„Puncte critice ale funcției” - Puncte critice. Printre punctele critice există puncte extreme. O condiție necesară pentru un extremum. Răspuns: 2. Definiție. Dar, dacă f "(x0) = 0, atunci nu este necesar ca punctul x0 să fie un punct extrem. Puncte extreme (repetiție). Puncte critice ale funcției. Puncte extreme.

„Planul de coordonate Clasa 6” - Matematică Clasa 6. 1. X. 1. Găsiți și notați coordonatele punctelor A, B, C, D: -6. Planul de coordonate. O. -3. 7. W.

„Funcțiile și graficele lor” - Continuitate. Cea mai mare și cea mai mică valoare a funcției. Conceptul de funcție inversă. Liniar. Logaritmic. Monoton. Dacă k > 0, atunci unghiul format este ascuțit, dacă k< 0, то угол тупой. В самой точке x = a функция может существовать, а может и не существовать. Х1, х2, х3 – нули функции у = f(x).

„Funcții Grad 9” - Operații aritmetice permise pe funcții. [+] - adunare, [-] - scădere, [*] - înmulțire, [:] - împărțire. În astfel de cazuri, se vorbește despre o specificare grafică a unei funcții. Formarea unei clase de funcţii elementare. Funcția de putere y=x0,5. Iovlev Maxim Nikolaevich, elev din clasa a IX-a a școlii RIOU Raduzhskaya.

„Lecția Ecuație tangentă” - 1. Clarificați conceptul de tangentă la un grafic de funcție. Leibniz a luat în considerare problema trasării unei tangente la o curbă arbitrară. ALGORITM DE COMPUNERE A ECUAȚIEI FUNCȚIEI tangente la GRAFUL y=f(x). Subiectul lecției: Test: găsiți derivata unei funcții. Ecuația tangentei. Curgere. Clasa 10. Descifrează modul în care Isaac Newton a numit derivata unei funcții.

„Construiți un grafic al funcției” - Este dată funcția y=3cosx. Graficul funcției y=m*sin x. Trasează graficul funcției. Conținut: Având în vedere o funcție: y=sin (x+?/2). Întinderea graficului y=cosx de-a lungul axei y. Pentru a continua apăsați L. Butonul mouse-ului. Este dată funcția y=cosx+1. Graficul offset-urilor y=sinx pe verticală. Este dată funcția y=3sinx. Graficul offset y=cosx pe orizontală.

Există 25 de prezentări în total în subiect

În acest articol, ne vom uita la funcție liniară, graficul unei funcții liniare și proprietățile acesteia. Și, ca de obicei, vom rezolva mai multe probleme pe această temă.

Funcție liniară se numește o funcție a formei

În ecuația funcției, numărul cu care îl înmulțim se numește factor de pantă.

De exemplu, în ecuația funcției ;

în ecuația funcției;

în ecuația funcției;

în ecuația funcției.

Graficul unei funcții liniare este o linie dreaptă.

unu . Pentru a reprezenta o funcție, avem nevoie de coordonatele a două puncte aparținând graficului funcției. Pentru a le găsi, trebuie să luați două valori x, să le înlocuiți în ecuația funcției și să calculați valorile y corespunzătoare din ele.

De exemplu, pentru a reprezenta grafic funcția , este convenabil să luați și , atunci ordonatele acestor puncte vor fi egale cu și .

Obținem punctele A(0;2) și B(3;3). Să le conectăm și să obținem graficul funcției:

2 . În ecuația funcției, coeficientul este responsabil pentru panta graficului funcției:

Titlu="(!LANG:k>0">!}

Coeficientul este responsabil pentru deplasarea graficului de-a lungul axei:

Titlu="(!LANG:b>0">!}

Figura de mai jos prezintă graficele funcțiilor; ;

Rețineți că în toate aceste funcții coeficientul Peste zero dreapta. Mai mult, cu cât valoarea este mai mare, cu atât linia dreaptă este mai abruptă.

În toate funcțiile - și vedem că toate graficele intersectează axa OY în punctul (0;3)

Acum luați în considerare graficele funcției; ;

De data aceasta în toate funcţiile coeficientul mai putin de zero, iar toate graficele funcțiilor sunt denaturate La stânga.

Rețineți că cu cât |k| este mai mare, cu atât linia este mai abruptă. Coeficientul b este același, b=3, iar graficele, ca și în cazul precedent, traversează axa OY în punctul (0;3)

Luați în considerare graficele funcțiilor; ;

Acum, în toate ecuațiile de funcții, coeficienții sunt egali. Și avem trei linii paralele.

Dar coeficienții b sunt diferiți, iar aceste grafice intersectează axa OY în puncte diferite:

Graficul funcției (b=3) traversează axa OY în punctul (0;3)

Graficul funcției (b=0) traversează axa OY în punctul (0;0) - originea.

Graficul funcției (b=-2) traversează axa OY în punctul (0;-2)

Deci, dacă cunoaștem semnele coeficienților k și b, atunci ne putem imagina imediat cum arată graficul funcției.

În cazul în care un k<0 и b>0 , atunci graficul funcției arată astfel:

În cazul în care un k>0 și b>0, atunci graficul funcției arată astfel:

În cazul în care un k>0 și b<0 , atunci graficul funcției arată astfel:

În cazul în care un k<0 и b<0 , atunci graficul funcției arată astfel:

În cazul în care un k=0, apoi funcția se transformă într-o funcție și graficul ei arată astfel:

Ordonatele tuturor punctelor graficului funcției sunt egale

În cazul în care un b=0, atunci graficul funcției trece prin origine:

Aceasta este grafic de proporționalitate directă.

3 . Separat, notez graficul ecuației. Graficul acestei ecuații este o dreaptă paralelă cu axa, toate punctele care au o abscisă.

De exemplu, graficul ecuației arată astfel:

Atenţie! Ecuația nu este o funcție, deoarece valori diferite ale argumentului corespund aceleiași valori a funcției, care nu corespunde cu .

4 . Condiție pentru paralelismul a două linii:

Graficul funcției paralel cu graficul funcției, dacă

5. Condiția perpendicularității a două drepte:

Graficul funcției perpendicular pe graficul funcției dacă sau

6. Punctele de intersecție ale graficului funcției cu axele de coordonate.

cu axa OY. Abscisa oricărui punct aparținând axei OY este egală cu zero. Prin urmare, pentru a găsi punctul de intersecție cu axa OY, trebuie să înlocuiți zero în loc de x în ecuația funcției. Obținem y=b. Adică, punctul de intersecție cu axa OY are coordonatele (0;b).

Cu axa OX: Ordonata oricărui punct aparținând axei OX este zero. Prin urmare, pentru a găsi punctul de intersecție cu axa OX, trebuie să înlocuiți zero în loc de y în ecuația funcției. Se obține 0=kx+b. De aici. Adică, punctul de intersecție cu axa OX are coordonatele (; 0):

Luați în considerare rezolvarea problemelor.

unu . Construiți un grafic al funcției dacă se știe că aceasta trece prin punctul A (-3; 2) și este paralelă cu dreapta y \u003d -4x.

Există doi parametri necunoscuți în ecuația funcției: k și b. Prin urmare, în textul problemei ar trebui să existe două condiții care să caracterizeze graficul funcției.

a) Din faptul că graficul funcției este paralel cu dreapta y=-4x, rezultă că k=-4. Adică, ecuația funcției are forma

b) Ne rămâne să găsim b. Se știe că graficul funcției trece prin punctul A (-3; 2). Dacă un punct aparține graficului unei funcții, atunci când înlocuim coordonatele sale în ecuația funcției, obținem egalitatea corectă:

deci b=-10

Astfel, trebuie să trasăm funcția

Punctul A(-3;2) ne este cunoscut, luăm punctul B(0;-10)

Să punem aceste puncte în planul de coordonate și să le conectăm cu o linie dreaptă:

2. Scrieți ecuația unei drepte care trece prin punctele A(1;1); B(2;4).

Dacă linia trece prin puncte cu coordonate date, atunci coordonatele punctelor satisfac ecuația dreptei. Adică, dacă înlocuim coordonatele punctelor în ecuația unei drepte, vom obține egalitatea corectă.

Înlocuiți coordonatele fiecărui punct din ecuație și obțineți un sistem de ecuații liniare.

Scădem prima ecuație din a doua ecuație a sistemului și obținem . Înlocuiți valoarea lui k în prima ecuație a sistemului și obțineți b=-2.

Deci, ecuația unei linii drepte.

3 . Ecuația grafică

Pentru a afla la ce valori ale necunoscutului produsul mai multor factori este egal cu zero, trebuie să echivalați fiecare factor cu zero și să luați în considerare fiecare multiplicator.

Această ecuație nu are restricții privind ODZ. Să factorizăm a doua paranteză și să echivalăm fiecare factor cu zero. Obținem un set de ecuații:

Construim grafice ale tuturor ecuațiilor mulțimii într-un singur plan de coordonate. Acesta este graficul ecuației :

4 . Construiți un grafic al funcției dacă este perpendiculară pe dreapta și trece prin punctul M (-1; 2)

Nu vom construi un grafic, vom găsi doar ecuația unei linii drepte.

a) Din moment ce graficul funcției, dacă este perpendiculară pe dreapta, deci, de aici. Adică, ecuația funcției are forma

b) Știm că graficul funcției trece prin punctul M (-1; 2). Înlocuiți coordonatele sale în ecuația funcției. Primim:

De aici.

Prin urmare, funcția noastră arată astfel: .

5 . Trasează funcția

Să simplificăm expresia din partea dreaptă a ecuației funcției.

Important!Înainte de a simplifica expresia, să-i găsim ODZ.

Numitorul unei fracții nu poate fi zero, deci title="(!LANG:x1">, title="x-1">.!}

Atunci funcția noastră devine:

Titlu="(!LANG:delim(lbrace)(matrice(3)(1)((y=x+2) (x1) (x-1)))( )">!}

Adică, trebuie să construim un grafic al funcției și să scoatem două puncte pe el: cu abscise x=1 și x=-1:

ECUATII LINEARE SI INEGUALITATI I

§ 3 Funcţii liniare şi graficele acestora

Luați în considerare egalitatea

la = 2X + 1. (1)

Fiecare valoare a unei litere X această egalitate asociază un sens bine definit al literei la . Dacă, de exemplu, X = 0, atunci la = 20 + 1 = 1; dacă X = 10, atunci la = 2 10 + 1 = 21; la X \u003d - 1 / 2 avem y \u003d 2 (- 1 / 2) + 1 \u003d 0 etc. Să ne întoarcem la încă o egalitate:

la = X 2 (2)

Fiecare valoare X această egalitate, ca și egalitatea (1), asociază o valoare bine definită la . Dacă, de exemplu, X = 2, atunci la = 4; la X = - 3 obținem la = 9 etc. Egalitățile (1) și (2) leagă cele două mărimi X și la astfel încât fiecare valoare a unuia dintre ele ( X ) este asociat cu o valoare bine definită a unei alte mărimi ( la ).

Dacă fiecare valoare a cantităţii X corespunde unei valori bine definite a cantităţii la, atunci această valoare la se numeste functie de X. Valoare X se numește argument funcție la.

Astfel, formulele (1) și (2) definesc două funcții diferite ale argumentului X .

Funcția de argumentare X , având forma

y = ax + b , (3)

Unde A și b - unele numere date, numite liniar. Oricare dintre funcții poate servi ca exemplu de funcție liniară:

y = x + 2 (A = 1, b = 2);
la = - 10 (A = 0, b = - 10);
la = - 3X (A = - 3, b = 0);
la = 0 (a = b = 0).

După cum se știe din cursul clasei a VIII-a, graficul funcției y = ax + b este o linie dreaptă. De aceea această funcție se numește liniară.

Amintiți-vă cum este construit graficul unei funcții liniare y = ax + b .

1. Graficul funcției y = b . La A = 0 funcție liniară y = ax + b are forma y = b . Graficul său este o linie dreaptă paralelă cu axa X și axa transversală la la punctul cu ordonata b . În figura 1 vedeți graficul funcției y = 2 ( b > 0), iar în figura 2 - graficul funcției la = - 1 (b < 0).

Dacă nu numai A , dar de asemenea b este egal cu zero, apoi funcția y=ax+b are forma la = 0. În acest caz, graficul său coincide cu axa X (Fig. 3.)

2. Graficul funcției y=ah . La b = 0 funcție liniară y = ax + b are forma y=ah .

În cazul în care un A =/= 0, atunci graficul său este o linie dreaptă care trece prin origine și înclinată față de axă X la un unghi φ , a cărui tangentă este A (Fig. 4). Pentru a construi o linie dreaptă y=ah este suficient să găsim unul dintre punctele sale, diferit de origine. Presupunând, de exemplu, în egalitate y=ah X = 1, obținem la = A . Prin urmare, punctul M cu coordonatele (1; A ) se află pe linia noastră (Fig. 4). Acum trasând o dreaptă prin origine și punctul M, obținem linia dreaptă dorită y = ax .

Figura 5 prezintă o linie dreaptă ca exemplu. la = 2X (A > 0), iar în figura 6 - o linie dreaptă y = - x (A < 0).

3. Graficul funcției y = ax + b .

Lasa b > 0. Apoi linia y = ax + b y=ah pe b unități în sus. Ca exemplu, Figura 7 arată construcția unei linii drepte la = X / 2 + 3.

În cazul în care un b < 0, то прямая y = ax + b obtinut printr-o deplasare paralela a dreptei y=ah pe - b unități în jos. Ca exemplu, Figura 8 arată construcția unei linii drepte la = X / 2 - 3

direct y = ax + b poate fi construit în alt mod.

Orice linie este complet determinată de cele două puncte ale sale. Prin urmare, pentru a reprezenta grafic funcția y = ax + b este suficient să găsiți oricare două dintre punctele sale și apoi să trasați o linie dreaptă prin ele. Să explicăm acest lucru cu exemplul funcției la = - 2X + 3.

La X = 0 la = 3, în timp ce X = 1 la = 1. Prin urmare, pe dreapta noastră se află două puncte: M cu coordonatele (0; 3) și N cu coordonatele (1; 1). Marcând aceste puncte pe planul de coordonate și conectându-le cu o dreaptă (Fig. 9), obținem un grafic al funcției la = - 2X + 3.

În loc de punctele M și N, se pot lua, desigur, celelalte două puncte. De exemplu, ca valori X am putea alege nu 0 și 1, ca mai sus, ci 1 și 2,5. Atunci pentru la am obține valorile 5 și respectiv - 2. În loc de punctele M și N, am avea punctele P cu coordonatele (- 1; 5) și Q cu coordonatele (2.5; - 2). Aceste două puncte, precum și punctele M și N, determină complet linia dorită la = - 2X + 3.

Exerciții

15. Pe aceeași figură, construiți grafice ale funcțiilor:

A) la = - 4; b) la = -2; în) la = 0; G) la = 2; e) la = 4.

Aceste grafice se intersectează cu axele de coordonate? Dacă se intersectează, atunci specificați coordonatele punctelor de intersecție.

16. Pe aceeași figură, trasați grafice cu funcții:

A) la = X / 4; b) la = X / 2; în) la =X ; G) la = 2X ; e) la = 4X .

17. Pe aceeași figură, construiți grafice ale funcțiilor:

A) la = - X / 4; b) la = - X / 2; în) la = - X ; G) la = - 2X ; e) la = - 4X .

Construiți grafice ale acestor funcții (Nr. 18-21) și determinați coordonatele punctelor de intersecție ale acestor grafice cu axele de coordonate.

18. la = 3+ X . 20. la = - 4 - X .

19. la = 2X - 2. 21. la = 0,5(1 - 3X ).

22. Reprezentați grafic o funcție

la = 2X - 4;

folosind acest grafic, află: a) pentru ce valori X y = 0;

b) la ce valori X valorile la negativ și la ce - pozitiv;

c) la ce valori X cantități X și la au aceleași semne;

d) la ce valori X cantități X și la au semne diferite.

23. Scrieți ecuațiile dreptelor prezentate în figurile 10 și 11.

24. Care dintre legile fizice cunoscute de dvs. sunt descrise folosind funcții liniare?

25. Cum se grafică o funcție la = - (ax + b ) dacă este dat graficul funcției y = ax + b ?

Sarcinile privind proprietățile și graficele unei funcții pătratice, după cum arată practica, provoacă dificultăți serioase. Acest lucru este destul de ciudat, deoarece funcția pătratică este trecută în clasa a 8-a, iar apoi întregul prim trimestru al clasei a IX-a este „extorcat” de proprietățile parabolei și graficele acesteia sunt construite pentru diverși parametri.

Acest lucru se datorează faptului că forțând elevii să construiască parabole, practic nu dedică timp „citirea” graficelor, adică nu exersează înțelegerea informațiilor primite din imagine. Aparent, se presupune că, după ce a construit două duzini de grafice, un student inteligent va descoperi însuși și va formula relația dintre coeficienții din formulă și aspectul graficului. În practică, acest lucru nu funcționează. Pentru o astfel de generalizare este necesară o experiență serioasă în mini-cercetare matematică, pe care, desigur, majoritatea elevilor de clasa a IX-a nu o au. Între timp, în GIA își propun să se determine semnele coeficienților tocmai după grafic.

Nu vom cere imposibilul de la școlari și pur și simplu oferim unul dintre algoritmii pentru rezolvarea unor astfel de probleme.

Deci, o funcție a formei y=ax2+bx+c se numește pătratic, graficul său este o parabolă. După cum sugerează și numele, componenta principală este toporul 2. i.e A nu trebuie să fie egal cu zero, coeficienții rămași ( bși cu) poate fi egal cu zero.

Să vedem cum semnele coeficienților săi afectează aspectul parabolei.

Cea mai simplă dependență pentru coeficient A. Majoritatea școlarilor răspund cu încredere: „dacă A> 0, atunci ramurile parabolei sunt îndreptate în sus, iar dacă A < 0, - то вниз". Совершенно верно. Ниже приведен график квадратичной функции, у которой A > 0.

y = 0,5x2 - 3x + 1

LA acest caz A = 0,5

Și acum pentru A < 0:

y = - 0,5x2 - 3x + 1

În acest caz A = - 0,5

Influența coeficientului cu de asemenea, destul de ușor de urmărit. Imaginați-vă că vrem să găsim valoarea unei funcții într-un punct X= 0. Înlocuiți zero în formula:

y = A 0 2 + b 0 + c = c. Se pare că y = c. i.e cu este ordonata punctului de intersecție al parabolei cu axa y. De regulă, acest punct este ușor de găsit pe grafic. Și stabiliți dacă se află peste zero sau mai jos. i.e cu> 0 sau cu < 0.

cu > 0:

y=x2+4x+3

cu < 0

y = x 2 + 4x - 3

În consecință, dacă cu= 0, atunci parabola va trece neapărat prin origine:

y=x2+4x

Mai dificil cu parametrul b. Punctul prin care îl vom găsi depinde nu numai de b dar si din A. Acesta este vârful parabolei. Abscisa sa (coordonatele axei X) se găsește prin formula x în \u003d - b / (2a). Prin urmare, b = - 2ax in. Adică procedăm astfel: pe grafic găsim vârful parabolei, determinăm semnul abscisei acesteia, adică privim în dreapta lui zero ( x in> 0) sau la stânga ( x in < 0) она лежит.

Cu toate acestea, acesta nu este tot. Trebuie să fim atenți și la semnul coeficientului A. Adică pentru a vedea unde sunt îndreptate ramurile parabolei. Și numai după aceea, după formula b = - 2ax in determina semnul b.

Luați în considerare un exemplu:

Ramuri îndreptate în sus A> 0, parabola traversează axa la sub zero înseamnă cu < 0, вершина параболы лежит правее нуля. Следовательно, x in> 0. Deci b = - 2ax in = -++ = -. b < 0. Окончательно имеем: A > 0, b < 0, cu < 0.

Definirea funcției liniare

Să introducem definiția unei funcții liniare

Definiție

O funcție de forma $y=kx+b$, unde $k$ este diferit de zero, se numește funcție liniară.

Graficul unei funcții liniare este o linie dreaptă. Numărul $k$ se numește panta dreptei.

Pentru $b=0$ funcția liniară se numește funcție de proporționalitate directă $y=kx$.

Luați în considerare figura 1.

Orez. 1. Sensul geometric al pantei dreptei

Luați în considerare triunghiul ABC. Vedem că $BC=kx_0+b$. Aflați punctul de intersecție al dreptei $y=kx+b$ cu axa $Ox$:

\ \

Deci $AC=x_0+\frac(b)(k)$. Să găsim raportul dintre aceste laturi:

\[\frac(BC)(AC)=\frac(kx_0+b)(x_0+\frac(b)(k))=\frac(k(kx_0+b))((kx)_0+b)=k \]

Pe de altă parte, $\frac(BC)(AC)=tg\angle A$.

Astfel, se poate trage următoarea concluzie:

Concluzie

Sensul geometric al coeficientului $k$. Panta dreptei $k$ este egală cu tangentei pantei acestei drepte la axa $Ox$.

Studiul funcției liniare $f\left(x\right)=kx+b$ și graficul acesteia

Mai întâi, luați în considerare funcția $f\left(x\right)=kx+b$, unde $k > 0$.

1. $f"\left(x\right)=(\left(kx+b\right))"=k>0$. Prin urmare, această funcție crește pe întregul domeniu de definiție. Nu există puncte extreme.
2. $(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) kx\ )=-\infty $, $(\mathop(lim)_(x\to +\infty ) kx\ )=+\infty $
3. Grafic (Fig. 2).

Orez. 2. Grafice ale funcției $y=kx+b$, pentru $k > 0$.

Acum luați în considerare funcția $f\left(x\right)=kx$, unde $k

1. Domeniul de aplicare este toate numerele.
2. Domeniul de aplicare este toate numerele.
3. $f\stanga(-x\dreapta)=-kx+b$. Funcția nu este nici pară, nici impară.
4. Pentru $x=0,f\left(0\right)=b$. Pentru $y=0,0=kx+b,\ x=-\frac(b)(k)$.

Puncte de intersecție cu axe de coordonate: $\left(-\frac(b)(k),0\right)$ și $\left(0,\b\right)$

1. $f"\left(x\right)=(\left(kx\right))"=k
2. $f^("")\left(x\right)=k"=0$. Prin urmare, funcția nu are puncte de inflexiune.
3. $(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) kx\ )=+\infty $, $(\mathop(lim)_(x\to +\infty ) kx\ )=-\infty $
4. Grafic (Fig. 3).