Deixe o ponto participar simultaneamente de duas oscilações harmônicas de mesmo período, direcionadas ao longo de uma linha reta.

A adição de oscilações será realizada pelo método de diagramas vetoriais (Fig. 2.2). Sejam as oscilações dadas pelas equações

e

(2.2.1)

Afaste-se do ponto O um vetor de ângulo φ 1 com a linha de referência e um vetor de ângulo φ 2 . Ambos os vetores giram no sentido anti-horário com a mesma velocidade angular ω, de modo que sua diferença de fase não depende do tempo (). Tais vibrações são chamadas de coerentes.

Sabemos que a projeção total de um vetor é igual à soma das projeções no mesmo eixo. Portanto, a oscilação resultante pode ser representada por um vetor de amplitude girando em torno do ponto O com a mesma velocidade angular ω como , e . A oscilação resultante também deve ser harmônica com frequência ω:

.

Pela regra da adição vetorial, encontramos a amplitude total:

A amplitude resultante é encontrada pela fórmula

Assim, o corpo, participando de duas oscilações harmônicas de mesma direção e mesma frequência, também realiza uma oscilação harmônica na mesma direção e com a mesma frequência das oscilações somadas.

De (2.2.2) segue que a amplitude MAS a oscilação resultante depende da diferença nas fases iniciais. Valores possíveis MAS encontram-se no intervalo (a amplitude não pode ser negativa).

Vamos considerar alguns casos simples.

1. A diferença de fase é zero ou número parπ, ou seja, onde . Então e

,

(2.2.4)

uma vez que , ou seja amplitude de oscilação resultante MASé igual à soma das amplitudes das oscilações adicionadas (oscilações em fase) (Fig. 2.3).

2. A diferença de fase é um número ímparπ , ou seja , Onde . Então . Daqui

.

(2.2.5)

Na fig. 2.4 mostra a amplitude da oscilação resultante MAS, igual à diferença nas amplitudes das oscilações adicionadas (oscilações em fora de fase).

3. A diferença de fase muda no tempo de forma arbitrária:

(2.2.6)

Da equação (2.2.6) segue que e mudará de acordo com o valor de . Portanto, ao adicionar oscilações incoerentes, não faz sentido falar em adicionar amplitudes, mas em alguns casos observam-se padrões bem definidos. Para a prática, de particular interesse é o caso em que duas oscilações adicionadas da mesma direção diferem pouco em frequência. Como resultado da adição dessas oscilações, são obtidas oscilações com amplitude que muda periodicamente.

Mudanças periódicas na amplitude de oscilação decorrentes da adição de duas oscilações harmônicas com frequências próximas, são chamados bate . A rigor, não são mais oscilações harmônicas.

Sejam as amplitudes das oscilações adicionadas iguais a MAS, e as frequências são iguais a ω e , e . Escolhemos o ponto de referência para que as fases iniciais de ambas as oscilações sejam iguais a zero:

Adicionamos essas expressões, desprezando , pois .

A natureza da dependência (2.2.8) é mostrada na Fig. 2.5, onde linhas sólidas e grossas fornecem um gráfico da oscilação resultante e seus envelopes - um gráfico de amplitude que muda lentamente de acordo com a equação (2.2.7).

A determinação da frequência do tom (som de uma certa altura) dos batimentos entre a referência e as oscilações medidas é o método mais utilizado na prática para comparar o valor medido com a referência. O método beat é usado para afinar instrumentos musicais, análise auditiva, etc.

Em geral, as oscilações de uma espécie são chamadas de modulado . Casos especiais: modulação de amplitude e modulação de fase ou frequência. bateré a forma mais simples de oscilações moduladas.

Quaisquer oscilações periódicas complexas podem ser representadas como uma superposição de oscilações harmônicas que ocorrem simultaneamente com diferentes amplitudes, fases iniciais e também frequências que são múltiplos da frequência cíclica ω:

.

A representação de uma função periódica nesta forma está associada ao conceito análise harmônica de uma oscilação periódica complexa, ou expansão de Fourier(ou seja, a representação de oscilações moduladas complexas como uma série (soma) de oscilações harmônicas simples). Os termos da série de Fourier, que determinam oscilações harmônicas com frequências ω, 2ω, 3ω, ..., são chamados primeiro(ou principal), segundo, terceiro etc. harmônicos oscilação periódica complexa.

Junto com os movimentos de translação e rotação dos corpos em mecânica, os movimentos oscilatórios também são de interesse considerável. Vibrações mecânicas chamados de movimentos de corpos que se repetem exatamente (ou aproximadamente) em intervalos regulares. A lei do movimento de um corpo oscilante é dada por alguma função periódica do tempo x = f (t). A representação gráfica desta função dá uma representação visual do curso do processo oscilatório no tempo.

Exemplos de sistemas oscilatórios simples são uma carga sobre uma mola ou um pêndulo matemático (Fig. 2.1.1).

As oscilações mecânicas, como os processos oscilatórios de qualquer outra natureza física, podem ser gratuitamente e forçado. Vibrações livres são feitos sob a influência forças internas sistema após o sistema ter sido trazido para fora do equilíbrio. As oscilações de um peso sobre uma mola ou as oscilações de um pêndulo são oscilações livres. vibrações sob a ação externo forças que mudam periodicamente são chamadas forçado .

O tipo mais simples de processo oscilatório são simples vibrações harmônicas , que são descritos pela equação

x = x mcos (ω t + φ 0).

Aqui x- deslocamento do corpo da posição de equilíbrio, x m - amplitude de oscilação, ou seja, o deslocamento máximo da posição de equilíbrio, ω - frequência cíclica ou circular hesitação, t- Tempo. O valor sob o sinal do cosseno φ = ω t+ φ 0 é chamado fase processo harmônico. No t= 0 φ = φ 0 , então φ 0 é chamado fase inicial. O intervalo de tempo mínimo após o qual o movimento do corpo é repetido é chamado de período de oscilação T. A quantidade física recíproca ao período de oscilação é chamada frequência de oscilação:

Frequência de oscilação f mostra quantas vibrações são feitas em 1 s. Unidade de frequência - hertz(Hz). Frequência de oscilação f está relacionado com a frequência cíclica ω e o período de oscilação Tíndices:

Na fig. 2.1.2 mostra as posições do corpo em intervalos regulares com vibrações harmônicas. Tal imagem pode ser obtida experimentalmente iluminando um corpo oscilante com curtos flashes periódicos de luz ( iluminação estroboscópica). As setas representam os vetores de velocidade do corpo em diferentes pontos no tempo.

Arroz. 2.1.3 ilustra as mudanças que ocorrem no gráfico de um processo harmônico se a amplitude das oscilações mudar x m, ou período T(ou frequência f), ou a fase inicial φ 0 .

Quando o corpo oscila ao longo de uma linha reta (eixo BOI) o vetor velocidade é sempre direcionado ao longo dessa linha reta. Velocidade υ = υ x movimento do corpo é determinado pela expressão

Em matemática, o procedimento para encontrar o limite da razão em Δ t→ 0 é chamado de cálculo da derivada da função x (t) por tempo t e denotado como ou como x"(t) ou finalmente como . Para a lei harmônica do movimento O cálculo da derivada leva ao seguinte resultado:

O aparecimento do termo + π / 2 no argumento do cosseno significa uma mudança na fase inicial. Valores máximos do módulo de velocidade υ = ω x m são alcançados naqueles momentos de tempo em que o corpo passa pelas posições de equilíbrio ( x= 0). Aceleração é definida de forma semelhante uma = umax corpos com vibrações harmônicas:

daí a aceleração umaé igual à derivada da função υ ( t) por tempo t, ou a segunda derivada da função x (t). Os cálculos dão:

O sinal de menos nesta expressão significa que a aceleração uma (t) sempre tem o sinal oposto do deslocamento x (t), e, portanto, de acordo com a segunda lei de Newton, a força que faz o corpo realizar oscilações harmônicas é sempre direcionada para a posição de equilíbrio ( x = 0).

a) O corpo participa de duas oscilações harmônicas com as mesmas frequências circularesW , mas com diferentes amplitudes e fases iniciais.

A equação dessas oscilações será escrita da seguinte forma:

x 1 \u003d a 1 cos (wt + j 1)

x 2 \u003d a 2 cos (wt + j 2),

Onde x 1 e x 2- compensações; um 1 e um 2- amplitudes; W- frequência circular de ambas as oscilações; j1 e j2- fases iniciais de oscilações.

Vamos adicionar essas flutuações usando um diagrama vetorial. Vamos representar ambas as oscilações como vetores de amplitude. Para fazer isso, a partir de um ponto arbitrário O situado no eixo X, separamos dois vetores 1 e 2, respectivamente, nos ângulos j1 e j2 a este eixo (Fig. 2).

As projeções desses vetores no eixo X será igual aos deslocamentos x 1 e x 2 de acordo com a expressão (2). Quando ambos os vetores giram no sentido anti-horário com velocidade angular W projeções de suas extremidades no eixo X fará vibrações harmônicas. Como ambos os vetores giram com a mesma velocidade angular W, então o ângulo entre eles j=j 1 -j 2 permanece constante. Adicionando ambos os vetores 1 e 2 de acordo com a regra do paralelogramo, obtemos o vetor resultante . Como pode ser visto na Fig. 2, a projeção deste vetor no eixo Xé igual à soma das projeções dos termos dos vetores x \u003d x 1 + x 2. Por outro lado: x \u003d a cos (wt + j o).

Consequentemente, o vetor gira com a mesma velocidade angular que os vetores 1 e 2 e realiza uma oscilação harmônica que ocorre ao longo da mesma linha reta que os termos das oscilações, e com uma frequência igual à frequência das oscilações originais. Aqui j o- a fase inicial da oscilação resultante.

Como pode ser visto na Fig. 2, para determinar a amplitude da oscilação resultante, você pode usar o teorema do cosseno, segundo o qual temos:

a 2 \u003d a 1 2 + a 2 2 - 2a 1 a 2 cos

a \u003d a 1 2 + a 2 2 + 2a 1 a 2 cos (j 2 - j 1)(3)

Pode-se ver pela expressão (3) que a amplitude da oscilação resultante depende da diferença nas fases iniciais ( j 2 - j 1) termos de oscilações. Se as fases iniciais forem iguais ( j 2 = j 1), então a fórmula (3) mostra que a amplitude umaé igual à soma um 1 e um 2. Se a diferença de fase ( j 2 - j 1) é igual a ±180 o (ou seja, ambas as oscilações estão em antifase), então a amplitude da oscilação resultante é igual ao valor absoluto da diferença nas amplitudes dos termos de oscilação : a = |a 1 - a 2 |.

b) O corpo participa de duas oscilações com as mesmas amplitudes, fases iniciais iguais a zero e frequências diferentes.

As equações para essas oscilações terão a seguinte aparência:

x 1 \u003d um sinw 1 t,

x 2 \u003d um sinw 2 t.

Ao fazê-lo, supõe-se que w 1 pouco diferente em tamanho de w 2. Somando essas expressões, obtemos:

x \u003d x 1 + x 2 \u003d 2a cos[(w 1 -w 2)/2]t+pecado[(w 1 + w 2)/2]t=

=2 cos[(w 1 -w 2)/2]t pecado wt (4)

O movimento resultante é uma oscilação complexa chamada bate(Fig. 3) Uma vez que o valor w1-w2 pequeno em relação ao tamanho w1+w2, então esse movimento pode ser considerado como uma oscilação harmônica com frequência igual a metade da soma das frequências das oscilações somadas w=(w1+w2)/2, e amplitude variável.

Segue de (4) que a amplitude da oscilação resultante muda de acordo com a lei periódica dos cossenos. Um ciclo completo de alteração dos valores da função cosseno ocorre quando o argumento muda em 360 0 , enquanto a função passa valores de +1 para -1. O estado do sistema que bate nos instantes de tempo correspondentes aos valores especificados da função cosseno na fórmula (4) não difere de forma alguma. Em outras palavras, os ciclos de batimento ocorrem com uma frequência correspondente a uma mudança no argumento do cosseno na fórmula (4) por 180 0 . Então o período T a mudanças de amplitude durante os batimentos (período de batimento) é determinada a partir da condição:

T a \u003d 2p / (w 1 - w 2).

Dado que w=2pn, Nós temos:

T a \u003d 2 p / 2 p (n 1 - n 2) \u003d 1 / (n 1 - n 2). (5)

A frequência de mudança na amplitude da oscilação resultante é igual à diferença nas frequências das oscilações adicionadas:

n=1/T a =n 1 -n 2 .

Adição de oscilações harmônicas de uma direção.

bate

Considere um sistema oscilatório com um grau de liberdade, cujo estado é determinado pela dependência de alguma quantidade no tempo. Seja a oscilação neste sistema a soma de duas oscilações harmônicas com a mesma frequência, mas diferentes amplitudes e fases iniciais, ou seja.

Como o "deslocamento" do sistema oscilatório da posição de equilíbrio ocorre ao longo de uma única "direção", neste caso fala-se da adição de oscilações harmônicas de uma direção. No diagrama vetorial, as oscilações adicionadas serão exibidas como dois vetores e , girados um em relação ao outro por um ângulo (Fig. 6.1). Como as frequências das oscilações combinadas são as mesmas, sua posição mútua permanecerá inalterada a qualquer momento, e a oscilação resultante será representada por um vetor igual à soma dos vetores e . Somando os vetores de acordo com a regra do paralelogramo e usando o teorema do cosseno, obtemos

. (6.3)

Por isso, quando se somam duas oscilações harmônicas de mesma direção com as mesmas frequências, obtém-se uma oscilação harmônica de mesma frequência, cuja amplitude e fase inicial são determinadas pelas expressões(6.2), (6.3).

Duas oscilações harmônicas que ocorrem na mesma frequência e têm uma diferença de fase constante são chamadas coerente. Consequentemente, ao adicionar oscilações coerentes, obtém-se uma oscilação harmônica de mesma frequência, cuja amplitude e fase inicial são determinadas pelas amplitudes e fases iniciais das oscilações adicionadas.

Se as oscilações adicionadas têm frequências diferentes e , mas as mesmas amplitudes , então, usando a expressão conhecida da trigonometria para a soma dos cossenos de dois ângulos, obtemos

Pode-se ver a partir da expressão resultante que a oscilação resultante não é harmônico.

Deixe que as frequências das oscilações adicionadas sejam próximas umas das outras de modo que e . Este caso é chamado batendo duas frequências.

denotando , e , pode ser escrito

. (6.5)

Segue da expressão (6.5) que a oscilação resultante pode ser representada como uma oscilação harmônica com uma certa frequência média , cuja amplitude muda lentamente (com uma frequência ) no tempo. Tempo chamado período de batida, uma – frequência de batimento. O gráfico de batidas é mostrado na Figura 6.2. As batidas ocorrem quando som simultâneo de dois diapasões da mesma chave. Eles podem ser observados usando um osciloscópio ao somar as oscilações harmônicas de dois geradores sintonizados na mesma frequência. Em ambos os casos, as frequências das fontes de oscilação serão ligeiramente diferentes, resultando em batimentos.

Como as oscilações ocorrem em frequências diferentes, a diferença de fase das oscilações adicionadas muda com o tempo, portanto, as oscilações não são coerentes. A mudança no tempo da amplitude das oscilações resultantes é uma consequência característica da incoerência das oscilações adicionadas.

A adição de oscilações é observada com muita frequência em circuitos elétricos e, em particular, em dispositivos de comunicação por rádio. Em alguns casos, isso é feito propositalmente para obter um sinal com parâmetros especificados. Assim, por exemplo, em um receptor heteródino, o sinal recebido é adicionado (misturado) com o sinal do oscilador local para obter uma oscilação de frequência intermediária como resultado do processamento subsequente. Em outros casos, a adição de oscilações ocorre espontaneamente quando algum tipo de interferência é recebida na entrada do dispositivo, além do sinal útil. De fato, toda a variedade da forma dos sinais elétricos é resultado da adição de duas ou mais oscilações harmônicas.

O mesmo corpo pode participar simultaneamente em dois ou mais movimentos. Um exemplo simples é o movimento de uma bola lançada em um ângulo em relação ao horizonte. Podemos supor que a bola participa de dois movimentos independentes e perpendiculares entre si: uniforme na horizontal e igualmente variável na vertical. Um mesmo corpo (ponto material) pode participar de dois (ou mais) movimentos de tipo oscilatório.

Debaixo adição de vibrações compreender a definição da lei da oscilação resultante, se o sistema oscilatório participa simultaneamente em vários processos oscilatórios. Existem dois casos limites - a adição de oscilações de uma direção e a adição de oscilações mutuamente perpendiculares.

2.1. Adição de oscilações harmônicas de uma direção

1. Adição de duas oscilações de mesma direção(vibrações codirecionais)

pode ser feito usando o método do diagrama vetorial (Figura 9) em vez de adicionar as duas equações.

A Figura 2.1 mostra os vetores de amplitude MAS 1(t) e MAS 2 (t) oscilações somadas em um tempo arbitrário t, quando as fases dessas oscilações são respectivamente iguais e . A adição de oscilações é reduzida à definição . Vamos usar o fato de que no diagrama vetorial a soma das projeções dos vetores adicionados é igual à projeção da soma vetorial desses vetores.

A oscilação resultante corresponde no diagrama vetorial ao vetor amplitude e fase.

Figura 2.1 - Adição de oscilações codirecionais.

Magnitude do vetor MAS(t) pode ser encontrado usando o teorema do cosseno:

A fase da oscilação resultante é dada pela fórmula:

.

Se as frequências das oscilações adicionadas ω 1 e ω 2 não forem iguais, então tanto a fase φ(t) quanto a amplitude MAS(t) A flutuação resultante mudará ao longo do tempo. Vibrações adicionadas são chamadas incoerente nesse caso.

2. Duas oscilações harmônicas x 1 e x 2 são chamadas coerente, se a diferença de fase não depender do tempo:

Mas como , então para cumprir a condição de coerência dessas duas oscilações, suas frequências cíclicas devem ser iguais.

A amplitude da oscilação resultante obtida pela adição de oscilações codirecionais com frequências iguais (oscilações coerentes) é igual a:

A fase inicial da oscilação resultante pode ser facilmente encontrada projetando os vetores MAS 1 e MAS 2 nos eixos de coordenadas OX e OY (ver Figura 9):

.

Então, a oscilação resultante obtida pela adição de duas oscilações harmônicas co-direcionais com frequências iguais também é uma oscilação harmônica.

3. Investigamos a dependência da amplitude de oscilação resultante da diferença entre as fases iniciais das oscilações somadas.

Se , onde n é qualquer inteiro não negativo

(n = 0, 1, 2…), então mínimo. As vibrações adicionadas no momento da adição estavam em fora de fase. Em , a amplitude resultante é zero.

Se um , então , ou seja a amplitude resultante será máximo. No momento da adição, as oscilações adicionadas foram em uma fase, ou seja estavam em fase. Se as amplitudes das oscilações adicionadas são as mesmas , então .

4. Adição de vibrações codirecionais com frequências desiguais, mas próximas.

As frequências das oscilações adicionadas não são iguais, mas a diferença de frequência tanto ω 1 quanto ω 2 são muito menores. A condição para a proximidade das frequências adicionadas é escrita pelas relações .

Um exemplo da adição de oscilações codirecionais com frequências próximas é o movimento de um pêndulo de mola horizontal, cuja rigidez da mola é ligeiramente diferente k 1 e k 2 .

Sejam as amplitudes das oscilações adicionadas as mesmas , e as fases iniciais são iguais a zero. Então as equações das oscilações adicionadas têm a forma:

, .

A oscilação resultante é descrita pela equação:

A equação de oscilação resultante depende do produto de duas funções harmônicas: uma com frequência , o outro - com uma frequência , onde ω está próximo das frequências das oscilações adicionadas (ω 1 ou ω 2). A oscilação resultante pode ser vista como oscilação harmônica com uma amplitude de mudança harmônica. Esse processo oscilatório é chamado bate. Estritamente falando, a oscilação resultante geralmente não é uma oscilação harmônica.

O valor absoluto do cosseno é tomado porque a amplitude é um valor positivo. A natureza da dependência x res. para batidas é mostrado na Figura 2.2.

Figura 2.2 - A dependência do deslocamento no tempo durante os batimentos.

A amplitude do batimento muda lentamente com a frequência. O valor absoluto do cosseno se repete, se seu argumento mudar em π, então o valor da amplitude resultante se repetirá após um intervalo de tempo τ b, chamado período de batida(Ver Figura 12). O valor do período de batimento pode ser determinado a partir da seguinte relação:

O valor é o período de batida.

Valor é o período da oscilação resultante (Figura 2.4).

2.2. Adição de oscilações mutuamente perpendiculares

1. Um modelo que pode demonstrar a adição de vibrações mutuamente perpendiculares é mostrado na Figura 2.3. O pêndulo (ponto material de massa m) pode oscilar ao longo dos eixos OX e OY sob a ação de duas forças elásticas direcionadas mutuamente perpendiculares.

Figura 2.3

As oscilações somadas têm a forma:

As frequências de oscilação são definidas como , , onde , são coeficientes de rigidez da mola.

2. Considere o caso de adicionar dois vibrações mutuamente perpendiculares com as mesmas frequências , que corresponde à condição (as mesmas molas). Então as equações das oscilações adicionadas terão a forma:

Quando um ponto participa de dois movimentos simultaneamente, sua trajetória pode ser diferente e bastante complexa. A equação para a trajetória das oscilações resultantes no plano OXY quando duas mutuamente perpendiculares com frequências iguais são adicionadas pode ser determinada excluindo o tempo t das equações iniciais para x e y:

O tipo de trajetória é determinado pela diferença nas fases iniciais das oscilações adicionadas, que dependem das condições iniciais (ver § 1.1.2). Considere as opções possíveis.

e se , onde n = 0, 1, 2…, ou seja. as oscilações somadas estão em fase, então a equação da trajetória terá a forma:

(Figura 2.3a).

Figura 2.3.a	Figura 2.3b

b) Se (n = 0, 1, 2…), ou seja. as oscilações somadas estão em antifase, então a equação da trajetória é escrita da seguinte forma:

(Figura 2.3b).

Em ambos os casos (a, b), o movimento resultante do ponto oscilará ao longo de uma linha reta que passa pelo ponto O. A frequência da oscilação resultante é igual à frequência das oscilações adicionadas ω 0 , a amplitude é determinada por a proporção.