A ideia intuitiva de número é aparentemente tão antiga quanto a própria humanidade, embora seja em princípio impossível traçar com certeza todos os estágios iniciais de seu desenvolvimento. Antes de uma pessoa aprender a contar ou inventar palavras para números, ela sem dúvida possuía uma ideia visual e intuitiva do número, o que lhe permitia distinguir entre uma pessoa e duas pessoas, ou duas e muitas pessoas. o que povos primitivos a princípio conheciam apenas "um", "dois" e "muitos", é confirmado pelo fato de que em algumas línguas, por exemplo, em grego, existem três formas gramaticais: singular, número duplo e plural. Mais tarde, o homem aprendeu a distinguir entre duas e três árvores e entre três e quatro pessoas. A contagem foi originalmente associada a um conjunto muito específico de objetos, e os primeiros nomes dos números eram adjetivos. Por exemplo, a palavra "três" foi usada apenas nas combinações "três árvores" ou "três pessoas"; a ideia de que esses conjuntos têm algo em comum - o conceito de trindade - exige alto grau abstração. Sobre o fato de a conta ter surgido antes do advento Esse nível de abstração é evidenciado pelo fato de que as palavras “um” e “primeiro”, assim como “dois” e “segundo”, em muitas línguas não têm nada em comum entre si, enquanto as que estão fora do primitivo conta “um”, “dois”, “muitos”, as palavras “três” e “terceiro”, “quatro” e “quarto” indicam claramente a relação entre os números cardinais e ordinais.

Os nomes dos números, expressando ideias muito abstratas, sem dúvida apareceram depois dos primeiros símbolos grosseiros para denotar o número de objetos em uma determinada população. NO tempos antigos registros numéricos primitivos eram feitos na forma de entalhes em uma vara, nós em uma corda disposta em uma fileira de seixos, e entendia-se que havia uma correspondência um a um entre os elementos do conjunto sendo contado e o símbolos do registro numérico. Mas para ler tais registros numéricos, os nomes dos números não foram usados ​​diretamente. Agora reconhecemos de relance conjuntos de dois, três e quatro elementos; conjuntos constituídos por cinco, seis ou sete elementos são um pouco mais difíceis de reconhecer à primeira vista. E além desse limite, é praticamente impossível estabelecer seu número a olho nu, sendo necessária a análise seja na forma de um relato, seja em uma certa estruturação de elementos. Contar com tags parece ter sido a primeira técnica utilizada na casos semelhantes: entalhes nas tags foram localizados certos grupos assim como quando as cédulas são contadas, elas são frequentemente agrupadas em grupos de cinco ou dez. A contagem de dedos era muito difundida, e é bem possível que os nomes de alguns números se originem precisamente desse método de contagem.

Uma característica importante da conta é a conexão dos nomes dos números com um determinado esquema de contagem. Por exemplo, a palavra “vinte e três” não é apenas um termo que significa um grupo de objetos bem definido (pelo número de elementos); é um termo composto que significa "duas vezes dez e três". Aqui o papel do número dez como unidade ou fundação coletiva é claramente visível; e, de fato, muitas pessoas contam por dezenas, porque, como observou Aristóteles, temos dez dedos nas mãos e nos pés. Pela mesma razão foram usadas bases cinco ou vinte. Em estágios muito iniciais do desenvolvimento da história humana, os números 2, 3 ou 4 foram considerados as bases do sistema numérico; às vezes as bases 12 e 60 eram usadas para algumas medições ou cálculos.

Uma pessoa começou a contar muito antes de aprender a escrever, então nenhum documento escrito sobreviveu que atestem as palavras que denotavam números nos tempos antigos. Para as tribos nômades, os nomes orais dos números são característicos, já para os escritos, a necessidade deles surgiu apenas com a transição para um modo de vida sedentário, a formação de comunidades agrícolas. Havia também a necessidade de um sistema de registro de números, e foi então que as bases para o desenvolvimento da matemática foram lançadas.

Tipos básicos de números

Ao contrário das oitavas, sedenions S não têm a propriedade de alternância, mas retêm a propriedade de associatividade de poder.

Para representar um inteiro positivo x na memória do computador, ele é convertido para o sistema numérico binário. O número resultante no sistema de numeração binário x 2 é uma notação de máquina do correspondente número decimal x 10. Para escrever números negativos, os chamados. um código adicional de um número, que é obtido pela adição de um à representação invertida do módulo de um determinado número negativo no sistema de numeração binário.

Representação de números reais na memória do computador (em Ciência da Computação o termo número de ponto flutuante é usado para denotá-los) tem algumas limitações associadas ao sistema numérico usado, bem como a quantidade limitada de memória alocada para números. Assim, apenas alguns dos números reais podem ser representados com precisão na memória do computador sem perda. No esquema mais comum, um número de ponto flutuante é escrito como um bloco de bits, alguns dos quais são a mantissa do número, alguns são o grau e um bit é alocado para representar o sinal do número (se necessário, o bit de sinal pode estar ausente).

Númeroé uma abstração usada para características quantitativas objetos. Surgindo de volta sociedade primitiva das necessidades da conta, o conceito de número mudou e enriqueceu e se transformou no mais importante conceito matemático. Por caracteres escritos(símbolos) números são usados ​​para escrever números.

Tipos básicos de números

Recebido com uma conta natural; números naturais é denotado por . Este. (às vezes o zero também está incluído no conjunto dos números naturais). Os números naturais são fechados na adição e na multiplicação (mas não na subtração ou divisão). Os números naturais são comutativos e associativos sob adição e multiplicação, e a multiplicação de números naturais é distributiva sob adição.

Números inteiros, obtidos pela união dos números naturais com o conjunto dos números negativos e zero, são denotados por . Os inteiros são fechados na adição, subtração e multiplicação (mas não na divisão).

Números racionais são números representados como m/n (n≠0), onde m é um número inteiro e n é um número natural. Para números racionais, todas as quatro operações aritméticas "clássicas" são definidas: adição, subtração, multiplicação e divisão (exceto divisão por zero). O sinal é usado para denotar números racionais.

Números reais (reais) representam uma extensão do conjunto dos números racionais, fechados sob alguns (importante para analise matemática) operações passagem ao limite. O conjunto dos números reais é denotado por . Pode ser visto como uma conclusão do campo dos números racionais com a ajuda de uma norma, que é o usual valor absoluto. Além dos números racionais, inclui um conjunto de números irracionais que não podem ser representados como uma razão de números inteiros. Além da divisão em racionais e irracionais, eles também são divididos em algébricos e transcendentais. Além disso, todo número transcendental é irracional, todo número racional é algébrico.

Números complexos, que são uma extensão do conjunto dos números reais. Eles podem ser escritos na forma z = x + y, Onde eu- assim chamado. unidade imaginária para a qual i 2 = − 1. Os números complexos são usados ​​na resolução de problemas mecânica quântica, hidrodinâmica, teoria da elasticidade, etc.

Para os conjuntos de números listados, a seguinte expressão é válida:

Números naturais que têm apenas eles mesmos e um como fatores. Fileira números primos tem a forma: Qualquer número natural N pode ser representado como um produto de potências de números primos: 121968=2^4*3^2*5^0*7^1*11^2. Esta propriedade é amplamente utilizada em criptografia prática.

Números - tipos, conceitos e operações, naturais e outros tipos de números.

Número - conceito fundamental matemática, que serve para determinar as características quantitativas, numeração, comparação de objetos e suas partes. Várias operações aritméticas são aplicáveis ​​aos números: adição, subtração, multiplicação, divisão, exponenciação e outras.

Os números envolvidos na operação são chamados de operandos. Dependendo da ação realizada, eles recebem nomes diferentes. NO caso Geral O esquema de operação pode ser representado da seguinte forma:<операнд1> <знак операции> <операнд2> = <результат>.

Na operação de divisão, o primeiro operando é chamado de dividendo (este é o nome do número que está sendo dividido). O segundo (pelo qual é dividido) é um divisor, e o resultado é um quociente (mostra quantas vezes o divisível é maior que o divisor).

Tipos de números

A operação de divisão pode envolver vários números. O resultado da divisão pode ser um inteiro ou uma fração. Na matemática existem os seguintes tipos números:

• Os números naturais são usados ​​na contagem. Dentre eles, destaca-se um subconjunto de números primos, possuindo apenas dois divisores: um e ele mesmo. Todos os outros, exceto 1, são chamados compostos e possuem mais de dois divisores (exemplos de números primos: 2, 5, 7, 11, 13, 17, 19 etc.);
• Inteiros - um conjunto que consiste em seus números negativos, positivos e zero. Ao dividir um inteiro por outro, o quociente pode ser inteiro ou real (fracionário). Entre eles, um subconjunto de números perfeitos pode ser distinguido - igual à soma todos os seus divisores (incluindo 1), exceto ele mesmo. Os antigos gregos conheciam apenas quatro números perfeitos. A sequência de números perfeitos: 6, 28, 496, 8128, 33550336... Até agora, nenhum número perfeito ímpar é conhecido;
• Racional - representável como uma fração a / b, onde a é o numerador e b é o denominador (o quociente desses números geralmente não é calculado);
• Real (real) - contendo um inteiro e uma parte fracionária. O conjunto inclui racional e ir números racionais(representado como uma fração decimal infinita não periódica). O quociente de tais números, como regra, é um valor real.

Existem vários recursos associados à implementação operação aritmética- divisões. Entendê-los é importante para obter o resultado correto:

• Você não pode dividir por zero (em matemática, essa operação não faz sentido);
• A divisão inteira é uma operação que calcula apenas parte inteira(a fracionária é descartada);
• Calcular o restante de uma divisão inteira permite obter como resultado o inteiro restante após a conclusão da operação (por exemplo, ao dividir 17 por 2, a parte inteira é 8, o restante é 1).

Para entender melhor a natureza sagrada do número, é útil romper por um momento com uma abordagem puramente esotérica e ver como ela se combina com as ideias. ciência convencional sobre a forma dos números. dicionário enciclopédico escreve o seguinte sobre o número: "Número, um dos conceitos básicos da matemática; originado em tempos antigos e gradualmente expandido e generalizado. Em conexão com a conta itens individuais surgiu o conceito de números inteiros positivos (naturais) e, em seguida, a ideia do infinito da série natural de números: 1, 2, 3, 4 ... As tarefas de medir comprimentos, áreas, além de destacar os partes de quantidades nomeadas levaram ao conceito de um número racional (fracionário). O conceito de número negativo surgiu entre os índios nos séculos VI-XI. Necessidade em expressão exata relações de grandezas (por exemplo, a razão entre a diagonal de um quadrado e seu lado) levaram à introdução de números irracionais, que são expressos por meio de números racionais apenas aproximadamente; racional e números irracionais constituem o conjunto dos números reais. A teoria dos números reais recebeu seu desenvolvimento final apenas na segunda metade do século 19 em conexão com as necessidades da análise matemática. Em conexão com a solução de quadrado e equações cúbicas introduzido no século XVI números complexos". A matemática divide os números em vários grupos ou variedades, cada um dos quais pode ser considerado de um ponto de vista ordinário, ou talvez metafísico.

A relação dos números

Números reais, que são a união do conjunto dos números racionais e do conjunto dos números irracionais. Qualquer número real pode, em princípio, ser representado em uma linha de coordenadas de tal forma que cada número real e cada ponto dessa linha correspondam um ao outro. Um número real pode ser qualquer número positivo ou negativo, ou zero. Do ponto de vista metafísico esse grupo números corresponde ao plano material material do ser e é um sinal de quantidade. Com a ajuda de números reais, as medidas de todas as grandezas físicas são expressas.Os números são racionais, que podem ser representados como uma fração decimal infinita. Eles são da forma m/n, onde m e n são inteiros e u não é igual a 0. Cada infinito decimalé um número racional. A soma, diferença, produto e quociente de números racionais também são considerados racionais. Os números racionais incluem números inteiros, números fracionários, números positivos, números negativos e até mesmo zero. Do ponto de vista metafísico, os números racionais referem-se àquelas quantidades que podem ser medidas com certeza e precisão.

Tipos de números

Os números irracionais referem-se ao grupo de números reais que podem ser expressos na forma de um decimal infinito fração não periódica. Eles não podem ser expressos exatamente como m/n, onde m e n são inteiros. Exemplos de tais números irracionais são a raiz quadrada de 2; 0,1010010001; lg2; cos20±; .... Do ponto de vista metafísico, os números irracionais pertencem ao campo daqueles fenômenos indescritíveis mundo sutil que não pode ser medido com precisão absoluta. Visualização Válida os números são considerados uma espécie de números complexos, que incluem números da forma x + iy, onde xey são números reais, e i é a chamada unidade imaginária (um número cujo quadrado é -1); x é chamado de parte real e y é chamado de parte imaginária dos números complexos. Números complexos que não são reais (por<>0), às vezes são chamados de números imaginários, pois x = 0 os números complexos são chamados de puramente imaginários. Em outras palavras, números imaginários são aqueles números complexos cuja parte real é igual a zero e que são denotados por z=bi. Do ponto de vista metafísico, os números complexos são quantidades que carregam um plano sagrado. Os números também são subdivididos em positivos, que incluem números reais maiores que zero e números negativos, oposto aos positivos, é menor que zero. Do ponto de vista metafísico, tudo números positivos referir-se mundo físico, e os negativos - ao plano sutil do ser, isto é, à área astral-mental.

No entanto, acima era apenas sobre a natureza externa, desprovida de sacralidade, puramente quantitativa do número. No entanto, há também um aspecto sagrado puramente interno do número, desconhecido para a matemática moderna e predeterminando a natureza da manifestação dos números. X fala bem disso.

"Números no simbolismo não são apenas uma expressão de quantidade, mas idéias - forças, cada uma com seu próprio caráter especial. compreensão moderna são somente escudo exterior. Todos os números são derivados de um (que é equivalente ao ponto místico, não revelado e adimensional). Além disso, o número que surgiu da unidade está cada vez mais imerso na matéria, em processos cada vez mais complexos, no "mundo". Os primeiros dez dígitos no sistema grego (ou doze em tradição oriental) estão relacionados ao espírito: são, em essência, arquétipos e símbolos. O resto é o produto de uma combinação desses números básicos. Os antigos gregos estavam muito interessados ​​no simbolismo dos números. Por exemplo, Pitágoras observou que "tudo está organizado de acordo com os números". Platão considerava o número como a essência da harmonia e a harmonia como a base do cosmos e do homem, argumentando que os ritmos da harmonia são "do mesmo tipo que as oscilações periódicas de nossa alma". A filosofia dos números foi desenvolvida pelos judeus, gnósticos e cabalistas, incluindo também os alquimistas. Os mesmos conceitos universais básicos são encontrados em pensamento oriental- por exemplo, em Lao Tzu: "Um dá à luz dois, dois dá à luz três, e um vem dos três" - uma nova unidade ou nova ordem- como quatro. A lógica simbólica moderna e a teoria dos grupos retornam à ideia medição quantitativa como base da qualidade. Pire acreditava que as leis da natureza e o espírito humano são baseados em princípios gerais e podem ser localizados ao longo das mesmas linhas".

Tipos de números. Numeros reais também são subdivididos em números algébricos e não algébricos. Um número algébrico é aquele que satisfaz equação algébrica com coeficientes inteiros. Esses números incluem números: a raiz de 2; raiz de Z; Números não algébricos ou transcendentes são números que não satisfazem nenhuma equação algébrica com coeficientes inteiros. Os números transcendentais pertencem ao grupo dos números irracionais, embora nem sempre os números irracionais sejam transcendentais. Um número a^b é considerado transcendental se os números a e b são números algébricos, mas ao mesmo tempo<>0; uma<>1 e em - número irracional. Os números transcendentais são os senos de muitas quantidades racionais, assim como logaritmos decimais inteiros não representados por um seguido de zeros. A maioria exemplos famosos Os números transcendentais são s (cujo valor aproximado é 2,718281) e PI (cujo valor aproximado é 3,1415296...)

P. D. Uspensky divide a matemática como ciência dos números em dois tipos:

a) matemática do finito e constantes, que é uma disciplina artificial criada para resolver tarefas específicas em dados condicionais;

b) matemática do infinito e variáveis, que é um conhecimento mais preciso do mundo real. Exemplos de matemática do segundo tipo que violam os axiomas artificiais da matemática do primeiro tipo são os chamados "números transfinitos" situados além do infinito.