Expresii, conversie de expresii

Expresii de putere (expresii cu puteri) și transformarea lor

În acest articol, vom vorbi despre transformarea expresiilor cu puteri. În primul rând, ne vom concentra asupra transformărilor care sunt efectuate cu expresii de orice fel, inclusiv expresii de putere, cum ar fi parantezele de deschidere, reducând termeni similari. Și apoi vom analiza transformările inerente în mod specific expresiilor cu grade: lucrul cu baza și exponentul, utilizarea proprietăților gradelor etc.

Navigare în pagină.

Ce sunt expresiile de putere?

Termenul „expresii de putere” nu se găsește practic în manualele școlare de matematică, dar apare adesea în colecții de sarcini, special concepute pentru a pregăti examenul de stat unificat și OGE, de exemplu. După analizarea sarcinilor în care este necesară efectuarea oricăror acțiuni cu expresii de putere, devine clar că expresiile de putere sunt înțelese ca expresii care conțin grade în intrările lor. Prin urmare, pentru tine, poți lua următoarea definiție:

Definiție.

Expresii de putere sunt expresii care conțin puteri.

Să aducem exemple de expresii de putere. Mai mult, le vom prezenta în funcție de modul în care se dezvoltă vederile de la un grad cu un indicator natural la un grad cu un indicator real.

După cum știți, mai întâi există o cunoaștere a gradului unui număr cu exponent natural, în acest stadiu primele expresii de putere cele mai simple de tip 3 2 , 7 5 +1 , (2+1) 5 , (−0, 1) 4 , 3 a 2 −a+a 2 , x 3−1 , (a 2) 3 etc.

Puțin mai târziu, se studiază puterea unui număr cu exponent întreg, ceea ce duce la apariția expresiilor de putere cu puteri întregi negative, precum următoarele: 3 −2, , a −2 +2 b −3 + c 2 .

La clasele superioare se întorc din nou la grade. Acolo, se introduce un grad cu un exponent rațional, ceea ce duce la apariția expresiilor de putere corespunzătoare: , , etc. În sfârșit, se consideră grade cu exponenți iraționali și expresii care îi conțin: , .

Problema nu se limitează la expresiile de putere enumerate: mai departe variabila pătrunde în exponent și există, de exemplu, astfel de expresii 2 x 2 +1 sau . Și după ce ne-am familiarizat cu, încep să apară expresii cu puteri și logaritmi, de exemplu, x 2 lgx −5 x lgx.

Deci, ne-am dat seama de întrebarea ce sunt expresiile puterii. În continuare, vom învăța cum să le transformăm.

Principalele tipuri de transformări ale expresiilor puterii

Cu expresii de putere, puteți efectua oricare dintre transformările de bază ale identității expresiilor. De exemplu, puteți extinde paranteze, puteți înlocui expresiile numerice cu valorile lor, puteți adăuga termeni similari și așa mai departe. Desigur, în acest caz este necesar să urmați procedura acceptată pentru efectuarea acțiunilor. Să dăm exemple.

Exemplu.

Calculați valoarea expresiei puterii 2 3 ·(4 2 −12) .

Decizie.

După ordinea acțiunilor, mai întâi efectuăm acțiunile dintre paranteze. Acolo, în primul rând, înlocuim puterea lui 4 2 cu valoarea sa 16 (vezi dacă este necesar), iar în al doilea rând, calculăm diferența 16−12=4 . Noi avem 2 3 (4 2 −12)=2 3 (16−12)=2 3 4.

În expresia rezultată înlocuim puterea lui 2 3 cu valoarea ei 8 , după care calculăm produsul 8·4=32 . Aceasta este valoarea dorită.

Asa de, 2 3 (4 2 −12)=2 3 (16−12)=2 3 4=8 4=32.

Răspuns:

2 3 (4 2 −12)=32 .

Exemplu.

Simplificați expresiile puterii 3 a 4 b −7 −1+2 a 4 b −7.

Decizie.

Evident, această expresie conține termeni similari 3 · a 4 · b − 7 și 2 · a 4 · b − 7 , și îi putem reduce: .

Răspuns:

3 a 4 b −7 −1+2 a 4 b −7 =5 a 4 b −7 −1.

Exemplu.

Exprimați o expresie cu puteri ca produs.

Decizie.

Pentru a face față sarcinii, permite reprezentarea numărului 9 ca o putere a 3 2 și utilizarea ulterioară a formulei de înmulțire prescurtate, diferența de pătrate:

Răspuns:

Există, de asemenea, o serie de transformări identice inerente expresiilor puterii. În continuare, le vom analiza.

Lucrul cu baza și exponent

Există grade, în baza și/sau indicatorul cărora nu sunt doar numere sau variabile, ci câteva expresii. Ca exemplu, să scriem (2+0.3 7) 5−3.7 și (a (a+1)−a 2) 2 (x+1) .

Când lucrați cu astfel de expresii, este posibil să înlocuiți atât expresia din baza gradului, cât și expresia din indicator cu o expresie identică egală pe DPV a variabilelor sale. Cu alte cuvinte, conform regulilor cunoscute de noi, putem converti separat baza gradului și separat - indicatorul. Este clar că în urma acestei transformări se obține o expresie identic egală cu cea inițială.

Astfel de transformări ne permit să simplificăm expresiile cu puteri sau să atingem alte scopuri de care avem nevoie. De exemplu, în expresia puterii (2+0.3 7) 5−3.7 menționată mai sus, puteți efectua operații cu numere în bază și exponent, ceea ce vă va permite să mergeți la puterea lui 4,1 1,3. Și după ce deschidem parantezele și aducem termeni similari în baza gradului (a (a+1)−a 2) 2 (x+1) obținem o expresie de putere de o formă mai simplă a 2 (x+1) .

Utilizarea proprietăților puterii

Unul dintre instrumentele principale pentru transformarea expresiilor cu puteri sunt egalitățile care reflectă . Să le amintim pe cele principale. Pentru orice numere pozitive a și b și numere reale arbitrare r și s, sunt valabile următoarele proprietăți de putere:

• a r a s =a r+s ;
• a r:a s =a r−s ;
• (a b) r = a r b r ;
• (a:b) r =a r:b r ;
• (a r) s =a r s .

Rețineți că pentru exponenții naturali, întregi și pozitivi, restricțiile asupra numerelor a și b pot să nu fie atât de stricte. De exemplu, pentru numerele naturale m și n, egalitatea a m ·a n =a m+n este adevărată nu numai pentru a pozitiv, ci și pentru cele negative și pentru a=0 .

La școală, atenția principală în transformarea expresiilor puterii este concentrată tocmai pe capacitatea de a alege proprietatea potrivită și de a o aplica corect. În acest caz, bazele gradelor sunt de obicei pozitive, ceea ce vă permite să utilizați proprietățile gradelor fără restricții. Același lucru este valabil și pentru transformarea expresiilor care conțin variabile în bazele de grade - gama de valori acceptabile ale variabilelor este de obicei astfel încât bazele iau numai valori pozitive pe el, ceea ce vă permite să utilizați liber proprietățile de grade. În general, trebuie să puneți în mod constant întrebarea dacă este posibil în acest caz aplicați orice proprietate de grade, deoarece utilizarea incorectă a proprietăților poate duce la o îngustare a ODZ și alte probleme. Aceste puncte sunt discutate în detaliu și cu exemple în articolul transformarea expresiilor folosind proprietățile gradelor. Aici ne limităm la câteva exemple simple.

Exemplu.

Exprimați expresia a 2,5 ·(a 2) −3:a −5,5 ca o putere cu baza a .

Decizie.

Mai întâi, transformăm cel de-al doilea factor (a 2) −3 prin proprietatea de a ridica o putere la o putere: (a 2) −3 =a 2 (−3) =a −6. În acest caz, expresia puterii inițiale va lua forma a 2.5 ·a −6:a −5.5 . Evident, rămâne să folosim proprietățile înmulțirii și împărțirii puterilor cu aceeași bază, avem
a 2,5 a -6:a -5,5 =
a 2,5−6:a−5,5 =a−3,5:a−5,5 =
a −3,5−(−5,5) =a 2 .

Răspuns:

a 2,5 (a 2) -3:a -5,5 \u003d a 2.

Proprietățile puterii sunt utilizate atunci când se transformă expresiile de putere atât de la stânga la dreapta, cât și de la dreapta la stânga.

Exemplu.

Găsiți valoarea expresiei puterii.

Decizie.

Egalitatea (a·b) r =a r ·b r , aplicată de la dreapta la stânga, vă permite să treceți de la expresia originală la produsul formei și mai departe. Și atunci când înmulțiți puteri cu aceeași bază, indicatorii se adună: .

A fost posibil să se realizeze transformarea expresiei originale într-un alt mod:

Răspuns:

.

Exemplu.

Având în vedere o expresie de putere a 1.5 −a 0.5 −6 , introduceți o nouă variabilă t=a 0.5 .

Decizie.

Gradul a 1,5 poate fi reprezentat ca un 0,5 3 și în continuare pe baza proprietății gradului în gradul (a r) s =a r s aplicat de la dreapta la stânga, se transformă în forma (a 0,5) 3 . Prin urmare, a 1,5 -a 0,5 -6=(a 0,5) 3 -a 0,5 -6. Acum este ușor să introducem o nouă variabilă t=a 0.5 , obținem t 3 −t−6 .

Răspuns:

t 3 −t−6 .

Conversia fracțiilor care conțin puteri

Expresiile puterii pot conține fracții cu puteri sau pot reprezenta astfel de fracții. Oricare dintre transformările de bază ale fracțiilor care sunt inerente fracțiilor de orice fel sunt pe deplin aplicabile acestor fracții. Adică, fracțiile care conțin grade pot fi reduse, reduse la un nou numitor, se pot lucra separat cu numărătorul lor și separat cu numitorul etc. Pentru a ilustra cuvintele de mai sus, luați în considerare soluțiile mai multor exemple.

Exemplu.

Simplificați expresia puterii .

Decizie.

Această expresie a puterii este o fracție. Să lucrăm cu numărătorul și numitorul. La numărător, deschidem parantezele și simplificăm expresia obținută după aceea folosind proprietățile puterilor, iar la numitor prezentăm termeni similari:

Și schimbăm și semnul numitorului punând un minus în fața fracției: .

Răspuns:

.

Reducerea fracțiilor care conțin puteri la un nou numitor se realizează în mod similar cu reducerea fracțiilor raționale la un nou numitor. În același timp, se găsește și un factor suplimentar și se înmulțesc numărătorul și numitorul fracției cu acesta. La efectuarea acestei acțiuni, merită să ne amintim că reducerea la un nou numitor poate duce la o îngustare a DPV. Pentru a preveni acest lucru, este necesar ca factorul suplimentar să nu dispară pentru nicio valoare a variabilelor din variabilele ODZ pentru expresia originală.

Exemplu.

Aduceți fracțiile la un nou numitor: a) la numitorul a, b) la numitor.

Decizie.

a) În acest caz, este destul de ușor să ne dăm seama ce factor suplimentar ajută la obținerea rezultatului dorit. Acesta este un multiplicator a 0,3, deoarece a 0,7 a 0,3 = a 0,7+0,3 = a . Rețineți că în intervalul de valori acceptabile ale variabilei a (aceasta este mulțimea tuturor numerelor reale pozitive), gradul a 0,3 nu dispare, prin urmare, avem dreptul de a înmulți numărătorul și numitorul fracției date. prin acest factor suplimentar:

b) Privind mai atent la numitor, constatăm că

iar înmulțirea acestei expresii cu va da suma cuburilor și , adică . Și acesta este noul numitor la care trebuie să aducem fracția originală.

Așa că am găsit un factor suplimentar. Expresia nu dispare în intervalul de valori acceptabile ale variabilelor x și y, prin urmare, putem înmulți numărătorul și numitorul fracției cu acesta:

Răspuns:

A) , b) .

De asemenea, nu este nimic nou în reducerea fracțiilor care conțin grade: numărătorul și numitorul sunt reprezentați ca un anumit număr de factori, iar aceiași factori ai numărătorului și numitorului sunt reduse.

Exemplu.

Reduceți fracția: a) , b).

Decizie.

a) În primul rând, numărătorul și numitorul pot fi reduse cu numerele 30 și 45, care este egal cu 15. De asemenea, evident, puteți reduce cu x 0,5 +1 și cu . Iată ce avem:

b) În acest caz, aceiași factori din numărător și numitor nu sunt vizibili imediat. Pentru a le obține, trebuie să efectuați transformări preliminare. În acest caz, ele constau în descompunerea numitorului în factori conform formulei diferenței de pătrate:

Răspuns:

A)

b) .

Reducerea fracțiilor la un nou numitor și reducerea fracțiilor sunt utilizate în principal pentru a efectua operații pe fracții. Acțiunile sunt efectuate conform regulilor cunoscute. La adunarea (scăderea) fracțiilor, acestea sunt reduse la un numitor comun, după care se adună (se scad) numărătorii, iar numitorul rămâne același. Rezultatul este o fracție al cărei numărător este produsul numărătorilor, iar numitorul este produsul numitorilor. Împărțirea cu o fracție este înmulțirea cu reciproca ei.

Exemplu.

Urmareste pasii .

Decizie.

În primul rând, scădem fracțiile dintre paranteze. Pentru a face acest lucru, îi aducem la un numitor comun, care este , apoi scădeți numărătorii:

Acum înmulțim fracțiile:

Evident, este posibilă o reducere cu puterea x 1/2, după care avem .

De asemenea, puteți simplifica expresia puterii în numitor folosind formula diferenței de pătrate: .

Răspuns:

Exemplu.

Simplificați expresia puterii .

Decizie.

Evident, această fracție poate fi redusă cu (x 2,7 +1) 2, aceasta dă fracția . Este clar că trebuie făcut altceva cu puterile lui x. Pentru a face acest lucru, convertim fracția rezultată într-un produs. Acest lucru ne oferă posibilitatea de a folosi proprietatea de a împărți puterile cu aceleași baze: . Și la sfârșitul procesului, trecem de la ultimul produs la fracțiune.

Răspuns:

.

Și adăugăm că este posibil și în multe cazuri de dorit să se transfere factori cu exponenți negativi de la numărător la numitor sau de la numitor la numărător prin schimbarea semnului exponentului. Astfel de transformări simplifică adesea acțiunile ulterioare. De exemplu, o expresie de putere poate fi înlocuită cu .

Conversia expresiilor cu rădăcini și puteri

Adesea, în expresiile în care sunt necesare unele transformări, alături de grade cu exponenți fracționari, există și rădăcini. Pentru a converti o astfel de expresie în forma dorită, în cele mai multe cazuri este suficient să mergeți doar la rădăcini sau doar la puteri. Dar, deoarece este mai convenabil să lucrezi cu grade, de obicei se mută de la rădăcini la grade. Cu toate acestea, este recomandabil să efectuați o astfel de tranziție atunci când ODZ de variabile pentru expresia originală vă permite să înlocuiți rădăcinile cu grade fără a fi nevoie să accesați modulul sau să împărțiți ODZ-ul în mai multe intervale (am discutat acest lucru în detaliu în articol, trecerea de la rădăcini la puteri și invers După ce te familiarizezi cu gradul cu un exponent rațional, se introduce un grad cu un indicator irațional, ceea ce face posibil să se vorbească despre un grad cu un indicator real arbitrar. În această etapă, scoala incepe sa studieze functie exponentiala, care este dat analitic de grad, în baza căruia există un număr, iar în indicator - o variabilă. Așadar, ne confruntăm cu expresii exponențiale care conțin numere în baza gradului, iar în exponent - expresii cu variabile și, firește, apare nevoia de a efectua transformări ale unor astfel de expresii.

Trebuie spus că transformarea expresiilor de tipul indicat trebuie de obicei efectuată la rezolvare ecuații exponențialeși inegalități exponențiale, iar aceste transformări sunt destul de simple. În marea majoritate a cazurilor, acestea se bazează pe proprietățile gradului și vizează mai ales introducerea unei noi variabile în viitor. Ecuația ne va permite să le demonstrăm 5 2 x+1 −3 5 x 7 x −14 7 2 x−1 =0.

În primul rând, exponenții, în ai căror exponenți se găsește suma unei variabile (sau expresii cu variabile) și a unui număr, sunt înlocuiți cu produse. Acest lucru se aplică primului și ultimului termeni ai expresiei din partea stângă:
5 2 x 5 1 −3 5 x 7 x −14 7 2 x 7 −1 =0,
5 5 2 x −3 5 x 7 x −2 7 2 x =0.

În continuare, ambele părți ale egalității sunt împărțite la expresia 7 2 x , care ia doar valori pozitive pe ODZ ale variabilei x pentru ecuația originală (aceasta este o tehnică standard pentru rezolvarea ecuațiilor de acest fel, nu suntem vorbind despre asta acum, așa că concentrează-te pe transformările ulterioare ale expresiilor cu puteri ):

Acum fracțiile cu puteri sunt anulate, ceea ce dă .

În cele din urmă, raportul puterilor cu aceiași exponenți este înlocuit cu puteri ale rapoartelor, ceea ce duce la ecuația , care este echivalent cu . Transformările efectuate ne permit să introducem o nouă variabilă, care reduce soluția ecuației exponențiale inițiale la soluția ecuației pătratice.

I. V. Boikov, L. D. Romanova Culegere de sarcini pentru pregătirea pentru examen. Partea 1. Penza 2003.

Secţiunea 5 EXPRIMI ŞI ECUATII

În secțiune veți învăța:

ü o expresii și simplificări ale acestora;

ü care sunt proprietățile egalităților;

ü cum se rezolvă ecuații pe baza proprietăților egalităților;

ü ce tipuri de probleme se rezolvă cu ajutorul ecuațiilor; ce sunt liniile perpendiculare și cum să le construiți;

ü ce linii sunt numite paralele și cum să le construiți;

ü ce este un plan de coordonate;

ü cum se determină coordonatele unui punct pe un plan;

ü ce este un grafic de dependență între cantități și cum să-l construiți;

ü modul de aplicare a materialului învățat în practică

§ 30. EXPRESII ŞI SIMPLIFICAREA LOR

Știți deja ce sunt expresiile literale și știți să le simplificați folosind legile adunării și înmulțirii. De exemplu, 2a ∙ (-4 b) = -8 ab . În expresia rezultată, numărul -8 se numește coeficientul expresiei.

Face expresia CD coeficient? Asa de. Este egal cu 1 deoarece cd - 1 ∙ cd .

Amintiți-vă că transformarea unei expresii cu paranteze într-o expresie fără paranteze se numește extindere a parantezei. De exemplu: 5(2x + 4) = 10x + 20.

Acțiunea inversă din acest exemplu este de a scoate factorul comun dintre paranteze.

Termenii care conțin aceiași factori literali se numesc termeni similari. Prin scoaterea din paranteze a factorului comun, se ridică termeni similari:

5x + y + 4 - 2x + 6 y - 9 =

= (5x - 2x) + (y + 6y )+ (4 - 9) = = (5-2)* + (1 + 6)* y-5=

B x + 7y - 5.

Reguli de extindere a parantezei

1. Dacă în fața parantezelor există semnul „+”, atunci la deschiderea parantezelor se păstrează semnele termenilor din paranteze;

2. Dacă există un semn „-” în fața parantezelor, atunci când parantezele sunt deschise, semnele termenilor din paranteze sunt inversate.

Sarcina 1 . Simplificați expresia:

1) 4x+(-7x + 5);

2) 15 y -(-8 + 7 y ).

Soluții. 1. Există un semn „+” înainte de paranteze, prin urmare, la deschiderea parantezelor, semnele tuturor termenilor sunt păstrate:

4x + (-7x + 5) \u003d 4x - 7x + 5 \u003d -3x + 5.

2. Există un semn „-” în fața parantezelor, prin urmare, în timpul deschiderii parantezelor: semnele tuturor termenilor sunt inversate:

15 - (- 8 + 7y) \u003d 15y + 8 - 7y \u003d 8y +8.

Pentru a deschide paranteze, utilizați proprietatea distributivă a înmulțirii: a( b + c) = ab + ac. Dacă a > 0, atunci semnele termenilor b si cu nu se schimba. În cazul în care un< 0, то знаки слагаемых b iar de la sunt inversate.

Sarcina 2. Simplificați expresia:

1) 2(6y -8) + 7y;

2) -5 (2-5x) + 12.

Soluții. 1. Factorul 2 din fața parantezelor e este pozitiv, prin urmare, la deschiderea parantezelor, păstrăm semnele tuturor termenilor: 2(6 y - 8) + 7 y = 12 y - 16 + 7 y =19 y -16.

2. Factorul -5 în fața parantezelor e este negativ, prin urmare, la deschiderea parantezelor, schimbăm semnele tuturor termenilor cu cele opuse:

5(2 - 5x) + 12 = -10 + 25x +12 = 2 + 25x.

Află mai multe

1. Cuvântul „sumă” provine din latină summa , care înseamnă „total”, „total”.

2. Cuvântul „plus” provine din latină la care se adauga , care înseamnă „mai mult”, iar cuvântul „minus” – din latină minus, care înseamnă „mai puțin”. Semnele „+” și „-” sunt folosite pentru a indica operațiile de adunare și scădere. Aceste semne au fost introduse de omul de știință ceh J. Vidman în 1489 în cartea „Un cont rapid și plăcut pentru toți comercianții”(Fig. 138).

Orez. 138

ȚINE minte LUCRURILE PRINCIPALE

1. Ce termeni se numesc similari? Cum se construiesc asemenea termeni?

2. Cum deschideți parantezele precedate de semnul „+”?

3. Cum deschideți parantezele precedate de semnul „-”?

4. Cum deschideți parantezele precedate de un factor pozitiv?

5. Cum deschizi parantezele precedate de un factor negativ?

1374". Numiţi coeficientul expresiei:

1) 12 a; 3) -5,6 xy;

2)4 6; 4)-s.

1375". Numiţi termenii care diferă numai prin coeficient:

1) 10a + 76-26 + a; 3) 5n + 5m -4n + 4;

2) bc -4d - bc + 4d; 4) 5x + 4y-x + y.

Cum se numesc acești termeni?

1376". Există termeni similari în expresia:

1) 11a + 10a; 3)6n + 15n; 5) 25r - 10r + 15r;

2) 14s-12; 4)12 m + m; 6) 8k +10k - n?

1377". Este necesar să se schimbe semnele termenilor din paranteze, deschizând parantezele în expresia:

1)4 + (a + 3b); 2)-c +(5-d); 3) 16-(5m-8n)?

1378°. Simplificați expresia și subliniați coeficientul:

1379°. Simplificați expresia și subliniați coeficientul:

1380°. Reduceți termenii similari:

1) 4a - Po + 6a - 2a; 4) 10 - 4 d - 12 + 4d;

2) 4b - 5b + 4 + 5b; 5) 5a - 12b - 7a + 5b;

3)-7ang="EN-US">c+ 5-3 c + 2; 6) 14 n - 12 m -4 n -3 m.

1381°. Reduceți termenii similari:

1) 6a - 5a + 8a -7a; 3) 5s + 4-2s-3s;

2)9b +12-8-46; 4) -7n + 8m - 13n - 3m.

1382°. Scoateți factorul comun din paranteze:

1) 1,2 a +1,2 b; 3) -3 n - 1,8 m; 5) -5p + 2,5k -0,5t;

2) 0,5 s + 5d; 4) 1,2 n - 1,8 m; 6) -8p - 10k - 6t.

1383°. Scoateți factorul comun din paranteze:

1) 6a-12b; 3) -1,8 n -3,6 m;

2) -0,2 s + 1 4 d; A) 3p - 0,9k + 2,7t.

1384°. Deschideți parantezele și reduceți termenii similari;

1) 5 + (4a -4); 4) -(5 c - d) + (4 d + 5c);

2) 17x-(4x-5); 5) (n - m) - (-2 m - 3 n);

3) (76 - 4) - (46 + 2); 6) 7 (-5x + y) - (-2y + 4x) + (x - 3y).

1385°. Deschideți parantezele și reduceți termenii similari:

1) 10a + (4 - 4a); 3) (s - 5 d) - (- d + 5s);

2) -(46-10) + (4-56); 4) - (5 n + m) + (-4 n + 8 m) - (2 m -5 n).

1386°. Extindeți parantezele și găsiți sensul expresiei:

1)15+(-12+ 4,5); 3) (14,2-5)-(12,2-5);

2) 23-(5,3-4,7); 4) (-2,8 + 13)-(-5,6 + 2,8) + (2,8-13).

1387°. Extindeți parantezele și găsiți sensul expresiei:

1) (14- 15,8)- (5,8 + 4);

2)-(18+22,2)+ (-12+ 22,2)-(5- 12).

1388°. Deschide paranteza:

1) 0,5 ∙ (a + 4); 4) (n - m) ∙ (-2,4 p);

2)-s ∙ (2,7-1,2 d ); 5) 3 ∙ (-1,5 p + k - 0,2 t);

3) 1,6 ∙ (2n + m); 6) (4,2 p - 3,5 k -6 t) ∙ (-2a).

1389°. Deschide paranteza:

1) 2,2 ∙ (x-4); 3)(4 c - d )∙(-0,5 y );

2) -2 ∙ (1,2 n - m); 4) 6- (-p + 0,3 k - 1,2 t).

1390. Simplificați expresia:

1391. Simplificați expresia:

1392. Reduceți termeni similari:

1393. Reduceți termenii similari:

1394. Simplificați expresia:

1) 2,8 - (0,5 a + 4) - 2,5 ∙ (2a - 6);

2) -12 ∙ (8 - 2, prin) + 4,5 ∙ (-6 y - 3,2);

4) (-12,8 m + 24,8 n) ∙ (-0,5)-(3,5 m -4,05 m) ∙ 2.

1395. Simplificați expresia:

1396. Găsiți sensul expresiei;

1) 4-(0,2 a-3) - (5,8 a-16), dacă a \u003d -5;

2) 2-(7-56)+ 156-3∙(26+ 5), dacă = -0,8;

m = 0,25, n = 5,7.

1397. Aflați valoarea expresiei:

1) -4∙ (i-2) + 2∙(6x - 1), dacă x = -0,25;

1398*. Găsiți eroarea în soluție:

1) 5- (a-2,4) -7 ∙ (-a + 1,2) \u003d 5a - 12-7a + 8,4 \u003d -2a-3,6;

2) -4 ∙ (2,3 a - 6) + 4,2 ∙ (-6 - 3,5 a) \u003d -9,2 a + 46 + 4,26 - 14,7 a \u003d -5,5 a + 8,26.

1399*. Extindeți parantezele și simplificați expresia:

1) 2ab - 3(6(4a - 1) - 6(6 - 10a)) + 76;

1400*. Aranjați parantezele pentru a obține egalitatea corectă:

1) a-6-a + 6 \u003d 2a; 2) a -2 b -2 a + b \u003d 3 a -3 b.

1401*. Demonstrați că pentru orice numere a și b dacă a > b , atunci este valabilă următoarea egalitate:

1) (a + b) + (a-b) \u003d 2a; 2) (a + b) - (a - b) \u003d 2 b.

Această egalitate va fi corectă dacă: a) a< b; b) a = 6?

1402*. Demonstrați că pentru orice număr natural a, media aritmetică a numerelor precedente și următoare este egală cu a.

APLICĂ ÎN PRACTICĂ

1403. Pentru a pregăti un desert cu fructe pentru trei persoane ai nevoie de: 2 mere, 1 portocală, 2 banane și 1 kiwi. Cum să faci o expresie literală pentru a determina cantitatea de fructe necesară pentru a pregăti un desert pentru oaspeți? Ajută-l pe Marin să calculeze câte fructe trebuie să cumpere dacă vine în vizită: 1) 5 prieteni; 2) 8 prieteni.

1404. Faceți o expresie literală pentru a determina timpul necesar pentru a finaliza temele la matematică, dacă:

1) s-a cheltuit un minut pentru rezolvarea problemelor; 2) simplificarea expresiilor este de 2 ori mai mare decât pentru rezolvarea problemelor. Cât timp și-a făcut Vasilko temele dacă a petrecut 15 minute rezolvând probleme?

1405. Prânzul la cantina școlii se compune din salată, borș, sarmale și compot. Costul salatei este de 20%, borș - 30%, sarmale - 45%, compot - 5% din costul total al întregii mese. Scrieți o expresie pentru a afla costul prânzului la cantina școlii. Cât costă prânzul dacă prețul unei salate este de 2 UAH?

SARCINI DE REPETIȚIE

1406. Rezolvați ecuația:

1407. Tanya a cheltuit pe înghețatătoți banii disponibili, iar pentru dulciuri -restul. Câți bani are Tanya?

dacă dulciurile costă 12 UAH?

Printre diferitele expresii care sunt luate în considerare în algebră, sumele de monomii ocupă un loc important. Iată exemple de astfel de expresii:
\(5a^4 - 2a^3 + 0,3a^2 - 4,6a + 8 \)
\(xy^3 - 5x^2y + 9x^3 - 7y^2 + 6x + 5y - 2 \)

Suma monomiilor se numește polinom. Termenii dintr-un polinom sunt numiți membri ai polinomului. Mononoamele sunt denumite și polinoame, considerând un monom ca un polinom format dintr-un membru.

De exemplu, polinom
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0,25b \cdot (-12)b + 16 \)
poate fi simplificat.

Reprezentăm toți termenii ca monomii ale formei standard:
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0,25b \cdot (-12)b + 16 = \)
\(= 8b^5 - 14b^5 + 3b^2 -8b -3b^2 + 16 \)

Dăm termeni similari în polinomul rezultat:
\(8b^5 -14b^5 +3b^2 -8b -3b^2 + 16 = -6b^5 -8b + 16 \)
Rezultatul este un polinom, toți membrii căruia sunt monomii ale formei standard, iar printre ele nu există altele similare. Astfel de polinoame se numesc polinoame de formă standard.

In spate gradul polinom forma standard ia cea mai mare dintre puterile membrilor săi. Deci, binomul \(12a^2b - 7b \) are al treilea grad, iar trinomul \(2b^2 -7b + 6 \) are al doilea.

De obicei, membrii polinoamelor de formă standard care conțin o variabilă sunt aranjați în ordinea descrescătoare a exponenților acesteia. De exemplu:
\(5x - 18x^3 + 1 + x^5 = x^5 - 18x^3 + 5x + 1 \)

Suma mai multor polinoame poate fi convertită (simplificată) într-o formă standard de polinom.

Uneori, membrii unui polinom trebuie împărțiți în grupuri, încadrând fiecare grup între paranteze. Deoarece parantezele sunt opusul parantezelor, este ușor de formulat reguli de deschidere a parantezelor:

Dacă semnul + este plasat înaintea parantezelor, atunci termenii încadrați între paranteze se scriu cu aceleași semne.

Dacă un semn „-” este plasat în fața parantezelor, atunci termenii cuprinsi între paranteze sunt scrise cu semne opuse.

Transformarea (simplificarea) a produsului dintre un monom și un polinom

Folosind proprietatea distributivă a înmulțirii, se poate transforma (simplifica) produsul dintre un monom și un polinom într-un polinom. De exemplu:
\(9a^2b(7a^2 - 5ab - 4b^2) = \)
\(= 9a^2b \cdot 7a^2 + 9a^2b \cdot (-5ab) + 9a^2b \cdot (-4b^2) = \)
\(= 63a^4b - 45a^3b^2 - 36a^2b^3 \)

Produsul unui monom și al unui polinom este identic egal cu suma produselor acestui monom și a fiecăruia dintre termenii polinomului.

Acest rezultat este de obicei formulat ca o regulă.

Pentru a înmulți un monom cu un polinom, trebuie să înmulțim acest monom cu fiecare dintre termenii polinomului.

Am folosit în mod repetat această regulă pentru înmulțirea cu o sumă.

Produsul polinoamelor. Transformarea (simplificarea) produsului a două polinoame

În general, produsul a două polinoame este identic egal cu suma produsului fiecărui termen al unui polinom și al fiecărui termen al celuilalt.

Utilizați de obicei următoarea regulă.

Pentru a înmulți un polinom cu un polinom, trebuie să înmulțiți fiecare termen al unui polinom cu fiecare termen al celuilalt și să adăugați produsele rezultate.

Formule de înmulțire prescurtate. Sumă, diferență și pătrate diferențe

Unele expresii din transformările algebrice trebuie tratate mai des decât altele. Poate că cele mai comune expresii sunt \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) și \(a^2 - b^2 \), adică pătratul sumei, pătratul diferenței și pătratul diferenței. Ați observat că numele acestor expresii par a fi incomplete, deci, de exemplu, \((a + b)^2 \) este, desigur, nu doar pătratul sumei, ci pătratul sumei lui a și b. Cu toate acestea, pătratul sumei lui a și b nu este atât de comun, de regulă, în loc de literele a și b, conține expresii diverse, uneori destul de complexe.

Expresiile \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) sunt ușor de convertit (simplificat) în polinoame de forma standard, de fapt, ați întâlnit deja o astfel de sarcină atunci când înmulțiți polinoame :
\((a + b)^2 = (a + b)(a + b) = a^2 + ab + ba + b^2 = \)
\(= a^2 + 2ab + b^2 \)

Identitățile rezultate sunt utile de reținut și aplicate fără calcule intermediare. Formulări verbale scurte ajută acest lucru.

\((a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab \) - pătratul sumei este egal cu suma pătratelor și a produsului dublu.

\((a - b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab \) - pătratul diferenței este suma pătratelor fără a dubla produsul.

\(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \) - diferența de pătrate este egală cu produsul dintre diferență și suma.

Aceste trei identități permit transformărilor să înlocuiască părțile din stânga cu cele din dreapta și invers - părțile din dreapta cu cele din stânga. Cel mai dificil lucru în acest caz este să vedeți expresiile corespunzătoare și să înțelegeți ce variabilele a și b sunt înlocuite în ele. Să ne uităm la câteva exemple de utilizare a formulelor de înmulțire abreviate.

Unele exemple algebrice de un fel sunt capabile să-i sperie pe școlari. Expresiile lungi nu sunt doar intimidante, ci și foarte greu de calculat. Incercand sa intelegi imediat ce urmeaza si ce urmeaza, sa nu te confuzi pentru mult timp. Din acest motiv, matematicienii încearcă întotdeauna să simplifice sarcina „teribilă” cât mai mult posibil și abia apoi procedează la rezolvarea ei. Destul de ciudat, un astfel de truc accelerează foarte mult procesul.

Simplificarea este unul dintre punctele fundamentale în algebră. Dacă în sarcinile simple este încă posibil să faci fără ea, atunci exemplele mai dificil de calculat pot fi „prea dificile”. Aici sunt utile aceste abilități! Mai mult, nu sunt necesare cunoștințe matematice complexe: va fi suficient doar să vă amintiți și să învățați cum să puneți în practică câteva tehnici și formule de bază.

Indiferent de complexitatea calculelor, la rezolvarea oricărei expresii, este importantă urmati ordinea operatiilor cu numere:

1. paranteze;
2. exponentiare;
3. multiplicare;
4. Divizia;
5. plus;
6. scădere.

Ultimele două puncte pot fi schimbate în siguranță și acest lucru nu va afecta în niciun fel rezultatul. Dar adăugarea a două numere învecinate, când lângă unul dintre ele există un semn de înmulțire, este absolut imposibil! Răspunsul, dacă există, este greșit. Prin urmare, trebuie să vă amintiți secvența.

Folosirea unor astfel de

Astfel de elemente includ numere cu o variabilă de același ordin sau de același grad. Există și așa-numiții membri liberi care nu au lângă ei litera de desemnare a necunoscutului.

Concluzia este că în absența parantezelor Puteți simplifica expresia adunând sau scăzând like.

Câteva exemple ilustrative:

• 8x 2 și 3x 2 - ambele numere au aceeași variabilă de ordinul doi, deci sunt similare și atunci când sunt adăugate, se simplifică la (8+3)x 2 =11x 2, în timp ce la scădere, rezultă (8-3)x 2 =5x 2;
• 4x 3 și 6x - și aici „x” are un grad diferit;
• 2y 7 și 33x 7 - conțin variabile diferite, prin urmare, ca și în cazul precedent, nu aparțin unora similare.

Factorizarea unui număr

Acest mic truc matematic, dacă înveți cum să-l folosești corect, te va ajuta să faci față unei probleme dificile de mai multe ori în viitor. Și este ușor de înțeles cum funcționează „sistemul”: o descompunere este un produs al mai multor elemente, al căror calcul dă valoarea inițială. Astfel, 20 poate fi reprezentat ca 20x1, 2x10, 5x4, 2x5x2 sau într-un alt mod.

Pe o notă: multiplicatorii sunt întotdeauna la fel ca și divizorii. Deci, trebuie să căutați o „pereche” de lucru pentru extinderea printre numerele cu care originalul este divizibil fără rest.

Puteți efectua o astfel de operație atât cu membri liberi, cât și cu cifre atașate unei variabile. Principalul lucru este să nu-l pierzi pe acesta din urmă în timpul calculelor - chiar și după descompunere, necunoscutul nu poate lua și „nu merge nicăieri”. Rămâne la unul dintre factori:

• 15x=3(5x);
• 60y 2 \u003d (15y 2) 4.

Numerele prime care pot fi împărțite doar la ele însele sau 1 nu factor niciodată - nu are sens..

Metode de bază de simplificare

Primul lucru care atrage atenția:

• prezența parantezelor;
• fracții;
• rădăcini.

Exemplele algebrice din programa școlară sunt adesea compilate cu presupunerea că pot fi simplificate frumos.

Calcule pentru paranteze

Atenție mare la semnul din fața parantezelor!Înmulțirea sau împărțirea se aplică fiecărui element din interior, iar minus - schimbă semnele existente „+” sau „-” la opus.

Parantezele se calculează după reguli sau după formulele de înmulțire prescurtată, după care se dau altele asemănătoare.

Reducerea fracțiilor

Reduceți fracțiile este, de asemenea, ușor. Ei înșiși „fug de bună voie” din când în când, merită să faceți operațiuni cu aducerea unor astfel de membri. Dar puteți simplifica exemplul chiar înainte de aceasta: acordați atenție numărătorului și numitorului. Acestea conțin adesea elemente explicite sau ascunse care pot fi reduse reciproc. Adevărat, dacă în primul caz trebuie doar să ștergi superfluul, în al doilea va trebui să te gândești, aducând o parte din expresie la forma pentru simplificare. Metode folosite:

• căutarea și punerea în paranteze a celui mai mare divizor comun al numărătorului și numitorului;
• împărțind fiecare element superior la numitor.

Când o expresie sau o parte a acesteia se află sub rădăcină, problema primară de simplificare este aproape aceeași ca și în cazul fracțiilor. Este necesar să căutați modalități de a scăpa complet de el sau, dacă acest lucru nu este posibil, de a minimiza semnul care interferează cu calculele. De exemplu, la discret √(3) sau √(7).

O modalitate sigură de a simplifica expresia radicală este de a încerca să o factorizezi, dintre care unele sunt în afara semnului. Un exemplu ilustrativ: √(90)=√(9×10) =√(9)×√(10)=3√(10).

Alte mici trucuri și nuanțe:

• această operație de simplificare se poate efectua cu fracții, scoțându-l din semn atât ca întreg, cât și separat ca numărător sau numitor;
• este imposibil să descompuneți și să scoateți o parte din sumă sau diferență dincolo de rădăcină;
• atunci când lucrați cu variabile, asigurați-vă că țineți cont de gradul acestuia, acesta trebuie să fie egal sau un multiplu al rădăcinii pentru posibilitatea de a se reda: √(x 2 y)=x√(y), √(x 3)= √(x 2 ×x)=x√( x);
• uneori se permite scăparea de variabila radicală prin ridicarea ei la o putere fracţionată: √ (y 3)=y 3/2.

Simplificarea expresiei puterii

Dacă în cazul calculelor simple prin minus sau plus, exemplele sunt simplificate aducând altele asemănătoare, atunci ce se întâmplă la înmulțirea sau împărțirea variabilelor cu puteri diferite? Ele pot fi simplificate cu ușurință prin amintirea a două puncte principale:

1. Dacă există un semn de înmulțire între variabile, se adună exponenții.
2. Când sunt împărțite unul de celălalt, același numitor este scăzut din gradul numărătorului.

Singura condiție pentru o astfel de simplificare este ca ambii termeni să aibă aceeași bază. Exemple pentru claritate:

• 5x 2 × 4x 7 + (y 13 / y 11) \u003d (5 × 4)x 2+7 + y 13- 11 \u003d 20x 9 + y 2;
• 2z 3 +z×z 2 -(3×z 8 /z 5)=2z 3 +z 1+2 -(3×z 8-5)=2z 3 +z 3 -3z 3 =3z 3 -3z 3 = 0.

Remarcăm că operațiile cu valori numerice în fața variabilelor au loc conform regulilor matematice uzuale. Și dacă te uiți cu atenție, devine clar că elementele de putere ale expresiei „funcționează” într-un mod similar:

• ridicarea unui membru la o putere înseamnă înmulțirea lui de un anumit număr de ori, adică x 2 \u003d x × x;
• împărțirea este similară: dacă extindeți gradul numărătorului și numitorului, atunci unele dintre variabile vor fi reduse, în timp ce restul sunt „adunate”, ceea ce este echivalent cu scăderea.

Ca în orice afacere, atunci când simplificați expresii algebrice, este necesară nu numai cunoașterea elementelor de bază, ci și practica. După doar câteva lecții, exemplele care odată păreau complicate se vor reduce fără mare dificultate, transformându-se în unele scurte și ușor de rezolvat.

Video

Acest videoclip vă va ajuta să înțelegeți și să vă amintiți cum sunt simplificate expresiile.

Nu ai primit răspuns la întrebarea ta? Propuneți autorilor un subiect.

Să luăm în considerare subiectul transformării expresiilor cu puteri, dar mai întâi ne vom opri asupra unui număr de transformări care pot fi efectuate cu orice expresii, inclusiv cu cele de putere. Vom învăța cum să deschidem paranteze, să dăm termeni similari, să lucrăm cu baza și cu exponentul, să folosim proprietățile gradelor.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Ce sunt expresiile de putere?

În cursul școlar, puțini oameni folosesc sintagma „expresii de putere”, dar acest termen se găsește constant în colecțiile de pregătire pentru examen. În cele mai multe cazuri, expresia denotă expresii care conțin grade în intrările lor. Aceasta este ceea ce vom reflecta în definiția noastră.

Definiția 1

Exprimarea puterii este o expresie care conține puteri.

Dăm câteva exemple de expresii de putere, începând cu un grad cu exponent natural și terminând cu un grad cu exponent real.

Cele mai simple expresii de putere pot fi considerate puteri ale unui număr cu exponent natural: 3 2 , 7 5 + 1 , (2 + 1) 5 , (− 0 , 1) 4 , 2 2 3 3 , 3 a 2 − a + a 2 , x 3 − 1 , (a 2) 3 . La fel ca și puteri cu exponent zero: 5 0 , (a + 1) 0 , 3 + 5 2 − 3 , 2 0 . Și puteri cu puteri întregi negative: (0 , 5) 2 + (0 , 5) - 2 2 .

Este puțin mai dificil să lucrezi cu un grad care are exponenți raționali și iraționali: 264 1 4 - 3 3 3 1 2 , 2 3 , 5 2 - 2 2 - 1 , 5 , 1 a 1 4 a 1 2 - 2 a - 1 6 · b 1 2 , x π · x 1 - π , 2 3 3 + 5 .

Indicatorul poate fi o variabilă 3 x - 54 - 7 3 x - 58 sau un logaritm x 2 l g x − 5 x l g x.

Ne-am ocupat de întrebarea ce sunt expresiile puterii. Acum să aruncăm o privire asupra transformării lor.

Principalele tipuri de transformări ale expresiilor puterii

În primul rând, vom lua în considerare transformările identitare de bază ale expresiilor care pot fi efectuate cu expresii de putere.

Exemplul 1

Calculați valoarea expresiei puterii 2 3 (4 2 − 12).

Decizie

Vom efectua toate transformările în conformitate cu ordinea acțiunilor. În acest caz, vom începe prin a efectua acțiunile dintre paranteze: vom înlocui gradul cu o valoare digitală și vom calcula diferența dintre cele două numere. Noi avem 2 3 (4 2 − 12) = 2 3 (16 − 12) = 2 3 4.

Rămâne să înlocuim gradul 2 3 intelesul sau 8 și calculați produsul 8 4 = 32. Iată răspunsul nostru.

Răspuns: 2 3 (4 2 − 12) = 32 .

Exemplul 2

Simplificați expresia cu puteri 3 a 4 b − 7 − 1 + 2 a 4 b − 7.

Decizie

Expresia dată nouă în starea problemei conține termeni similari, pe care îi putem aduce: 3 a 4 b − 7 − 1 + 2 a 4 b − 7 = 5 a 4 b − 7 − 1.

Răspuns: 3 a 4 b − 7 − 1 + 2 a 4 b − 7 = 5 a 4 b − 7 − 1 .

Exemplul 3

Exprimați o expresie cu puteri de 9 - b 3 · π - 1 2 ca produs.

Decizie

Să reprezentăm numărul 9 ca putere 3 2 și aplicați formula de înmulțire prescurtată:

9 - b 3 π - 1 2 = 3 2 - b 3 π - 1 2 = = 3 - b 3 π - 1 3 + b 3 π - 1

Răspuns: 9 - b 3 π - 1 2 = 3 - b 3 π - 1 3 + b 3 π - 1 .

Și acum să trecem la analiza transformărilor identice care pot fi aplicate în mod specific expresiilor de putere.

Lucrul cu baza și exponent

Gradul în bază sau exponent poate avea numere, variabile și unele expresii. De exemplu, (2 + 0 , 3 7) 5 − 3 , 7și . Este dificil să lucrezi cu astfel de înregistrări. Este mult mai ușor să înlocuiți expresia din baza gradului sau expresia din exponent cu o expresie identică egală.

Transformările gradului și ale indicatorului se realizează după regulile cunoscute de noi separat unul de celălalt. Cel mai important este că în urma transformărilor se obține o expresie identică cu cea inițială.

Scopul transformărilor este de a simplifica expresia originală sau de a obține o soluție a problemei. De exemplu, în exemplul pe care l-am dat mai sus, (2 + 0 , 3 7) 5 − 3 , 7 puteți efectua operații pentru a ajunge la grad 4 , 1 1 , 3 . Deschizând parantezele, putem aduce termeni asemănători în baza gradului (a (a + 1) − a 2) 2 (x + 1)și obțineți o expresie a puterii într-o formă mai simplă a 2 (x + 1).

Utilizarea proprietăților puterii

Proprietățile grade, scrise ca egalități, sunt unul dintre principalele instrumente de transformare a expresiilor cu grade. Vă prezentăm aici pe cele principale, având în vedere că Ași b sunt numere pozitive și rși s- numere reale arbitrare:

Definiția 2

• a r a s = a r + s ;
• a r: a s = a r − s ;
• (a b) r = a r b r ;
• (a: b) r = a r: b r ;
• (a r) s = a r s .

În cazurile în care avem de-a face cu exponenți naturali, întregi, pozitivi, restricțiile asupra numerelor a și b pot fi mult mai puțin stricte. Deci, de exemplu, dacă luăm în considerare egalitatea a m a n = a m + n, Unde mși n sunt numere naturale, atunci va fi valabil pentru orice valori ale lui a, atât pozitive, cât și negative, precum și pentru a = 0.

Puteți aplica proprietățile gradelor fără restricții în cazurile în care bazele gradelor sunt pozitive sau conțin variabile al căror interval de valori acceptabile este astfel încât bazele să ia numai valori pozitive pe el. De fapt, în cadrul programului școlar de matematică, sarcina elevului este să aleagă proprietatea potrivită și să o aplice corect.

Atunci când vă pregătiți pentru admiterea la universități, pot exista sarcini în care aplicarea incorectă a proprietăților va duce la o îngustare a ODZ și la alte dificultăți cu soluția. În această secțiune, vom lua în considerare doar două astfel de cazuri. Mai multe informații despre subiect puteți găsi în subiectul „Transformarea expresiilor folosind proprietățile exponentului”.

Exemplul 4

Reprezentați expresia a 2 , 5 (a 2) - 3: a - 5 , 5 ca grad cu o bază A.

Decizie

Pentru început, folosim proprietatea de exponențiere și transformăm al doilea factor folosindu-l (a 2) − 3. Apoi folosim proprietățile înmulțirii și împărțirii puterilor cu aceeași bază:

a 2 , 5 a − 6: a − 5 , 5 = a 2 , 5 − 6: a − 5 , 5 = a − 3 , 5: a − 5 , 5 = a − 3 , 5 − (− 5 , 5 ) = a 2 .

Răspuns: a 2 , 5 (a 2) − 3: a − 5 , 5 = a 2 .

Transformarea expresiilor puterii în funcție de proprietatea gradelor se poate face atât de la stânga la dreapta, cât și în sens invers.

Exemplul 5

Aflați valoarea expresiei puterii 3 1 3 · 7 1 3 · 21 2 3 .

Decizie

Dacă aplicăm egalitatea (a b) r = a r b r, de la dreapta la stânga, atunci obținem un produs de forma 3 7 1 3 21 2 3 și apoi 21 1 3 21 2 3 . Să adăugăm exponenții atunci când înmulțim puteri cu aceleași baze: 21 1 3 21 2 3 \u003d 21 1 3 + 2 3 \u003d 21 1 \u003d 21.

Există o altă modalitate de a face transformări:

3 1 3 7 1 3 21 2 3 = 3 1 3 7 1 3 (3 7) 2 3 = 3 1 3 7 1 3 3 2 3 7 2 3 = = 3 1 3 3 2 3 7 1 3 7 2 3 = 3 1 3 + 2 3 7 1 3 + 2 3 = 3 1 7 1 = 21

Răspuns: 3 1 3 7 1 3 21 2 3 = 3 1 7 1 = 21

Exemplul 6

Dată o expresie de putere a 1 , 5 − a 0 , 5 − 6, introduceți o nouă variabilă t = a 0, 5.

Decizie

Imaginează-ți gradul a 1, 5 la fel de a 0, 5 3. Utilizarea proprietății grad într-un grad (a r) s = a r s de la dreapta la stânga și obțineți (a 0 , 5) 3: a 1 , 5 - a 0 , 5 - 6 = (a 0 , 5) 3 - a 0 , 5 - 6 . În expresia rezultată, puteți introduce cu ușurință o nouă variabilă t = a 0, 5: obține t 3 − t − 6.

Răspuns: t 3 − t − 6 .

Conversia fracțiilor care conțin puteri

De obicei avem de-a face cu două variante de expresii de putere cu fracții: expresia este o fracție cu un grad sau conține o astfel de fracție. Toate transformările de fracții de bază sunt aplicabile unor astfel de expresii fără restricții. Ele pot fi reduse, aduse la un nou numitor, pot lucra separat cu numărătorul și numitorul. Să ilustrăm acest lucru cu exemple.

Exemplul 7

Simplificați expresia puterii 3 5 2 3 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 x 2 - 3 - 3 x 2 .

Decizie

Avem de-a face cu o fracție, așa că vom efectua transformări atât la numărător, cât și la numitor:

3 5 2 3 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 x 2 - 3 - 3 x 2 = 3 5 2 3 5 1 3 - 3 5 2 3 5 - 2 3 - 2 - x 2 = = 3 5 2 3 + 1 3 - 3 5 2 3 + - 2 3 - 2 - x 2 = 3 5 1 - 3 5 0 - 2 - x 2

Pune un minus în fața fracției pentru a schimba semnul numitorului: 12 - 2 - x 2 = - 12 2 + x 2

Răspuns: 3 5 2 3 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 x 2 - 3 - 3 x 2 = - 12 2 + x 2

Fracțiile care conțin puteri sunt reduse la un nou numitor în același mod ca și fracțiile raționale. Pentru a face acest lucru, trebuie să găsiți un factor suplimentar și să înmulțiți numărătorul și numitorul fracției cu acesta. Este necesar să selectați un factor suplimentar, astfel încât să nu dispară pentru nicio valoare a variabilelor din variabilele ODZ pentru expresia originală.

Exemplul 8

Aduceți fracțiile la un nou numitor: a) a + 1 a 0, 7 la numitor A, b) 1 x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 la numitorul x + 8 y 1 2 .

Decizie

a) Alegem un factor care ne va permite să reducem la un nou numitor. a 0 , 7 a 0 , 3 = a 0 , 7 + 0 , 3 = a , prin urmare, ca factor suplimentar, luăm a 0, 3. Gama de valori admisibile ale variabilei a include setul tuturor numerelor reale pozitive. În acest domeniu, gradul a 0, 3 nu merge la zero.

Să înmulțim numărătorul și numitorul unei fracții cu a 0, 3:

a + 1 a 0, 7 = a + 1 a 0, 3 a 0, 7 a 0, 3 = a + 1 a 0, 3 a

b) Acordați atenție numitorului:

x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = = x 1 3 2 - x 1 3 2 y 1 6 + 2 y 1 6 2

Înmulțiți această expresie cu x 1 3 + 2 · y 1 6 , obținem suma cuburilor x 1 3 și 2 · y 1 6 , adică. x + 8 · y 1 2 . Acesta este noul nostru numitor, la care trebuie să aducem fracția originală.

Deci am găsit un factor suplimentar x 1 3 + 2 · y 1 6 . Pe intervalul de valori acceptabile ale variabilelor Xși y expresia x 1 3 + 2 y 1 6 nu dispare, așa că putem înmulți numărătorul și numitorul fracției cu ea:
1 x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = = x 1 3 + 2 y 1 6 x 1 3 + 2 y 1 6 x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = = x 1 3 + 2 y 1 6 x 1 3 3 + 2 y 1 6 3 = x 1 3 + 2 y 1 6 x + 8 y 1 2

Răspuns: a) a + 1 a 0, 7 = a + 1 a 0, 3 a, b) 1 x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = x 1 3 + 2 y 1 6 x + 8 y 1 2 .

Exemplul 9

Reduceți fracția: a) 30 x 3 (x 0, 5 + 1) x + 2 x 1 1 3 - 5 3 45 x 0, 5 + 1 2 x + 2 x 1 1 3 - 5 3, b) a 1 4 - b 1 4 a 1 2 - b 1 2.

Decizie

a) Folosiți cel mai mare numitor comun (MCG) cu care numărătorul și numitorul pot fi reduse. Pentru numerele 30 și 45, acesta este 15. De asemenea, putem reduce x 0, 5 + 1 iar pe x + 2 x 1 1 3 - 5 3 .

Primim:

30 x 3 (x 0 , 5 + 1) x + 2 x 1 1 3 - 5 3 45 x 0 , 5 + 1 2 x + 2 x 1 1 3 - 5 3 = 2 x 3 3 (x 0 , 5 + 1)

b) Aici prezenţa unor factori identici nu este evidentă. Va trebui să efectuați câteva transformări pentru a obține aceiași factori la numărător și numitor. Pentru a face acest lucru, extindem numitorul folosind formula diferenței de pătrate:

a 1 4 - b 1 4 a 1 2 - b 1 2 = a 1 4 - b 1 4 a 1 4 2 - b 1 2 2 = = a 1 4 - b 1 4 a 1 4 + b 1 4 a 1 4 - b 1 4 = 1 a 1 4 + b 1 4

Răspuns: a) 30 x 3 (x 0, 5 + 1) x + 2 x 1 1 3 - 5 3 45 x 0, 5 + 1 2 x + 2 x 1 1 3 - 5 3 = 2 · x 3 3 · (x 0 , 5 + 1) , b) a 1 4 - b 1 4 a 1 2 - b 1 2 = 1 a 1 4 + b 1 4 .

Principalele operațiuni cu fracții includ reducerea la un nou numitor și reducerea fracțiilor. Ambele acțiuni sunt efectuate în conformitate cu o serie de reguli. La adunarea și scăderea fracțiilor, fracțiile sunt mai întâi reduse la un numitor comun, după care se efectuează acțiuni (adunare sau scădere) cu numărători. Numitorul rămâne același. Rezultatul acțiunilor noastre este o nouă fracție, al cărei numărător este produsul numărătorilor, iar numitorul este produsul numitorilor.

Exemplul 10

Efectuați pașii x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 · 1 x 1 2 .

Decizie

Să începem prin a scădea fracțiile care sunt între paranteze. Să le aducem la un numitor comun:

x 1 2 - 1 x 1 2 + 1

Să scădem numărătorii:

x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = x 1 2 + 1 x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 1 x 1 2 = = x 1 2 + 1 2 - x 1 2 - 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = x 1 2 2 + 2 x 1 2 + 1 - x 1 2 2 - 2 x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = 4 x 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2

Acum înmulțim fracțiile:

4 x 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = 4 x 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 x 1 2

Să reducem cu un grad x 1 2, obținem 4 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 .

În plus, puteți simplifica expresia puterii în numitor folosind formula pentru diferența de pătrate: pătrate: 4 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 = 4 x 1 2 2 - 1 2 = 4 x - 1.

Răspuns: x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = 4 x - 1

Exemplul 11

Simplificați expresia puterii x 3 4 x 2 , 7 + 1 2 x - 5 8 x 2 , 7 + 1 3 .
Decizie

Putem reduce fracția cu (x 2 , 7 + 1) 2. Obținem o fracție x 3 4 x - 5 8 x 2, 7 + 1.

Să continuăm transformările x puterilor x 3 4 x - 5 8 · 1 x 2 , 7 + 1 . Acum puteți folosi proprietatea diviziunii puterii cu aceleași baze: x 3 4 x - 5 8 1 x 2, 7 + 1 = x 3 4 - - 5 8 1 x 2, 7 + 1 = x 1 1 8 1 x 2 , 7 + 1 .

Trecem de la ultimul produs la fracția x 1 3 8 x 2, 7 + 1.

Răspuns: x 3 4 x 2 , 7 + 1 2 x - 5 8 x 2 , 7 + 1 3 = x 1 3 8 x 2 , 7 + 1 .

În cele mai multe cazuri, este mai convenabil să transferați multiplicatori cu exponenți negativi de la numărător la numitor și invers prin schimbarea semnului exponentului. Această acțiune simplifică decizia ulterioară. Să dăm un exemplu: expresia puterii (x + 1) - 0 , 2 3 · x - 1 poate fi înlocuită cu x 3 · (x + 1) 0 , 2 .

Conversia expresiilor cu rădăcini și puteri

În sarcini, există expresii de putere care conțin nu numai grade cu exponenți fracționari, ci și rădăcini. Este de dorit să se reducă astfel de expresii doar la rădăcini sau doar la puteri. Trecerea la grade este de preferat, deoarece este mai ușor de lucrat cu acestea. O astfel de tranziție este deosebit de avantajoasă atunci când DPV-ul variabilelor pentru expresia originală vă permite să înlocuiți rădăcinile cu puteri fără a fi nevoie să accesați modulul sau să împărțiți DPV-ul în mai multe intervale.

Exemplul 12

Exprimați expresia x 1 9 x x 3 6 ca putere.

Decizie

Interval valid al unei variabile X este determinată de două inegalități x ≥ 0şi x · x 3 ≥ 0 , care definesc mulţimea [ 0 , + ∞) .

Pe acest set, avem dreptul de a trece de la rădăcini la puteri:

x 1 9 x x 3 6 = x 1 9 x x 1 3 1 6

Folosind proprietățile gradelor, simplificăm expresia puterii rezultată.

x 1 9 x x 1 3 1 6 = x 1 9 x 1 6 x 1 3 1 6 = x 1 9 x 1 6 x 1 1 3 6 = = x 1 9 x 1 6 x 1 18 = x 1 9 + 1 6 + 1 18 = x 1 3

Răspuns: x 1 9 x x 3 6 = x 1 3 .

Conversia puterilor cu variabile în exponent

Aceste transformări sunt destul de simplu de făcut dacă utilizați corect proprietățile gradului. De exemplu, 5 2 x + 1 − 3 5 x 7 x − 14 7 2 x − 1 = 0.

Putem înlocui produsul gradului, în termenii căruia se găsește suma unei variabile și a unui număr. În partea stângă, acest lucru se poate face cu primul și ultimul termen din partea stângă a expresiei:

5 2 x 5 1 − 3 5 x 7 x − 14 7 2 x 7 − 1 = 0 , 5 5 2 x − 3 5 x 7 x − 2 7 2 x = 0 .

Acum să împărțim ambele părți ale ecuației cu 7 2 x. Această expresie pe ODZ a variabilei x ia numai valori pozitive:

5 5 - 3 5 x 7 x - 2 7 2 x 7 2 x = 0 7 2 x , 5 5 2 x 7 2 x - 3 5 x 7 x 7 2 x - 2 7 2 x 7 2 x = 0 , 5 5 2 x 7 2 x - 3 5 x 7 x 7 x 7 x - 2 7 2 x 7 2 x = 0

Să reducem fracțiile cu puteri, obținem: 5 5 2 x 7 2 x - 3 5 x 7 x - 2 = 0 .

În sfârșit, raportul puterilor cu aceiași exponenți este înlocuit cu puteri ale rapoartelor, ceea ce duce la ecuația 5 5 7 2 x - 3 5 7 x - 2 = 0 , care este echivalent cu 5 5 7 x 2 - 3 5 7 x - 2 = 0 .

Introducem o nouă variabilă t = 5 7 x , care reduce soluția ecuației exponențiale inițiale la soluția ecuației pătratice 5 · t 2 − 3 · t − 2 = 0 .

Conversia expresiilor cu puteri și logaritmi

În probleme se găsesc și expresii care conțin puteri și logaritmi. Exemple de astfel de expresii sunt: ​​1 4 1 - 5 log 2 3 sau log 3 27 9 + 5 (1 - log 3 5) log 5 3 . Transformarea unor astfel de expresii se realizează folosind abordările de mai sus și proprietățile logaritmilor, pe care le-am analizat în detaliu în subiectul „Transformarea expresiilor logaritmice”.

Dacă observați o greșeală în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter