A partir do artigo acima, você pode descobrir qual é o limite e com o que é comido - isso é MUITO importante. Por quê? Você pode não entender o que são determinantes e resolvê-los com sucesso, você pode não entender nada do que é uma derivada e encontrá-los nos "cinco". Mas se você não entender o que é um limite, será difícil resolver tarefas práticas. Além disso, não será supérfluo se familiarizar com as amostras do design de decisões e minhas recomendações para o design. Todas as informações são apresentadas de forma simples e acessível.

E para os propósitos desta lição, precisamos dos seguintes materiais metodológicos: Limites notáveis e Fórmulas trigonométricas. Eles podem ser encontrados na página. É melhor imprimir os manuais - é muito mais conveniente, além disso, eles geralmente precisam ser acessados ​​offline.

O que é notável sobre limites maravilhosos? A notabilidade desses limites está no fato de que eles foram provados pelas maiores mentes de matemáticos famosos, e descendentes agradecidos não precisam sofrer de limites terríveis com uma pilha de funções trigonométricas, logaritmos e graus. Ou seja, ao encontrar os limites, usaremos resultados prontos que foram comprovados teoricamente.

Existem vários limites notáveis, mas na prática, os alunos de meio período em 95% dos casos têm dois limites notáveis: Primeiro limite maravilhoso, O segundo limite maravilhoso. Deve-se notar que esses são nomes estabelecidos historicamente, e quando, por exemplo, eles falam sobre o “primeiro limite maravilhoso”, eles querem dizer com isso uma coisa muito específica, e não algum limite aleatório tirado do teto.

Primeiro limite maravilhoso

Considere o seguinte limite: (ao invés da letra nativa “he” usarei a letra grega “alpha”, isso é mais conveniente em termos de apresentação do material).

De acordo com nossa regra para encontrar limites (veja o artigo Limites. Exemplos de soluções) tentamos substituir zero na função: no numerador obtemos zero (o seno de zero é zero), no denominador, obviamente, também zero. Assim, estamos diante de uma indeterminação da forma, que, felizmente, não precisa ser divulgada. No curso da análise matemática, é provado que:

Esse fato matemático é chamado Primeiro limite maravilhoso. Não darei uma prova analítica do limite, mas consideraremos seu significado geométrico na lição sobre funções infinitesimais.

Muitas vezes, em tarefas práticas, as funções podem ser organizadas de maneira diferente, isso não muda nada:

– o mesmo primeiro limite maravilhoso.

Mas você não pode reorganizar o numerador e o denominador! Se um limite é dado na forma , então ele deve ser resolvido da mesma forma, sem reorganizar nada.

Na prática, não apenas uma variável pode atuar como parâmetro, mas também uma função elementar, uma função complexa. Só é importante que ele tenda a zero.

Exemplos:
, , ,

Aqui , , , , e tudo está zumbindo - o primeiro limite maravilhoso é aplicável.

E aqui está a próxima entrada - heresia:

Por quê? Como o polinômio não tende a zero, tende a cinco.

A propósito, a questão é para preenchimento, mas qual é o limite ? A resposta pode ser encontrada no final da lição.

Na prática, nem tudo é tão tranquilo, quase nunca um aluno será oferecido para resolver um limite grátis e obter um crédito fácil. Hmmm... Estou escrevendo estas linhas, e um pensamento muito importante me veio à mente - afinal, parece ser melhor lembrar de cor as definições e fórmulas matemáticas “livres”, isso pode ser de uma ajuda inestimável na prova, quando a questão será decidida entre “dois” e “três”, e o professor decide fazer ao aluno alguma pergunta simples ou se oferecer para resolver o exemplo mais simples (“talvez ele (a) ainda saiba o quê?!”).

Vamos aos exemplos práticos:

Exemplo 1

Encontre o limite

Se notarmos um seno no limite, isso deve nos levar imediatamente a pensar na possibilidade de aplicar o primeiro limite notável.

Primeiro, tentamos substituir 0 na expressão sob o sinal de limite (fazemos isso mentalmente ou em um rascunho):

Então, temos uma indeterminação da forma , sua certifique-se de indicar ao tomar uma decisão. A expressão sob o sinal de limite parece o primeiro limite maravilhoso, mas não é bem isso, está sob o seno, mas no denominador.

Nesses casos, precisamos organizar o primeiro limite maravilhoso por conta própria, usando um dispositivo artificial. A linha de raciocínio pode ser a seguinte: “sob o seno temos, o que significa que também precisamos entrar no denominador”.
E isso é feito de forma muito simples:

Ou seja, o denominador é multiplicado artificialmente neste caso por 7 e dividido pelo mesmo sete. Agora, o registro assumiu uma forma familiar.
Quando a tarefa é elaborada à mão, é aconselhável marcar o primeiro limite maravilhoso com um simples lápis:

O que aconteceu? Na verdade, a expressão circulada se transformou em uma unidade e desapareceu no produto:

Agora resta apenas se livrar da fração de três andares:

Quem esqueceu a simplificação das frações de vários andares, atualize o material no livro de referência Fórmulas matemáticas da escola quente .

Preparar. Resposta final:

Se você não quiser usar marcas de lápis, a solução pode ser formatada assim:

“

Usamos o primeiro limite notável

“

Exemplo 2

Encontre o limite

Novamente vemos uma fração e um seno no limite. Tentamos substituir zero no numerador e denominador:

De fato, temos incerteza e, portanto, precisamos tentar organizar o primeiro limite notável. Na lição Limites. Exemplos de soluções consideramos a regra de que, quando temos incerteza, precisamos fatorar o numerador e o denominador em fatores. Aqui - a mesma coisa, apresentaremos os graus como um produto (multiplicadores):

Da mesma forma que no exemplo anterior, delineamos com um lápis os limites maravilhosos (aqui há dois deles) e indicamos que eles tendem a um:

Na verdade, a resposta está pronta:

Nos exemplos a seguir, não farei arte no Paint, penso em como elaborar corretamente uma solução em um notebook - você já entendeu.

Exemplo 3

Encontre o limite

Substituímos zero na expressão sob o sinal de limite:

Obteve-se uma incerteza que precisa ser divulgada. Se houver uma tangente no limite, quase sempre ela é convertida em seno e cosseno de acordo com a conhecida fórmula trigonométrica (a propósito, eles fazem o mesmo com a cotangente, veja o material metodológico Fórmulas trigonométricas quentes Na página Fórmulas matemáticas, tabelas e materiais de referência).

Nesse caso:

O cosseno de zero é igual a um, e é fácil se livrar dele (não esqueça de marcar que tende a um):

Assim, se no limite o cosseno é um MULTIPLICADOR, então, grosso modo, ele deve ser transformado em unidade, que desaparece no produto.

Aqui tudo ficou mais simples, sem multiplicações e divisões. O primeiro limite notável também se transforma em unidade e desaparece no produto:

Como resultado, o infinito é obtido, acontece.

Exemplo 4

Encontre o limite

Tentamos substituir zero no numerador e denominador:

Incerteza obtida (cosseno de zero, como lembramos, é igual a um)

Usamos a fórmula trigonométrica. Tome nota! Por alguma razão, os limites usando esta fórmula são muito comuns.

Retiramos os multiplicadores constantes além do ícone de limite:

Vamos organizar o primeiro limite notável:

Aqui temos apenas um limite maravilhoso, que se transforma em um e desaparece no produto:

Vamos nos livrar dos três andares:

O limite está realmente resolvido, indicamos que o seno restante tende a zero:

Exemplo 5

Encontre o limite

Este exemplo é mais complicado, tente descobrir você mesmo:

Alguns limites podem ser reduzidos ao 1º limite notável alterando a variável, você pode ler sobre isso um pouco mais adiante no artigo Métodos de resolução de limites.

O segundo limite maravilhoso

Na teoria da análise matemática está provado que:

Esse fato é chamado segundo limite notável.

Referência: é um número irracional.

Não apenas uma variável pode atuar como parâmetro, mas também uma função complexa. Só é importante que se esforce para o infinito.

Exemplo 6

Encontre o limite

Quando a expressão sob o sinal de limite está no poder - este é o primeiro sinal de que você precisa tentar aplicar o segundo limite maravilhoso.

Mas primeiro, como sempre, tentamos substituir um número infinitamente grande na expressão, de acordo com qual princípio isso é feito, foi analisado na lição Limites. Exemplos de soluções.

É fácil ver que quando a base do grau e o expoente - , ou seja, há uma incerteza da forma:

Essa incerteza só é revelada com a ajuda do segundo limite notável. Mas, como muitas vezes acontece, o segundo limite maravilhoso não está em uma bandeja de prata, e deve ser organizado artificialmente. Você pode raciocinar da seguinte forma: neste exemplo, o parâmetro significa que também precisamos organizar no indicador. Para fazer isso, elevamos a base a uma potência e, para que a expressão não mude, elevamos a uma potência:

Quando a tarefa é elaborada à mão, marcamos com um lápis:

Quase tudo está pronto, o terrível grau se transformou em uma linda carta:

Ao mesmo tempo, o próprio ícone de limite é movido para o indicador:

Exemplo 7

Encontre o limite

Atenção! Este tipo de limite é muito comum, por favor estude este exemplo com muito cuidado.

Tentamos substituir um número infinitamente grande na expressão sob o sinal de limite:

O resultado é uma incerteza. Mas o segundo limite notável se aplica à incerteza da forma. O que fazer? Você precisa converter a base do grau. Argumentamos assim: no denominador temos , o que significa que também precisamos organizar no numerador.

Prova:

Vamos primeiro provar o teorema para o caso da sequência

De acordo com a fórmula binomial de Newton:

Assumindo que obtemos

Segue-se desta igualdade (1) que à medida que n aumenta, o número de termos positivos no lado direito aumenta. Além disso, à medida que n aumenta, o número diminui, de modo que as quantidades aumentar. Portanto a sequência crescente, enquanto (2)* Vamos mostrar que é limitado. Substituímos cada parêntese do lado direito da igualdade por um, o lado direito aumenta, obtemos a desigualdade

Reforçamos a desigualdade resultante, substituímos 3,4,5, ..., nos denominadores das frações, pelo número 2: Encontramos a soma entre parênteses usando a fórmula para a soma dos membros de uma progressão geométrica: Portanto (3)*

Assim, a sequência é limitada a partir de cima, enquanto as desigualdades (2) e (3) valem: Portanto, com base no teorema de Weierstrass (um critério para a convergência de uma sequência), a sequência aumenta monotonicamente e é limitado, o que significa que tem um limite, denotado pela letra e. Aqueles.

Sabendo que o segundo limite notável é verdadeiro para valores naturais de x, provamos o segundo limite notável para x real, ou seja, provamos que . Considere dois casos:

1. Seja cada valor de x entre dois inteiros positivos: , onde é a parte inteira de x. => =>

Se , então Portanto, de acordo com o limite Nós temos

Com base (no limite de uma função intermediária) da existência de limites

2. Deixe . Vamos fazer uma substituição − x = t, então

Destes dois casos segue-se que para x reais.

Consequências:

9 .) Comparação de infinitesimais. O teorema da substituição dos infinitesimais por equivalentes no limite e o teorema da parte principal dos infinitesimais.

Sejam as funções a( x) e B( x) – b.m. no x ® x 0 .

DEFINIÇÕES.

1) a( x) chamado uma ordem infinitesimal superior a b (x) E se

Anote: a( x) = o(b( x)) .

2) a( x) e b( x)chamado infinitesimais de mesma ordem, E se

onde Cнℝ e C¹ 0 .

Anote: a( x) = O(b( x)) .

3) a( x) e b( x) chamado equivalente , E se

Anote: a( x) ~ b( x).

4) a( x) é chamada de ordem infinitesimal k em relação a
muito infinitesimal b( x), se infinitesimal uma( x)e(b( x)) k têm a mesma ordem, ou seja, E se

onde Cнℝ e C¹ 0 .

TEOREMA 6 (sobre a substituição de infinitesimais por equivalentes).

Deixe ser uma( x), b( x), um 1 ( x), b 1 ( x)– b.m. em x ® x 0 . Se um uma( x) ~ um 1 ( x), b( x) ~ b 1 ( x),

então

Prova: Seja a( x) ~ um 1 ( x), b( x) ~ b 1 ( x), então

TEOREMA 7 (sobre a parte principal do infinitamente pequeno).

Deixe ser uma( x)e b( x)– b.m. em x ® x 0 , e b( x)– b.m. ordem superior do que uma( x).

= , a desde b( x) – ordem superior a a( x), então, ou seja, a partir de é claro que ( x) + b( x) ~ a( x)

10) Continuidade da função em um ponto (na linguagem dos limites épsilon-delta, geométrico) Continuidade unilateral. Continuidade em um intervalo, em um segmento. Propriedades de funções contínuas.

1. Definições básicas

Deixe ser f(x) é definido em alguma vizinhança do ponto x 0 .

DEFINIÇÃO 1. função f(x) chamado contínua em um ponto x 0 se a igualdade for verdadeira

Observações.

1) Pelo Teorema 5 do §3, a igualdade (1) pode ser escrita como

Condição (2) - definição da continuidade de uma função em um ponto na linguagem de limites laterais.

2) A igualdade (1) também pode ser escrita como:

Eles dizem: "se uma função é contínua em um ponto x 0 , então o sinal do limite e a função podem ser trocados.

DEFINIÇÃO 2 (em linguagem e-d).

função f(x) chamado contínua em um ponto x 0 E se"e>0 $d>0 tal, que

se xОU( x 0 , d) (isto é, | x – x 0 | < d),

então f(x)ОU( f(x 0), e) (ou seja, | f(x) – f(x 0) | < e).

Deixe ser x, x 0 Î D(f) (x 0 - fixo, x- arbitrário)

Denota: D x= x-x 0 – incremento de argumento

D f(x 0) = f(x) – f(x 0) – incremento de função no ponto x 0

DEFINIÇÃO 3 (geométrica).

função f(x) no chamado contínua em um ponto x 0 se neste ponto um incremento infinitesimal do argumento corresponde a um incremento infinitesimal da função, ou seja

Deixe a função f(x) é definido no intervalo [ x 0 ; x 0 + d) (no intervalo ( x 0 - d; x 0 ]).

DEFINIÇÃO. função f(x) chamado contínua em um ponto x 0 na direita (deixou ), se a igualdade for verdadeira

É óbvio que f(x) é contínua no ponto x 0 Û f(x) é contínua no ponto x 0 direita e esquerda.

DEFINIÇÃO. função f(x) chamado contínuo por intervalo e ( uma; b) se é contínua em todos os pontos deste intervalo.

função f(x) é chamado de contínuo no segmento [uma; b] se é contínua no intervalo (uma; b) e tem continuidade unilateral nos pontos de fronteira(ou seja, contínua no ponto uma certo, ponto b- à esquerda).

11) Pontos de interrupção, sua classificação

DEFINIÇÃO. Se a função f(x) é definido em alguma vizinhança do ponto x 0 , mas não é contínua nesse ponto, então f(x) é chamado descontínuo no ponto x 0 , mas o ponto x 0 chamado de ponto de ruptura funções f(x) .

Observações.

1) f(x) pode ser definido em uma vizinhança incompleta do ponto x 0 .

Em seguida, considere a continuidade unilateral correspondente da função.

2) Da definição de z, o ponto x 0 é o ponto de interrupção da função f(x) em dois casos:

a) U( x 0 , d)н D(f) , mas pelo f(x) a igualdade não é satisfeita

b) U * ( x 0 , d)н D(f) .

Para funções elementares, apenas o caso b) é possível.

Deixe ser x 0 - ponto de interrupção da função f(x) .

DEFINIÇÃO. ponto x 0 chamado ponto de ruptura EU Gentil se a função f(x)tem limites finitos neste ponto à esquerda e à direita.

Se, além disso, esses limites são iguais, então o ponto x 0 chamado ponto de ruptura , por outro lado - ponto de salto .

DEFINIÇÃO. ponto x 0 chamado ponto de ruptura II Gentil se pelo menos um dos limites laterais da função f(x)neste ponto é igual a¥ ou não existe.

12) Propriedades de funções contínuas em um segmento (teoremas de Weierstrass (sem demonstração) e de Cauchy

Teorema de Weierstrass

Seja a função f(x) contínua no segmento , então

1)f(x) é limitado a

2) f (x) assume no intervalo seus menores e maiores valores

Definição: O valor da função m=f é chamado o menor se m≤f(x) para qualquer x € D(f).

O valor da função m=f é chamado de maior se m≥f(x) para qualquer x € D(f).

A função pode assumir o menor \ maior valor em vários pontos do segmento.

f(x 3)=f(x 4)=máximo

Teorema de Cauchy.

Seja a função f(x) contínua no segmento e x seja o número entre f(a) e f(b), então existe pelo menos um ponto x 0 € tal que f(x 0)= g

O primeiro limite notável é chamado a seguinte igualdade:

\begin(equation)\lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin\alpha)(\alpha)=1 \end(equation)

Como para $\alpha\to(0)$ temos $\sin\alpha\to(0)$, dizemos que o primeiro limite notável revela uma indeterminação da forma $\frac(0)(0)$. De um modo geral, na fórmula (1), em vez da variável $\alpha$, sob o sinal do seno e no denominador, qualquer expressão pode ser localizada, desde que sejam atendidas duas condições:

1. As expressões sob o sinal do seno e no denominador simultaneamente tendem a zero, ou seja, existe uma incerteza da forma $\frac(0)(0)$.
2. As expressões sob o sinal do seno e no denominador são as mesmas.

Corolários do primeiro limite notável também são frequentemente usados:

\begin(equação) \lim_(\alpha\to(0))\frac(\tg\alpha)(\alpha)=1 \end(equation) \begin(equation) \lim_(\alpha\to(0) )\frac(\arcsin\alpha)(\alpha)=1 \end(equation) \begin(equation) \lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=1 \end(equação)

Onze exemplos são resolvidos nesta página. O Exemplo No. 1 é dedicado à prova das fórmulas (2)-(4). Os exemplos #2, #3, #4 e #5 contêm soluções com comentários detalhados. Os exemplos 6-10 contêm soluções com pouco ou nenhum comentário, conforme explicações detalhadas foram dadas nos exemplos anteriores. Ao resolver, são usadas algumas fórmulas trigonométricas, que podem ser encontradas.

Observo que a presença de funções trigonométricas, juntamente com a incerteza de $\frac (0) (0)$, não significa que o primeiro limite notável deva ser aplicado. Às vezes, transformações trigonométricas simples são suficientes - por exemplo, veja.

Exemplo 1

Prove que $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\tg\alpha)(\alpha)=1$, $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arcsin\alpha ) (\alpha)=1$, $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=1$.

a) Como $\tg\alpha=\frac(\sin\alpha)(\cos\alpha)$, então:

$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\tg(\alpha))(\alpha)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin(\alpha))(\alpha\cos(\alpha)) $$

Como $\lim_(\alpha\to(0))\cos(0)=1$ e $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin\alpha)(\alpha)=1$ , então:

$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin(\alpha))(\alpha\cos(\alpha)) =\frac(\displaystyle\lim_(\alpha\to(0)) \frac(\sin(\alpha))(\alpha))(\displaystyle\lim_(\alpha\to(0))\cos(\alpha)) =\frac(1)(1) =1. $$

b) Vamos fazer a substituição $\alpha=\sin(y)$. Como $\sin(0)=0$, então da condição $\alpha\to(0)$ temos $y\to(0)$. Além disso, existe uma vizinhança de zero onde $\arcsin\alpha=\arcsin(\sin(y))=y$, então:

$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\arcsin\alpha)(\alpha)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(y\to(0))\frac(y)(\sin(y)) =\lim_(y\to(0))\frac(1)(\frac(\sin(y))( y)) =\frac(1)(\displaystyle\lim_(y\to(0))\frac(\sin(y))(y)) =\frac(1)(1) =1. $$

A igualdade $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arcsin\alpha)(\alpha)=1$ está provada.

c) Vamos fazer a substituição $\alpha=\tg(y)$. Como $\tg(0)=0$, as condições $\alpha\to(0)$ e $y\to(0)$ são equivalentes. Além disso, existe uma vizinhança de zero onde $\arctg\alpha=\arctg\tg(y))=y$, portanto, contando com os resultados do ponto a), teremos:

$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(y\to(0))\frac(y)(\tg(y)) =\lim_(y\to(0))\frac(1)(\frac(\tg(y))( y)) =\frac(1)(\displaystyle\lim_(y\to(0))\frac(\tg(y))(y)) =\frac(1)(1) =1. $$

A igualdade $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=1$ está provada.

As igualdades a), b), c) são frequentemente usadas junto com o primeiro limite notável.

Exemplo #2

Calcular limite $\lim_(x\to(2))\frac(\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\right))(\frac(x^2-4)( x+7))$.

Como $\lim_(x\to(2))\frac(x^2-4)(x+7)=\frac(2^2-4)(2+7)=0$ e $\lim_( x \to(2))\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\right)=\sin(0)=0$, ou seja e o numerador e o denominador da fração simultaneamente tendem a zero, então aqui estamos lidando com uma incerteza da forma $\frac(0)(0)$, ou seja, feito. Além disso, pode-se ver que as expressões sob o sinal do seno e no denominador são as mesmas (ou seja, e é satisfeita):

Assim, ambas as condições listadas no início da página são atendidas. Segue-se daí que a fórmula é aplicável, i.e. $\lim_(x\to(2)) \frac(\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\right))(\frac(x^2-4)(x+ 7 ))=1$.

Responda: $\lim_(x\to(2))\frac(\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\right))(\frac(x^2-4)(x +7))=1$.

Exemplo #3

Encontre $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(x)$.

Como $\lim_(x\to(0))\sin(9x)=0$ e $\lim_(x\to(0))x=0$, estamos lidando com uma incerteza da forma $\frac( 0 )(0)$, ou seja, feito. No entanto, as expressões sob o sinal do seno e no denominador não coincidem. Aqui é necessário ajustar a expressão no denominador para a forma desejada. Precisamos que a expressão $9x$ esteja no denominador - então ela se tornará verdadeira. Basicamente, estamos perdendo o fator $9$ no denominador, que não é tão difícil de inserir, basta multiplicar a expressão no denominador por $9$. Naturalmente, para compensar a multiplicação por $9$, você terá que dividir imediatamente por $9$ e dividir:

$$ \lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(x)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x\cdot\frac(1)(9)) =9\lim_(x\to(0))\frac(\sin (9x))(9x) $$

Agora as expressões no denominador e sob o sinal do seno são as mesmas. Ambas as condições para o limite $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x)$ são satisfeitas. Portanto, $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x)=1$. E isso significa que:

$$ 9\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x)=9\cdot(1)=9. $$

Responda: $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(x)=9$.

Exemplo #4

Encontre $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(\tg(8x))$.

Como $\lim_(x\to(0))\sin(5x)=0$ e $\lim_(x\to(0))\tg(8x)=0$, aqui estamos lidando com uma indeterminação do forma $\frac(0)(0)$. No entanto, a forma do primeiro limite notável é quebrada. Um numerador contendo $\sin(5x)$ requer $5x$ no denominador. Nessa situação, a maneira mais fácil é dividir o numerador por $5x$ e imediatamente multiplicar por $5x$. Além disso, faremos uma operação semelhante com o denominador, multiplicando e dividindo $\tg(8x)$ por $8x$:

$$\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(\tg(8x))=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x)\cdot(5x))(\frac(\tg(8x))(8x)\cdot(8x) )$$

Reduzindo por $x$ e tirando a constante $\frac(5)(8)$ do sinal de limite, temos:

$$ \lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x)\cdot(5x))(\frac(\tg(8x))(8x)\cdot(8x) )) =\frac(5)(8)\cdot\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x))(\frac(\tg(8x))( 8x)) $$

Observe que $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(5x)$ satisfaz totalmente os requisitos para o primeiro limite notável. Para encontrar $\lim_(x\to(0))\frac(\tg(8x))(8x)$ a seguinte fórmula é aplicável:

$$ \frac(5)(8)\cdot\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x))(\frac(\tg(8x))(8x )) =\frac(5)(8)\cdot\frac(\displaystyle\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(5x))(\displaystyle\lim_(x\to (0))\frac(\tg(8x))(8x)) =\frac(5)(8)\cdot\frac(1)(1) =\frac(5)(8). $$

Responda: $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(\tg(8x))=\frac(5)(8)$.

Exemplo #5

Encontre $\lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)-\cos^3(5x))(x^2)$.

Como $\lim_(x\to(0))(\cos(5x)-\cos^3(5x))=1-1=0$ (lembre-se que $\cos(0)=1$) e $\ lim_(x\to(0))x^2=0$, então estamos lidando com uma indeterminação da forma $\frac(0)(0)$. No entanto, para aplicar o primeiro limite maravilhoso, você deve se livrar do cosseno no numerador indo em senos (para depois aplicar a fórmula) ou tangentes (para depois aplicar a fórmula). Você pode fazer isso com a seguinte transformação:

$$\cos(5x)-\cos^3(5x)=\cos(5x)\cdot\left(1-\cos^2(5x)\right)$$ $$\cos(5x)-\cos ^3(5x)=\cos(5x)\cdot\left(1-\cos^2(5x)\right)=\cos(5x)\cdot\sin^2(5x).$$

Voltemos ao limite:

$$ \lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)-\cos^3(5x))(x^2)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)\cdot\sin^2(5x))(x^2) =\lim_(x\to(0))\left(\cos (5x)\cdot\frac(\sin^2(5x))(x^2)\right) $$

A fração $\frac(\sin^2(5x))(x^2)$ já está próxima da forma exigida para o primeiro limite notável. Vamos trabalhar um pouco com a fração $\frac(\sin^2(5x))(x^2)$, ajustando-a ao primeiro limite maravilhoso (observe que as expressões no numerador e abaixo do seno devem corresponder):

$$\frac(\sin^2(5x))(x^2)=\frac(\sin^2(5x))(25x^2\cdot\frac(1)(25))=25\cdot\ frac(\sin^2(5x))(25x^2)=25\cdot\left(\frac(\sin(5x))(5x)\right)^2$$

Voltemos ao limite considerado:

$$ \lim_(x\to(0))\left(\cos(5x)\cdot\frac(\sin^2(5x))(x^2)\right) =\lim_(x\to(0 ))\left(25\cos(5x)\cdot\left(\frac(\sin(5x))(5x)\right)^2\right)=\\ =25\cdot\lim_(x\to( 0))\cos(5x)\cdot\lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin(5x))(5x)\right)^2 =25\cdot(1)\cdot( 1^2) =25. $$

Responda: $\lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)-\cos^3(5x))(x^2)=25$.

Exemplo #6

Encontre o limite $\lim_(x\to(0))\frac(1-\cos(6x))(1-\cos(2x))$.

Como $\lim_(x\to(0))(1-\cos(6x))=0$ e $\lim_(x\to(0))(1-\cos(2x))=0$, então estamos lidando com a incerteza de $\frac(0)(0)$. Vamos abri-lo com a ajuda do primeiro limite notável. Para fazer isso, vamos passar de cossenos para senos. Como $1-\cos(2\alpha)=2\sin^2(\alpha)$, então:

$$1-\cos(6x)=2\sin^2(3x);\;1-\cos(2x)=2\sin^2(x).$$

Passando o limite dado para os senos, teremos:

$$ \lim_(x\to(0))\frac(1-\cos(6x))(1-\cos(2x))=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to(0))\frac(2\sin^2(3x))(2\sin^2(x)) =\lim_(x\to(0))\frac(\sin^ 2(3x))(\sin^2(x))=\\ =\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin^2(3x))((3x)^2)\ cdot(3x)^2)(\frac(\sin^2(x))(x^2)\cdot(x^2)) =\lim_(x\to(0))\frac(\left(\ frac(\sin(3x))(3x)\right)^2\cdot(9x^2))(\left(\frac(\sin(x))(x)\right)^2\cdot(x^ 2)) =9\cdot\frac(\displaystyle\lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin(3x))(3x)\right)^2)(\displaystyle\lim_(x \to(0))\left(\frac(\sin(x))(x)\right)^2) =9\cdot\frac(1^2)(1^2) =9. $$

Responda: $\lim_(x\to(0))\frac(1-\cos(6x))(1-\cos(2x))=9$.

Exemplo #7

Calcular limite $\lim_(x\to(0))\frac(\cos(\alpha(x))-\cos(\beta(x)))(x^2)$ dado $\alpha\neq\ beta $.

Explicações detalhadas foram dadas anteriormente, mas aqui nós simplesmente notamos que novamente há uma indeterminação de $\frac(0)(0)$. Vamos passar de cossenos para senos usando a fórmula

$$\cos\alpha-\cos\beta=-2\sin\frac(\alpha+\beta)(2)\cdot\sin\frac(\alpha-\beta)(2).$$

Usando a fórmula acima, obtemos:

$$ \lim_(x\to(0))\frac(\cos(\alpha(x))-\cos(\beta(x)))(x^2)=\left|\frac(0)( 0)\direito| =\lim_(x\to(0))\frac(-2\sin\frac(\alpha(x)+\beta(x))(2)\cdot\sin\frac(\alpha(x)-\ beta(x))(2))(x^2)=\\ =-2\cdot\lim_(x\to(0))\frac(\sin\left(x\cdot\frac(\alpha+\beta) )(2)\right)\cdot\sin\left(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)\right))(x^2) =-2\cdot\lim_(x\to( 0))\left(\frac(\sin\left(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\right))(x)\cdot\frac(\sin\left(x\cdot\frac (\alpha-\beta)(2)\right))(x)\right)=\\ =-2\cdot\lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin\left(x) \cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\right))(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2))\cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\cdot\frac (\sin\left(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)\right))(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2))\cdot\frac(\alpha- \beta)(2)\right)=\\ =-\frac((\alpha+\beta)\cdot(\alpha-\beta))(2)\lim_(x\to(0))\frac(\ sin\left(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\right))(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2))\cdot\lim_(x\to(0)) \frac(\sin\left(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)\right))(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)) =-\frac(\ alpha^2-\beta^2)(2)\cdot(1)\cdot(1) =\frac(\beta^2-\alpha^2)(2). $$

Responda: $\lim_(x\to(0))\frac(\cos(\alpha(x))-\cos(\beta(x)))(x^2)=\frac(\beta^2-\ alfa^2)(2)$.

Exemplo #8

Encontre o limite $\lim_(x\to(0))\frac(\tg(x)-\sin(x))(x^3)$.

Como $\lim_(x\to(0))(\tg(x)-\sin(x))=0$ (lembre-se que $\sin(0)=\tg(0)=0$) e $\ lim_(x\to(0))x^3=0$, então aqui estamos lidando com uma indeterminação da forma $\frac(0)(0)$. Vamos decompô-lo assim:

$$ \lim_(x\to(0))\frac(\tg(x)-\sin(x))(x^3)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(x))(\cos(x))-\sin(x))(x^3) =\lim_(x\to( 0))\frac(\sin(x)\cdot\left(\frac(1)(\cos(x))-1\right))(x^3) =\lim_(x\to(0)) \frac(\sin(x)\cdot\left(1-\cos(x)\right))(x^3\cdot\cos(x))=\\ =\lim_(x\to(0)) \frac(\sin(x)\cdot(2)\sin^2\frac(x)(2))(x^3\cdot\cos(x)) =\frac(1)(2)\cdot\ lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin(x))(x)\cdot\left(\frac(\sin\frac(x)(2))(\frac(x)( 2))\right)^2\cdot\frac(1)(\cos(x))\right) =\frac(1)(2)\cdot(1)\cdot(1^2)\cdot(1 ) =\frac(1)(2). $$

Responda: $\lim_(x\to(0))\frac(\tg(x)-\sin(x))(x^3)=\frac(1)(2)$.

Exemplo #9

Encontre o limite $\lim_(x\to(3))\frac(1-\cos(x-3))((x-3)\tg\frac(x-3)(2))$.

Como $\lim_(x\to(3))(1-\cos(x-3))=0$ e $\lim_(x\to(3))(x-3)\tg\frac(x - 3)(2)=0$, então existe uma indeterminação da forma $\frac(0)(0)$. Antes de prosseguir com sua expansão, é conveniente alterar a variável de tal forma que a nova variável tenda a zero (observe que a variável $\alpha \to 0$ nas fórmulas). A maneira mais fácil é introduzir a variável $t=x-3$. Porém, para conveniência de outras transformações (esse benefício pode ser visto no decorrer da solução abaixo), vale a pena fazer a seguinte substituição: $t=\frac(x-3)(2)$. Observo que ambas as substituições são aplicáveis ​​neste caso, apenas a segunda substituição permitirá que você trabalhe menos com frações. Como $x\to(3)$, então $t\to(0)$.

$$ \lim_(x\to(3))\frac(1-\cos(x-3))((x-3)\tg\frac(x-3)(2))=\left|\frac (0)(0)\direito| =\esquerda|\begin(alinhado)&t=\frac(x-3)(2);\\&t\to(0)\end(alinhado)\direita| =\lim_(t\to(0))\frac(1-\cos(2t))(2t\cdot\tg(t)) =\lim_(t\to(0))\frac(2\sin^ 2t)(2t\cdot\tg(t)) =\lim_(t\to(0))\frac(\sin^2t)(t\cdot\tg(t))=\\ =\lim_(t\ to(0))\frac(\sin^2t)(t\cdot\frac(\sin(t))(\cos(t))) =\lim_(t\to(0))\frac(\sin (t)\cos(t))(t) =\lim_(t\to(0))\left(\frac(\sin(t))(t)\cdot\cos(t)\right) =\ lim_(t\to(0))\frac(\sin(t))(t)\cdot\lim_(t\to(0))\cos(t) =1\cdot(1) =1. $$

Responda: $\lim_(x\to(3))\frac(1-\cos(x-3))((x-3)\tg\frac(x-3)(2))=1$.

Exemplo #10

Encontre o limite $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\left(\frac(\pi)(2)-x\right)^ 2)$.

Novamente estamos lidando com a incerteza de $\frac(0)(0)$. Antes de proceder à sua expansão, é conveniente fazer uma mudança de variável de forma que a nova variável tenda a zero (note que nas fórmulas a variável é $\alpha\to(0)$). A maneira mais fácil é introduzir a variável $t=\frac(\pi)(2)-x$. Como $x\to\frac(\pi)(2)$, então $t\to(0)$:

$$ \lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\left(\frac(\pi)(2)-x\right)^2) =\esquerda|\frac(0)(0)\direita| =\esquerda|\begin(alinhado)&t=\frac(\pi)(2)-x;\\&t\to(0)\end(alinhado)\direita| =\lim_(t\to(0))\frac(1-\sin\left(\frac(\pi)(2)-t\right))(t^2) =\lim_(t\to(0 ))\frac(1-\cos(t))(t^2)=\\ =\lim_(t\to(0))\frac(2\sin^2\frac(t)(2))( t^2) =2\lim_(t\to(0))\frac(\sin^2\frac(t)(2))(t^2) =2\lim_(t\to(0))\ frac(\sin^2\frac(t)(2))(\frac(t^2)(4)\cdot(4)) =\frac(1)(2)\cdot\lim_(t\to( 0))\left(\frac(\sin\frac(t)(2))(\frac(t)(2))\right)^2 =\frac(1)(2)\cdot(1^2) ) =\frac(1)(2). $$

Responda: $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\left(\frac(\pi)(2)-x\right)^2) =\frac(1)(2)$.

Exemplo #11

Encontrar limites $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\cos^2x)$, $\lim_(x\to\frac(2\) pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cos(x)+1)$.

Nesse caso, não precisamos usar o primeiro limite maravilhoso. Observe: tanto no primeiro quanto no segundo limites, existem apenas funções trigonométricas e números. Muitas vezes, em exemplos desse tipo, é possível simplificar a expressão localizada sob o sinal de limite. Neste caso, após a mencionada simplificação e redução de alguns fatores, a incerteza desaparece. Dei este exemplo com apenas um propósito: mostrar que a presença de funções trigonométricas sob o sinal de limite não significa necessariamente a aplicação do primeiro limite notável.

Como $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))(1-\sin(x))=0$ (lembre-se que $\sin\frac(\pi)(2)=1$ ) e $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\cos^2x=0$ (lembre-se que $\cos\frac(\pi)(2)=0$), então temos que lidar com incerteza da forma $\frac(0)(0)$. No entanto, isso não significa que precisamos usar o primeiro limite notável. Para revelar a incerteza, basta levar em conta que $\cos^2x=1-\sin^2x$:

$$ \lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\cos^2x) =\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(1-\sin^2x) =\lim_(x\to\frac(\pi)( 2))\frac(1-\sin(x))((1-\sin(x))(1+\sin(x))) =\lim_(x\to\frac(\pi)(2) )\frac(1)(1+\sin(x)) =\frac(1)(1+1) =\frac(1)(2). $$

Há uma solução semelhante no livro de soluções de Demidovich (nº 475). Quanto ao segundo limite, como nos exemplos anteriores desta seção, temos uma incerteza da forma $\frac(0)(0)$. Por que surge? Surge porque $\tg\frac(2\pi)(3)=-\sqrt(3)$ e $2\cos\frac(2\pi)(3)=-1$. Usamos esses valores para transformar expressões no numerador e denominador. O objetivo de nossas ações: escrever a soma no numerador e denominador como um produto. A propósito, muitas vezes é conveniente mudar uma variável dentro de uma forma semelhante para que a nova variável tenda a zero (veja, por exemplo, os exemplos nº 9 ou nº 10 nesta página). No entanto, neste exemplo, não faz sentido substituir a variável, embora seja fácil implementar a substituição da variável $t=x-\frac(2\pi)(3)$ se desejado.

$$ \lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cos(x)+1) =\lim_(x\ to\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cdot\left(\cos(x)+\frac(1)(2)\right )) =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)-\tg\frac(2\pi)(3))(2\cdot\left(\ cos(x)-\cos\frac(2\pi)(3)\right))=\\ =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\frac(\sin \left(x-\frac(2\pi)(3)\right))(\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3)))(-4\sin\frac(x+\frac (2\pi)(3))(2)\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)) =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3 ))\frac(\sin\left(x-\frac(2\pi)(3)\right))(-4\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))(2)\ sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3))=\\ =\lim_(x\to\frac (2\pi)(3))\frac(2\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)\cos\frac(x-\frac(2\pi)(3 ))(2))(-4\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))(2)\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2) \cos(x)\cos\frac(2\pi)(3)) =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\cos\frac(x-\frac(2) \pi)(3))(2))(-2\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))(2)\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3 ))=\\ =\frac(1)(-2\cdot\frac(\sqrt(3))(2)\cdot\left(-\frac(1)(2)\right)\cdot\left( -\frac(1)(2)\direita)) =-\frac(4 )(\sqrt(3)). $$

Como você pode ver, não tivemos que aplicar o primeiro limite maravilhoso. Claro, isso pode ser feito se desejado (veja a nota abaixo), mas não é necessário.

Qual seria a solução usando o primeiro limite notável? aparecer esconder

Usando o primeiro limite notável, temos:

$$ \lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\sin\left(x-\frac(2\pi)(3)\right))(-4\sin\frac (x+\frac(2\pi)(3))(2)\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)\cos(x)\cos\frac(2\pi )(3))=\\ =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\left(\frac(\sin\left(x-\frac(2\pi)(3)\ right))(x-\frac(2\pi)(3))\cdot\frac(1)(\frac(\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)) (\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)))\cdot\frac(1)(-2\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))( 2)\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3))\right) =1\cdot(1)\cdot\frac(1)(-2\cdot\frac(\sqrt(3) )(2)\cdot\left(-\frac(1)(2)\right)\cdot\left(-\frac(1)(2)\right)) =-\frac(4)(\sqrt( 3)). $$

Responda: $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\cos^2x)=\frac(1)(2)$, $\lim_( x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cos(x)+1)=-\frac(4)(\sqrt( 3))$.

O primeiro limite notável é frequentemente usado para calcular limites contendo seno, arco-seno, tangente, arco-tangente e as incertezas resultantes zero divididas por zero.

Fórmula

A fórmula para o primeiro limite notável é: $$ \lim_(\alpha\to 0) \frac(\sin\alpha)(\alpha) = 1 $$

Notamos que $ \alpha\to 0 $ rende $ \sin\alpha \to 0 $, portanto temos zeros no numerador e denominador. Assim, a fórmula para o primeiro limite notável é necessária para revelar as incertezas de $ \frac(0)(0) $.

Para que a fórmula se aplique, duas condições devem ser atendidas:

1. As expressões contidas no seno e no denominador de uma fração são as mesmas
2. Expressões no seno e denominador de uma fração tendem a zero

Atenção! $ \lim_(x\to 0) \frac(\sin(2x^2+1))(2x^2+1) \neq 1 $ Embora as expressões sob o seno e no denominador sejam as mesmas, porém $ 2x ^2+1 = 1 $, quando $ x\to 0 $. A segunda condição não é atendida, então a fórmula NÃO PODE ser aplicada!

Consequências

Muito raramente, nas tarefas você pode ver um primeiro limite limpo e maravilhoso no qual você pode escrever imediatamente a resposta. Na prática, tudo parece um pouco mais complicado, mas para esses casos será útil conhecer as consequências do primeiro limite notável. Graças a eles, você pode calcular rapidamente os limites desejados.

$$ \lim_(\alpha\to 0) \frac(\alpha)(\sin\alpha) = 1 $$

$$ \lim_(\alpha\to 0) \frac(\sin(a\alpha))(\sin(b\alpha)) = \frac(a)(b) $$

$$ \lim_(\alpha\to 0) \frac(tg\alpha)(\alpha) = 1 $$

$$ \lim_(\alpha\to 0) \frac(\arcsin\alpha)(\alpha) = 1 $$

$$ \lim_(\alpha\to 0) \frac(arctg\alpha)(\alpha) = 1 $$

Exemplos de soluções

Vamos considerar o primeiro limite notável, exemplos de qual solução para cálculo de limites contendo funções trigonométricas e incerteza $ \bigg[\frac(0)(0)\bigg] $

Exemplo 1

Calcular $ \lim_(x\to 0) \frac(\sin2x)(4x) $

Decisão

Considere o limite e observe que ele contém um seno. Em seguida, substituímos $ x = 0 $ no numerador e denominador e obtemos a incerteza de zero dividida por zero: $$ \lim_(x\to 0) \frac(\sin2x)(4x) = \frac(0)( 0) $$ Já dois sinais de que você precisa aplicar um limite maravilhoso, mas há uma pequena nuance: não poderemos aplicar a fórmula imediatamente, pois a expressão sob o sinal do seno difere da expressão no denominador. E precisamos que eles sejam iguais. Portanto, com a ajuda de transformações elementares do numerador, vamos transformá-lo em $2x$. Para fazer isso, tiraremos o deuce do denominador da fração por um fator separado. Fica assim: $$ \lim_(x\to 0) \frac(\sin2x)(4x) = \lim_(x\to 0) \frac(\sin2x)(2\cdot 2x) = $$ $$ = \frac(1)(2) \lim_(x\to 0) \frac(\sin2x)(2x) = \frac(1)(2)\cdot 1 = \frac(1)(2) $$ , que no final $ \lim_(x\to 0) \frac(\sin2x)(2x) = 1 $ foi obtido pela fórmula. Se você não conseguir resolver seu problema, envie-o para nós. Forneceremos uma solução detalhada. Você poderá se familiarizar com o andamento do cálculo e coletar informações. Isso ajudará você a obter um crédito do professor em tempo hábil!

Responda

$$ \lim_(x\to 0) \frac(\sin2x)(4x) =\frac(1)(2) $$

Exemplo 2

Encontre $ \lim_(x\to 0) \frac(\sin(x^3+2x))(2x-x^4) $

Decisão

Como sempre, primeiro você precisa saber o tipo de incerteza. Se for zero dividido por zero, prestamos atenção à presença de um seno: $$ \lim_(x\to 0) \frac(\sin(x^3+2x))(2x-x^4) = \frac(0) (0) = $$ Essa incerteza nos permite usar a fórmula do primeiro limite notável, mas a expressão do denominador não é igual ao argumento do seno? Portanto, é impossível aplicar a fórmula "na testa". Você precisa multiplicar e dividir a fração pelo argumento do seno: $$ = \lim_(x\to 0) \frac((x^3+2x)\sin(x^3+2x))((2x-x^) 4)(x ^3+2x)) = $$ Agora descrevemos as propriedades dos limites: $$ = \lim_(x\to 0) \frac((x^3+2x))(2x-x^4 )\cdot \lim_(x \to 0) \frac(\sin(x^3+2x))((x^3+2x)) = $$ O segundo limite apenas se encaixa na fórmula e é igual a um: $ $ = \lim_(x\to 0 ) \frac(x^3+2x)(2x-x^4)\cdot 1 = \lim_(x\to 0) \frac(x^3+2x)(2x- x^4) = $$ Substitua novamente $ x = 0 $ em uma fração e obtenha a incerteza $ \frac(0)(0) $. Para eliminá-lo, basta tirar $ x $ dos colchetes e reduzir por ele: $$ = \lim_(x\to 0) \frac(x(x^2+2))(x(2-x^) 3)) = \lim_(x\to 0) \frac(x^2+2)(2-x^3) = $$ $$ = \frac(0^2 + 2)(2 - 0^3) = \frac(2)(2) = 1 $$

Responda

$$ \lim_(x\to 0) \frac(\sin(x^3+2x))(2x-x^4) = 1 $$

Exemplo 4

Calcular $ \lim_(x\to0) \frac(\sin2x)(tg3x) $

Decisão

Vamos começar o cálculo substituindo $ x=0 $. Como resultado, obtemos a incerteza $ \frac(0)(0) $. O limite contém um seno e uma tangente, o que sugere um possível desenvolvimento da situação usando a fórmula do primeiro limite notável. Vamos transformar o numerador e o denominador da fração em uma fórmula e uma consequência: $$ \lim_(x\to0) \frac(\sin2x)(tg3x) = \frac(0)(0) = \lim_(x\to0) \frac(\frac(\sin2x)(2x)\cdot 2x )(\frac(tg3x)(3x)\cdot 3x) = $$ Agora vemos no numerador e denominador que existem expressões adequadas para a fórmula e consequências. O argumento seno e o argumento tangente são os mesmos para os respectivos denominadores $$ = \lim_(x\to0) \frac(1\cdot 2x)(1\cdot 3x) = \frac(2)(3) $$

Responda

$$ \lim_(x\to0) \frac(\sin2x)(tg2x) = \frac(2)(3) $$

No artigo: "O primeiro limite notável, exemplos de soluções" foi dito sobre os casos em que é aconselhável usar esta fórmula e suas consequências.

A fórmula para o segundo limite notável é lim x → ∞ 1 + 1 x x = e . Outra forma de escrita se parece com isso: lim x → 0 (1 + x) 1 x = e .

Quando falamos sobre o segundo limite notável, temos que lidar com uma incerteza da forma 1 ∞ , ou seja, unidade em grau infinito.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Considere os problemas em que precisamos da capacidade de calcular o segundo limite maravilhoso.

Exemplo 1

Encontre o limite lim x → ∞ 1 - 2 x 2 + 1 x 2 + 1 4 .

Decisão

Substitua a fórmula desejada e faça os cálculos.

lim x → ∞ 1 - 2 x 2 + 1 x 2 + 1 4 = 1 - 2 ∞ 2 + 1 ∞ 2 + 1 4 = 1 - 0 ∞ = 1 ∞

Em nossa resposta, obtivemos uma unidade elevada ao infinito. Para determinar o método de solução, usamos a tabela de incertezas. Escolhemos o segundo limite notável e fazemos uma mudança de variáveis.

t \u003d - x 2 + 1 2 ⇔ x 2 + 1 4 \u003d - t 2

Se x → ∞ então t → - ∞ .

Vamos ver o que temos após a substituição:

lim x → ∞ 1 - 2 x 2 + 1 x 2 + 1 4 = 1 ∞ = lim x → ∞ 1 + 1 t - 1 2 t = lim t → ∞ 1 + 1 t t - 1 2 = e - 1 2

Responda: lim x → ∞ 1 - 2 x 2 + 1 x 2 + 1 4 = e - 1 2 .

Exemplo 2

Calcule o limite lim x → ∞ x - 1 x + 1 x .

Decisão

Substitua o infinito e obtenha o seguinte.

lim x → ∞ x - 1 x + 1 x = lim x → ∞ 1 - 1 x 1 + 1 x x = 1 - 0 1 + 0 ∞ = 1 ∞

Na resposta, obtivemos novamente a mesma coisa do problema anterior, portanto, podemos novamente usar o segundo limite maravilhoso. Em seguida, precisamos selecionar a parte inteira na base da função potência:

x - 1 x + 1 = x + 1 - 2 x + 1 = x + 1 x + 1 - 2 x + 1 = 1 - 2 x + 1

Depois disso, o limite assume a seguinte forma:

lim x → ∞ x - 1 x + 1 x = 1 ∞ = lim x → ∞ 1 - 2 x + 1 x

Substituímos variáveis. Digamos que t = - x + 1 2 ⇒ 2 t = - x - 1 ⇒ x = - 2 t - 1 ; se x → ∞ , então t → ∞ .

Depois disso, anotamos o que obtivemos no limite original:

lim x → ∞ x - 1 x + 1 x = 1 ∞ = lim x → ∞ 1 - 2 x + 1 x = lim x → ∞ 1 + 1 t - 2 t - 1 = = lim x → ∞ 1 + 1 t - 2 t 1 + 1 t - 1 = lim x → ∞ 1 + 1 t - 2 t lim x → ∞ 1 + 1 t - 1 = = lim x → ∞ 1 + 1 t t - 2 1 + 1 ∞ = e - 2 (1 + 0) - 1 = e - 2

Para realizar essa transformação, usamos as propriedades básicas de limites e potências.

Responda: lim x → ∞ x - 1 x + 1 x = e - 2 .

Exemplo 3

Calcule o limite lim x → ∞ x 3 + 1 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 .

Decisão

lim x → ∞ x 3 + 1 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = lim x → ∞ 1 + 1 x 3 1 + 2 x - 1 x 3 3 2 x - 5 x 4 = = 1 + 0 1 + 0 - 0 3 0 - 0 = 1∞

Depois disso, precisamos realizar uma transformação de função para aplicar o segundo limite maravilhoso. Obtivemos o seguinte:

lim x → ∞ x 3 + 1 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = 1 ∞ = lim x → ∞ x 3 - 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = = lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5

lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = = lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5

Como agora temos os mesmos expoentes no numerador e denominador da fração (igual a seis), o limite da fração no infinito será igual à razão desses coeficientes em potências maiores.

lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = = limite x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 6 2 = limite x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 3

Substituindo t = x 2 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2, obtemos o segundo limite notável. Significa o que:

lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 3 = lim x → ∞ 1 + 1 t t - 3 = e - 3

Responda: lim x → ∞ x 3 + 1 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = e - 3 .

descobertas

Incerteza 1 ∞ , ou seja. unidade em um grau infinito, é uma incerteza de lei de potência, portanto, pode ser revelada usando as regras para encontrar os limites das funções de potência exponencial.

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