Tarefa 3.2.1

Determine a resultante de duas forças F 1 \u003d 50N e F 2 \u003d 30N, formando um ângulo de 30 ° entre elas (Fig. 3.2a).

Figura 3.2

Transferimos os vetores de força F 1 e F 2 para o ponto de intersecção das linhas de ação e os somamos de acordo com a regra do paralelogramo (Fig. 2.2b). O ponto de aplicação e a direção da resultante são mostrados na figura. O módulo da resultante resultante é determinado pela fórmula:

Resposta: R=77,44N

Tarefa 3.2.2

Determine a resultante do sistema de forças convergentes F 1 =10N, F 2 =15N, F 3 =20N, se forem conhecidos os ângulos formados pelos vetores dessas forças com o eixo Ox: α 1 =30 °, α 2 = 45° e α3 =60° (fig.3.3a)

Figura 3.3

Projetamos as forças nos eixos Ox e Oy:

Módulo resultante

Com base nas projeções obtidas, determinamos a direção da resultante (Fig. 3.3b)

Resposta: R=44,04N

Tarefa 3.2.3

No ponto de conexão de duas roscas, é aplicada uma força vertical P = 100N (Fig. 3.4a). Determine as forças nas roscas, se em equilíbrio os ângulos formados pelas roscas com o eixo OY são iguais a α=30°, β=75°.

Figura 3.4

As forças de tensão das roscas serão direcionadas ao longo das roscas do nó de conexão (Fig. 3.4b). O sistema de forças T 1 , T 2 , P é um sistema de forças convergentes, porque as linhas de ação das forças se cruzam na junção dos fios. A condição de equilíbrio para este sistema:

Compomos equações analíticas para o equilíbrio de um sistema de forças convergentes, projetando uma equação vetorial no eixo.

Resolvemos o sistema de equações obtido. Da primeira expressamos T 2 .

Substitua a expressão resultante na segunda e determine T 1 e T 2 .

H,

Vamos verificar a solução a partir da condição de que o módulo P' da soma das forças T 1 e T 2 deve ser igual a P (Fig. 3.4c).

Resposta: T 1 \u003d 100N, T 2 \u003d 51,76N.

Tarefa 3.2.4

Determine a resultante do sistema de forças convergentes se seus módulos F 1 =12N, F 2 =10N, F 3 =15N e o ângulo α=60° forem dados (Fig. 3.5a).

Figura 3.5

Determinamos as projeções da resultante

Módulo resultante:

Com base nas projeções obtidas, determinamos a direção da resultante (Fig. 3.5b)

Resposta: R=27,17N

Tarefa 3.2.6

Três hastes AC, BC, DC estão conectadas articuladamente no ponto C. Determine as forças nas hastes se a força F=50N, o ângulo α=60° e o ângulo β=75° são dados. A força F está no plano de Oyz. (fig.3.6)

Figura 3.6

Inicialmente, assumimos que todas as barras estão esticadas, respectivamente, direcionamos as reações nas barras a partir do nó C. O sistema resultante N 1 , N 2 , N 3 , F é um sistema de forças convergentes. A condição de equilíbrio para este sistema.

Para responder a esta pergunta, é necessário tirar algumas conclusões da condição do problema:

1. A direção dessas forças;
2. Valor modular das forças F1 e F2;
3. Essas forças podem criar uma força resultante para mover o carrinho de seu lugar.

Direção das forças

Para determinar as principais características do movimento de um carrinho sob a influência de duas forças, é necessário conhecer sua direção. Por exemplo, se um carrinho é puxado para a direita por uma força igual a 5 N e a mesma força está puxando o carrinho para a esquerda, então é lógico supor que o carrinho ficará parado. Se as forças são codirigidas, para encontrar a força resultante, é necessário apenas encontrar sua soma. Se alguma força é direcionada em um ângulo com o plano de movimento do carrinho, o valor dessa força deve ser multiplicado pelo cosseno do ângulo entre a direção da força e o plano. Matematicamente ficará assim:

F = F1 * cosa; Onde

F é a força dirigida paralelamente à superfície do movimento.

Teorema do cosseno para encontrar o vetor força resultante

Se duas forças têm sua origem em um ponto e há um certo ângulo entre suas direções, então é necessário completar o triângulo com o vetor resultante (ou seja, aquele que conecta as extremidades dos vetores F1 e F2). Encontramos a força resultante usando o teorema do cosseno, que afirma que o quadrado de qualquer lado de um triângulo é igual à soma dos quadrados dos outros dois lados do triângulo menos duas vezes o produto desses lados pelo cosseno do ângulo entre eles. Vamos escrever isso em forma matemática:

F \u003d F 1 2 + F 2 2 - 2 * F 1 * F 2 * cosa.

Substituindo todos os valores conhecidos, você pode determinar a magnitude da força resultante.

O conteúdo do artigo

ESTÁTICA, ramo da mecânica, cujo assunto são os corpos materiais que estão em repouso sob a ação de forças externas sobre eles. No sentido amplo da palavra, estática é a teoria do equilíbrio de quaisquer corpos - sólidos, líquidos ou gasosos. Em sentido mais restrito, este termo refere-se ao estudo do equilíbrio de corpos rígidos, bem como de corpos flexíveis não extensíveis - cabos, correias e correntes. O equilíbrio de sólidos deformantes é considerado na teoria da elasticidade e o equilíbrio de líquidos e gases - na hidroaeromecânica.
Cm. HIDROAEROMECÂNICA.

Referência histórica.

A estática é o ramo mais antigo da mecânica; alguns de seus princípios já eram conhecidos dos antigos egípcios e babilônios, como evidenciado pelas pirâmides e templos que construíram. Entre os primeiros criadores da estática teórica estava Arquimedes (c. 287-212 aC), que desenvolveu a teoria da alavancagem e formulou a lei básica da hidrostática. O ancestral da estática moderna foi o holandês S. Stevin (1548-1620), que em 1586 formulou a lei da adição de forças, ou regra do paralelogramo, e a aplicou na resolução de vários problemas.

Leis básicas.

As leis da estática seguem as leis gerais da dinâmica como um caso especial quando as velocidades dos corpos rígidos tendem a zero, mas por razões históricas e considerações pedagógicas, a estática é frequentemente apresentada independentemente da dinâmica, construída sobre as seguintes leis e princípios postulados : a) a lei da adição de forças, b) o princípio do equilíbrio ec) o princípio da ação e reação. No caso de corpos rígidos (mais precisamente, corpos rígidos idealmente que não se deformam sob a ação de forças), outro princípio é introduzido com base na definição de corpo rígido. Este é o princípio da transferibilidade da força: o estado de um corpo rígido não muda quando o ponto de aplicação da força se move ao longo da linha de sua ação.

Força como um vetor.

Na estática, uma força pode ser considerada como uma força de puxar ou empurrar que tem uma certa direção, magnitude e ponto de aplicação. Do ponto de vista matemático, este é um vetor e, portanto, pode ser representado como um segmento de linha reta direcionada, cujo comprimento é proporcional à magnitude da força. (As grandezas vetoriais, ao contrário de outras grandezas que não têm direção, são indicadas em negrito.)

Paralelogramo de forças.

Considere o corpo (Fig. 1, uma) sobre o qual as forças atuam F 1 e F 2 aplicado no ponto O e representado na figura por segmentos direcionados OA e OB. Como mostra a experiência, a ação das forças F 1 e F 2 é equivalente a uma força R, representado por um segmento CO. A magnitude da força Ré igual ao comprimento da diagonal do paralelogramo construído sobre os vetores OA e OB como seus lados; sua direção é mostrada na Fig. 1, uma. Força R chamada de força resultante F 1 e F 2. Matematicamente, isso é escrito como R = F 1 + F 2, onde a adição é entendida no sentido geométrico da palavra indicada acima. Esta é a primeira lei da estática, chamada de regra do paralelogramo das forças.

Força equilibrada.

Em vez de construir um paralelogramo OACB, para determinar a direção e a magnitude da resultante R pode-se construir o triângulo OAC traduzindo o vetor F 2 paralelo a si mesmo até que seu ponto inicial (antigo ponto O) coincida com o ponto final (ponto A) do vetor OA. O lado posterior do triângulo OAC obviamente terá a mesma magnitude e a mesma direção que o vetor R(Figura 1, b). Este método de encontrar a resultante pode ser generalizado para um sistema de muitas forças F 1 , F 2 ,..., F n aplicado no mesmo ponto O do corpo considerado. Então, se o sistema consiste em quatro forças (Fig. 1, dentro), então você pode encontrar a resultante das forças F 1 e F 2, dobre-o com força F 3 , então adicione a nova resultante com a força F 4 e, como resultado, obter o total resultante R. Resultante R, encontrado por tal construção gráfica, é representado pelo lado de fechamento do polígono de força OABCD (Fig. 1, G).

A definição da resultante dada acima pode ser generalizada para o sistema de forças F 1 , F 2 ,..., F n aplicado nos pontos O 1 , O 2 ,..., O n do corpo rígido. Um ponto O é escolhido, chamado ponto de redução, e nele é construído um sistema de forças paralelas transferidas, iguais em magnitude e direção às forças F 1 , F 2 ,..., F n. Resultante R estes vectores transferidos em paralelo, i.e. o vetor representado pelo lado de fechamento do polígono de forças é chamado de resultante das forças que atuam sobre o corpo (Fig. 2). É claro que o vetor R não depende do ponto de redução escolhido. Se a magnitude do vetor R(segmento ON) não for igual a zero, então o corpo não pode estar em repouso: de acordo com a lei de Newton, qualquer corpo sobre o qual uma força atua deve se mover com aceleração. Assim, um corpo só pode estar em equilíbrio se a resultante de todas as forças aplicadas a ele for zero. No entanto, essa condição necessária não pode ser considerada suficiente - o corpo pode se mover quando a resultante de todas as forças aplicadas a ele for igual a zero.

Como um exemplo simples, mas importante para esclarecer o que foi dito, considere uma haste rígida e fina de comprimento eu, cujo peso é desprezível em comparação com a magnitude das forças aplicadas a ele. Deixe duas forças agirem sobre a barra F e -F aplicada às suas extremidades, iguais em magnitude, mas em direções opostas, como mostrado na Fig. 3, uma. Neste caso, a resultante Ré igual a F – F= 0, mas a haste não estará em equilíbrio; obviamente, ele irá girar em torno de seu ponto médio O. O sistema de duas forças iguais, mas de direção oposta, agindo não em uma linha reta, é um “par de forças”, que pode ser caracterizado pelo produto da magnitude da força F no ombro" eu. O significado de tal produto pode ser demonstrado pelo seguinte raciocínio, que ilustra a regra da alavanca derivada por Arquimedes e leva à conclusão sobre a condição de equilíbrio rotacional. Considere uma haste rígida homogênea leve que pode girar em torno de um eixo no ponto O, sobre o qual a força atua F 1 aplicado à distância eu 1 do eixo, como mostrado na fig. 3, b. Sob a força F 1 a haste irá girar em torno do ponto O. Como você pode ver facilmente pela experiência, a rotação de tal haste pode ser evitada aplicando alguma força F 2 a essa distância eu 2 para satisfazer a igualdade F 2 eu 2 = F 1 eu 1 .

Assim, a rotação pode ser evitada de inúmeras maneiras. Só é importante escolher a força e o ponto de sua aplicação para que o produto da força no ombro seja igual a F 1 eu 1 . Esta é a regra da alavancagem.

Não é difícil derivar as condições de equilíbrio para o sistema. Ação das forças F 1 e F 2 por eixo provoca uma reação na forma de uma força de reação R, aplicado no ponto O e dirigido opostamente às forças F 1 e F 2. De acordo com a lei da mecânica sobre ação e reação, a magnitude da reação R igual à soma das forças F 1 + F 2. Portanto, a resultante de todas as forças que atuam no sistema é igual a F 1 + F 2 + R= 0, de modo que a condição de equilíbrio necessária acima seja satisfeita. Força F 1 cria um torque no sentido horário, ou seja, momento de poder F 1 eu 1 em relação ao ponto O, que é equilibrado por um momento no sentido anti-horário F 2 eu 2 força F 2. Obviamente, a condição de equilíbrio do corpo é a igualdade a zero da soma algébrica dos momentos, o que exclui a possibilidade de rotação. Se a força F atua na haste em um ângulo q, como mostrado na fig. 4, uma, então essa força pode ser representada como a soma de dois componentes, um dos quais ( F p), valor F porque q, atua paralelamente à haste e é equilibrada pela reação do suporte - F p, e o outro ( F n) F pecado q direcionados em ângulos retos para a alavanca. Neste caso, o torque é Feu pecado q; ele pode ser equilibrado por qualquer força que crie um momento igual agindo no sentido anti-horário.

Para facilitar a consideração dos sinais dos momentos nos casos em que muitas forças atuam no corpo, o momento da força F em relação a qualquer ponto O do corpo (Fig. 4, b) pode ser considerado como um vetor eu igual ao produto vetorial r ґ F Vetor de posição r para força F. Por isso, eu = rґ F. É fácil mostrar que se um sistema de forças aplicadas nos pontos O 1 , O 2 ,..., O n (Fig. 5) atua sobre um corpo rígido, então esse sistema pode ser substituído pela resultante R forças F 1 , F 2 ,..., F n aplicado em qualquer ponto Oў do corpo, e um par de forças eu, cujo momento é igual à soma [ r 1 ґ F 1 ] + [r 2 ґ F 2 ] +... + [r n º F n]. Para verificar isso, basta aplicar mentalmente no ponto Oў um sistema de pares de forças iguais, mas de direção oposta F 1 e - F 1 ; F 2 e - F 2 ;...; F n e - F n , o que obviamente não altera o estado do corpo rígido.

Carregou F 1 aplicada no ponto O 1 , e a força - F 1 , aplicadas no ponto Oў, formam um par de forças, cujo momento em relação ao ponto Oў é igual a r 1 ґ F 1 . Apenas a mesma força F 2 e - F 2 aplicados nos pontos O 2 e Oў, respectivamente, formam um par com momento r 2 ґ F 2, etc Momento total eu de todos esses pares em relação ao ponto Oў é dado pela igualdade vetorial eu = [r 1 ґ F 1 ] + [r 2 ґ F 2 ] +... + [r n º F n]. Forças restantes F 1 , F 2 ,..., F n , aplicado no ponto Oў, dá no total a resultante R. Mas o sistema não pode estar em equilíbrio se as quantidades R e eu são diferentes de zero. Consequentemente, a condição de igualdade a zero ao mesmo tempo das quantidades R e eué uma condição necessária para o equilíbrio. Pode-se mostrar que também é suficiente que o corpo esteja inicialmente em repouso. Assim, o problema de equilíbrio é reduzido a duas condições analíticas: R= 0 e eu= 0. Essas duas equações representam a notação matemática do princípio de equilíbrio.

Disposições teóricas de estática são amplamente utilizadas na análise de forças que atuam em estruturas e estruturas. No caso de uma distribuição contínua de forças, as somas que dão o momento resultante eu e resultante R, são substituídos por integrais e de acordo com os métodos usuais de cálculo integral.

Muitas vezes, não uma, mas várias forças atuam simultaneamente no corpo. Considere o caso em que duas forças ( e ) agem sobre o corpo. Por exemplo, um corpo apoiado em uma superfície horizontal é afetado pela gravidade () e pela reação de apoio da superfície () (Fig. 1).

Essas duas forças podem ser substituídas por uma, que é chamada de força resultante (). Encontre-o como uma soma vetorial de forças e:

Determinação da resultante de duas forças

DEFINIÇÃO

A resultante de duas forças chamada de força que produz um efeito sobre um corpo semelhante à ação de duas forças separadas.

Observe que a ação de cada força não depende de haver outras forças ou não.

Segunda lei de Newton para a resultante de duas forças

Se duas forças atuam sobre o corpo, então escrevemos a segunda lei de Newton como:

A direção da resultante sempre coincide na direção com a direção da aceleração do corpo.

Isso significa que se duas forças () atuam em um corpo ao mesmo tempo, então a aceleração () desse corpo será diretamente proporcional à soma vetorial dessas forças (ou proporcional às forças resultantes):

M é a massa do corpo considerado. A essência da segunda lei de Newton é que as forças que atuam sobre o corpo determinam como a velocidade do corpo muda, e não apenas a magnitude da velocidade do corpo. Observe que a segunda lei de Newton é válida exclusivamente para referenciais inerciais.

A resultante de duas forças pode ser igual a zero se as forças que atuam sobre o corpo são direcionadas em direções diferentes e são iguais em valor absoluto.

Encontrando o valor da resultante de duas forças

Para encontrar a resultante, é necessário representar no desenho todas as forças que devem ser levadas em consideração no problema que atua sobre o corpo. As forças devem ser somadas de acordo com as regras da adição vetorial.

Vamos supor que duas forças atuam sobre o corpo, que são direcionadas ao longo de uma linha reta (Fig. 1). Pode-se ver na figura que eles são direcionados em direções diferentes.

A resultante das forças () aplicadas ao corpo será igual a:

Para encontrar o módulo das forças resultantes, escolhemos um eixo, denotamos X, direcionamos ao longo da direção das forças. Então, projetando a expressão (4) no eixo X, obtemos que o valor (módulo) da resultante (F) é igual a:

onde estão os módulos das forças correspondentes.

Imagine que duas forças agem sobre o corpo e direcionadas em algum ângulo entre si (Fig. 2). A resultante dessas forças é encontrada pela regra do paralelogramo. O valor da resultante será igual ao comprimento da diagonal deste paralelogramo.

Exemplos de resolução de problemas

EXEMPLO 1

Exercício	Um corpo de massa 2 kg é movido verticalmente para cima por um fio, enquanto sua aceleração é 1. Qual é o módulo e a direção da força resultante? Que forças são aplicadas ao corpo?
Decisão	A força da gravidade () e a força de reação da rosca () são aplicadas ao corpo (Fig. 3). A resultante das forças acima pode ser encontrada usando a segunda lei de Newton: Na projeção no eixo X, a equação (1.1) assume a forma: Vamos calcular a magnitude da força resultante:
Responda	H, a força resultante é direcionada da mesma forma que a aceleração do movimento do corpo, ou seja, verticalmente para cima. Existem duas forças atuando sobre o corpo.

Resultante. Você já sabe que duas forças se equilibram quando são iguais em magnitude e em direções opostas. Tais, por exemplo, são a força da gravidade e a força da reação normal agindo sobre um livro sobre a mesa. Neste caso, diz-se que a resultante das duas forças é zero. No caso geral, a resultante de duas ou mais forças é a força que produz no corpo o mesmo efeito que a ação simultânea dessas forças.

Considere por experiência como encontrar a resultante de duas forças dirigidas ao longo de uma linha reta.

Vamos colocar experiência

Vamos colocar um bloco leve em uma superfície horizontal lisa da mesa (de modo que o atrito entre o bloco e a superfície da mesa possa ser desprezado). Vamos puxar a barra para a direita usando um dinamômetro e para a esquerda - usando dois dinamômetros, conforme mostrado na Fig. 16.3. Observe que os dinamômetros à esquerda estão presos à barra, de modo que as forças de tensão das molas desses dinamômetros são diferentes.

Arroz. 16.3. Como você pode encontrar a resultante de duas forças

Veremos que um bloco está em repouso se o módulo da força que o puxa para a direita é igual à soma dos módulos das forças que puxam o bloco para a esquerda. O esquema deste experimento é mostrado na Fig. 16.4.

Arroz. 16.4. Representação esquemática das forças que atuam na barra

A força F 3 equilibra a resultante das forças F 1 e F 2, ou seja, é igual em valor absoluto e oposta em direção. Isso significa que a resultante das forças F 1 e F 2 é direcionada para a esquerda (como essas forças), e seu módulo é igual a F 1 + F 2. Assim, se duas forças são direcionadas na mesma direção, sua resultante é direcionada da mesma forma que essas forças, e o módulo da resultante é igual à soma dos módulos dos termos da força.

Considere a força F 1 . Equilibra a resultante das forças F 2 e F 3 , dirigidas de forma oposta. Isso significa que a resultante das forças F 2 e F 3 está direcionada para a direita (ou seja, para a maior dessas forças), e seu módulo é igual a F 3 - F 2. Assim, se duas forças que não são iguais em valor absoluto são direcionadas opostamente, sua resultante é direcionada como a maior dessas forças, e o módulo da resultante é igual à diferença entre os módulos das forças maiores e menores.

Encontrar a resultante de várias forças é chamado de adição dessas forças.

Duas forças são direcionadas ao longo da mesma linha reta. O módulo de uma força é igual a 1 N e o módulo de outra força é igual a 2 N. O módulo da resultante dessas forças pode ser igual a: a) zero; b) 1N; c) 2N; d) 3N?