Ao se preparar para o exame de matemática, os alunos precisam sistematizar seus conhecimentos de álgebra e geometria. Gostaria de combinar todas as informações conhecidas, por exemplo, como calcular a área de uma pirâmide. Além disso, partindo da base e das faces laterais para toda a superfície. Se a situação é clara com as faces laterais, já que são triângulos, a base é sempre diferente.
O que fazer ao encontrar a área da base da pirâmide?
Pode ser absolutamente qualquer figura: de um triângulo arbitrário a um n-gon. E essa base, além da diferença no número de ângulos, pode ser uma figura regular ou incorreta. Nas tarefas USE de interesse dos escolares, existem apenas tarefas com os números corretos na base. Portanto, falaremos apenas sobre eles.
triângulo retângulo
Isso é equilátero. Aquele em que todos os lados são iguais e denotados pela letra "a". Nesse caso, a área da base da pirâmide é calculada pela fórmula:
S = (a 2 * √3) / 4.
Quadrado
A fórmula para calcular sua área é a mais simples, aqui "a" é o lado novamente:
n-gon regular arbitrário
O lado de um polígono tem a mesma designação. Para o número de cantos, a letra latina n é usada.
S = (n * a 2) / (4 * tg (180º/n)).
Como proceder no cálculo da superfície lateral e total?
Como a base é uma figura regular, todas as faces da pirâmide são iguais. Além disso, cada um deles é um triângulo isósceles, pois as arestas laterais são iguais. Então, para calcular a área lateral da pirâmide, você precisa de uma fórmula que consiste na soma de monômios idênticos. O número de termos é determinado pelo número de lados da base.
A área de um triângulo isósceles é calculada pela fórmula em que a metade do produto da base é multiplicada pela altura. Essa altura na pirâmide é chamada de apótema. Sua designação é "A". A fórmula geral para a área de superfície lateral é:
S \u003d ½ P * A, onde P é o perímetro da base da pirâmide.
Existem situações em que os lados da base não são conhecidos, mas são dadas as arestas laterais (c) e o ângulo plano em seu vértice (α). Então deve-se usar essa fórmula para calcular a área lateral da pirâmide:
S = n/2 * em 2 sen α .
Tarefa nº 1
Doença. Encontre a área total da pirâmide se sua base estiver com um lado de 4 cm e o apótema tiver um valor de √3 cm.
Decisão. Você precisa começar calculando o perímetro da base. Como este é um triângulo regular, então P \u003d 3 * 4 \u003d 12 cm. Como o apótema é conhecido, você pode calcular imediatamente a área de toda a superfície lateral: ½ * 12 * √3 = 6 √3cm2.
Para um triângulo na base, o seguinte valor de área será obtido: (4 2 * √3) / 4 \u003d 4√3 cm 2.
Para determinar a área inteira, você precisará somar os dois valores resultantes: 6√3 + 4√3 = 10√3 cm 2.
Responda. 10√3 cm2.
Tarefa nº 2
Doença. Existe uma pirâmide quadrangular regular. O comprimento do lado da base é de 7 mm, a borda lateral é de 16 mm. Você precisa conhecer sua área de superfície.
Decisão. Como o poliedro é quadrangular e regular, sua base é um quadrado. Tendo aprendido as áreas da base e das faces laterais, será possível calcular a área da pirâmide. A fórmula para o quadrado é dada acima. E nas faces laterais, todos os lados do triângulo são conhecidos. Portanto, você pode usar a fórmula de Heron para calcular suas áreas.
Os primeiros cálculos são simples e levam a este número: 49 mm 2. Para o segundo valor, você precisará calcular o semiperímetro: (7 + 16 * 2): 2 = 19,5 mm. Agora você pode calcular a área de um triângulo isósceles: √ (19,5 * (19,5-7) * (19,5-16) 2) = √2985,9375 = 54,644 mm 2. Existem apenas quatro desses triângulos, portanto, ao calcular o número final, você precisará multiplicá-lo por 4.
Acontece: 49 + 4 * 54,644 \u003d 267,576 mm 2.
Responda. O valor desejado é 267,576 mm 2.
Tarefa nº 3
Doença. Para uma pirâmide quadrangular regular, você precisa calcular a área. Nela, o lado do quadrado é 6 cm e a altura é 4 cm.
Decisão. A maneira mais fácil é usar a fórmula com o produto do perímetro e o apótema. O primeiro valor é fácil de encontrar. A segunda é um pouco mais difícil.
Teremos que lembrar do teorema de Pitágoras e considerar que Ele é formado pela altura da pirâmide e pelo apótema, que é a hipotenusa. A segunda perna é igual à metade do lado do quadrado, pois a altura do poliedro cai no meio.
O apótema desejado (a hipotenusa de um triângulo retângulo) é √(3 2 + 4 2) = 5 (cm).
Agora você pode calcular o valor desejado: ½ * (4 * 6) * 5 + 6 2 \u003d 96 (cm 2).
Responda. 96 cm2.
Tarefa nº 4
Doença. O lado correto de sua base é de 22 mm, as nervuras laterais são de 61 mm. Qual é a área da superfície lateral deste poliedro?
Decisão. O raciocínio nele é o mesmo descrito no problema nº 2. Só que foi dada uma pirâmide com um quadrado na base, e agora é um hexágono.
Em primeiro lugar, a área da base é calculada usando a fórmula acima: (6 * 22 2) / (4 * tg (180º / 6)) \u003d 726 / (tg30º) \u003d 726√3 cm2.
Agora você precisa descobrir o semiperímetro de um triângulo isósceles, que é uma face lateral. (22 + 61 * 2): 2 = 72 cm. Resta calcular a área de cada triângulo usando a fórmula de Heron e depois multiplicá-lo por seis e adicioná-lo ao que resultou no base.
Cálculos usando a fórmula de Heron: √ (72 * (72-22) * (72-61) 2) \u003d √ 435600 \u003d 660 cm 2. Cálculos que darão a área de superfície lateral: 660 * 6 \u003d 3960 cm 2. Resta somá-los para descobrir toda a superfície: 5217,47≈5217 cm 2.
Responda. Base - 726√3 cm 2, superfície lateral - 3960 cm 2, área total - 5217 cm 2.
pirâmide triangular Um poliedro é chamado de poliedro cuja base é um triângulo regular.
Em tal pirâmide, as faces da base e as arestas dos lados são iguais entre si. Assim, a área das faces laterais é encontrada a partir da soma das áreas de três triângulos idênticos. Você pode encontrar a área da superfície lateral de uma pirâmide regular usando a fórmula. E você pode fazer o cálculo várias vezes mais rápido. Para fazer isso, aplique a fórmula para a área da superfície lateral de uma pirâmide triangular:
onde p é o perímetro da base, todos os lados iguais a b, a é o apótema baixado do topo até esta base. Considere um exemplo de cálculo da área de uma pirâmide triangular.
Tarefa: Forneça a pirâmide correta. O lado do triângulo que está na base é b = 4 cm. O apótema da pirâmide é a = 7 cm. Encontre a área da superfície lateral da pirâmide.
Como, de acordo com as condições do problema, conhecemos os comprimentos de todos os elementos necessários, encontraremos o perímetro. Lembre-se que em um triângulo regular todos os lados são iguais e, portanto, o perímetro é calculado pela fórmula:
Substitua os dados e encontre o valor:
Agora, conhecendo o perímetro, podemos calcular a área da superfície lateral: 
Para aplicar a fórmula da área de uma pirâmide triangular para calcular o valor total, você precisa encontrar a área da base do poliedro. Para isso, utiliza-se a fórmula: 
A fórmula para a área da base de uma pirâmide triangular pode ser diferente. É permitido usar qualquer cálculo de parâmetros para uma determinada figura, mas na maioria das vezes isso não é necessário. Considere um exemplo de cálculo da área da base de uma pirâmide triangular.
Tarefa: Em uma pirâmide regular, o lado do triângulo que está na base é a = 6 cm. Calcule a área da base.
Para calcular, precisamos apenas do comprimento do lado de um triângulo regular localizado na base da pirâmide. Substitua os dados na fórmula: 
Muitas vezes é necessário encontrar a área total de um poliedro. Para fazer isso, você precisa adicionar a área da superfície lateral e da base. 
Considere um exemplo de cálculo da área de uma pirâmide triangular.
Problema: Seja dada uma pirâmide triangular regular. O lado da base é b = 4 cm, o apótema é a = 6 cm. Encontre a área total da pirâmide.
Primeiro, vamos encontrar a área da superfície lateral usando a fórmula já conhecida. Calcule o perímetro:
Substituímos os dados na fórmula: 
Agora encontre a área da base: 
Conhecendo a área da base e da superfície lateral, encontramos a área total da pirâmide: 
Ao calcular a área de uma pirâmide regular, não se deve esquecer que a base é um triângulo regular e muitos elementos desse poliedro são iguais entre si.
Definição. Face lateral- este é um triângulo em que um ângulo está no topo da pirâmide e o lado oposto coincide com o lado da base (polígono).
Definição. Costelas laterais são os lados comuns das faces laterais. Uma pirâmide tem tantas arestas quantos cantos em um polígono.
Definição. altura da pirâmideé uma perpendicular baixada do topo até a base da pirâmide.
Definição. Apótema- esta é a perpendicular da face lateral da pirâmide, baixada do topo da pirâmide até a lateral da base.
Definição. Seção diagonal- esta é uma seção da pirâmide por um plano que passa pelo topo da pirâmide e pela diagonal da base.
Definição. Pirâmide correta- Esta é uma pirâmide em que a base é um polígono regular e a altura desce até o centro da base.
Volume e área de superfície da pirâmide
Fórmula. volume da pirâmide através da área da base e da altura:
propriedades da pirâmide
Se todas as arestas laterais são iguais, então um círculo pode ser circunscrito ao redor da base da pirâmide, e o centro da base coincide com o centro do círculo. Além disso, a perpendicular baixada do topo passa pelo centro da base (círculo).
Se todas as nervuras laterais forem iguais, elas serão inclinadas em relação ao plano de base nos mesmos ângulos.
As nervuras laterais são iguais quando formam ângulos iguais com o plano da base, ou se um círculo pode ser descrito ao redor da base da pirâmide.
Se as faces laterais estão inclinadas em relação ao plano da base em um ângulo, então um círculo pode ser inscrito na base da pirâmide e o topo da pirâmide é projetado em seu centro.
Se as faces laterais estão inclinadas em relação ao plano base em um ângulo, então os apótemas das faces laterais são iguais.
Propriedades de uma pirâmide regular
1. O topo da pirâmide é equidistante de todos os cantos da base.
2. Todas as arestas laterais são iguais.
3. Todas as nervuras laterais são inclinadas nos mesmos ângulos em relação à base.
4. Apótemas de todas as faces laterais são iguais.
5. As áreas de todas as faces laterais são iguais.
6. Todas as faces têm os mesmos ângulos diedros (planos).
7. Uma esfera pode ser descrita ao redor da pirâmide. O centro da esfera descrita será o ponto de intersecção das perpendiculares que passam pelo meio das arestas.
8. Uma esfera pode ser inscrita em uma pirâmide. O centro da esfera inscrita será o ponto de intersecção das bissetrizes que emanam do ângulo entre a aresta e a base.
9. Se o centro da esfera inscrita coincide com o centro da esfera circunscrita, então a soma dos ângulos planos no vértice é igual a π ou vice-versa, um ângulo é igual a π / n, onde n é o número dos ângulos da base da pirâmide.
A conexão da pirâmide com a esfera
Uma esfera pode ser descrita ao redor da pirâmide quando na base da pirâmide está um poliedro ao redor do qual um círculo pode ser descrito (uma condição necessária e suficiente). O centro da esfera será o ponto de intersecção dos planos que passam perpendicularmente pelos pontos médios das arestas laterais da pirâmide.
Uma esfera sempre pode ser descrita em torno de qualquer pirâmide triangular ou regular.
Uma esfera pode ser inscrita em uma pirâmide se os planos bissetrizes dos ângulos diedros internos da pirâmide se cruzam em um ponto (uma condição necessária e suficiente). Este ponto será o centro da esfera.
A conexão da pirâmide com o cone
Um cone é dito inscrito em uma pirâmide se seus vértices coincidem e a base do cone está inscrita na base da pirâmide.
Um cone pode ser inscrito em uma pirâmide se os apótemas da pirâmide forem iguais.
Diz-se que um cone está circunscrito ao redor de uma pirâmide se seus vértices coincidem e a base do cone está circunscrita ao redor da base da pirâmide.
Um cone pode ser descrito em torno de uma pirâmide se todas as arestas laterais da pirâmide forem iguais entre si.
Conexão de uma pirâmide com um cilindro
Diz-se que uma pirâmide está inscrita em um cilindro se o topo da pirâmide estiver em uma base do cilindro e a base da pirâmide estiver inscrita em outra base do cilindro.
Um cilindro pode ser circunscrito em torno de uma pirâmide se um círculo pode ser circunscrito em torno da base da pirâmide.
Um tetraedro tem quatro faces e quatro vértices e seis arestas, onde quaisquer duas arestas não têm vértices comuns, mas não se tocam.
Cada vértice consiste em três faces e arestas que formam ângulo triédrico.
O segmento que liga o vértice do tetraedro com o centro da face oposta é chamado mediana do tetraedro(GM).
Bimedianoé chamado de segmento conectando os pontos médios de arestas opostas que não se tocam (KL).
Todas as bimedianas e medianas de um tetraedro se cruzam em um ponto (S). Neste caso, as bimedianas são divididas ao meio, e as medianas na proporção de 3:1 a partir do topo.
Definição. Pirâmide Angular Agudaé uma pirâmide em que o apótema tem mais da metade do comprimento do lado da base.
Definição. pirâmide obtusaé uma pirâmide em que o apótema é menor que a metade do comprimento do lado da base.
Definição. tetraedro regular Um tetraedro cujas quatro faces são triângulos equiláteros. É um dos cinco polígonos regulares. Em um tetraedro regular, todos os ângulos diedros (entre faces) e ângulos triédricos (em um vértice) são iguais.
Definição. Tetraedro retangular um tetraedro é chamado que tem um ângulo reto entre três arestas no vértice (as arestas são perpendiculares). Forma de três faces ângulo triédrico retangular e as faces são triângulos retângulos, e a base é um triângulo arbitrário. O apótema de qualquer rosto é igual à metade do lado da base sobre o qual o apótema cai.
Definição. Tetraedro isoédrico Um tetraedro é chamado em que as faces laterais são iguais entre si, e a base é um triângulo regular. As faces de tal tetraedro são triângulos isósceles.
Definição. Tetraedro ortocêntrico um tetraedro é chamado em que todas as alturas (perpendiculares) que são abaixadas do topo para a face oposta se cruzam em um ponto.
Definição. pirâmide estelar Chama-se poliedro cuja base é uma estrela.
Uma pirâmide cuja base é um hexágono regular e os lados são formados por triângulos regulares é chamada de hexagonal.
Este poliedro tem muitas propriedades:
- Todos os lados e ângulos da base são iguais entre si;
- Todas as arestas e pirâmides de carvão diedro também são iguais entre si;
- Os triângulos que formam os lados são os mesmos, respectivamente, têm a mesma área, lados e alturas.
Para calcular a área de uma pirâmide hexagonal regular, é usada a fórmula padrão para a área de superfície lateral de uma pirâmide hexagonal:
onde P é o perímetro da base, a é o comprimento do apótema da pirâmide. Na maioria dos casos, você pode calcular a área lateral usando essa fórmula, mas às vezes pode usar outro método. Como as faces laterais da pirâmide são formadas por triângulos iguais, você pode encontrar a área de um triângulo e depois multiplicá-la pelo número de lados. Existem 6 deles em uma pirâmide hexagonal. Mas esse método também pode ser usado no cálculo. Vamos considerar um exemplo de cálculo da área da superfície lateral de uma pirâmide hexagonal.
Seja dada uma pirâmide hexagonal regular, na qual o apótema é a = 7 cm, o lado da base é b = 3 cm. Calcule a área da superfície lateral do poliedro.
Primeiro, encontre o perímetro da base. Como a pirâmide é regular, ela tem um hexágono regular em sua base. Então, todos os seus lados são iguais, e o perímetro é calculado pela fórmula:
Substituímos os dados na fórmula:
Agora podemos encontrar facilmente a área da superfície lateral substituindo o valor encontrado na fórmula principal: 
Também um ponto importante é a busca pela área da base. A fórmula para a área da base de uma pirâmide hexagonal é derivada das propriedades de um hexágono regular: 
Vamos considerar um exemplo de cálculo da área da base de uma pirâmide hexagonal, tomando como base as condições do exemplo anterior. A partir delas sabemos que o lado da base é b = 3 cm. Vamos substituir os dados em a fórmula: 
A fórmula para a área de uma pirâmide hexagonal é a soma da área da base e a varredura lateral: 
Considere um exemplo de cálculo da área de uma pirâmide hexagonal.
Seja dada uma pirâmide, na base da qual se encontra um hexágono regular de lado b = 4 cm. O apótema de um dado poliedro é a = 6 cm. Encontre a área total.
Sabemos que a área total consiste nas áreas da base e da varredura lateral. Então vamos encontrá-los primeiro. Calcule o perímetro:
Agora encontre a área da superfície lateral: 
Em seguida, calculamos a área da base na qual o hexágono regular se encontra: 
Agora podemos somar os resultados:
