhum sinal for colocado antes dele, pode-se significar enak +; então, em nosso exemplo, o primeiro termo é ab ou + ab .

Uma expressão que consiste em apenas um membro é chamada de um termo, de dois membros - dois termos, de três - três termos, etc. Um monômio é um único número expresso por uma letra ou números (por exemplo - uma , + 10), ou um produto (ex. ab ), ou privado (ex. a-b / 2 ) ou grau (ex. b 2); mas um monômio não deve ser nem a soma nem a diferença , pois caso contrário seria um binômio, um trinômio, um polinômio em geral.

Se um monômio é um quociente, então é chamado de monômio fracionário; todos os outros monômios são chamados de objetivos. Então, em nosso exemplo, o monômio a-b / 2 é fracionário, e todos os outros membros do polinômio são inteiros. Como no início da álgebra falaremos apenas de monômios inteiros, por brevidade, simplesmente os chamaremos de "monômios".

Se todos os membros de um polinômio são inteiros, então ele também é chamado de inteiros.

43. Coeficiente. Suponha que nos seja dado um produto:

uma 3ab (- 2) ,

em que alguns fatores são expressos em números, outros em letras. Tais produtos podem ser transformados (usando as propriedades associativas e comutativas da multiplicação) combinando em um grupo todos os fatores expressos em números, em outro grupo - todos os fatores expressos em letras uma, etc.:

3 (- 2) (aa) b ,

o que pode ser escrito em resumo: - 6uma 2 b ;. Assim:

-l0 axx (- 2) = + 20Oh 2 , etc

O fator expresso em números, colocado na frente dos fatores alfabéticos, é chamado de coeficiente monômio. Então, em um monômio - 6uma 2 b número - 6 existe um coeficiente.

Observe que, se o coeficiente for um número inteiro positivo, significa quantas vezes é repetido pelo termo a expressão literal a que se refere; Então, 3 ab = 3(ab) =(ab) 3 =ab + ab + ab . Se o coeficiente for uma fração, então ele expressa qual fração é retirada do valor numérico da expressão literal. Então:
2 / 3 Oh = Oh 2 / 3 , e multiplique Oh no 2 / 3 significa tomar 2 / 3 do número Oh .

44. Propriedades de um polinômio. Qualquer polinômio pode ser considerado como uma soma algébrica de seus termos. Por exemplo, um polinômio

2uma - b + com

existe uma soma: 2uma + (- b) + (+ com ) porque a expressão + (- b) é equivalente à expressão - b e expressão + (+ com ) significa o mesmo que + com . Como consequência, todas as propriedades da soma de números relativos (Sec. 1 § 25) também pertencem ao polinômio. Vamos relembrar as mais importantes dessas propriedades:

a) Transferir propriedade: o valor numérico do polinômio não muda ao mover seus membros (com seus sinais).

Suponha, por exemplo, que encontramos o valor numérico do polinômio

2uma 2 - ab + b 2 - 1 / 2 uma

no a = - 4 e b = - 3. Para fazer isso, primeiro calculamos cada termo separadamente:

2uma 2 = 2(- 4) 2 = 2(- 4)(- 4) = 32 ; - ab = - (- 4) (- 3)= -12 ;

b 2 =(- 3) 2 = (- 3)(- 3)= +9 ; - 1 / 2 uma = - 1 / 2 (- 4)= +2 .

Agora vamos somar todos os números obtidos ou na sequência em que os membros do polinômio estão escritos:

32 - 12 + 9 + 2 = 31,

ou em alguma outra ordem, sempre obtemos o mesmo número 31.

b) propriedade associativa: o valor numérico do polinômio não mudará se substituirmos qualquer um de seus termos por sua soma algébrica.

Então, se no polinômio tomado agora substituirmos os termos - ab , + b 2 e - 1 / 2 uma sua soma algébrica, ou seja, tomar este polinômio na seguinte forma:

2uma 2 + (- ab + b 2 - 1 / 2 uma )

então em uma = - 4 e b = - 3 temos:

32 + (- 12 + 9 + 2) = 32 + (- 1) = 31,

ou seja, obtemos o mesmo número 31 que obtivemos antes. Também notamos a seguinte propriedade importante do polinômio:

dentro) Se antes de cada membro do polinômio mudarmos o sinal para o oposto, o valor numérico do polinômio também mudará o sinal para o oposto e seu valor absoluto não mudará.

Por exemplo, o valor numérico do polinômio 2uma 2 - ab + b 2 - 1 / 2 uma
no uma = - 4 e b = - 3 é, como vimos, 31, e o valor numérico do polinômio - 2uma 2 + ab- b 2 + 1 / 2 uma com os mesmos valores das letras é igual a -31.

45. Redução de prazos semelhantes.Às vezes, em um polinômio, existem termos que diferem uns dos outros apenas em coeficientes ou sinais, ou até mesmo não diferem; tais membros são chamados semelhantes. Por exemplo, em um polinômio

o primeiro termo é semelhante ao terceiro (eles são sublinhados por uma linha), o segundo termo é semelhante ao quarto e sexto (sublinhados por duas linhas), e o quinto termo não tem análogos.

Se um polinômio contém termos semelhantes, eles podem ser combinados em um termo. Assim, no exemplo dado agora, podemos (com base na propriedade associativa de um polinômio) combinar membros em tais grupos:

(4uma + 0,5uma) + (- 3x + 8x - 2X) + 3 machado .

Mas é óbvio que 4 de alguns números e 0,5 do mesmo número são 4,5 do mesmo número. Meios, 4uma + 0,5uma = 4,5uma . Igualmente - 3x + 8x = 5X e 5X - 2X =3X . Assim, o polinômio pode ser representado da seguinte forma:

4,5uma + 3X+ 3 machado .

Observe que a combinação de todos os membros semelhantes de um polinômio em um único membro é geralmente chamada de redução de membros semelhantes de um polinômio.

Comente. Dois termos semelhantes com os mesmos coeficientes, mas com diferentes (eles se cancelam por sinais, como, por exemplo, são os termos + 2 uma e 2 uma, ou - 1 / 2 X 2 e + 1 / 2 X 2 .

Exemplos.

Capítulo dois.

Adição e subtração algébricas.

46. ​​O que são "operações algébricas".

Na aritmética, as operações são realizadas em números e o resultado é um novo número. Na álgebra, as ações são realizadas não em números, mas em expressões algébricas, e o resultado é uma nova expressão algébrica. Por exemplo, multiplique o monômio 3 uma em um monômio 2 uma - significa, em primeiro lugar, indicar a multiplicação pelos sinais aceitos:

(3uma) (2uma)

e, em segundo lugar, transformar, se possível, a expressão algébrica resultante em outra mais simples. Em nosso exemplo, a transformação pode ser feita raciocinando assim: para multiplicar algum número pelo produto 2 uma , você pode multiplicar esse número primeiro por 2 e depois multiplique o resultado por uma .

(3uma) (2uma) = (3uma) 2uma .

Na última expressão, podemos descartar os colchetes, pois isso não altera o significado da expressão; então nós obtemos 3uma 2uma .. Agora, usando a propriedade associativa da multiplicação, agrupamos os fatores da seguinte forma: (3 2) (aa) , o que obviamente é 6a 2 .

Qualquer que seja o número da letra uma nem significava o valor numérico da expressão (3uma) (2uma) é sempre igual ao valor numérico da expressão 6a 2 , ou seja, essas expressões são idênticas.

Assim, a ação algébrica em nosso exemplo de multiplicação consiste, em primeiro lugar, em indicar essa ação pelos sinais aceitos na álgebra e, em segundo lugar, em transformar, se possível, a expressão algébrica resultante em outra, idêntica a ela.

47. Adição de monômios. Seja necessário adicionar vários monômios:

3uma, - 5b, + 0,2a, -7b e com . Sua soma é expressa da seguinte forma:

3um +(- 5b) + (+ 0,2a) + (-7b ) + com

Mas as expressões: + (- 5b), + (+ 0,2a) e + (- 7b ) são equivalentes a: - 5b, + 0,2a e - 7b portanto, a soma desses monômios pode ser reescrita de uma maneira mais simples:

que, depois de lançar termos semelhantes, dá: 3,2uma - 12b+ com. Meios, para adicionar vários monômios, basta escrevê-los um após o outro com seus sinais e fazer uma redução de termos semelhantes.

48. Adição de polinômios. Seja necessário algum número ou expressão algébrica m adicionar um polinômio a - b + c . A quantidade desejada pode ser expressa da seguinte forma:

m+ (a - b + c ).

Para transformar esta expressão, levamos em conta que o polinômio
a - b + c é a soma a + (- b) + c , e para somar a soma, você pode somar cada termo um por um; É por isso:

m+ (a - b + c ) = m+a + (- b) + c

Mas adicione -b não importa o que subtrair b ; É por isso:

m+ (a - b + c ) = m+ a - b + c

Regra. Para adicionar um polinômio a alguma expressão alébrica, é necessário atribuir a esta expressão todos os termos do polinômio um após o outro com seus sinais (além disso, antes do primeiro membro do polinômio, se não houver sinal na frente dele, o sinal + deve estar implícito) e lançar membros semelhantes, se eles aparecerem.

Exemplo.

3uma 2 - 5ab + b 2 + (4ab - b 2 + 7uma 2).

O primeiro termo, que agora denotamos por uma letra m, dado neste exemplo como um polinômio 3uma 2 - 5ab + b 2 . Aplicando esta regra, encontramos:

3uma 2 - 5ab + b 2 + (4ab - b 2 + 7uma 2) = 3uma 2 - 5ab + b 2 + 4ab - b 2 + 7uma 2 = 10uma 2 - ab

Se os dados polinomiais para adição contiverem membros semelhantes (como em nosso exemplo), é útil escrever os termos um sob o outro para que os termos semelhantes fiquem sob os semelhantes:

49. Subtração de monômios. Seja requerido do monômio 10 machado subtrair o monômio - 3 machado . A diferença desejada é expressa da seguinte forma:

10 machado - (- 3 machado ).

De acordo com a regra da subtração, a subtração é 3 machado pode ser substituído pela adição de um número oposto ao número - 3 machado . Existe esse número + 3 machado , É por isso:

10 machado - (- 3 machado ) = 10 machado + (+ 3 machado ) = 10 machado + 3 machado = 13 machado .

Meios, para subtrair um monômio, basta atribuí-lo ao minuendo com o sinal oposto (e fazer uma redução de termos semelhantes, se aparecerem).

50. Subtração de polinômios. Seja requerido de algum número ou expressão algébrica m subtrair polinômio a - b + c , que pode ser expresso da seguinte forma:

m- (a - b + c ).

Para fazer isso, de acordo com a regra de subtração (Seção 1 § 22), basta adicionar m o número oposto a - b + c . Existe um número assim - a + b - c (); meios:

m- (a - b + c ) = m+ (- a + b - c )

Aplicando agora a regra da adição de polinômios, temos:

m- (a - b + c ) = m - a + b - c .

Meios, para subtrair um polinômio de alguma expressão algébrica, basta atribuir a essa expressão todos os termos do polinômio subtraendo com sinais opostos (e fazer uma redução).

Se for necessário subtrair outro polinômio de um polinômio e esses polinômios tiverem termos semelhantes, é útil escrever o polinômio subtraído sob o polinômio reduzido, alterando os sinais do polinômio subtraído para os opostos, e para que os termos semelhantes permaneçam sob semelhantes. Por exemplo, a subtração
(7uma 2 - 2ab + b 2) - (5uma 2 + 4ab - 2b 2) é melhor colocado assim:

(no polinômio a ser subtraído, os sinais superiores são definidos como foram dados e, na parte inferior, são invertidos).

51. Expandir parênteses precedido por um sinal + ou -.

Deixe na expressão

2 uma + (uma - 3 b + c ) - (2 a - b + 2 com )

os colchetes precisam ser abertos. Isso deve ser entendido de tal forma que seja necessário realizar nos polinômios dentro dos colchetes aquelas ações que são indicadas pelos sinais na frente dos colchetes. Em nosso exemplo, o primeiro parêntese é precedido por um sinal + e o segundo parêntese é precedido por um sinal -. Depois de adicionar e subtrair de acordo com as regras que demos, obtemos uma expressão sem colchetes:

2 uma + uma - 3 b + c - 2 a + b- 2 c = a- 2 b - c

Assim, devemos lembrar que, expandindo os colchetes precedidos pelo sinal +, não devemos alterar os sinais dentro dos colchetes, e expandindo os colchetes precedidos pelo sinal -, devemos alterar os sinais para o oposto antes de todos os membros dentro dos colchetes.

Seja também necessário abrir os colchetes na expressão:

10r - .

Para fazer isso, é mais conveniente abrir primeiro os colchetes internos e depois os externos:

10r - = 10p - 3p - 5p + 10 + 4] = 2p+14.

52. Colocar entre parênteses uma parte de um polinômio. Para transformar um polinômio, às vezes é útil colocar entre colchetes o conjunto de alguns de seus membros, e às vezes é desejável colocar + na frente dos colchetes, ou seja, representar o polinômio como uma soma, e às vezes o sinal -, ou seja, representar o polinômio como uma diferença. Seja, por exemplo, em um polinômio a + b - c queremos colocar os dois últimos termos entre colchetes prefixando os colchetes com um sinal +. Então escrevemos assim:

a + b - c = a + (b - c) ,

ou seja, dentro dos colchetes deixamos os mesmos sinais que estavam neste polinômio. Que tal transformação seja verdadeira, nos certificaremos se abrirmos os colchetes de acordo com a regra da adição; então obtemos o polinômio dado novamente.

Suponha que no mesmo polinômio seja necessário colocar entre parênteses os dois últimos números colocando um sinal de menos na frente dos colchetes.

Então escrevemos assim:

a + b - c = uma - (- b + c) = uma - ( com - b) ,

ou seja, dentro dos colchetes à frente de todos os membros, mudamos os sinais para o contrário. Que tal transformação seja verdadeira, teremos certeza se abrirmos os colchetes de acordo com a regra da subtração; então obtemos o polinômio dado novamente.

Comente. Você também pode colocar todo o polinômio entre colchetes colocando um sinal + ou - na frente deles. Por exemplo, você pode escrever:

a - b + c = + (a - b + c ) e a - b + c = - (- a + b - c ).

Capítulo três.

Multiplicação algébrica.

53. Multiplicação de potências de mesmo número. Vamos multiplicar uma 3 em uma 2, que pode ser expresso da seguinte forma: uma 3 uma 2 ou mais :( ahh ) (aa ). Aqui o trabalho ahh multiplicado por outro aa . Mas para multiplicar algum número por um produto, pode-se multiplicar esse número pelo primeiro fator, multiplicar o resultado pelo segundo fator, e assim por diante; É por isso:

uma 3 uma 2 = (ahh )(aa ) = (ahh ) aa ,

que pode ser escrito sem colchetes, pois a ordem das ações permanece a mesma sem colchetes, conforme indicado pelos colchetes:

uma 3 uma 2 = aaaaa = uma 5 .

Meios, ao multiplicar potências do mesmo número, seus expoentes se somam.

Por isso: X 3 X = X 4 , m 2 m 3 = m 5 , y 2 y y 3 = y 6, etc

54. Multiplicação de monômios. Já dissemos antes () como você pode transformar o produto de monômios (3uma) (2uma) em monômio 6 uma 2. Vamos agora repetir o que foi dito então com outro exemplo. Vamos multiplicar:

Desde o monômio 5abx é um produto, então basta multiplicar o multiplicando pelo primeiro fator - 5 , multiplique o resultado pelo segundo fator uma , etc. Então:

3Oh 2 (- 5abx) = 3Oh 2 (- 5)abx .

Neste produto, usando a propriedade associativa da multiplicação, agrupamos os fatores nos seguintes grupos:

(+3)(- 5) (aa) b (X 2 X).

Depois de multiplicar em cada grupo, obtemos:

- 15 uma 2 b X 3 .

Meios, para multiplicar um monômio por um monômio, você precisa multiplicar seus coeficientes, somar os indicadores de letras idênticas e aquelas letras que estão incluídas apenas no multiplicando ou apenas no fator, transferir para o produto com seus indicadores.

Exemplos.

1) 0,7uma 3 X (3uma 4 X 2 no 2) = 2,1uma 7 X 3 no 2

2) (1 / 2 mx 3) 2 = 1 / 2 mx 3 (1 / 2 mx 3) = 1 / 4 m 2 x 6

3) -3,5 X 2 no (3 / 4 X 3) = - 21 / 8 X 5 no

55. Multiplicação de um polinômio por um monômio.

Seja dado para multiplicar o polinômio a + b - c em um monômio m , que pode ser expresso da seguinte forma:

(a + b - c ) m .

Polinomial a + b - c é a soma dos números relativos a + b + (- com) . Mas, para multiplicar a soma, você pode multiplicar cada termo separadamente e somar os resultados (propriedade distributiva); meios:

(a + b - c ) m = [ a + b + (- com) ] m = uma m +b m + (- com)m .

Mas (- com)m = - cm e + (- cm ) = - cm ; É por isso

(a + b - c ) m = uma m +b m - comm .

Regra. Para multiplicar um polinômio por um monômio, é necessário multiplicar cada termo do polinômio por esse monômio e somar os produtos resultantes.

Como o produto não muda de uma permutação das casas dos fatores, esta regra também se aplica à multiplicação de um monômio por um polinômio; portanto:

m (a + b - c ) = m uma + m b m - mc .

Exemplos.

1) (3x 2 - 2Oh + 5uma 2) (-4Oh) .

Aqui, a multiplicação dos termos de um polinômio por um determinado monômio deve ser realizada de acordo com a regra de multiplicação de monômios, levando em consideração também a regra dos sinais: quando multiplicados, os mesmos sinais dão + e sinais diferentes dão - . Multiplicamos separadamente cada termo do polinômio pelo monômio:

(3x 2)(-4Oh) = - 12machado 3 ; (- 2Oh) (-4Oh) == + 8uma 2 x 2 ; (+ 5uma 2) (-4Oh) = - 20uma 3 x .

Agora vamos resumir os resultados:

- 12machado 3 + 8uma 2 x 2 - 20uma 3 x .

2) (uma 2 - ab + b 2) (3uma) = uma 2 (3uma) - (ab ) (3uma) + b 2 (3uma) = 3uma 3 - 3uma 2 b+ 3ab 2

3) (7x 3 + 3 / 4 Oh - 0,3) (2,l uma 2 x) = (7x 3 ) (2,l uma 2 x) + (3 / 4 Oh) (2,l uma 2 x) - 0,3 (2,l uma 2 x) =
= 14,7uma 2 x 4 + 1,575uma 3 x 2 - 0,63 uma 2 x .

4) 2uma (3uma - 4 Oh + 1 / 2 x 2) = 6uma 2 - 8uma 2 x + umax 2

56. Multiplicação de um polinômio por um polinômio. Vamos fazer a multiplicação:

(a + b - c ) (m-n ).

Considerando o multiplicador m-n como um único número (como um monômio), aplicamos a regra para multiplicar um polinômio por um monômio:

a (m - n) + b (m - n) - c (m - n).

Considerando agora a expressão m-n como um polinômio (binomial), aplicamos a regra de multiplicação de um monômio por um polinômio:

(am - an) + (bm - bn) - (cm - cn).

Finalmente, abrindo os colchetes de acordo com as regras de adição e subtração, finalmente encontramos:

(a + b - c) (m - n) = am - an + bm - bn - cm + cn

Regra. Para multiplicar um polinômio por um polinômio, você deve multiplicar cada termo do primeiro polinômio por cada termo do segundo polinômio e somar os produtos resultantes.

Obviamente, ao multiplicar os termos do primeiro polinômio pelos termos do segundo polinômio, deve-se guiar pelas regras dos sinais: os mesmos sinais dão + sinais diferentes -.

Exemplo, (uma 2 - 5ab + b 2 - 3) (uma 3 - 3ab 2 + b 3)

Primeiro multiplicamos todos os termos do multiplicando pelo 1º termo do multiplicador:

(uma 2 - 5ab + b 2 - 3) uma 3 = uma 5 - 5uma 4 b + uma 3 b 2 - 3uma 3

Em seguida, multiplicamos todos os termos do multiplicando pelo 2º termo do multiplicador:

(uma 2 - 5ab + b 2 - 3) (- 3ab 2) = - 3a 3b 2 + 15a 2 b 3 - 3ab 4 + 9ab 2

(uma 2 - 5ab + b 2 - 3) (b 3) = uma 2 b 3 - 5ab 4 + b 5 - 3b 3

Por fim, somamos todos os produtos resultantes e fazemos uma redução de termos semelhantes; o resultado final será:

uma 5 - 5uma 4 b- 2a 3b 2 - 3uma 3 + 16a 2 b 3 - 8ab 4 + 9ab 2 + b 5 - 3b 3

Observações. 1) Para não perder nenhum dos produtos dos termos ao multiplicar um polinômio por um polinômio, é útil sempre aderir a alguma ordem de multiplicação; por exemplo, como fizemos agora, primeiro multiplique todos os termos do multiplicando pelo 1º termo do multiplicador, depois multiplique todos os termos pelo 2º termo do multiplicador, etc.

2) Quando aplicada a números aritméticos, a regra de multiplicação para polinômios pode ser claramente interpretada geometricamente. Tome, por exemplo, 4 segmentos de linha a, b, m e n e construa dois retângulos: um com base a + b e altura m+n , outro com base a + b , e altura m-n .

A área do primeiro é ( a + b ) (m+n ), e a área do segundo será ( a + b ) (m-n ). É visto diretamente pelos desenhos que a primeira área é igual a am + bm + an + bn , e o segundo é am + bm - an - bn .

Exemplos.

1) (a - b) (m - n - p) \u003d am - bm - an + bn - ap + bp.

2) (x 2 - y 2) (x + y) \u003d x 3 - xy 2 + x 2 y - y 3

3) (3an + 2n 2 - 4a 2) (n 2 - 5an) = 3an 3 + 2n 4 - 4a 2 n 2 - 15a 2 n 2 - 10an 3 + 20a 3 n =
\u003d -7an 3 + 2n 4 - 19a 2 n 2 + 20a 3 n

4) (2a 2 - 3) 2 = (2a 2 - 3) (2a 2 - 3) = (2a 2) 2 - 3 (2a 2) - (2a 2) 3 + 9 =
= 4a 4 - 6a 2 - 6a 2 + 9 = 4a 4 - 12a 2 + 9

57. Polinômio localizado. Organizar um polinômio em potências de alguma letra significa, se possível, escrever seus termos em tal sequência que os expoentes dessa letra aumentem ou diminuam do primeiro ao último termo. Sim, polinômio 1 + 2x + x 2 - x 3 localizado em poderes crescentes da letra X . O mesmo polinômio será organizado em potências decrescentes da letra X , se escrevermos seus membros na ordem inversa: -x 3 +x2 + 2x + 1 .

A letra na qual o polinômio está localizado é chamada de letra principal. O termo que contém a letra maiúscula com o maior expoente é chamado de termo mais alto do polinômio; o termo que contém a letra principal com o menor expoente ou não o contém é chamado o termo mais baixo do polinômio.

58. Multiplicação de polinômios localizadosé mais conveniente produzir como será indicado no exemplo seguinte.

Multiplicar

3x - 5 + 7x 2 -x 3 no 2 - 8 x 2 + x.

Organizando ambos os polinômios em potências decrescentes da letra X , escreva o multiplicador sob o multiplicando e desenhe uma linha sob eles:

Multiplique todos os termos do multiplicando pelo 1º termo do multiplicador (por - 8x2 ) e o produto resultante é escrito sob a linha. Então todos os termos do multiplicando são multiplicados pelo 2º termo do multiplicador (por + x ) e o segundo produto resultante é escrito sob o primeiro, de modo que termos semelhantes estejam sob outros semelhantes. Eles também continuam a fazê-lo. Sob o último trabalho (em + 2 ) desenham uma linha sob a qual escrevem a obra completa, somando todas as outras obras.

Também é possível organizar ambos os polinômios em potências crescentes da letra principal e depois multiplicar na mesma ordem que acabamos de indicar.

59. Membros superiores e inferiores de uma obra. Destes exemplos segue:

O termo mais alto do produto é igual ao produto do termo mais alto multiplicado pelo termo mais alto do multiplicador.

O termo mais baixo do produto é igual ao produto do termo mais baixo do multiplicador pelo termo mais baixo do multiplicador.

Os membros restantes do trabalho podem ser obtidos combinando vários membros semelhantes em um. Pode até acontecer que em um produto, após a redução de termos semelhantes, todos os termos sejam destruídos, exceto o primeiro e o último (superior e inferior), como pode ser observado no exemplo a seguir:

60. Número de integrantes da obra. Seja o multiplicando com cinco termos e o multiplicador com três termos. Multiplicando cada termo do multiplicando pelo 1º termo do multiplicador, obtemos 5 termos do produto; então multiplicando cada termo do multiplicando pelo 2º termo do multiplicador, obtemos mais 6 termos do produto, etc.; portanto, todos os termos no produto serão 5 3, ou seja, 15. Em geral, o número de membros do produto, antes da combinação de membros semelhantes nele, é igual ao produto do número de membros multiplicado pelo número de membros do multiplicador.

Uma vez que os membros mais altos e mais baixos de uma obra não podem ter membros como eles, e todos os outros membros podem ser aniquilados, então O menor número de termos em um produto após a redução de termos semelhantes nele é 2.

61. Algumas fórmulas para multiplicação de binômios.É útil lembrar as seguintes fórmulas para multiplicar binômios:

a) (a + b) 2 = (a + b) (a + b) = a 2 + ab + ab + b 2 = a 2 + 2ab + b 2 .

Por exemplo: 17 2 = (10 + 7) 2 = 10 2 + 2 10 7 + 7 2 = 100 + 140 + 49 = 289.

Por isso, o quadrado da soma de dois números é igual ao quadrado do primeiro número, mais duas vezes o produto do primeiro número pelo segundo, mais o quadrado do segundo número.

b) (a - b) 2 = (a - b) (a - b) \u003d a 2 - ab - ab + b 2 = a 2 - 2ab + b 2 .

Ex: 19 2 = (20 -1) 2 = 20 2 - 2 20 1 + 1 2 = 400 - 40 + 1 = 361

Por isso, o quadrado da diferença entre dois números é igual ao quadrado do primeiro número, menos duas vezes o produto do primeiro número pelo segundo, mais o quadrado do segundo número.

Comente. É útil notar que elevar a uma potência em relação à adição e subtração não tem uma propriedade distributiva; Então, (2+3) 2 não igual
2 2 + 3 2 ou (8 - 6) 2 diferente de 8 2 - 6 2 .

dentro) (a + b) (a - b) = a 2 + ab - ab - b 2 = a 2 - b 2

Por exemplo: 25 15 = (20 + 5) (20 - 5) = 20 2 - 5 2 = 400 - 25 = 375.

Por isso, o produto da soma de dois números e sua diferença é igual à diferença dos quadrados desses números.

G) (a + b) 3 = (a + b) 2 (a + b) = (a 2 + 2ab + b 2 )(a + b) =
= a 3 + 2a 2 b + ab 2 + a 2b + 2ab 2 + b 3 = a 3 + 3à 2 b + 3ab 2 + b 3

Ex: 12 3 = (10 + 2) 3 = 10 3 + 3 10 2 2 + 3 10 2 2 + 2 3 = 1000 + 600 + 120 + 8=1728.

Por isso, o cubo da soma de dois números é igual ao cubo do primeiro número, mais três vezes o produto do quadrado do primeiro número pelo segundo, mais três vezes o produto do primeiro número pelo quadrado do segundo, mais o cubo do segundo número.

e) (a - b) 3 = (a - b) 2 (a - b) = (a 2 - 2ab + b 2 )(a - b) =
\u003d a 3 - 2a 2 b + ab 2 - a 2b + 2ab 2 - b 3 = a 3 - 3a 2b + 3ab 2 -b 3

Ex: 19 3 = (20 - 1) 3 = 20 3 - 3 20 2 1 + 3 20 1 2 - 1 3 = 8000 -1200 + 60 - 1= 6869.

Por isso, o cubo da diferença de dois números é igual ao cubo do primeiro número, menos três vezes o produto do quadrado do primeiro número pelo segundo, mais três vezes o produto do primeiro número pelo quadrado do segundo, menos o cubo do segundo número.

62. Interpretação geométrica de algumas dessas fórmulas.

a) Separe o segmento de reta AB = uma e a ele aplicamos o segmento BC = b, então construímos quadrados: ACDE e ABJK, cujas áreas serão iguais (a + b) 2 e uma 2 . Continuando as linhas BJ e KJ até a intersecção com ED e CD, dividimos o quadrado maior em 4 partes, cujas áreas serão: uma 2 , b 2 , ab e ab .

(a + b) 2 = a 2 + ab + ab + b 2 = a 2 + 2ab + b 2 .

b) Separe AB = uma e de AB subtraímos BC = b ; então construímos os quadrados ACDE, ABFK e KLME cujas áreas são (a - b) 2 , uma 2 e b 2 . Continuando CD até o ponto N, obtemos: pl. ACDE = pl. ABFK + m² EKLM- sq. CBFN - pl. DNLM.

(a - b) 2 = a 2 + b 2 - ab- ab = a 2 - 2ab + b 2 .

dentro) Adiando (Fig. 13) AB = uma , BG = b , AD = uma e DE= b , construa o retângulo ACJE e os quadrados ABKD e DEML.

Então quadrado. ACJE = quadrado. ABKD + m² BCJN - quadrado DEML - pl. LMNK. Mas os retângulos BCJN e LMNK são iguais e, portanto, suas áreas na igualdade que escrevemos se cancelam: sq. ACJE = quadrado. ABKD - m² DEML, ou seja

(a + b) (a-b) \u003d a 2 - b 2.

63. Aplicações. Com a ajuda dessas fórmulas, às vezes é possível multiplicar polinômios de maneira mais simples do que da maneira usual. aqui estão alguns exemplos:

1) (4a 3 - 1) 2 \u003d (4a 3) 2 - 2 (4a 3) 1 +1 2 \u003d 16a 6 - 8a 3 + 1

2) (x + y)(y - x) = (y + x)(y - x) = y 2 - x 2 .

3) (x + y + 1) (x - y + 1) = [(x + 1) + y] [(x + 1) - y] = (x + 1) 2 - y 2 = x 2 + 2x + 1 - em 2.

4) (a - b + c) (a + b - c) \u003d [a - (b - c)] [a + (b - c)] \u003d

\u003d a 2 - (b - c) 2 \u003d a 2 - (b 2 - 2bc + c 2) \u003d a 2 - b 2 + 2bc - c 2

Capítulo quatro.

Divisão algébrica.

64. Divisão de poderes do mesmo número. Vamos dividir:

um 5: um 2 .

Como o dividendo deve ser igual ao divisor multiplicado pelo quociente, e quando multiplicado, somam-se os indicadores de letras idênticas, então no quociente desejado da letra a deve haver um número que, somado a 2, seja 5; tal número é igual à diferença 5 - 2. Então:

um 5: um 2 = um 5-2 = um 3

Assim encontramos: x 3: x 2 \u003d x; s 4: s = s 3 etc.

Meios, ao dividir potências do mesmo número, o expoente do divisor é subtraído do expoente do dividendo .A menos que o número cujas potências são divisíveis não seja igual a zero. Portanto, você não pode escrever: 0 m: 0 n = 0 m-n , pois essa igualdade significaria: 0:0 = 0, enquanto o quociente 0:0 pode ser igual a qualquer número

65. Indicador zero. Se, ao dividir as potências do mesmo número, o indicador do divisor for igual ao indicador do dividendo, o quociente deverá ser igual a 1; por exemplo: uma 3 : uma 3 = 1 porque uma 3 = uma 3 1. Concordemos em subtrair os indicadores também neste caso; então no quociente obtemos uma letra com um expoente zero:
uma 3 : uma 3 = uma 3-3 = uma 0 . Obviamente, esse indicador não tem o significado que atribuímos aos indicadores anteriores, pois é impossível repetir o número com um fator de 0 vezes. Nós vamos concordar sob o pretexto uma 0 entender o quociente de dividir as mesmas potências de uma letra uma , e como esse quociente é igual a 1, tomaremos uma 0 por 1.

66. Divisão de monômios. Seja dado para dividir:

(12a 3b 2x): (4a 2b 2) .

No entanto, por uma questão de brevidade, é costume omitir os colchetes em tais notações. De acordo com a definição de divisão, o quociente, quando multiplicado pelo divisor, deve ser o dividendo. Portanto, o quociente desejado deve ter 12: 4 , ou seja 3 ; o índice da carta uma obtido subtraindo do indicador desta letra no dividendo do indicador da mesma letra no divisor, a letra b não entrará no quociente, ou, o que é tudo a mesma coisa, entrará com um indicador 0 , e a carta X irá para o quociente com seu expoente.

Por isso: 12a 3b 2x: 4a 2b 2 = 3ah . Verificação: 3ah 4a 2b 2 = 12a 3b 2x

Regra. Para dividir um monômio em monômio, é necessário dividir o coeficiente do dividendo pelo coeficiente do divisor, subtrair os indicadores das mesmas letras do divisor dos indicadores das letras do dividendo e transferir para o quociente, sem alterar os indicadores, aquelas letras do dividendo que não estão no divisor.

Exemplos.

1) 3m 3 n 4 x: 4m 2 nx = 3 / 4 m n 3

2) - ax 4 y 3: - 5 / 6 axy 2 \u003d + 6 / 5 x 3 y.

3) 0,8ax n: - 0,02ax = - 40x n-1 .

67. Sinais da impossibilidade de dividir monômios. Se o quociente da divisão de monômios inteiros não pode ser expresso exatamente por um monômio inteiro, então eles dizem que tal divisão é impossível. A divisão de monômios é impossível em dois raios:

a) Quando há letras no divisor que não estão no dividendo.

Por exemplo, você não pode separar 4ab 2 no 2ax , uma vez que qualquer monômio multiplicado por 2ax dá um produto contendo a letra X , e em nosso divisível não existe tal letra.

b) Quando o expoente de qualquer letra do divisor for maior que o expoente da mesma letra do dividendo.

Por exemplo, a divisão 10a 3b 2: 5ab 3 impossível, pois qualquer monômio multiplicado por 5ab 3 , dá no produto um monômio que contém a letra b com um expoente de 3 ou com um expoente maior que 3, enquanto no nosso divisível esta letra está com um expoente de 2.

Quando um monômio não é divisível por outro monômio, então o quociente só pode ser indicado por sinais de divisão; tão quociente de divisão 4a 2b: 2ac pode ser indicado

ou assim: 4a 2b: 2ac , ou assim:

68. Divisão de um polinômio por um monômio.

Seja necessário dividir o polinômio a + b - c em um monômio m , que pode ser expresso da seguinte forma:

(a + b - c) : m , ou ,

Polinomial a + b - c existe uma soma algébrica, e para dividir a soma algébrica por algum número, cada termo pode ser dividido por este número separadamente; É por isso:

Isso pode ser verificado por verificação: multiplicando o polinômio uma /m+ b /m - c /m para o divisor m , obtemos o dividendo a + b - c

Regra. Para dividir um polinômio em um monômio, é necessário dividir cada termo do polinômio nesse monômio e somar os quocientes resultantes.

Obviamente, a divisão dos termos de um polinômio por um monômio é realizada de acordo com a regra de divisão de monômios.

Exemplos.

69. Divisão de um monômio por um polinômio. Seja o monômio necessário uma dividir por polinômio b+ c-d . O quociente de tal divisão não pode ser expresso por um monômio inteiro ou por um polinômio inteiro, pois se assumirmos que o quociente é igual a algum monômio inteiro ou polinômio inteiro, então o produto desse quociente pelo polinômio b+ c-d também daria um polinômio, e não um monômio, conforme exigido pela divisão. Quociente de divisão uma no b+ c-d só pode ser indicado por sinais de divisão:

uma : (b+ c-d ), ou

70. Divisão de um polinômio por um polinômio. O quociente de dividir um polinômio por um polinômio só em casos raros pode ser expresso como um polinômio inteiro. Por exemplo:

(a 2 + 2ab + b 2 ) : (a + b) = a + b

como (a + b) (a + b) = (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 .

Em geral, tais quocientes só podem ser denotados por um sinal de divisão. Por exemplo, o quociente de divisão a - b + c no d-e seria expresso assim:

Ou ( a - b + c ): (d-e).

Às vezes é possível expressar o quociente como um polinômio inteiro quando ambos os polinômios estão localizados em potências da mesma letra. Vamos mostrar como fazer isso com o exemplo a seguir:

(5x 2 - 19x 3 + 17x + 6x 4 - 4): (1 - 5x + 3x 2) .

Escrevemos ambos os polinômios em potências decrescentes da letra X e organize a divisão como é ao dividir números inteiros:

Suponha que o quociente requerido seja igual a algum polinômio e que os termos desse polinômio também estejam localizados em potências decrescentes da letra X .

O dividendo deve ser igual ao produto do divisor pelo quociente. A partir da multiplicação de polinômios arranjados, sabe-se que o maior termo do produto é igual ao produto do maior termo multiplicando e o maior termo do multiplicador. No divisível, o termo mais alto é o primeiro, no divisor e no quociente, os termos mais altos também são os primeiros. Assim, o 1º termo do dividendo ( 6x 4 ) deve ser o produto do 1º termo do divisor ( 3x 2 ) pelo 1º termo do quociente. Daqui resulta: para encontrar o 1º termo do quociente, basta dividir o 1º termo do dividendo pelo 1º termo do divisor. Dividindo, encontramos o 1º membro do quociente 2x 2 . Nós o escrevemos abaixo da linha em privado.

Multiplicamos todos os termos do divisor pelo 1º termo do quociente e subtraímos o produto resultante do dividendo. Para fazer isso, escrevemos sob o dividendo, de modo que os termos semelhantes estejam sob os semelhantes e todos os termos do subtraendo sejam invertidos. Obtemos depois de subtrair o 1º resto. Se esse resto for igual a zero, isso significaria que não há outros termos no quociente, exceto o 1º encontrado, ou seja, que o quociente é um monômio. Se, como no nosso exemplo, o 1º resto não for zero, argumentaremos da seguinte forma.

O dividendo é o produto de todos os termos do divisor por todos os termos do quociente. Subtraímos do dividendo o produto de todos os membros do divisor pelo 1º membro do quociente; portanto, o 1º resto contém o produto de todos os termos do divisor pela 2ª, pela 8ª e pelos membros seguintes do quociente. O termo mais alto no restante é o 1º; o membro mais alto do divisor também é o 1º; o termo mais alto do quociente (sem contar o 1º) é o 2º termo. Assim, o 1º termo do resto (- 9x 3 ) deve ser igual ao produto do 1º termo do divisor pelo 2º termo do quociente. Disso concluímos: para encontrar o 2º membro do quociente, basta dividir o 1º membro do 1º resto pelo 1º membro do divisor. Dividindo, encontramos o 2º membro do quociente - Zx . Nós escrevemos em particular.

Multiplicamos pelo 2º membro do quociente todos os membros do divisor e subtraímos o produto resultante do 1º resto. Obtemos o 2º restante. Se este resto for zero, então a divisão acabou; se, como no nosso exemplo, o 2º resto não for igual a zero, argumentaremos da seguinte forma.

O 2º resto é o produto de todos os termos do divisor e o 3º, 4º e seguintes termos do quociente. Como desses membros do quociente o maior é o 3º, então, como o anterior, encontraremos o 3º termo do quociente se dividirmos o 1º termo do 2º resto pelo 1º termo do divisor. Dividindo, encontramos - 4 . Multiplicando por -4 todos os termos do divisor e subtraindo o produto do resto, obtemos o 3º resto. Em nosso exemplo, esse resto acabou sendo zero; isso mostra que o private não pode conter outros membros além dos encontrados. Se o 3º resto não fosse 0, então, como o anterior, seria necessário dividir o 1º termo deste resto pelo 1º termo do divisor; isso daria o 4º termo do quociente, e assim por diante.

Poder-se-ia dispor o dividendo e o divisor em potências ascendentes da mesma letra, e depois proceder como acabamos de dizer; neste caso, seria preciso confiar no fato de que o menor termo do produto é igual ao produto do menor termo do multiplicando pelo menor termo do multiplicador.

71. Exemplos.

Não escrevemos aqui os produtos do 1º termo do divisor pelo 1º, pelo 2º, etc., membros do quociente, pois esses produtos são sempre iguais aos termos sob os quais são assinados, e são sempre reduzidos quando subtraído. Eles costumam fazer isso. Além disso, ao assinar subtraendos, nós os escrevemos diretamente com sinais reversos.

De maneira semelhante, podemos verificar que as diferenças x 5 - um 5 , x 6 - um 6 ... e de um modo geral
xm - am dividido sem resto pela diferença x - um , ou seja que a diferença das mesmas potências de dois números é divisível pela diferença desses números sem deixar resto .

72. Sinais da impossibilidade de dividir polinômios. A partir do processo descrito, pode-se ver que a divisão de um polinômio por um polinômio não pode ser realizada nos seguintes casos:

a) Se o expoente da letra maiúscula no termo mais alto do dividendo for menor que o expoente da mesma letra no termo mais alto do divisor, porque então o termo mais alto do quociente não pode ser obtido.

b) Se o expoente da letra maiúscula no termo mais baixo do dividendo for menor que o expoente. da mesma letra no termo mais baixo do divisor, porque então é impossível aprender o termo mais baixo do quociente.

c) Se os indicadores da letra principal nos termos superior e inferior do dividendo não forem inferiores, respectivamente, aos indicadores desta letra nos termos superior e inferior do divisor, não se pode dizer que a divisão é possível. Nesse caso, para julgar a possibilidade ou impossibilidade de divisão, devemos começar a realizar a ação em si e continuá-la até que estejamos finalmente convencidos da possibilidade ou impossibilidade de obter um quociente na forma de um polinômio.

Neste caso, dois casos devem ser distinguidos:

I. Quando os polinômios são organizados em potências decrescentes da letra principal, eles continuam a ação até o resto ser 0 (então a divisão é possível e completa), ou até atingirem tal resto, cujo 1º termo contém o principal letra com o indicador menor que o índice do 1º termo do divisor (então a divisão é impossível). Por exemplo:

A divisão é impossível, pois chegamos a tal resto, em que o 1º termo não é divisível pelo 1º termo do divisor.

II. Quando os polinômios estão dispostos em potências crescentes, então, por mais que continuemos a divisão, nunca obteremos tal resto, em que o expoente do 1º membro seria menor que o expoente do 1º membro do divisor, pois com tal arranjo, os índices da letra maiúscula nos resíduos dos primeiros membros estão aumentando. Por exemplo:

Continuando a ação, entraríamos em um termo privado - 4a 3 , mas se fosse possível obter um quociente inteiro (sem resto), então seu último membro teria que ser 5a 2 (da divisão do membro mais alto do dividendo pelo membro mais alto do divisor); então a divisão é impossível.

Comente. A divisão de polinômios é descrita com mais detalhes na 2ª parte, § 390 e segs.

Capítulo cinco.

Fatoração.

73. Observação preliminar. Falando em divisão algébrica, destacamos que em alguns casos o quociente só pode ser denotado pelo sinal de divisão. As expressões resultantes são assim:

etc.,

chamado frações algébricas pela semelhança dessas expressões com frações aritméticas.

Veremos em breve que frações algébricas, como as aritméticas, às vezes podem ser simplificadas reduzindo (ou seja, dividindo) o dividendo e dividindo por seus fatores comuns, se houver. Para tornar essa redução possível sem dificuldade, é preciso aprender a fatorar expressões algébricas (assim como na aritmética, para reduzir frações, é preciso ser capaz de fatorar inteiros em seus fatores constituintes).

74. Decomposição de monômios inteiros. Tome algum monômio inteiro, por exemplo. 6a2b 3 . Como é um produto, então por um de seus tipos pode ser imediatamente decomposto em fatores constituintes. Então:

6a2b 3 =2 3 (aa) (bbb) = 2 3aabbb.

Combinando esses fatores em alguns grupos (usando a propriedade associativa da multiplicação), podemos indicar várias expansões para este monômio, por exemplo:

6a2b 3 =(6a) (ab 3) \u003d (2a 2 b) (3b 2) \u003d (Zab 2) (2ab) etc.

75. Decomposição de polinômios. Vamos indicar os casos mais simples em que um polinômio pode ser fatorado.

a) Como (a + b - c) m = am + bm - cm , e vice versa:

am + bm - cm = (a + b - c) m .

Por isso, se todos os termos do polinômio contiverem um fator comum, ele poderá ser retirado dos colchetes.

Por exemplo: 1) x 6 -2x 2 + 3x \u003d x (x 5 -2x + 3).

2) 16a 2 - 4a 3 \u003d 4a 2 (4 - a).

3) 5m(x - 1) + 3n (x - 1) = (x - 1) (5m - 3n).

b) Como

(a + b) (a-b) \u003d a 2 - b 2

e vice versa:

a 2 - b 2 \u003d (a + b) (a-b)

Por isso, um binômio, que é o quadrado de um número sem o quadrado de outro número, pode ser substituído pelo produto da soma desses números pela diferença.

dentro) Como (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 e (a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2 , e vice versa:

a 2 + 2ab + b 2 = (a + b) 2 = (a + b) (a + b) e

a 2 - 2ab + b 2 = (a - b) 2 ==(a - b) (a - b) ,

Então o trinômio, que é a soma dos quadrados de quaisquer dois números, aumentada ou diminuída de duas vezes o produto desses números, pode ser vista como o quadrado da soma ou diferença desses números.

Exemplos.

1) a 2 + 2 a +1 . Como 1=1 2 e 2a = 2a 1 , então

a 2 + 2a +1 = (a + 1) 2 .

2) x 4 + 4 - 4x 2 . Aqui x 4 \u003d (x 2) 2, 4 \u003d 2 2 e 4x 2 \u003d 2x 2 2 ;

É por isso: x 4 + 4 - 4x 2 = (x 2 - 2) 2 . Pode-se escrever também que

x 4 + 4 - 4x 2 = (2x2) 2 , pois são binômios. x 2 - 2 e 2x2 , sendo elevado ao quadrado, dê trinômios que diferem apenas na ordem dos termos:

(x 2 - 2) 2 = x 4 + 4 - 4x 2 ; (2x2) 2 = 4 - 4x 2 + x4 .

3) -x + 25x 2 + 0,01 . Há dois quadrados aqui: 25x2 = (5x) 2 e 0,01 = 0,1 2 . O produto duplo dos números 5x e 0,1 é: 2 5x 0,1 = x . Uma vez que neste trinômio ambos os quadrados estão com um sinal +, e o produto duplo (ou seja, X ) com sinal -, então

-x + 25x 2 + 0,01 = 25x2 - X + 0,01 = (5x - 0,1) 2 = (0,1 - 5x) 2 .

4) - x 2 - y 2 + 2xy. Vamos colocar o sinal - fora dos colchetes: - ( x 2 + y 2 - 2xy ). O trinômio entre parênteses é obviamente (x-y) 2 .

- x 2 - y 2 + 2xy = - (x 2 + y 2 - 2xy ) = - (x - y) 2 = - (s-x) 2 .

d) Às vezes, um polinômio pode ser fatorado combinando seus membros em alguns grupos.

Capítulo seis.

Frações algébricas.

76. A diferença entre uma fração algébrica e uma aritmética. Como dissemos antes, o quociente da divisão de duas expressões algébricas no caso em que a divisão é apenas indicada é chamado fração algébrica. Estas são, por exemplo, as expressões:

Em tais expressões, o dividendo é chamado de numerador, o divisor é o denominador e ambos são os termos da fração.

Lembre-se de que uma fração aritmética também é o quociente da divisão do numerador pelo denominador. Assim, a fração 3/5 não significa apenas três dessas ações, que estão contidas na unidade cinco; esta fração também significa a quinta parte de três unidades, ou seja, é um quociente de dividir 3 por 5. Mas a diferença entre uma fração algébrica e uma aritmética é que uma fração aritmética é um quociente de dividir um inteiro positivo por outro inteiro positivo , então, assim como uma fração algébrica é um quociente da divisão de quaisquer números, tanto inteiros quanto fracionários, positivos e negativos. Por exemplo, expressões:

não pode ser chamado de frações aritméticas; estes serão casos especiais de frações algébricas. Assim, uma fração algébrica é um conceito mais amplo do que uma fração aritmética; inclui uma fração aritmética como um caso especial.

No entanto, apesar dessa diferença, todas as propriedades de uma fração aritmética pertencem, como veremos neste capítulo, a uma fração algébrica.

77. A propriedade principal de uma fração. Como a fração é o quociente da divisão do numerador pelo denominador, e o quociente não muda de multiplicar (ou dividir) o dividendo e o divisor pelo mesmo número (exceto zero) (Seção 1 § 34, e), então o mesma propriedade pertence à fração, ou seja, o valor de uma fração não muda se seu numerador e denominador forem multiplicados (ou divididos) pelo mesmo número (exceto zero) . Por exemplo, se multiplicarmos o numerador e o denominador de uma fração

vamos colocar - 4 / 9 , então teremos: a primeira fração

nova fração:

vemos que o valor da fração permanece o mesmo.

Usando esta propriedade de uma fração, podemos realizar as mesmas transformações em frações algébricas que são indicadas em aritmética para frações aritméticas, ou seja, podemos reduzir, se possível, frações e trazê-las, se necessário, a um denominador. Vamos considerar essas transformações e apontar algumas outras que não são usadas na aritmética.

78. Reduzindo membros de uma fração a uma forma inteira. Se acontecer que os próprios membros de uma fração contenham frações, multiplicando-os por um número escolhido corretamente ou por uma expressão algébrica, podemos nos livrar dessas frações.

Exemplos.

79. Alteração dos signos dos membros de uma fração. Inverter o sinal na frente do numerador e denominador de uma fração é como multiplicá-los por -1, o que não altera o valor da fração. Então:

Observe que se mudarmos o sinal na frente de qualquer membro da fração e ao mesmo tempo mudarmos o sinal na frente da própria fração, o valor da fração também não mudará; por exemplo:

Essas propriedades de uma fração podem às vezes ser usadas para alguma transformação dela; por exemplo:

80. Redução de frações. Para reduzir uma fração algébrica, é necessário, se possível, primeiro encontrar tal expressão algébrica pela qual ambos os termos da fração sejam divisíveis e depois dividi-los por essa expressão. Considere como é mais conveniente fazer isso nos dois casos a seguir.

a) Pegue uma fração em que ambos os termos são monômios inteiros; por exemplo:

Chances 12 e 20 são divisíveis por 4, e expressões literais são divisíveis por uma e em x 2 , Então esta fração pode ser reduzida por 4ax 2 :

(acima da fração, escrevemos os fatores comuns pelos quais reduzimos a fração; em vez de dividir 3ax no 5 nós dividimos em 5 coeficiente apenas 3 ).

b) Se a fração tem um numerador ou denominador (ou ambos) são polinômios, então esses polinômios devem primeiro ser fatorados (como indicado em); se entre eles são os mesmos, então a fração pode ser reduzida sobre eles.

Exemplos.

(em vez de dividir por 2, a multiplicação por 1/2 é definida, o que equivale a dividir por 2).

81. Reduzindo frações a um denominador comum,

a) Seja necessário reduzir a um denominador comum frações com denominadores expressos em números, por exemplo, como:

Para fazer isso, decompomos os denominadores em fatores primos:

3; 15 = 3 5; 18 = 2 3 3

e encontre seu menor múltiplo; isso será 2 3 3 5 = 90. Agora encontre para cada denominador um fator adicional pelo qual multiplique este denominador para obter 90. Esses fatores adicionais serão:

90:3 = 30; 90:15 = 6, 90:18 = 5.

Para que as frações não mudem de valor, é necessário multiplicar os numeradores pelos mesmos números pelos quais multiplicamos os denominadores:

(Multiplicadores adicionais são escritos acima das frações).

b) Tomemos agora frações cujos denominadores são monômios literais; por exemplo:

Para o denominador comum, pode-se obviamente tomar 30ab 2 . Os multiplicadores adicionais serão então: 15ab, 10b e 6 :

Vamos fatorar cada denominador. Os dois primeiros não se decompõem e o terceiro = (a + b) (a - b) . Então o denominador comum será a 2 - b 2 , e obtemos:

d) Pode acontecer que nenhum par de denominadores tenha fatores comuns. Então devemos proceder como é feito em um caso semelhante em aritmética, a saber: multiplicar o numerador e denominador de cada fração pelo produto do significativo de todas as outras frações. Por exemplo:

82. Adição e subtração de frações. Pela regra de dividir um polinômio por um monômio, podemos escrever:

Lendo essas igualdades da direita para a esquerda, encontramos:

1) Para adicionar frações com os mesmos denominadores, você pode adicionar seus numeradores e assinar o mesmo denominador sob a soma ;

2) para subtrair frações com os mesmos denominadores, você pode subtrair seus numeradores e assinar o mesmo denominador sob a diferença;

Se os dados para adicionar ou subtrair uma fração têm denominadores diferentes, eles devem primeiro ser trazidos para o mesmo denominador. Por exemplo:

Como resultado da subtração obtemos:

83. Multiplicação de frações. Para multiplicar uma fração por uma fração, você pode multiplicar o numerador pelo numerador e o denominador pelo denominador e tomar o primeiro produto como numerador e o segundo como denominador, ou seja

Lembre-se da explicação dessa regra aplicada às frações aritméticas. Que seja multiplicado 2 / 3 4 / 5 Significa encontrar 4 / 5 a partir de 2 / 3 (ex. encontrar 4 / 5 comprimento igual a 2 / 3 metros). Para fazer isso, você deve primeiro encontrar 1 / 5 a partir de 2 / 3 e então 4 / 5 a partir de 2 / 3 . Encontrar 1 / 5 a partir de 2 / 3 necessário 2 / 3 reduzir em 5 vezes; Nós temos 2 / 15 . Para encontrar agora 4 / 5 a partir de 2 / 3 , necessário 2 / 15 aumentar em 4 vezes; Nós temos 8 / 15 . Por isso:

Agora vamos verificar esta regra para frações algébricas, quando os números a, b, c e d será o que for. Suponha primeiro que todos esses números sejam positivos, mas não inteiros, mas fracionários. Vamos, por exemplo:

Vamos substituir esses números na igualdade (1), calcular separadamente suas partes esquerda e direita e comparar os resultados que obtemos (ao calcular, seremos guiados pelas regras de divisão e multiplicação de frações aritméticas):

(não realizaremos o cálculo final).

Agora vamos encontrar o lado direito da igualdade (1):

Comparando os resultados obtidos, vemos que eles são os mesmos, pois (de acordo com a propriedade comutativa da multiplicação de inteiros) 2 8 5 4 = 2 5 8 4 e 3 7 6 9 = 3 6 7 9. Portanto, igualdade (1) permanece verdadeiro e neste caso.

Agora suponha que alguns dos números a, b, c e d se tornem negativos. seja, por exemplo, a = - 2 / 3 ( b, c e d têm os mesmos valores). Então a fração uma / b torna-se negativo, e todo o lado esquerdo da igualdade (1) também será um número negativo. Do lado direito do trabalho ás torna-se negativo e, portanto, todo o lado direito também será um número negativo. O valor absoluto do lado esquerdo e do lado direito permanecerá o mesmo. Portanto, a igualdade (1) não é violada. Também garantimos que a igualdade (1) permaneça verdadeira mesmo quando outros números se tornam negativos.

Tudo o que acabamos de dizer sobre um exemplo particular pode ser repetido sobre qualquer outro exemplo; portanto a igualdade (1) é verdadeira para quaisquer valores das letras a, b, c e d .

84. Divisão de frações. Para dividir uma fração por uma fração, você pode multiplicar o numerador da primeira fração pelo denominador da segunda, o denominador da primeira pelo numerador da segunda, e tomar o primeiro produto como numerador e o segundo como denominador , ou seja

Que esta igualdade é verdadeira para todos os números a, b, c, d , você pode ter certeza por uma simples verificação da divisão: multiplicando o quociente pelo divisor (de acordo com a regra para multiplicar frações provada acima), obtemos o dividendo:

85. Observações. 1) Desde de Anúncios /bc=a/bd/ c , então a regra de divisão pode ser expressa de outra forma: Para dividir uma fração por uma fração, você pode multiplicar a primeira fração pelo inverso da segunda.

2) Qualquer expressão algébrica inteira pode ser considerada como uma fração, em que o numerador é essa expressão inteira e o denominador é 1; por exemplo.

uma = a/1 ; 3x 2 = 3x 2 /1 etc.

Portanto, as regras dadas por nós para ações em frações também podem ser aplicadas a esses casos em que qualquer uma dessas expressões é um número inteiro, só é necessário representar esse número inteiro (pelo menos mentalmente) como uma fração. Por exemplo:

86. A liberação da equação dos denominadores. Seja a equação dada:

Reversível 6 3 / 5 em uma fração imprópria e trazer todos os termos para o mesmo denominador:

Agora multiplique todos os termos por 10; então o denominador 10 será destruído e obteremos a equação sem frações:

Para evitar um erro, incluímos um binômio 7x-2 entre parênteses para mostrar que o sinal - nesta equação na frente da segunda fração não se refere a 7x , e para todo o binômio 7x-2 (para o numerador da segunda fração). Expandindo esses colchetes de acordo com a regra de subtração, temos:

Por isso, para libertar uma equação de denominadores, é necessário trazer todos os seus termos para o mesmo denominador e depois multiplicá-los por este denominador (em outras palavras, largue ).

Capítulo sete.

razão e proporção.

87. Atitude. Muitas vezes é necessário comparar um valor com outro, homogêneo a ele, para saber quantas vezes o primeiro valor contém o segundo.

Por exemplo, para isso podemos comparar o peso de um objeto com o peso de outro objeto, o preço de um produto com o preço de outro produto, etc. Em todos esses casos, o resultado da comparação é expresso como um número , que pode ser um inteiro e um inteiro com uma fração e fracionário. Vamos, por exemplo, comparar o comprimento uma com comprimento diferente b , e o resultado da comparação acabou sendo o inteiro 3 .

Isso significa que o comprimento uma contém o comprimento b exatamente 3 vezes (em outras palavras, uma mais b Três vezes).

Se o resultado da comparação for um número inteiro com uma fração, por exemplo. 2 1/2 , então isso significa que uma contém b 2 1/2 vezes ( uma mais b 2 1/2 vezes).

Se, por fim, o resultado da comparação for uma fração, coloque 3/4 , então uma não contém b não uma vez, mas apenas 3/4 b .

Em todos esses casos, o resultado da comparação é um número abstrato pelo qual o segundo valor deve ser multiplicado para obter o primeiro. Então, em nossos exemplos:

a = b3; a = b 2 1 / 2 ; a = b 3/4;

O resultado da comparação de uma quantidade com outra quantidade homogênea é geralmente chamado de razão entre a primeira e a segunda. Meios, a razão de uma quantidade para outra quantidade homogênea é um número abstrato pelo qual a segunda quantidade deve ser multiplicada para obter a primeira. Como esse número é o quociente da divisão do primeiro valor pelo segundo, a razão é indicada pelo sinal de divisão. Assim, você pode escrever:

uma / b (ou a:b) =3; uma / b = 2 1 / 2 uma / b = 3 / 4 . etc.

Os valores entre os quais a razão é tomada são chamados de membros da relação, sendo o primeiro valor chamado de membro anterior e o segundo o próximo.

Se as quantidades são medidas pela mesma unidade e expressas em números, sua razão pode ser substituída pela razão desses números. Por exemplo, a razão de dois pesos, um de 80 g e outro de 15 g, é igual à razão dos números 80 e 15, ou seja, é igual ao quociente 80:15, que é 5 1 / 3 ; da mesma forma, a razão de um ângulo de 30° para um ângulo reto é igual ao quociente 30:90, ou seja, frações 1 / 3

É necessário comparar entre si na maior parte quantidades positivas; portanto, ambos os termos da relação e a própria relação serão considerados como números positivos.

88. Dependência entre relação e seus membros o mesmo que existe entre o dividendo, o divisor e o quociente.

a) O termo anterior é igual ao seguinte multiplicado pela razão (o dividendo é igual ao divisor multiplicado pelo quociente). Se, por exemplo, a razão de algum número desconhecido X para o número 100 é igual a 2 1 / 2 , então X = 100 2 1 / 2 = 250 .

b) O próximo termo é igual ao anterior dividido pela razão (o divisor é igual ao dividendo dividido pelo quociente). Então, se for conhecido que 15: X = 5, então X = 15: 5 = 3.

dentro) A razão não mudará se ambos os seus membros forem multiplicados ou divididos pelo mesmo número (o quociente não mudará se...).

89. Trazendo os membros da relação para toda a forma. Multiplicando ambos os termos da relação pelo mesmo número, podemos substituir a relação com membros fracionários pela relação de inteiros. Sim, atitude 7 / 3 : 5 multiplicando seus membros por 3, ele se transformará em uma proporção de inteiros 7:15; a proporção 9 / 14: 10 / 21, depois de multiplicar seus termos por um denominador comum 42, também se transformará em uma proporção de inteiros 27: 20.

90. Reduzindo o relacionamento. Se ambos os membros da relação são inteiros divisíveis por algum divisor comum, então tal relação pode ser reduzida. Assim, a proporção de 42:12 dividindo seus membros por 6 seria 7:2.

91. Relação inversa. Se rearranjarmos os termos da relação, ou seja, fizermos o termo anterior seguir, e vice-versa, obtemos uma nova relação, que é chamada de inversa da anterior. Assim, a razão do metro para o centímetro é inversa à razão do centímetro para o metro; o primeiro é igual ao número 100, o segundo é igual ao recíproco de 0,01.

92. Proporção. Observando que a razão de quilograma para grama é 1000 e que a razão de quilômetro para metro também é 1000, podemos escrever a equação:

ou quilograma: grama = quilômetro: metro, com a seguinte redacção: a relação de um quilograma para um grama é igual à relação de um quilómetro para um metro; ou assim: um quilograma está relacionado a um grama como um quilômetro está relacionado a um metro (ou ainda assim: um quilograma é tantas vezes maior que um grama quanto um quilômetro é maior que um metro).

A igualdade de duas razões é chamada de proporção. É claro que as quantidades envolvidas em cada razão devem ser homogêneas; então, em nosso exemplo, os valores da primeira proporção são pesos e os valores da segunda proporção são comprimentos.

Dos quatro valores que compõem a proporção, o primeiro e o quarto são chamados de termos extremos, o segundo e o terceiro são os termos médios, o primeiro e o terceiro são os anteriores, o segundo e o quarto são os subsequentes uns. A última quantidade também é chamada de quarta proporcional às três primeiras quantidades.

Vamos supor que todos os quatro termos da proporção sejam expressos em números; chamaremos tal proporção numérica.

93. A principal propriedade da proporção numérica. Suponha que temos as seguintes proporções numéricas:

21/7 = 15/5 (cada proporção = 3)

Tomemos em cada proporção o produto dos termos extremos e o produto dos termos médios e os comparemos entre si. Na primeira proporção, o produto dos extremos é

21 5=105 e o produto das médias é 7 15=105; na segunda proporção, o produto dos extremos \u003d 2 1 / 2 3 = 7 1/2 e produto das médias = 3/4 10 = 7 1/2

Assim, em cada uma das proporções tomadas, o produto dos termos extremos é igual ao produto dos médios.

Para mostrar que essa propriedade pertence a qualquer proporção numérica, tomemos a proporção na forma literal:

uma / b = com / d

Como cada uma das duas razões que compõem a proporção é o quociente da divisão do termo anterior pelo seguinte, podemos dizer que a proporção é a igualdade de duas frações. Vamos trazer essas frações para um denominador comum bd .

Agora multiplicamos ambos os lados da equação por bd (da qual a igualdade não será violada); então o denominador comum diminuirá e obtemos a igualdade:

anúncio = cb ,

expressando que em qualquer proporção numérica o produto dos termos extremos é igual ao produto dos médios.

Disso segue-se que cada membro extremo da proporção é igual ao produto das médias dividido pelo outro extremo, e cada membro médio da proporção é igual ao produto dos extremos dividido pela outra média. Isso nos dá a capacidade de resolver rapidamente equações dadas como proporções; por exemplo, da equação

10 / x = 45 / 20

saída diretamente: X = 10 20 / 45 = 4 4 / 9 .

94. Proposta inversa. Suponha que temos 4 números tais que o produto de dois deles é igual ao produto dos outros dois, por exemplo:

Podemos transformar essa igualdade em uma série de proporções. Para isso, dividimos ambas as partes em cada uma dessas obras:

5 30; 5 2; 12 30; 12 2,

em que um fator é retirado de um determinado produto e o outro de outro. Então obtemos 4 outras igualdades (se dividirmos números iguais em iguais, obtemos iguais), a saber:

Reduzindo todas essas frações, encontramos:

Obtemos assim 4 proporções, em que os termos extremos são os fatores de um dos produtos dados, e os termos médios são os fatores de outro produto dado.

Da mesma forma, podemos transformar a equação 0,3 4 = 6 0,2 nas seguintes proporções:

ou igualdade: 5x=3a podemos converter em proporções:

5:3=y:x ; x:y=3:5 , etc

Assim, se o produto de dois números é igual ao produto de dois outros números, então as proporções podem ser feitas a partir desses 4 números, tomando os fatores de um produto como os termos extremos e os fatores do outro produto como os membros do meio. das proporções.

95. Consequência. Em qualquer proporção numérica, pode-se rearranjar os termos médios entre si, os termos extremos entre si, ou colocar as médias no lugar dos extremos, e vice-versa, pois tais permutações não violarão a igualdade entre o produto dos extremos e os extremos. produto das médias e, portanto, a proporcionalidade dos números não será violada.

96. Média geométrica. Tomemos uma proporção em que os termos médios são os mesmos; Por exemplo:

O termo repetido de tal proporção é chamado média geométrica o número dos outros dois membros da proporção: 12 é a média geométrica de 36 e 4. Assim, se você quiser encontrar a média geométrica de dois números uma e b , então, denotando-o pela letra X , podemos escrever a proporção:

a:x=x:b

x 2 = ab

Portanto, a média geométrica de dois números dados é um terceiro número, cujo quadrado é igual ao produto dos números dados. Por exemplo, a média geométrica de 25 e 4 é 10 porque 10 2 = 25 4 .

97. Média aritmética. A média aritmética de vários números dados é o quociente da divisão da soma desses números pelo seu número. Por exemplo, a média aritmética de 4 números: 10, -2, -8 e 12 é:

A média aritmética tem a propriedade de que se, ao somarmos esses números, substituirmos cada um deles pela média aritmética, a soma não mudará a partir dessa substituição. Assim, a soma dos números 10, -2, -8 e 12 é igual a 12, e a soma de 3+3+3+3 também é igual a 12. Suponha, por exemplo, que a produtividade da fábrica durante primeiros quatro meses do ano em curso, em comparação com sua produtividade em dezembro do ano anterior, aumentou: em janeiro em 10 ° / o, em fevereiro em -2%, em março em - 8% (o que significa que a produtividade diminuiu nos últimos 2 meses) e em abril em + 12%. Então podemos dizer que o aumento médio de produtividade nesses 4 meses é de 3% ao mês. Isso deve ser entendido de tal forma que a produtividade da fábrica para todos os 4 meses acabou sendo a mesma que seria se aumentasse todos os meses da mesma forma, ou seja, 3% (em relação à produtividade de dezembro). Em um sentido semelhante, muitas vezes se fala de renda média, velocidade média de movimento, densidade populacional média, etc. Em todas essas expressões, está implícito que estamos falando sobre a média aritmética.

98. Proporções derivadas. De qualquer proporção, além de permutar seus termos, você pode obter algumas outras proporções, chamadas derivadas. Vamos destacar dois deles.

Se cada uma das razões iguais que compõem a proporção for aumentada ou diminuída de 1, então a igualdade entre as razões, obviamente, não será violada. Portanto, se

Trazendo 1 a um denominador comum com a fração a que se aplica ou da qual se subtrai, obtemos:

Podemos expressar as duas proporções derivadas que derivamos da seguinte forma: em qualquer proporção, a soma ou diferença dos termos da primeira relação se relaciona com o termo subsequente dessa relação da mesma forma que a soma ou diferença dos termos da segunda relação se relaciona com o termo subsequente dessa relação.

Dividimos a igualdade (1) e (2) por essa igualdade uma /b=c/ d então os denominadores b e d diminuir, e obtemos mais duas proporções derivadas:

que pode ser expresso assim: a soma ou diferença dos membros da primeira relação está relacionada com o membro anterior desta relação da mesma forma que a soma ou diferença dos membros da segunda relação está relacionada com o membro anterior desta relação.

Dividindo termo por termo igualdade (1) por igualdade (2), encontramos também a seguinte proporção derivada:

que pode ser expresso assim: a soma dos termos da primeira relação está relacionada à sua diferença da mesma forma que a soma dos termos da segunda relação está relacionada à sua diferença.

Reorganizando os termos médios em duas proporções derivadas, obtemos outras proporções derivadas que são úteis para observar:

99. Propriedade das relações iguais. Vamos tomar várias relações iguais, por exemplo, como:

30/10 = 6/2 = 15/5 (cada proporção = 3).

Vamos adicionar todos os termos anteriores entre si e todos os termos subsequentes entre si e ver qual é a razão entre essas duas somas. A soma dos anteriores é: 30 + 6 + 15 = 51; a soma dos seguintes: 10 + 2 + 5 = 17. Vemos que a razão da primeira soma para a segunda é igual ao mesmo número 3, que é igual a essas razões, então podemos escrever:

Para mostrar que essa propriedade é comum, vamos tomar várias relações iguais na forma literal:

Como o termo anterior é igual ao termo subsequente multiplicado pela razão, então

a = bq, c = dq, e = fq , . . .

e, portanto a + c + e + . . . = bq + dq + fq + . . .

ou seja a + c + e. . =q(b + d + f + . . .)

Divida ambos os lados desta igualdade pela soma b + d + f + . . .

conseqüentemente:

Por isso, se várias razões são iguais entre si, então a soma de todos os seus membros anteriores está relacionada à soma de todos os subsequentes, como qualquer um dos anteriores está relacionado ao seu subsequente.

Como toda proporção consiste em duas razões iguais, essa propriedade também pertence à proporção.

100. Aplicação aritmética.(Divisão proporcional.) Seja o número 60 dividido em três partes em proporção aos números b, 7 e 8. Isso deve ser entendido de tal forma que seja necessário dividir 60 em tais três partes x, y e z , para X tão tratado 5 como no refere-se a 7 e como z refere-se a 8, ou seja, a

x / 5 = y / 7 = z / 8

Aplicando as propriedades de proporções iguais, encontramos:

Mas x + y + z = 60

A partir daqui encontramos:

101. Aplicação geométrica. Sejam dois polígonos semelhantes e os lados de um sejam a, b, c, d, ..., e semelhantes, lados do outro a", b", c", d", ... Então

uma / uma" = b / b" = c / c" = d / d" = ...

ou seja os perímetros de polígonos semelhantes estão relacionados como lados semelhantes .

Comente. Proporções derivadas e a propriedade de razões iguais às vezes podem ser usadas para resolver rapidamente uma equação dada como proporção. Vamos dar exemplos.

Vamos fazer uma proporção derivada: a soma dos membros da primeira relação se relaciona com o membro subsequente da mesma relação da mesma forma que. . .

Então obtemos:

3 /x=47/ 7

Onde

x = 21 / 47

Vamos fazer uma proporção derivada: a soma dos membros da primeira relação se relaciona com sua diferença da mesma forma que. . . Então obtemos:

Vamos fazer uma nova proporção: a soma das anteriores se relaciona com a soma das subsequentes da mesma forma que. . . :

Agora vamos fazer uma proporção derivada: a soma dos termos da primeira relação se relaciona com o termo subsequente dessa relação da mesma forma que. . . :

Capítulo oito.

Dependência proporcional (direta e inversa).

102. Dependência proporcional. Todo mundo sabe por experiência que se o volume de água aumentar (ou diminuir) em qualquer proporção, seu peso aumentará (ou diminuirá) na mesma proporção. Por exemplo, 1 litro de água pesa 1 kg, 2 litros de água pesa 2 kg, 2 1/2 litros de água pesa 2 1/2 kg, etc. (assumindo, é claro, que todas as outras condições que afetam o peso da água permanecem inalteradas; por exemplo, a água é retirada igualmente limpa, à mesma temperatura, etc.). Essa relação entre o volume de água e seu peso é chamada de proporcional vício. Em geral, se dissermos que duas quantidades são proporcionais entre si (ou proporcionais entre si), isso significa que com o aumento (ou diminuição) de um deles em algum aspecto, o outro também aumenta (ou diminui) do mesmo jeito . Assim, o valor de uma mercadoria vendida a peso é proporcional ao seu peso; os salários dos trabalhadores são proporcionais ao seu número (nas mesmas outras condições); o valor de uma fração é proporcional ao seu numerador (com denominador constante); a área de um retângulo é proporcional à sua base com altura constante e proporcional à sua altura com base constante, etc.

103. Expressão da dependência proporcional por uma fórmula. Suponha que estamos resolvendo o seguinte problema:

Um trem ferroviário, movendo-se a uma velocidade uniforme, percorre 30 km a cada hora. Em que espaço esse trem passará uma horas ( uma pode ser inteiro ou fracionário)?

Deixe entrar uma horas o trem vai passar X km.

Organize os dados e a questão do problema da seguinte forma:

30 km são percorridos em 1 hora;

dentro uma hora " X km.

Com movimento uniforme, o espaço percorrido durante algum tempo é proporcional a este tempo. então x deve ser maior ou menor que 30 e tantas vezes quanto uma mais ou menos de 1. Assim, podemos escrever a proporção:

X : 30 = uma : 1 ,

x = 30uma .

Obtemos assim uma fórmula pela qual podemos calcular o espaço percorrido em qualquer número uma horas. Por exemplo, às 2 horas 30 km 2 serão percorridos, às 3 1/2 horas 30 km 3 1/2. em 3/4 horas 30 km 3/4. Então, na fórmula derivada, os números X e uma haverá variáveis ​​(correspondentes entre si), enquanto o número 30 é constante (significa o espaço percorrido pelo trem em 1 hora, ou seja, a velocidade do movimento).

A partir de problemas como o apresentado agora, vemos que se duas quantidades são proporcionais, então o valor numérico de uma delas é igual a algum número constante multiplicado pelo valor numérico correspondente da outra quantidade.

Por outro lado, se a relação entre quaisquer duas variáveis, que denotamos no e X , é expresso por uma fórmula da forma y = kx , Onde k existe algum número constante para essas quantidades, então tais quantidades são proporcionais, pois desta fórmula pode-se ver que com um aumento (ou diminuição) no valor X algum outro valor no também aumenta (ou diminui) e, além disso, na mesma proporção. Por exemplo, como é conhecido da geometria, o comprimento Com raio do círculo R expresso pela fórmula:

C = 6,28R (C = 2πR),

em que R e C- variáveis, e 6,28 - número constante; então podemos concluir que a circunferência de um círculo é proporcional ao seu raio.

Um número constante incluído como um fator em tais fórmulas é chamado coeficiente de proporcionalidade aquelas variáveis ​​às quais a fórmula se refere.

104. Proporção inversa.Às vezes acontece que duas variáveis ​​dependem uma da outra, de modo que, com o aumento de uma, a outra diminui e, além disso, diminui na mesma proporção em que a primeira aumenta. Tais quantidades são chamadas inversamente proporcional(e quantidades que são simplesmente proporcionais às vezes são chamadas de diretamente proporcionais). Por exemplo, o número de horas durante as quais um trem de trem percorre todo o caminho de Moscou a Leningrado é inversamente proporcional à velocidade média desse trem, pois com um aumento de velocidade em 1 1/2 vezes, em 2 vezes ... , em geral, em alguma proporção, o número de horas durante as quais o trem cobrirá a distância de Moscou a Leningrado diminuirá 1 1 / 2 vezes, 2 vezes ..., em geral, na mesma proporção em que o velocidade aumentada. Da mesma forma, o peso de uma mercadoria que pode ser comprada com uma determinada quantia em dinheiro, por exemplo, por 100 rublos, é inversamente proporcional ao preço de um quilograma dessa mercadoria; o tempo durante o qual os trabalhadores realizam o trabalho que lhes é atribuído é inversamente proporcional ao número desses trabalhadores (claro, desde que todos os trabalhadores trabalhem igualmente bem); o valor de uma fração é inversamente proporcional ao seu denominador (com um numerador constante), etc.

Comente. Para que duas quantidades que dependem uma da outra sejam proporcionais (direta ou inversamente), não basta ter o sinal de que com o aumento de uma quantidade a outra também aumenta (por proporcionalidade direta), ou que com o aumento em uma quantidade a outra diminui (por proporcionalidade inversa). Por exemplo, se qualquer termo aumentar, a soma também aumentará; mas seria errôneo dizer que a soma é proporcional ao termo, porque se aumentarmos o termo, vamos colocar 3 vezes, então a soma, embora aumente, mas não 3 vezes. Da mesma forma, é impossível, por exemplo, dizer que a diferença é inversamente proporcional ao subtraendo, pois se o subtraendo aumenta, digamos 2 vezes, então a diferença, embora diminua, mas não 2 vezes. É necessário que o aumento ou diminuição de ambos os valores ocorra no mesmo número de vezes (na mesma proporção).

105. Expressão da proporcionalidade inversa por fórmula. Suponha que estamos resolvendo um problema: um trabalhador pode fazer algum trabalho em 12 dias; em quantos dias eles farão o mesmo trabalho uma trabalhadores?

Denote o número desejado pela letra X e organizar para maior clareza os dados e a questão do problema da seguinte forma:

1 trabalhador faz o trabalho em 12 dias

uma trabalhadores realizam „ „ X dias.

Obviamente, o número de dias necessários para fazer o mesmo trabalho é inversamente proporcional ao número de trabalhadores. Então ( x deve ser inferior a 12 e tantas vezes quanto uma maior que 1 (em outras palavras, que horas é 1 menor que uma ). Então a relação x :12 não deve ser igual a uma proporção uma:1 , como seria com uma relação proporcional direta, e a razão inversa é 1: uma . Assim, podemos escrever a proporção:

x :12 = 1: uma

X = 12 / uma .

Com esta fórmula podemos encontrar o número de dias X necessários para a execução deste trabalho, para qualquer número uma trabalhadores; por exemplo, 2 trabalhadores terminarão o trabalho em 12/2 dias, 3 trabalhadores em 12/3 dias, etc. Portanto, os números X e uma nesta fórmula são variáveis, e o número 12 é constante, significando quantos dias o trabalho é realizado por um trabalhador.

De problemas como o que acabamos de resolver, podemos ver que se quaisquer duas quantidades (que denotaremos pelas letras x e y) são inversamente proporcionais, então o valor numérico de uma delas é igual a algum número constante (vamos denotar k) dividido pelo valor correspondente da outra quantidade , ou seja y= k / x , E se no e X representam os valores correspondentes dessas quantidades.

Desde a fórmula y= k / x pode ser representado assim: xy = k , então a relação entre quantidades inversamente proporcionais pode ser expressa de outra maneira: se duas quantidades são inversamente proporcionais, então o produto de dois valores numéricos correspondentes dessas quantidades é igual a um número constante.

Por outro lado, se a relação entre duas variáveis ​​for expressa pela fórmula:

y= k / x ou xy = k .

Onde k é um número constante, então essas quantidades são inversamente proporcionais, pois pode ser visto pela fórmula que se a quantidade X aumenta várias vezes, então no diminui na mesma proporção.

Por exemplo, sabe-se da física que, a uma temperatura constante, o produto do volume V de uma dada massa de gás e sua elasticidade h é um valor constante; isto, em outras palavras, significa que a elasticidade de uma dada massa de gás é inversamente proporcional ao seu volume (à mesma temperatura).

Comente. Igualdade y= k / x pode ser escrito de forma diferente, assim:

y = k 1 / x

Nesta forma, expressa que a quantidade no diretamente proporcional à fração 1 / x . Então se o número no inversamente proporcional ao número X , então também se pode dizer que o número no diretamente proporcional ao inverso do número x , ou seja 1 / x .

Entre as várias expressões consideradas na álgebra, as somas de monômios ocupam um lugar importante. Aqui estão alguns exemplos de tais expressões:
\(5a^4 - 2a^3 + 0.3a^2 - 4.6a + 8\)
\(xy^3 - 5x^2y + 9x^3 - 7y^2 + 6x + 5y - 2\)

A soma dos monômios é chamada de polinômio. Os termos em um polinômio são chamados de membros do polinômio. Os mononômios também são chamados de polinômios, considerando um monômio como um polinômio que consiste em um membro.

Por exemplo, polinômio
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0,25b \cdot (-12)b + 16 \)
pode ser simplificado.

Representamos todos os termos como monômios da forma padrão:
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0,25b \cdot (-12)b + 16 = \)
\(= 8b^5 - 14b^5 + 3b^2 -8b -3b^2 + 16\)

Damos termos semelhantes no polinômio resultante:
\(8b^5 -14b^5 +3b^2 -8b -3b^2 + 16 = -6b^5 -8b + 16 \)
O resultado é um polinômio, todos os membros do qual são monômios da forma padrão e entre eles não há semelhantes. Esses polinômios são chamados polinômios de forma padrão.

Atras do grau polinomial formulário padrão tomar o maior dos poderes de seus membros. Assim, o binômio \(12a^2b - 7b \) tem o terceiro grau, e o trinômio \(2b^2 -7b + 6 \) tem o segundo.

Normalmente, os membros de polinômios de forma padrão contendo uma variável são organizados em ordem decrescente de seus expoentes. Por exemplo:
\(5x - 18x^3 + 1 + x^5 = x^5 - 18x^3 + 5x + 1 \)

A soma de vários polinômios pode ser convertida (simplificada) em um polinômio de forma padrão.

Às vezes, os membros de um polinômio precisam ser divididos em grupos, colocando cada grupo entre parênteses. Como os parênteses são o oposto dos parênteses, é fácil formular regras de abertura de parênteses:

Se o sinal + for colocado antes dos colchetes, os termos entre colchetes serão escritos com os mesmos sinais.

Se um sinal "-" for colocado na frente dos colchetes, os termos entre colchetes serão escritos com sinais opostos.

Transformação (simplificação) do produto de um monômio e um polinômio

Usando a propriedade distributiva da multiplicação, pode-se transformar (simplificar) o produto de um monômio e um polinômio em um polinômio. Por exemplo:
\(9a^2b(7a^2 - 5ab - 4b^2) = \)
\(= 9a^2b \cdot 7a^2 + 9a^2b \cdot (-5ab) + 9a^2b \cdot (-4b^2) = \)
\(= 63a^4b - 45a^3b^2 - 36a^2b^3 \)

O produto de um monômio e de um polinômio é identicamente igual à soma dos produtos desse monômio e cada um dos termos do polinômio.

Este resultado é geralmente formulado como uma regra.

Para multiplicar um monômio por um polinômio, deve-se multiplicar esse monômio por cada um dos termos do polinômio.

Usamos repetidamente essa regra para multiplicar por uma soma.

O produto de polinômios. Transformação (simplificação) do produto de dois polinômios

Em geral, o produto de dois polinômios é identicamente igual à soma do produto de cada termo de um polinômio e cada termo do outro.

Geralmente use a seguinte regra.

Para multiplicar um polinômio por um polinômio, você precisa multiplicar cada termo de um polinômio por cada termo do outro e adicionar os produtos resultantes.

Fórmulas de multiplicação abreviadas. Quadrados de Soma, Diferença e Diferença

Algumas expressões em transformações algébricas precisam ser tratadas com mais frequência do que outras. Talvez as expressões mais comuns sejam \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) e \(a^2 - b^2 \), ou seja, o quadrado da soma, o quadrado da diferença e diferença quadrada. Você notou que os nomes das expressões indicadas parecem estar incompletos, então, por exemplo, \((a + b)^2 \) é, obviamente, não apenas o quadrado da soma, mas o quadrado da soma de a e b. No entanto, o quadrado da soma de a e b não é tão comum, como regra, em vez das letras a e b, contém várias expressões, às vezes bastante complexas.

As expressões \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) são fáceis de converter (simplificar) em polinômios da forma padrão; de fato, você já encontrou essa tarefa ao multiplicar polinômios :
\((a + b)^2 = (a + b)(a + b) = a^2 + ab + ba + b^2 = \)
\(= a^2 + 2ab + b^2 \)

As identidades resultantes são úteis para serem lembradas e aplicadas sem cálculos intermediários. Formulações verbais curtas ajudam nisso.

\((a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab \) - o quadrado da soma é igual à soma dos quadrados e o produto duplo.

\((a - b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab \) - o quadrado da diferença é a soma dos quadrados sem dobrar o produto.

\(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \) - a diferença de quadrados é igual ao produto da diferença pela soma.

Essas três identidades permitem transformações para substituir suas partes esquerdas por direitas e vice-versa - partes direitas por esquerdas. O mais difícil neste caso é ver as expressões correspondentes e entender o que as variáveis ​​a e b são substituídas nelas. Vejamos alguns exemplos de uso de fórmulas de multiplicação abreviadas.

Primeiro nível

Conversão de expressão. Teoria Detalhada (2019)

Conversão de expressão

Muitas vezes ouvimos esta frase desagradável: "simplifique a expressão". Normalmente, neste caso, temos algum tipo de monstro assim:

“Sim, muito mais fácil”, dizemos, mas essa resposta geralmente não funciona.

Agora vou ensiná-lo a não ter medo de tais tarefas. Além disso, no final da lição, você mesmo simplificará este exemplo para um (apenas!) número comum (sim, para o inferno com essas letras).

Mas antes de começar esta lição, você precisa ser capaz de lidar com frações e fatorar polinômios. Portanto, primeiro, se você ainda não fez isso antes, certifique-se de dominar os tópicos "" e "".

Leitura? Se sim, então você está pronto.

Operações básicas de simplificação

Agora vamos analisar as principais técnicas que são usadas para simplificar expressões.

O mais simples deles é

1. Trazendo similares

O que são semelhantes? Você passou por isso na 7ª série, quando as letras apareceram pela primeira vez em matemática em vez de números. Semelhantes são os termos (monômios) com a mesma parte da letra. Por exemplo, na soma, os termos semelhantes são e.

Lembrou?

Trazer termos semelhantes significa adicionar vários termos semelhantes entre si e obter um termo.

Mas como podemos juntar as letras? - você pergunta.

Isso é muito fácil de entender se você imaginar que as letras são algum tipo de objeto. Por exemplo, a carta é uma cadeira. Então qual é a expressão? Duas cadeiras mais três cadeiras, quanto será? Isso mesmo, cadeiras: .

Agora tente esta expressão:

Para não ficar confuso, deixe letras diferentes denotarem objetos diferentes. Por exemplo, - esta é (como sempre) uma cadeira e - esta é uma mesa. Então:

cadeiras mesas cadeiras mesas cadeiras cadeiras mesas

Os números pelos quais as letras em tais termos são multiplicados são chamados coeficientes. Por exemplo, no monômio o coeficiente é igual. E ele é igual.

Então, a regra para trazer semelhantes:

Exemplos:

Traga semelhante:

Respostas:

2. (e são semelhantes, pois, portanto, esses termos têm a mesma letra).

2. Fatoração

Esta é geralmente a parte mais importante na simplificação de expressões. Depois de fornecer os semelhantes, na maioria das vezes a expressão resultante deve ser fatorada, ou seja, apresentada como um produto. Isso é especialmente importante em frações: afinal, para reduzir uma fração, o numerador e o denominador devem ser representados como um produto.

Você passou pelos métodos detalhados de fatoração de expressões no tópico "", então aqui você só precisa lembrar o que aprendeu. Para isso, resolva alguns exemplos(a ser fatorado):

Soluções:

3. Redução de fração.

Bem, o que poderia ser melhor do que riscar parte do numerador e do denominador e jogá-los fora de sua vida?

Essa é a beleza da abreviação.

É simples:

Se o numerador e o denominador contiverem os mesmos fatores, eles podem ser reduzidos, ou seja, removidos da fração.

Esta regra decorre da propriedade básica de uma fração:

Ou seja, a essência da operação de redução é que Dividimos o numerador e o denominador de uma fração pelo mesmo número (ou pela mesma expressão).

Para reduzir uma fração, você precisa:

1) numerador e denominador fatorar

2) se o numerador e o denominador contiverem Fatores comuns, eles podem ser excluídos.

O princípio, eu acho, é claro?

Eu gostaria de chamar sua atenção para um erro típico de abreviação. Embora este tópico seja simples, mas muitas pessoas fazem tudo errado, sem perceber que cortar- Isso significa dividir numerador e denominador pelo mesmo número.

Sem abreviaturas se o numerador ou denominador for a soma.

Por exemplo: você precisa simplificar.

Alguns fazem isso: o que é absolutamente errado.

Outro exemplo: reduzir.

"O mais inteligente" fará isso:.

Diga-me o que há de errado aqui? Parece: - este é um multiplicador, então você pode reduzir.

Mas não: - este é um fator de apenas um termo no numerador, mas o próprio numerador como um todo não é decomposto em fatores.

Aqui está outro exemplo: .

Essa expressão é decomposta em fatores, o que significa que você pode reduzir, ou seja, dividir o numerador e o denominador por, e depois por:

Você pode dividir imediatamente por:

Para evitar esses erros, lembre-se de uma maneira fácil de determinar se uma expressão é fatorada:

A operação aritmética que é executada por último ao calcular o valor da expressão é a "principal". Ou seja, se você substituir alguns (quaisquer) números em vez de letras e tentar calcular o valor da expressão, se a última ação for a multiplicação, teremos um produto (a expressão é decomposta em fatores). Se a última ação for adição ou subtração, isso significa que a expressão não é fatorada (e, portanto, não pode ser reduzida).

Para corrigi-lo, resolva você mesmo alguns exemplos:

Respostas:

1. Espero que você não se apresse imediatamente para cortar e? Ainda não foi suficiente “reduzir” unidades assim:

O primeiro passo deve ser fatorar:

4. Adição e subtração de frações. Trazendo frações para um denominador comum.

A adição e subtração de frações ordinárias é uma operação bem conhecida: procuramos um denominador comum, multiplicamos cada fração pelo fator que falta e somamos/subtraímos os numeradores. Vamos lembrar:

Respostas:

1. Os denominadores e são primos, ou seja, não possuem fatores comuns. Portanto, o MMC desses números é igual ao seu produto. Este será o denominador comum:

2. Aqui o denominador comum é:

3. Aqui, em primeiro lugar, transformamos frações mistas em impróprias e depois - de acordo com o esquema usual:

É outra questão se as frações contiverem letras, por exemplo:

Vamos começar simples:

a) Os denominadores não contêm letras

Aqui tudo é igual às frações numéricas comuns: encontramos um denominador comum, multiplicamos cada fração pelo fator que falta e somamos/subtraímos os numeradores:

agora no numerador você pode trazer os semelhantes, se houver, e fatorá-los:

Tente você mesmo:

b) Os denominadores contêm letras

Vamos lembrar o princípio de encontrar um denominador comum sem letras:

Em primeiro lugar, determinamos os fatores comuns;

Então escrevemos todos os fatores comuns uma vez;

e multiplicá-los por todos os outros fatores, não os comuns.

Para determinar os fatores comuns dos denominadores, primeiro os decompomos em fatores simples:

Enfatizamos os fatores comuns:

Agora, escrevemos os fatores comuns uma vez e adicionamos a eles todos os fatores não comuns (não sublinhados):

Este é o denominador comum.

Voltemos às letras. Os denominadores são dados exatamente da mesma maneira:

Decompomos os denominadores em fatores;

determinar multiplicadores comuns (idênticos);

escreva todos os fatores comuns uma vez;

Nós os multiplicamos por todos os outros fatores, não os comuns.

Então, na ordem:

1) decomponha os denominadores em fatores:

2) determinar os fatores comuns (idênticos):

3) escreva todos os fatores comuns uma vez e multiplique-os por todos os outros fatores (não sublinhados):

Então o denominador comum está aqui. A primeira fração deve ser multiplicada por, a segunda - por:

A propósito, há um truque:

Por exemplo: .

Vemos os mesmos fatores nos denominadores, mas todos com indicadores diferentes. O denominador comum será:

na medida em que

na medida em que

na medida em que

em grau.

Vamos complicar a tarefa:

Como fazer frações com o mesmo denominador?

Vamos lembrar a propriedade básica de uma fração:

Em nenhum lugar é dito que o mesmo número pode ser subtraído (ou adicionado) do numerador e denominador de uma fração. Porque não é verdade!

Veja você mesmo: pegue qualquer fração, por exemplo, e adicione algum número ao numerador e denominador, por exemplo, . O que foi aprendido?

Então, outra regra inabalável:

Quando você traz frações para um denominador comum, use apenas a operação de multiplicação!

Mas o que você precisa multiplicar para obter?

Aqui e multiplique. E multiplique por:

Expressões que não podem ser fatoradas serão chamadas de "fatores elementares". Por exemplo, é um fator elementar. - também. Mas - não: é decomposto em fatores.

E quanto à expressão? É elementar?

Não, pois pode ser fatorado:

(você já leu sobre fatoração no tópico "").

Assim, os fatores elementares nos quais você decompõe uma expressão com letras são análogos dos fatores simples nos quais você decompõe os números. E faremos o mesmo com eles.

Vemos que ambos os denominadores têm um fator. Irá para o denominador comum no poder (lembra porque?).

O multiplicador é elementar e eles não o têm em comum, o que significa que a primeira fração simplesmente terá que ser multiplicada por ele:

Outro exemplo:

Decisão:

Antes de multiplicar esses denominadores em pânico, você precisa pensar em como fatorá-los? Ambos representam:

Multar! Então:

Outro exemplo:

Decisão:

Como de costume, fatoramos os denominadores. No primeiro denominador, simplesmente o colocamos fora dos colchetes; no segundo - a diferença de quadrados:

Parece que não existem fatores comuns. Mas se você olhar de perto, eles já são tão parecidos... E a verdade é:

Então vamos escrever:

Ou seja, ficou assim: dentro do colchete, trocamos os termos e, ao mesmo tempo, o sinal na frente da fração mudou para o oposto. Tome nota, você terá que fazer isso com frequência.

Agora chegamos a um denominador comum:

Entendi? Agora vamos verificar.

Tarefas para solução independente:

Respostas:

Aqui devemos lembrar mais uma coisa - a diferença de cubos:

Observe que o denominador da segunda fração não contém a fórmula "quadrado da soma"! O quadrado da soma ficaria assim:

A é o chamado quadrado incompleto da soma: o segundo termo nele é o produto do primeiro e do último, e não seu produto dobrado. O quadrado incompleto da soma é um dos fatores na expansão da diferença dos cubos:

E se já houver três frações?

Sim, o mesmo! Em primeiro lugar, garantiremos que o número máximo de fatores nos denominadores seja o mesmo:

Preste atenção: se você mudar os sinais dentro de um colchete, o sinal na frente da fração muda para o oposto. Quando alteramos os sinais no segundo colchete, o sinal na frente da fração é invertido novamente. Como resultado, ele (o sinal na frente da fração) não mudou.

Escrevemos o primeiro denominador por completo no denominador comum e, em seguida, adicionamos a ele todos os fatores que ainda não foram escritos, do segundo e depois do terceiro (e assim por diante, se houver mais frações). Ou seja, fica assim:

Hmm... Com frações, fica claro o que fazer. Mas e os dois?

É simples: você sabe somar frações, certo? Então, você precisa ter certeza de que o deuce se torna uma fração! Lembre-se: uma fração é uma operação de divisão (o numerador é dividido pelo denominador, caso você tenha esquecido de repente). E não há nada mais fácil do que dividir um número por. Nesse caso, o número em si não mudará, mas se transformará em uma fração:

Exatamente o que é necessário!

5. Multiplicação e divisão de frações.

Bem, a parte mais difícil já passou. E à nossa frente está o mais simples, mas ao mesmo tempo o mais importante:

Procedimento

Qual é o procedimento para calcular uma expressão numérica? Lembre-se, considerando o valor de tal expressão:

Você contou?

Deve funcionar.

Então, eu te lembro.

O primeiro passo é calcular o grau.

A segunda é a multiplicação e a divisão. Se houver várias multiplicações e divisões ao mesmo tempo, você pode fazê-las em qualquer ordem.

E, finalmente, realizamos adição e subtração. Novamente, em qualquer ordem.

Mas: a expressão entre parênteses é avaliada fora de ordem!

Se vários colchetes forem multiplicados ou divididos entre si, primeiro avaliamos a expressão em cada um dos colchetes e depois os multiplicamos ou dividimos.

E se houver outros parênteses dentro dos colchetes? Bem, vamos pensar: alguma expressão está escrita dentro dos colchetes. Qual é a primeira coisa a fazer ao avaliar uma expressão? Isso mesmo, calcule os colchetes. Bem, descobrimos: primeiro calculamos os colchetes internos, depois todo o resto.

Assim, a ordem das ações para a expressão acima é a seguinte (a ação atual está destacada em vermelho, ou seja, a ação que estou realizando agora):

Ok, é tudo simples.

Mas isso não é o mesmo que uma expressão com letras, não é?

Não, é o mesmo! Somente em vez de operações aritméticas é necessário fazer operações algébricas, ou seja, as operações descritas na seção anterior: trazendo semelhante, somando frações, reduzindo frações e assim por diante. A única diferença será a ação de fatorar polinômios (nós costumamos usá-lo ao trabalhar com frações). Na maioria das vezes, para fatoração, você precisa usar i ou simplesmente tirar o fator comum dos colchetes.

Normalmente nosso objetivo é representar uma expressão como um produto ou quociente.

Por exemplo:

Vamos simplificar a expressão.

1) Primeiro simplificamos a expressão entre parênteses. Aí temos a diferença de frações, e nosso objetivo é representá-la como um produto ou quociente. Então, trazemos as frações para um denominador comum e adicionamos:

É impossível simplificar ainda mais essa expressão, todos os fatores aqui são elementares (você ainda se lembra do que isso significa?).

2) Obtemos:

Multiplicação de frações: o que poderia ser mais fácil.

3) Agora você pode encurtar:

É isso. Nada complicado, certo?

Outro exemplo:

Simplifique a expressão.

Primeiro, tente resolvê-lo sozinho e só então olhe para a solução.

Antes de mais nada, vamos definir o procedimento. Primeiro, vamos adicionar as frações entre parênteses, em vez de duas frações, uma ficará. Então vamos fazer a divisão de frações. Bem, adicionamos o resultado com a última fração. Vou numerar esquematicamente os passos:

Agora vou mostrar todo o processo, tingindo a ação atual com vermelho:

Por fim, darei duas dicas úteis:

1. Se houver semelhantes, devem ser trazidos imediatamente. Em qualquer momento que tenhamos semelhantes, é aconselhável trazê-los imediatamente.

2. O mesmo vale para frações reduzidas: assim que surgir uma oportunidade de reduzir, ela deve ser aproveitada. A exceção são as frações que você soma ou subtrai: se elas agora tiverem os mesmos denominadores, a redução deve ser deixada para mais tarde.

Aqui estão algumas tarefas para você resolver por conta própria:

E prometeu logo no início:

Soluções (breve):

Se você lidou com pelo menos os três primeiros exemplos, considere que dominou o tópico.

Agora vamos aprender!

CONVERSÃO DE EXPRESSÃO. RESUMO E FÓRMULA BÁSICA

Operações básicas de simplificação:

• Trazendo semelhante: para adicionar (reduzir) termos semelhantes, você precisa adicionar seus coeficientes e atribuir a parte da letra.
• Fatoração: tirando o fator comum entre colchetes, aplicando, etc.
• Redução de fração: o numerador e o denominador de uma fração podem ser multiplicados ou divididos pelo mesmo número diferente de zero, a partir do qual o valor da fração não muda.
  1) numerador e denominador fatorar
  2) se houver fatores comuns no numerador e denominador, eles podem ser riscados.

  IMPORTANTE: apenas multiplicadores podem ser reduzidos!

• Adição e subtração de frações:
  ;
• Multiplicação e divisão de frações:
  ;