De foarte multe ori, numărătorul și numitorul unei fracții sunt expresii algebrice care trebuie mai întâi descompuse în factori, iar apoi, găsind același lucru între ei, împărțiți atât numărătorul, cât și numitorul în ele, adică reducerea fracției. Un întreg capitol al unui manual de algebră în clasa a VII-a este dedicat sarcinilor de factorizare a unui polinom. Factorizarea se poate face 3 moduri, precum și o combinație a acestor metode.

1. Aplicarea formulelor de înmulțire prescurtate

După cum se știe înmulțiți un polinom cu un polinom, trebuie să înmulțiți fiecare termen al unui polinom cu fiecare termen al celuilalt polinom și să adăugați produsele rezultate. Există cel puțin 7 (șapte) cazuri comune de înmulțire a polinoamelor care sunt incluse în concept. De exemplu,

Tabelul 1. Factorizarea în primul mod

2. Scoaterea factorului comun din paranteză

Această metodă se bazează pe aplicarea legii distributive a înmulțirii. De exemplu,

Împărțim fiecare termen al expresiei originale la factorul pe care îl scoatem și, în același timp, obținem expresia între paranteze (adică rezultatul împărțirii a ceea ce a fost la ceea ce scoatem rămâne între paranteze). În primul rând, ai nevoie determinați corect multiplicatorul, care trebuie să fie între paranteze.

Polinomul dintre paranteze poate fi, de asemenea, un factor comun:

Când efectuați sarcina de „factorizare”, trebuie să fiți deosebit de atenți cu semnele atunci când scoateți factorul comun din paranteze. Pentru a schimba semnul fiecărui termen dintr-o paranteză (b - a), scoatem factorul comun -1 , în timp ce fiecare termen din paranteză este împărțit la -1: (b - a) = - (a - b) .

În cazul în care expresia dintre paranteze este pătrată (sau la orice putere pară), atunci numerele din paranteze pot fi schimbate complet gratuit, deoarece minusurile scoase dintre paranteze se vor transforma în continuare într-un plus atunci când sunt înmulțite: (b - a) 2 = (a - b) 2, (b - a) 4 = (a - b) 4 etc…

3. Metoda grupării

Uneori nu toți termenii din expresie au un factor comun, ci doar unii. Atunci poți încerca termeni de grup între paranteze, astfel încât să poată fi scos din fiecare un factor. Metoda de grupare este dubla paranteză a factorilor comuni.

4. Folosind mai multe metode simultan

Uneori trebuie să aplicați nu una, ci mai multe moduri de a factoriza un polinom în factori simultan.

Acesta este un rezumat al subiectului. "Factorizare". Alegeți următorii pași:

• Treceți la următorul rezumat:

Confidențialitatea dumneavoastră este importantă pentru noi. Din acest motiv, am dezvoltat o Politică de confidențialitate care descrie modul în care folosim și stocăm informațiile dumneavoastră. Vă rugăm să citiți politica noastră de confidențialitate și să ne spuneți dacă aveți întrebări.

Colectarea și utilizarea informațiilor personale

Informațiile personale se referă la date care pot fi folosite pentru a identifica o anumită persoană sau pentru a o contacta.

Vi se poate cere să furnizați informațiile dumneavoastră personale în orice moment când ne contactați.

Următoarele sunt câteva exemple de tipuri de informații personale pe care le putem colecta și modul în care putem folosi aceste informații.

Ce informații personale colectăm:

• Când trimiteți o cerere pe site, este posibil să colectăm diverse informații, inclusiv numele, numărul de telefon, adresa de e-mail etc.

Cum folosim informațiile dumneavoastră personale:

• Informațiile personale pe care le colectăm ne permit să vă contactăm și să vă informăm despre oferte unice, promoții și alte evenimente și evenimente viitoare.
• Din când în când, putem folosi informațiile dumneavoastră personale pentru a vă trimite notificări și comunicări importante.
• De asemenea, putem folosi informații personale în scopuri interne, cum ar fi efectuarea de audituri, analize de date și diverse cercetări pentru a îmbunătăți serviciile pe care le oferim și pentru a vă oferi recomandări cu privire la serviciile noastre.
• Dacă participați la o extragere cu premii, un concurs sau un stimulent similar, este posibil să folosim informațiile pe care le furnizați pentru a administra astfel de programe.

Dezvăluirea către terți

Nu dezvăluim informațiile primite de la dumneavoastră către terți.

Excepții:

• În cazul în care este necesar - în conformitate cu legea, ordinea judiciară, în cadrul procedurilor judiciare și/sau în baza cererilor publice sau a solicitărilor din partea organelor de stat de pe teritoriul Federației Ruse - dezvăluiți informațiile dumneavoastră personale. De asemenea, putem dezvălui informații despre dumneavoastră dacă stabilim că o astfel de dezvăluire este necesară sau adecvată din motive de securitate, aplicarea legii sau alte motive de interes public.
• În cazul unei reorganizări, fuziuni sau vânzări, putem transfera informațiile personale pe care le colectăm către succesorul terț relevant.

Protecția informațiilor personale

Luăm măsuri de precauție - inclusiv administrative, tehnice și fizice - pentru a vă proteja informațiile personale împotriva pierderii, furtului și utilizării greșite, precum și împotriva accesului, dezvăluirii, modificării și distrugerii neautorizate.

Menținerea confidențialității la nivelul companiei

Pentru a ne asigura că informațiile dumneavoastră personale sunt în siguranță, comunicăm angajaților noștri practicile de confidențialitate și securitate și aplicăm strict practicile de confidențialitate.

Extinderea polinoamelor pentru a obține un produs pare uneori confuză. Dar nu este atât de dificil dacă înțelegeți procesul pas cu pas. Articolul detaliază cum să factorizezi un trinom pătrat.

Mulți nu înțeleg cum să factorizeze un trinom pătrat și de ce se face acest lucru. La început poate părea că acesta este un exercițiu inutil. Dar la matematică, nimic nu se face așa. Transformarea este necesară pentru a simplifica expresia și comoditatea calculului.

Un polinom având forma - ax² + bx + c, se numește trinom pătrat. Termenul „a” trebuie să fie negativ sau pozitiv. În practică, această expresie se numește ecuație pătratică. Prin urmare, uneori ei spun diferit: cum se extinde o ecuație pătratică.

Interesant! Un polinom pătrat este numit din cauza gradului său cel mai mare - un pătrat. Și un trinom - din cauza celor 3 termeni componente.

Alte tipuri de polinoame:

• binom liniar (6x+8);
• patrulater cub (x³+4x²-2x+9).

Factorizarea unui trinom pătrat

În primul rând, expresia este egală cu zero, apoi trebuie să găsiți valorile rădăcinilor x1 și x2. Poate să nu existe rădăcini, pot fi una sau două rădăcini. Prezența rădăcinilor este determinată de discriminant. Formula sa trebuie cunoscută pe de rost: D=b²-4ac.

Dacă rezultatul lui D este negativ, nu există rădăcini. Dacă este pozitiv, există două rădăcini. Dacă rezultatul este zero, rădăcina este una. Rădăcinile se calculează și prin formula.

Dacă la calculul discriminantului rezultă zero, puteți aplica oricare dintre formule. În practică, formula este pur și simplu abreviată: -b / 2a.

Formulele pentru diferite valori ale discriminantului sunt diferite.

Dacă D este pozitiv:

Dacă D este zero:

Calculatoare online

Există un calculator online pe Internet. Poate fi folosit pentru factorizare. Unele resurse oferă posibilitatea de a vedea soluția pas cu pas. Astfel de servicii vă ajută să înțelegeți mai bine subiectul, dar trebuie să încercați să înțelegeți bine.

Video util: Factorizarea unui trinom pătrat

Exemple

Vă sugerăm să urmăriți exemple simple despre cum să factorizați o ecuație pătratică.

Exemplul 1

Aici se arată clar că rezultatul va fi doi x, deoarece D este pozitiv. Ele trebuie înlocuite în formulă. Dacă rădăcinile sunt negative, semnul din formulă este inversat.

Cunoaștem formula pentru factorizarea unui trinom pătrat: a(x-x1)(x-x2). Punem valorile între paranteze: (x+3)(x+2/3). Nu există niciun număr înainte de termen în exponent. Aceasta înseamnă că există o unitate, este coborâtă.

Exemplul 2

Acest exemplu arată clar cum se rezolvă o ecuație care are o rădăcină.

Înlocuiți valoarea rezultată:

Exemplul 3

Dat: 5x²+3x+7

Mai întâi, calculăm discriminantul, ca în cazurile anterioare.

D=9-4*5*7=9-140= -131.

Discriminantul este negativ, ceea ce înseamnă că nu există rădăcini.

După ce ați primit rezultatul, merită să deschideți parantezele și să verificați rezultatul. Ar trebui să apară trinomul original.

Solutie alternativa

Unii oameni nu au reușit niciodată să se împrietenească cu discriminatorul. Există o altă modalitate de a factoriza un trinom pătrat. Pentru comoditate, metoda este prezentată într-un exemplu.

Dat: x²+3x-10

Știm că ar trebui să ajungem cu 2 paranteze: (_)(_). Când expresia arată astfel: x² + bx + c, punem x la începutul fiecărei paranteze: (x_) (x_). Cele două numere rămase sunt produsul care dă „c”, adică -10 în acest caz. Pentru a afla care sunt aceste numere, puteți utiliza doar metoda de selecție. Numerele înlocuite trebuie să se potrivească cu termenul rămas.

De exemplu, înmulțirea următoarelor numere dă -10:

• -1, 10;
• -10, 1;
• -5, 2;
• -2, 5.

1. (x-1)(x+10) = x2+10x-x-10 = x2+9x-10. Nu.
2. (x-10)(x+1) = x2+x-10x-10 = x2-9x-10. Nu.
3. (x-5)(x+2) = x2+2x-5x-10 = x2-3x-10. Nu.
4. (x-2)(x+5) = x2+5x-2x-10 = x2+3x-10. Se potrivește.

Deci, transformarea expresiei x2+3x-10 arată astfel: (x-2)(x+5).

Important! Ar trebui să aveți grijă să nu confundați semnele.

Descompunerea unui trinom complex

Dacă „a” este mai mare decât unu, încep dificultățile. Dar totul nu este atât de dificil pe cât pare.

Pentru a factoriza, trebuie mai întâi să vedem dacă este posibil să factorizezi ceva.

De exemplu, având în vedere expresia: 3x²+9x-30. Aici numărul 3 este scos din paranteze:

3(x²+3x-10). Rezultatul este trinomul deja cunoscut. Răspunsul arată astfel: 3(x-2)(x+5)

Cum se descompune dacă termenul care este pătrat este negativ? LA acest caz numărul -1 este scos din paranteză. De exemplu: -x²-10x-8. Expresia va arăta astfel:

Schema diferă puțin de cea anterioară. Sunt doar câteva lucruri noi. Să presupunem că expresia este dată: 2x²+7x+3. Răspunsul este scris și în 2 paranteze, care trebuie completate cu (_) (_). X este scris în a 2-a paranteză, iar ceea ce a rămas în prima. Arata astfel: (2x_)(x_). În caz contrar, schema anterioară se repetă.

Numărul 3 dă numerele:

• -1, -3;
• -3, -1;
• 3, 1;
• 1, 3.

Rezolvăm ecuații prin înlocuirea numerelor date. Ultima opțiune se potrivește. Deci transformarea expresiei 2x²+7x+3 arată astfel: (2x+1)(x+3).

Alte cazuri

Nu este întotdeauna posibil să transformi o expresie. În a doua metodă, soluția ecuației nu este necesară. Dar posibilitatea de a converti termenii într-un produs este verificată doar prin discriminant.

Merită să exersați rezolvarea ecuațiilor pătratice, astfel încât să nu existe dificultăți atunci când utilizați formule.

Video util: factorizarea unui trinom

Concluzie

Îl poți folosi în orice fel. Dar este mai bine să lucrezi atât la automatism. De asemenea, cei care își vor conecta viața cu matematica trebuie să învețe cum să rezolve bine ecuațiile pătratice și să descompună polinoamele în factori. Toate următoarele subiecte matematice sunt construite pe aceasta.

Factorizarea unei ecuații este procesul de găsire a termenilor sau expresiilor care, atunci când sunt înmulțite, conduc la ecuația inițială. Factorizarea este o abilitate utilă pentru rezolvarea problemelor algebrice de bază și devine o necesitate practică atunci când se lucrează cu ecuații pătratice și alte polinoame. Factorizarea este utilizată pentru a simplifica ecuațiile algebrice pentru a le face mai ușor de rezolvat. Factorizarea vă poate ajuta să excludeți anumite răspunsuri posibile mai rapid decât puteți rezolva manual ecuația.

Pași

Factorizarea numerelor și a expresiilor algebrice de bază

1. Factorizarea numerelor. Conceptul de factoring este simplu, dar în practică factoring poate fi complicat (dată fiind o ecuație complexă). Deci, să începem cu conceptul de factorizare folosind numere ca exemplu, să continuăm cu ecuații simple și apoi să trecem la ecuații complexe. Factorii unui număr dat sunt numerele care, atunci când sunt înmulțite, dau numărul inițial. De exemplu, factorii numărului 12 sunt numerele: 1, 12, 2, 6, 3, 4, deoarece 1*12=12, 2*6=12, 3*4=12.

   • În mod similar, vă puteți gândi la factorii unui număr ca fiind divizorii săi, adică numerele cu care numărul dat este divizibil.
   • Găsiți toți factorii numărului 60. Folosim adesea numărul 60 (de exemplu, 60 de minute într-o oră, 60 de secunde într-un minut etc.) și acest număr are un număr destul de mare de factori.
     • 60 de multiplicatori: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 și 60.

2. Tine minte: pot fi factorizați și termenii unei expresii care conține un coeficient (număr) și o variabilă. Pentru a face acest lucru, găsiți multiplicatorii coeficientului la variabilă. Știind cum să factorizați termenii ecuațiilor, puteți simplifica cu ușurință această ecuație.

   • De exemplu, termenul 12x poate fi scris ca produsul dintre 12 și x. De asemenea, puteți scrie 12x ca 3(4x), 2(6x), etc., factorizând 12 în factorii care funcționează cel mai bine pentru dvs.
     • Puteți aranja de 12 ori de mai multe ori la rând. Cu alte cuvinte, nu ar trebui să vă opriți la 3(4x) sau 2(6x); continua expansiunea: 3(2(2x)) sau 2(3(2x)) (evident, 3(4x)=3(2(2x)) etc.)

3. Aplicați proprietatea distributivă a înmulțirii pentru a factoriza ecuații algebrice.Știind cum să factorizezi numere și termeni ai unei expresii (coeficienți cu variabile), poți simplifica ecuații algebrice simple prin găsirea factorului comun al unui număr și a unui termen al unei expresii. De obicei, pentru a simplifica ecuația, trebuie să găsiți cel mai mare divizor comun (mcd). O astfel de simplificare este posibilă datorită proprietății distributive a înmulțirii: pentru orice numere a, b, c, egalitatea a (b + c) = ab + ac este adevărată.

   • Exemplu. Factorizați ecuația 12x + 6. Mai întâi, găsiți mcd-ul lui 12x și 6. 6 este cel mai mare număr care împarte atât 12x, cât și 6, așa că puteți factoriza această ecuație în: 6(2x+1).
   • Acest proces este valabil și pentru ecuațiile care au termeni negativi și fracționari. De exemplu, x/2+4 poate fi descompus în 1/2(x+8); de exemplu, -7x+(-21) poate fi descompus în -7(x+3).

   Factorizarea ecuațiilor pătratice

   1. Asigurați-vă că ecuația este în formă pătratică (ax 2 + bx + c = 0). Ecuațiile pătratice sunt: ​​ax 2 + bx + c = 0, unde a, b, c sunt coeficienți numerici alții decât 0. Dacă vi se oferă o ecuație cu o variabilă (x) și această ecuație are unul sau mai mulți termeni de ordinul doi variabilă , puteți muta toți termenii ecuației într-o parte a ecuației și o echivalați cu zero.

      • De exemplu, având în vedere ecuația: 5x 2 + 7x - 9 = 4x 2 + x - 18. Poate fi convertită în ecuația x 2 + 6x + 9 = 0, care este o ecuație pătratică.
      • Ecuații cu o variabilă x de ordine mare, de exemplu, x 3 , x 4 etc. nu sunt ecuații pătratice. Acestea sunt ecuații cubice, ecuații de ordinul al patrulea și așa mai departe (doar dacă astfel de ecuații nu pot fi simplificate în ecuații pătratice cu variabila x la puterea lui 2).

   2. Ecuațiile pătratice, unde a \u003d 1, sunt descompuse în (x + d) (x + e), unde d * e \u003d c și d + e \u003d b. Dacă ecuația pătratică care ți-a fost dată are forma: x 2 + bx + c \u003d 0 (adică coeficientul de la x 2 este egal cu 1), atunci o astfel de ecuație poate (dar nu este garantată) să fie descompusă în cele de mai sus factori. Pentru a face acest lucru, trebuie să găsiți două numere care, atunci când sunt înmulțite, dau „c”, iar atunci când sunt adăugate - „b”. Odată ce găsiți aceste două numere (d și e), înlocuiți-le în următoarea expresie: (x+d)(x+e), care, când parantezele sunt deschise, duce la ecuația inițială.

      • De exemplu, având în vedere ecuația pătratică x 2 + 5x + 6 = 0. 3*2=6 și 3+2=5, deci puteți extinde ecuația în (x+3)(x+2).
      • Pentru termeni negativi, faceți următoarele modificări minore procesului de factorizare:
        • Dacă ecuația pătratică are forma x 2 -bx + c, atunci se descompune în: (x-_) (x-_).
        • Dacă ecuația pătratică are forma x 2 -bx-c, atunci se descompune în: (x + _) (x-_).
      • Notă: spațiile pot fi înlocuite cu fracții sau zecimale. De exemplu, ecuația x 2 + (21/2)x + 5 = 0 se descompune în (x + 10) (x + 1/2).

   3. Factorizarea prin încercare și eroare. Ecuațiile pătratice simple pot fi factorizate prin simpla înlocuire a numerelor în soluții posibile până când găsiți soluția corectă. Dacă ecuația are forma ax 2 +bx+c, unde a>1, soluțiile posibile se scriu ca (dx +/- _)(ex +/- _), unde d și e sunt coeficienți numerici alții decât zero, care, înmulțit, dau a. Fie d, fie e (sau ambii coeficienți) pot fi egali cu 1. Dacă ambii coeficienți sunt egali cu 1, atunci utilizați metoda descrisă mai sus.

      • De exemplu, având în vedere ecuația 3x 2 - 8x + 4. Aici, 3 are doar doi factori (3 și 1), deci soluțiile posibile sunt scrise ca (3x +/- _)(x +/- _). În acest caz, înlocuind spațiile cu -2, veți găsi răspunsul corect: -2*3x=-6x și -2*x=-2x; - 6x+(-2x)=-8x și -2*-2=4, adică o astfel de expansiune la deschiderea parantezelor va duce la termenii ecuației inițiale.

În acest articol veți găsi toate informațiile necesare care răspund la întrebare, cum se factorizează un număr. În primul rând, se oferă o idee generală despre descompunerea unui număr în factori primi, sunt date exemple de expansiuni. Forma canonică de factorizare a unui număr în factori primi este prezentată în continuare. După aceea, este dat un algoritm pentru descompunerea numerelor arbitrare în factori primi și sunt date exemple de descompunere a numerelor folosind acest algoritm. De asemenea, sunt luate în considerare metode alternative care vă permit să descompuneți rapid numerele întregi mici în factori primi folosind criterii de divizibilitate și tabelul de înmulțire.

Navigare în pagină.

Ce înseamnă factorizarea unui număr în factori primi?

În primul rând, să vedem care sunt factorii primi.

Este clar că, deoarece cuvântul „factori” este prezent în această frază, atunci are loc produsul unor numere, iar cuvântul clarificator „prim” înseamnă că fiecare factor este un număr prim. De exemplu, într-un produs de forma 2 7 7 23 există patru factori primi: 2 , 7 , 7 și 23 .

Ce înseamnă factorizarea unui număr în factori primi?

Aceasta înseamnă că numărul dat trebuie reprezentat ca un produs al factorilor primi, iar valoarea acestui produs trebuie să fie egală cu numărul inițial. De exemplu, luați în considerare produsul a trei numere prime 2 , 3 și 5 , acesta este egal cu 30 , deci descompunerea în factori primi a numărului 30 este 2 3 5 . De obicei, descompunerea unui număr în factori primi se scrie ca egalitate, în exemplul nostru va fi astfel: 30=2 3 5 . Separat, subliniem că factorii primi ai expansiunii pot fi repetați. Acest lucru este ilustrat clar de următorul exemplu: 144=2 2 2 2 3 3 . Dar reprezentarea formei 45=3 15 nu este o descompunere în factori primi, deoarece numărul 15 este compus.

Apare următoarea întrebare: „Și ce numere pot fi descompuse în factori primi”?

În căutarea unui răspuns la acesta, prezentăm următorul raționament. Numerele prime, prin definiție, sunt printre cele mai mari decât unu. Având în vedere acest fapt și , se poate argumenta că produsul mai multor factori primi este un întreg pozitiv mai mare decât unu. Prin urmare, factorizarea are loc numai pentru numerele întregi pozitive care sunt mai mari decât 1.

Dar toate numerele întregi mai mari decât un factor sunt factori primi?

Este clar că nu există nicio modalitate de a descompune numerele întregi simple în factori primi. Acest lucru se datorează faptului că numerele prime au doar doi divizori pozitivi, unul și el însuși, deci nu pot fi reprezentate ca un produs a două sau mai multe numere prime. Dacă un întreg z ar putea fi reprezentat ca un produs al numerelor prime a și b, atunci conceptul de divizibilitate ne-ar permite să concluzionam că z este divizibil atât cu a cât și cu b, ceea ce este imposibil din cauza simplității numărului z. Cu toate acestea, se crede că orice număr prim este în sine descompunerea lui.

Dar numerele compuse? Numerele compuse se descompun în factori primi și toate numerele compuse sunt supuse unei astfel de descompunere? Un răspuns afirmativ la câteva dintre aceste întrebări este dat de teorema fundamentală a aritmeticii. Teorema fundamentală a aritmeticii spune că orice număr întreg a care este mai mare decât 1 poate fi descompus în produsul factorilor primi p 1 , p 2 , ..., p n , în timp ce expansiunea are forma a=p 1 p 2 .. .p n , iar aceasta descompunerea este unică, dacă nu luăm în considerare ordinea factorilor

Descompunerea canonică a unui număr în factori primi

În expansiunea unui număr, factorii primi se pot repeta. Repetarea factorilor primi poate fi scris mai compact folosind . Fie factorul prim p 1 să apară de s 1 ori în descompunerea numărului a, factorul prim p 2 - s de 2 ori și așa mai departe, p n - s n ori. Atunci descompunerea în factori primi a numărului a poate fi scrisă ca a=p 1 s 1 p 2 s 2 p n s n. Această formă de scriere este așa-numita factorizarea canonică a unui număr în factori primi.

Să dăm un exemplu de descompunere canonică a unui număr în factori primi. Anunță-ne despre descompunere 609 840=2 2 2 2 3 3 5 7 11 11, forma sa canonică este 609 840=2 4 3 2 5 7 11 2.

Descompunerea canonică a unui număr în factori primi vă permite să găsiți toți divizorii numărului și numărul de divizori ai numărului.

Algoritm pentru descompunerea unui număr în factori primi

Pentru a face față cu succes sarcinii de a descompune un număr în factori primi, trebuie să fiți foarte bun la informațiile din articolul numere simple și compuse.

Esența procesului de expansiune a unui număr întreg pozitiv și mai mare decât un număr a este clară din demonstrarea teoremei principale a aritmeticii. Sensul este de a găsi secvenţial cei mai mici divizori primi p 1 , p 2 , …,p n numere a, a 1 , a 2 , …, a n-1 , ceea ce vă permite să obţineţi o serie de egalităţi a=p 1 a 1 , unde a 1 = a:p 1 , a=p 1 a 1 =p 1 p 2 a 2 , unde a 2 =a 1:p 2 , …, a=p 1 p 2 …p n a n , unde a n =a n -1:p n . Când se obține a n =1, atunci egalitatea a=p 1 ·p 2 ·…·p n ne va da descompunerea necesară a numărului a în factori primi. Aici mai trebuie remarcat faptul că p 1 ≤p 2 ≤p 3 ≤…≤p n.

Rămâne să ne ocupăm de găsirea celor mai mici divizori primi la fiecare pas și vom avea un algoritm pentru descompunerea unui număr în factori primi. Tabelul numerelor prime ne va ajuta să găsim divizori primi. Să arătăm cum să-l folosim pentru a obține cel mai mic divizor prim al numărului z .

Luăm succesiv numere prime din tabelul numerelor prime (2 , 3 , 5 , 7 , 11 și așa mai departe) și împărțim numărul dat z la ele. Primul număr prim cu care z este divizibil uniform este cel mai mic divizor prim al său. Dacă numărul z este prim, atunci cel mai mic divizor prim al său va fi numărul z însuși. De asemenea, trebuie amintit aici că dacă z nu este un număr prim, atunci cel mai mic divizor prim al său nu depășește numărul , unde - de la z . Astfel, dacă printre numerele prime care nu depășesc , nu a existat un singur divizor al numărului z, atunci putem concluziona că z este un număr prim (mai multe despre acest lucru sunt scrise în secțiunea teorie de la rubrica acest număr este prim sau compus ).

De exemplu, să arătăm cum să găsim cel mai mic divizor prim al numărului 87. Luăm numărul 2. Împărțim 87 la 2, obținem 87:2=43 (rest. 1) (dacă este necesar, vezi articolul). Adică, când împărțim 87 la 2, restul este 1, deci 2 nu este un divizor al numărului 87. Luăm următorul număr prim din tabelul numerelor prime, acesta este numărul 3. Împărțim 87 la 3, obținem 87:3=29. Deci 87 este divizibil egal cu 3, deci 3 este cel mai mic divizor prim al lui 87.

Rețineți că în cazul general, pentru a factoriza numărul a, avem nevoie de un tabel de numere prime până la un număr nu mai mic de . Va trebui să ne referim la acest tabel la fiecare pas, așa că trebuie să-l avem la îndemână. De exemplu, pentru a factoriza numărul 95, vom avea nevoie de un tabel cu numere prime până la 10 (deoarece 10 este mai mare decât ). Și pentru a descompune numărul 846 653, veți avea deja nevoie de un tabel cu numere prime până la 1.000 (deoarece 1.000 este mai mare decât).

Acum avem suficiente informații de scris algoritm pentru factorizarea unui număr în factori primi. Algoritmul pentru extinderea numărului a este următorul:

• Sortând secvențial numerele din tabelul numerelor prime, găsim cel mai mic divizor prim p 1 al numărului a, după care calculăm a 1 =a:p 1 . Dacă a 1 =1 , atunci numărul a este prim și este el însuși descompunerea lui în factori primi. Dacă a 1 este egal cu 1, atunci avem a=p 1 ·a 1 și trecem la pasul următor.
• Găsim cel mai mic divizor prim p 2 al numărului a 1 , pentru aceasta sortăm succesiv numerele din tabelul numerelor prime, începând cu p 1 , după care calculăm a 2 =a 1:p 2 . Dacă a 2 =1, atunci descompunerea dorită a numărului a în factori primi are forma a=p 1 ·p 2 . Dacă a 2 este egal cu 1, atunci avem a=p 1 ·p 2 ·a 2 și trecem la pasul următor.
• Parcurgând numerele din tabelul primelor, începând cu p 2 , găsim cel mai mic divizor prim p 3 al numărului a 2 , după care calculăm a 3 =a 2:p 3 . Dacă a 3 =1, atunci descompunerea dorită a numărului a în factori primi are forma a=p 1 ·p 2 ·p 3 . Dacă a 3 este egal cu 1, atunci avem a=p 1 ·p 2 ·p 3 ·a 3 și trecem la pasul următor.
• Aflați cel mai mic divizor prim p n al numărului a n-1 sortând numerele prime, începând cu p n-1 , precum și a n =a n-1:p n , iar a n este egal cu 1 . Acest pas este ultimul pas al algoritmului, aici obținem descompunerea necesară a numărului a în factori primi: a=p 1 ·p 2 ·…·p n .

Toate rezultatele obținute la fiecare pas al algoritmului de descompunere a unui număr în factori primi sunt prezentate pentru claritate sub forma următorului tabel, în care numerele a, a 1, a 2, ..., a n sunt scrise succesiv la la stânga barei verticale și la dreapta barei - cei mai mici divizori primi corespunzători p 1 , p 2 , …, p n .

Rămâne doar să luăm în considerare câteva exemple de aplicare a algoritmului obținut la descompunerea numerelor în factori primi.

Exemple de factorizare prime

Acum vom analiza în detaliu exemple de factorizare prime. La descompunere, vom aplica algoritmul din paragraful anterior. Să începem cu cazuri simple, iar treptat le vom complica pentru a face față tuturor nuanțelor posibile care apar la descompunerea numerelor în factori primi.

Exemplu.

Factorizați numărul 78 în factori primi.

Decizie.

Începem să căutăm primul cel mai mic divizor prim p 1 al numărului a=78 . Pentru a face acest lucru, începem să sortăm succesiv numerele prime din tabelul numerelor prime. Luăm numărul 2 și împărțim la el 78, obținem 78:2=39. Numărul 78 a fost împărțit la 2 fără rest, deci p 1 \u003d 2 este primul divizor prim găsit al numărului 78. În acest caz a 1 =a:p 1 =78:2=39 . Ajungem deci la egalitatea a=p 1 ·a 1 având forma 78=2·39 . Evident, un 1 =39 este diferit de 1, așa că trecem la pasul al doilea al algoritmului.

Acum căutăm cel mai mic divizor prim p 2 al numărului a 1 =39 . Începem enumerarea numerelor din tabelul numerelor prime, începând cu p 1 =2 . Împărțiți 39 la 2, obținem 39:2=19 (răman de 1). Deoarece 39 nu este divizibil egal cu 2, 2 nu este divizorul său. Apoi luăm următorul număr din tabelul numerelor prime (numărul 3) și împărțim la el 39, obținem 39:3=13. Prin urmare, p 2 \u003d 3 este cel mai mic divizor prim al numărului 39, în timp ce a 2 \u003d a 1: p 2 \u003d 39: 3=13. Avem egalitatea a=p 1 p 2 a 2 sub forma 78=2 3 13 . Deoarece un 2 =13 este diferit de 1, trecem la pasul următor al algoritmului.

Aici trebuie să găsim cel mai mic divizor prim al numărului a 2 =13. În căutarea celui mai mic divizor prim p 3 al numărului 13, vom sorta succesiv numerele din tabelul numerelor prime, începând cu p 2 =3 . Numărul 13 nu este divizibil cu 3, deoarece 13:3=4 (rest. 1), de asemenea 13 nu este divizibil cu 5, 7 și 11, deoarece 13:5=2 (rest. 3), 13:7=1 (rez. 6) și 13:11=1 (rez. 2) . Următorul număr prim este 13, iar 13 este divizibil cu el fără rest, prin urmare, cel mai mic divizor prim p 3 al numărului 13 este numărul 13 însuși, iar a 3 =a 2:p 3 =13:13=1 . Deoarece a 3 =1 , atunci acest pas al algoritmului este ultimul, iar descompunerea dorită a numărului 78 în factori primi are forma 78=2·3·13 (a=p 1 ·p 2 ·p 3 ) .

Răspuns:

78=2 3 13 .

Exemplu.

Exprimă numărul 83.006 ca produs al factorilor primi.

Decizie.

La prima etapă a algoritmului de factorizare a unui număr în factori primi, găsim p 1 =2 și a 1 =a:p 1 =83 006:2=41 503 , de unde 83 006=2 41 503 .

La a doua etapă, aflăm că 2 , 3 și 5 nu sunt divizori primi ai numărului a 1 =41 503 , iar numărul 7 este, deoarece 41 503: 7=5 929 . Avem p 2 =7 , a 2 =a 1:p 2 =41 503:7=5 929 . Astfel, 83 006=2 7 5 929 .

Cel mai mic divizor prim al unui 2 =5 929 este 7 , deoarece 5 929:7=847 . Astfel, p 3 =7 , a 3 =a 2:p 3 =5 929:7=847 , de unde 83 006=2 7 7 847 .

În plus, aflăm că cel mai mic divizor prim p 4 al numărului a 3 =847 este egal cu 7 . Atunci a 4 =a 3:p 4 =847:7=121 , deci 83 006=2 7 7 7 121 .

Acum găsim cel mai mic divizor prim al numărului a 4 =121, acesta este numărul p 5 =11 (deoarece 121 este divizibil cu 11 și nu este divizibil cu 7). Atunci a 5 =a 4:p 5 =121:11=11 și 83 006=2 7 7 7 11 11 .

În cele din urmă, cel mai mic divizor prim al unui 5 =11 este p 6 =11 . Atunci a 6 =a 5:p 6 =11:11=1 . Deoarece a 6 =1 , atunci acest pas al algoritmului de descompunere a unui număr în factori primi este ultimul, iar descompunerea dorită are forma 83 006=2·7·7·7·11·11 .

Rezultatul obţinut se poate scrie ca o descompunere canonică a numărului în factori primi 83 006=2·7 3 ·11 2 .

Răspuns:

83 006=2 7 7 7 11 11=2 7 3 11 2 991 este un număr prim. Într-adevăr, nu are divizor prim care să nu depășească ( poate fi estimat aproximativ ca , deoarece este evident că 991<40 2 ), то есть, наименьшим делителем числа 991 является оно само. Тогда p 3 =991 и a 3 =a 2:p 3 =991:991=1 . Следовательно, искомое разложение числа 897 924 289 на простые множители имеет вид 897 924 289=937·967·991 .

Răspuns:

897 924 289=937 967 991 .

Utilizarea testelor de divizibilitate pentru factorizarea primă

În cazuri simple, puteți descompune un număr în factori primi fără a utiliza algoritmul de descompunere din primul paragraf al acestui articol. Dacă numerele nu sunt mari, atunci pentru a le descompune în factori primi, este adesea suficient să cunoaștem semnele divizibilității. Dam exemple pentru clarificare.

De exemplu, trebuie să descompunăm numărul 10 în factori primi. Știm din tabla înmulțirii că 2 5=10 , iar numerele 2 și 5 sunt evident prime, deci descompunerea în factori primi a lui 10 este 10=2 5 .

Alt exemplu. Folosind tabla înmulțirii, descompunem numărul 48 în factori primi. Știm că șase opt este patruzeci și opt, adică 48=6 8. Totuși, nici 6, nici 8 nu sunt numere prime. Dar știm că de două ori trei este șase, iar de două ori patru este opt, adică 6=2 3 și 8=2 4 . Atunci 48=6 8=2 3 2 4 . Rămâne să ne amintim că de două ori doi este patru, atunci obținem descompunerea dorită în factori primi 48=2 3 2 2 2 . Să scriem această descompunere în forma canonică: 48=2 4 ·3 .

Dar când descompuneți numărul 3400 în factori primi, puteți folosi semnele divizibilității. Semnele divizibilității cu 10, 100 ne permit să afirmăm că 3400 este divizibil cu 100, în timp ce 3400=34 100 și 100 este divizibil cu 10, în timp ce 100=10 10, prin urmare, 3400=34 10 10. Și pe baza semnului divizibilității cu 2, se poate argumenta că fiecare dintre factorii 34, 10 și 10 este divizibil cu 2, obținem 3 400=34 10 10=2 17 2 5 2 5. Toți factorii din expansiunea rezultată sunt simpli, așa că această expansiune este cea necesară. Rămâne doar să rearanjam factorii astfel încât să meargă în ordine crescătoare: 3 400=2 2 2 5 5 17 . De asemenea, notăm descompunerea canonică a acestui număr în factori primi: 3 400=2 3 5 2 17 .

Când descompuneți un număr dat în factori primi, puteți folosi pe rând atât semnele de divizibilitate, cât și tabla înmulțirii. Să reprezentăm numărul 75 ca produs al factorilor primi. Semnul divizibilității cu 5 ne permite să afirmăm că 75 este divizibil cu 5, în timp ce obținem că 75=5 15. Și din tabla înmulțirii știm că 15=3 5 , prin urmare, 75=5 3 5 . Aceasta este descompunerea dorită a numărului 75 în factori primi.

Bibliografie.

• Vilenkin N.Ya. etc.Matematica. Clasa a VI-a: manual pentru instituțiile de învățământ.
• Vinogradov I.M. Fundamentele teoriei numerelor.
• Mihailovici Sh.Kh. Teoria numerelor.
• Kulikov L.Ya. şi altele.Culegere de probleme de algebră şi teoria numerelor: Manual pentru studenţii de fiz.-mat. specialităţile institutelor pedagogice.