O método de variação de uma constante arbitrária, ou o método de Lagrange, é outra maneira de resolver equações diferenciais lineares de primeira ordem e a equação de Bernoulli.

As equações diferenciais lineares de primeira ordem são equações da forma y'+p(x)y=q(x). Se o lado direito é zero: y'+p(x)y=0, então este é um linear homogêneo equação de 1ª ordem. Consequentemente, a equação com um lado direito diferente de zero, y'+p(x)y=q(x), - heterogêneo equação linear de 1ª ordem.

Método de variação constante arbitrária (método de Lagrange) consiste no seguinte:

1) Estamos procurando uma solução geral para a equação homogênea y'+p(x)y=0: y=y*.

2) Na solução geral, C é considerado não uma constante, mas uma função de x: C=C(x). Encontramos a derivada da solução geral (y*)' e substituímos a expressão resultante para y* e (y*)' na condição inicial. Da equação resultante, encontramos a função С(x).

3) Na solução geral da equação homogênea, ao invés de C, substituímos a expressão encontrada C(x).

Considere exemplos sobre o método de variação de uma constante arbitrária. Vamos fazer as mesmas tarefas de , comparar o curso da solução e garantir que as respostas recebidas sejam as mesmas.

1) y'=3x-y/x

Vamos reescrever a equação na forma padrão (em contraste com o método de Bernoulli, onde precisávamos da notação apenas para ver que a equação é linear).

y'+y/x=3x (I). Agora estamos indo de acordo com o plano.

1) Resolvemos a equação homogênea y'+y/x=0. Esta é uma equação variável separável. Represente y'=dy/dx, substitua: dy/dx+y/x=0, dy/dx=-y/x. Multiplicamos ambas as partes da equação por dx e dividimos por xy≠0: dy/y=-dx/x. Integramos:

2) Na solução geral obtida da equação homogênea, consideraremos С não uma constante, mas uma função de x: С=С(x). Daqui

As expressões resultantes são substituídas na condição (I):

Integramos as duas partes da equação:

aqui C já é uma nova constante.

3) Na solução geral da equação homogênea y \u003d C / x, onde consideramos C \u003d C (x), ou seja, y \u003d C (x) / x, em vez de C (x) substituímos o expressão encontrada x³ + C: y \u003d (x³ +C)/x ou y=x²+C/x. Obtivemos a mesma resposta de quando resolvemos pelo método de Bernoulli.

Resposta: y=x²+C/x.

2) y'+y=cosx.

Aqui a equação já está escrita na forma padrão, não há necessidade de conversão.

1) Resolvemos uma equação linear homogênea y'+y=0: dy/dx=-y; dy/y=-dx. Integramos:

Para obter uma notação mais conveniente, vamos levar o expoente à potência de C como um novo C:

Essa transformação foi realizada para tornar mais conveniente encontrar a derivada.

2) Na solução geral obtida de uma equação linear homogênea, consideramos С não uma constante, mas uma função de x: С=С(x). Sob esta condição

As expressões resultantes y e y' são substituídas na condição:

Multiplique os dois lados da equação por

Integramos ambas as partes da equação usando a fórmula de integração por partes, obtemos:

Aqui C não é mais uma função, mas uma constante comum.

3) Na solução geral da equação homogênea

substituímos a função encontrada С(x):

Obtivemos a mesma resposta de quando resolvemos pelo método de Bernoulli.

O método de variação de uma constante arbitrária também é aplicável para resolver .

y'x+y=-xy².

Trazemos a equação para a forma padrão: y'+y/x=-y² (II).

1) Resolvemos a equação homogênea y'+y/x=0. dy/dx=-y/x. Multiplique ambos os lados da equação por dx e divida por y: dy/y=-dx/x. Agora vamos integrar:

Substituímos as expressões obtidas na condição (II):

Simplificando:

Temos uma equação com variáveis ​​separáveis ​​para C e x:

Aqui C já é uma constante ordinária. No processo de integração, ao invés de C(x), escrevemos simplesmente C, para não sobrecarregar a notação. E no final voltamos a C(x) para não confundir C(x) com o novo C.

3) Substituímos a função encontrada С(x) na solução geral da equação homogênea y=C(x)/x:

Obtivemos a mesma resposta de quando resolvemos pelo método de Bernoulli.

Exemplos de autoteste:

1. Vamos reescrever a equação na forma padrão: y'-2y=x.

1) Resolvemos a equação homogênea y'-2y=0. y'=dy/dx, portanto dy/dx=2y, multiplique ambos os lados da equação por dx, divida por y e integre:

A partir daqui encontramos y:

Substituímos as expressões para y e y' na condição (por brevidade, vamos alimentar C em vez de C (x) e C' em vez de C "(x)):

Para encontrar a integral do lado direito, usamos a fórmula de integração por partes:

Agora substituímos u, du e v na fórmula:

Aqui C = const.

3) Agora substituímos na solução do homogêneo

Aula 44. Equações lineares não homogêneas de segunda ordem. Método de variação de constantes arbitrárias. Equações lineares não homogêneas de segunda ordem com coeficientes constantes. (lado direito especial).

Transformações sociais. Estado e Igreja.

A política social dos bolcheviques foi amplamente ditada por sua abordagem de classe. Por um decreto de 10 de novembro de 1917, o sistema de propriedade foi abolido, as fileiras, títulos e prêmios pré-revolucionários foram abolidos. A eleição de juízes foi estabelecida; a secularização dos estados civis foi realizada. Instituiu educação e assistência médica gratuitas (decreto de 31 de outubro de 1918). As mulheres foram equiparadas em direitos aos homens (decretos de 16 e 18 de dezembro de 1917). O decreto sobre o casamento introduziu a instituição do casamento civil.

Por um decreto do Conselho dos Comissários do Povo de 20 de janeiro de 1918, a igreja foi separada do estado e do sistema educacional. Grande parte da propriedade da igreja foi confiscada. Patriarca Tikhon de Moscou e toda a Rússia (eleito em 5 de novembro de 1917) em 19 de janeiro de 1918, anatematizou o poder soviético e convocou uma luta contra os bolcheviques.

Considere uma equação linear não homogênea de segunda ordem

A estrutura da solução geral de tal equação é determinada pelo seguinte teorema:

Teorema 1. A solução geral da equação não homogênea (1) é representada como a soma de alguma solução particular desta equação e a solução geral da equação homogênea correspondente

Prova. Precisamos provar que a soma

é a solução geral da equação (1). Vamos primeiro provar que a função (3) é uma solução da equação (1).

Substituindo a soma na equação (1) em vez de no, terá

Como existe uma solução para a equação (2), a expressão nos primeiros colchetes é identicamente igual a zero. Como existe uma solução para a equação (1), a expressão nos segundos colchetes é igual a f(x). Portanto, a igualdade (4) é uma identidade. Assim, a primeira parte do teorema está provada.

Vamos provar a segunda afirmação: a expressão (3) é em geral solução da equação (1). Devemos provar que as constantes arbitrárias incluídas nesta expressão podem ser escolhidas de modo que as condições iniciais sejam satisfeitas:

quaisquer que sejam os números x 0 , y 0 e (se apenas x 0 foi retirado da área onde as funções um 1, um 2 e f(x) contínuo).

Observando que é possível representar na forma . Então, com base nas condições (5), temos

Vamos resolver este sistema e encontrar A partir de 1 e De 2. Vamos reescrever o sistema como:

Observe que o determinante desse sistema é o determinante de Wronsky para as funções 1 e às 2 no ponto x=x0. Como essas funções são linearmente independentes por suposição, o determinante de Wronsky não é igual a zero; portanto, o sistema (6) tem uma solução definida A partir de 1 e De 2, ou seja existem esses valores A partir de 1 e De 2, para a qual a fórmula (3) determina a solução da equação (1) que satisfaz as condições iniciais dadas. Q.E.D.

Vamos nos voltar para o método geral para encontrar soluções particulares de uma equação não homogênea.

Vamos escrever a solução geral da equação homogênea (2)

Vamos procurar uma solução particular da equação não homogênea (1) na forma (7), considerando A partir de 1 e De 2 como alguns recursos ainda desconhecidos de X.

Vamos derivar a igualdade (7):

Selecionamos as funções desejadas A partir de 1 e De 2 para que a igualdade

Se esta condição adicional for levada em consideração, então a primeira derivada assume a forma

Agora, diferenciando esta expressão, encontramos:

Substituindo na equação (1), obtemos

As expressões nos dois primeiros colchetes desaparecem porque 1 e ano 2 são soluções de uma equação homogênea. Portanto, a última igualdade assume a forma

Assim, a função (7) será uma solução para a equação não homogênea (1) se as funções A partir de 1 e De 2 satisfazer as equações (8) e (9). Vamos compor um sistema de equações a partir das equações (8) e (9).

Como o determinante deste sistema é o determinante de Vronsky para soluções linearmente independentes 1 e ano 2 equação (2), então não é igual a zero. Portanto, resolvendo o sistema, encontraremos ambas as funções de X:

Resolvendo este sistema, encontramos , de onde, como resultado da integração, obtemos . Em seguida, substituímos as funções encontradas na fórmula , obtemos a solução geral da equação não homogênea , onde são constantes arbitrárias.

Considera-se um método de resolução de equações diferenciais lineares não homogêneas de ordem superior com coeficientes constantes pelo método de variação das constantes de Lagrange. O método de Lagrange também é aplicável para resolver quaisquer equações lineares não homogêneas se o sistema fundamental de soluções da equação homogênea for conhecido.

Contente

Veja também:

Método de Lagrange (variação de constantes)

Considere uma equação diferencial não homogênea linear com coeficientes constantes de uma enésima ordem arbitrária:
(1) .
O método de variação constante, que consideramos para a equação de primeira ordem, também é aplicável a equações de ordens superiores.

A solução é realizada em duas etapas. Na primeira etapa, descartamos o lado direito e resolvemos a equação homogênea. Como resultado, obtemos uma solução contendo n constantes arbitrárias. Na segunda etapa, variamos as constantes. Ou seja, consideramos que essas constantes são funções da variável independente x e encontramos a forma dessas funções.

Embora estejamos considerando equações com coeficientes constantes aqui, mas o método de Lagrange também é aplicável para resolver quaisquer equações lineares não homogêneas. Para isso, entretanto, o sistema fundamental de soluções da equação homogênea deve ser conhecido.

Etapa 1. Solução da equação homogênea

Como no caso das equações de primeira ordem, primeiro procuramos a solução geral da equação homogênea, igualando a parte não homogênea a zero:
(2) .
A solução geral de tal equação tem a forma:
(3) .
Aqui estão constantes arbitrárias; - n soluções linearmente independentes da equação homogênea (2), que formam o sistema fundamental de soluções desta equação.

Etapa 2. Variação de Constantes - Substituindo Constantes por Funções

Na segunda etapa, trataremos da variação das constantes. Em outras palavras, vamos substituir as constantes por funções da variável independente x :
.
Ou seja, estamos procurando uma solução para a equação original (1) na seguinte forma:
(4) .

Se substituirmos (4) em (1), obtemos uma equação diferencial para n funções. Nesse caso, podemos conectar essas funções com equações adicionais. Então você obtém n equações, das quais você pode determinar n funções. Equações adicionais podem ser escritas de várias maneiras. Mas faremos isso de forma que a solução tenha a forma mais simples. Para fazer isso, ao diferenciar, você precisa igualar a zero termos contendo derivadas de funções. Vamos demonstrar isso.

Para substituir a solução proposta (4) na equação original (1), precisamos encontrar as derivadas das primeiras n ordens da função escrita na forma (4). Diferencie (4) aplicando as regras para diferenciar a soma e o produto:
.
Vamos agrupar os membros. Primeiro, escrevemos os termos com derivadas de , e depois os termos com derivadas de :

.
Impomos a primeira condição às funções:
(5.1) .
Então a expressão para a primeira derivada em relação a terá uma forma mais simples:
(6.1) .

Da mesma forma, encontramos a segunda derivada:

.
Impomos a segunda condição às funções:
(5.2) .
Então
(6.2) .
etc. Sob condições adicionais, igualamos os termos contendo as derivadas das funções a zero.

Assim, se escolhermos as seguintes equações adicionais para as funções:
(5.k) ,
então as primeiras derivadas em relação a terão a forma mais simples:
(6.k) .
Aqui .

Encontramos a n-ésima derivada:
(6.n)
.

Substituímos na equação original (1):
(1) ;






.
Levamos em conta que todas as funções satisfazem a equação (2):
.
Em seguida, a soma dos termos contendo dar zero. Como resultado, obtemos:
(7) .

Como resultado, temos um sistema de equações lineares para derivadas:
(5.1) ;
(5.2) ;
(5.3) ;
. . . . . . .
(5.n-1) ;
(7') .

Resolvendo este sistema, encontramos expressões para derivadas como funções de x . Integrando, temos:
.
Aqui, são constantes que não dependem mais de x. Substituindo em (4), obtemos a solução geral da equação original.

Observe que nunca usamos o fato de os coeficientes ai serem constantes para determinar os valores das derivadas. então o método de Lagrange é aplicável para resolver quaisquer equações lineares não homogêneas, se o sistema fundamental de soluções da equação homogênea (2) for conhecido.

Exemplos

Resolver equações pelo método de variação de constantes (Lagrange).


Solução de exemplos >>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>

Veja também: Solução de equações de primeira ordem pelo método de variação constante (Lagrange)
Resolvendo equações de ordem superior pelo método de Bernoulli
Resolvendo equações diferenciais lineares não homogêneas de ordem superior com coeficientes constantes por substituição linear

Mínimo teórico

Na teoria das equações diferenciais, existe um método que afirma ter um grau de universalidade suficientemente alto para essa teoria.
Estamos falando do método de variação de uma constante arbitrária, aplicável à solução de várias classes de equações diferenciais e suas
sistemas. Este é exatamente o caso quando a teoria - se você tirar a prova das afirmações entre colchetes - é mínima, mas permite que você alcance
resultados significativos, de modo que o foco principal será em exemplos.

A ideia geral do método é bastante simples de formular. Seja a equação dada (sistema de equações) difícil de resolver ou mesmo incompreensível,
como resolver. No entanto, pode-se ver que quando alguns termos são excluídos da equação, ela é resolvida. Então eles resolvem um problema tão simplificado
equação (sistema), obtenha uma solução contendo um certo número de constantes arbitrárias - dependendo da ordem da equação (o número
equações do sistema). Então assume-se que as constantes na solução encontrada não são realmente constantes, a solução encontrada
é substituído na equação original (sistema), uma equação diferencial (ou sistema de equações) é obtida para determinar as "constantes".
Há uma certa especificidade na aplicação do método de variação de uma constante arbitrária a diferentes problemas, mas esses já são detalhes que serão
mostrado com exemplos.

Vamos considerar separadamente a solução de equações lineares não homogêneas de ordens superiores, ou seja, equações da forma
.
A solução geral de uma equação linear não homogênea é a soma da solução geral da equação homogênea correspondente e a solução particular
equação dada. Vamos supor que a solução geral da equação homogênea já foi encontrada, ou seja, o sistema fundamental de soluções (FSR) foi construído
. Então a solução geral da equação homogênea é .
É necessário encontrar qualquer solução particular da equação não homogênea. Para isso, as constantes são consideradas dependentes da variável.
Em seguida, você precisa resolver o sistema de equações
.
A teoria garante que este sistema de equações algébricas com respeito a derivadas de funções tem uma solução única.
Ao encontrar as próprias funções, as constantes de integração não aparecem: afinal, qualquer solução é procurada.

No caso de resolver sistemas de equações lineares não homogêneas de primeira ordem da forma

o algoritmo permanece quase inalterado. Primeiro você precisa encontrar o FSR do sistema de equações homogêneo correspondente, compor a matriz fundamental
system , cujas colunas são os elementos do FSR. A seguir, a equação
.
Resolvendo o sistema, determinamos as funções , encontrando assim uma solução particular para o sistema original
(a matriz fundamental é multiplicada pela coluna de recurso encontrado).
Nós o adicionamos à solução geral do sistema de equações homogêneas correspondente, que é construído com base no FSR já encontrado.
A solução geral do sistema original é obtida.

Exemplos.

Exemplo 1 Equações lineares não homogêneas de primeira ordem.

Vamos considerar a equação homogênea correspondente (denotamos a função requerida por ):
.
Esta equação é facilmente resolvida por separação de variáveis:

.
Agora representamos a solução da equação original na forma , onde a função ainda não foi encontrada.
Substituímos este tipo de solução na equação original:
.
Como você pode ver, o segundo e o terceiro termos do lado esquerdo se cancelam - essa é uma característica do método de variação de uma constante arbitrária.

Aqui já - na verdade, uma constante arbitrária. Por isso,
.

Exemplo 2 equação de Bernoulli.

Agimos de forma semelhante ao primeiro exemplo - resolvemos a equação

método de separação de variáveis. Acontecerá, então estamos procurando a solução da equação original na forma
.
Substituindo esta função na equação original:
.
E novamente há cortes:
.
Aqui você precisa se lembrar de garantir que, ao dividir por, a solução não seja perdida. E o caso corresponde à solução do original
equações. Vamos lembrá-lo. Então,
.
Vamos escrever .
Esta é a solução. Ao escrever a resposta, você também deve indicar a solução encontrada anteriormente, pois não corresponde a nenhum valor final
constantes.

Exemplo 3 Equações lineares não homogêneas de ordens superiores.

Notamos imediatamente que esta equação pode ser resolvida de forma mais simples, mas é conveniente mostrar o método nela. Embora algumas vantagens
o método de variação de uma constante arbitrária também o tem neste exemplo.
Então, você precisa começar com o FSR da equação homogênea correspondente. Lembre-se que para encontrar o FSR, a característica
a equação
.
Assim, a solução geral da equação homogênea
.
As constantes incluídas aqui devem ser variadas. Compilando um sistema

O método de variação de constantes arbitrárias é usado para resolver equações diferenciais não homogêneas. Esta lição destina-se aos alunos que já são mais ou menos versados ​​no tópico. Se você está apenas começando a se familiarizar com o controle remoto, ou seja, Se você é um bule, recomendo começar com a primeira lição: Equações diferenciais de primeira ordem. Exemplos de soluções. E se você já está terminando, por favor, descarte a possível noção preconcebida de que o método é difícil. Porque ele é simples.

Em que casos é usado o método de variação de constantes arbitrárias?

1) O método de variação de uma constante arbitrária pode ser usado para resolver DE linear não homogênea de 1ª ordem. Como a equação é de primeira ordem, então a constante (constante) também é uma.

2) O método de variação de constantes arbitrárias é usado para resolver alguns equações lineares não homogêneas de segunda ordem. Aqui, duas constantes (constantes) variam.

É lógico supor que a lição consistirá em dois parágrafos .... Eu escrevi esta proposta e, por cerca de 10 minutos, fiquei pensando dolorosamente em que outra porcaria inteligente adicionar para uma transição suave para exemplos práticos. Mas por alguma razão, não há pensamentos depois das férias, embora pareça que eu não abusei de nada. Então vamos pular direto para o primeiro parágrafo.

Método de variação constante arbitrária
para uma equação linear não homogênea de primeira ordem

Antes de considerar o método de variação de uma constante arbitrária, é desejável estar familiarizado com o artigo Equações diferenciais lineares de primeira ordem. Nessa aula, praticamos primeira forma de resolver DE não homogênea de 1ª ordem. Esta primeira solução, lembro-lhe, chama-se método de substituição ou Método Bernoulli(não confundir com equação de Bernoulli!!!)

Vamos agora considerar segunda maneira de resolver– método de variação de uma constante arbitrária. Vou dar apenas três exemplos, e vou tomá-los da lição acima. Por que tão pouco? Porque, de fato, a solução da segunda maneira será muito semelhante à solução da primeira. Além disso, de acordo com minhas observações, o método de variação de constantes arbitrárias é usado com menos frequência do que o método de substituição.

Exemplo 1

(Diferente do Exemplo nº 2 da lição DE linear não homogênea de 1ª ordem)

Decisão: Esta equação é linear não homogênea e tem uma forma familiar:

O primeiro passo é resolver uma equação mais simples:
Ou seja, redefinimos estupidamente o lado direito - em vez disso, escrevemos zero.
A equação eu vou ligar equação auxiliar.

Neste exemplo, você precisa resolver a seguinte equação auxiliar:

Antes de nós equação separável, cuja solução (espero) não é mais difícil para você:

Por isso:
é a solução geral da equação auxiliar .

Na segunda etapa substituir uma constante de alguns ainda função desconhecida que depende de "x":

Daí o nome do método - variamos a constante. Alternativamente, a constante pode ser alguma função que temos que encontrar agora.

NO inicial equação não homogênea Vamos substituir:

Substituir e na equação :

momento de controle - os dois termos do lado esquerdo se cancelam. Se isso não acontecer, você deve procurar o erro acima.

Como resultado da substituição, obtém-se uma equação com variáveis ​​separáveis. Separe as variáveis ​​e integre.

Que bênção, os expoentes também estão encolhendo:

Adicionamos uma constante “normal” à função encontrada:

Na fase final, recordamos a nossa substituição:

Função recém encontrada!

Então a solução geral é:

Responda: decisão comum:

Se você imprimir as duas soluções, notará facilmente que em ambos os casos encontramos as mesmas integrais. A única diferença está no algoritmo de solução.

Agora algo mais complicado, vou comentar também o segundo exemplo:

Exemplo 2

Encontre a solução geral da equação diferencial
(Diferente do Exemplo nº 8 da lição DE linear não homogênea de 1ª ordem)

Decisão: Trazemos a equação para a forma :

Coloque o lado direito em zero e resolva a equação auxiliar:

Solução geral da equação auxiliar:

Na equação não homogênea, faremos a substituição:

De acordo com a regra de diferenciação de produtos:

Substituir e na equação não homogênea original:

Os dois termos do lado esquerdo se cancelam, o que significa que estamos no caminho certo:

Integramos por partes. Uma letra saborosa da fórmula de integração por partes já está envolvida na solução, então usamos, por exemplo, as letras "a" e "be":

Agora vamos ver a substituição:

Responda: decisão comum:

E um exemplo para auto-solução:

Exemplo 3

Encontre uma solução particular da equação diferencial correspondente à condição inicial dada.

,
(Diferente do Exemplo da Lição 4 DE linear não homogênea de 1ª ordem)
Decisão:
Este DE é linear não homogêneo. Usamos o método de variação de constantes arbitrárias. Vamos resolver a equação auxiliar:

Separamos as variáveis ​​e integramos:

Decisão comum:
Na equação não homogênea, faremos a substituição:

Vamos fazer a substituição:

Então a solução geral é:

Encontre uma solução particular correspondente à condição inicial dada:

Responda: solução privada:

A solução no final da lição pode servir como um modelo aproximado para terminar a tarefa.

Método de Variação de Constantes Arbitrárias
para uma equação linear não homogênea de segunda ordem
com coeficientes constantes

Ouvimos muitas vezes a opinião de que o método de variação de constantes arbitrárias para uma equação de segunda ordem não é uma coisa fácil. Mas acho o seguinte: muito provavelmente, o método parece difícil para muitos, já que não é tão comum. Mas, na realidade, não há dificuldades particulares - o curso da decisão é claro, transparente e compreensível. E bonito.

Para dominar o método, é desejável ser capaz de resolver equações não homogêneas de segunda ordem selecionando uma solução particular de acordo com a forma do lado direito. Este método é discutido em detalhes no artigo. DE não homogênea de 2ª ordem. Lembramos que uma equação não homogênea linear de segunda ordem com coeficientes constantes tem a forma:

O método de seleção, que foi considerado na lição acima, só funciona em um número limitado de casos, quando polinômios, expoentes, senos e cossenos estão no lado direito. Mas o que fazer quando à direita, por exemplo, uma fração, logaritmo, tangente? Em tal situação, o método de variação de constantes vem em socorro.

Exemplo 4

Encontre a solução geral de uma equação diferencial de segunda ordem

Decisão: Há uma fração no lado direito desta equação, então podemos dizer imediatamente que o método de selecionar uma solução particular não funciona. Usamos o método de variação de constantes arbitrárias.

Nada pressagia uma tempestade, o início da solução é bastante comum:

Vamos encontrar decisão comum correspondente homogêneo equações:

Compomos e resolvemos a equação característica:


– raízes complexas conjugadas são obtidas, então a solução geral é:

Preste atenção ao registro da solução geral - se houver colchetes, abra-os.

Agora fazemos quase o mesmo truque da equação de primeira ordem: variamos as constantes , substituindo-as por funções desconhecidas . Ou seja, solução geral do não homogêneo Vamos procurar equações na forma:

Onde - ainda funções desconhecidas.

Parece um depósito de lixo, mas agora vamos resolver tudo.

Derivadas de funções agem como incógnitas. Nosso objetivo é encontrar derivadas, e as derivadas encontradas devem satisfazer tanto a primeira quanto a segunda equações do sistema.

De onde vêm os "jogos"? A cegonha os traz. Observamos a solução geral obtida anteriormente e escrevemos:

Vamos encontrar as derivadas:

Lidou com o lado esquerdo. O que está à direita?

é o lado direito da equação original, neste caso:

O coeficiente é o coeficiente na segunda derivada:

Na prática, quase sempre, e o nosso exemplo não foge à regra.

Tudo esclarecido, agora você pode criar um sistema:

O sistema geralmente é resolvido de acordo com as fórmulas de Cramer usando o algoritmo padrão. A única diferença é que em vez de números temos funções.

Encontre o principal determinante do sistema:

Se você esqueceu como o determinante “dois por dois” é revelado, consulte a lição Como calcular o determinante? O link leva ao conselho da vergonha =)

Então: , então o sistema tem uma solução única.

Encontramos a derivada:

Mas isso não é tudo, até agora só encontramos a derivada.
A função em si é restaurada por integração:

Vejamos a segunda função:

Aqui adicionamos uma constante "normal"

No estágio final da solução, lembramos de que forma estávamos procurando a solução geral da equação não homogênea? Em tal:

Os recursos que você precisa acabaram de ser encontrados!

Resta realizar a substituição e anotar a resposta:

Responda: decisão comum:

Em princípio, a resposta poderia abrir os colchetes.

Uma verificação completa da resposta é realizada de acordo com o esquema padrão, que foi considerado na lição. DE não homogênea de 2ª ordem. Mas a verificação não será fácil, pois temos que encontrar derivadas bastante pesadas e realizar uma substituição complicada. Este é um recurso desagradável quando você está resolvendo diferenças como esta.

Exemplo 5

Resolva a equação diferencial pelo método de variação de constantes arbitrárias

Este é um exemplo de faça você mesmo. Na verdade, o lado direito também é uma fração. Lembramos a fórmula trigonométrica, a propósito, ela precisará ser aplicada no decorrer da solução.

O método de variação de constantes arbitrárias é o método mais universal. Eles podem resolver qualquer equação que pode ser resolvida o método de selecionar uma solução particular de acordo com a forma do lado direito. A questão surge, por que não usar o método de variação de constantes arbitrárias também? A resposta é óbvia: a seleção de uma solução específica, que foi considerada na lição Equações não homogêneas de segunda ordem, acelera significativamente a solução e reduz a notação - sem mexer com determinantes e integrais.

Considere dois exemplos com Problema de Cauchy.

Exemplo 6

Encontre uma solução particular da equação diferencial correspondente às condições iniciais dadas

,

Decisão: Novamente, a fração e o expoente em um lugar interessante.
Usamos o método de variação de constantes arbitrárias.

Vamos encontrar decisão comum correspondente homogêneo equações:



– diferentes raízes reais são obtidas, então a solução geral é:

A solução geral do não homogêneo estamos procurando equações na forma: , onde - ainda funções desconhecidas.

Vamos criar um sistema:

Nesse caso:
,
Encontrando derivadas:
,

Por isso:

Resolvemos o sistema usando as fórmulas de Cramer:
, então o sistema tem uma solução única.

Restauramos a função por integração:

Usado aqui método de trazer uma função sob um sinal diferencial.

Restauramos a segunda função por integração:

Essa integral é resolvida método de substituição de variável:

Da própria substituição, expressamos:

Por isso:

Esta integral pode ser encontrada método de seleção de quadrados completos, mas em exemplos com diffurs, prefiro expandir a fração método de coeficientes incertos:

Ambas as funções encontradas:

Como resultado, a solução geral da equação não homogênea é:

Encontre uma solução particular que satisfaça as condições iniciais .

Tecnicamente, a busca por uma solução é realizada de forma padronizada, o que foi discutido no artigo. Equações diferenciais de segunda ordem não homogêneas.

Espere, agora vamos encontrar a derivada da solução geral encontrada:

Aqui está uma vergonha. Não é necessário simplificá-lo, é mais fácil compor imediatamente um sistema de equações. De acordo com as condições iniciais :

Substitua os valores encontrados das constantes em uma solução geral:

Na resposta, os logaritmos podem ser um pouco compactados.

Responda: solução privada:

Como você pode ver, podem surgir dificuldades em integrais e derivadas, mas não no algoritmo do método de variação de constantes arbitrárias. Não fui eu quem o intimidou, tudo isso é uma coleção de Kuznetsov!

Para relaxar, um exemplo final, mais simples e auto-resolvido:

Exemplo 7

Resolva o problema de Cauchy

,

O exemplo é simples, mas criativo, quando você faz um sistema, olhe bem antes de decidir ;-),




Como resultado, a solução geral é:

Encontre uma solução particular correspondente às condições iniciais .



Substituímos os valores encontrados das constantes na solução geral:

Responda: solução privada: