Rezumatul lecției

„Metode pentru rezolvarea ecuațiilor iraționale”

Clasa a XI-a de profil fizic și matematic.

Districtul municipal Zelenodolsky al Republicii Tatarstan

Valieva S.Z.

Tema lecției: Metode de rezolvare a ecuațiilor iraționale

Scopul lecției: 1. Studiați diferite moduri de rezolvare a ecuațiilor iraționale.

1. 
   Dezvoltați capacitatea de generalizare, selectare corectă a metodelor de rezolvare a ecuațiilor iraționale.
2. 
   Dezvoltați independența, educați alfabetizarea vorbirii

Tip de lecție: seminar.
Planul lecției:

1. 
   Organizarea timpului
2. 
   Învățarea de materiale noi
3. 
   Ancorare
4. 
   Teme pentru acasă
5. 
   Rezumatul lecției

În timpul orelor
eu. Timp de organizare: mesajul subiectului lecției, scopul lecției.

În lecția anterioară, am luat în considerare rezolvarea ecuațiilor iraționale care conțin rădăcini pătrate prin pătrarea acestora. În acest caz, obținem o ecuație a consecințelor, care uneori duce la apariția rădăcinilor străine. Și apoi o parte obligatorie a rezolvării ecuației este verificarea rădăcinilor. Am luat în considerare și rezolvarea ecuațiilor folosind definiția rădăcinii pătrate. În acest caz, verificarea poate fi omisă. Cu toate acestea, atunci când rezolvați ecuații, nu este întotdeauna necesar să treceți imediat la aplicarea „oarbă” a algoritmilor pentru rezolvarea ecuației. În sarcinile Examenului de stat unificat, există destul de multe ecuații, în rezolvarea cărora este necesar să alegeți o metodă de rezolvare care vă permite să rezolvați mai ușor și mai rapid ecuațiile. Prin urmare, este necesar să cunoaștem și alte metode de rezolvare a ecuațiilor iraționale, cu care ne vom familiariza astăzi. Anterior, clasa a fost împărțită în 8 grupuri creative și li s-au oferit exemple specifice pentru a dezvălui esența unei anumite metode. Le dăm un cuvânt.

II. Învățarea de materiale noi.

Din fiecare grupă, 1 elev explică copiilor cum să rezolve ecuații iraționale. Întreaga clasă ascultă și ia notițe despre povestea lor.

1 cale. Introducerea unei noi variabile.

Rezolvați ecuația: (2x + 3) 2 - 3

4x 2 + 12x + 9 - 3

4x 2 - 8x - 51 - 3

, t ≥0

x 2 - 2x - 6 \u003d t 2;

4t 2 – 3t – 27 = 0

x 2 - 2x - 15 \u003d 0

x 2 - 2x - 6 \u003d 9;

Răspuns: -3; 5.

2 sensuri. cercetare ODZ.

rezolva ecuatia

ODZ:


x \u003d 2. Prin verificare, ne asigurăm că x \u003d 2 este rădăcina ecuației.

3 căi. Înmulțirea ambelor părți ale ecuației cu factorul conjugat.

+
(înmulțiți ambele părți cu -
)

x + 3 - x - 8 \u003d 5 (-)

2=4, deci x=1. Prin verificare, suntem convinși că x \u003d 1 este rădăcina acestei ecuații.

4 moduri. Reducerea unei ecuații la un sistem prin introducerea unei variabile.

rezolva ecuatia

Fie = u,
=v.

Obținem sistemul:

Să rezolvăm prin metoda substituției. Se obține u = 2, v = 2. Prin urmare,

obținem x = 1.

Răspuns: x = 1.

5 moduri. Selectarea unui pătrat complet.

rezolva ecuatia

Să deschidem modulele. pentru că -1≤cos0.5x≤1, apoi -4≤cos0.5x-3≤-2, deci . De asemenea,

Apoi obținem ecuația

x = 4πn, nZ.

Răspuns: 4πn, nZ.

6 moduri. Metoda de evaluare

rezolva ecuatia

ODZ: x 3 - 2x 2 - 4x + 8 ≥ 0, prin definiție, partea dreaptă -x 3 + 2x 2 + 4x - 8 ≥ 0

primim
acestea. x 3 - 2x 2 - 4x + 8 = 0. Rezolvând ecuația prin factorizare, obținem x = 2, x = -2

Metoda 7: Utilizarea proprietăților monotonității funcțiilor.

Rezolvați ecuația. Funcțiile cresc strict. Suma funcțiilor crescătoare este în creștere și această ecuație are cel mult o rădăcină. Prin selecție găsim x = 1.

8 moduri. Utilizarea vectorilor.

Rezolvați ecuația. ODZ: -1≤х≤3.

Fie vectorul
. Produsul scalar al vectorilor este partea stângă. Să găsim produsul lungimii lor. Aceasta este partea dreaptă. A primit
, adică vectorii a și b sunt coliniari. De aici
. Să pătram ambele părți. Rezolvând ecuația, obținem x \u003d 1 și x \u003d
.

1. 
   Consolidare.(fiecărui elev i se dă o fișă de lucru)

Lucru oral frontal

Găsiți o idee pentru rezolvarea ecuațiilor (1-10)

1.
(ODZ - )

2.
x = 2

3. x 2 - 3x +
(înlocuire)

4. (alegerea unui pătrat întreg)

5.
(Reducerea unei ecuații la un sistem prin introducerea unei variabile.)

6.
(prin înmulțire cu expresia adjunctă)

7.
deoarece
. Această ecuație nu are rădăcini.

8. Pentru că fiecare termen este nenegativ, îi echivalăm cu zero și rezolvăm sistemul.

9. 3

10. Aflați rădăcina ecuației (sau produsul rădăcinilor, dacă sunt mai multe) ecuației.

Lucrare scrisă independentă cu verificare ulterioară

rezolva ecuatiile numerotate 11,13,17,19

Rezolvarea ecuațiilor:

12. (x + 6) 2 -

14.

Metoda de evaluare

Utilizarea proprietăților de monotonitate a funcțiilor.

Utilizarea vectorilor.

1. 
   Care dintre aceste metode sunt folosite pentru a rezolva alte tipuri de ecuații?
2. 
   Care dintre aceste metode ți-a plăcut cel mai mult și de ce?

1. 
   Temă pentru acasă: Rezolvați ecuațiile rămase.

Bibliografie:

1. 
   Algebra și începutul analizei matematice: manual. pentru 11 celule. educatie generala instituții / S.M. Nikolsky, M.K. Potapov, N.N. Reshetnikov, A.V. Shevkin. M: Iluminarea, 2009

1. 
   Materiale didactice despre algebră și principii de analiză pentru clasa a 11-a /B.M. Ivlev, S.M. Sahakyan, S.I. Schwarzburd. – M.: Iluminismul, 2003.
2. 
   Mordkovich A. G. Algebra și începuturile analizei. 10 - 11 celule: Caiet de sarcini pentru educația generală. instituţiilor. – M.: Mnemosyne, 2000.
3. 
   Ershova A.P., Goloborodko V.V. Lucrări independente și de control pe algebră și principii de analiză pentru clasele 10-11. – M.: Ileksa, 2004
4. 
   KIM USE 2002 - 2010

6. Simulator algebric. A.G. Merzlyak, V.B. Polonsky, M.S. Yakir. Manual pentru școlari și participanți. Moscova.: „Ileksa” 2001.
7. Ecuații și inegalități. Metode de rezolvare nestandardizate. Manual educativ - metodic. 10 - 11 clase. S.N. Oleinik, M.K. Potapov, P.I. Pasichenko. Moscova. "Dropie". 2001

O ecuație irațională este orice ecuație care conține o funcție sub semnul rădăcinii. De exemplu:

Astfel de ecuații sunt întotdeauna rezolvate în 3 pași:

1. Separați rădăcina. Cu alte cuvinte, dacă în stânga semnului egal pe lângă rădăcină sunt alte numere sau funcții, toate acestea trebuie mutate la dreapta prin schimbarea semnului. În același timp, doar radicalul ar trebui să rămână în stânga - fără coeficienți.
2. 2. Punem la patrat ambele laturi ale ecuatiei. În același timp, amintiți-vă că intervalul rădăcinii sunt toate numerele nenegative. De aici funcția din dreapta ecuație irațională trebuie să fie și nenegative: g (x) ≥ 0.
3. Al treilea pas urmează logic din al doilea: trebuie să efectuați o verificare. Cert este că în a doua etapă am putea avea rădăcini suplimentare. Și pentru a le tăia, este necesar să înlocuiți numerele candidate rezultate în ecuația inițială și să verificați: se obține într-adevăr egalitatea numerică corectă?

Rezolvarea unei ecuații iraționale

Să ne ocupăm de ecuația noastră irațională dată chiar la începutul lecției. Aici rădăcina este deja retrasă: în stânga semnului egal nu există altceva decât rădăcina. Să pătram ambele părți:

2x 2 - 14x + 13 = (5 - x) 2
2x2 - 14x + 13 = 25 - 10x + x2
x 2 - 4x - 12 = 0

Rezolvăm ecuația pătratică rezultată prin discriminantul:

D = b 2 − 4ac = (−4) 2 − 4 1 (−12) = 16 + 48 = 64
x 1 = 6; x 2 \u003d -2

Rămâne doar să înlocuim aceste numere în ecuația originală, adică. efectua o verificare. Dar chiar și aici puteți face ceea ce trebuie pentru a simplifica decizia finală.

Cum să simplificăm soluția

Să ne gândim: de ce verificăm chiar la sfârșitul rezolvării unei ecuații iraționale? Vrem să ne asigurăm că atunci când ne înlocuim rădăcinile, va exista un număr nenegativ la dreapta semnului egal. La urma urmei, știm deja cu siguranță că este un număr nenegativ din stânga, deoarece rădăcina pătrată aritmetică (din cauza căreia ecuația noastră se numește irațională) prin definiție nu poate fi mai mică de zero.

Prin urmare, tot ce trebuie să verificăm este că funcția g ( x ) = 5 − x , care se află în dreapta semnului egal, este nenegativă:

g(x) ≥ 0

Înlocuim rădăcinile noastre în această funcție și obținem:

g (x 1) \u003d g (6) \u003d 5 - 6 \u003d -1< 0
g (x 2) = g (−2) = 5 − (−2) = 5 + 2 = 7 > 0

Din valorile obținute rezultă că rădăcina x 1 = 6 nu ne convine, deoarece la înlocuirea în partea dreaptă a ecuației originale, obținem un număr negativ. Dar rădăcina x 2 \u003d −2 este destul de potrivită pentru noi, deoarece:

1. Această rădăcină este soluția ecuației pătratice obținute prin ridicarea ambelor părți ecuație iraționalăîntr-un pătrat.
2. Partea dreaptă a ecuației iraționale inițiale, când rădăcina x 2 = −2 este înlocuită, se transformă într-un număr pozitiv, i.e. intervalul rădăcinii aritmetice nu este încălcat.

Acesta este tot algoritmul! După cum puteți vedea, rezolvarea ecuațiilor cu radicali nu este atât de dificilă. Principalul lucru este să nu uitați să verificați rădăcinile primite, altfel este foarte probabil să obțineți răspunsuri suplimentare.

Confidențialitatea dumneavoastră este importantă pentru noi. Din acest motiv, am dezvoltat o Politică de confidențialitate care descrie modul în care folosim și stocăm informațiile dumneavoastră. Vă rugăm să citiți politica noastră de confidențialitate și să ne spuneți dacă aveți întrebări.

Colectarea și utilizarea informațiilor personale

Informațiile personale se referă la date care pot fi folosite pentru a identifica sau contacta o anumită persoană.

Vi se poate cere să furnizați informațiile dumneavoastră personale în orice moment când ne contactați.

Următoarele sunt câteva exemple de tipuri de informații personale pe care le putem colecta și modul în care putem folosi aceste informații.

Ce informații personale colectăm:

• Când trimiteți o cerere pe site, este posibil să colectăm diverse informații, inclusiv numele, numărul de telefon, adresa de e-mail etc.

Cum folosim informațiile dumneavoastră personale:

• Informațiile personale pe care le colectăm ne permit să vă contactăm și să vă informăm despre oferte unice, promoții și alte evenimente și evenimente viitoare.
• Din când în când, putem folosi informațiile dumneavoastră personale pentru a vă trimite notificări și comunicări importante.
• De asemenea, putem folosi informații personale în scopuri interne, cum ar fi efectuarea de audituri, analize de date și diverse cercetări pentru a îmbunătăți serviciile pe care le oferim și pentru a vă oferi recomandări cu privire la serviciile noastre.
• Dacă participați la o tragere la sorți, un concurs sau un stimulent similar, este posibil să folosim informațiile pe care le furnizați pentru a administra astfel de programe.

Dezvăluirea către terți

Nu dezvăluim informațiile primite de la dumneavoastră către terți.

Excepții:

• În cazul în care este necesar - în conformitate cu legea, ordinea judiciară, în cadrul procedurilor judiciare și/sau pe baza solicitărilor publice sau a solicitărilor din partea organelor de stat de pe teritoriul Federației Ruse - dezvăluiți informațiile dumneavoastră personale. De asemenea, putem dezvălui informații despre dumneavoastră dacă stabilim că o astfel de dezvăluire este necesară sau adecvată pentru securitate, aplicarea legii sau în alte scopuri de interes public.
• În cazul unei reorganizări, fuziuni sau vânzări, putem transfera informațiile personale pe care le colectăm către succesorul terț relevant.

Protecția informațiilor personale

Luăm măsuri de precauție - inclusiv administrative, tehnice și fizice - pentru a vă proteja informațiile personale împotriva pierderii, furtului și utilizării greșite, precum și împotriva accesului, dezvăluirii, modificării și distrugerii neautorizate.

Menținerea confidențialității la nivelul companiei

Pentru a ne asigura că informațiile dumneavoastră personale sunt în siguranță, comunicăm angajaților noștri practicile de confidențialitate și securitate și aplicăm strict practicile de confidențialitate.

Instituție de învățământ municipală

„Școala secundară Kudinskaya nr. 2”

Modalități de rezolvare a ecuațiilor iraționale

Completat de: Egorova Olga,

supraveghetor:

Profesor

matematică,

calificare superioară

Introducere....……………………………………………………………………………………… 3

Secțiunea 1. Metode de rezolvare a ecuațiilor iraționale…………………………………6

1.1 Rezolvarea ecuațiilor iraționale ale părții C……….….….……………………21

Secțiunea 2. Sarcini individuale…………………………………………….....………...24

Răspunsuri………………………………………………………………………………………….25

Bibliografie…….…………………………………………………………………….26

Introducere

Educația matematică primită într-o școală de învățământ general este o componentă esențială a educației generale și a culturii generale a unei persoane moderne. Aproape tot ceea ce înconjoară o persoană modernă este legat într-un fel sau altul de matematică. Iar cele mai recente realizări în fizică, inginerie și tehnologia informației nu lasă nicio îndoială că în viitor starea de lucruri va rămâne aceeași. Prin urmare, rezolvarea multor probleme practice se reduce la rezolvarea diferitelor tipuri de ecuații care trebuie învățate să le rezolve. Unul dintre aceste tipuri sunt ecuațiile iraționale.

Ecuații iraționale

O ecuație care conține o necunoscută (sau o expresie algebrică rațională dintr-o necunoscută) sub semnul radical se numește ecuație irațională. În matematica elementară, soluțiile ecuațiilor iraționale sunt căutate în mulțimea numerelor reale.

Orice ecuație irațională cu ajutorul operațiilor algebrice elementare (înmulțire, împărțire, ridicarea ambelor părți ale ecuației la o putere întreagă) poate fi redusă la o ecuație algebrică rațională. Trebuie avut în vedere că ecuația algebrică rațională rezultată poate să nu fie echivalentă cu ecuația irațională originală, și anume, poate conține rădăcini „extra” care nu vor fi rădăcinile ecuației iraționale originale. Prin urmare, după ce s-au găsit rădăcinile ecuației algebrice raționale obținute, este necesar să se verifice dacă toate rădăcinile ecuației raționale vor fi rădăcinile ecuației iraționale.

În cazul general, este dificil de indicat vreo metodă universală de rezolvare a oricărei ecuații iraționale, deoarece este de dorit ca, în urma transformărilor ecuației iraționale originale, să se obțină nu doar un fel de ecuație algebrică rațională, printre rădăcinile lui care vor fi rădăcinile acestei ecuații iraționale, ci o ecuație algebrică rațională formată din polinoame de cât mai puțin grad. Dorința de a obține acea ecuație algebrică rațională formată din polinoame de cel mai mic grad posibil este destul de firească, deoarece găsirea tuturor rădăcinilor unei ecuații algebrice raționale poate fi în sine o sarcină destul de dificilă, pe care o putem rezolva complet doar într-un număr foarte limitat. de cazuri.

Tipuri de ecuații iraționale

Rezolvarea ecuațiilor iraționale de grad par provoacă întotdeauna mai multe probleme decât rezolvarea ecuațiilor iraționale de grad impar. Când se rezolvă ecuații iraționale de grad impar, ODZ nu se modifică. Prin urmare, mai jos vom lua în considerare ecuațiile iraționale, al căror grad este par. Există două tipuri de ecuații iraționale:

2..

Să luăm în considerare primul dintre ele.

ecuația odz: f(x)≥ 0. În ODZ, partea stângă a ecuației este întotdeauna nenegativă, deci o soluție poate exista doar atunci când g(X)≥ 0. În acest caz, ambele părți ale ecuației sunt nenegative, iar exponențiația 2 n dă o ecuație echivalentă. Înțelegem asta

Să fim atenți la faptul că în timp ce ODZ se efectuează automat și nu îl puteți scrie, ci condițiag(x) ≥ 0 trebuie verificat.

Notă: Aceasta este o condiție foarte importantă a echivalenței. În primul rând, eliberează elevul de nevoia de a investiga, iar după găsirea soluțiilor, se verifică condiția f(x) ≥ 0 - non-negativitatea expresiei rădăcinii. În al doilea rând, se concentrează pe verificarea stăriig(x) ≥ 0 sunt nonnegativitatea laturii drepte. La urma urmei, după pătrat, ecuația este rezolvată adică două ecuații sunt rezolvate simultan (dar la intervale diferite ale axei numerice!):

1. - unde g(X)≥ 0 și

2. - unde g(x) ≤ 0.

Între timp, mulți, conform obiceiului școlar de a găsi ODZ, fac exact invers atunci când rezolvă astfel de ecuații:

a) se verifică, după găsirea soluțiilor, condiția f(x) ≥ 0 (care este îndeplinită automat), se face erori aritmetice și se obține un rezultat incorect;

b) ignorați condițiag(x) ≥ 0 - și din nou răspunsul poate fi greșit.

Notă: Condiția de echivalență este utilă în special la rezolvarea ecuațiilor trigonometrice, în care găsirea ODZ este asociată cu rezolvarea inegalităților trigonometrice, ceea ce este mult mai dificil decât rezolvarea ecuațiilor trigonometrice. Verificarea în ecuații trigonometrice condiții egale g(X)≥ 0 nu este întotdeauna ușor de făcut.

Luați în considerare al doilea tip de ecuații iraționale.

. Lasă ecuația . ODZ-ul lui:

În ODZ, ambele părți sunt nenegative, iar pătratul dă ecuația echivalentă f(x) =g(X). Prin urmare, în ODZ sau

Cu această metodă de soluție, este suficient să verificați non-negativitatea uneia dintre funcții - puteți alege una mai simplă.

Secțiunea 1. Metode de rezolvare a ecuațiilor iraționale

1 metoda. Eliberarea de radicali prin ridicarea succesivă a ambelor părți ale ecuației la puterea naturală corespunzătoare

Cea mai des folosită metodă pentru rezolvarea ecuațiilor iraționale este metoda eliberării de radicali prin ridicarea succesivă a ambelor părți ale ecuației la gradul natural corespunzător. În acest caz, trebuie avut în vedere că atunci când ambele părți ale ecuației sunt ridicate la o putere impară, ecuația rezultată este echivalentă cu cea inițială, iar când ambele părți ale ecuației sunt ridicate la o putere pară, ecuația rezultată ecuația va fi, în general, neechivalentă cu ecuația originală. Acest lucru este ușor de verificat prin ridicarea ambelor părți ale ecuației la orice putere egală. Această operație are ca rezultat ecuația , al cărui set de soluții este uniunea de seturi de soluții: https://pandia.ru/text/78/021/images/image013_50.gif" width="95" height="21 src=">. Cu toate acestea, în ciuda acest dezavantaj, procedura de ridicare a ambelor părți ale ecuației la o putere (deseori chiar) este cea mai comună procedură pentru reducerea unei ecuații iraționale la o ecuație rațională.

Rezolvați ecuația:

Unde sunt niște polinoame. În virtutea definiției operației de extragere a rădăcinii în mulțimea numerelor reale, valorile admisibile ale necunoscutului https://pandia.ru/text/78/021/images/image017_32.gif" width=" 123 height=21" height="21">..gif " width="243" height="28 src=">.

Deoarece ambele părți ale primei ecuații au fost la pătrat, se poate dovedi că nu toate rădăcinile celei de-a doua ecuații vor fi soluții ale ecuației inițiale, este necesar să se verifice rădăcinile.

Rezolvați ecuația:

https://pandia.ru/text/78/021/images/image021_21.gif" width="137" height="25">

Ridicând ambele părți ale ecuației într-un cub, obținem

Având în vedere că https://pandia.ru/text/78/021/images/image024_19.gif" width="195" height="27">(Ultima ecuație poate avea rădăcini care, în general, nu sunt rădăcini ale ecuaţie ).

Ridicăm ambele părți ale acestei ecuații la un cub: . Rescriem ecuația sub forma x3 - x2 = 0 ↔ x1 = 0, x2 = 1. Prin verificare, stabilim că x1 = 0 este o rădăcină străină a ecuației (-2 ≠ 1), iar x2 = 1 satisface ecuația originală.

Răspuns: x = 1.

2 metoda. Înlocuirea unui sistem adiacent de condiții

La rezolvarea ecuațiilor iraționale care conțin radicali de ordin egal, în răspunsuri pot apărea rădăcini străine, care nu sunt întotdeauna ușor de identificat. Pentru a facilita identificarea și eliminarea rădăcinilor străine, în cursul rezolvării ecuațiilor iraționale, acesta este imediat înlocuit cu un sistem de condiții adiacent. Inegalitățile suplimentare din sistem iau în considerare de fapt ODZ a ecuației care se rezolvă. ODZ-ul îl puteți găsi separat și să îl luați în considerare mai târziu, dar este de preferat să folosiți sisteme mixte de condiții: există mai puțin pericol de a uita ceva, de a nu se lua în considerare în procesul de rezolvare a ecuației. Prin urmare, în unele cazuri este mai rațional să se folosească metoda de tranziție la sisteme mixte.

Rezolvați ecuația:

Răspuns: https://pandia.ru/text/78/021/images/image029_13.gif" width="109 height=27" height="27">

Această ecuație este echivalentă cu sistemul

Răspuns: ecuația nu are soluții.

3 metoda. Folosind proprietățile rădăcinii a n-a

La rezolvarea ecuațiilor iraționale se folosesc proprietățile rădăcinii gradului al n-lea. rădăcină aritmetică n- al grade dintre A apelați un număr nenegativ, n- i al cărui grad este egal cu A. În cazul în care un n- chiar( 2n), atunci a ≥ 0, altfel rădăcina nu există. În cazul în care un n- ciudat( 2 n+1), atunci a este oricare și = - ..gif" width="45" height="19"> Apoi:

2.

3.

4.

5.

Aplicând oricare dintre aceste formule, în mod formal (fără a ține cont de restricțiile indicate), trebuie avut în vedere faptul că ODZ-ul părților din stânga și din dreapta fiecăreia dintre ele poate fi diferit. De exemplu, expresia este definită cu f ≥ 0și g ≥ 0, iar expresia este ca în f ≥ 0și g ≥ 0, precum și f ≤ 0și g ≤ 0.

Pentru fiecare dintre formulele 1-5 (fără a ține cont de restricțiile indicate), ODZ din partea dreaptă poate fi mai lată decât ODZ din stânga. De aici rezultă că transformările ecuației cu utilizarea formală a formulelor 1-5 „de la stânga la dreapta” (cum sunt scrise) conduc la o ecuație care este o consecință a celei originale. În acest caz, pot apărea rădăcini străine ale ecuației originale, astfel încât verificarea este un pas obligatoriu în rezolvarea ecuației originale.

Transformările ecuațiilor cu utilizarea formală a formulelor 1-5 „de la dreapta la stânga” sunt inacceptabile, deoarece este posibil să se judece ODZ a ecuației originale și, în consecință, pierderea rădăcinilor.

https://pandia.ru/text/78/021/images/image041_8.gif" width="247" height="61 src=">,

care este o consecință a originalului. Rezolvarea acestei ecuații se reduce la rezolvarea mulțimii de ecuații .

Din prima ecuație a acestei mulțimi găsim https://pandia.ru/text/78/021/images/image044_7.gif" width="89" height="27"> de unde găsim . Astfel, rădăcinile lui această ecuație poate fi doar numere (-1) și (-2). Verificarea arată că ambele rădăcini găsite satisfac această ecuație.

Răspuns: -1,-2.

Rezolvați ecuația: .

Soluție: pe baza identităților, înlocuiți primul termen cu . Rețineți că, ca sumă a două numere nenegative din partea stângă. „Ștergeți” modulul și, după ce ați adus termeni similari, rezolvați ecuația. Deoarece , obținem ecuația . Din moment ce și , apoi https://pandia.ru/text/78/021/images/image055_6.gif" width="89" height="27 src=">.gif" width="39" height="19 src= " >.gif" width="145" height="21 src=">

Răspuns: x = 4,25.

4 metoda. Introducerea de noi variabile

Un alt exemplu de rezolvare a ecuațiilor iraționale este modul în care sunt introduse noi variabile, în raport cu care se obține fie o ecuație irațională mai simplă, fie o ecuație rațională.

Rezolvarea ecuațiilor iraționale prin înlocuirea ecuației cu consecința ei (cu verificarea ulterioară a rădăcinilor) se poate realiza astfel:

1. Găsiți ODZ a ecuației originale.

2. Treceți de la ecuație la corolarul ei.

3. Aflați rădăcinile ecuației rezultate.

4. Verificați dacă rădăcinile găsite sunt rădăcinile ecuației originale.

Verificarea este după cum urmează:

A) se verifică apartenența fiecărei rădăcini găsite a ODZ la ecuația originală. Acele rădăcini care nu aparțin ODZ sunt străine pentru ecuația originală.

B) pentru fiecare rădăcină inclusă în ODZ a ecuației inițiale, se verifică dacă părțile din stânga și din dreapta fiecărei ecuații care apar în procesul de rezolvare a ecuației inițiale și ridicate la o putere pară au aceleași semne. Acele rădăcini pentru care părți ale oricărei ecuații ridicate la o putere pară au semne diferite sunt străine pentru ecuația originală.

C) numai acele rădăcini care aparțin ODZ a ecuației inițiale și pentru care ambele părți ale fiecăreia dintre ecuațiile care apar în procesul de rezolvare a ecuației inițiale și ridicate la o putere pară au aceleași semne sunt verificate prin substituție directă în ecuația originală.

O astfel de metodă de rezolvare cu metoda de verificare indicată face posibilă evitarea calculelor greoaie în cazul înlocuirii directe a fiecăreia dintre rădăcinile găsite ale ultimei ecuații în cea originală.

Rezolvați ecuația irațională:

.

Setul de valori admisibile ale acestei ecuații:

Fixând , după înlocuire obținem ecuația

sau ecuația ei echivalentă

care poate fi privită ca o ecuație pătratică pentru . Rezolvând această ecuație, obținem

.

Prin urmare, setul de soluții al ecuației iraționale inițiale este uniunea mulțimilor de soluții ale următoarelor două ecuații:

, .

Cub ambele părți ale fiecăreia dintre aceste ecuații și obținem două ecuații algebrice raționale:

, .

Rezolvând aceste ecuații, aflăm că această ecuație irațională are o singură rădăcină x = 2 (nu este necesară verificarea, deoarece toate transformările sunt echivalente).

Răspuns: x = 2.

Rezolvați ecuația irațională:

Notăm 2x2 + 5x - 2 = t. Apoi ecuația inițială va lua forma . Punând la pătrat ambele părți ale ecuației rezultate și aducând termeni similari, obținem ecuația , care este o consecință a celei anterioare. Din el găsim t=16.

Revenind la necunoscutul x, obținem ecuația 2x2 + 5x - 2 = 16, care este o consecință a celei inițiale. Prin verificare, ne asigurăm că rădăcinile sale x1 \u003d 2 și x2 \u003d - 9/2 sunt rădăcinile ecuației originale.

Răspuns: x1 = 2, x2 = -9/2.

5 metoda. Transformarea ecuației de identitate

Când rezolvați ecuații iraționale, nu ar trebui să începem rezolvarea unei ecuații ridicând ambele părți ale ecuației la o putere naturală, încercând să reduceți soluția unei ecuații iraționale la rezolvarea unei ecuații algebrice raționale. În primul rând, este necesar să vedem dacă este posibil să se facă o transformare identică a ecuației, care poate simplifica în mod semnificativ soluția acesteia.

Rezolvați ecuația:

Setul de valori valide pentru această ecuație: https://pandia.ru/text/78/021/images/image074_1.gif" width="292" height="45"> Împărțiți această ecuație la .

.

Primim:

Pentru a = 0, ecuația nu va avea soluții; pentru , ecuația poate fi scrisă ca

pentru această ecuație nu are soluții, deoarece pentru oricare X, aparținând setului de valori admisibile ale ecuației, expresia din partea stângă a ecuației este pozitivă;

când ecuația are o soluție

Tinand cont ca multimea solutiilor admisibile ale ecuatiei este determinata de conditia , obtinem in final:

La rezolvarea acestei ecuații iraționale, https://pandia.ru/text/78/021/images/image084_2.gif" width="60" height="19"> soluția ecuației va fi . Pentru toate celelalte valori X ecuația nu are soluții.

EXEMPLUL 10:

Rezolvați ecuația irațională: https://pandia.ru/text/78/021/images/image086_2.gif" width="381" height="51">

Soluția ecuației pătratice a sistemului dă două rădăcini: x1 \u003d 1 și x2 \u003d 4. Prima dintre rădăcinile obținute nu satisface inegalitatea sistemului, prin urmare x \u003d 4.

Note.

1) Efectuarea unor transformări identice ne permite să facem fără verificare.

2) Inegalitatea x - 3 ≥0 se referă la transformări identice, și nu la domeniul ecuației.

3) Există o funcție descrescătoare în partea stângă a ecuației și o funcție crescătoare în partea dreaptă a acestei ecuații. Graficele funcțiilor descrescătoare și crescătoare la intersecția domeniilor lor de definiție nu pot avea mai mult de un punct comun. Evident, în cazul nostru, x = 4 este abscisa punctului de intersecție al graficelor.

Răspuns: x = 4.

6 metoda. Utilizarea domeniului de definire a funcțiilor la rezolvarea ecuațiilor

Această metodă este cea mai eficientă atunci când rezolvați ecuații care includ funcții https://pandia.ru/text/78/021/images/image088_2.gif" width="36" height="21 src="> și găsiți definițiile zonei acesteia (f)..gif" width="53" height="21"> .gif" width="88" height="21 src=">, atunci trebuie să verificați dacă ecuația este adevărată la sfârșitul intervalului, în plus, dacă un< 0, а b >0, atunci este necesar să se verifice intervalele (a;0)și . Cel mai mic număr întreg din E(y) este 3.

Răspuns: x = 3.

8 metoda. Aplicarea derivatei în rezolvarea ecuațiilor iraționale

Cel mai adesea, la rezolvarea ecuațiilor folosind metoda derivată, se folosește metoda estimării.

EXEMPLUL 15:

Rezolvați ecuația: (1)

Soluție: Deoarece https://pandia.ru/text/78/021/images/image122_1.gif" width="371" height="29">, sau (2). Luați în considerare funcția ..gif" width="400" height="23 src=">.gif" width="215" height="49"> deloc și, prin urmare, în creștere. Prin urmare, ecuația este echivalent cu o ecuație care are o rădăcină care este rădăcina ecuației originale.

Răspuns:

EXEMPLUL 16:

Rezolvați ecuația irațională:

Domeniul de definire al funcției este un segment. Să găsim cea mai mare și cea mai mică valoare a valorii acestei funcție pe intervalul . Pentru a face acest lucru, găsim derivata funcției f(X): https://pandia.ru/text/78/021/images/image136_1.gif" width="37 height=19" height="19">. Să găsim valorile funcției f(X) la capetele segmentului și la punctul: Deci, Dar și, prin urmare, egalitatea este posibilă numai cu condiția https://pandia.ru/text/78/021/images/image136_1.gif" width="37 " height="19 src=" > Verificarea arată că numărul 3 este rădăcina acestei ecuații.

Răspuns: x = 3.

9 metoda. Funcţional

La examene, se oferă uneori să rezolve ecuații care pot fi scrise sub forma , unde este o anumită funcție.

De exemplu, unele ecuații: 1) 2) . Într-adevăr, în primul caz , în al doilea caz . Prin urmare, rezolvați ecuații iraționale folosind următoarea afirmație: dacă o funcție este strict crescătoare pe mulțime X iar pentru orice , atunci ecuațiile etc. sunt echivalente pe mulțime X .

Rezolvați ecuația irațională: https://pandia.ru/text/78/021/images/image145_1.gif" width="103" height="25"> crescând strict pe platou R,și https://pandia.ru/text/78/021/images/image153_1.gif" width="45" height="24 src=">..gif" width="104" height="24 src=" > care are o rădăcină unică Prin urmare, ecuația echivalentă (1) are și o rădăcină unică

Răspuns: x = 3.

EXEMPLUL 18:

Rezolvați ecuația irațională: (1)

În virtutea definiției rădăcinii pătrate, obținem că dacă ecuația (1) are rădăcini, atunci acestea aparțin mulțimii https://pandia.ru/text/78/021/images/image159_0.gif" width=" 163" înălțime="47" >.(2)

Luați în considerare funcția https://pandia.ru/text/78/021/images/image147_1.gif" width="35" height="21"> care crește strict pe acest set pentru orice ..gif" width="100" înălțime ="41"> care are o singură rădăcină Prin urmare, și echivalentă cu aceasta pe set X ecuația (1) are o singură rădăcină

Răspuns: https://pandia.ru/text/78/021/images/image165_0.gif" width="145" height="27 src=">

Rezolvare: Această ecuație este echivalentă cu un sistem mixt

Ecuațiile în care o variabilă este conținută sub semnul rădăcinii se numesc iraționale.

Metodele de rezolvare a ecuațiilor iraționale, de regulă, se bazează pe posibilitatea înlocuirii (cu ajutorul unor transformări) a unei ecuații iraționale cu o ecuație rațională care fie este echivalentă cu ecuația irațională inițială, fie este consecința acesteia. Cel mai adesea, ambele părți ale ecuației sunt ridicate la aceeași putere. În acest caz, se obține o ecuație, care este o consecință a celei inițiale.

La rezolvarea ecuațiilor iraționale trebuie luate în considerare următoarele:

1) dacă indicele rădăcinii este un număr par, atunci expresia radicală trebuie să fie nenegativă; valoarea rădăcinii este, de asemenea, nenegativă (definiția unei rădăcini cu exponent par);

2) dacă indicele rădăcinii este un număr impar, atunci expresia rădăcinii poate fi orice număr real; în acest caz, semnul rădăcinii este același cu semnul expresiei rădăcinii.

Exemplul 1 rezolva ecuatia

Să punem la pătrat ambele părți ale ecuației.
x 2 - 3 \u003d 1;
Transferăm -3 din partea stângă a ecuației în partea dreaptă și efectuăm reducerea termenilor similari.
x 2 \u003d 4;
Ecuația pătratică incompletă rezultată are două rădăcini -2 și 2.

Să verificăm rădăcinile obținute, pentru aceasta vom înlocui valorile variabilei x în ecuația originală.
Examinare.
Când x 1 \u003d -2 - adevărat:
Când x 2 \u003d -2- adevărat.
Rezultă că ecuația irațională originală are două rădăcini -2 și 2.

Exemplul 2 rezolva ecuatia .

Această ecuație poate fi rezolvată folosind aceeași metodă ca în primul exemplu, dar o vom face diferit.

Să găsim ODZ a acestei ecuații. Din definiția rădăcinii pătrate rezultă că în această ecuație trebuie îndeplinite simultan două condiții:

ODZ al ecuației date: x.

Răspuns: fără rădăcini.

Exemplul 3 rezolva ecuatia =+ 2.

Găsirea ODZ în această ecuație este o sarcină destul de dificilă. Să pătram ambele părți ale ecuației:
x 3 + 4x - 1 - 8= x 3 - 1 + 4+ 4x;
=0;
x 1 =1; x2=0.
După verificare, stabilim că x 2 \u003d 0 este o rădăcină suplimentară.
Răspuns: x 1 \u003d 1.

Exemplul 4 Rezolvați ecuația x =.

În acest exemplu, ODZ este ușor de găsit. ODZ a acestei ecuații: x[-1;).

Să pătram ambele părți ale acestei ecuații, ca rezultat obținem ecuația x 2 \u003d x + 1. Rădăcinile acestei ecuații:

Este dificil să verifici rădăcinile găsite. Dar, în ciuda faptului că ambele rădăcini aparțin ODZ, este imposibil să se afirme că ambele rădăcini sunt rădăcinile ecuației originale. Acest lucru va avea ca rezultat o eroare. LA acest caz o ecuație irațională este echivalentă cu o combinație de două inegalități și o ecuație:

x+10 și x0 și x 2 \u003d x + 1, din care rezultă că rădăcina negativă pentru ecuația irațională este străină și trebuie aruncată.

Exemplul 5 . Rezolvați ecuația += 7.

Să pătram ambele părți ale ecuației și să efectuăm reducerea termenilor similari, să transferăm termenii dintr-o parte a ecuației în cealaltă și să înmulțim ambele părți cu 0,5. Ca rezultat, obținem ecuația
= 12, (*) care este o consecință a celui original. Să pătram din nou ambele părți ale ecuației. Obținem ecuația (x + 5) (20 - x) = 144, care este o consecință a celei originale. Ecuația rezultată se reduce la forma x 2 - 15x + 44 =0.

Această ecuație (care este și o consecință a celei originale) are rădăcini x 1 \u003d 4, x 2 \u003d 11. Ambele rădăcini, așa cum arată testul, satisfac ecuația originală.

Reprezentant. x 1 = 4, x 2 = 11.

cometariu. La pătrarea ecuațiilor, elevii adesea în ecuații de tip (*) înmulțesc expresiile rădăcinii, adică, în loc de ecuația = 12, ei scriu ecuația = 12. Acest lucru nu duce la erori, deoarece ecuațiile sunt consecințe ale ecuațiilor. Cu toate acestea, trebuie avut în vedere că, în cazul general, o astfel de multiplicare a expresiilor radicale dă ecuații neechivalente.

În exemplele discutate mai sus, a fost posibil să se transfere mai întâi unul dintre radicali în partea dreaptă a ecuației. Apoi, un radical va rămâne în partea stângă a ecuației, iar după ce ați pus la pătrat ambele părți ale ecuației, se va obține o funcție rațională în partea stângă a ecuației. Această tehnică (solitudinea radicalului) este destul de des folosită în rezolvarea ecuațiilor iraționale.

Exemplul 6. Rezolvați ecuația-= 3.

După izolat primul radical, obținem ecuația
=+ 3, care este echivalent cu cel original.

Punând la pătrat ambele părți ale acestei ecuații, obținem ecuația

x 2 + 5x + 2 = x 2 - 3x + 3 + 6, care este echivalent cu ecuația

4x - 5 = 3(*). Această ecuație este o consecință a ecuației originale. Punând la pătrat ambele părți ale ecuației, ajungem la ecuație
16x 2 - 40x + 25 \u003d 9 (x 2 - Zx + 3) sau

7x2 - 13x - 2 = 0.

Această ecuație este o consecință a ecuației (*) (și, prin urmare, a ecuației originale) și are rădăcini. Prima rădăcină x 1 = 2 satisface ecuația inițială, iar a doua x 2 =- nu.

Răspuns: x = 2.

Rețineți că dacă imediat, fără a izola unul dintre radicali, am pune la pătrat ambele părți ale ecuației inițiale, ar trebui să facem transformări destul de greoaie.

La rezolvarea ecuațiilor iraționale, pe lângă izolarea radicalilor, se mai folosesc și alte metode. Luați în considerare un exemplu de utilizare a metodei de înlocuire a necunoscutului (metoda de introducere a unei variabile auxiliare).