A solução de uma série de questões, em particular a adição de várias oscilações da mesma direção (ou, o que é o mesmo, a adição de várias funções harmônicas), é bastante facilitada e fica clara se as oscilações forem representadas graficamente como vetores em um avião. O esquema obtido desta forma é chamado de diagrama vetorial.

Pegue o eixo, que denotamos pela letra x (Fig. 55.1). Do ponto O, tomado sobre o eixo, traçamos um vetor de comprimento a, formando um ângulo a com o eixo.

Se colocarmos esse vetor em rotação com uma velocidade angular , a projeção do final do vetor se moverá ao longo do eixo x na faixa de -a a +a, e a coordenada dessa projeção mudará ao longo do tempo de acordo com a lei

Consequentemente, a projeção da extremidade do vetor sobre o eixo realizará uma oscilação harmônica com amplitude igual ao comprimento do vetor, com frequência circular igual à velocidade angular de rotação do vetor e com fase inicial igual ao ângulo formado pelo vetor com o eixo no momento inicial do tempo.

Do que foi dito, segue-se que uma oscilação harmônica pode ser especificada usando um vetor cujo comprimento é igual à amplitude da oscilação, e a direção do vetor forma um ângulo com o eixo x igual à fase inicial da oscilação. oscilação.

Considere a adição de duas oscilações harmônicas de mesma direção e mesma frequência. O deslocamento x do corpo oscilante será a soma dos deslocamentos, que será escrito da seguinte forma:

Vamos representar ambas as flutuações com a ajuda de vetores (figo. 55.2). Vamos construir o vetor resultante a de acordo com as regras da adição de vetores.

É fácil ver que a projeção desse vetor no eixo x é igual à soma das projeções dos termos dos vetores:

Portanto, o vetor a representa a oscilação resultante. Esse vetor gira com a mesma velocidade angular dos vetores, de modo que o movimento resultante será uma oscilação harmônica com amplitude de frequência a e fase inicial a. Fica claro na construção que

Assim, a representação de oscilações harmônicas por meio de vetores permite reduzir a adição de várias oscilações à operação de adição de vetores. Esta técnica é especialmente útil, por exemplo, em óptica, onde as vibrações de luz em um determinado ponto são definidas como o resultado de uma superposição de muitas vibrações que chegam a um determinado ponto de diferentes partes da frente de onda.

As fórmulas (55.2) e (55.3) podem, é claro, ser obtidas adicionando expressões (55.1) e realizando as transformações trigonométricas correspondentes. Mas a forma que usamos para obter essas fórmulas é mais simples e clara.

Analisemos a expressão (55.2) para a amplitude. Se a diferença de fase de ambas as oscilações for igual a zero, a amplitude da oscilação resultante será igual à soma de a e . Se a diferença de fase for igual a ou , ou seja, ambas as oscilações estão em antifase, então a amplitude da oscilação resultante é igual a

Se as frequências de oscilação não forem as mesmas, os vetores a e girarão em velocidades diferentes. Neste caso, o vetor resultante a pulsa em magnitude e gira a uma taxa não constante. Consequentemente, o movimento resultante neste caso não será uma oscilação harmônica, mas algum processo oscilatório complexo.

A adição de várias oscilações da mesma direção (ou, o que é o mesmo, a adição de várias funções harmônicas) é bastante facilitada e fica clara se as oscilações forem representadas graficamente como vetores em um plano.

Vamos pegar o eixo, que denotaremos por "x". Do ponto O, tomado sobre o eixo, num ângulo a igual à fase inicial das oscilações, traçamos o vetor comprimento A (Fig. 8.3). Projetamos o vetor A no eixo x, obtemos x 0 =A porque a é o deslocamento inicial do ponto oscilante da posição de equilíbrio. Colocamos esse vetor em rotação no sentido anti-horário com uma velocidade angular w 0 . A posição deste vetor a qualquer momento será caracterizada por ângulos iguais a:

w 0 t 1 +a; w 0 t 2 +a; w0t3+a; etc.

E a projeção desse vetor se moverá ao longo do eixo x no intervalo de -A a +A. Além disso, a coordenada dessa projeção mudará ao longo do tempo de acordo com a lei:

.

Portanto, a projeção da extremidade do vetor em algum eixo arbitrário realizará uma oscilação harmônica com amplitude igual ao comprimento do vetor, frequência circular igual à velocidade angular de rotação do vetor e fase inicial igual à ângulo formado pelo vetor com o eixo no momento inicial do tempo.

Assim, uma oscilação harmônica pode ser especificada usando um vetor, cujo comprimento é igual à amplitude da oscilação, e a direção do vetor forma um ângulo com o eixo “x” igual à fase inicial da oscilação.

Considere a adição de duas oscilações harmônicas de mesma direção e mesma frequência. O deslocamento do corpo oscilante “x” será a soma dos deslocamentos x 1 e x 2, que serão escritos da seguinte forma:

Vamos representar ambas as flutuações com a ajuda de vetores e (Fig. 8.4) De acordo com as regras de adição de vetores, construímos o vetor resultante. A projeção desse vetor no eixo X será igual à soma das projeções dos termos dos vetores: x=x 1 +x 2 . Portanto, o vetor representa a oscilação resultante. Este vetor gira com a mesma velocidade angular w 0 dos vetores e , de modo que o movimento resultante será uma oscilação harmônica c com freqüência w 0 , amplitude "a" e fase inicial a. Decorre da construção que

Assim, a representação de oscilações harmônicas por meio de vetores permite reduzir a adição de várias oscilações à operação de adição de vetores. Este método é mais simples e claro do que o uso de transformações trigonométricas.

Vamos analisar a expressão para a amplitude. Se a diferença de fase de ambas as oscilações a 2 - a 1 = 0, então a amplitude da oscilação resultante é igual à soma ( uma 2 + uma 1). Se a diferença de fase a 2 - a 1 = +p ou -p, i.e. oscilações estão em antifase, então a amplitude da oscilação resultante é .

Se as frequências de oscilação x 1 e x 2 não forem as mesmas, os vetores e girarão em velocidades diferentes. Nesse caso, o vetor resultante pulsa em magnitude e gira a uma taxa não constante. Portanto, o movimento resultante será neste caso não apenas uma oscilação harmônica, mas algum processo oscilatório complexo.

Vamos escolher um eixo. Do ponto O, tomado neste eixo, deixamos de lado o vetor comprimento, que forma um ângulo com o eixo. Se colocarmos este vetor em rotação com uma velocidade angular , então a projeção da extremidade do vetor no eixo mudará com o tempo de acordo com a lei . Portanto, a projeção da extremidade do vetor sobre o eixo fará oscilações harmônicas com amplitude igual ao comprimento do vetor; com uma frequência circular igual à velocidade angular de rotação, e com uma fase inicial igual ao ângulo formado pelo vetor com o eixo X no momento inicial.

O diagrama vetorial permite reduzir a adição de oscilações à soma geométrica dos vetores. Considere a adição de duas oscilações harmônicas de mesma direção e mesma frequência, que têm a seguinte forma:

Vamos representar ambas as flutuações com a ajuda de vetores e (fig. 7.5). Vamos construir o vetor resultante de acordo com a regra de adição de vetores. É fácil ver que a projeção desse vetor no eixo é igual à soma das projeções dos termos dos vetores. Portanto, o vetor representa a oscilação resultante. Este vetor gira com a mesma velocidade angular dos vetores, de modo que o movimento resultante será uma oscilação harmônica com frequência, amplitude e fase inicial. De acordo com a lei dos cossenos, o quadrado da amplitude da oscilação resultante será igual a

Assim, a representação de oscilações harmônicas por meio de vetores permite reduzir a adição de várias oscilações à operação de adição de vetores. As fórmulas (7.3) e (7.4) podem, é claro, ser obtidas somando as expressões para e analiticamente, mas o método do diagrama vetorial é mais simples e claro.

OSCILAÇÕES DE AMORTECIMENTO

Em qualquer sistema oscilatório real existem forças de resistência, cuja ação leva a uma diminuição da energia do sistema. Se a perda de energia não for reposta pelo trabalho de forças externas, as oscilações decairão. No caso mais simples e ao mesmo tempo o mais comum, a força de arrasto é proporcional à velocidade:

,

Onde ré um valor constante chamado coeficiente de arrasto. O sinal de menos se deve ao fato de que força e velocidade têm direções opostas; daí suas projeções no eixo X têm sinais diferentes. A equação da segunda lei de Newton na presença de forças de resistência tem a forma:

.

Usando a notação , , reescrevemos a equação do movimento da seguinte forma:

.

Esta equação descreve desbotando oscilações do sistema. O coeficiente é chamado de fator de amortecimento.

O gráfico experimental de oscilações amortecidas a um baixo coeficiente de amortecimento é mostrado na Fig. . 7.6. Da fig. 7.6 pode-se ver que o gráfico de dependência se parece com um cosseno multiplicado por alguma função, que diminui com o tempo. Esta função é representada na figura por linhas tracejadas. Uma função simples que se comporta dessa maneira é a função exponencial. Portanto, a solução pode ser escrita como:

,

onde é a frequência das oscilações amortecidas.

Valor x periodicamente passa por zero e atinge um máximo e um mínimo um número infinito de vezes. O intervalo de tempo entre duas passagens sucessivas pelo zero é . Seu valor dobrado é chamado período de oscilação.

O multiplicador na frente de uma função periódica é chamado amplitude das oscilações amortecidas. Diminui exponencialmente com o tempo. A taxa de decaimento é determinada pelo valor . O tempo após o qual a amplitude das oscilações diminui por um fator é chamado de tempo de decaimento. Durante este tempo, o sistema oscila. É costume caracterizar o amortecimento de oscilações decremento de amortecimento logarítmico. O decremento de amortecimento logarítmico é o logaritmo da razão de amplitudes nos momentos de passagens sucessivas de um valor oscilante através de um máximo ou mínimo:

.

Está relacionado ao número de oscilações pela razão:

O valor é chamado fator de qualidade do sistema oscilatório. O fator de qualidade é maior, quanto maior o número de oscilações que o sistema tem tempo para completar antes que a amplitude diminua por um fator.

As constantes e , como no caso das oscilações harmônicas, podem ser determinadas a partir das condições iniciais.

VIBRAÇÕES FORÇADAS

As oscilações que ocorrem sob a influência de uma força periódica externa são chamadas forçadas. A força externa realiza trabalho positivo e fornece um influxo de energia para o sistema oscilatório. Não permite que as oscilações desapareçam, apesar da ação das forças de resistência.

Uma força externa periódica pode variar no tempo de acordo com várias leis. De particular interesse é o caso quando uma força externa, mudando de acordo com uma lei harmônica com uma frequência ω, atua sobre um sistema oscilatório capaz de realizar oscilações naturais em uma certa frequência ω 0 . Por exemplo, se você puxar uma carga suspensa em uma mola com uma frequência , ela realizará oscilações harmônicas com a frequência da força externa, mesmo que essa frequência não coincida com a frequência natural da mola.

Deixe uma força externa periódica agir sobre o sistema. Neste caso, pode-se obter a seguinte equação descrevendo o movimento de tal sistema:

,

(7.5)

Onde . Com oscilações forçadas, a amplitude das oscilações e, consequentemente, a energia transmitida ao sistema oscilatório, dependem da razão entre as frequências e , bem como do coeficiente de amortecimento .

Após o início do impacto de uma força externa no sistema oscilatório, é necessário algum tempo ωt para estabelecer oscilações forçadas. No momento inicial, ambos os processos são excitados no sistema oscilatório - oscilações forçadas na frequência ω e oscilações livres na frequência natural ω 0 . Mas as vibrações livres são amortecidas devido à presença inevitável de forças de atrito. Portanto, após algum tempo, apenas oscilações estacionárias na frequência ω da força motriz externa permanecem no sistema oscilatório. O tempo de sedimentação é igual em ordem de grandeza ao tempo de decaimento ω das oscilações livres no sistema oscilatório. As oscilações forçadas constantes da carga na mola ocorrem de acordo com a lei harmônica com uma frequência igual à frequência da influência externa. Pode-se mostrar que no estado estacionário a solução da equação (7.6) é escrita como:

,

,
.

Assim, oscilações forçadas são oscilações harmônicas com frequência igual à frequência da força motriz. A amplitude das oscilações forçadas é proporcional à amplitude da força motriz. Para um determinado sistema oscilatório (ou seja, um sistema com certos valores de e ), a amplitude depende da frequência da força motriz. As vibrações forçadas estão fora de fase com a força motriz. A mudança de fase depende da frequência da força motriz.

RESSONÂNCIA

A dependência da amplitude das oscilações forçadas da frequência da força motriz leva ao fato de que em uma determinada frequência determinada para um determinado sistema, a amplitude da oscilação atinge seu valor máximo. O sistema oscilatório é especialmente responsivo à ação da força motriz nesta frequência. Esse fenômeno é chamado ressonância, e a frequência correspondente é frequência de ressonância. Graficamente, a dependência da amplitude x m das oscilações forçadas na frequência ω da força motriz é descrita por uma curva ressonante (Fig. 7.9).

Investigamos o comportamento da amplitude das oscilações forçadas em função da freqüência. Deixando a amplitude da força motriz inalterada, mudaremos sua frequência. Quando nós tivermos deflexão estática sob a ação de uma força constante:

À medida que a frequência aumenta, a amplitude de deslocamento primeiro também aumenta, depois passa por um máximo e, finalmente, tende assintoticamente a zero. Da fig. 7.9 também mostra que quanto menor, mais alto e à direita está o máximo dessa curva. Além disso, quanto menor, mais forte a amplitude perto das mudanças de ressonância com a frequência, mais nítido o máximo.

O fenômeno da ressonância pode causar a destruição de pontes, edifícios e outras estruturas, se as frequências naturais de suas oscilações coincidirem com a frequência de uma força externa que atua periodicamente. O fenômeno da ressonância deve ser levado em consideração ao projetar máquinas e vários tipos de estruturas. Em nenhum caso a frequência natural desses dispositivos deve estar próxima da frequência de possíveis influências externas.

Exemplos

Em janeiro de 1905 Petersburg, a ponte egípcia desabou. Os culpados disso foram 9 transeuntes, 2 motoristas de táxi e o 3º esquadrão do Regimento de Guardas a Cavalo de Peterhof. Aconteceu o seguinte. Todos os soldados andavam ritmicamente pela ponte. A ponte começou a balançar a partir disso - a oscilar. Por coincidência, a frequência natural da ponte coincidiu com a frequência de passos dos soldados. O passo rítmico da formação informava a ponte de mais e mais porções de energia. Como resultado da ressonância, a ponte balançou tanto que desabou. Se não houvesse ressonância da frequência natural da ponte com a frequência de passos dos soldados, nada teria acontecido com a ponte. Portanto, ao passar soldados em pontes fracas, costuma-se dar o comando de “derrubar a perna”.

Diz-se que o grande tenor Enrico Caruso poderia quebrar uma taça de vidro cantando uma nota de tom adequado no topo de sua voz. Neste caso, o som provoca vibrações forçadas das paredes do vidro. Na ressonância, as vibrações das paredes podem atingir tal amplitude que o vidro se quebra.

Fazer experimentos

Vá até algum instrumento musical de cordas e grite "a" em voz alta: uma das cordas responderá - soará. A que estiver em ressonância com a frequência deste som vibrará mais fortemente do que as outras cordas - responderá ao som.

Estique uma corda fina horizontalmente. Prenda um pêndulo de linha e plasticina a ele. Jogue outro pêndulo semelhante sobre a corda, mas com um fio mais longo. O comprimento da suspensão deste pêndulo pode ser alterado puxando a extremidade livre do fio com a mão. Coloque este pêndulo em movimento oscilatório. Nesse caso, o primeiro pêndulo também começará a oscilar, mas com uma amplitude menor. Sem parar as oscilações do segundo pêndulo, reduza gradualmente o comprimento de sua suspensão - a amplitude das oscilações do primeiro pêndulo aumentará. Neste experimento, ilustrando a ressonância das vibrações mecânicas, o primeiro pêndulo é o receptor das vibrações excitadas pelo segundo pêndulo. A razão de forçar o primeiro pêndulo a oscilar são as vibrações periódicas da corda com uma frequência igual à frequência de oscilações do segundo pêndulo. As oscilações forçadas do primeiro pêndulo terão amplitude máxima somente quando sua frequência natural coincidir com a frequência de oscilação do segundo pêndulo.

OSCILAÇÕES AUTOMÁTICAS

Inúmeras e diversas são as criações das mãos humanas, nas quais surgem e são utilizadas auto-oscilações. Em primeiro lugar, são vários instrumentos musicais. Já nos tempos antigos - chifres e chifres, tubos, apitos, flautas primitivas. Mais tarde - violinos, nos quais a força de atrito entre o arco e a corda é usada para excitar o som; vários instrumentos de sopro; harmonias nas quais o som é produzido por palhetas de metal vibrando sob a influência de um fluxo constante de ar; órgãos de cujos tubos colunas ressonantes de ar escapam por fendas estreitas.

Arroz. 7.12

É bem conhecido que a força de atrito de deslizamento é praticamente independente da velocidade. No entanto, é devido à dependência muito fraca da força de atrito na velocidade que a corda do violino soa. Uma visão qualitativa da dependência da força de atrito do arco na corda é mostrada na Fig. 7.12. Devido à força de atrito estático, a corda é capturada pelo arco e é deslocada da posição de equilíbrio. Quando a força elástica excede a força de atrito, a corda se soltará do arco e correrá em direção à posição de equilíbrio com velocidade cada vez maior. A velocidade da corda em relação ao arco em movimento aumentará, a força de atrito aumentará e em determinado momento se tornará suficiente para capturar a corda. Em seguida, o processo se repetirá novamente. Assim, um arco movendo-se a uma velocidade constante causará vibrações não amortecidas na corda.

Nos instrumentos de cordas com arco, as auto-oscilações são suportadas pela força de atrito que atua entre o arco e a corda, e nos instrumentos de sopro, o sopro de um jato de ar mantém as auto-oscilações da coluna de ar no tubo do instrumento.

Mais de uma centena de documentos gregos e latinos de diferentes épocas mencionam o canto do famoso "Colosso de Memnon" - uma estátua majestosa de um dos faraós, que governou no século XIV aC, instalada perto da cidade egípcia de Luxor. A altura da estátua é de cerca de 20 metros, a massa chega a mil toneladas. Na parte inferior do colosso, várias fendas e buracos foram encontrados com câmaras de forma complexa localizadas atrás deles. O Colosso de Memnon é um órgão gigantesco que soa sob a influência de correntes de ar naturais. A estátua imita a voz humana.

Auto-oscilações naturais de natureza um tanto exótica são areias cantantes. Já no século XIV, o grande viajante Marco Polo mencionou as "margens sonoras" do misterioso lago Lop Nor na Ásia. Por seis séculos, areias cantantes foram descobertas em vários lugares em todos os continentes. Na população local, eles na maioria das vezes causam medo, são objeto de lendas e lendas. Jack London descreve o encontro com as areias cantantes dos personagens do romance "Hearts of Three", que foram com um guia em busca dos tesouros dos antigos maias.

"Quando os deuses riem, cuidado!" gritou o velho em advertência. Ele desenhou um círculo na areia com o dedo e, enquanto desenhava, a areia uivava e guinchava; então o velho se ajoelhou, a areia rugiu e trombeteou.

Há areias cantantes e até uma montanha inteira de areia cantante perto do rio Ili, no Cazaquistão. O Monte Kalkan, um órgão natural gigante, subiu quase 300 metros. As pessoas chamam de forma diferente: “duna cantante”, “montanha cantante”. É construído de areia de cor clara e, contra o fundo das esporas escuras do Dzungarian Alatau, os grandes e pequenos Kalkans, apresenta uma visão extraordinária devido ao contraste de cores. Ao vento e mesmo quando uma pessoa desce dele, a montanha faz sons melodiosos. Depois da chuva e durante a calmaria, a montanha fica em silêncio. Os turistas gostam de visitar a Duna Cantante e, depois de escalar um de seus três picos, admirar o panorama aberto do Ili e do cume Zailiysky Alatau. Se a montanha está silenciosa, os visitantes impacientes "fazem-na cantar". Para fazer isso, você precisa descer rapidamente a encosta da montanha, riachos de areia correrão sob seus pés e um zumbido surgirá das profundezas da duna.

Muitos séculos se passaram desde a descoberta das areias cantantes, e uma explicação satisfatória para este fenômeno surpreendente não foi oferecida. Nos últimos anos, acústicos ingleses, bem como o cientista soviético V.I. Arabadzhi. Arabadji sugeriu que a camada superior de areia emissora de som se move sob algum tipo de perturbação constante sobre a camada inferior, mais dura, que tem um perfil de superfície ondulado. Devido às forças de atrito durante o deslocamento mútuo das camadas, o som é excitado.

Vibrações forçadas são vibrações não amortecidas. A inevitável perda de energia devido ao atrito durante as oscilações forçadas é compensada pelo fornecimento de energia de uma fonte externa de uma força que atua periodicamente. Existem sistemas nos quais as oscilações não amortecidas surgem não devido a influências externas periódicas, mas como resultado da capacidade de tais sistemas regularem o fluxo de energia de uma fonte constante. Tais sistemas são chamados de auto-oscilatórios, e o processo de oscilações não amortecidas em tais sistemas é chamado de auto-oscilações. . Esquematicamente, um sistema auto-oscilante pode ser representado como uma fonte de energia, um oscilador amortecido e um dispositivo de realimentação entre o sistema oscilante e a fonte (Fig. 7.10).

Como sistema oscilatório, qualquer sistema mecânico capaz de realizar suas próprias oscilações amortecidas (por exemplo, um pêndulo de um relógio de parede) pode ser usado. A fonte de energia pode ser uma mola deformada ou uma carga em um campo gravitacional. O dispositivo de feedback é um mecanismo pelo qual o sistema auto-oscilatório regula o fluxo de energia da fonte.

Um exemplo de sistema mecânico auto-oscilante é um mecanismo de relógio com um curso de âncora (Fig. 7.11). Em um relógio com um curso de âncora, uma roda com dentes oblíquos é rigidamente presa a um tambor de engrenagem, através do qual uma corrente com um peso é lançada. Na extremidade superior do pêndulo, uma âncora é fixada com duas placas de material duro dobradas ao longo de um arco de círculo centrado no eixo do pêndulo. Nos relógios de pulso, o peso é substituído por uma mola e o pêndulo é substituído por um balanceador, preso a uma mola espiral. O balanceador realiza vibrações de torção em torno de seu eixo. O sistema oscilatório no relógio é um pêndulo ou balanceador, a fonte de energia é um peso levantado ou uma mola enrolada. O dispositivo de feedback é uma âncora que permite que a roda de corrida gire um dente em meio ciclo. O feedback é fornecido pela interação da âncora com a roda de corrida. A cada oscilação do pêndulo, o dente da roda de deslocamento empurra o garfo de ancoragem na direção do movimento do pêndulo, transferindo para ele uma certa porção de energia, que compensa as perdas de energia devido ao atrito. Assim, a energia potencial do peso (ou mola torcida) é gradualmente, em porções separadas, transferida para o pêndulo.

Na vida cotidiana, nós, talvez sem percebermos, encontramos auto-oscilações com mais frequência do que oscilações causadas por forças periódicas. Auto-oscilações nos cercam em todos os lugares na natureza e tecnologia: motores a vapor, motores de combustão interna, sinos elétricos, relógios, uma corda de violino ou tubo de órgão, um coração batendo, cordas vocais ao falar ou cantar - todos esses sistemas realizam auto-oscilações.

Faça a experiência!

Arroz. 7.13

O movimento oscilatório é geralmente estudado considerando o comportamento de algum tipo de pêndulo: mola, matemático ou físico. Todos eles são sólidos. Você pode criar um dispositivo que demonstre as vibrações de corpos líquidos ou gasosos. Para fazer isso, use a ideia por trás do design do relógio de água. Duas garrafas plásticas de um litro e meio são conectadas da mesma forma que em um relógio de água, prendendo as tampas. As cavidades das garrafas são conectadas com um tubo de vidro de 15 centímetros de comprimento, com um diâmetro interno de 4-5 milímetros. As paredes laterais das garrafas devem ser lisas e não rígidas, facilmente esmagadas ao serem espremidas (ver Fig. 7.13).

Para iniciar as oscilações, uma garrafa de água é colocada em cima. A água dele imediatamente começa a fluir através do tubo para a garrafa inferior. Após cerca de um segundo, o jato pára espontaneamente de fluir e dá lugar a uma passagem no tubo para o movimento de aproximação de uma porção de ar da garrafa inferior para a superior. A ordem de passagem dos fluxos de água e ar que se aproximam através do tubo de conexão é determinada pela diferença de pressão nas garrafas superior e inferior e é ajustada automaticamente.

As flutuações de pressão no sistema são evidenciadas pelo comportamento das paredes laterais da garrafa superior, que, no tempo com a liberação de água e a entrada de ar, periodicamente espremem e expandem. Na medida em que

FORMAÇÃO DE ONDAS

Como a vibração se propaga? É necessário um meio para a transmissão de vibrações ou elas podem ser transmitidas sem ele? Como o som de um diapasão chega ao ouvinte? Como uma corrente alternada rápida na antena de um transmissor de rádio faz com que a corrente flua para a antena de um receptor? Como a luz de estrelas distantes chega aos nossos olhos? Para considerar este tipo de fenômeno, é necessário introduzir um novo conceito físico - uma onda. Os processos ondulatórios representam uma classe geral de fenômenos, apesar de sua natureza diferente.

As fontes das ondas, sejam elas ondas do mar, ondas em uma corda, ondas de terremoto ou ondas sonoras no ar, são vibrações. O processo de propagação de oscilações no espaço é chamado de onda. Por exemplo, no caso do som, o movimento oscilatório é realizado não apenas pela fonte sonora (corda, diapasão), mas também pelo receptor do som - o tímpano ou a membrana do microfone. O meio através do qual a onda se propaga também oscila.

O processo ondulatório é devido à presença de conexões entre as partes individuais do sistema, dependendo do qual temos uma onda elástica de uma natureza ou de outra. Um processo que ocorre em qualquer parte do espaço provoca mudanças em pontos vizinhos do sistema, transferindo uma certa quantidade de energia para eles. A partir desses pontos, a perturbação passa para os adjacentes a eles, e assim sucessivamente, espalhando-se de ponto a ponto, ou seja, criando uma onda.

As forças elásticas que atuam entre os elementos de qualquer corpo sólido, líquido ou gasoso levam ao aparecimento de ondas elásticas. Um exemplo de ondas elásticas é uma onda que se propaga ao longo de uma corda. Se, movendo a mão para cima e para baixo, as vibrações da extremidade da corda são excitadas, as seções vizinhas da corda, devido à ação das forças elásticas da conexão, também começarão a se mover, e uma onda se propagam ao longo do cordão. Uma propriedade comum das ondas é que elas podem se propagar por longas distâncias, e as partículas do meio oscilam apenas em uma região limitada do espaço. As partículas do meio em que a onda se propaga não são envolvidas pela onda em movimento de translação, elas apenas oscilam em torno de suas posições de equilíbrio. Dependendo da direção de oscilação das partículas do meio em relação à direção de propagação da onda, as ondas longitudinais e transversais são distinguidas. Em uma onda longitudinal, as partículas do meio oscilam ao longo da direção de propagação da onda; na transversal - perpendicular à direção de propagação da onda. Ondas transversais elásticas podem surgir apenas em um meio com resistência ao cisalhamento. Portanto, em meios líquidos e gasosos, apenas ondas longitudinais podem ocorrer. Em um meio sólido, tanto ondas longitudinais quanto transversais podem ocorrer.

Na fig. 8.1 mostra o movimento das partículas durante a propagação no meio de uma onda transversal e a localização das partículas na onda em quatro pontos fixos no tempo. Números 1, 2, etc. são indicadas partículas que estão separadas umas das outras pela distância percorrida pela onda em um quarto do período de oscilações realizado pelas partículas. No instante de tempo tomado como zero, a onda, propagando-se ao longo do eixo da esquerda para a direita, atingiu a partícula 1 , como resultado do qual a partícula começou a se mover para cima a partir da posição de equilíbrio, arrastando as próximas partículas com ela. Após um quarto do período, a partícula 1 atinge a posição mais alta; ao mesmo tempo, a partícula começa a se mover da posição de equilíbrio 2 . Após mais um quarto do período, a primeira partícula passará da posição de equilíbrio, movendo-se na direção de cima para baixo, a segunda partícula atingirá a posição superior extrema e a terceira partícula começará a se mover para cima a partir da posição de equilíbrio. No momento de tempo igual a , a primeira partícula completará a oscilação completa e estará no mesmo estado de movimento do momento inicial. A onda atingirá a partícula no momento 5 .

Na fig. 8.2 mostra o movimento das partículas durante a propagação em um meio de uma onda longitudinal. Todas as considerações sobre o comportamento das partículas em uma onda transversal também podem ser aplicadas a este caso com os deslocamentos para cima e para baixo substituídos por deslocamentos para a direita e para a esquerda. Da fig. 8.2 pode-se observar que durante a propagação de uma onda longitudinal no meio, são criadas concentrações alternadas e rarefação de partículas, movendo-se na direção de propagação da onda com velocidade de .

Corpos que atuam no meio, causando vibrações, são chamados de fontes de ondas. A propagação de ondas elásticas não está associada à transferência de matéria, mas as ondas transferem energia, que é fornecida pelo processo ondulatório da fonte de oscilações.

O lugar geométrico dos pontos para os quais as perturbações atingem um dado momento é chamado de frente de onda. Ou seja, a frente de onda é a superfície que separa uma parte do espaço já envolvido no processo ondulatório da área que as perturbações ainda não atingiram.

O lugar geométrico dos pontos que oscilam nas mesmas fases é chamado de superfície de onda. A superfície da onda pode ser desenhada através de qualquer ponto no espaço coberto pelo processo de onda. As superfícies das ondas podem ser de qualquer forma. Nos casos mais simples, eles têm a forma de um plano ou esfera. Assim, a onda nestes casos é chamada de plana ou esférica. Em uma onda plana, as superfícies da onda são um conjunto de planos paralelos entre si; em uma onda esférica, um conjunto de esferas concêntricas.

A distância sobre a qual uma onda se propaga em um tempo igual ao período de oscilação das partículas do meio é chamada de comprimento de onda. Obviamente, , onde é a velocidade de propagação da onda.

Na fig. 8.3, feito usando computação gráfica, mostra um modelo da propagação de uma onda transversal na água a partir de uma fonte pontual. Cada partícula realiza oscilações harmônicas em torno da posição de equilíbrio.

Arroz. 8.3. Propagação de uma onda transversal a partir de uma fonte pontual de vibrações

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Data de criação da página: 16/02/2016

Diagrama de vetor. Adição de vibrações.

A solução de uma série de problemas na teoria das oscilações é bastante facilitada e torna-se mais óbvia se as oscilações forem representadas graficamente usando o método diagramas vetoriais. Vamos escolher algum eixo X. De um ponto 0 no eixo traçamos o vetor comprimento , que primeiro forma um ângulo com o eixo (Fig. 2.14.1). Se colocarmos este vetor em rotação com uma velocidade angular , então a projeção da extremidade do vetor no eixo X mudará ao longo do tempo de acordo com a lei

.

Portanto, a projeção da extremidade do vetor sobre o eixo realizará uma oscilação harmônica com amplitude igual ao comprimento do vetor, com frequência circular igual à velocidade angular de rotação do vetor e com fase inicial igual ao ângulo que o vetor forma com o eixo no momento inicial do tempo. O ângulo formado pelo vetor com o eixo em um dado momento determina a fase da oscilação naquele momento - .

Do que foi dito, segue-se que uma oscilação harmônica pode ser representada usando um vetor, cujo comprimento é igual à amplitude da oscilação, e sua direção forma um ângulo com um certo eixo igual à fase da oscilação. Esta é a essência do método dos diagramas vetoriais.

Adição de oscilações de mesma direção.

Considere a adição de duas oscilações harmônicas, cujas direções são paralelas:

. (2.14.1)

Deslocamento resultante X será a soma de e . Será uma oscilação com amplitude.

Vamos usar o método dos diagramas vetoriais (Fig. 2.14.2). na figura e são as fases das oscilações resultantes e adicionadas, respectivamente. É fácil ver o que pode ser encontrado somando os vetores e . No entanto, se as frequências das oscilações adicionadas forem diferentes, a amplitude resultante muda em magnitude ao longo do tempo e o vetor gira a uma velocidade não constante, ou seja, a oscilação não será harmônica, mas representará algum processo oscilatório complexo. Para que a oscilação resultante seja harmônica, as frequências das oscilações adicionadas devem ser as mesmas

e a oscilação resultante ocorre na mesma frequência

.

Fica claro na construção que

Analisemos a expressão (2.14.2) para a amplitude da oscilação resultante. Se um a diferença de fase das oscilações adicionadas é igual a zero(as oscilações estão em fase), a amplitude é igual à soma das amplitudes das oscilações adicionadas, ou seja tem o valor máximo possível . Se um a diferença de fase é(as oscilações estão em antifase), então a amplitude resultante é igual à diferença de amplitude, ou seja tem o menor valor possível .

Adição de oscilações mutuamente perpendiculares.

Deixe a partícula realizar duas oscilações harmônicas com a mesma frequência: uma ao longo da direção, que denotamos X, o outro está na direção perpendicular y. Nesse caso, a partícula se moverá ao longo de alguma, no caso geral, de uma trajetória curvilínea, cuja forma depende da diferença de fase das oscilações.

Escolhemos a origem da referência de tempo para que a fase inicial de uma oscilação seja igual a zero:

. (2.14.3)

Para obter a equação da trajetória da partícula, é necessário excluir de (2.14.3) t. Da primeira equação, a. meios, . Vamos reescrever a segunda equação

ou

.

Transferindo o primeiro termo do lado direito da equação para o lado esquerdo, elevando ao quadrado a equação resultante e realizando transformações, obtemos

. (2.14.4)

Esta equação é a equação de uma elipse cujos eixos são girados em relação aos eixos X e y para algum ângulo. Mas em alguns casos especiais são obtidos resultados mais simples.

1. A diferença de fase é zero. Então de (2.14.4) obtemos

ou . (2.14.5)

Esta é a equação de uma linha reta (Fig. 2.14.3). Assim, a partícula oscila ao longo dessa linha reta com frequência e amplitude iguais a .

Um diagrama vetorial é uma maneira de definir graficamente um movimento oscilatório como um vetor.

Um valor oscilante ξ (de qualquer natureza física) é plotado ao longo do eixo horizontal. O vetor plotado a partir do ponto 0 é igual em valor absoluto à amplitude de oscilação A e é direcionado em um ângulo α , igual à fase inicial da oscilação, ao eixo ξ. Se colocarmos este vetor em rotação com uma velocidade angular ω igual à freqüência cíclica de oscilações, então a projeção desse vetor no eixo ξ dá o valor da quantidade oscilante em um momento arbitrário no tempo.

Adição de oscilações de mesma frequência e mesma direção

Sejam duas oscilações: construímos diagramas vetoriais e adicionamos vetores:

Pela lei dos cossenos

Como então

É óbvio (veja o diagrama) que a fase inicial da oscilação resultante é determinada pela relação:

Adição de oscilações de frequências próximas

P est, duas oscilações com frequências quase idênticas são adicionadas, ou seja,

Da trigonometria:

Aplicando ao nosso caso, temos:

O gráfico da oscilação resultante é um gráfico de batimento, ou seja, oscilações quase harmônicas da freqüência ω, cuja amplitude muda lentamente com a freqüência Δω .

Amplitude devido à presença do sinal do módulo (a amplitude é sempre > 0), a frequência com que a amplitude muda não é igual a Δω / 2, mas duas vezes maior - Δω.

Adição de oscilações mutuamente perpendiculares

Deixe um pequeno corpo oscilar em molas mutuamente perpendiculares de mesma rigidez. Em que trajetória esse corpo se moverá?

Estas são as equações de trajetória em forma paramétrica. Para obter uma relação explícita entre as coordenadas xey, o parâmetro t deve ser excluído das equações.

Da primeira equação: ,

A partir do segundo

Após substituição

Vamos nos livrar da raiz:

é a equação de uma elipse

H
casos especiais:

27. Vibrações amortecidas. Vibrações forçadas. Ressonância.

Amortecimento de oscilações livres

Devido à resistência, as oscilações livres sempre desaparecem mais cedo ou mais tarde. Consideremos o processo de amortecimento de oscilações. Suponhamos que a força de resistência seja proporcional à velocidade do corpo. (o fator de proporcionalidade é indicado por 2mg por motivos de conveniência, que serão revelados posteriormente). Tenhamos em mente o caso em que seu amortecimento é pequeno durante o período de oscilação. Então podemos supor que o amortecimento terá pouco efeito na frequência, mas afetará a amplitude das oscilações. Então a equação das oscilações amortecidas pode ser representada como Aqui A(t) representa alguma função decrescente que precisa ser determinada. Vamos proceder da lei de conservação e transformação da energia. A mudança na energia das oscilações é igual ao trabalho médio da força de resistência ao longo do período, ou seja, Dividimos ambos os lados da equação por dt. À direita teremos dx/dt, ou seja. velocidade v, e à esquerda você obtém a derivada da energia em relação ao tempo. Portanto, levando em consideração Mas a energia cinética média igual a metade da energia total. Portanto, pode-se escrever que divida ambas as suas partes por E e multiplique por dt. Nós entendemos isso Integramos ambas as partes da equação resultante: Após a potenciação, obtemos A constante de integração C é encontrada a partir das condições iniciais. Seja em t = 0 E = E0, então E0 = C. Portanto, Mas E~A^2. Portanto, a amplitude das oscilações amortecidas também diminui de acordo com a lei exponencial:

E assim, devido à resistência, a amplitude das oscilações diminui e elas geralmente ficam como mostradas na Fig. 4.2. O coeficiente é chamado de coeficiente de atenuação. No entanto, não caracteriza bem a atenuação. Normalmente, o amortecimento das oscilações é caracterizado pelo decremento do amortecimento. Este último mostra quantas vezes a amplitude de oscilação diminui ao longo de um tempo igual ao período de oscilação. Ou seja, o fator de amortecimento é definido da seguinte forma: O logaritmo do decremento de amortecimento é chamado de decremento logarítmico, é obviamente igual a

Vibrações forçadas

Se o sistema oscilatório é submetido à ação de uma força periódica externa, surgem as chamadas oscilações forçadas, que têm um caráter não amortecido. As oscilações forçadas devem ser distinguidas das auto-oscilações. No caso de auto-oscilações no sistema, assume-se um mecanismo especial que, em tempo com suas próprias oscilações, "entrega" pequenas porções de energia de algum reservatório de energia ao sistema. Assim, as oscilações naturais são mantidas, que não decaem. No caso de auto-oscilações, o sistema, por assim dizer, empurra a si mesmo. Os relógios podem servir como exemplo de um sistema auto-oscilatório. O relógio está equipado com um mecanismo de catraca, com a ajuda do qual o pêndulo recebe pequenos choques (de uma mola comprimida) no tempo com suas próprias oscilações. No caso de oscilações forçadas, o sistema é empurrado por uma força externa. Abaixo nos deteremos neste caso, assumindo que a resistência no sistema é pequena e pode ser desprezada. Como modelo de oscilações forçadas, vamos nos referir ao mesmo corpo suspenso em uma mola, que é afetado por uma força periódica externa (por exemplo, uma força que tem natureza eletromagnética). Sem levar em conta a resistência, a equação de movimento de tal corpo na projeção no eixo x tem a forma: onde w* é a frequência cíclica, B é a amplitude da força externa. Sabe-se que existem flutuações. Portanto, vamos procurar uma solução particular da equação na forma de uma função senoidal Substituímos a função na equação, para a qual derivamos duas vezes em relação ao tempo . A substituição leva à relação

A equação se torna uma identidade se três condições forem atendidas: . Então e a equação das oscilações forçadas pode ser representada como Eles ocorrem com uma frequência coincidente com a frequência da força externa, e sua amplitude não é definida arbitrariamente, como no caso de vibrações livres, mas é definida por si mesma. Este valor estabelecido depende da razão entre a frequência de oscilação natural do sistema e a frequência da força externa de acordo com a fórmula

H e fig. 4.3 mostra um gráfico da dependência da amplitude das oscilações forçadas na frequência da força externa. Pode-se observar que a amplitude das oscilações aumenta significativamente à medida que a frequência da força externa se aproxima da frequência das oscilações naturais. O fenômeno de um aumento acentuado na amplitude das oscilações forçadas quando a frequência natural e a frequência da força externa coincidem é chamado ressonância.

Na ressonância, a amplitude de oscilação deve ser infinitamente grande. Na realidade, na ressonância, a amplitude das oscilações forçadas é sempre finita. Isso é explicado pelo fato de que na ressonância e perto dela, nossa suposição de uma resistência insignificantemente pequena torna-se incorreta. Mesmo que a resistência no sistema seja pequena, ela é significativa em ressonância. Sua presença torna a amplitude de oscilação em ressonância um valor finito. Assim, o gráfico real da dependência da amplitude de oscilação na frequência tem a forma mostrada na Fig. 4.4. Quanto maior a resistência no sistema, menor a amplitude máxima no ponto de ressonância.

Via de regra, a ressonância em sistemas mecânicos é um fenômeno indesejável, e sua eles tentam evitar: eles tentam projetar estruturas mecânicas sujeitas a oscilações e vibrações de tal forma que a frequência natural das oscilações esteja longe dos valores possíveis das frequências de influências externas. Mas em vários dispositivos a ressonância é usada como um fenômeno positivo. Por exemplo, a ressonância de oscilações eletromagnéticas é amplamente utilizada em comunicações de rádio, a ressonância de raios g - em dispositivos de precisão.

O estado do sistema termodinâmico. Processos

Estados termodinâmicos e processos termodinâmicos

Quando, além das leis da mecânica, é necessária a aplicação das leis da termodinâmica, o sistema é chamado de sistema termodinâmico. A necessidade de usar esse conceito surge se o número de elementos do sistema (por exemplo, o número de moléculas de gás) for muito grande e o movimento de seus elementos individuais for microscópico em comparação com o movimento do próprio sistema ou de seu macroscópico. componentes. Neste caso, a termodinâmica descreve os movimentos macroscópicos (mudanças nos estados macroscópicos) de um sistema termodinâmico.

Os parâmetros que descrevem tal movimento (mudanças) de um sistema termodinâmico são geralmente divididos em externos e internos. Esta divisão é muito condicional e depende da tarefa específica. Assim, por exemplo, um gás em um balão com casca elástica tem a pressão do ar circundante como parâmetro externo, e para um gás em um recipiente com casca rígida, o parâmetro externo é o volume limitado por essa casca. Em um sistema termodinâmico, volume e pressão podem variar independentemente um do outro. Para uma descrição teórica de sua mudança, é necessário introduzir pelo menos mais um parâmetro - temperatura.

Na maioria dos problemas termodinâmicos, três parâmetros são suficientes para descrever o estado de um sistema termodinâmico. Neste caso, as mudanças no sistema são descritas usando três coordenadas termodinâmicas associadas aos parâmetros termodinâmicos correspondentes.

Estado de equilibrio- um estado de equilíbrio termodinâmico - esse estado de um sistema termodinâmico é chamado, no qual não há fluxos (energia, matéria, momento, etc.), e os parâmetros macroscópicos do sistema são constantes e não mudam no tempo.

A termodinâmica clássica afirma que um sistema termodinâmico isolado (deixado a si mesmo) tende a um estado de equilíbrio termodinâmico e, após alcançá-lo, não pode abandoná-lo espontaneamente. Esta afirmação é muitas vezes chamada lei zero da termodinâmica.

Sistemas em estado de equilíbrio termodinâmico têm as seguintes propriedades mi:

Se dois sistemas termodinâmicos que têm contato térmico estão em estado de equilíbrio termodinâmico, então o sistema termodinâmico total também está em estado de equilíbrio termodinâmico.

Se qualquer sistema termodinâmico está em equilíbrio termodinâmico com dois outros sistemas, então esses dois sistemas estão em equilíbrio termodinâmico um com o outro.

Consideremos sistemas termodinâmicos que estão em estado de equilíbrio termodinâmico. A descrição de sistemas que estão em estado de não equilíbrio, ou seja, em estado onde ocorrem fluxos macroscópicos, é tratada pela termodinâmica de não equilíbrio. A transição de um estado termodinâmico para outro é chamada de processo termodinâmico. Abaixo consideraremos apenas processos quase estáticos ou, o que é o mesmo, processos de quase equilíbrio. O caso limite de um processo de quase-equilíbrio é um processo de equilíbrio infinitamente lento que consiste em estados continuamente sucessivos de equilíbrio termodinâmico. Na realidade, tal processo não pode ocorrer, no entanto, se as mudanças macroscópicas no sistema ocorrerem muito lentamente (ao longo de intervalos de tempo que excedem significativamente o tempo para estabelecer o equilíbrio termodinâmico), torna-se possível aproximar o processo real como quase estático (quase-estático). equilíbrio). Tal aproximação torna possível realizar cálculos com precisão suficientemente alta para uma grande classe de problemas práticos. O processo de equilíbrio é reversível, ou seja, aquele em que um retorno aos valores dos parâmetros de estado ocorridos no momento anterior deve trazer o sistema termodinâmico ao estado anterior sem alterações nos corpos ao redor do sistema .

A aplicação prática de processos de quase-equilíbrio em quaisquer dispositivos técnicos é ineficaz. Assim, a utilização de um processo de quase-equilíbrio em uma máquina térmica, por exemplo, que ocorre a uma temperatura praticamente constante (veja a descrição do ciclo de Carnot no terceiro capítulo), leva inevitavelmente ao fato de que tal máquina funcionará muito lentamente (no limite - infinitamente lento) e tem um poder muito pequeno. Portanto, na prática, processos de quase-equilíbrio em dispositivos técnicos não são usados. No entanto, como as previsões da termodinâmica de equilíbrio para sistemas reais coincidem com uma precisão suficientemente alta com dados experimentais para tais sistemas, ela é amplamente utilizada para calcular processos termodinâmicos em vários dispositivos técnicos.

Se durante um processo termodinâmico o sistema retorna ao seu estado original, esse processo é chamado de circular ou cíclico. Os processos circulares, assim como quaisquer outros processos termodinâmicos, podem ser tanto em equilíbrio (e, portanto, reversíveis) quanto em não-equilíbrio (irreversíveis). Em um processo circular reversível, após o retorno do sistema termodinâmico ao seu estado original, não surgem perturbações termodinâmicas nos corpos que o cercam e seus estados permanecem em equilíbrio. Neste caso, os parâmetros externos do sistema, após a implementação do processo cíclico, retornam aos seus valores originais. Em um processo circular irreversível, após sua conclusão, os corpos circundantes passam para estados de não equilíbrio e os parâmetros externos do sistema termodinâmico mudam.