Această formulă se numește formula pentru volumul unui corp în ceea ce privește aria secțiunilor paralele.

Exemplu. Aflați volumul unui elipsoid x 2 + y 2 + z 2 = 1 . a 2b 2c 2

Tăiind elipsoidul cu un plan paralel cu planul Oyz și la distanțe de acesta (-a ≤ x ≤ a), obținem o elipsă (vezi Fig. 15):

Aria acestei elipse este

S(x) = π bc1

Prin urmare, conform formulei (16), avem

Calcularea suprafeței de revoluție

Fie curba AB graficul funcției y \u003d f (x) ≥ 0, unde x [a, b], o funcție y \u003d f (x) și derivata ei y "\u003d f" (x) sunt continuă pe acest segment.

Apoi aria S a suprafeței formate prin rotația curbei AB în jurul axei Ox se calculează prin formula

		2 pi			1 +(y ′) 2 dx .

Dacă curba AB este dată de ecuațiile parametrice x = x (t), y = y (t), t 1 ≤t ≤t 2, atunci formula pentru suprafața de rotație ia forma

S x = 2 π ∫ y (t )(x ′ (t ))2 + (y ′ (t ))2 dt .

Exemplu Găsiți aria suprafeței unei sfere cu raza R. Soluție:

Putem presupune că suprafața bilei este formată prin rotația semicercului y \u003d R 2 - x 2, - R ≤x ≤R, în jurul axei Ох. Prin formula (19) găsim

			− x
S = 2		R2−x21 +						dx=
					− x
	− R

2 π ∫ R2 − x2 + x2 dx= 2 π Rx− R R = 4 π R2 .

−R

Exemplu. Având în vedere o cicloidă x = a (t − sin t ) , 0 ≤ t ≤ 2 π . y = a (1− cost ) ,

Găsiți aria suprafeței formate prin rotația acesteia în jurul axei x. Decizie:

Când jumătate din arcul cicloidului se rotește în jurul axei Ox, aria suprafeței de rotație este egală cu

1S x

2π π ∫ a (1− cost )

(a(1 − cos t)) 2 + (asin t) 2 dt=

2π ∫ π a 2

2 sin2 t

2 cost + cos2

t + sin 2 tdt=

4 π a 2

π ∫ sin2

2 2sin2 t dt = 8π a 2

π ∫ sin2 t

sin t

dt =

= −8 π a 2 ∫

− cos

dcos

= − 16 π a

32π a

= −16 π a

0 −

1− 0+

= −16 π a

1 S x = 32 π a 2 . Prin urmare,

64 π a 2 .

Calcularea lungimii arcului unei curbe plane

Coordonate dreptunghiulare

Fie într-un arc, când numărul de legături ale poliliniei crește la nesfârșit, iar lungimea celor mai mari coordonate dreptunghiulare este o curbă plană AB, a cărei ecuație este y \u003d f (x), unde, a ≤ x ≤ b .

Lungimea arcului AB este înțeleasă ca limita până la care lungimea liniei întrerupte înscrisă în această legătură tinde spre zero. Să arătăm că dacă funcția y \u003d f (x) și derivata ei y′ = f′ (x) sunt continue pe segmentul [a , b ], atunci curba AB are lungimea egală cu

Dacă ecuaţia curbei AB este dată sub formă parametrică

x = x(t) , α ≤ t ≤ β , y= y(t) ,

unde x (t) și y (t) sunt funcții continue cu derivate continue și x (α) \u003d a, x (β) \u003d b, atunci lungimea l a curbei AB se găsește prin formula

(x ′ (t ))2 + (y ′ (t ))2 dt . = R arcsin

π .

− x

Prin urmare, l = 2π R. Dacă ecuația cercului este scrisă în formă parametrică = R cost, y = R sint (0 ≤t ≤ 2π ), atunci

	(− Rsin t) 2 + (Rcos t) 2 dt= Rt0 2 π = 2 π R.
l = ∫

Coordonate polare

Fie curba AB dată de ecuația în coordonate polare r =r (ϕ ),α ≤ ϕ ≤ β . Să presupunem că r (ϕ ) și r" (ϕ ) sunt continue pe intervalul [α ,β ].

Dacă în egalitățile x \u003d r cosϕ, y \u003d r sinϕ, conectând coordonatele polare și carteziene,

considerați unghiul ϕ ca parametru, atunci curba AB poate fi setată parametric x = r (ϕ ) cos ϕ ,

y = r (ϕ ) sinϕ .

Aplicând formula (15), obținem l = ∫ r 2 + r ′ 2 d ϕ .

Exemplu Aflați lungimea cardioidului r =a (1 + cosϕ ). Decizie:

Cardioidul r \u003d a (1 + cosϕ ) are forma prezentată în figura 14. Este simetric față de axa polară. Găsiți jumătate din lungimea cardioidului:

1 l =	π∫	(a (1 + cos ϕ ))2 + (a (− sin ϕ ))2 d ϕ =
A π ∫	2 + 2cosϕ d ϕ =a π ∫		2 2cos2 ϕ d ϕ =
2a π / cosϕ d ϕ = 4a sinϕ

Astfel, 1 2 l = 4 a . Deci l = 8a.

5. Găsirea suprafeței corpurilor de revoluție

Fie curba AB graficul funcției y = f(x) ≥ 0, unde x [a; b], iar funcția y \u003d f (x) și derivata ei y "\u003d f" (x) sunt continue pe acest segment.

Să aflăm aria S a suprafeței formate prin rotația curbei AB în jurul axei Ox (Fig. 8).

Aplicam schema II (metoda diferentiala).

Printr-un punct arbitrar x [a; b] să desenăm un plan P, perpendicular pe axa Ox. Planul P intersectează suprafața de revoluție de-a lungul unui cerc cu raza y - f(x). Valoarea S a suprafeței părții figurii de revoluție situată în stânga planului este funcție de x, adică. s = s(x) (s(a) = 0 și s(b) = S).

Să dăm argumentului x un increment Δх = dх. Prin punctul x + dx [a; b] desenați și un plan perpendicular pe axa x. Funcția s = s(x) va primi un increment de Δs, prezentat în figură ca o „centrue”.

Să găsim diferența ariei ds, înlocuind figura formată între secțiuni cu un trunchi de con, a cărui generatrie este egală cu dl, iar razele bazelor sunt egale cu y și y + dy. Suprafața sa laterală este: = 2ydl + dydl.

Aruncând produsul dу d1 ca un ordin infinitezimal mai mare decât ds, obținem ds = 2уdl, sau, deoarece d1 = dx.

Integrând egalitatea rezultată în intervalul de la x = a la x = b, obținem

Dacă curba AB este dată de ecuațiile parametrice x = x(t), y = y(t), t≤ t ≤ t, atunci formula pentru aria suprafeței de revoluție devine

S=2 dt.

Exemplu: Aflați aria suprafeței unei sfere cu raza R.

S=2 =

6. Aflarea lucrului unei forţe variabile

Munca cu forta variabila

Fie că punctul material M se mișcă de-a lungul axei Ox sub acțiunea unei forțe variabile F = F(x) îndreptată paralel cu această axă. Lucrul efectuat de forță atunci când se deplasează punctul M din poziția x = a în poziția x = b (a

Ce lucru trebuie făcut pentru a întinde arcul cu 0,05 m dacă o forță de 100 N întinde arcul cu 0,01 m?

Conform legii lui Hooke, forța elastică care întinde arcul este proporțională cu această întindere x, adică. F = kx, unde k este coeficientul de proporționalitate. După starea problemei, forța F = 100 N întinde arcul cu x = 0,01 m; prin urmare, 100 = k 0,01, de unde k = 10000; prin urmare, F = 10000x.

Lucrul dorit pe baza formulei

A=

Găsiți munca care trebuie cheltuită pentru a pompa lichid peste margine dintr-un rezervor cilindric vertical de înălțime H m și raza de bază R m (Fig. 13).

Munca depusă pentru ridicarea unui corp de greutate p la o înălțime h este egală cu p H. Dar diferitele straturi ale lichidului din rezervor se află la adâncimi diferite și înălțimea ridicării (până la marginea rezervorului) a straturi diferite nu este același lucru.

Pentru a rezolva problema, aplicăm schema II (metoda diferențială). Introducem un sistem de coordonate.

1) Munca depusă la pomparea unui strat de lichid de grosimea x (0 ≤ x ≤ H) din rezervor este o funcție de x, adică. A \u003d A (x), unde (0 ≤ x ≤ H) (A (0) \u003d 0, A (H) \u003d A 0).

2) Găsim partea principală a incrementului ΔA când x se modifică cu Δx = dx, adică. găsim diferența dA a funcției A(x).

Având în vedere micimea lui dx, presupunem că stratul de lichid „elementar” se află la aceeași adâncime x (de la marginea rezervorului). Atunci dА = dрх, unde dр este greutatea acestui strat; este egal cu g AV, unde g este accelerația căderii libere, este densitatea lichidului, dv este volumul stratului de lichid „elementar” (este evidențiat în figură), adică. dr = g. Volumul acestui strat lichid este în mod evident egal cu , unde dx este înălțimea cilindrului (stratului), este aria bazei sale, adică. dv = .

Astfel, dр = . și

3) Integrând egalitatea rezultată în intervalul de la x \u003d 0 la x \u003d H, găsim

A

8. Calculul integralelor folosind pachetul MathCAD

La rezolvarea unor probleme aplicate se impune folosirea operatiei de integrare simbolica. În acest caz, programul MathCad poate fi util atât în ​​stadiul inițial (este bine să cunoașteți răspunsul dinainte sau să știți că acesta există), cât și în stadiul final (este bine să verificați rezultatul obținut folosind răspunsul de la altul). sursa sau solutia altei persoane).

Când rezolvați un număr mare de probleme, puteți observa unele caracteristici ale rezolvării problemelor folosind programul MathCad. Să încercăm să înțelegem prin câteva exemple cum funcționează acest program, să analizăm soluțiile obținute cu ajutorul lui și să comparăm aceste soluții cu soluțiile obținute în alte moduri.

Principalele probleme la utilizarea programului MathCad sunt următoarele:

a) programul dă răspunsul nu sub forma unor funcții elementare familiare, ci sub forma unor funcții speciale care sunt departe de a fi cunoscute de toată lumea;

b) în unele cazuri „refuză” să dea un răspuns, deși problema are o soluție;

c) uneori este imposibil să se utilizeze rezultatul obţinut din cauza volumului său;

d) rezolvă problema incomplet și nu analizează soluția.

Pentru a rezolva aceste probleme, este necesar să folosiți punctele forte și punctele slabe ale programului.

Cu ajutorul lui, este ușor și simplu să calculezi integrale ale funcțiilor raționale fracționale. Prin urmare, se recomandă utilizarea metodei substituției variabile, adică. pregătiți integrala pentru soluție. În aceste scopuri, pot fi utilizate substituțiile discutate mai sus. De asemenea, trebuie avut în vedere faptul că rezultatele obținute trebuie examinate pentru coincidența domeniilor de definire a funcției originale și rezultatul obținut. În plus, unele dintre soluțiile obținute necesită cercetări suplimentare.

Programul MathCad eliberează studentul sau cercetătorul de munca de rutină, dar nu îl poate elibera de analize suplimentare atât la stabilirea unei probleme, cât și la obținerea oricăror rezultate.

În această lucrare au fost luate în considerare principalele prevederi legate de studiul aplicațiilor unei integrale definite în cursul matematicii.

– a fost efectuată o analiză a bazei teoretice pentru rezolvarea integralelor;

- materialul a fost supus sistematizării şi generalizării.

În cadrul lucrărilor de curs au fost luate în considerare exemple de probleme practice din domeniul fizicii, geometriei, mecanicii.

Concluzie

Exemplele de probleme practice luate în considerare mai sus ne oferă o idee clară despre semnificația unei anumite integrale pentru solubilitatea lor.

Este dificil de a numi o zonă științifică în care metodele de calcul integral, în general, și proprietățile unei integrale definite, în special, nu s-ar aplica. Deci, în procesul de realizare a cursului, am luat în considerare exemple de probleme practice din domeniul fizicii, geometriei, mecanicii, biologiei și economiei. Desigur, aceasta nu este în niciun caz o listă exhaustivă de științe care folosesc metoda integrală pentru a găsi o valoare stabilită atunci când rezolvă o problemă specifică și pentru a stabili fapte teoretice.

De asemenea, integrala definită este folosită pentru a studia matematica în sine. De exemplu, la rezolvarea ecuațiilor diferențiale, care, la rândul lor, aduc o contribuție indispensabilă la rezolvarea problemelor cu conținut practic. Putem spune că integrala definită este un fel de fundație pentru studiul matematicii. De aici și importanța de a ști cum să le rezolvi.

Din toate cele de mai sus, este clar de ce cunoașterea unei integrale definite are loc chiar și în cadrul mediei școală gimnazială, unde elevii învață nu numai conceptul de integrală și proprietățile acesteia, ci și unele dintre aplicațiile sale.

Literatură

1. Volkov E.A. Metode numerice. M., Nauka, 1988.

2. Piskunov N.S. Calcul diferențial și integral. M., Integral-Press, 2004. T. 1.

3. Shipachev V.S. Matematică superioară. M., Liceul, 1990.

Prin urmare, voi trece imediat la conceptele de bază și la exemplele practice.

Să ne uităm la o imagine simplă

Și amintiți-vă: ce se poate calcula folosind integrala definita?

În primul rând, desigur, zona unui trapez curbat. Cunoscut încă din vremea școlii.

Dacă această cifră se rotește în jurul axei de coordonate, atunci vorbim deja despre găsire corpul revoluției. De asemenea, este simplu.

Ce altceva? Revizuit recent problema lungimii arcului .

Și astăzi vom învăța cum să calculăm încă o caracteristică - încă o zonă. Imaginează-ți acea linie se învârteîn jurul axei. În urma acestei acțiuni se obține o figură geometrică, numită suprafata de revolutie. În acest caz, seamănă cu o astfel de oală fără fund. Și fără acoperire. După cum ar spune Eeyore măgar, o priveliște sfâșietoare =)

Pentru a elimina interpretarea ambiguă, voi face o clarificare plictisitoare, dar importantă:

din punct de vedere geometric, „ghiveciul” nostru are infinit de subțire perete și Două suprafețe cu aceeași zonă - externă și internă. Deci, toate calculele ulterioare implică zona doar suprafața exterioară.

Într-un sistem de coordonate dreptunghiulare, aria suprafeței de rotație este calculată prin formula:

sau, mai compact: .

Aceleași cerințe sunt impuse funcției și derivatei sale ca la găsirea lungimea arcului curbei, dar, în plus, curba trebuie localizată superior topoare . Acest lucru este semnificativ! Este ușor de înțeles că dacă linia este localizată sub axa, atunci integrandul va fi negativ: , și prin urmare va trebui adăugat un semn minus la formulă pentru a păstra semnificația geometrică a problemei.

Luați în considerare o figură nemeritat trecută cu vederea:

Suprafața unui tor

Pe scurt, tor este un bagel. Un exemplu de manual, considerat în aproape toate manualele matan, este dedicat găsirii volum torus și, prin urmare, de dragul varietății, voi analiza problema mai rară a suprafața acestuia. Mai întâi cu valori numerice specifice:

Exemplul 1

Calculați aria suprafeței unui tor obținut prin rotirea unui cerc în jurul axei.

Decizie: de unde știi ecuația seturi cerc raza unității centrată la . Acest lucru facilitează obținerea a două funcții:

– stabilește semicercul superior;
– stabilește semicercul inferior:

Esența este clară: cerc se rotește în jurul axei x și formează suprafaţă covrigi. Singurul lucru aici, pentru a evita rezervele grosolane, este să fii atent la terminologie: dacă te rotești un cerc, delimitat de un cerc , apoi obțineți un geometric corp, adică covrigiul în sine. Și acum vorbiți despre pătrat suprafete, care, evident, trebuie calculată ca suma suprafețelor:

1) Găsiți aria suprafeței, care se obține prin rotirea arcului „albastru”. în jurul axei x. Folosim formula . După cum am sfătuit în mod repetat, este mai convenabil să efectuați acțiuni în etape:

Luăm o funcție și găsește-l derivat:

Și, în sfârșit, încărcăm rezultatul în formula:

Rețineți că în acest caz s-a dovedit a fi mai rațional dubla integrala unei funcții pareîn cursul soluției, mai degrabă decât să discutăm preliminar simetria figurii în raport cu axa y.

2) Aflați aria suprafeței, care se obține prin rotirea arcului „roșu”. în jurul axei x. Toate acțiunile vor diferi de fapt printr-un singur semn. Voi proiecta soluția într-un stil diferit, care, desigur, are și dreptul la viață:


3) Astfel, suprafața torului:

Răspuns:

Problema ar putea fi rezolvată într-un mod general - pentru a calcula aria suprafeței torului obținut prin rotirea cercului în jurul axei absciselor și a obține răspunsul . Cu toate acestea, pentru claritate și mai multă simplitate, am efectuat soluția pe anumite numere.

Dacă trebuie să calculați volumul gogoșii în sine, vă rugăm să consultați tutorialul ca referință rapidă:

Conform observației teoretice, considerăm semicercul superior. Este „desenat” atunci când se schimbă valoarea parametrului în interior (este ușor de văzut că pe acest interval), astfel:

Răspuns:

Dacă rezolvăm problema într-un mod general, obținem exact formula școlară pentru aria unei sfere, unde este raza acesteia.

Ceva o problemă dureros de simplă, chiar mi-a fost rușine... Vă sugerez să remediați această eroare =)

Exemplul 4

Calculați aria suprafeței obținute prin rotirea primului arc al cicloidei în jurul axei.

Sarcina este creativă. Încercați să deduceți sau să intuiți formula de calcul a suprafeței obținute prin rotirea unei curbe în jurul axei y. Și, desigur, ar trebui remarcat avantajul ecuațiilor parametrice - nu trebuie modificate cumva; nu trebuie să vă deranjați să găsiți alte limite de integrare.

Graficul cicloidal poate fi vizualizat pe pagină Aria și volumul dacă linia este setată parametric. Suprafața de rotație va semăna ... nici măcar nu știu cu ce să o compar cu ... ceva nepământesc - rotunjit cu o depresiune ascuțită în mijloc. Aici, pentru cazul rotației cicloidei în jurul axei, mi-a venit instantaneu în minte asocierea - o minge de rugby alungită.

Soluție și răspuns la sfârșitul lecției.

Încheiem recenzia noastră fascinantă cu un caz coordonate polare. Da, este o recenzie, dacă te uiți în manuale de analiză matematică (de Fikhtengolts, Bokhan, Piskunov și alți autori), poți obține o duzină bună (sau chiar mai multe) exemple standard, printre care este foarte posibil să ai va găsi problema de care aveți nevoie.

Cum se calculează suprafața de revoluție,
dacă linia este dată în sistem de coordonate polare?

Dacă curba este setată la coordonate polare ecuația , iar funcția are o derivată continuă pe un interval dat, atunci aria suprafeței obținută prin rotirea acestei curbe în jurul axei polare se calculează prin formula , unde sunt valorile unghiulare corespunzătoare capetele curbei.

În conformitate cu sensul geometric al problemei, integrandul , iar acest lucru se realizează numai dacă (și sunt cunoscute a fi nenegative). Prin urmare, este necesar să se ia în considerare valorile unghiului din interval, cu alte cuvinte, curba ar trebui să fie localizată superior axa polară și prelungirile acesteia. După cum puteți vedea, aceeași poveste ca în cele două paragrafe precedente.

Exemplul 5

Calculați aria suprafeței formate prin rotația cardioidului în jurul axei polare.

Decizie: graficul acestei curbe poate fi văzut în Exemplul 6 al lecției despre sistem de coordonate polare. Cardioidul este simetric față de axa polară, așa că luăm în considerare jumătatea sa superioară pe decalaj (care, de fapt, se datorează și remarcii de mai sus).

Suprafața de rotație va semăna cu un ochi.

Tehnica soluției este standard. Să găsim derivata cu privire la „phi”:

Compuneți și simplificați rădăcina:

Sper cu supranumerare

Salutări, dragi studenți ai Universității Argemony!

Astăzi vom continua să studiem materializarea obiectelor. Ultima dată am rotit figuri plate și am obținut corpuri tridimensionale. Unele dintre ele sunt foarte tentante și utile. Cred că atâtea lucruri pe care le inventează magicianul pot fi folosite în viitor.

Astăzi vom roti curbele. Este clar că în acest fel putem obține un fel de obiect cu margini foarte subțiri (un con sau o sticlă pentru poțiuni, o vază pentru flori, un pahar pentru băuturi etc.), deoarece o curbă rotativă poate crea tocmai astfel de obiecte. . Cu alte cuvinte, prin rotirea curbei, putem obține un fel de suprafață - închisă pe toate părțile sau nu. De ce chiar acum mi-am amintit de ceașca din care bea Sir Shurf Lonley-Lockley tot timpul.

Așadar, vom crea un bol care curge și unul neperforat și vom calcula aria suprafeței create. Cred că dintr-un motiv oarecare (în general, suprafața) va fi nevoie - ei bine, cel puțin pentru aplicarea unei vopsele magice speciale. Pe de altă parte, zonele artefactelor magice pot fi necesare pentru a calcula forțele magice aplicate acestora sau altceva. Vom învăța cum să o găsim și vom găsi unde să o aplicăm.

Deci, o bucată de parabolă ne poate da forma unui castron. Să luăm cel mai simplu y=x 2 din intervalul . Se poate observa că atunci când se rotește în jurul axei OY, se obține doar un bol. Fără fund.

Vraja pentru a calcula suprafața de rotație este următoarea:

Aici |y| este distanța de la axa de rotație până la orice punct al curbei care se rotește. După cum știți, distanța este o perpendiculară.
Puțin mai dificil cu al doilea element al vrajei: ds este diferența de arc. Aceste cuvinte nu ne dau nimic, așa că să nu ne deranjam, ci să trecem la limbajul formulelor, unde această diferență este prezentată în mod explicit pentru toate cazurile cunoscute de noi:
- sistemul de coordonate carteziene;
- înregistrări ale curbei în formă parametrică;
- sistemul de coordonate polare.

În cazul nostru, distanța de la axa de rotație până la orice punct al curbei este x. Luăm în considerare suprafața vasului rezultat:

Pentru a face un castron cu fund, trebuie să luați o altă bucată, dar cu o curbă diferită: pe interval, aceasta este linia y=1.

Este clar că atunci când se rotește în jurul axei OY, fundul vasului va fi obținut sub forma unui cerc cu raza unitară. Și știm cum se calculează aria unui cerc (conform formulei pi * r ^ 2. Pentru cazul nostru, aria cercului va fi egală cu pi), dar o vom calcula folosind o nouă formulă - pentru verificare.
Distanța de la axa de rotație până la orice punct al acestei piese a curbei este de asemenea x.

Ei bine, calculele noastre sunt corecte, ceea ce face plăcere.

Si acum teme pentru acasă.

1. Aflați aria suprafeței obținute prin rotirea poliliniei ABC, unde A=(1; 5), B=(1; 2), C=(6; 2), în jurul axei OX.
Sfat. Înregistrați toate segmentele în formă parametrică.
AB: x=1, y=t, 2≤t≤5
BC: x=t, y=2, 1≤t≤6
Apropo, cum arată articolul rezultat?

2. Ei bine, acum vino cu ceva. Trei articole cred că sunt suficiente.

I. Volume de corpuri de revoluţie. Studiați preliminar, conform manualului de G. M. Fikhtengolts, capitolul XII, p ° p ° 197, 198 * Analizați în detaliu exemplele date la p ° 198.

508. Calculați volumul corpului format prin rotația elipsei În jurul axei x.

Prin urmare,

530. Aflați aria suprafeței formate prin rotația în jurul axei Ox a arcului sinusoidei y \u003d sin x de la punctul X \u003d 0 până la punctul X \u003d It.

531. Calculați aria suprafeței unui con cu înălțimea h și raza r.

532. Calculaţi aria suprafeţei formate de

rotația astroidului x3 -) - y* - a3 în jurul axei x.

533. Calculați aria suprafeței formate prin inversarea buclei curbei 18 y-x(6-x)r în jurul axei x.

534. Aflați suprafața torului produsă de rotația cercului X2 - j - (y-3)2 = 4 în jurul axei x.

535. Calculați aria suprafeței formate prin rotația cercului X = a cost, y = asint în jurul axei Ox.

536. Calculați aria suprafeței formate prin rotația buclei curbei x = 9t2, y = St - 9t3 în jurul axei Ox.

537. Aflați aria suprafeței formate prin rotația arcului curbei x = e * sint, y = el cost în jurul axei Ox

de la t = 0 la t = -.

538. Arătaţi că suprafaţa produsă de rotaţia arcului cicloidei x = a (q> - sin φ), y = a (I - cos φ) în jurul axei Oy, este egală cu 16 u2 o2.

539. Aflați suprafața obținută prin rotirea cardioidului în jurul axei polare.

540. Aflați aria suprafeței formate prin rotația lemniscatei în jurul axei polare.

Sarcini suplimentare pentru Capitolul IV

Zonele figurilor plane

541. Aflați întreaga zonă a unei regiuni delimitate de o curbă Și axa Oh.

542. Aflați aria regiunii delimitate de curbă

Și axa Oh.

543. Aflați partea din aria regiunii situată în primul cadran și delimitată de curbă

l axele de coordonate.

544. Găsiți aria zonei conținute în interior

bucle:

545. Aflați aria regiunii delimitată de o buclă a curbei:

546. Găsiți aria ariei conținute în interiorul buclei:

547. Aflați aria regiunii delimitate de curbă

Și axa Oh.

548. Aflați aria regiunii delimitate de curbă

Și axa Oh.

549. Aflați aria regiunii delimitată de axa Oxr

drept și curbat