Clasă 10 . Curbe de ordinul doi.

10.1. Elipsă. Ecuație canonică. Semi arbori, excentricitate, grafic.

10.2. Hiperbolă. Ecuație canonică. Semiaxele, excentricitatea, asimptotele, graficul.

10.3. Parabolă. Ecuație canonică. Parametru parabolă, grafic.

Curbele de ordinul doi în plan se numesc linii, a căror specificare implicită are forma:

Unde
- date numere reale,
- coordonatele punctelor curbei. Cele mai importante linii dintre curbele de ordinul doi sunt elipsa, hiperbola, parabola.

10.1. Elipsă. Ecuație canonică. Semi arbori, excentricitate, grafic.

Definiţia an elipse.O elipsă este o curbă plană a cărei sumă a distanțelor de la două puncte fixe
avion spre orice punct

(acestea.). puncte
numite focarele elipsei.

Ecuația canonică a unei elipse:
. (2)

(sau axa
) trece prin focare
, iar originea este un punct - situat in centrul segmentului
(Fig. 1). Elipsa (2) este simetrică în raport cu axele de coordonate și cu originea (centrul elipsei). Permanent
,
numit semiaxele unei elipse.

Dacă elipsa este dată de ecuația (2), atunci focarele elipsei se găsesc după cum urmează.

1) În primul rând, determinăm unde se află focarele: focarele se află pe axa de coordonate pe care sunt situate semiaxele majore.

2) Apoi se calculează distanța focală (distanța de la focare la origine).

La
se concentrează pe axă
;
;
.

La
se concentrează pe axă
;
;
.

excentricitate elipsa se numește valoare: (la
);(la
).

Elipse a făcut-o întotdeauna
. Excentricitatea este o caracteristică a compresiei elipsei.

Dacă elipsa (2) este mutată astfel încât centrul elipsei să cadă pe punct

,
, atunci ecuația elipsei rezultate are forma

.

10.2. Hiperbolă. Ecuație canonică. Semiaxele, excentricitatea, asimptotele, graficul.

Definiția hiperbolei.O hiperbolă este o curbă plană, în care valoarea absolută a diferenței de distanțe de la două puncte fixe
avion spre orice punct
această curbă este o constantă independentă de punct
(acestea.). puncte
numite focarele hiperbolei.

Ecuația canonică a unei hiperbole:
sau
. (3)

O astfel de ecuație se obține dacă axa de coordonate
(sau axa
) trece prin focare
, iar originea este un punct - situat in centrul segmentului
. Hiperbolele (3) sunt simetrice față de axele de coordonate și de origine. Permanent
,
numit semiaxele hiperbolei.

Focarele hiperbolei se găsesc după cum urmează.

La hiperbolă
se concentrează pe axă
:
(Fig. 2.a).

La hiperbolă
se concentrează pe axă
:
(Fig. 2.b)

Aici - distanta focala (distanta de la focare pana la origine). Se calculează prin formula:
.

excentricitate hiperbola se numește valoare:

(pentru
);(pentru
).

Hyperbole a făcut-o întotdeauna
.

Asimptotele hiperbolelor(3) sunt două linii drepte:
. Ambele ramuri ale hiperbolei se apropie de asimptote la infinit ca .

Construcția unui grafic al unei hiperbole ar trebui efectuată după cum urmează: mai întâi, de-a lungul semiaxelor
construim un dreptunghi auxiliar cu laturile paralele cu axele de coordonate; apoi trasăm linii drepte prin vârfurile opuse ale acestui dreptunghi, acestea sunt asimptotele hiperbolei; în cele din urmă, înfățișăm ramurile hiperbolei, ele ating punctele medii ale laturilor corespunzătoare ale dreptunghiului auxiliar și se apropie cu creștere la asimptote (fig. 2).

Dacă hiperbolele (3) sunt mutate astfel încât centrul lor să cadă pe punct
, iar semiaxele vor rămâne paralele cu axele
,
, atunci ecuația hiperbolelor rezultate se poate scrie sub forma

,
.

10.3. Parabolă. Ecuație canonică. Parametru parabolă, grafic.

Definiția unei parabole.O parabolă este o curbă plană în care pentru orice punct
această curbă este distanța de la
la un punct fix planul (numit focarul parabolei) este egal cu distanța de la
la o linie fixă ​​pe plan(numită directrice a parabolei) .

Ecuația parabolei canonice:
, (4)

Unde este o constantă numită parametru parabole.

Punct
parabola (4) se numește vârful parabolei. Axă
este axa de simetrie. Focalizarea parabolei (4) este în punct
, ecuația directricei
. Grafice parabolelor (4) cu valori
și
prezentată în fig. 3.a și, respectiv, 3.b.

Ecuația
definește și o parabolă în plan
, care, în comparație cu parabola (4), are axe
,
schimbat locurile.

Dacă parabola (4) este mutată astfel încât vârful ei să lovească punctul
, iar axa de simetrie va rămâne paralelă cu axa
, atunci ecuația parabolei rezultate are forma

.

Să trecem la exemple.

Exemplul 1. Curba de ordinul doi este dată de ecuație
. Dați un nume acestei curbe. Găsiți-i focarele și excentricitatea. Desenați o curbă și focarele sale într-un plan
.

Decizie. Această curbă este o elipsă centrată în punct
și arbori de osie
. Acest lucru poate fi ușor verificat prin înlocuire
. Această transformare înseamnă trecerea de la un sistem de coordonate carteziene dat
la noul sistem de coordonate carteziene
, ale cărui axe
paralel cu axele
,
. Această transformare de coordonate se numește schimbare de sistem.
exact . În noul sistem de coordonate
ecuația curbei este convertită în ecuația canonică a elipsei
, graficul său este prezentat în Fig. 4.

Să găsim trucuri.
, deci trucurile
elipsă situată pe axă
.. În sistemul de coordonate
:
. pentru că
, în vechiul sistem de coordonate
focusurile au coordonate.

Exemplul 2. Dați numele curbei de ordinul doi și dați graficul acesteia.

Decizie. Selectăm pătrate întregi prin termeni care conțin variabile și .

Acum, ecuația curbei poate fi rescrisă ca:

Prin urmare, curba dată este o elipsă centrată în punct
și arbori de osie
. Informațiile obținute ne permit să-i trasăm graficul.

Exemplul 3. Dați un nume și desenați un grafic cu linii
.

Decizie. . Aceasta este ecuația canonică a unei elipse centrate într-un punct
și arbori de osie
.

În măsura în care,
, concluzionăm: ecuația dată se definește pe plan
jumătatea inferioară a elipsei (fig. 5).

Exemplul 4. Dați numele curbei de ordinul doi
. Găsește-i trucurile, excentricitatea. Dați un grafic al acestei curbe.

- ecuația canonică a unei hiperbole cu semiaxele
.

Distanta focala.

Semnul minus este în fața termenului cu , deci trucurile
hiperbolele se află pe axă
:. Ramurile hiperbolei sunt situate deasupra și dedesubtul axei
.

este excentricitatea hiperbolei.

Asimptotele unei hiperbole: .

Construcția unui grafic al acestei hiperbole se realizează în conformitate cu procedura de mai sus: construim un dreptunghi auxiliar, desenăm asimptotele hiperbolei, desenăm ramurile hiperbolei (vezi Fig. 2.b).

Exemplul 5. Aflați forma curbei dată de ecuație
și complotează-l.

- hiperbola centrată într-un punct
și jumătate de arbori.

pentru că , concluzionăm: ecuația dată determină partea hiperbolei care se află în dreapta dreptei
. Este mai bine să desenați o hiperbolă într-un sistem de coordonate auxiliar
obtinut din sistemul de coordonate
schimb
, iar apoi cu o linie groasă selectați partea dorită a hiperbolei

Exemplul 6. Aflați tipul de curbă și desenați graficul acesteia.

Decizie. Selectați pătratul complet după termenii cu variabila :

Să rescriem ecuația curbei.

Aceasta este ecuația unei parabole cu vârf în punct
. Printr-o transformare de deplasare, ecuația parabolei este redusă la forma canonică
, din care se vede că este parametrul parabolei. Concentrează-te parabole din sistem
are coordonate
,, și în sistem
(după transformarea schimbului). Graficul parabolei este prezentat în fig. 7.

Teme pentru acasă.

1. Desenați elipse date de ecuațiile:
Găsiți semiaxele lor, distanța focală, excentricitatea și indicați pe graficele elipselor locațiile focarelor lor.

2. Desenați hiperbole date de ecuațiile:
Găsiți semiaxele lor, distanța focală, excentricitatea și indicați pe graficele hiperbolelor locația focarelor lor. Scrieți ecuațiile pentru asimptotele hiperbolelor date.

3. Desenați parabolele date de ecuațiile:
. Găsiți parametrul lor, distanța focală și indicați locația focalizării pe graficele parabolelor.

4. Ecuația
definește o parte a curbei de ordinul 2. Găsiți ecuația canonică a acestei curbe, scrieți-i numele, construiți-i graficul și selectați pe ea acea parte a curbei care corespunde ecuației inițiale.

O hiperbola este un loc al punctelor dintr-un plan, modulul diferenței de distanțe de la fiecare dintre acestea la două puncte date F_1 și F_2 este o valoare constantă (2a), mai mică decât distanța (2c) dintre aceste puncte date (Fig. 3.40, a). Această definiție geometrică exprimă proprietatea focală a unei hiperbole.

Proprietatea focală a unei hiperbole

Punctele F_1 și F_2 se numesc focare ale hiperbolei, distanța 2c=F_1F_2 dintre ele este distanța focală, punctul mijlociu O al segmentului F_1F_2 este centrul hiperbolei, numărul 2a este lungimea axei reale a hiperbola (respectiv, a este semiaxa reală a hiperbolei). Segmentele F_1M și F_2M care leagă un punct arbitrar M al hiperbolei cu focarele sale se numesc razele focale ale punctului M . Un segment de linie care leagă două puncte ale unei hiperbole se numește coardă a hiperbolei.

Relația e=\frac(c)(a) , unde c=\sqrt(a^2+b^2) , se numește excentricitate hiperbolică. Din definiția (2a<2c) следует, что e>1 .

Definiția geometrică a unei hiperbole, exprimându-și proprietatea focală, este echivalent cu definiția sa analitică - linia dată de ecuația canonică a hiperbolei:

\frac(x^2)(a^2)-\frac(y^2)(b^2)=1.

Într-adevăr, să introducem un sistem de coordonate dreptunghiular (Fig. 3.40, b). Luăm centrul O al hiperbolei drept origine a sistemului de coordonate; linia dreaptă care trece prin focare (axa focală), o vom lua drept axă de abscisă (direcția pozitivă pe aceasta de la punctul F_1 la punctul F_2); o linie dreaptă perpendiculară pe axa absciselor și care trece prin centrul hiperbolei este luată drept axa ordonatelor (direcția pe axa ordonatelor se alege astfel încât sistemul de coordonate dreptunghiular Oxy să fie drept).

Să scriem ecuația hiperbolei folosind definiția geometrică care exprimă proprietatea focală. În sistemul de coordonate selectat, determinăm coordonatele focarelor F_1(-c,0) și F_2(c,0) . Pentru un punct arbitrar M(x,y) aparținând unei hiperbole, avem:

\left||\overrightarrow(F_1M)|-|\overrightarrow(F_2M)|\right|=2a.

Scriind această ecuație sub formă de coordonate, obținem:

\sqrt((x+c)^2+y^2)-\sqrt((x-c)^2+y^2)=\pm2a.

Efectuând transformări similare cu cele utilizate în derivarea ecuației elipsei (adică scăpând de iraționalitate), ajungem la ecuația canonică a hiperbolei:

\frac(x^2)(a^2)-\frac(y^2)(b^2)=1\,

unde b=\sqrt(c^2-a^2) , adică. sistemul de coordonate ales este canonic.

Raționând înapoi, se poate demonstra că toate punctele ale căror coordonate satisfac ecuația (3.50), și numai ele, aparțin locului punctelor, numit hiperbola. Astfel, definiția analitică a unei hiperbole este echivalentă cu definiția ei geometrică.

Proprietatea directorului unei hiperbole

Directricele unei hiperbole se numesc două drepte care trec paralele cu axa y a sistemului de coordonate canonic la aceeași distanță. a^2\!\!\not(\phantom(|))\,c din ea (Fig. 3.41, a). Pentru a=0 , când hiperbola degenerează într-o pereche de drepte care se intersectează, directricele coincid.

O hiperbolă cu excentricitatea e=1 poate fi definită ca locul punctelor din plan, pentru fiecare dintre care raportul dintre distanța la un punct dat F (focalizare) și distanța la o linie dreaptă dată d (directrice) care nu nu trece printr-un punct dat este constantă și egală cu excentricitatea e ( proprietatea directorului unei hiperbole). Aici F și d sunt unul dintre focarele hiperbolei și una dintre directricele sale, situate pe aceeași parte a axei y a sistemului de coordonate canonic.

Într-adevăr, de exemplu, pentru focusul F_2 și directricea d_2 (Fig. 3.41, a) condiția \frac(r_2)(\rho_2)=e poate fi scris sub formă de coordonate:

\sqrt((x-c)^2+y^2)=e\left(x-\frac(a^2)(c)\right)

A scăpa de iraționalitate și a înlocui e=\frac(c)(a),~c^2-a^2=b^2, ajungem la ecuația canonică a hiperbolei (3.50). Raționament similar poate fi efectuat pentru focusul F_1 și directricea d_1:

\frac(r_1)(\rho_1)=e \quad \Leftrightarrow \quad \sqrt((x+c)^2+y^2)= e\left(x+\frac(a^2)(c) \right ).

Ecuația hiperbolă în coordonate polare

Ecuația ramului drept al hiperbolei în sistemul de coordonate polar F_2r\varphi (fig. 3.41, b) are forma

r=\frac(p)(1-e\cdot\cos\varphi), unde p=\frac(p^2)(a) - parametru focal hiperbolă.

Într-adevăr, să alegem focarul drept F_2 al hiperbolei ca pol al sistemului de coordonate polare, iar raza cu originea în punctul F_2, aparținând dreptei F_1F_2, dar care nu conține punctul F_1 (Fig. 3.41, b) ca axa polară. Atunci pentru un punct arbitrar M(r,\varphi) aparținând ramurii drepte a hiperbolei, conform definiției geometrice (proprietatea focală) a hiperbolei, avem F_1M-r=2a . Exprimăm distanța dintre punctele M(r,\varphi) și F_1(2c,\pi) (vezi punctul 2 din observațiile 2.8):

F_1M=\sqrt((2c)^2+r^2-2\cdot(2c)^2\cdot r\cdot\cos(\varphi-\pi))=\sqrt(r^2+4\cdot c \cdot r\cdot\cos\varphi+4\cdot c^2).

Prin urmare, sub formă de coordonate, ecuația unei hiperbole are forma

\sqrt(r^2+4\cdot c\cdot r\cdot\cos\varphi+4\cdot c^2)-r=2a.

Izolăm radicalul, pătratăm ambele părți ale ecuației, împărțim la 4 și dăm termeni similari:

r^2+4cr\cdot\cos\varphi+4c^2=4a^2+4ar+r^2 \quad \Leftrightarrow \quad a\left(1-\frac(c)(a)\cos\varphi\ dreapta)r=c^2-a^2.

Exprimăm raza polară r și facem substituții e=\frac(c)(a),~b^2=c^2-a^2,~p=\frac(b^2)(a):

r=\frac(c^2-a^2)(a(1-e\cos\varphi)) \quad \Leftrightarrow \quad r=\frac(b^2)(a(1-e\cos\varphi) )) \quad \Leftrightarrow \quad r=\frac(p)(1-e\cos\varphi),

Q.E.D. Rețineți că în coordonatele polare, ecuațiile hiperbola și elipsa coincid, dar descriu linii diferite, deoarece diferă în excentricități (e>1 pentru o hiperbolă, 0\leqslant e<1 для эллипса).

Semnificația geometrică a coeficienților din ecuația hiperbolei

Să găsim punctele de intersecție ale hiperbolei (Fig. 3.42, a) cu axa absciselor (vârfurile hiperbolei). Înlocuind y=0 în ecuație, găsim abscisele punctelor de intersecție: x=\pm a . Prin urmare, vârfurile au coordonatele (-a,0),\,(a,0) . Lungimea segmentului care leagă vârfurile este 2a . Acest segment se numește axa reală a hiperbolei, iar numărul a este semiaxa reală a hiperbolei. Înlocuind x=0 , obținem y=\pm ib . Lungimea segmentului axei y care leagă punctele (0,-b),\,(0,b) este egală cu 2b . Acest segment se numește axa imaginară a hiperbolei, iar numărul b se numește semiaxa imaginară a hiperbolei. Hiperbola intersectează linia care conține axa reală și nu intersectează linia care conține axa imaginară.

Observații 3.10.

1. Dreptele x=\pm a,~y=\pm b limitează dreptunghiul principal pe planul de coordonate, în afara căruia se află hiperbola (Fig. 3.42, a).

2. Liniile drepte care conțin diagonalele dreptunghiului principal se numesc asimptote ale hiperbolei (Fig. 3.42, a).

Pentru hiperbola echilaterală, descris de ecuație (adică cu a=b ), dreptunghiul principal este un pătrat, ale cărui diagonale sunt perpendiculare. Prin urmare, asimptotele unei hiperbole echilaterale sunt și ele perpendiculare și pot fi luate ca axe de coordonate ale sistemului de coordonate dreptunghiular Ox"y" (Fig. 3.42, b). În acest sistem de coordonate, ecuația hiperbolei are forma y"=\frac(a^2)(2x")(hiperbola coincide cu graficul unei funcții elementare care exprimă o relație invers proporțională).

Într-adevăr, să rotim sistemul de coordonate canonic după unghi \varphi=-\frac(\pi)(4)(Fig. 3.42, b). În acest caz, coordonatele punctului în vechiul și noul sistem de coordonate sunt legate prin egalități

\left\(\!\begin(aligned)x&=\frac(\sqrt(2))(2)\cdot x"+\frac(\sqrt(2))(2)\cdot y",\\ y& =-\frac(\sqrt(2))(2)\cdot x"+\frac(\sqrt(2))(2)\cdot y"\end(aliniat)\right. \quad \Leftrightarrow \quad \ stânga\(\!\begin(aligned)x&=\frac(\sqrt(2))(2)\cdot(x"+y"),\\ y&=\frac(\sqrt(2))(2) \cdot(y"-x")\end(aliniat)\dreapta.

Înlocuind aceste expresii în ecuație \frac(x^2)(a^2)-\frac(y^2)(a^2)=1 a unei hiperbole echilaterale și aducând termeni similari, obținem

\frac(\frac(1)(2)(x"+y")^2)(a^2)-\frac(\frac(1)(2)(y"-x")^2)(a ^2)=1 \quad \Leftrightarrow \quad 2\cdot x"\cdot y"=a^2 \quad \Leftrightarrow \quad y"=\frac(a^2)(2\cdot x").

3. Axele de coordonate (ale sistemului de coordonate canonic) sunt axele de simetrie ale hiperbolei (numite axele principale ale hiperbolei), iar centrul acesteia este centrul de simetrie.

Într-adevăr, dacă punctul M(x,y) aparține hiperbolei . atunci aceleiași hiperbole aparțin și punctele M"(x,y) și M""(-x,y) , simetrice față de punctul M față de axele de coordonate.

Axa de simetrie, pe care se află focarele hiperbolei, este axa focală.

4. Din ecuația hiperbolei în coordonate polare r=\frac(p)(1-e\cos\varphi)(vezi Fig. 3.41, b) se clarifică semnificația geometrică a parametrului focal - aceasta este jumătate din lungimea coardei hiperbolei care trece prin focarul său perpendicular pe axa focală (r = p la \varphi=\frac(\pi)(2)).

5. Excentricitatea e caracterizează forma hiperbolei. Cu cât e mai mare, cu cât ramurile hiperbolei sunt mai late și cu cât e mai aproape de unul, cu atât ramurile hiperbolei sunt mai înguste (Fig. 3.43, a).

Într-adevăr, valoarea \gamma a unghiului dintre asimptotele hiperbolei care conține ramura sa este determinată de raportul dintre laturile dreptunghiului principal: \operatorname(tg)\frac(\gamma)(2)=\frac(b)(2). Considerând că e=\frac(c)(a) și c^2=a^2+b^2 , obținem

e^2=\frac(c^2)(a^2)=\frac(a^2+b^2)(a^2)=1+(\left(\frac(b)(a)\right )\^2=1+\operatorname{tg}^2\frac{\gamma}{2}. !}

Cu cât e mai mare, cu atât unghiul \gamma este mai mare. Pentru o hiperbolă echilaterală (a=b) avem e=\sqrt(2) și \gamma=\frac(\pi)(2). Pentru e>\sqrt(2) unghiul \gamma este obtuz, dar pentru 1

6. Două hiperbole definite în același sistem de coordonate prin ecuații \frac(x^2)(a^2)-\frac(y^2)(b^2)=1și sunt chemați legate între ele. Hiperbolele conjugate au aceleași asimptote (Fig. 3.43, b). Ecuația conjugată a hiperbolei -\frac(x^2)(a^2)+\frac(y^2)(b^2)=1 se reduce la cea canonică prin redenumirea axelor de coordonate (3.38).

7. Ecuația \frac((x-x_0)^2)(a^2)-\frac((y-y_0)^2)(b^2)=1 definește o hiperbolă centrată în punctul O "(x_0, y_0) , ale cărei axe sunt paralele cu axele de coordonate (Fig. 3.43, c). Această ecuație se reduce la cea canonică folosind translația paralelă (3.36). Ecuația -\frac((x-x_0)^2)(a^2)+\frac((y-y_0)^2)(b^2)=1 definește o hiperbolă conjugată centrată în punctul O"(x_0,y_0) .

Ecuația parametrică a unei hiperbole

Ecuația parametrică a unei hiperbole în sistemul de coordonate canonic are forma

\begin(cases)x=a\cdot\operatorname(ch)t,\\y=b\cdot\operatorname(sh)t,\end(cases)t\in\mathbb(R),

Unde \operatorname(ch)t=\frac(e^t+e^(-t))(2)- cosinus hiperbolic, a \operatorname(sh)t=\frac(e^t-e^(-t))(2) sinus hiperbolic.

Într-adevăr, înlocuind expresiile de coordonate în ecuația (3.50), ajungem la identitatea hiperbolică principală \operatorname(ch)^2t-\operatorname(sh)^2t=1.

Exemplul 3.21. Desenați o hiperbolă \frac(x^2)(2^2)-\frac(y^2)(3^2)=1în sistemul de coordonate canonic Oxy . Găsiți semiaxele, distanța focală, excentricitatea, parametrul focal, ecuațiile asimptotelor și directricelor.

Decizie. Comparând ecuația dată cu cea canonică, determinăm semiaxele: a=2 - semiaxa reală, b=3 - semiaxa imaginară a hiperbolei. Construim dreptunghiul principal cu laturile 2a=4,~2b=6 centrate la origine (Fig.3.44). Desenăm asimptote prin extinderea diagonalelor dreptunghiului principal. Construim o hiperbolă, ținând cont de simetria acesteia față de axele de coordonate. Dacă este necesar, determinăm coordonatele unor puncte ale hiperbolei. De exemplu, înlocuind x=4 în ecuația hiperbolă, obținem

\frac(4^2)(2^2)-\frac(y^2)(3^2)=1 \quad \Leftrightarrow \quad y^2=27 \quad \Leftrightarrow \quad y=\pm3\sqrt (3).

Prin urmare, punctele cu coordonatele (4;3\sqrt(3)) și (4;-3\sqrt(3)) aparțin hiperbolei. Calcularea distanței focale

2\cdot c=2\cdot\sqrt(a^2+b^2)=2\cdot\sqrt(2^2+3^2)=2\sqrt(13)

excentricitate e=\frac(c)(a)=\frac(\sqrt(13))(2); parametru focal p=\frac(b^2)(a)=\frac(3^2)(2)=4,\!5. Compunem ecuațiile asimptotelor y=\pm\frac(b)(a)\,x, adică y=\pm\frac(3)(2)\,x, și ecuații directrice: x=\pm\frac(a^2)(c)=\frac(4)(\sqrt(13)).

Pentru restul cititorilor, propun să-și completeze semnificativ cunoștințele școlare despre parabolă și hiperbolă. Hiperbola și parabola - este simplu? … Nu aștepta =)

Hiperbola și ecuația ei canonică

Structura generală a prezentării materialului se va asemăna cu paragraful anterior. Să începem cu conceptul general de hiperbolă și problema construcției acesteia.

Ecuația canonică a unei hiperbole are forma , unde sunt numere reale pozitive. Rețineți că, spre deosebire de elipsă, aici nu se impune condiția, adică valoarea lui „a” poate fi mai mică decât valoarea lui „fi”.

Trebuie să spun, destul de neașteptat... ecuația hiperbolei „școlare” nici măcar nu seamănă prea mult cu înregistrarea canonică. Dar această ghicitoare va trebui totuși să ne aștepte, dar deocamdată să ne zgâriem pe ceafă și să ne amintim ce trăsături caracteristice are curba luată în considerare? Să o răspândim pe ecranul imaginației noastre graficul funcției ….

O hiperbolă are două ramuri simetrice.

Progres bun! Orice hiperbolă are aceste proprietăți, iar acum ne vom uita cu adevărată admirație la decolteul acestei linii:

Exemplul 4

Construiți o hiperbolă dată de ecuație

Decizie: la primul pas, aducem această ecuație la forma canonică . Vă rugăm să rețineți procedura tipică. În dreapta, trebuie să obțineți un „unu”, așa că împărțim ambele părți ale ecuației inițiale la 20:

Aici puteți reduce ambele fracții, dar este mai optim să faceți fiecare dintre ele cu trei etaje:

Și numai după aceea pentru a efectua reducerea:

Selectăm pătratele în numitori:

De ce este mai bine să efectuați transformări în acest fel? La urma urmei, fracțiile din partea stângă pot fi imediat reduse și obținute. Cert este că în exemplul luat în considerare, am fost puțin norocoși: numărul 20 este divizibil atât cu 4, cât și cu 5. În cazul general, un astfel de număr nu funcționează. Luați în considerare, de exemplu, ecuația . Aici, cu divizibilitatea, totul este mai trist și fără fracții cu trei etaje nu mai e nevoie:

Deci, să folosim rodul muncii noastre - ecuația canonică:

Cum se construiește o hiperbolă?

Există două abordări pentru construirea unei hiperbole - geometrică și algebrică.
Din punct de vedere practic, desenul cu busola... aș spune chiar utopic, așa că este mult mai profitabil să aduci din nou calcule simple în ajutor.

Este recomandabil să respectați următorul algoritm, mai întâi desenul terminat, apoi comentariile:

În practică, o combinație de rotație printr-un unghi arbitrar și translația paralelă a unei hiperbole este adesea întâlnită. Această situație este discutată în lecție. Reducerea ecuației liniei de ordinul 2 la forma canonică.

Parabola și ecuația ei canonică

Este gata! Ea este cea mai mare. Gata să dezvăluie multe secrete. Ecuația canonică a unei parabole are forma , unde este un număr real. Este ușor de observat că în poziția sa standard parabola „se află pe o parte” și vârful ei este la origine. În acest caz, funcția setează ramura superioară a acestei linii, iar funcția setează ramura inferioară. Evident, parabola este simetrică față de axă. De fapt, ce să faci baie:

Exemplul 6

Construiește o parabolă

Decizie: vârful este cunoscut, să găsim puncte suplimentare. Ecuația determină arcul superior al parabolei, ecuația determină arcul inferior.

Pentru a scurta înregistrarea, vom efectua calcule „sub aceeași perie”:

Pentru notarea compactă, rezultatele ar putea fi rezumate într-un tabel.

Înainte de a efectua un desen elementar punct cu punct, formulăm un strict

definiția parabolei:

O parabolă este mulțimea tuturor punctelor dintr-un plan care sunt echidistante de un punct dat și o dreaptă dată care nu trece prin punctul respectiv.

Punctul se numește se concentreze parabole, linie dreaptă directoare (scris cu un „es”) parabole. Se numește „pe” constantă a ecuației canonice parametru focal, care este egală cu distanța de la focalizare la directrice. LA acest caz. În acest caz, focalizarea are coordonate, iar directriza este dată de ecuația.
În exemplul nostru:

Definiția unei parabole este chiar mai ușor de înțeles decât definițiile unei elipse și ale unei hiperbole. Pentru orice punct al parabolei, lungimea segmentului (distanța de la focar la punct) este egală cu lungimea perpendicularei (distanța de la punct la directriză):

Felicitări! Mulți dintre voi ați făcut o adevărată descoperire astăzi. Se dovedește că hiperbola și parabola nu sunt deloc grafice ale funcțiilor „obișnuite”, dar au o origine geometrică pronunțată.

Evident, odată cu creșterea parametrului focal, ramurile graficului se vor „întinde” în sus și în jos, apropiindu-se de axa infinit aproape. Odată cu o scădere a valorii „pe”, vor începe să se micșoreze și să se întindă de-a lungul axei

Excentricitatea oricărei parabole este egală cu unu:

Rotația și translația unei parabole

O parabolă este una dintre cele mai comune linii în matematică și va trebui să o construiți foarte des. Prin urmare, vă rugăm să acordați o atenție deosebită ultimului paragraf al lecției, unde voi analiza opțiunile tipice pentru localizarea acestei curbe.

! Notă : ca și în cazurile cu curbele anterioare, este mai corect să vorbim despre rotația și translația paralelă a axelor de coordonate, dar autorul se va limita la o versiune simplificată a prezentării, astfel încât cititorul să aibă o idee elementară despre ​​\u200b\u200baceste transformări.

Definiție. Hiperbola este locul punctelor din planul y, valoarea absolută a diferenței dintre distanțe ale fiecăruia dintre care de la două puncte date ale acestui plan, numite focare, y are o valoare constantă, cu condiția ca această valoare să nu fie egală cu zero și este mai mică decât distanța dintre focare.

Să notăm distanța dintre focare ca o valoare constantă egală cu modulul diferenței de distanțe de la fiecare punct al hiperbolei la focare, prin (prin condiție). Ca și în cazul unei elipse, trasăm axa absciselor prin focare și luăm ca origine mijlocul segmentului (vezi Fig. 44). Focalele într-un astfel de sistem vor avea coordonate Să derivăm ecuația hiperbolei din sistemul de coordonate ales. Prin definiția unei hiperbole, pentru oricare dintre punctele sale avem sau

Dar . Prin urmare, primim

După simplificări similare cu cele făcute la derivarea ecuației elipsei, obținem următoarea ecuație:

care este o consecință a ecuației (33).

Este ușor de observat că această ecuație coincide cu ecuația (27) obținută pentru o elipsă. Totuși, în ecuația (34) diferența , deoarece pentru hiperbola . Prin urmare, punem

Atunci ecuația (34) se reduce la următoarea formă:

Această ecuație se numește ecuația canonică a hiperbolei. Ecuația (36), ca o consecință a ecuației (33), este îndeplinită de coordonatele oricărui punct al hiperbolei. Se poate arăta că coordonatele punctelor care nu se află pe hiperbolă nu satisfac ecuația (36).

Să stabilim forma hiperbolei folosind ecuația sa canonică. Această ecuație conține doar puteri pare ale coordonatelor curente. În consecință, hiperbola are două axe de simetrie, în acest caz care coincid cu axele de coordonate. În cele ce urmează, axele de simetrie ale hiperbolei vor fi numite axele hiperbolei, iar punctul de intersecție a acestora va fi numit centrul hiperbolei. Axa hiperbolei pe care se află focarele se numește axă focală. Explorăm forma hiperbolei în primul trimestru, unde

Aici, pentru că altfel y ar lua valori imaginare. Pe măsură ce x crește de la a la, crește de la 0 la. Partea hiperbolei care se află în primul sfert va fi arcul prezentat în Fig. 47.

Deoarece hiperbola este situată simetric față de axele de coordonate, această curbă are forma prezentată în Fig. 47.

Punctele de intersecție ale hiperbolei cu axa focală se numesc vârfuri. Presupunând în ecuația hiperbolei, găsim abscisele vârfurilor sale: . Astfel, hiperbola are două vârfuri: . Hiperbola nu se intersectează cu axa y. De fapt, punând în ecuația hiperbolă, obținem valori imaginare pentru y: . Prin urmare, axa focală a hiperbolei se numește axa reală, iar axa de simetrie perpendiculară pe axa focală se numește axa imaginară a hiperbolei.

Axa reală se mai numește și segmentul care leagă vârfurile hiperbolei, iar lungimea ei este 2a. Segmentul care leagă punctele (vezi Fig. 47), precum și lungimea acestuia, se numește axa imaginară a hiperbolei. Numerele a și b sunt numite, respectiv, semiaxele reale și imaginare ale hiperbolei.

Să considerăm acum o hiperbolă situată în primul cadran și care este graficul funcției

Să arătăm că punctele acestui grafic, situate la o distanță suficient de mare de origine, sunt în mod arbitrar aproape de linia dreaptă

trecând prin origine şi având o pantă

În acest scop, luați în considerare două puncte care au aceeași abscisă și se află, respectiv, pe curba (37) și pe linia dreaptă (38) (Fig. 48) și alcătuiți diferența dintre ordonatele acestor puncte.

Numătorul acestei fracții este o valoare constantă, iar numitorul crește la nesfârșit cu o creștere nelimitată. Prin urmare, diferența tinde spre zero, adică punctele M și N se apropie la nesfârșit cu o creștere nelimitată a abscisei.

Din simetria hiperbolei față de axele de coordonate, rezultă că există o altă linie dreaptă, de care punctele hiperbolei sunt arbitrar apropiate la o distanță nelimitată de origine. Direct

se numesc asimptote ale hiperbolei.

Pe fig. 49 arată poziția relativă a hiperbolei și asimptotele acesteia. Această figură arată, de asemenea, cum se construiesc asimptotele hiperbolei.

Pentru a face acest lucru, construiți un dreptunghi centrat la origine și cu laturile paralele cu axele și, respectiv, egale cu . Acest dreptunghi se numește dreptunghi principal. Fiecare dintre diagonalele sale, extinsă la nesfârșit în ambele direcții, este o asimptotă a unei hiperbole. Înainte de a construi o hiperbolă, se recomandă construirea asimptotelor acesteia.

Raportul dintre jumătate din distanța dintre focare și semiaxa reală a hiperbolei se numește excentricitatea hiperbolei și este de obicei notat cu litera:

Deoarece pentru o hiperbolă, atunci excentricitatea hiperbolei este mai mare decât unu: excentricitatea caracterizează forma hiperbolei

Într-adevăr, din formula (35) rezultă că . Aceasta arată că cu cât excentricitatea hiperbolei este mai mică,

cu atât este mai mic raportul - semiaxelor sale. Dar relația - determină forma dreptunghiului principal al hiperbolei și, prin urmare, forma hiperbolei în sine. Cu cât excentricitatea hiperbolei este mai mică, cu atât este mai extins dreptunghiul său principal (în direcția axei focale).

Hiperbolă și parabolă

Să trecem la a doua parte a articolului. despre linii de ordinul doi, dedicat altor două curbe comune - hiperbolăși parabolă. Dacă ați ajuns la această pagină dintr-un motor de căutare sau nu ați avut încă timp să navigați pe subiect, atunci vă recomand să studiați mai întâi prima secțiune a lecției, în care am examinat nu numai principalele puncte teoretice, dar ne-am și familiarizat. cu elipsă. Pentru restul cititorilor, propun să-și completeze semnificativ cunoștințele școlare despre parabolă și hiperbolă. Hiperbola și parabola - este simplu? … Nu aștepta =)

Hiperbola și ecuația ei canonică

Structura generală a prezentării materialului se va asemăna cu paragraful anterior. Să începem cu conceptul general de hiperbolă și problema construcției acesteia.

Ecuația canonică a unei hiperbole are forma , unde sunt numere reale pozitive. Rețineți că, spre deosebire de elipsă, aici nu se impune condiția, adică valoarea lui „a” poate fi mai mică decât valoarea lui „fi”.

Trebuie să spun, destul de neașteptat... ecuația hiperbolei „școlare” nici măcar nu seamănă prea mult cu înregistrarea canonică. Dar această ghicitoare va trebui totuși să ne aștepte, dar deocamdată să ne zgâriem pe ceafă și să ne amintim ce trăsături caracteristice are curba luată în considerare? Să o răspândim pe ecranul imaginației noastre graficul funcției ….

O hiperbolă are două ramuri simetrice.

Hiperbola are două asimptote.

Progres bun! Orice hiperbolă are aceste proprietăți, iar acum ne vom uita cu adevărată admirație la decolteul acestei linii:

Exemplul 4

Construiți o hiperbolă dată de ecuație

Decizie: la primul pas, aducem această ecuație la forma canonică . Vă rugăm să rețineți procedura tipică. În dreapta, trebuie să obțineți un „unu”, așa că împărțim ambele părți ale ecuației inițiale la 20:

Aici puteți reduce ambele fracții, dar este mai optim să faceți fiecare dintre ele cu trei etaje:

Și numai după aceea pentru a efectua reducerea:

Selectăm pătratele în numitori:

De ce este mai bine să efectuați transformări în acest fel? La urma urmei, fracțiile din partea stângă pot fi imediat reduse și obținute. Cert este că în exemplul luat în considerare, am fost puțin norocoși: numărul 20 este divizibil atât cu 4, cât și cu 5. În cazul general, un astfel de număr nu funcționează. Luați în considerare, de exemplu, ecuația . Aici, cu divizibilitatea, totul este mai trist și fără fracții cu trei etaje nu mai e nevoie:

Deci, să folosim rodul muncii noastre - ecuația canonică:

Cum se construiește o hiperbolă?

Există două abordări pentru construirea unei hiperbole - geometrică și algebrică.
Din punct de vedere practic, desenul cu busola... aș spune chiar utopic, așa că este mult mai profitabil să aduci din nou calcule simple în ajutor.

Este recomandabil să respectați următorul algoritm, mai întâi desenul terminat, apoi comentariile:

1) În primul rând, găsim asimptote. Dacă hiperbola este dată de ecuația canonică , atunci asimptotele ei sunt Drept . În cazul nostru: . Acest articol este obligatoriu! Aceasta este o caracteristică fundamentală a desenului și ar fi o greșeală gravă dacă ramurile hiperbolei „se târăsc afară” dincolo de asimptotele lor.

2) Acum găsim două vârfuri ale unei hiperbole, care sunt situate pe axa x în puncte . Se derivă elementar: dacă , atunci ecuația canonică se transformă în , de unde rezultă că . Hiperbola considerată are vârfuri

3) Căutăm puncte suplimentare. De obicei 2-3 sunt suficiente. În poziția canonică, hiperbola este simetrică față de origine și ambele axe de coordonate, deci este suficient să efectuați calcule pentru primul trimestru de coordonate. Tehnica este exact aceeași ca și pentru construcție elipsă. Din ecuația canonică de pe proiect, exprimăm:

Ecuația se descompune în două funcții:
- definește arcurile superioare ale hiperbolei (de ce avem nevoie);
- defineşte arcurile inferioare ale hiperbolei.

Sugerează găsirea punctelor cu abscise:

4) Desenați asimptotele pe desen , vârfuri , puncte suplimentare și simetrice în alte sferturi de coordonate. Conectăm cu atenție punctele corespunzătoare la fiecare ramură a hiperbolei:

O dificultate tehnică poate apărea cu un irațional factor de pantă, dar aceasta este o problemă complet depășită.

Segment de linie numit axa reală hiperbolă,
lungimea sa - distanța dintre vârfuri;
număr numit semiaxa reală hiperbolă;
număr – axa imaginară.

În exemplul nostru: și, evident, dacă hiperbola dată este rotită în jurul centrului de simetrie și/sau mutată, atunci aceste valori nu se va schimba.

Definiția hiperbolei. Focale și excentricitate

Într-o hiperbolă, la fel ca în elipsă, există două puncte singulare , care sunt numite trucuri. Nu am spus-o, dar pentru orice eventualitate, deodată cineva înțelege greșit: centrul de simetrie și punctele de focalizare, desigur, nu aparțin curbelor.

Conceptul general al definiției este, de asemenea, similar:

Hiperbolă este mulțimea tuturor punctelor din plan, valoare absolută diferența de distanțe până la fiecare dintre care din două puncte date este o valoare constantă, numeric egală cu distanța dintre vârfurile acestei hiperbole: . În acest caz, distanța dintre focare depășește lungimea axei reale: .

Dacă hiperbola este dată de ecuația canonică, atunci distanța de la centrul de simetrie la fiecare focar calculat prin formula: .
Și, în consecință, focusurile au coordonate .

Pentru hiperbola studiată:

Să trecem peste definiție. Notați prin distanțele de la focare până la un punct arbitrar al hiperbolei:

În primul rând, mutați mental punctul albastru de-a lungul ramurii din dreapta a hiperbolei - oriunde ne-am afla, modul(valoare absolută) diferența dintre lungimile segmentelor va fi aceeași:

Dacă punctul este „aruncat” în ramura stângă și mutat acolo, atunci această valoare va rămâne neschimbată.

Semnul modulului este necesar pentru că diferența de lungimi poate fi fie pozitivă, fie negativă. Apropo, pentru orice punct din ramura dreaptă (deoarece segmentul este mai scurt decât segmentul ). Pentru orice punct al ramului stâng, situația este exact inversă și .

Mai mult, având în vedere proprietatea evidentă a modulului, nu contează ce să scadă din ce.

Să ne asigurăm că în exemplul nostru modulul acestei diferențe este într-adevăr egal cu distanța dintre vârfuri. Așezați mental un punct pe vârful drept al hiperbolei. Apoi: , care urma să fie verificat.