Ecuația de cel mai înalt grad cu rădăcini pozitive. Ecuaţii de grade superioare Metode de rezolvare a ecuaţiilor n

Considera rezolvarea ecuaţiilor cu o variabilă de grad mai mare decât a doua.

Gradul ecuației P(x) = 0 este gradul polinomului P(x), adică. cea mai mare dintre puterile termenilor săi cu un coeficient diferit de zero.

Deci, de exemplu, ecuația (x 3 - 1) 2 + x 5 \u003d x 6 - 2 are un al cincilea grad, deoarece după operațiile de deschidere a parantezelor și de aducere a unora similare, obținem o ecuație echivalentă x 5 - 2x 3 + 3 \u003d 0 de gradul al cincilea.

Amintiți-vă regulile care vor fi necesare pentru a rezolva ecuații de grad mai mare decât al doilea.

Afirmații despre rădăcinile unui polinom și divizorii acestuia:

1. Polinomul de gradul al n-lea are un număr de rădăcini care nu depășește numărul n, iar rădăcinile multiplicității m apar exact de m ori.

2. Un polinom de grad impar are cel puțin o rădăcină reală.

3. Dacă α este rădăcina lui Р(х), atunci Р n (х) = (х – α) · Q n – 1 (x), unde Q n – 1 (x) este un polinom de grad (n – 1) .

5. Un polinom redus cu coeficienți întregi nu poate avea rădăcini raționale fracționale.

6. Pentru un polinom de gradul trei

P 3 (x) \u003d ax 3 + bx 2 + cx + d unul dintre cele două lucruri este posibil: fie se descompune într-un produs de trei binoame

P 3 (x) \u003d a (x - α) (x - β) (x - γ) sau se descompune în produsul unui binom și a unui trinom pătrat P 3 (x) \u003d a (x - α) ( x 2 + βx + y).

7. Orice polinom de gradul al patrulea se extinde în produsul a două trinoame pătrate.

8. Un polinom f(x) este divizibil cu un polinom g(x) fără rest dacă există un polinom q(x) astfel încât f(x) = g(x) q(x). Pentru a împărți polinoamele se aplică regula „împărțirii prin colț”.

9. Pentru ca polinomul P(x) să fie divizibil cu binomul (x – c), este necesar și suficient ca numărul c să fie rădăcina lui P(x) (Corolar teoremei lui Bezout).

10. Teorema lui Vieta: Dacă x 1, x 2, ..., x n sunt rădăcinile reale ale polinomului

P (x) = a 0 x n + a 1 x n - 1 + ... + a n, atunci sunt valabile următoarele egalități:

x 1 + x 2 + ... + x n \u003d -a 1 / a 0,

x 1 x 2 + x 1 x 3 + ... + x n - 1 x n \u003d a 2 / a 0,

x 1 x 2 x 3 + ... + x n - 2 x n - 1 x n \u003d -a 3 / a 0,

x 1 x 2 x 3 x n \u003d (-1) n a n / a 0.

Rezolvarea exemplelor

Exemplul 1

Găsiți restul după împărțirea P (x) \u003d x 3 + 2/3 x 2 - 1/9 la (x - 1/3).

Decizie.

Conform corolarului teoremei lui Bezout: „Rămânul împărțirii unui polinom la un binom (x - c) este egal cu valoarea polinomului în c”. Să găsim P(1/3) = 0. Prin urmare, restul este 0 și numărul 1/3 este rădăcina polinomului.

Răspuns: R = 0.

Exemplul 2

Împărțiți „colțul” 2x 3 + 3x 2 - 2x + 3 la (x + 2). Găsiți restul și coeficientul incomplet.

Decizie:

2x 3 + 3x 2 – 2x + 3| x + 2

2x 3 + 4x 2 2x 2 – x

X 2 – 2 x

Răspuns: R = 3; coeficient: 2x 2 - x.

Metode de bază pentru rezolvarea ecuațiilor de grade superioare

1. Introducerea unei noi variabile

Metoda de introducere a unei noi variabile este deja familiară din exemplul ecuațiilor biquadratice. Constă în faptul că pentru a rezolva ecuația f (x) \u003d 0, se introduce o nouă variabilă (substituție) t \u003d x n sau t \u003d g (x) și f (x) se exprimă prin t, obținându-se o noua ecuație r (t). Apoi rezolvând ecuația r(t), găsiți rădăcinile:

(t 1 , t 2 , …, t n). După aceea, se obține o mulțime de n ecuații q(x) = t 1 , q(x) = t 2 , ... , q(x) = t n, din care se găsesc rădăcinile ecuației inițiale.

Exemplul 1

(x 2 + x + 1) 2 - 3x 2 - 3x - 1 = 0.

Decizie:

(x 2 + x + 1) 2 - 3 (x 2 + x) - 1 = 0.

(x 2 + x + 1) 2 - 3 (x 2 + x + 1) + 3 - 1 = 0.

Înlocuire (x 2 + x + 1) = t.

t 2 - 3t + 2 = 0.

t 1 \u003d 2, t 2 \u003d 1. Înlocuire inversă:

x 2 + x + 1 = 2 sau x 2 + x + 1 = 1;

x 2 + x - 1 = 0 sau x 2 + x = 0;

Răspuns: Din prima ecuație: x 1, 2 = (-1 ± √5) / 2, din a doua: 0 și -1.

2. Factorizarea prin metoda grupării și formulelor de înmulțire prescurtate

De asemenea, baza acestei metode nu este nouă și constă în gruparea termenilor în așa fel încât fiecare grup să conțină un factor comun. Pentru a face acest lucru, uneori trebuie să folosiți niște trucuri artificiale.

Exemplul 1

x 4 - 3x 2 + 4x - 3 = 0.

Decizie.

Imaginează-ți - 3x 2 = -2x 2 - x 2 și grupează:

(x 4 - 2x 2) - (x 2 - 4x + 3) = 0.

(x 4 - 2x 2 +1 - 1) - (x 2 - 4x + 3 + 1 - 1) = 0.

(x 2 - 1) 2 - 1 - (x - 2) 2 + 1 = 0.

(x 2 - 1) 2 - (x - 2) 2 \u003d 0.

(x 2 - 1 - x + 2) (x 2 - 1 + x - 2) = 0.

(x 2 - x + 1) (x 2 + x - 3) = 0.

x 2 - x + 1 \u003d 0 sau x 2 + x - 3 \u003d 0.

Răspuns: Nu există rădăcini în prima ecuație, din a doua: x 1, 2 \u003d (-1 ± √13) / 2.

3. Factorizarea prin metoda coeficienților nedeterminați

Esența metodei este că polinomul original este descompus în factori cu coeficienți necunoscuți. Folosind proprietatea că polinoamele sunt egale dacă coeficienții lor sunt egali la aceleași puteri, se găsesc coeficienții de expansiune necunoscuți.

Exemplul 1

x 3 + 4x 2 + 5x + 2 = 0.

Decizie.

Un polinom de gradul 3 poate fi descompus într-un produs de factori liniari și pătrați.

x 3 + 4x 2 + 5x + 2 \u003d (x - a) (x 2 + bx + c),

x 3 + 4x 2 + 5x + 2 = x 3 + bx 2 + cx - ax 2 - abx - ac,

x 3 + 4x 2 + 5x + 2 \u003d x 3 + (b - a) x 2 + (cx - ab) x - ac.

Rezolvarea sistemului:

(b – a = 4,
(c – ab = 5,
(-ac=2,

(a = -1,
(b=3,
(c = 2, adică

x 3 + 4x 2 + 5x + 2 \u003d (x + 1) (x 2 + 3x + 2).

Rădăcinile ecuației (x + 1) (x 2 + 3x + 2) = 0 sunt ușor de găsit.

Raspunsul 1; -2.

4. Metoda de selectare a rădăcinii după coeficientul cel mai mare și liber

Metoda se bazează pe aplicarea teoremelor:

1) Orice rădăcină întreagă a unui polinom cu coeficienți întregi este un divizor al termenului liber.

2) Pentru ca fracția ireductibilă p / q (p este un întreg, q este un natural) să fie rădăcina unei ecuații cu coeficienți întregi, este necesar ca numărul p să fie un divizor întreg al termenului liber a 0 și q este un divizor natural al celui mai mare coeficient.

Exemplul 1

6x 3 + 7x 2 - 9x + 2 = 0.

Decizie:

6: q = 1, 2, 3, 6.

Prin urmare p/q = ±1, ±2, ±1/2, ±1/3, ±2/3, ±1/6.

După ce am găsit o rădăcină, de exemplu - 2, vom găsi alte rădăcini folosind împărțirea printr-un colț, metoda coeficienților nedeterminați sau schema lui Horner.

Răspuns: -2; 1/2; 1/3.

Aveti vreo intrebare? Nu știi cum să rezolvi ecuații?
Pentru a primi ajutor de la un tutor -.
Prima lecție este gratuită!

blog.site, cu copierea integrală sau parțială a materialului, este necesar un link către sursă.

La rezolvarea ecuațiilor algebrice, este adesea necesară factorizarea unui polinom. Factorizarea unui polinom înseamnă a-l reprezenta ca produs a două sau mai multe polinoame. Folosim destul de des unele metode de extindere a polinoamelor: scoaterea unui factor comun, folosirea formulelor de înmulțire abreviate, evidențierea pătratului complet, gruparea. Să ne uităm la câteva metode.

Uneori, la factorizarea unui polinom, următoarele afirmații sunt utile:

1) dacă un polinom cu coeficienți întregi are o rădăcină rațională (unde este o fracție ireductibilă, atunci este divizorul termenului liber și divizorul celui mai mare coeficient:

2) Dacă în vreun fel alegem rădăcina unui polinom de grad, atunci polinomul poate fi reprezentat sub forma în care polinomul de grad

Polinomul poate fi găsit fie împărțind polinomul la binomul „coloană”, fie prin gruparea corespunzătoare a termenilor polinomului și extragerea unui factor din aceștia, fie prin metoda coeficienților nedeterminați.

Exemplu. Factorizați un polinom

Decizie. Deoarece coeficientul de la x4 este egal cu 1, atunci rădăcinile raționale ale acestui polinom există și sunt divizori ai numărului 6, adică pot fi numere întregi ±1, ±2, ±3, ±6. Notăm acest polinom cu P4(x). Deoarece Р Р4 (1) = 4 și Р4 (-4) = 23, numerele 1 și -1 nu sunt rădăcini ale polinomului PA (x). Deoarece P4(2) = 0, atunci x = 2 este rădăcina polinomului P4(x) și, prin urmare, acest polinom este divizibil cu binomul x - 2. Prin urmare x4 -5x3 +7x2 -5x +6 x- 2 x4 -2x3 x3 -3x2 +x-3

3x3 +7x2 -5x +6

3x3 + 6x2 x2 - 5x + 6 x2 - 2x

Prin urmare, P4(x) = (x - 2)(x3 - 3x2 + x - 3). Deoarece xz - Zx2 + x - 3 \u003d x2 (x - 3) + (x - 3) \u003d (x - 3) (x2 + 1), atunci x4 - 5x3 + 7x2 - 5x + 6 \u003d (x - 2) (x - 3)(x2 + 1).

Metoda de introducere a parametrilor

Uneori, la factorizarea unui polinom, metoda de introducere a unui parametru ajută. Esența acestei metode va fi explicată prin următorul exemplu.

Exemplu. x3 - (√3 + 1) x2 + 3.

Decizie. Se consideră un polinom cu parametrul a: x3 - (a + 1)x2 + a2, care se transformă într-un polinom dat pentru a = √3. Scriem acest polinom ca un trinom pătrat în raport cu a: ar - ax2 + (x3 - x2).

Deoarece rădăcinile acestui pătrat trinom față de a sunt a1 = x și a2 = x2 - x, atunci egalitatea a2 - ax2 + (xs - x2) = (a - x) (a - x2 + x) este adevărată. Prin urmare, polinomul x3 - (√3 + 1)x2 + 3 se descompune în factori √3 - x și √3 - x2 + x, adică.

x3 - (√3+1)x2+3=(x-√3)(x2-x-√3).

Metoda de introducere a unei noi necunoscute

În unele cazuri, prin înlocuirea expresiei f(x), care este inclusă în polinomul Pn(x), prin y, se poate obține un polinom față de y, care poate fi deja ușor factorizat. Apoi, după înlocuirea y cu f(x), obținem o factorizare a polinomului Pn(x).

Exemplu. Factorizați polinomul x(x+1)(x+2)(x+3)-15.

Decizie. Să transformăm acest polinom astfel: x(x+1)(x+2)(x+3)-15= [x (x + 3)][(x + 1)(x + 2)] - 15 = ( x2 + 3x) (x2 + 3x + 2) - 15.

Notați x2 + 3x cu y. Atunci avem y(y + 2) - 15 = y2 + 2y - 15 = y2 + 2y + 1 - 16 = (y + 1)2 - 16 = (y + 1 + 4)(y + 1 - 4)= ( y + 5) (y - 3).

Prin urmare x(x + 1)(x + 2)(x + 3) - 15 = (x2 + 3x + 5)(x2 + 3x - 3).

Exemplu. Factorizează polinomul (x-4)4+(x+2)4

Decizie. Notați x - 4 + x + 2 = x - 1 cu y.

(x - 4)4 + (x + 2)2 = (y - 3)4 + (y + 3)4 = y4 - 12y3 + 54y3 - 108y + 81 + y4 + 12y3 + 54y2 + 108y + 81 =

2y4 + 108y2 + 162 = 2(y4 + 54y2 + 81) = 2[(y2 + 27)2 - 648] = 2 (y2 + 27 - √b48)(y2 + 27+√b48)=

2((x-1)2+27-√b48)((x-1)2+27+√b48)=2(x2-2x + 28- 18√ 2)(x2- 2x + 28 + 18√ 2 ).

Combinație de diferite metode

Adesea, la factorizarea unui polinom, trebuie să aplicați succesiv mai multe dintre metodele discutate mai sus.

Exemplu. Factorizează polinomul x4 - 3x2 + 4x-3.

Decizie. Folosind gruparea, rescriem polinomul sub forma x4 - 3x2 + 4x - 3 = (x4 - 2x2) - (x2 -4x + 3).

Aplicând metoda de selectare a unui pătrat complet la prima paranteză, avem x4 - 3x3 + 4x - 3 = (x4 - 2 1 x2 + 12) - (x2 -4x + 4).

Folosind formula pătratului complet, putem scrie acum că x4 - 3x2 + 4x - 3 = (x2 -1)2 - (x - 2)2.

În cele din urmă, aplicând formula diferenței de pătrate, obținem că x4 - 3x2 + 4x - 3 \u003d (x2 - 1 + x - 2) (x2 - 1 - x + 2) \u003d (x2 + x-3) (x2) - x + 1).

§ 2. Ecuaţii simetrice

1. Ecuații simetrice de gradul trei

Ecuațiile de forma ax3 + bx2 + bx + a \u003d 0, a ≠ 0 (1) se numesc ecuații simetrice de gradul al treilea. Deoarece ax3 + bx2 + bx + a \u003d a (x3 + 1) + bx (x + 1) \u003d (x + 1) (ax2 + (b-a) x + a), atunci ecuația (1) este echivalentă cu set de ecuații x + 1 \u003d 0 și ax2 + (b-a) x + a \u003d 0, care nu este greu de rezolvat.

Exemplul 1. Rezolvați ecuația

3x3 + 4x2 + 4x + 3 = 0. (2)

Decizie. Ecuația (2) este o ecuație simetrică de gradul trei.

Deoarece 3x3 + 4xr + 4x + 3 = 3(x3 + 1) + 4x(x + 1) = (x + 1)(3x2 - 3x + 3 + 4x) = (x + 1)(3x2 + x + 3) , atunci ecuația (2) este echivalentă cu mulțimea de ecuații x + 1 = 0 și 3x3 + x +3=0.

Soluția primei dintre aceste ecuații este x = -1, a doua ecuație nu are soluții.

Răspuns: x = -1.

2. Ecuații simetrice de gradul al patrulea

Tip ecuație

(3) se numește ecuație simetrică de gradul al patrulea.

Deoarece x \u003d 0 nu este rădăcina ecuației (3), atunci, împărțind ambele părți ale ecuației (3) la x2, obținem o ecuație echivalentă cu cea inițială (3):

Să rescriem ecuația (4) sub forma:

În această ecuație, facem o înlocuire, apoi obținem o ecuație pătratică

Dacă ecuația (5) are 2 rădăcini y1 și y2, atunci ecuația inițială este echivalentă cu setul de ecuații

Dacă ecuația (5) are o rădăcină у0, atunci ecuația inițială este echivalentă cu ecuația

În cele din urmă, dacă ecuația (5) nu are rădăcini, atunci și ecuația inițială nu are rădăcini.

Exemplul 2. Rezolvați ecuația

Decizie. Această ecuație este o ecuație simetrică de gradul al patrulea. Deoarece x \u003d 0 nu este rădăcina sa, atunci, împărțind ecuația (6) la x2, obținem o ecuație echivalentă:

Grupând termenii, rescriem ecuația (7) sub formă sau sub formă

Presupunând că obținem o ecuație care are două rădăcini y1 = 2 și y2 = 3. Prin urmare, ecuația inițială este echivalentă cu setul de ecuații

Soluția primei ecuații a acestei mulțimi este x1 = 1, iar soluția celei de-a doua este u.

Prin urmare, ecuația originală are trei rădăcini: x1, x2 și x3.

Răspuns: x1=1.

§3. Ecuații algebrice

1. Reducerea gradului ecuației

Unele ecuații algebrice, prin înlocuirea unui polinom din ele cu o literă, pot fi reduse la ecuații algebrice al căror grad este mai mic decât gradul ecuației inițiale și a căror soluție este mai simplă.

Exemplul 1. Rezolvați ecuația

Decizie. Notați prin, atunci ecuația (1) poate fi rescrisă ca Ultima ecuație are rădăcini și Prin urmare, ecuația (1) este echivalentă cu setul de ecuații și. Soluția primei ecuații a acestei mulțimi este și Soluția celei de-a doua ecuații este

Soluțiile ecuației (1) sunt

Exemplul 2. Rezolvați ecuația

Decizie. Înmulțind ambele părți ale ecuației cu 12 și notând cu,

Obținem ecuația. Rescriem această ecuație sub forma

(3) și notând prin rescriem ecuația (3) sub forma Ultima ecuație are rădăcini și Prin urmare, obținem că ecuația (3) este echivalentă cu mulțimea a două ecuații și 4)

Soluțiile mulțimii (4) sunt și, iar ele sunt soluțiile ecuației (2).

2. Ecuații de formă

Ecuația

(5) unde sunt date numere, poate fi redus la o ecuație biquadratică folosind înlocuirea necunoscutului, adică înlocuirea

Exemplul 3. Rezolvați ecuația

Decizie. Să notăm prin, adică facem o schimbare de variabile sau Atunci ecuația (6) poate fi rescrisă sub forma sau, folosind formula, sub forma

Deoarece rădăcinile ecuației pătratice sunt și atunci soluțiile ecuației (7) sunt soluțiile mulțimii de ecuații și. Acest set de ecuații are două soluții și, prin urmare, soluțiile ecuației (6) sunt și

3. Ecuații de formă

Ecuația

(8) unde numerele α, β, γ, δ și Α sunt astfel încât α

Exemplul 4. Rezolvați ecuația

Decizie. Să facem o schimbare a necunoscutelor, adică y=x+3 sau x = y – 3. Atunci ecuația (9) poate fi rescrisă ca

(y-2)(y-1)(y+1)(y+2)=10, adică sub forma

(y2-4)(y2-1)=10(10)

Ecuația biquadratică (10) are două rădăcini. Prin urmare, ecuația (9) are și două rădăcini:

4. Ecuații de formă

Ecuație, (11)

Unde, nu are rădăcină x = 0, prin urmare, împărțind ecuația (11) la x2, obținem o ecuație echivalentă

Care, după înlocuirea necunoscutului, va fi rescrisă sub forma unei ecuații pătratice, a cărei soluție nu este dificilă.

Exemplul 5. Rezolvați ecuația

Decizie. Deoarece h \u003d 0 nu este rădăcina ecuației (12), atunci, împărțind-o la x2, obținem o ecuație echivalentă

Făcând schimbarea necunoscută, obținem ecuația (y+1)(y+2)=2, care are două rădăcini: y1 = 0 și y1 = -3. Prin urmare, ecuația inițială (12) este echivalentă cu setul de ecuații

Această colecție are două rădăcini: x1= -1 și x2 = -2.

Răspuns: x1= -1, x2 = -2.

Cometariu. tip ecuație,

Care poate fi întotdeauna redusă la forma (11) și, în plus, considerând α > 0 și λ > 0 la forma.

5. Ecuații de formă

Ecuația

,(13) unde numerele, α, β, γ, δ și Α sunt astfel încât αβ = γδ ≠ 0, pot fi rescrise prin înmulțirea primei paranteze cu a doua, iar a treia cu a patra, sub forma i.e. ecuația (13) este acum scrisă sub forma (11), iar soluția ei poate fi realizată în același mod ca și soluția ecuației (11).

Exemplul 6. Rezolvați ecuația

Decizie. Ecuația (14) are forma (13) , așa că o rescriem ca

Deoarece x = 0 nu este o soluție a acestei ecuații, împărțind ambele părți ale acesteia la x2, obținem o ecuație originală echivalentă. Făcând o schimbare de variabile, obținem o ecuație pătratică a cărei soluție este și. Prin urmare, ecuația inițială (14) este echivalentă cu mulțimea de ecuații u.

Soluția primei ecuații a acestei mulțimi este

A doua ecuație a acestui set de soluții are nr. Deci, ecuația originală are rădăcinile x1 și x2.

6. Ecuații de formă

Ecuația

(15) unde numerele a, b, c, q, A sunt astfel încât, nu are rădăcină x = 0, prin urmare, împărțind ecuația (15) la x2. obţinem o ecuaţie echivalentă cu aceasta, care, după înlocuirea necunoscutului, va fi rescrisă sub forma unei ecuaţii pătratice, a cărei rezolvare nu este dificilă.

Exemplul 7. Rezolvarea ecuației

Decizie. Deoarece x \u003d 0 nu este rădăcina ecuației (16), atunci, împărțind ambele părți la x2, obținem ecuația

, (17) echivalent cu ecuația (16). După ce am făcut schimbarea necunoscutului, putem rescrie ecuația (17) sub forma

Ecuația pătratică (18) are 2 rădăcini: y1 = 1 și y2 = -1. Prin urmare, ecuația (17) este echivalentă cu setul de ecuații și (19)

Mulțimea ecuațiilor (19) are 4 rădăcini: ,.

Ele vor fi rădăcinile ecuației (16).

§4. Ecuații raționale

Ecuațiile de forma = 0, unde H(x) și Q(x) sunt polinoame, se numesc raționale.

După ce am găsit rădăcinile ecuației H(x) = 0, atunci trebuie să verificați care dintre ele nu sunt rădăcinile ecuației Q(x) = 0. Aceste rădăcini și numai ele vor fi soluții ale ecuației.

Luați în considerare câteva metode de rezolvare a unei ecuații de forma = 0.

1. Ecuații de formă

Ecuația

(1) în anumite condiții asupra numerelor se poate rezolva după cum urmează. Grupând termenii ecuației (1) cu doi și însumând fiecare pereche, trebuie să se obțină la numărător polinoame de gradul I sau zero, care diferă doar în factori numerici, iar în numitori - trinoame cu aceiași doi termeni care conțin x, atunci după schimbarea variabilelor, ecuația fie va avea și forma (1), dar cu un număr mai mic de termeni, fie va fi echivalentă cu o combinație de două ecuații, dintre care una va fi de gradul întâi și a doua va fi o ecuație de forma (1), dar cu un număr mai mic de termeni.

Exemplu. rezolva ecuatia

Decizie. Grupând în partea stângă a ecuației (2) primul termen cu ultimul, iar al doilea cu penultimul, rescriem ecuația (2) sub forma

Însumând termenii din fiecare paranteză, rescriem ecuația (3) ca

Deoarece nu există o soluție pentru ecuația (4), atunci, împărțind această ecuație la, obținem ecuația

, (5) echivalent cu ecuația (4). Să facem o schimbare a necunoscutului, apoi ecuația (5) va fi rescrisă sub forma

Astfel, soluția ecuației (2) cu cinci termeni în partea stângă se reduce la soluția ecuației (6) de aceeași formă, dar cu trei termeni în partea stângă. Însumând toți termenii din partea stângă a ecuației (6), o rescriem sub forma

Există și soluții ale ecuației. Niciunul dintre aceste numere nu dispare numitorul funcției raționale din partea stângă a ecuației (7). Prin urmare, ecuația (7) are aceste două rădăcini și, prin urmare, ecuația inițială (2) este echivalentă cu setul de ecuații

Soluțiile primei ecuații a acestei mulțimi sunt

Soluțiile celei de-a doua ecuații din această mulțime sunt

Prin urmare, ecuația originală are rădăcini

2. Ecuații de formă

Ecuația

(8) în anumite condiții pe numere se poate rezolva după cum urmează: este necesar să se selecteze partea întreagă din fiecare dintre fracțiile ecuației, adică să se înlocuiască ecuația (8) cu ecuația

Reduceți-l la forma (1) și apoi rezolvați-l în modul descris în paragraful anterior.

Exemplu. rezolva ecuatia

Decizie. Scriem ecuația (9) sub forma sau sub forma

Însumând termenii din paranteze, rescriem ecuația (10) ca

Făcând schimbarea necunoscutului, rescriem ecuația (11) sub forma

Însumând termenii din partea stângă a ecuației (12), o rescriem sub forma

Este ușor de observat că ecuația (13) are două rădăcini: și. Prin urmare, ecuația inițială (9) are patru rădăcini:

3) Ecuații de formă.

O ecuație de forma (14) în anumite condiții pe numere poate fi rezolvată astfel: prin extinderea (dacă, desigur, acest lucru este posibil) fiecare dintre fracțiile din partea stângă a ecuației (14) în suma fracțiilor simple

Reduceți ecuația (14) la forma (1), apoi, după ce a efectuat o rearanjare convenabilă a termenilor ecuației rezultate, rezolvați-o prin metoda descrisă la paragraful 1).

Exemplu. rezolva ecuatia

Decizie. Deoarece și, apoi, înmulțind numărătorul fiecărei fracții din ecuația (15) cu 2 și remarcând că ecuația (15) poate fi scrisă ca

Ecuația (16) are forma (7). Regrupând termenii din această ecuație, o rescriem sub formă sau sub formă

Ecuația (17) este echivalentă cu setul de ecuații și

Pentru a rezolva a doua ecuație a mulțimii (18), vom face o schimbare a necunoscutului Apoi se va rescrie sub forma sau sub forma

Însumând toți termenii din partea stângă a ecuației (19), rescrieți-o ca

Deoarece ecuația nu are rădăcini, nici ecuația (20) nu le are.

Prima ecuație a mulțimii (18) are o singură rădăcină Deoarece această rădăcină este inclusă în ODZ a celei de-a doua ecuații a mulțimii (18), este singura rădăcină a mulțimii (18) și, prin urmare, ecuația originală.

4. Ecuații de formă

Ecuația

(21) în anumite condiții asupra numerelor și A, după reprezentarea fiecărui termen din partea stângă în formular, acesta poate fi redus la forma (1).

Exemplu. rezolva ecuatia

Decizie. Să rescriem ecuația (22) sub forma sau sub forma

Astfel, ecuația (23) se reduce la forma (1). Acum, grupând primul termen cu ultimul, iar al doilea cu al treilea, rescriem ecuația (23) sub forma

Această ecuație este echivalentă cu setul de ecuații și. (24)

Ultima ecuație setată (24) poate fi rescrisă ca

Există soluții pentru această ecuație și, deoarece este inclusă în ODZ a celei de-a doua ecuații a mulțimii (30), atunci mulțimea (24) are trei rădăcini: Toate sunt soluții ale ecuației inițiale.

5. Ecuații de formă.

Ecuația formei (25)

În anumite condiții asupra numerelor, prin înlocuirea necunoscutului, se poate reduce la o ecuație de formă

Exemplu. rezolva ecuatia

Decizie. Deoarece nu este o soluție a ecuației (26), împărțind numărătorul și numitorul fiecărei fracții din partea stângă la, o rescriem sub forma

După ce am făcut o schimbare de variabile, rescriem ecuația (27) sub forma

Rezolvarea ecuației (28) este și. Prin urmare, ecuația (27) este echivalentă cu setul de ecuații u. (29)

„Metode de rezolvare a ecuațiilor de grade superioare”

( lecturi Kiselevsky)

Profesor de matematică Afanasieva L.A.

Școala secundară MKOU Verkhnekarachanskaya

districtul Gribanovsky, regiunea Voronezh

2015

Educația matematică primită într-o școală de învățământ general este o componentă esențială a educației generale și a culturii generale a unei persoane moderne.

Celebrul matematician german Courant scria: „De mai bine de două mii de ani, deținerea unor cunoștințe, nu prea superficiale, în domeniul matematicii a fost o necesitate. parte integrantăîn inventarul intelectual al fiecărei persoane educate”. Și printre aceste cunoștințe, nu ultimul loc aparține capacității de a rezolva ecuații.

Deja în antichitate, oamenii și-au dat seama cât de important era să înveți cum să rezolvi ecuațiile algebrice. Cu aproximativ 4.000 de ani în urmă, oamenii de știință babilonieni stăpâneau soluția unei ecuații pătratice și rezolvau sisteme de două ecuații, dintre care una era de gradul doi. Cu ajutorul ecuațiilor, au fost rezolvate diverse probleme de topografie, arhitectură și afaceri militare, multe și variate probleme de practică și științe naturale au fost reduse la ele, deoarece limbajul exact al matematicii face posibilă exprimarea simplă a faptelor și a relațiilor care, fiind spus în limbaj obișnuit, poate părea confuz și complex. O ecuație este unul dintre cele mai importante concepte din matematică. Dezvoltarea metodelor de rezolvare a ecuațiilor, pornind de la nașterea matematicii ca știință, perioadă lungă de timp a fost subiectul principal de studiu al algebrei. Și astăzi, la lecțiile de matematică, începând din prima etapă de învățământ, se acordă multă atenție rezolvării ecuațiilor de diferite tipuri.

Nu există o formulă universală pentru găsirea rădăcinilor unei ecuații algebrice de gradul al n-lea. Mulți, desigur, au venit cu ideea tentantă de a găsi pentru orice grad n formule care ar exprima rădăcinile ecuației în termeni de coeficienți, adică ar rezolva ecuația în radicali. Cu toate acestea, „evul mediu sumbru” s-a dovedit a fi cât se poate de sumbru în raport cu problema în discuție – timp de șapte secole întregi nimeni nu a găsit formulele cerute! Abia în secolul al XVI-lea matematicienii italieni au reușit să meargă mai departe - să găsească formule pentru n =3 și n =4 . În același timp, Scipio Dal Ferro, studentul său Fiori și Tartaglia s-au ocupat de problema soluției generale a ecuațiilor de gradul III. În 1545, a fost publicată cartea matematicianului italian D Cardano „Marea artă sau despre regulile algebrei”, unde, alături de alte probleme de algebră, sunt luate în considerare metode generale de rezolvare a ecuațiilor cubice, precum și o metodă de rezolvare. ecuații de gradul IV, descoperite de elevul său L. Ferrari. O prezentare completă a problemelor legate de rezolvarea ecuațiilor de gradul III și IV a fost făcută de F. Viet. Și în anii 20 ai secolului al XIX-lea, matematicianul norvegian N. Abel a dovedit că rădăcinile ecuațiilor de gradul 5 și superior nu pot fi exprimate prin radicali.

Procesul de găsire a soluțiilor unei ecuații constă de obicei în înlocuirea ecuației cu una echivalentă. Înlocuirea unei ecuații cu una echivalentă se bazează pe aplicarea a patru axiome:

1. Dacă valorile egale sunt crescute cu același număr, atunci rezultatele vor fi egale.

2. Dacă același număr este scăzut din valori egale, atunci rezultatele vor fi egale.

3. Dacă valorile egale sunt înmulțite cu același număr, atunci rezultatele vor fi egale.

4. Dacă valori egale sunt împărțite la același număr, atunci rezultatele vor fi egale.

Deoarece partea stângă a ecuației P(x) = 0 este un polinom de gradul al n-lea, este util să ne amintim următoarele afirmații:

Afirmații despre rădăcinile unui polinom și divizorii acestuia:

1. Polinomul de gradul al n-lea are un număr de rădăcini care nu depășește numărul n, iar rădăcinile multiplicității m apar exact de m ori.

2. Un polinom de grad impar are cel puțin o rădăcină reală.

3. Dacă α este rădăcina lui Р(х), atunci Р n (х) = (х - α)·Q n - 1 (x), unde Q n - 1 (x) este un polinom de grad (n - 1) .

4. Orice rădăcină întreagă a unui polinom cu coeficienți întregi este un divizor al termenului liber.

5. Un polinom redus cu coeficienți întregi nu poate avea rădăcini raționale fracționale.

6. Pentru un polinom de gradul trei

P 3 (x) \u003d ax 3 + bx 2 + cx + d unul dintre cele două lucruri este posibil: fie se descompune într-un produs de trei binoame

P 3 (x) \u003d a (x - α) (x - β) (x - γ) sau se descompune în produsul unui binom și a unui trinom pătrat P 3 (x) \u003d a (x - α) ( x 2 + βx + y).

7. Orice polinom de gradul al patrulea se extinde în produsul a două trinoame pătrate.

9. Pentru ca polinomul P(x) să fie divizibil cu binomul (x – c), este necesar și suficient ca c să fie rădăcina lui P(x) (Corolar teoremei lui Bezout).

10. Teorema lui Vieta: Dacă x 1, x 2, ..., x n sunt rădăcinile reale ale polinomului

P (x) = a 0 x n + a 1 x n - 1 + ... + a n, atunci sunt valabile următoarele egalități:

x 1 + x 2 + ... + x n \u003d -a 1 / a 0,

x 1 x 2 + x 1 x 3 + ... + x n - 1 x n \u003d a 2 / a 0,

x 1 x 2 x 3 + ... + x n - 2 x n - 1 x n \u003d -a 3 / a 0,

x 1 x 2 x 3 x n \u003d (-1) n a n / a 0.

Rezolvarea exemplelor

Exemplul 1 . Găsiți restul după împărțirea P (x) \u003d x 3 + 2/3 x 2 - 1/9 la (x - 1/3).

Decizie. Conform corolarului teoremei lui Bezout: „Rămânul împărțirii unui polinom la un binom (x - c) este egal cu valoarea polinomului în c”. Să găsim P(1/3) = 0. Prin urmare, restul este 0 și numărul 1/3 este rădăcina polinomului.

Răspuns: R = 0.

Exemplul 2 . Împărțiți „colțul” 2x 3 + 3x 2 - 2x + 3 la (x + 2). Găsiți restul și coeficientul incomplet.

Decizie:

2x 3 + 3x 2 – 2x + 3| x + 2

2x 3 + 4x 2 2x 2 – x

X 2 - 2x

Răspuns: R = 3; coeficient: 2x 2 - x.

Metode de bază pentru rezolvarea ecuațiilor de grade superioare

1. Introducerea unei noi variabile

Metoda de introducere a unei noi variabile este aceea că, pentru a rezolva ecuația f (x) \u003d 0, se introduce o nouă variabilă (substituție) t \u003d x n sau t \u003d g (x) și f (x) este exprimată prin t , obținându-se o nouă ecuație r (t) . Rezolvând apoi ecuația r(t), găsiți rădăcinile: (t 1 , t 2 , …, t n). După aceea, se obține o mulțime de n ecuații q(x) = t 1 , q(x) = t 2 , ... , q(x) = t n, din care se găsesc rădăcinile ecuației inițiale.

Exemplu;(x 2 + x + 1) 2 - 3x 2 - 3x - 1 = 0.

Rezolvare: (x 2 + x + 1) 2 - 3x 2 - 3x - 1 = 0.

(x 2 + x + 1) 2 - 3 (x 2 + x + 1) + 3 - 1 = 0.

Înlocuire (x 2 + x + 1) = t.

t 2 - 3t + 2 = 0.

t 1 \u003d 2, t 2 \u003d 1. Înlocuire inversă:

x 2 + x + 1 = 2 sau x 2 + x + 1 = 1;

x 2 + x - 1 \u003d 0 sau x 2 + x \u003d 0;

Din prima ecuație: x 1, 2 = (-1 ± √5) / 2, din a doua: 0 și -1.

Metoda de introducere a unei noi variabile își găsește aplicație în rezolvare returnabil ecuații, adică ecuații de forma a 0 x n + a 1 x n - 1 + .. + a n - 1 x + a n \u003d 0, în care coeficienții termenilor ecuației, distanțați egal de la început și de la sfârșit , sunt egale.

2. Factorizarea prin metoda grupării și formulelor de înmulțire prescurtate

Baza acestei metode este de a grupa termenii în așa fel încât fiecare grup să conțină un factor comun. Pentru a face acest lucru, uneori trebuie să folosiți niște trucuri artificiale.

Exemplu: x 4 - 3x 2 + 4x - 3 = 0.

Decizie. Imaginați-vă - 3x 2 \u003d -2x 2 - x 2 și grupați:

(x 4 - 2x 2) - (x 2 - 4x + 3) = 0.

(x 4 - 2x 2 +1 - 1) - (x 2 - 4x + 3 + 1 - 1) = 0.

(x 2 - 1) 2 - 1 - (x - 2) 2 + 1 = 0.

(x 2 - 1) 2 - (x - 2) 2 \u003d 0.

(x 2 - 1 - x + 2) (x 2 - 1 + x - 2) = 0.

(x 2 - x + 1) (x 2 + x - 3) = 0.

x 2 - x + 1 \u003d 0 sau x 2 + x - 3 \u003d 0.

Nu există rădăcini în prima ecuație, din a doua: x 1, 2 = (-1 ± √13) / 2.

3. Factorizarea prin metoda coeficienților nedeterminați

Exemplu: x 3 + 4x 2 + 5x + 2 = 0.

Decizie. Un polinom de gradul 3 poate fi descompus într-un produs de factori liniari și pătrați.

x 3 + 4x 2 + 5x + 2 \u003d (x - a) (x 2 + bx + c),

x 3 + 4x 2 + 5x + 2 = x 3 + bx 2 + cx - ax 2 - abx - ac,

x 3 + 4x 2 + 5x + 2 = x 3 + (b - a) x 2 + (c - ab) x - ac.

Rezolvarea sistemului:

primim

x 3 + 4x 2 + 5x + 2 \u003d (x + 1) (x 2 + 3x + 2).

Rădăcinile ecuației (x + 1) (x 2 + 3x + 2) = 0 sunt ușor de găsit.

Raspunsul 1; -2.

4. Metoda de selectare a rădăcinii după coeficientul cel mai mare și liber

Metoda se bazează pe aplicarea teoremelor:

1) Orice rădăcină întreagă a unui polinom cu coeficienți întregi este un divizor al termenului liber.

2) Pentru ca fracția ireductibilă p / q (p este un număr întreg, q este un natural) să fie rădăcina unei ecuații cu coeficienți întregi, este necesar ca numărul p să fie un divizor întreg al termenului liber a 0 , iar q este un divizor natural al celui mai mare coeficient.

Exemplu: 6x3 + 7x2 - 9x + 2 = 0.

Decizie:

2: p = ±1, ±2

6: q = 1, 2, 3, 6.

Prin urmare p/q = ±1, ±2, ±1/2, ±1/3, ±2/3, ±1/6.

După ce am găsit o rădăcină, de exemplu - 2, vom găsi alte rădăcini folosind împărțirea printr-un colț, metoda coeficienților nedeterminați sau schema lui Horner.

Răspuns: -2; 1/2; 1/3.

5. Metoda grafică.

Această metodă constă în trasarea graficelor și utilizarea proprietăților funcțiilor.

Exemplu: x 5 + x - 2 = 0

Să reprezentăm ecuația sub forma x 5 \u003d - x + 2. Funcția y \u003d x 5 este în creștere, iar funcția y \u003d - x + 2 este în scădere. Aceasta înseamnă că ecuația x 5 + x - 2 \u003d 0 are o singură rădăcină -1.

6. Înmulțirea unei ecuații cu o funcție.

Uneori, soluția unei ecuații algebrice este mult facilitată prin înmulțirea ambelor părți cu o funcție - un polinom în necunoscut. În același timp, trebuie amintit că pot apărea rădăcini suplimentare - rădăcinile polinomului cu care a fost înmulțită ecuația. Prin urmare, trebuie fie să se înmulțească cu un polinom care nu are rădăcini și să se obțină o ecuație echivalentă, fie să se înmulțească cu un polinom cu rădăcini, apoi fiecare dintre aceste rădăcini trebuie să fie înlocuită în ecuația originală și să determine dacă acest număr este rădăcina lui.

Exemplu. Rezolvați ecuația:

X 8 – X 6 + X 4 – X 2 + 1 = 0. (1)

Decizie: Înmulțind ambele părți ale ecuației cu polinomul X 2 + 1, care nu are rădăcini, obținem ecuația:

(X 2 + 1) (X 8 - X 6 + X 4 - X 2 + 1) \u003d 0 (2)
echivalent cu ecuația (1). Ecuația (2) poate fi scrisă ca:

X 10 + 1= 0 (3)
Este clar că ecuația (3) nu are rădăcini reale, deci ecuația (1) nu le are.

Răspuns: nu exista solutii.

Pe lângă metodele de mai sus pentru rezolvarea ecuațiilor de grade superioare, există și altele. De exemplu, selectarea unui pătrat complet, schema lui Horner, reprezentarea unei fracții sub formă de două fracții. Dintre metodele generale de rezolvare a ecuațiilor de grade superioare, care sunt cele mai des folosite, se folosesc: metoda factorizării părții stângi a ecuației în factori;

metoda de înlocuire a variabilei (metoda de introducere a unei noi variabile); mod grafic. Prezentăm aceste metode elevilor de clasa a IX-a atunci când studiem tema „Toată ecuația și rădăcinile ei”. În manualul Algebra 9 (autori Yu.N. Makarychev, N.G. Mindyuk și alții) din ultimii ani de publicare, principalele metode de rezolvare a ecuațiilor de grade superioare sunt considerate suficient de detaliat. În plus, în secțiunea „Pentru cei care doresc să afle mai multe”, în opinia mea, materialul este prezentat într-un mod accesibil despre aplicarea teoremelor la rădăcina unui polinom și a rădăcinilor întregi ale unei întregi ecuații la rezolvarea ecuațiilor superioare. grade. Elevii bine pregătiți studiază acest material cu interes și apoi prezintă colegilor ecuațiile rezolvate.

Aproape tot ceea ce ne înconjoară este legat într-un fel sau altul de matematică. Realizările în fizică, inginerie, tehnologia informației nu fac decât să confirme acest lucru. Și ceea ce este foarte important - rezolvarea multor probleme practice se rezumă la rezolvarea diferitelor tipuri de ecuații pe care trebuie să înveți cum să le rezolvi.

Textul lucrării este plasat fără imagini și formule.
Versiunea completă a lucrării este disponibilă în fila „Fișiere de locuri de muncă” în format PDF

Introducere

Rezolvarea ecuațiilor algebrice de grade superioare cu o necunoscută este una dintre cele mai dificile și mai vechi probleme matematice. Cei mai eminenți matematicieni ai antichității s-au ocupat de aceste probleme.

Rezolvarea ecuațiilor de gradul al n-lea este o sarcină importantă și pentru matematica modernă. Interesul față de ele este destul de mare, deoarece aceste ecuații sunt strâns legate de căutarea rădăcinilor ecuațiilor care nu sunt luate în considerare de programa școlară în matematică.

Problemă: lipsa abilităților de rezolvare a ecuațiilor de grade superioare în diverse moduri în rândul studenților îi împiedică să se pregătească cu succes pentru certificarea finală la matematică și olimpiade de matematică, pregătirea la o clasă specializată de matematică.

Faptele de mai sus au determinat relevanţă a lucrării noastre „Rezolvarea ecuațiilor de grade superioare”.

Deținerea celor mai simple metode de rezolvare a ecuațiilor de gradul al n-lea reduce timpul de finalizare a sarcinii, de care depind rezultatul muncii și calitatea procesului de învățare.

Obiectiv: studiul metodelor cunoscute de rezolvare a ecuațiilor de grade superioare și identificarea celor mai accesibile dintre ele pentru aplicare practică.

Pe baza acestui obiectiv, urmează sarcini:

Să studieze literatura și resursele de pe Internet pe această temă;

Familiarizați-vă cu faptele istorice legate de această temă;

Descrieți diferite moduri de rezolvare a ecuațiilor de grade superioare

comparați gradul de dificultate al fiecăruia dintre ei;

Să familiarizeze colegii cu metode de rezolvare a ecuațiilor de grade superioare;

Creați un set de ecuații pentru aplicarea practică a fiecăreia dintre metodele luate în considerare.

Obiect de studiu- ecuaţii de grade superioare cu o variabilă.

Subiect de studiu- modalitati de rezolvare a ecuatiilor de grade superioare.

Ipoteză: nu există o cale generală și un singur algoritm care să permită găsirea de soluții la ecuații de gradul al n-lea într-un număr finit de pași.

Metode de cercetare:

- metoda bibliografică (analiza literaturii pe tema de cercetare);

- metoda de clasificare;

- metoda analizei calitative.

Semnificație teoretică cercetarea constă în sistematizarea metodelor de rezolvare a ecuaţiilor de grade superioare şi descrierea algoritmilor acestora.

Semnificație practică- materialul prezentat pe această temă și elaborarea unui suport didactic pentru elevi pe această temă.

1. ECUAȚII ALE PUTERILOR SUPERIOARE

1.1 Conceptul de ecuație de gradul al n-lea

Definiția 1. O ecuație de gradul al n-lea este o ecuație de formă

A 0 xⁿ+a 1 X n -1 +a 2 xⁿ - ²+…+a n -1 x+a n = 0, unde coeficienții A 0, A 1, A 2…, A n -1, A n - orice numere reale și ,A 0 ≠ 0 .

Polinom A 0 xⁿ+a 1 X n -1 +a 2 xⁿ - ²+…+a n -1 x+a n se numește polinom de gradul al n-lea. Coeficienții se disting prin nume: A 0 - coeficient senior; A n este membru liber.

Definiție 2. Soluții sau rădăcini pentru o ecuație dată sunt toate valorile variabilei X, care transformă această ecuație într-o egalitate numerică adevărată sau, pentru care polinomul A 0 xⁿ+a 1 X n -1 +a 2 xⁿ - ²+…+a n -1 x+a n merge la zero. O astfel de valoare variabilă X numită și rădăcina unui polinom. A rezolva o ecuație înseamnă a-i găsi toate rădăcinile sau a stabili că nu există.

În cazul în care un A 0 = 1, atunci o astfel de ecuație se numește ecuație rațională cu număr întreg redus n al grad.

Pentru ecuațiile de gradul al treilea și al patrulea, există formule Cardano și Ferrari care exprimă rădăcinile acestor ecuații în termeni de radicali. S-a dovedit că în practică sunt rar folosite. Astfel, dacă n ≥ 3, iar coeficienții polinomului sunt numere reale arbitrare, atunci găsirea rădăcinilor ecuației nu este o sarcină ușoară. Cu toate acestea, în multe cazuri speciale, această problemă este rezolvată până la capăt. Să ne oprim asupra unora dintre ele.

1.2 Fapte istorice de rezolvare a ecuațiilor de grade superioare

O formulă universală pentru găsirea rădăcinilor unei ecuații algebrice n-a nici-o calificare. Mulți, desigur, au venit cu ideea tentantă de a găsi formule pentru orice putere a lui n care ar exprima rădăcinile ecuației în termeni de coeficienți, adică ar rezolva ecuația în radicali.

Abia în secolul al XVI-lea, matematicienii italieni au reușit să meargă mai departe - să găsească formule pentru n \u003d 3 și n \u003d 4. În același timp, Scipio, Dahl, Ferro și studenții săi Fiori și Tartaglia au fost implicați în problema rezolvarea generală a ecuațiilor de gradul III.

În 1545 a fost publicată cartea matematicianului italian D. Cardano „Marea artă, sau despre regulile algebrei”, unde, alături de alte întrebări de algebră, sunt luate în considerare metode generale de rezolvare a ecuațiilor cubice, precum și o metodă de rezolvarea ecuațiilor de gradul IV, descoperite de elevul său L. Ferrari.

O expunere completă a întrebărilor legate de rezolvarea ecuațiilor de gradul III și IV a fost făcută de F. Viet.

În anii 20 ai secolului al XIX-lea, matematicianul norvegian N. Abel a demonstrat că rădăcinile ecuațiilor de gradul al cincilea nu pot fi exprimate prin radicali.

În timpul studiului, a fost dezvăluit că știința modernă cunoaște multe modalități de a rezolva ecuațiile de gradul al n-lea.

Rezultatul căutării metodelor de rezolvare a ecuațiilor de grade superioare care nu pot fi rezolvate prin metodele avute în vedere în programa școlară sunt metode bazate pe aplicarea teoremei Vieta (pentru ecuațiile de grad n>2), teoremele lui Bezout, schemele lui Horner, precum și formula Cardano și Ferrari pentru rezolvarea ecuațiilor cubice și quartice.

Lucrarea prezintă metode de rezolvare a ecuațiilor și tipurile acestora, care au devenit o descoperire pentru noi. Acestea includ - metoda coeficienților nedeterminați, alocarea gradului complet, ecuații simetrice.

2. SOLUȚIONAREA ECUAȚIILOR INTEGRATE ALE PUTERILOR MAI MARI CU COEFICIENȚI INTEGRAȚI

2.1 Rezolvarea ecuațiilor de gradul III. Formula D. Cardano

Luați în considerare ecuații de formă X 3 +px+q=0. Transformăm ecuația generală în forma: X 3 +px 2 +qx+r=0. Să notăm formula cubului sumei; Să o adăugăm la egalitatea originală și să o înlocuim cu y. Obtinem ecuatia: y 3 + (q -) (y -) + (r - =0. După transformări, avem: y 2 +py + q=0. Acum, să scriem din nou formula cubului sumei:

(a+b) 3 =a 3 + 3a 2 b+3ab 2 +b 3 = a 3 +b 3 + 3ab (a + b), a inlocui ( a+b)pe X, obținem ecuația X 3 - 3abx - (a 3 +b 3) = 0. Acum este clar că ecuația inițială este echivalentă cu sistemul: și Rezolvând sistemul, obținem:

Am obținut o formulă pentru rezolvarea ecuației de mai sus a gradului 3. Poartă numele matematicianului italian Cardano.

Luați în considerare un exemplu. Rezolvați ecuația: .

Noi avem R= 15 și q= 124, apoi folosind formula Cardano calculăm rădăcina ecuației

Concluzie: această formulă este bună, dar nu este potrivită pentru rezolvarea tuturor ecuațiilor cubice. Cu toate acestea, este voluminos. Prin urmare, este rar folosit în practică.

Dar cel care stăpânește această formulă o poate folosi la rezolvarea ecuațiilor de gradul III la examen.

2.2 Teorema lui Vieta

Din cursul de matematică, știm această teoremă pentru o ecuație pătratică, dar puțini oameni știu că este folosită și pentru a rezolva ecuații de grade superioare.

Luați în considerare ecuația:

factorizați partea stângă a ecuației, împărțiți la ≠ 0.

Transformăm partea dreaptă a ecuației în formă

; De aici rezultă că putem scrie următoarele egalități în sistem:

Formulele derivate de Vieta pentru ecuațiile pătratice și demonstrate de noi pentru ecuațiile de gradul 3 sunt valabile și pentru polinoamele de grade superioare.

Să rezolvăm ecuația cubică:

Concluzie: această metodă este universală și suficient de ușor de înțeles pentru elevi, deoarece teorema lui Vieta le este familiară din programa școlară pentru n. = 2. În același timp, pentru a găsi rădăcinile ecuațiilor folosind această teoremă, este necesar să aveți bune abilități de calcul.

2.3 Teorema lui Bezout

Această teoremă este numită după matematicianul francez din secolul al XVIII-lea J. Bezout.

Teorema. Dacă ecuaţia A 0 xⁿ+a 1 X n -1 +a 2 xⁿ - ²+…+a n -1 x+a n = 0, în care toți coeficienții sunt numere întregi, iar termenul liber este diferit de zero, are o rădăcină întreagă, atunci această rădăcină este un divizor al termenului liber.

Având în vedere că polinomul de gradul al n-lea se află în partea stângă a ecuației, teorema are o altă interpretare.

Teorema. La împărțirea unui polinom de gradul al n-lea față de Xîntr-un binom x-a restul este egal cu valoarea dividendului când x = a. (scrisoare A poate desemna orice număr real sau imaginar, adică orice număr complex).

Dovada: lasa f(x) denotă un polinom arbitrar de gradul al n-lea față de variabila x, și fie, când este împărțit la un binom ( x-a) s-a întâmplat în privat q(x), iar în rest R. Este evident că q(x) va exista un polinom (n - 1) gradul relativ X, iar restul R va fi o valoare constantă, adică independent de X.

Dacă restul R a fost un polinom de gradul I în x, atunci aceasta ar însemna că împărțirea nu a fost efectuată. Asa de, R din X nu depinde. Prin definiția diviziunii, obținem identitatea: f(x)=(x-a)q(x)+R.

Egalitatea este adevărată pentru orice valoare a lui x, deci este valabilă și pentru x=a, primim: f(a)=(a-a)q(a)+R. Simbol fa) denotă valoarea polinomului f (X) la x=a, q(a) denotă o valoare q(x) la x=a. Rest R a ramas ca inainte R din X nu depinde. Muncă ( x-a) q(a) = 0, deoarece multiplicatorul ( x-a) = 0,și multiplicatorul q(a) există un anumit număr. Prin urmare, din egalitate obținem: f(a)=R, h.t.d.

Exemplul 1 Aflați restul împărțirii unui polinom X 3 - 3X 2 + 6X- 5 pe binom

X- 2. După teorema Bezout : R=f(2) = 23-322 + 62 -5=3. Răspuns: R= 3.

Rețineți că teorema lui Bézout nu este atât de importantă în sine, ci din cauza consecințelor sale. (Anexa 1)

Să ne oprim asupra analizei unor metode de aplicare a teoremei lui Bezout la rezolvarea problemelor practice. Trebuie remarcat faptul că atunci când rezolvăm ecuații folosind teorema Bezout, este necesar:

Găsiți toți divizorii întregi ai termenului liber;

Dintre acești divizori, găsiți cel puțin o rădăcină a ecuației;

Împărțiți partea stângă a ecuației cu (Ha);

Scrieți produsul divizorului și câtul în partea stângă a ecuației;

Rezolvați ecuația rezultată.

Luați în considerare exemplul de rezolvare a ecuației x 3 + 4X 2 + x - 6 = 0 .

Rezolvare: găsiți divizorii termenului liber ±1 ; ± 2; ± 3; ± 6. Calculați valorile pentru x= 1, 1 3 + 41 2 + 1-6=0. Împărțiți partea stângă a ecuației la ( X- 1). Efectuăm împărțirea cu un „colț”, obținem:

Concluzie: Teorema lui Bezout, una dintre modalitățile pe care le avem în vedere în munca noastră, este studiată în programul activităților extrașcolare. Este greu de înțeles, pentru că pentru a o stăpâni, trebuie să cunoști toate consecințele din ea, dar, în același timp, teorema lui Bezout este unul dintre asistenții principali ai studenților la examen.

2.4 Schema lui Horner

A împărți un polinom la un binom x-α poți folosi un truc simplu și special inventat de matematicienii englezi din secolul al XVII-lea, numit mai târziu schema lui Horner. Pe lângă găsirea rădăcinilor ecuațiilor, schema lui Horner facilitează calcularea valorilor acestora. Pentru a face acest lucru, este necesar să înlocuiți valoarea variabilei în polinomul Pn (x)=a 0 xn+a 1 X n-1 +a 2 xⁿ - ²+…++ a n -1 x+a n. (unu)

Se consideră împărțirea polinomului (1) la binom X-α.

Exprimăm coeficienții coeficientului incomplet b 0 xⁿ - ¹+ b 1 xⁿ - ²+ b 2 xⁿ - ³+…+ bn -1 iar restul r din punct de vedere al coeficienților polinomului Pn( X) și numărul α. b 0 =a 0 , b 1 = α b 0 +a 1 , b 2 = α b 1 +a 2 …, bn -1 =

= α bn -2 +a n -1 = α bn -1 +a n .

Calculele conform schemei Horner sunt prezentate sub forma următorului tabel:

	A 0	A 1	A 2 ,
	b 0 =a 0	b 1 = α b 0 +a 1	b 2 = α b 1 +a 2		r=α b n-1 +a n

În măsura în care r=Pn(α), atunci α este rădăcina ecuației. Pentru a verifica dacă α este o rădăcină multiplă, schema lui Horner poate fi aplicată deja coeficientului b 0 x+ b 1 x+…+ bn -1 conform tabelului. Dacă în coloana de sub bn -1 obținem din nou 0, deci α este o rădăcină multiplă.

Luați în considerare un exemplu: rezolvați ecuația X 3 + 4X 2 + x - 6 = 0.

Să aplicăm în partea stângă a ecuației factorizarea polinomului din partea stângă a ecuației, schema lui Horner.

Rezolvare: găsiți divizorii termenului liber ± 1; ±2; ± 3; ± 6.


				6 ∙ 1 + (-6) = 0

Coeficienții coeficientului sunt numerele 1, 5, 6, iar restul este r = 0.

Mijloace, X 3 + 4X 2 + X - 6 = (X - 1) (X 2 + 5X + 6) = 0.

De aici: X- 1 = 0 sau X 2 + 5X + 6 = 0.

X = 1, X 1 = -2; X 2 = -3. Răspuns: 1,- 2, - 3.

Concluzie: astfel, pe o ecuație, am arătat utilizarea a două moduri diferite de factorizare a polinoamelor. În opinia noastră, schema lui Horner este cea mai practică și mai economică.

2.5 Rezolvarea ecuațiilor de gradul 4. metoda Ferrari

Studentul lui Cardano, Ludovic Ferrari, a descoperit o modalitate de a rezolva o ecuație de gradul 4. Metoda Ferrari constă în două etape.

Etapa I: ecuația formei este reprezentată ca produs a două trinoame pătrate; aceasta rezultă din faptul că ecuația este de gradul 3 și cel puțin o soluție.

Etapa a II-a: ecuațiile rezultate sunt rezolvate folosind factorizarea, totuși, pentru a găsi factorizarea necesară, trebuie să rezolvăm ecuații cubice.

Ideea este de a reprezenta ecuațiile ca A 2 =B 2 unde A= X 2+s,

Funcția B-liniară a X. Apoi rămâne de rezolvat ecuațiile A = ±B.

Pentru claritate, luați în considerare ecuația: Separăm gradul 4, obținem: Pentru orice d expresia va fi un pătrat perfect. Adăugați ambele părți ale ecuației pe care o obținem

În partea stângă este un pătrat plin, puteți ridica d astfel încât partea dreaptă a lui (2) devine un pătrat perfect. Imaginează-ți că am reușit acest lucru. Atunci ecuația noastră arată astfel:

Găsirea rădăcinii mai târziu nu va fi dificilă. Pentru a alege corect d este necesar ca discriminantul din partea dreaptă a lui (3) să dispară, i.e.

Deci pentru a găsi d, este necesar să se rezolve această ecuație de gradul 3. Această ecuație auxiliară se numește rezolutiv.

Putem găsi cu ușurință rădăcina întreagă a soluției: d= 1

Înlocuind ecuația în (1), obținem

Concluzie: metoda Ferrari este universală, dar complicată și greoaie. În același timp, dacă algoritmul de soluție este clar, atunci ecuațiile de gradul 4 pot fi rezolvate prin această metodă.

2.6 Metoda coeficienților nedeterminați

Succesul rezolvării ecuației de gradul 4 prin metoda Ferrari depinde dacă rezolvăm soluția - ecuația de gradul 3, care, după cum știm, nu este întotdeauna posibilă.

Esența metodei coeficienților nedeterminați este aceea că se ghicește tipul de factori în care se descompune un anumit polinom, iar coeficienții acestor factori (și polinoame) sunt determinați prin înmulțirea factorilor și echivalarea coeficienților la aceleași puteri ale variabil.

Exemplu: rezolvați ecuația:

Să presupunem că partea stângă a ecuației noastre poate fi descompusă în două trinoame pătrate cu coeficienți întregi astfel încât egalitatea identică

Este evident că coeficienții din fața lor trebuie să fie egali cu 1, iar termenii liberi trebuie să fie egali cu unu + 1, celălalt are 1.

Coeficienții care se confruntă X. Să le notăm prin Ași pentru a le determina, înmulțim ambele trinoame din partea dreaptă a ecuației.

Ca rezultat, obținem:

Echivalarea coeficienților la aceleași puteri X pe părțile stânga și dreaptă ale egalității (1), obținem un sistem pentru găsirea și

Rezolvând acest sistem, vom avea

Deci ecuația noastră este echivalentă cu ecuația

Rezolvând-o, obținem următoarele rădăcini: .

Metoda coeficienților nedeterminați se bazează pe următoarele afirmații: orice polinom de gradul al patrulea din ecuație poate fi descompus în produsul a două polinoame de gradul doi; două polinoame sunt identic egale dacă și numai dacă coeficienții lor sunt egali la aceleași puteri X.

2.7 Ecuații simetrice

Definiție. O ecuație de formă se numește simetrică dacă primii coeficienți din stânga ecuației sunt egali cu primii coeficienți din dreapta.

Vedem că primii coeficienți din stânga sunt egali cu primii coeficienți din dreapta.

Dacă o astfel de ecuație are un grad impar, atunci are o rădăcină X= - 1. În continuare, putem scădea gradul ecuației împărțind-o la ( x+ unu). Se pare că la împărțirea ecuației simetrice la ( x+ 1) se obține o ecuație simetrică de grad par. Dovada simetriei coeficienților este prezentată mai jos. (Anexa 6) Sarcina noastră este să învățăm cum să rezolvăm ecuații simetrice de grad par.

De exemplu: (1)

Rezolvăm ecuația (1), împărțim la X 2 (la gradul mijlociu) = 0.

Grupăm termenii cu simetric

) + 3(X+ . Denota la= X+ , să pătram ambele părți, deci = la 2 Deci 2( la 2 sau 2 la 2 + 3 rezolvând ecuația, obținem la = , la= 3. În continuare, revenim la înlocuitor X+ = și X+ = 3. Obținem ecuațiile și Prima nu are soluție, iar a doua are două rădăcini. Răspuns:.

Concluzie: acest tip de ecuație nu se întâlnește des, dar dacă dai peste el, atunci poate fi rezolvată ușor și simplu, fără a apela la calcule greoaie.

2.8 Extragerea gradului complet

Luați în considerare ecuația.

Partea stângă este cubul sumei (x + 1), adică.

Extragem rădăcina gradului al treilea din ambele părți: , apoi obținem

Unde este singura rădăcină.

REZULTATELE STUDIULUI

În urma lucrărilor, am ajuns la următoarele concluzii:

Datorită teoriei studiate, ne-am familiarizat cu diverse metode de rezolvare a ecuațiilor întregi de grade superioare;

Formula lui D. Cardano este greu de utilizat și oferă o probabilitate mare de a face erori în calcul;

− metoda lui L. Ferrari permite reducerea soluţiei ecuaţiei de gradul al patrulea la cea cubică;

− Teorema lui Bezout poate fi folosită atât pentru ecuațiile cubice, cât și pentru ecuațiile de gradul IV; este mai înțeles și mai ilustrativ atunci când este aplicat la rezolvarea ecuațiilor;

Schema lui Horner ajută la reducerea și simplificarea semnificativă a calculelor în rezolvarea ecuațiilor. Pe lângă găsirea rădăcinilor, schema lui Horner facilitează calcularea valorilor polinoamelor din partea stângă a ecuației;

Un interes deosebit a fost rezolvarea ecuațiilor prin metoda coeficienților nedeterminați, soluția ecuațiilor simetrice.

În cadrul lucrărilor de cercetare s-a constatat că studenții se familiarizează cu cele mai simple metode de rezolvare a ecuațiilor de cel mai înalt grad la orele opționale de matematică, începând cu clasa a IX-a sau a X-a, precum și la cursurile speciale de vizitare a matematicii. scoli. Acest fapt a fost stabilit în urma unui sondaj între profesori de matematică de la MBOU „Școala Gimnazială Nr.9” și elevi care manifestă un interes sporit pentru disciplina „matematică”.

Cele mai populare metode de rezolvare a ecuațiilor de grade superioare, care se întâlnesc în rezolvarea olimpiadelor, a problemelor competitive și ca urmare a pregătirii pentru examene de către studenți, sunt metode bazate pe aplicarea teoremei lui Bezout, a schemei lui Horner și a introducerii unei noi variabile. .

Demonstrarea rezultatelor muncii de cercetare, de ex. modalități de rezolvare a ecuațiilor care nu sunt studiate în programa școlară la matematică, colegii interesați.

Concluzie

După ce a studiat literatura educațională și științifică, resursele de pe Internet în forumuri educaționale pentru tineret

Considera rezolvarea ecuaţiilor cu o variabilă de grad mai mare decât a doua.

Gradul ecuației P(x) = 0 este gradul polinomului P(x), adică. cea mai mare dintre puterile termenilor săi cu un coeficient diferit de zero.

Amintiți-vă regulile care vor fi necesare pentru a rezolva ecuații de grad mai mare decât al doilea.

Afirmații despre rădăcinile unui polinom și divizorii acestuia:

1. Polinomul de gradul al n-lea are un număr de rădăcini care nu depășește numărul n, iar rădăcinile multiplicității m apar exact de m ori.

2. Un polinom de grad impar are cel puțin o rădăcină reală.

3. Dacă α este rădăcina lui Р(х), atunci Р n (х) = (х – α) · Q n – 1 (x), unde Q n – 1 (x) este un polinom de grad (n – 1) .

5. Un polinom redus cu coeficienți întregi nu poate avea rădăcini raționale fracționale.

6. Pentru un polinom de gradul trei

P 3 (x) \u003d ax 3 + bx 2 + cx + d unul dintre cele două lucruri este posibil: fie se descompune într-un produs de trei binoame

P 3 (x) \u003d a (x - α) (x - β) (x - γ) sau se descompune în produsul unui binom și a unui trinom pătrat P 3 (x) \u003d a (x - α) ( x 2 + βx + y).

7. Orice polinom de gradul al patrulea se extinde în produsul a două trinoame pătrate.

9. Pentru ca polinomul P(x) să fie divizibil cu binomul (x – c), este necesar și suficient ca numărul c să fie rădăcina lui P(x) (Corolar teoremei lui Bezout).

10. Teorema lui Vieta: Dacă x 1, x 2, ..., x n sunt rădăcinile reale ale polinomului

P (x) = a 0 x n + a 1 x n - 1 + ... + a n, atunci sunt valabile următoarele egalități:

x 1 + x 2 + ... + x n \u003d -a 1 / a 0,

x 1 x 2 + x 1 x 3 + ... + x n - 1 x n \u003d a 2 / a 0,

x 1 x 2 x 3 + ... + x n - 2 x n - 1 x n \u003d -a 3 / a 0,

x 1 x 2 x 3 x n \u003d (-1) n a n / a 0.

Rezolvarea exemplelor

Exemplul 1

Găsiți restul după împărțirea P (x) \u003d x 3 + 2/3 x 2 - 1/9 la (x - 1/3).

Decizie.

Răspuns: R = 0.

Exemplul 2

Împărțiți „colțul” 2x 3 + 3x 2 - 2x + 3 la (x + 2). Găsiți restul și coeficientul incomplet.

Decizie:

2x 3 + 3x 2 – 2x + 3| x + 2

2x 3 + 4x 2 2x 2 – x

X 2 – 2 x

Răspuns: R = 3; coeficient: 2x 2 - x.

Metode de bază pentru rezolvarea ecuațiilor de grade superioare

1. Introducerea unei noi variabile

(t 1 , t 2 , …, t n). După aceea, se obține o mulțime de n ecuații q(x) = t 1 , q(x) = t 2 , ... , q(x) = t n, din care se găsesc rădăcinile ecuației inițiale.

Exemplul 1

(x 2 + x + 1) 2 - 3x 2 - 3x - 1 = 0.

Decizie:

(x 2 + x + 1) 2 - 3 (x 2 + x) - 1 = 0.

(x 2 + x + 1) 2 - 3 (x 2 + x + 1) + 3 - 1 = 0.

Înlocuire (x 2 + x + 1) = t.

t 2 - 3t + 2 = 0.

t 1 \u003d 2, t 2 \u003d 1. Înlocuire inversă:

x 2 + x + 1 = 2 sau x 2 + x + 1 = 1;

x 2 + x - 1 = 0 sau x 2 + x = 0;

Răspuns: Din prima ecuație: x 1, 2 = (-1 ± √5) / 2, din a doua: 0 și -1.

2. Factorizarea prin metoda grupării și formulelor de înmulțire prescurtate

Exemplul 1

x 4 - 3x 2 + 4x - 3 = 0.

Decizie.

Imaginează-ți - 3x 2 = -2x 2 - x 2 și grupează:

(x 4 - 2x 2) - (x 2 - 4x + 3) = 0.

(x 4 - 2x 2 +1 - 1) - (x 2 - 4x + 3 + 1 - 1) = 0.

(x 2 - 1) 2 - 1 - (x - 2) 2 + 1 = 0.

(x 2 - 1) 2 - (x - 2) 2 \u003d 0.

(x 2 - 1 - x + 2) (x 2 - 1 + x - 2) = 0.

(x 2 - x + 1) (x 2 + x - 3) = 0.

x 2 - x + 1 \u003d 0 sau x 2 + x - 3 \u003d 0.

Răspuns: Nu există rădăcini în prima ecuație, din a doua: x 1, 2 \u003d (-1 ± √13) / 2.

3. Factorizarea prin metoda coeficienților nedeterminați

Exemplul 1

x 3 + 4x 2 + 5x + 2 = 0.

Decizie.

Un polinom de gradul 3 poate fi descompus într-un produs de factori liniari și pătrați.

x 3 + 4x 2 + 5x + 2 \u003d (x - a) (x 2 + bx + c),

x 3 + 4x 2 + 5x + 2 = x 3 + bx 2 + cx - ax 2 - abx - ac,

x 3 + 4x 2 + 5x + 2 \u003d x 3 + (b - a) x 2 + (cx - ab) x - ac.

Rezolvarea sistemului:

(b – a = 4,
(c – ab = 5,
(-ac=2,

(a = -1,
(b=3,
(c = 2, adică

x 3 + 4x 2 + 5x + 2 \u003d (x + 1) (x 2 + 3x + 2).

Rădăcinile ecuației (x + 1) (x 2 + 3x + 2) = 0 sunt ușor de găsit.

Raspunsul 1; -2.

4. Metoda de selectare a rădăcinii după coeficientul cel mai mare și liber

Metoda se bazează pe aplicarea teoremelor:

1) Orice rădăcină întreagă a unui polinom cu coeficienți întregi este un divizor al termenului liber.

Exemplul 1

6x 3 + 7x 2 - 9x + 2 = 0.

Decizie:

6: q = 1, 2, 3, 6.

Prin urmare p/q = ±1, ±2, ±1/2, ±1/3, ±2/3, ±1/6.

După ce am găsit o rădăcină, de exemplu - 2, vom găsi alte rădăcini folosind împărțirea printr-un colț, metoda coeficienților nedeterminați sau schema lui Horner.

Răspuns: -2; 1/2; 1/3.

Aveti vreo intrebare? Nu știi cum să rezolvi ecuații?
Pentru a obține ajutorul unui tutore - înregistrați-vă.
Prima lecție este gratuită!

site, cu copierea integrală sau parțială a materialului, este necesară un link către sursă.

Portal pentru student. Autoinstruire

ARTICOLE SIMILARE