Filologul rus Dmitri Nikolaevici Ushakov în dicționarul său explicativ oferă o astfel de definiție a conceptului de „metodă” - o modalitate, o metodă, o metodă de cercetare teoretică sau implementare practică a ceva (D. N. Ushakov, 2000).

Care sunt metodele de predare de rezolvare a problemelor de matematică, pe care în prezent le considerăm nestandardizate? Din păcate, nimeni nu a venit cu o rețetă universală, având în vedere unicitatea acestor sarcini. Unii profesori se antrenează în exerciții șablon. Acest lucru se întâmplă astfel: profesorul arată modalitatea de rezolvare, iar apoi elevul repetă acest lucru atunci când rezolvă probleme de multe ori. În același timp, interesul studenților pentru matematică este ucis, ceea ce este cel puțin trist.

În matematică, nu există reguli generale care să permită rezolvarea oricărei probleme non-standard, deoarece astfel de probleme sunt într-o oarecare măsură unice. O sarcină non-standard în majoritatea cazurilor este percepută ca o „provocare la adresa intelectului și dă naștere nevoii de a se realiza în depășirea obstacolelor, în dezvoltarea creativitate» .

Luați în considerare mai multe metode pentru rezolvarea problemelor non-standard:

• · algebric;
• · aritmetic;
• metoda de enumerare;
• metoda de raționament;
• practic;
• metoda de a ghici.

Metoda algebrică rezolvarea problemelor dezvoltă abilități creative, capacitatea de generalizare, formează gândirea abstractă și are avantaje precum concizia scrisului și raționamentul la elaborarea ecuațiilor, economisește timp.

Pentru a rezolva problema prin metoda algebrică este necesar:

• · să analizeze problema pentru a selecta principala necunoscută și a identifica relația dintre mărimi, precum și exprimarea acestor dependențe în limbaj matematic sub forma a două expresii algebrice;
• găsiți baza pentru conectarea acestor expresii cu semnul „=" și faceți o ecuație;
• găsiți soluții la ecuația rezultată, organizați o verificare a soluției ecuației.

Toate aceste etape ale rezolvării problemei sunt interconectate logic. De exemplu, menționăm căutarea unei baze pentru conectarea a două expresii algebrice cu semn egal ca etapă specială, dar este clar că la etapa anterioară, aceste expresii nu se formează în mod arbitrar, ci ținând cont de posibilitatea conectării lor. cu semnul „=”.

Atât identificarea dependențelor dintre cantități, cât și traducerea acestor dependențe în limbaj matematic necesită o activitate mentală intensă analitică și sintetică. Succesul în această activitate depinde, în special, de faptul dacă elevii știu ce relații pot avea aceste cantități în general și dacă înțeleg sensul real al acestor relații (de exemplu, relații exprimate prin termenii „mai târziu de...”, „ mai vechi de ... ori " etc.). Mai mult, este necesară înțelegerea tipului de acțiune matematică sau a proprietății acțiunii sau a conexiunii (dependenței) dintre componente și rezultatul acțiunii, cutare sau cutare relație particulară poate fi descrisă.

Să dăm un exemplu de rezolvare a unei probleme nestandard prin metoda algebrică.

Sarcină. Pescarul a prins un pește. Când a fost întrebat: „Care este masa sa?”, El a răspuns: „Masa cozii este de 1 kg, masa capului este aceeași cu masa cozii și jumătate din corp. Și masa corpului este aceeași cu masa capului și a cozii împreună. Care este masa peștelui?

Fie x kg masa corpului; atunci (1+1/2x) kg este masa capului. Deoarece, prin condiție, masa corpului este egală cu suma maselor capului și cozii, compunem și rezolvăm ecuația:

x = 1 + 1/2x + 1,

4 kg este masa corpului, apoi 1+1/2 4=3 (kg) este masa capului și 3+4+1=8 (kg) este masa întregului pește;

Raspuns: 8 kg.

Metoda aritmetică soluțiile necesită, de asemenea, mult stres mental, care are un efect pozitiv asupra dezvoltării abilităților mentale, intuiției matematice, asupra formării capacității de a prevedea o situație de viață reală.

Luați în considerare un exemplu de rezolvare a unei probleme nestandard printr-o metodă aritmetică:

Sarcină. Doi pescari au fost întrebați: „Câți pești sunt în coșurile voastre?”

„În coșul meu este jumătate din cât are el în coș și încă 10”, a răspuns primul. „Și am în coș atâtea câte el are și chiar 20”, a calculat al doilea. Noi am numărat, iar acum tu numeri.

Să construim o diagramă pentru problemă. Fie primul segment al diagramei să desemneze numărul de pești pe care îi are primul pescar. Al doilea segment indică numărul de pești de la al doilea pescar.

Datorită faptului că o persoană modernă trebuie să aibă o idee despre principalele metode de analiză a datelor și modele probabilistice care joacă un rol important în știință, tehnologie și economie, sunt introduse elemente de combinatorie, teoria probabilității și statistica matematică. în cursul școlii de matematică, care sunt convenabile de înțeles folosind metoda de enumerare.

Includerea problemelor combinatorii în cursul matematicii are un impact pozitiv asupra dezvoltării elevilor. „Învățarea direcționată pentru a rezolva probleme combinatorii contribuie la dezvoltarea unei asemenea calități a gândirii matematice precum variabilitatea. Sub variabilitatea gândirii, ne referim la direcția activității mentale a elevului de a căuta diverse soluții la problemă în cazul în care nu există instrucțiuni speciale pentru aceasta.

Problemele combinatorii pot fi rezolvate prin diverse metode. În mod convențional, aceste metode pot fi împărțite în „formale” și „informale”. Cu metoda de soluție „formală”, trebuie să determinați natura alegerii, să selectați formula corespunzătoare sau regula combinatorie (există reguli de sumă și produs), să înlocuiți numerele și să calculați rezultatul. Rezultatul este numărul de opțiuni posibile, dar opțiunile în sine nu sunt formate în acest caz.

Cu metoda „informală” de rezolvare, procesul de compilare a diferitelor opțiuni iese în prim-plan. Și principalul lucru nu este cât de mult, ci ce opțiuni pot fi obținute. Astfel de metode includ metoda de enumerare. Această metodă este disponibilă chiar și studenților mai tineri și vă permite să câștigați experiență în soluționarea practică a problemelor combinatorii, care servește drept bază pentru introducerea principiilor și formulelor combinatorii în viitor. În plus, în viață, o persoană trebuie nu numai să determine numărul de opțiuni posibile, ci și să compună direct toate aceste opțiuni și, după ce stăpânește metodele de enumerare sistematică, acest lucru se poate face mai rațional.

Sarcinile sunt împărțite în trei grupuri în funcție de complexitatea enumerarii:

• unu . Sarcini în care trebuie să faceți o enumerare completă a tuturor opțiunilor posibile.
• 2. Sarcini în care este imposibil să utilizați tehnica de enumerare completă și trebuie să excludeți imediat unele opțiuni fără să le luați în considerare (adică să efectuați o enumerare prescurtată).
• 3. Sarcini în care operaţiunea de enumerare se execută de mai multe ori şi în raport cu diverse feluri de obiecte.

Iată exemplele relevante de sarcini:

Sarcină. Plasând semnele „+” și „-” între numerele date 9 ... 2 ... 4, alcătuiți toate expresiile posibile.

Există o listă completă de opțiuni:

• a) două caractere din expresie pot fi aceleași, atunci obținem:
  • 9 + 2 + 4 sau 9 - 2 - 4;
• b) două semne pot fi diferite, atunci obținem:
  • 9 + 2 - 4 sau 9 - 2 + 4.

Sarcină. Profesorul spune că a desenat 4 figuri la rând: pătrate mari și mici, cercuri mari și mici, astfel încât cercul să fie pe primul loc și figurile de aceeași formă să nu stea una lângă alta și îi invită pe elevi să ghicească succesiunea în care sunt aranjate aceste figuri.

Există 24 de aranjamente diferite ale acestor figuri în total. Și nu este practic să le compuneți pe toate și apoi să le alegeți pe cele corespunzătoare acestei condiții, prin urmare, se efectuează o enumerare prescurtată.

Un cerc mare poate fi pe primul loc, apoi unul mic poate fi doar pe locul trei, în timp ce pătratele mari și mici pot fi plasate în două moduri - pe locul doi și al patrulea.

Un raționament similar este efectuat dacă primul loc este un cerc mic și sunt, de asemenea, compilate două opțiuni.

Sarcină. Trei parteneri ai aceleiași firme păstrează valorile mobiliare într-un seif cu 3 încuietori. Însoțitorii vor să împartă cheile încuietorilor între ei, astfel încât seiful să poată fi deschis doar în prezența a cel puțin doi însoțitori, dar nu unul. Cum pot face acest lucru?

În primul rând, sunt enumerate toate cazurile posibile de distribuție a cheilor. Fiecărui însoțitor i se poate da o cheie, sau două chei diferite sau trei.

Să presupunem că fiecare însoțitor are trei chei diferite. Apoi, seiful poate fi deschis de către un singur însoțitor, iar acesta nu îndeplinește condiția.

Să presupunem că fiecare însoțitor are o cheie. Apoi, dacă vin doi dintre ei, nu vor putea deschide seiful.

Să dăm fiecărui însoțitor două chei diferite. Prima - 1 și 2 taste, a doua - 1 și 3 taste, a treia - 2 și 3 taste. Să verificăm când vin doi însoțitori pentru a vedea dacă pot deschide seiful.

Pot veni primul și al doilea însoțitor, vor avea toate cheile (1 și 2, 1 și 3). Pot veni primul și al treilea însoțitor, vor avea și toate cheile (1 și 2, 2 și 3). În sfârșit, pot veni și al doilea și al treilea însoțitor, vor avea și toate cheile (1 și 3, 2 și 3).

Astfel, pentru a găsi răspunsul la această problemă, trebuie să efectuați operația de iterație de mai multe ori.

Atunci când selectați probleme combinatorii, trebuie să acordați atenție subiectului și formei de prezentare a acestor probleme. Este de dorit ca sarcinile să nu pară artificiale, ci să fie ușor de înțeles și interesante pentru copii, să evoce emoții pozitive în ei. Puteți folosi materiale practice din viață pentru a elabora sarcini.

Există și alte probleme care pot fi rezolvate prin enumerare.

De exemplu, să rezolvăm problema: „Marchizul Karabas avea 31 de ani, iar tânărul său energizant Puss in Boots avea 3 ani, când au avut loc evenimentele cunoscute din basm. Câți ani au trecut de atunci, dacă acum Pisica este de trei ori mai tânără decât stăpânul ei? Enumerarea opțiunilor este reprezentată de un tabel.

Epoca marchizului de Carabas și Puss in Boots

14 - 3 = 11 (ani)

Răspuns: Au trecut 11 ani.

În același timp, elevul, parcă, experimentează, observă, compară fapte și, pe baza unor concluzii particulare, face anumite concluzii generale. În procesul acestor observații, experiența sa real-practică este îmbogățită. Aceasta este tocmai valoarea practică a problemelor de enumerare. În acest caz, cuvântul „enumerare” este folosit în sensul de a analiza toate cazurile posibile care satisfac condițiile problemei, arătând că nu pot exista alte soluții.

Această problemă poate fi rezolvată și printr-o metodă algebrică.

Lasă pisica să aibă x ani, apoi marchizul este 3x, pe baza condiției problemei, vom compune ecuația:

• 3x - x \u003d 28,
• 2x = 28,

Pisica are acum 14 ani, apoi au trecut 14 - 3 = 11 (ani).

Răspuns: Au trecut 11 ani.

metoda de raționament poate fi folosit pentru rezolvarea sofismelor matematice.

Greșelile făcute în sofism se rezumă de obicei la următoarele: efectuarea de acțiuni „interzise”, folosirea de desene eronate, folosirea incorectă a cuvintelor, formulări inexacte, generalizări „ilegale”, aplicații incorecte ale teoremelor.

A dezvălui sofismul înseamnă a sublinia o eroare de raționament, pe baza căreia s-a creat aspectul exterior al dovezii.

Analiza sofismelor, în primul rând, dezvoltă gândirea logică, insuflă abilitățile de gândire corectă. A detecta o eroare în sofism înseamnă a o recunoaște, iar conștientizarea unei erori împiedică repetarea ei în alte raționamente matematice. Pe lângă criticitatea gândirii matematice, acest tip de sarcini non-standard dezvăluie flexibilitatea gândirii. Va putea elevul să „iasă din ghearele” acestei căi, care la prima vedere este strict logică, să rupă lanțul de inferențe chiar de la veriga care este eronată și face ca toate raționamentele ulterioare să fie eronate?

Analiza sofismelor ajută și la asimilarea conștientă a materialului studiat, dezvoltă observația și atitudinea critică față de ceea ce se studiază.

a) Iată, de exemplu, un sofism cu o aplicare incorectă a teoremei.

Să demonstrăm că 2 2 = 5.

Să luăm următoarea egalitate evidentă ca raport inițial: 4: 4 = 5: 5 (1)

Scoatem din paranteze factorul comun din părțile din stânga și din dreapta, obținem:

4 (1: 1) = 5 (1: 1) (2)

Numerele dintre paranteze sunt egale, deci 4 = 5 sau 2 2 = 5.

În raționament, la trecerea de la egalitatea (1) la egalitatea (2), se creează o iluzie de probabilitate pe baza unei analogii false cu proprietatea distributivă a înmulțirii în raport cu adunarea.

b) Sofismul folosind generalizări „ilegale”.

Există două familii - Ivanov și Petrov. Fiecare este format din 3 persoane - tată, mamă și fiu. Tatăl lui Ivanov nu-l cunoaște pe tatăl lui Petrov. Mama lui Ivanov nu o cunoaște pe mama lui Petrova. Singurul fiu al soților Ivanov nu îl cunoaște pe singurul fiu al soților Petrovi. Concluzie: niciun membru al familiei Ivanov nu cunoaște un singur membru al familiei Petrov. Este adevărat?

Dacă un membru al familiei Ivanov nu cunoaște un membru al familiei Petrov egal ca stare civilă, aceasta nu înseamnă că nu cunoaște întreaga familie. De exemplu, tatăl lui Ivanov poate cunoaște mama și fiul lui Petrov.

Metoda raționamentului poate fi folosită și pentru a rezolva probleme logice. Sarcinile logice sunt de obicei înțelese ca acele sarcini care sunt rezolvate folosind doar operații logice. Uneori, soluția lor necesită un raționament lung, a cărui direcție necesară nu poate fi prevăzută în prealabil.

Sarcină. Se spune că Tortila i-a dat cheia de aur lui Pinocchio nu atât de simplu cum a spus A. N. Tolstoi, ci într-un mod complet diferit. Ea a scos trei cutii: roșu, albastru și verde. Pe cutia roșie era scris: „Aici zace o cheie de aur”, iar pe cea albastră - „Cutia verde este goală”, iar pe cea verde - „Aici stă un șarpe”. Tortilă a citit inscripțiile și a spus: „Într-adevăr, într-o cutie este o cheie de aur, în cealaltă un șarpe, iar a treia este goală, dar toate inscripțiile sunt greșite. Dacă ghiciți ce cutie conține cheia de aur, este a ta.” Unde este cheia de aur?

Deoarece toate inscripțiile de pe cutii sunt incorecte, atunci caseta roșie nu conține o cheie aurie, caseta verde nu este goală și nu există șarpe în ea, ceea ce înseamnă că cheia este în caseta verde, șarpele este în cel roșu, iar cel albastru este gol.

La rezolvarea problemelor logice se activează gândirea logică, iar aceasta este capacitatea de a deduce consecințe din premise, care este esențială pentru stăpânirea cu succes a matematicii.

Un rebus este o ghicitoare, dar o ghicitoare nu este una obișnuită. Cuvintele și numerele din puzzle-uri matematice sunt reprezentate folosind desene, asteriscuri, numere și diferite semne. Pentru a citi ceea ce este criptat în rebus, trebuie să denumiți corect toate obiectele descrise și să înțelegeți ce semn ilustrează ce. Oamenii foloseau puzzle-uri chiar și atunci când nu știau să scrie. Ei și-au compus literele din obiecte. De exemplu, liderii unui trib au trimis odată vecinilor o pasăre, un șoarece, o broască și cinci săgeți în loc de o scrisoare. Aceasta însemna: „Poți să zbori ca păsările și să te ascunzi în pământ ca șoarecii, să sari prin mlaștini ca broaștele? Dacă nu știi cum, atunci nu încerca să te lupți cu noi. Vă vom bombarda cu săgeți de îndată ce veți intra în țara noastră.”

Judecând după prima literă a sumei 1), D = 1 sau 2.

Să presupunem că D = 1. Atunci, Y? 5. Y \u003d 5 este exclus, deoarece P nu poate fi egal cu 0. Y? 6, pentru că 6 + 6 = 12, adică P = 2. Dar o astfel de valoare a lui P nu este potrivită pentru verificare ulterioară. La fel, U? 7.

Să presupunem că Y = 8. Atunci, P = 6, A = 2, K = 5, D = 1.

Un pătrat magic (magic) este un pătrat în care suma numerelor pe verticală, pe orizontală și pe diagonală este aceeași.

Sarcină. Aranjați numerele de la 1 la 9 astfel încât pe verticală, pe orizontală și pe diagonală să obțineți aceeași sumă de numere, egală cu 15.

Deși nu există reguli generale pentru rezolvarea problemelor non-standard (de aceea aceste probleme sunt numite non-standard), am încercat să oferim o serie de linii directoare generale - recomandări care ar trebui urmate atunci când se rezolvă probleme non-standard de diferite tipuri .

Fiecare sarcină non-standard este originală și unică în soluția sa. În acest sens, metodologia dezvoltată pentru predarea activității de căutare la rezolvarea sarcinilor nestandardizate nu formează abilități pentru rezolvarea sarcinilor nestandardizate, putem vorbi doar despre dezvoltarea anumitor abilități:

• capacitatea de a înțelege sarcina, evidenția cuvintele principale (de susținere);
• capacitatea de a identifica starea și întrebarea, cunoscute și necunoscute în problemă;
• capacitatea de a găsi o legătură între date și cele dorite, adică de a analiza textul problemei, al cărei rezultat este alegerea unei operații aritmetice sau a unei operații logice pentru a rezolva o problemă nestandard;
• capacitatea de a înregistra progresul soluției și răspunsul la problemă;
• · capacitatea de a efectua lucrări suplimentare asupra sarcinii;
• capacitatea de a selecta informații utile conținute în problema în sine, în procesul de rezolvare a acesteia, de a sistematiza aceste informații, corelând-o cu cunoștințele existente.

Sarcinile non-standard dezvoltă gândirea spațială, care se exprimă prin capacitatea de a recrea în minte imaginile spațiale ale obiectelor și de a efectua operații asupra acestora. Gândirea spațială se manifestă la rezolvarea unor probleme de genul: „Deasupra marginii unei prăjituri rotunde au fost așezate la aceeași distanță unele de altele 5 puncte de cremă. S-au făcut tăieturi prin toate perechile de puncte. Câte bucăți de tort ai primit în total?

metoda practica poate fi luată în considerare pentru probleme de diviziune non-standard.

Sarcină. Bățul trebuie tăiat în 6 bucăți. Câte tăieturi vor fi necesare?

Soluție: tăieturile vor avea nevoie de 5.

Când studiați probleme de diviziune non-standard, trebuie să înțelegeți: pentru a tăia un segment în P părți, ar trebui să faceți o tăietură (P - 1). Acest fapt trebuie stabilit cu copiii în mod inductiv și apoi folosit în rezolvarea problemelor.

Sarcină. Într-o bară de trei metri - 300 cm. Trebuie tăiată în bare de 50 cm lungime fiecare. Câte tăieturi trebuie să faci?

Rezolvare: obținem 6 bare 300: 50 = 6 (bare)

Argumentăm după cum urmează: pentru a împărți bara în jumătate, adică în două părți, trebuie să faceți 1 tăietură, în 3 părți - 2 tăieturi și așa mai departe, în 6 părți - 5 tăieturi.

Deci, trebuie să faceți 6 - 1 = 5 (tăieri).

Răspuns: 5 tăieturi.

Deci, unul dintre motivele principale care încurajează studenții să studieze este interesul pentru subiect. Interesul este o orientare cognitivă activă a unei persoane către un anumit obiect, fenomen și activitate, creată cu o atitudine emoțională pozitivă față de acesta. Unul dintre mijloacele de dezvoltare a interesului pentru matematică sunt sarcinile non-standard. O sarcină non-standard este înțeleasă ca astfel de sarcini pentru care nu există reguli și reglementări generale în cursul matematicii care să determine programul exact pentru rezolvarea lor. Rezolvarea unor astfel de probleme permite elevilor să se implice activ în activități de învățare. Există diferite clasificări ale problemelor și metode de rezolvare a acestora. Cele mai utilizate sunt metodele algebrice, aritmetice, practice și enumerarea, raționamentul și conjectura.

Scopul este de a-i învăța pe elevi să rezolve ecuații și inegalități non-standard printr-o înțelegere profundă a fundamentelor teoretice utilizate în matematică.

Sarcini rezolvate in procesul de invatare:

• dezvoltarea gândirii non-standard a elevilor;
• să formeze capacitatea de a construi modele matematice;
• dezvoltarea abilităților de promovare a testelor în pregătirea examenului (rezolvarea problemelor de complexitate crescută);
• creșterea interesului pentru matematică;
• insufla elevilor încredere în rezolvarea problemelor

1. Moment organizatoric. Stabilirea scopurilor și obiectivelor pentru lecție. Crearea condițiilor pentru succes activități comune(Munca la lecție este evaluată printr-un sistem de punctare, se ține un jurnal electronic).

2. Verificarea temelor (jurnal electronic pentru lecție). Elevii verifică temele (compară soluțiile lor cu soluții gata făcute, lucrează în perechi.) într-un document Microsoft Office Word pe ecran (soluții pregătite de profesor).

Teme pentru acasă

Rezolvați ecuațiile:

Decizie.

Decizie. Să rescriem această ecuație sub forma:

3.

Decizie.

Rădăcina ecuației nu satisface condiția.

3. Sondaj oral al elevilor. Verificare și punctare reciprocă pe fișa de punctaj; în timpul lecției, rezultatele sunt înregistrate într-un jurnal electronic

1. Cum se rezolvă ecuațiile de forma?

2. Cum sunt ecuațiile de formă ?

3. Cum se rezolvă ecuațiile logaritmice cu baze diferite?

4. Cum se rezolvă ecuațiile în care apare o funcție a formei?

4. Sarcina problematica (lucrare in grup), sarcina se afla pe fiecare birou pe foi de hartie rosii. Elevii notează în caiete data și subiectul lecției și încep să rezolve problema.

1. Rezolvați ecuația

deja în această etapă este clar că soluția va fi foarte greoaie. A apărut o problemă - pentru a rezolva această ecuație în continuare sau pentru a căuta o altă modalitate de a o rezolva?

pentru că expresii logaritmice pentru toți X mai mare decât 1, atunci fiecare logaritm este un număr pozitiv sau egal cu 0.

Pentru ca suma să fie egală cu 0, este necesar să se adauge zerouri sau numere opuse, prin urmare fiecare logaritm poate lua doar o valoare egală cu zero, adică:

Deci, concluzionăm că ecuațiile pot fi rezolvate folosind proprietățile funcției.

Pentru o soluție independentă: Rezolvați ecuația: .

partea stângă a ecuației este o funcție monotonă descrescătoare, iar partea dreaptă este o constantă, prin urmare, ecuația are o singură rădăcină x=1(alegere ușoară).

5. Învățarea unui subiect nou. Pentru a rezolva majoritatea ecuațiilor și inegalităților întâlnite la examene, în special la Examenul Unificat de Stat, este suficient să stăpânești cursul școlar de matematică, dar în același timp este necesar să le poți rezolva nu numai folosind tehnici standard. , dar și folosind „tehnici și metode non-standard”. Iată-ne alături în următoarele cinci lecții și vom elabora astfel de metode și tehnici.

Știi deja să folosești metoda substituției atunci când rezolvi niște ecuații. Astăzi am învățat deja că atunci când rezolvați ecuații, puteți aplica proprietățile funcțiilor.

Acum vreau să arăt aplicarea proprietății restricționate.

1. Teorema 1. Dacă și , atunci ecuația

Rezolvați ecuația

Să rescriem ecuația sub forma:

Deoarece și , prin urmare, această ecuație este echivalentă cu sistemul:

2.Metoda de evaluare

Adesea, un semn că metoda de estimare ar trebui aplicată este prezența unor funcții de altă natură în ecuație.

Rezolvați ecuația

Egalitatea se realizează dacă

Înlocuind valorile x găsite în ecuația (2), obținem:

-rezolvarea sistemului.

3. Utilizarea metodei monotonității pentru a rezolva ecuații și inegalități nestandard

Dacă y=f(x) este o funcție monotonă, atunci ecuația f(x) = c are cel mult o rădăcină

Fie ca funcția y=f(x) să crească pe intervalul M, iar funcția y=g(x) să scadă pe acest interval. Atunci ecuația f(x)=g(x) are cel mult o rădăcină pe intervalul M.

Fie domeniul functiei f(t) intervalul M, iar aceasta functie sa fie continua si strict monotona (adica crestere sau scadere) pe acest interval. Atunci ecuația este echivalentă cu sistemul:

La rezolvarea ecuaţiilor de formă este utilă următoarea teoremă: Dacă

O funcție monoton crescătoare (descrescătoare), ecuațiile și sunt echivalente.

Rezolvați ecuația:

Decizie. - funcţie crescătoare (ca sumă a două funcţii crescătoare).

Partea dreaptă a ecuației este un număr constant. În virtutea teoremei rădăcinii, ecuația are cel mult o soluție. Evident, =2 este o rădăcină.

Răspuns: =2.

4. Utilizarea domeniului de definire a functiilor in rezolvarea ecuatiilor si inegalitatilor

O metodă este luată în considerare atunci când, când se ia în considerare o ecuație sau o inegalitate, rezultă că ambele părți ale acesteia sunt definite pe o anumită mulțime constând din unul sau mai multe numere.

Această metodă este cea mai eficientă în rezolvarea ecuațiilor și inegalităților, care includ funcții y=; y=; y=; y = .

Când rezolvați o ecuație sau o inegalitate, mutați toți termenii în partea stângă și luați în considerare funcția f(x). Găsiți domeniul său de definiție D (f). în care:

unu). În cazul în care un D (f) = , atunci ecuația sau inegalitatea nu are soluții.

2). În cazul în care un D (f) \u003d (a 1; a 2; a 3 .....a n), atunci soluțiile reale ale ecuației date și ale inegalității sunt printre numere a 1; a 2 ; a 3 .....a n . Acum trebuie să verificăm care dintre numerele date sunt soluții ale ecuației sau inegalității.

3). În cazul în care un D(f) = [a; în], atunci trebuie să verificați dacă ecuația sau inegalitatea este adevărată la sfârșitul intervalului și în fiecare interval, în plus, dacă A< 0 , A c > 0, atunci este necesar să verificați intervalele (а; 0) și )