Número irracional- isto é número real, que não é racional, ou seja, não pode ser representado como uma fração, onde são inteiros, . Um número irracional pode ser representado como uma dízima infinita não periódica.

Muitos números racionais geralmente capitalizado letra latina em negrito sem preenchimento. Assim: , ou seja. conjunto dos números irracionais é diferença de conjuntos de números reais e racionais.

Sobre a existência de números irracionais, mais precisamente segmentos incomensuráveis ​​com um segmento de unidade de comprimento, os antigos matemáticos já sabiam: conheciam, por exemplo, a incomensurabilidade da diagonal e do lado do quadrado, que equivale à irracionalidade do número.

Propriedades

• Qualquer número real pode ser escrito como uma fração decimal infinita, enquanto os números irracionais e somente eles são escritos como frações decimais infinitas não periódicas.
• Números irracionais defina seções de Dedekind no conjunto de números racionais que não possuem o maior número na classe inferior e nenhum número menor na classe superior.
• Todo número real transcendental é irracional.
• Todo número irracional é algébrico ou transcendental.
• O conjunto dos números irracionais é denso em toda parte na reta real: entre quaisquer dois números existe um número irracional.
• A ordem no conjunto dos números irracionais é isomórfica à ordem no conjunto dos números reais transcendentais.
• O conjunto dos números irracionais é incontável, é um conjunto da segunda categoria.

Exemplos

Irracionais são:

Exemplos de prova de irracionalidade

Raiz de 2

Suponha o contrário: racional , ou seja, é representado na forma fração irredutível, onde é um número inteiro e é um número natural. Vamos ao quadrado a suposta igualdade:

Disto segue-se que mesmo, portanto, mesmo e . Deixe onde o todo. Então

Portanto, mesmo, portanto, mesmo e . Obtivemos isso e são pares, o que contradiz a irredutibilidade da fração . Portanto, a suposição original estava errada e é um número irracional.

logaritmo binário do número 3

Suponha o contrário: é racional, ou seja, é representado como uma fração, onde e são inteiros. Desde , E pode ser tomado positivo. Então

Mas é claro, é estranho. Obtemos uma contradição.

e

História

O conceito de números irracionais foi adotado implicitamente por matemáticos indianos no século VII aC, quando Manawa (c. 750 aC - c. 690 aC) descobriu que raízes quadradas algum números naturais, como 2 e 61, não podem ser expressos explicitamente.

A primeira prova da existência de números irracionais é geralmente atribuída a Hippasus de Metaponto (c. 500 aC), um pitagórico que encontrou essa prova estudando os comprimentos dos lados de um pentagrama. Na época dos pitagóricos, acreditava-se que havia única unidade comprimento, suficientemente pequeno e indivisível, que é um número inteiro de vezes em qualquer segmento. No entanto, Hippasus argumentou que não existe uma única unidade de comprimento, uma vez que a suposição de sua existência leva a uma contradição. Ele mostrou que se a hipotenusa de um isósceles triângulo retângulo contém um número inteiro de segmentos de unidade, então esse número deve ser par e ímpar ao mesmo tempo. A prova ficou assim:

• A razão entre o comprimento da hipotenusa e o comprimento do cateto de um triângulo retângulo isósceles pode ser expressa como uma:b, Onde uma e b selecionado como o menor possível.
• De acordo com o teorema de Pitágoras: uma² = 2 b².
• Porque uma² mesmo, uma deve ser par (já que o quadrado de um número ímpar seria ímpar).
• Porque o uma:b irredutível b deve ser estranho.
• Porque uma mesmo, denotar uma = 2y.
• Então uma² = 4 y² = 2 b².
• b² = 2 y², portanto bé par, então b até.
• No entanto, foi comprovado que bímpar. Contradição.

Os matemáticos gregos chamavam essa razão de quantidades incomensuráveis logos(inexprimível), mas de acordo com as lendas, Hippasus não recebeu o devido respeito. Há uma lenda que Hippasus fez a descoberta enquanto viagem marítima, e foi jogado ao mar por outros pitagóricos "por criar um elemento do universo que nega a doutrina de que todas as entidades no universo podem ser reduzidas a números inteiros e suas proporções". A descoberta de Hippasus representou um sério problema para a matemática pitagórica, destruindo a suposição subjacente de que números e objetos geométricos são um e inseparáveis.

O que são números irracionais? Por que eles são chamados assim? Onde eles são usados ​​e quais são eles? Poucos podem responder a essas perguntas sem hesitação. Mas, na verdade, as respostas para eles são bastante simples, embora nem todos precisem delas e em situações muito raras.

Essência e designação

Os números irracionais são infinitos não periódicos A necessidade de introduzir este conceito se deve ao fato de que para resolver novos problemas emergentes, os conceitos anteriormente existentes de números reais ou reais, inteiros, naturais e racionais já não eram suficientes. Por exemplo, para calcular o que é o quadrado de 2, deve-se usar infinito não periódico decimais. Além disso, muitas das equações mais simples também não têm solução sem introduzir o conceito de número irracional.

Esse conjunto é indicado como I. E, como já está claro, esses valores não podem ser representados como uma fração simples, no numerador do qual haverá um número inteiro e no denominador -

Pela primeira vez, de uma forma ou de outra, os matemáticos indianos encontraram esse fenômeno no século VII, quando se descobriu que as raízes quadradas de algumas quantidades não podem ser indicadas explicitamente. E a primeira prova da existência de tais números é atribuída ao pitagórico Hippasus, que fez isso no processo de estudar um triângulo retângulo isósceles. Uma séria contribuição para o estudo deste conjunto foi feita por alguns outros cientistas que viveram antes de nossa era. A introdução do conceito de números irracionais levou a uma revisão da sistema matemático, por isso são tão importantes.

origem do nome

Se ratio em latim é "fração", "ratio", então o prefixo "ir"
dá esta palavra significado oposto. Assim, o nome do conjunto desses números indica que eles não podem ser correlacionados com um inteiro ou fracionário, eles têm um lugar separado. Isso decorre de sua natureza.

Lugar na classificação geral

Os números irracionais, juntamente com os racionais, pertencem ao grupo dos números reais ou reais, que por sua vez são complexos. Não há subconjuntos, no entanto, existem variedades algébricas e transcendentais, que serão discutidas a seguir.

Propriedades

Como os números irracionais fazem parte do conjunto dos números reais, todas as suas propriedades que são estudadas na aritmética são aplicáveis ​​a eles (também são chamadas de leis algébricas básicas).

a + b = b + a (comutatividade);

(a + b) + c = a + (b + c) (associatividade);

a + (-a) = 0 (existência do número oposto);

ab = ba (lei de deslocamento);

(ab)c = a(bc) (distributividade);

a(b+c) = ab + ac (lei distributiva);

a x 1/a = 1 (existência de um número inverso);

A comparação também é feita de acordo com padrões gerais e princípios:

Se a > b e b > c, então a > c (transitividade da relação) e. etc.

É claro que todos os números irracionais podem ser transformados usando o básico operaçoes aritimeticas. Nenhum regras especiais enquanto não.

Além disso, a ação do axioma de Arquimedes se estende aos números irracionais. Ele diz que para quaisquer duas quantidades a e b, a afirmação é verdadeira de que tomando a como termo um número suficiente de vezes, é possível superar b.

Uso

Apesar do fato de que em vida comum nem sempre você tem que lidar com eles, os números irracionais não são contáveis. Eles grande multidão mas são quase invisíveis. Estamos cercados por números irracionais em todos os lugares. Exemplos familiares a todos são pi, que é 3,1415926... ou e, que é essencialmente a base Logaritmo natural, 2.718281828... Em álgebra, trigonometria e geometria, você tem que usá-los o tempo todo. A propósito, significado famoso"seção áurea", ou seja, a razão entre a parte maior e a menor e vice-versa, também

pertence a este conjunto. Menos conhecido "prata" - também.

Na linha numérica, eles estão localizados muito densamente, de modo que entre quaisquer duas quantidades relacionadas ao conjunto das racionais, necessariamente ocorre uma irracional.

Ainda há muitos Questões não resolvidas associados a este conjunto. Existem critérios como a medida de irracionalidade e a normalidade de um número. Os matemáticos continuam a examinar os exemplos mais significativos de pertencimento a um grupo ou outro. Por exemplo, considera-se que e é um número normal, ou seja, a probabilidade de diferentes dígitos aparecerem em sua entrada é a mesma. Quanto ao pi, a pesquisa ainda está em andamento a respeito. Uma medida de irracionalidade é um valor que mostra quão bem um determinado número pode ser aproximado por números racionais.

Algébrica e transcendental

Como já mencionado, os números irracionais são divididos condicionalmente em algébricos e transcendentais. Condicionalmente, pois, a rigor, essa classificação é usada para dividir o conjunto C.

Escondido sob esta designação números complexos, que incluem real ou real.

Assim, um valor algébrico é um valor que é a raiz de um polinômio que não é identicamente igual a zero. Por exemplo, a raiz quadrada de 2 estaria nesta categoria porque é a solução da equação x 2 - 2 = 0.

Ainda o resto numeros reais, que não satisfazem esta condição, são chamados transcendentais. Essa variedade também inclui os exemplos mais famosos e já mencionados - o número pi e a base do logaritmo natural e.

Curiosamente, nem um nem o segundo foram originalmente deduzidos por matemáticos nessa capacidade, sua irracionalidade e transcendência foram comprovadas muitos anos após sua descoberta. Para pi, a prova foi dada em 1882 e simplificada em 1894, o que pôs fim à controvérsia de 2.500 anos sobre o problema da quadratura do círculo. Ainda não é totalmente compreendido, então os matemáticos modernos têm algo em que trabalhar. A propósito, o primeiro cálculo suficientemente preciso desse valor foi realizado por Arquimedes. Antes dele, todos os cálculos eram muito aproximados.

Para e (o número de Euler ou Napier), uma prova de sua transcendência foi encontrada em 1873. É usado na resolução de equações logarítmicas.

Outros exemplos incluem valores de seno, cosseno e tangente para quaisquer valores algébricos diferentes de zero.

O conjunto de números irracionais é geralmente denotado por uma letra maiúscula latina I (\displaystyle \mathbb (I) ) em negrito sem preenchimento. Nesse caminho: I = R ∖ Q (\displaystyle \mathbb (I) =\mathbb (R) \backslash \mathbb (Q) ), ou seja, o conjunto dos números irracionais é a diferença entre os conjuntos dos números reais e racionais.

A existência de números irracionais, mais precisamente segmentos incomensuráveis ​​com um segmento de unidade de comprimento, já era conhecida dos antigos matemáticos: eles conheciam, por exemplo, a incomensurabilidade da diagonal e do lado do quadrado, o que equivale à irracionalidade do número.

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  Irracionais são:

  Exemplos de prova de irracionalidade

  Raiz de 2

  Digamos o contrário: 2 (\displaystyle (\sqrt (2))) racional, ou seja, representado como uma fração m n (\displaystyle (\frac (m)(n))), Onde m (\displaystyle m)é um número inteiro e n (\displaystyle n)- número natural .

  Vamos ao quadrado a suposta igualdade:

  2 = m n ⇒ 2 = m 2 n 2 ⇒ m 2 = 2 n 2 (\displaystyle (\sqrt (2))=(\frac (m)(n))\Rightarrow 2=(\frac (m^(2) ))(n^(2)))\Seta para a direita m^(2)=2n^(2)).

  História

  Antiguidade

  O conceito de números irracionais foi adotado implicitamente por matemáticos indianos no século VII aC, quando Manawa (c. 750 aC - c. 690 aC) descobriu que as raízes quadradas de alguns números naturais, como 2 e 61, não podem ser expressas explicitamente. ] .

  A primeira prova da existência de números irracionais é geralmente atribuída a Hippasus de Metaponto (c. 500 aC), um pitagórico. Na época dos pitagóricos, acreditava-se que existe uma única unidade de comprimento, suficientemente pequena e indivisível, que é um número inteiro de vezes incluído em qualquer segmento. ] .

  Não há dados exatos sobre a irracionalidade de qual número foi comprovado por Hippasus. Segundo a lenda, ele o encontrou estudando os comprimentos dos lados do pentagrama. Portanto, é razoável supor que esta foi a proporção áurea [ ] .

  Os matemáticos gregos chamavam essa razão de quantidades incomensuráveis logos(inexprimível), mas de acordo com as lendas, Hippasus não recebeu o devido respeito. Há uma lenda de que Hippasus fez a descoberta durante uma viagem marítima e foi jogado ao mar por outros pitagóricos "por criar um elemento do universo, o que nega a doutrina de que todas as entidades do universo podem ser reduzidas a números inteiros e suas proporções. " A descoberta de Hippas colocou diante da matemática pitagórica problema sério, destruindo a suposição subjacente a toda a teoria de que números e objetos geométricos são um e inseparáveis.

  Com um segmento de unidade de comprimento, os antigos matemáticos já sabiam: conheciam, por exemplo, a incomensurabilidade da diagonal e do lado do quadrado, o que equivale à irracionalidade do número.

  Irracionais são:

  Exemplos de prova de irracionalidade

  Raiz de 2

  Suponha o contrário: é racional, ou seja, é representado como uma fração irredutível, onde e são inteiros. Vamos ao quadrado a suposta igualdade:

  .

  Disto segue-se que mesmo, portanto, mesmo e . Deixe onde o todo. Então

  Portanto, mesmo, portanto, mesmo e . Obtivemos isso e são pares, o que contradiz a irredutibilidade da fração . Portanto, a suposição original estava errada e é um número irracional.

  logaritmo binário do número 3

  Suponha o contrário: é racional, ou seja, é representado como uma fração, onde e são inteiros. Desde , E pode ser tomado positivo. Então

  Mas é claro, é estranho. Obtemos uma contradição.

  e

  História

  O conceito de números irracionais foi adotado implicitamente por matemáticos indianos no século VII aC, quando Manawa (c. 750 aC - c. 690 aC) descobriu que as raízes quadradas de alguns números naturais, como 2 e 61, não podem ser expressas explicitamente.

  A primeira prova da existência de números irracionais é geralmente atribuída a Hippasus de Metaponto (c. 500 aC), um pitagórico que encontrou essa prova estudando os comprimentos dos lados de um pentagrama. No tempo dos pitagóricos, acreditava-se que existe uma única unidade de comprimento, suficientemente pequena e indivisível, que é um número inteiro de vezes incluído em qualquer segmento. No entanto, Hippasus argumentou que não existe uma única unidade de comprimento, uma vez que a suposição de sua existência leva a uma contradição. Ele mostrou que, se a hipotenusa de um triângulo retângulo isósceles contém um número inteiro de segmentos unitários, então esse número deve ser par e ímpar ao mesmo tempo. A prova ficou assim:

  • A razão entre o comprimento da hipotenusa e o comprimento do cateto de um triângulo retângulo isósceles pode ser expressa como uma:b, Onde uma e b selecionado como o menor possível.
  • De acordo com o teorema de Pitágoras: uma² = 2 b².
  • Porque uma² mesmo, uma deve ser par (já que o quadrado de um número ímpar seria ímpar).
  • Porque o uma:b irredutível b deve ser estranho.
  • Porque uma mesmo, denotar uma = 2y.
  • Então uma² = 4 y² = 2 b².
  • b² = 2 y², portanto bé par, então b até.
  • No entanto, foi comprovado que bímpar. Contradição.

  Os matemáticos gregos chamavam essa razão de quantidades incomensuráveis logos(inexprimível), mas de acordo com as lendas, Hippasus não recebeu o devido respeito. Há uma lenda de que Hippasus fez a descoberta durante uma viagem marítima e foi jogado ao mar por outros pitagóricos "por criar um elemento do universo, o que nega a doutrina de que todas as entidades do universo podem ser reduzidas a números inteiros e suas proporções. " A descoberta de Hippasus representou um sério problema para a matemática pitagórica, destruindo a suposição subjacente de que números e objetos geométricos são um e inseparáveis.

  Veja também

  Notas

  Sistemas numéricos
  Contando conjuntos	Números naturais () inteiros ()

  Com um segmento de unidade de comprimento, os antigos matemáticos já sabiam: conheciam, por exemplo, a incomensurabilidade da diagonal e do lado do quadrado, o que equivale à irracionalidade do número.

  Irracionais são:

  Exemplos de prova de irracionalidade

  Raiz de 2

  Suponha o contrário: é racional, ou seja, é representado como uma fração irredutível, onde e são inteiros. Vamos ao quadrado a suposta igualdade:

  .

  Disto segue-se que mesmo, portanto, mesmo e . Deixe onde o todo. Então

  Portanto, mesmo, portanto, mesmo e . Obtivemos isso e são pares, o que contradiz a irredutibilidade da fração . Portanto, a suposição original estava errada e é um número irracional.

  logaritmo binário do número 3

  Suponha o contrário: é racional, ou seja, é representado como uma fração, onde e são inteiros. Desde , E pode ser tomado positivo. Então

  Mas é claro, é estranho. Obtemos uma contradição.

  e

  História

  O conceito de números irracionais foi adotado implicitamente por matemáticos indianos no século VII aC, quando Manawa (c. 750 aC - c. 690 aC) descobriu que as raízes quadradas de alguns números naturais, como 2 e 61, não podem ser expressas explicitamente.

  A primeira prova da existência de números irracionais é geralmente atribuída a Hippasus de Metaponto (c. 500 aC), um pitagórico que encontrou essa prova estudando os comprimentos dos lados de um pentagrama. No tempo dos pitagóricos, acreditava-se que existe uma única unidade de comprimento, suficientemente pequena e indivisível, que é um número inteiro de vezes incluído em qualquer segmento. No entanto, Hippasus argumentou que não existe uma única unidade de comprimento, uma vez que a suposição de sua existência leva a uma contradição. Ele mostrou que, se a hipotenusa de um triângulo retângulo isósceles contém um número inteiro de segmentos unitários, então esse número deve ser par e ímpar ao mesmo tempo. A prova ficou assim:

  • A razão entre o comprimento da hipotenusa e o comprimento do cateto de um triângulo retângulo isósceles pode ser expressa como uma:b, Onde uma e b selecionado como o menor possível.
  • De acordo com o teorema de Pitágoras: uma² = 2 b².
  • Porque uma² mesmo, uma deve ser par (já que o quadrado de um número ímpar seria ímpar).
  • Porque o uma:b irredutível b deve ser estranho.
  • Porque uma mesmo, denotar uma = 2y.
  • Então uma² = 4 y² = 2 b².
  • b² = 2 y², portanto bé par, então b até.
  • No entanto, foi comprovado que bímpar. Contradição.

  Os matemáticos gregos chamavam essa razão de quantidades incomensuráveis logos(inexprimível), mas de acordo com as lendas, Hippasus não recebeu o devido respeito. Há uma lenda de que Hippasus fez a descoberta durante uma viagem marítima e foi jogado ao mar por outros pitagóricos "por criar um elemento do universo, o que nega a doutrina de que todas as entidades do universo podem ser reduzidas a números inteiros e suas proporções. " A descoberta de Hippasus representou um sério problema para a matemática pitagórica, destruindo a suposição subjacente de que números e objetos geométricos são um e inseparáveis.

  Veja também

  Notas

  Sistemas numéricos
  Contando conjuntos	Números naturais () inteiros ()