A palavra "correspondência" em russo é usada com bastante frequência, significa uma relação entre algo, expressando consistência, igualdade em qualquer aspecto (dicionário explicativo de Ozhegov).

Na vida, muitas vezes se ouve: “Este livro corresponde a este programa, mas este livro não corresponde (mas pode corresponder a outro programa); esta maçã corresponde ao grau mais alto, e este é apenas o primeiro. Dizemos que esta resposta no exame corresponde à nota "excelente", esta - "bom". Dizemos que essa pessoa corresponde (no sentido de ajuste) a roupas de tamanho 46. De acordo com as instruções, você deve fazer isso e não o contrário. Há uma correspondência entre o número de dias ensolarados por ano e o rendimento da cultura.

Se você tentar analisar esses exemplos, notará que em todos os casos estamos falando de duas classes de objetos, e entre objetos de uma classe, de acordo com certas regras, alguma conexão é estabelecida com objetos de outra classe. Por exemplo, no caso de combinar roupas de um determinado tamanho, uma classe de objetos são pessoas e a outra classe de objetos são alguns números naturais que desempenham o papel de tamanhos de roupas. A regra pela qual uma correspondência é estabelecida pode ser definida, por exemplo, usando um algoritmo natural - experimentando um determinado terno ou determinando "a olho" sua adequação.

Consideraremos correspondências para as quais as classes de objetos entre as quais uma correspondência é estabelecida e a regra para estabelecer uma correspondência estão bem definidas. Numerosos exemplos de tais correspondências foram estudados na escola. Primeiro de tudo, é claro, funções. Qualquer função é um exemplo de correspondência. De fato, considere, por exemplo, a função no = X+ 3. Se não for dito especificamente sobre o escopo de uma função, então considera-se que cada valor numérico do argumento X corresponde a um valor numérico no, que se encontra de acordo com a regra: para X você precisa adicionar 3. Neste caso, a correspondência é estabelecida entre os conjuntos R e R numeros reais.

Observe que estabelecer ligações entre dois conjuntos X e S associado com a consideração de pares de objetos formados a partir de elementos do conjunto X e os elementos correspondentes do conjunto S.

Definição. Conformidade entre conjuntos X e Sé chamado de qualquer subconjunto não vazio do produto cartesiano X ´ S.

Um monte de X chamado área de embarque combinando, muitos S – área de chegada conformidade.

Correspondências entre conjuntos são geralmente denotadas por letras maiúsculas do alfabeto latino, por exemplo, R, S, T. Se um R– alguma correspondência entre conjuntos X e S, então, de acordo com a definição de correspondência, RÍ X´ S e R≠ Æ. Uma vez que a correspondência entre os conjuntos X e Sé qualquer subconjunto do produto cartesiano X ´ S, ou seja é um conjunto de pares ordenados, então as formas de especificar correspondências são essencialmente as mesmas que as formas de especificar conjuntos. Então a correspondência R entre conjuntos X e S você pode definir:

a) listando todos os pares de elementos ( x, y) Î R;

b) uma indicação da propriedade característica que todos os pares ( x, y) conjuntos R e nenhum par que não seja um elemento o possui.

EXEMPLOS.

1) Conformidade R entre conjuntos X= (20, 25) e S= (4, 5, 6) é dado especificando a propriedade característica: " X múltiplo no»,
X Î X, no Î S. Então o conjunto R = {(20, 4), (20, 5),(25, 5)}.

2) Conformidade R entre conjuntos X= (2, 4, 6, 8) e

S= (1, 3, 5) é dado pelo conjunto de pares R = {(4, 1), (6, 3), (8, 5)}.

Se um R– correspondência entre dois conjuntos numéricos X e S, então, tendo representado todos os pares de números que estão de acordo R no plano coordenado, obtemos uma figura chamada gráfico de correspondência R. Por outro lado, qualquer subconjunto de pontos do plano coordenado é considerado um gráfico de alguma correspondência entre conjuntos numéricos X e S.

Gráfico de correspondência

Para uma representação visual das correspondências entre conjuntos finitos, gráficos são usados ​​além do gráfico. (Da palavra grega "grapho" - escrevo, comparo: agenda, telégrafo).

Para construir um gráfico de correspondência entre conjuntos X e S os elementos de cada um dos conjuntos são representados como pontos no plano, após os quais as setas são desenhadas de X Î X para no Î S, se o par ( x, y) pertence a esta correspondência. Acontece um desenho composto por pontos e setas.

EXEMPLO Conformidade R entre conjuntos X= (2, 3, 4, 5) e S= (4, 9) é dado pela enumeração de pares R = {(2, 4), (4, 4), (3, 9)}.

Da mesma forma, podemos escrever 4 R 4, 3R 9. E, em geral, se um casal
(x, y) Î R, então dizemos que o elemento X Î X elemento de correspondência no Î S e anote xRy. Elemento 2 О Xé chamado de pré-imagem do elemento
4O S de acordo R e denotado 4 R-1 2. Da mesma forma, você pode escrever 4 R -1 4, 9R -1 3.

O conceito de conformidade. Métodos para especificar correspondências

Inicialmente, a álgebra era chamada de doutrina da resolução de equações. Ao longo de muitos séculos de seu desenvolvimento, a álgebra tornou-se uma ciência que estuda operações e relações em vários conjuntos. Portanto, não é por acaso que já no ensino fundamental as crianças se familiarizam com conceitos algébricos como expressão (numérica e com variáveis), igualdade numérica, desigualdade numérica, equação. Eles estudam várias propriedades de operações aritméticas em números que permitem realizar cálculos racionalmente. E, claro, no curso inicial de matemática, eles se familiarizam com várias dependências, relacionamentos, mas para usá-los para desenvolver a atividade mental das crianças, o professor deve dominar alguns conceitos gerais da álgebra moderna - o conceito de correspondência , relação, operação algébrica, etc. Além disso, ao dominar a linguagem matemática utilizada na álgebra, o professor poderá compreender melhor a essência da modelagem matemática de fenômenos e processos reais.

Estudando o mundo ao nosso redor, a matemática considera não apenas seus objetos, mas principalmente as conexões entre eles. Essas conexões são chamadas de dependências, correspondências, relacionamentos, funções. Por exemplo, ao calcular os comprimentos dos objetos, são estabelecidas correspondências entre objetos e números, que são os valores de seus comprimentos; ao resolver problemas de movimento, estabelece-se uma relação entre a distância percorrida e o tempo, se a velocidade do movimento for constante.

Dependências específicas, correspondências, relações entre objetos em matemática têm sido estudadas desde o seu início. Mas a questão do que as mais diversas correspondências têm em comum, qual é a essência de qualquer correspondência, foi levantada no final do século XIX - início do século XX, e a resposta foi encontrada no âmbito da teoria dos conjuntos.

No curso inicial de matemática, são estudadas várias relações entre elementos de um, dois ou mais conjuntos. Portanto, o professor precisa compreender sua essência, o que o ajudará a garantir unidade na metodologia para estudar essas relações.

Vamos considerar três exemplos de correspondências estudados no curso inicial de matemática.

No primeiro caso, estabelecemos uma correspondência entre as expressões dadas e seus valores numéricos. Na segunda, descobrimos qual número corresponde a cada uma dessas figuras, caracterizando sua área. Na terceira, procuramos um número que seja uma solução para a equação.

O que essas correspondências têm em comum?

Vemos que em todos os casos temos dois conjuntos: no primeiro, este é um conjunto de três expressões numéricas e um conjunto de N números naturais (os valores dessas expressões pertencem a ele), no segundo, isso é um conjunto de três formas geométricas e um conjunto de N números naturais; na terceira, é um conjunto de três equações e um conjunto de N números naturais.

Realizando as tarefas propostas, estabelecemos uma relação (correspondência) entre os elementos desses conjuntos. Pode ser visualizado por meio de gráficos (Fig. 1).

Você pode especificar essas correspondências listando todos os pares de elementos que estão em uma determinada correspondência:

I. ((em 1, 4), (em 3, 20));

II. ((F 1 , 4), (F 2 , 10), (F 3 , 10));

III. ((y 1, 4), (y 2, 11), (y 3, 4)).

Os conjuntos resultantes mostram que qualquer correspondência entre dois conjuntos X e Y pode ser considerada como conjunto de pares ordenados formados a partir de seus elementos. E como os pares ordenados são elementos de um produto cartesiano, chegamos à seguinte definição do conceito geral de correspondência.

Definição. Uma correspondência entre os elementos de um conjunto X e Y é qualquer subconjunto do produto cartesiano desses conjuntos.

As correspondências são geralmente denotadas pelas letras P, S, T, R, etc. Se S é uma correspondência entre elementos dos conjuntos X e Y, então, de acordo com a definição, S X x Y.

Vamos agora descobrir como as correspondências entre dois conjuntos são especificadas. Como a correspondência é um subconjunto, ela pode ser especificada como qualquer conjunto, ou seja, seja listando todos os pares de elementos que estão em uma determinada correspondência, ou especificando uma propriedade característica dos elementos desse subconjunto. Assim, a correspondência entre os conjuntos X = (1, 2, 4, 6) e Y = (3, 5) pode ser especificada:

1) usando uma frase com duas variáveis: a< b при условии, что а X, b Y;

2) listar pares de números pertencentes a um subconjunto do produto cartesiano XxY: ((1, 3), (1, 5), (2, 3), (2, 5), (4, 5)). Este método de atribuição também inclui atribuição de correspondência usando um gráfico (Fig. 2) e um gráfico (Fig. 3)

Arroz. 2 Fig. 3

Muitas vezes, ao estudar correspondências entre elementos dos conjuntos X e Y, deve-se considerar a correspondência, que é o oposto dela. Deixe, por exemplo,

S - correspondência "mais por 2" entre os elementos dos conjuntos

X \u003d (4,5,8, 10) e Y \u003d (2,3,6). Então S=((4, 2), (5,3), (8, 6)) e seu gráfico será o mesmo da Figura 4a.

O inverso disso é a correspondência menor que 2. Ele é considerado entre os elementos dos conjuntos Y e X, e para visualizá-lo basta inverter o sentido das setas no gráfico de relação S (Fig. 4b). Se a correspondência “menor que 2” é denotada por S -1, então S -1 = ((2,4), (3,5), (6,8)).

Vamos concordar em escrever a sentença “o elemento x está de acordo com o elemento y” da seguinte forma: xSy. O registro xSy pode ser considerado como uma generalização dos registros de correspondências específicas: x = 2y; x > 3y + 1, etc.

Vamos usar a notação introduzida para definir a noção de uma correspondência inversa à dada.

Definição. Seja S uma correspondência entre elementos dos conjuntos X e Y. Uma correspondência S -1 entre elementos dos conjuntos Y e X é chamada inversa dada se yS -x se e somente se xSy .

As correspondências S e S -1 são chamadas mutuamente inversas. Vamos descobrir as características de seus gráficos.

Vamos traçar a correspondência S = ((4, 2), (5, 3), (8, 6)) (Fig. 5a). Ao construir um grafo de correspondência S -1 = ((2, 4), (3, 5), (6, 8)) devemos escolher o primeiro componente do conjunto Y = (2, 3, 6), e o segundo - do conjunto X = (4, 5, 8, 10). Como resultado, o gráfico de ajuste S-1 corresponderá ao gráfico de ajuste S. Para distinguir entre os gráficos de ajuste S e S-1,

concordaram em considerar o primeiro componente do par de correspondência S-1 como a abcissa e o segundo como a ordenada. Por exemplo, se (5, 3) S, então (3, 5) S -1 . Pontos com coordenadas (5, 3) e (3, 5), e no caso geral (x, y) e (y, x) são simétricos em relação à bissetriz dos ângulos de 1ª e 3ª coordenadas. Portanto, os gráficos de correspondências mutuamente inversas S e S -1 são simétricos em relação à bissetriz dos ângulos coordenados 1º e 3º.

Para construir um gráfico de correspondência S -1, basta desenhar pontos no plano coordenado que sejam simétricos aos pontos do gráfico S em relação à bissetriz dos ângulos da 1ª e 3ª coordenadas.

Opção 1

№

Uma correspondência entre os conjuntos X e Y é qualquer _________________________________ ________________________________________________________________ Х x Y .

№2. Nas figuras, as correspondências entre os conjuntos são dadas por meio de gráficos. Especifique um gráfico de correspondência no qual o escopo da definição de correspondência não corresponda ao conjunto de envio da correspondência.

№

1
) gráfico, 2) gráfico, 3) enumeração de pares, 4) propriedade característica

uma
) b) uma< b

№4. Qual figura mostra os gráficos de correspondência inversa?

uma
) b) c) d)

№5. Entre os conjuntos M = (A, B, C, D, D) e N = (1, 2, 3, 4, 5) existe uma correspondência Q: “elemento m vai no alfabeto russo sob o número n ". Indique as afirmações corretas:

Conjuntos M e N são equivalentes.

O alcance da correspondência Q coincide com seu conjunto de valores.

№6. (Tarefa prática). Entre os conjuntos A \u003d (1, 2, 3, 4, 5) e B \u003d (2, 4, 6, 8,10) há uma correspondência T: " uma menor b em 2"

Listar pares correspondentes de T

Especifique a correspondência T -1 , inversa à dada, liste seus pares

Gráficos de correspondência T e T -1 no mesmo sistema de coordenadas

Teste no tópico "Correspondências entre conjuntos"

opção 2

№1. Insira as palavras que faltam na frase:

A correspondência entre os conjuntos X e Y é o conjunto de ______________________________, cujo primeiro componente é _____________________ ao conjunto X, e o segundo é ___________________.

№2. Nas figuras, as correspondências entre os conjuntos são dadas por meio de gráficos. Especifique um gráfico de correspondência no qual o conjunto de valores de correspondência seja igual ao conjunto de chegada de correspondência.

№3. Combine o nome do método de correspondência com sua imagem.

1
), enumeração de pares 2) propriedade característica, 3) gráfico, 4) gráfico

a) b) uma< b c) Р = ((2;3), (5;6), (4;5)) d)

№4. Qual figura mostra um gráfico de correspondência um-para-um?

uma
) b) c) d)

№5. Entre os conjuntos A = ( 1, 2, 3, 4, ) e B = ( 2, 4, 6, 8, 9) existe uma correspondência Q : " uma menor b Três vezes." Indique as afirmações corretas:

A correspondência é um a um.

Conformidade " b mais uma 3 vezes" é o inverso disso.

O escopo de Q não coincide com seu conjunto origem.

№6. (Tarefa prática). Entre os conjuntos M = (1, 2, 3, 4, 5) e N = (1, 2, 4, 6, 8,10) existe uma correspondência T: m 2 = n

Liste os pares correspondentes de T.

Liste os pares de correspondência T -1, inverso ao dado, construa seu gráfico.

Trace as correspondências T e T -1 no mesmo sistema de coordenadas.

Teste no tópico "Correspondências entre conjuntos"

Tabela de respostas.

1 opção.

Opção 2.

Subconjunto; produto cartesiano de conjuntos

Pares ordenados; pertence; conjunto Y

1d, 2a, 3c, 4b

1c, 2b, 3d, 4a

a, b

b,c

Critério de avaliação:

№1 - 2 pontos

№2 - 1 ponto

№3 - 1 ponto

№4 - 1 ponto

№5 - 3 pontos

№6 - 4 pontos

Total de 12 pontos.

Marcas:

12-11 pontos - 5

10 - 9 pontos - 4

8 - 6 pontos - 3

Menos de 6 pontos - 2

Opção 1

№1. Insira as palavras que faltam na frase:

Uma relação em um conjunto X é qualquer _________________________________ ________________________________________________________________ X x X.

№2. No conjunto A = (1, 2, 3, 4, 5, 6) são dadas diferentes relações:

Especificar colunas:

№

relação de equivalência.

relação de ordem

a relação de paralelismo no conjunto de linhas do plano

№

uma
) b) c) d)

№5. Compare as relações dadas no conjunto de casas e suas propriedades:

"têm o mesmo número de andares"

"ter mais apartamentos"

"ser construído 2 anos antes"

reflexividade

Simetria

Antisimetria

Transitividade

№X não mais velho no” definido no conjunto das crianças. Essa relação é uma relação de ordem?

Olga 7 anos

Nikolay 8 anos

Valentim 9 anos

Anatólio 8 anos

Svetlana 7 anos

Pedro 7 anos

Teste no tópico "Relações entre conjuntos"

opção 2

№1. Insira as palavras que faltam na frase:

Uma relação em um conjunto X é um conjunto de ______________________________, ambos os componentes são _____________________ ao conjunto X.

№2. No conjunto ( 2, 3, 5, 7, 9) são dadas diferentes relações:

Especificar colunas:

№
3. De acordo com o gráfico, determine quais das relações são:

relação de ordem

relação "menor ou igual a" no conjunto N

№4. Qual figura mostra o gráfico da relação entre conjuntos?

uma
) b) c) d)

№5. Compare as relações definidas no conjunto de alunos da turma e suas propriedades:

"vivendo na mesma rua"

"estar 1 ano mais velho"

"morar mais perto da escola"

reflexividade

Simetria

Antisimetria

Transitividade

№6. (Tarefa prática). Trace o gráfico de relacionamento " X tem o mesmo sexo que no” definido no conjunto das crianças. Essa relação é uma relação de equivalência?

Olga

Nicolau

namorados

Anatólia

Svetlana

Peter

Teste no tópico "Relações entre conjuntos"

Tabela de respostas.

1 opção.

Opção 2.

Subconjunto; Produto cartesiano de um conjunto (quadrado cartesiano)

Pares ordenados; pertencer; definir X

1a, 2a, 3a,b, 4b, 5a, 6b, 7b

1b, c, 2c, 3b, 4c, 5b, 6c, 7c

1a, 2b, 3a, d

1a, c, 2c

a – 1, 2, 4; b - 3, 4; em 3

a – 1, 2, 4; b – 3, c – 3, 4

Critério de avaliação:

№1 - 2 pontos

№2 - 7 pontos

№3 - 3 pontos

№4 - 1 ponto

№5 - 3 pontos

№6 - 2 pontos

Total de 18 pontos.

Marcas:

18-17 pontos - 5

16 - 13 pontos - 4

12 - 9 pontos - 3

Menos de 9 pontos - 2

1. Classificação da matriz

3
5
2
4

2. Adição algébrica de um elemento

A 23 = 12
A 23 \u003d -34
A 23 = 34
A 23 \u003d -12

3. Produto de matrizes

- direita

4. Se todos os elementos de uma linha de uma matriz retangular A de dimensão n x m forem multiplicados por dois, então o posto da matriz A ...
aumentará em 2
Não mudará
vai dobrar

5. A proporção certa

- direita

6. O valor do determinante

2
4
5
3

7. Arranjo mútuo das linhas 4x - 2y - 6 = 0 e 8x - 4y - 2 = 0 no plano - linhas ...
são paralelos
cruzar
perpendicular
partida

8. Seja x e y a solução do sistema

4
7
5
6

9. Entre as equações abaixo, indique a equação da elipse

10. Seja a linha reta dada pela equação normal x senα + y senα - p = 0. A afirmação correta
Se OA é uma perpendicular restaurada da origem para uma linha reta, então α é o ângulo formado pela perpendicular OA com o eixo Ox
Se OA é uma perpendicular restaurada da origem para uma linha reta, então α é o comprimento desta perpendicular
p é o valor do segmento cortado por uma linha reta no eixo x
α é o ângulo de inclinação da linha reta para a direção positiva do eixo Ox

11. Dado um sistema linear

o sistema tem um número infinito de soluções
o sistema não tem soluções
o sistema tem uma solução única
nada pode ser dito sobre a presença de soluções (o sistema pode ou não ter soluções)

5x - 3a - 7 = 0
3x + y - 7 = 0
4x - 2a - 6 = 0
6x - y - 11 = 0

13. Encontre o produto escalar de vetores