Ridicarea unui număr întreg negativ la o putere negativă. Cum să ridici un număr la o putere negativă - exemple cu descriere în Excel

Exponentul este folosit pentru a facilita scrierea operației de înmulțire a unui număr cu el însuși. De exemplu, în loc să scrieți, puteți scrie 4 5 (\displaystyle 4^(5))(o explicație a unei astfel de tranziții este dată în prima secțiune a acestui articol). Puterile facilitează scrierea de expresii sau ecuații lungi sau complexe; de asemenea, puterile se adună și se scad cu ușurință, rezultând o simplificare a unei expresii sau a unei ecuații (de exemplu, 4 2 ∗ 4 3 = 4 5 (\displaystyle 4^(2)*4^(3)=4^(5))).

Notă: dacă trebuie să rezolvați o ecuație exponențială (într-o astfel de ecuație, necunoscuta este în exponent), citiți.

Pași

Rezolvarea unor probleme simple cu puteri

Înmulțiți baza exponentului cu ea însăși de un număr de ori egal cu exponentul. Dacă trebuie să rezolvați manual o problemă cu exponenți, rescrieți exponentul ca operație de înmulțire, în care baza exponentului este înmulțită cu ea însăși. De exemplu, având în vedere gradul 3 4 (\displaystyle 3^(4)). În acest caz, baza gradului 3 trebuie înmulțită cu ea însăși de 4 ori: 3 ∗ 3 ∗ 3 ∗ 3 (\displaystyle 3*3*3*3). Iată și alte exemple:

În primul rând, înmulțiți primele două numere. De exemplu, 4 5 (\displaystyle 4^(5)) = 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 (\displaystyle 4*4*4*4*4). Nu vă faceți griji - procesul de calcul nu este atât de complicat pe cât pare la prima vedere. Mai întâi înmulțiți primele două cvadruple, apoi înlocuiți-le cu rezultatul. Ca aceasta:

4 5 = 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 (\displaystyle 4^(5)=4*4*4*4*4)
- 4 ∗ 4 = 16 (\displaystyle 4*4=16)

Înmulțiți rezultatul (16 în exemplul nostru) cu următorul număr. Fiecare rezultat ulterior va crește proporțional. În exemplul nostru, înmulțiți 16 cu 4. Astfel:
- 4 5 = 16 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 (\displaystyle 4^(5)=16*4*4*4)
  - 16 ∗ 4 = 64 (\displaystyle 16*4=64)
- 4 5 = 64 ∗ 4 ∗ 4 (\displaystyle 4^(5)=64*4*4)
  - 64 ∗ 4 = 256 (\displaystyle 64*4=256)
- 4 5 = 256 ∗ 4 (\displaystyle 4^(5)=256*4)
  - 256 ∗ 4 = 1024 (\displaystyle 256*4=1024)
- Continuați să înmulțiți rezultatul înmulțirii primelor două numere cu următorul număr până când obțineți răspunsul final. Pentru a face acest lucru, înmulțiți primele două numere, apoi înmulțiți rezultatul cu următorul număr din succesiune. Această metodă este valabilă pentru orice grad. În exemplul nostru, ar trebui să obțineți: 4 5 = 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 = 1024 (\displaystyle 4^(5)=4*4*4*4*4=1024) .
Rezolvați următoarele probleme. Verifică-ți răspunsul cu un calculator.
- 8 2 (\displaystyle 8^(2))
- 3 4 (\displaystyle 3^(4))
- 10 7 (\displaystyle 10^(7))
Pe calculator, căutați cheia etichetată „exp” sau „ x n (\displaystyle x^(n))„, sau „^”. Cu această cheie vei ridica un număr la o putere. Este practic imposibil să calculați manual gradul cu un exponent mare (de exemplu, gradul 9 15 (\displaystyle 9^(15))), dar calculatorul poate face față cu ușurință acestei sarcini. În Windows 7, calculatorul standard poate fi comutat în modul de inginerie; pentru a face acest lucru, faceți clic pe „Vizualizare” -\u003e „Inginerie”. Pentru a comuta la modul normal, faceți clic pe „Vizualizare” -\u003e „Normal”.
- Verificați răspunsul primit folosind un motor de căutare (Google sau Yandex). Folosind tasta „^” de pe tastatura computerului, introduceți expresia în motorul de căutare, care va afișa instantaneu răspunsul corect (și, eventual, va sugera expresii similare pentru studiu).
Adunarea, scăderea, înmulțirea puterilor
1. Puteți adăuga și scădea puteri numai dacă au aceeași bază. Dacă trebuie să adăugați puteri cu aceleași baze și exponenți, atunci puteți înlocui operația de adunare cu o operație de înmulțire. De exemplu, având în vedere expresia 4 5 + 4 5 (\displaystyle 4^(5)+4^(5)). Amintiți-vă că gradul 4 5 (\displaystyle 4^(5)) poate fi reprezentat ca 1 ∗ 4 5 (\displaystyle 1*4^(5)); prin urmare, 4 5 + 4 5 = 1 ∗ 4 5 + 1 ∗ 4 5 = 2 ∗ 4 5 (\displaystyle 4^(5)+4^(5)=1*4^(5)+1*4^(5) =2*4^(5))(unde 1 +1 =2). Adică numărați numărul de grade similare și apoi înmulțiți un astfel de grad și acest număr. În exemplul nostru, ridicați 4 la a cincea putere și apoi înmulțiți rezultatul cu 2. Amintiți-vă că operația de adunare poate fi înlocuită cu o operație de înmulțire, de exemplu, 3 + 3 = 2 ∗ 3 (\displaystyle 3+3=2*3). Iată și alte exemple:
  - 3 2 + 3 2 = 2 ∗ 3 2 (\displaystyle 3^(2)+3^(2)=2*3^(2))
  - 4 5 + 4 5 + 4 5 = 3 ∗ 4 5 (\displaystyle 4^(5)+4^(5)+4^(5)=3*4^(5))
  - 4 5 − 4 5 + 2 = 2 (\displaystyle 4^(5)-4^(5)+2=2)
  - 4 x 2 − 2 x 2 = 2 x 2 (\displaystyle 4x^(2)-2x^(2)=2x^(2))
2. La înmulțirea puterilor cu aceeași bază, exponenții acestora se adună (baza nu se schimbă). De exemplu, având în vedere expresia x 2 ∗ x 5 (\displaystyle x^(2)*x^(5)). În acest caz, trebuie doar să adăugați indicatorii, lăsând baza neschimbată. Prin urmare, x 2 ∗ x 5 = x 7 (\displaystyle x^(2)*x^(5)=x^(7)). Iată o explicație vizuală a acestei reguli:
  
  Când se ridică o putere la o putere, exponenții sunt înmulțiți. De exemplu, având o diplomă. Din moment ce exponenții sunt înmulțiți, atunci (x 2) 5 = x 2 ∗ 5 = x 10 (\displaystyle (x^(2))^(5)=x^(2*5)=x^(10)). Sensul acestei reguli este că înmulți puterea (x 2) (\displaystyle (x^(2))) pe sine de cinci ori. Ca aceasta:
  - (x 2) 5 (\displaystyle (x^(2))^(5))
  - (x 2) 5 = x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 (\displaystyle (x^(2))^(5)=x^(2)*x^(2)*x^( 2)*x^(2)*x^(2))
  - Deoarece baza este aceeași, exponenții pur și simplu se adună: (x 2) 5 = x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 = x 10 (\displaystyle (x^(2))^(5)=x^(2)*x^(2)* x^(2)*x^(2)*x^(2)=x^(10))
3. Un exponent cu un exponent negativ ar trebui convertit într-o fracție (la putere inversă). Nu contează dacă nu știi ce este o reciprocitate. Dacă vi se oferă o diplomă cu un exponent negativ, de exemplu, 3 − 2 (\displaystyle 3^(-2)), scrieți această putere la numitorul fracției (puneți 1 la numărător) și faceți exponentul pozitiv. În exemplul nostru: 1 3 2 (\displaystyle (\frac (1)(3^(2)))). Iată și alte exemple:
  
  La împărțirea puterilor cu aceeași bază, exponenții acestora sunt scăzuți (baza nu se schimbă). Operația de împărțire este opusă operației de înmulțire. De exemplu, având în vedere expresia 4 4 4 2 (\displaystyle (\frac (4^(4))(4^(2)))). Scădeți exponentul din numitor din exponentul din numărător (nu schimbați baza). Prin urmare, 4 4 4 2 = 4 4 − 2 = 4 2 (\displaystyle (\frac (4^(4))(4^(2)))=4^(4-2)=4^(2)) = 16 .
  - Gradul la numitor se poate scrie astfel: 1 4 2 (\displaystyle (\frac (1)(4^(2)))) = 4 − 2 (\displaystyle 4^(-2)). Amintiți-vă că o fracție este un număr (putere, expresie) cu exponent negativ.
4. Mai jos sunt câteva expresii pentru a vă ajuta să învățați cum să rezolvați problemele de alimentare. Expresiile de mai sus acoperă materialul prezentat în această secțiune. Pentru a vedea răspunsul, evidențiați spațiul gol după semnul egal.
Rezolvarea problemelor cu exponenți fracționari
1. Dacă exponentul este o fracție improprie, atunci un astfel de exponent poate fi descompus în două puteri pentru a simplifica soluția problemei. Nu este nimic complicat în asta - amintiți-vă doar regula pentru înmulțirea puterilor. De exemplu, având o diplomă. Transformați acel exponent într-o rădăcină al cărei exponent este egal cu numitorul exponentului fracționar și apoi ridicați acea rădăcină la exponentul egal cu numărătorul exponentului fracționar. Pentru a face acest lucru, amintiți-vă că 5 3 (\displaystyle (\frac (5)(3))) = (1 3) ∗ 5 (\displaystyle ((\frac (1)(3)))*5). În exemplul nostru:
  - x 5 3 (\displaystyle x^(\frac (5)(3)))
  - x 1 3 = x 3 (\displaystyle x^(\frac (1)(3))=(\sqrt[(3)](x)))
  - x 5 3 = x 5 ∗ x 1 3 (\displaystyle x^(\frac (5)(3))=x^(5)*x^(\frac (1)(3))) = (x 3) 5 (\displaystyle ((\sqrt[(3)](x)))^(5))
2. Unele calculatoare au un buton pentru calcularea exponenților (mai întâi trebuie să introduceți baza, apoi să apăsați butonul și apoi să introduceți exponentul). Este notat ca ^ sau x^y.
3. Amintiți-vă că orice număr este egal cu el însuși cu prima putere, de exemplu, 4 1 = 4. (\displaystyle 4^(1)=4.)În plus, orice număr înmulțit sau împărțit cu unul este egal cu el însuși, de exemplu, 5 ∗ 1 = 5 (\displaystyle 5*1=5)și 5 / 1 = 5 (\displaystyle 5/1=5).
4. Să știți că gradul 0 0 nu există (un astfel de grad nu are soluție). Când încerci să rezolvi un astfel de grad pe un calculator sau pe un computer, vei primi o eroare. Dar amintiți-vă că orice număr la puterea lui zero este egal cu 1, de exemplu, 4 0 = 1. (\displaystyle 4^(0)=1.)
5. În matematica superioară, care operează cu numere imaginare: e a i x = c o s a x + i s i n a x (\displaystyle e^(a)ix=cosax+isinax), Unde i = (− 1) (\displaystyle i=(\sqrt (())-1)); e este o constantă aproximativ egală cu 2,7; a este o constantă arbitrară. Dovada acestei egalități poate fi găsită în orice manual de matematică superioară.
- Pe măsură ce exponentul crește, valoarea acestuia crește foarte mult. Prin urmare, dacă răspunsul ți se pare greșit, de fapt se poate dovedi adevărat. Puteți verifica acest lucru prin reprezentarea grafică a oricărei funcții exponențiale, cum ar fi 2 x .

Ne-am dat seama care este gradul unui număr în general. Acum trebuie să înțelegem cum să o calculăm corect, de exemplu. ridica numerele la puteri. În acest material, vom analiza regulile de bază pentru calcularea gradului în cazul unui exponent întreg, natural, fracționar, rațional și irațional. Toate definițiile vor fi ilustrate cu exemple.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Conceptul de exponentiare

Să începem cu formularea definițiilor de bază.

Definiția 1

Exponentiatie este calculul valorii puterii unui număr.

Adică cuvintele „calcul valorii gradului” și „exponențiație” înseamnă același lucru. Deci, dacă sarcina este „Ridicați numărul 0 , 5 la a cincea putere”, aceasta ar trebui înțeleasă ca „calculați valoarea puterii (0 , 5) 5 .

Acum oferim regulile de bază care trebuie urmate în astfel de calcule.

Amintiți-vă ce este o putere a unui număr cu exponent natural. Pentru o putere cu baza a și exponentul n, acesta va fi produsul celui de-al n-lea număr de factori, fiecare dintre care este egal cu a. Acesta poate fi scris astfel:

Pentru a calcula valoarea gradului, trebuie să efectuați operația de înmulțire, adică să înmulțiți bazele gradului de numărul specificat de ori. Însuși conceptul de diplomă cu un indicator natural se bazează pe capacitatea de a se înmulți rapid. Să dăm exemple.

Exemplul 1

Condiție: Ridicați - 2 la puterea de 4.

Decizie

Folosind definiția de mai sus, scriem: (− 2) 4 = (− 2) (− 2) (− 2) (− 2) . În continuare, trebuie doar să urmăm acești pași și să obținem 16 .

Să luăm un exemplu mai complicat.

Exemplul 2

Calculați valoarea 3 2 7 2

Decizie

Această intrare poate fi rescrisă ca 3 2 7 · 3 2 7 . Mai devreme, am analizat cum să înmulțim corect numerele mixte menționate în condiție.

Efectuați acești pași și obțineți răspunsul: 3 2 7 3 2 7 = 23 7 23 7 = 529 49 = 10 39 49

Dacă sarcina indică necesitatea de a ridica numerele iraționale la o putere naturală, va trebui mai întâi să le rotunjim bazele la o cifră care ne va permite să obținem un răspuns cu precizia dorită. Să luăm un exemplu.

Exemplul 3

Efectuați pătratul numărului π .

Decizie

Să o rotunjim mai întâi la sutimi. Atunci π 2 ≈ (3, 14) 2 = 9, 8596. Dacă π ≈ 3 . 14159, atunci vom obține un rezultat mai precis: π 2 ≈ (3, 14159) 2 = 9, 8695877281.

Rețineți că necesitatea de a calcula puterile numerelor iraționale în practică apare relativ rar. Putem apoi să scriem răspunsul ca puterea însăși (ln 6) 3 sau să convertim dacă este posibil: 5 7 = 125 5 .

Separat, trebuie indicat care este prima putere a unui număr. Aici vă puteți aminti că orice număr ridicat la prima putere va rămâne el însuși:

Acest lucru este clar din înregistrare. .

Nu depinde de baza gradului.

Exemplul 4

Deci, (− 9) 1 = − 9 , iar 7 3 ridicat la prima putere rămâne egal cu 7 3 .

Pentru comoditate, vom analiza trei cazuri separat: dacă exponentul este un întreg pozitiv, dacă este zero și dacă este un număr întreg negativ.

În primul caz, aceasta este același lucru cu ridicarea la o putere naturală: la urma urmei, numerele întregi pozitive aparțin mulțimii numerelor naturale. Am descris deja cum să lucrăm cu astfel de grade mai sus.

Acum să vedem cum să ridicăm corect la puterea zero. Cu o bază care este diferită de zero, acest calcul produce întotdeauna o ieșire de 1. Am explicat anterior că puterea 0 a lui a poate fi definită pentru orice număr real care nu este egal cu 0, iar a 0 = 1.

Exemplul 5

5 0 = 1 , (- 2 , 56) 0 = 1 2 3 0 = 1

0 0 - nedefinit.

Ne rămâne doar cazul unui grad cu exponent întreg negativ. Am discutat deja că astfel de grade pot fi scrise ca o fracție 1 a z, unde a este orice număr și z este un număr întreg negativ. Vedem că numitorul acestei fracții nu este altceva decât un grad obișnuit cu un întreg pozitiv și am învățat deja cum să-l calculăm. Să dăm exemple de sarcini.

Exemplul 6

Ridicați 3 la puterea -2.

Decizie

Folosind definiția de mai sus, scriem: 2 - 3 = 1 2 3

Calculăm numitorul acestei fracții și obținem 8: 2 3 \u003d 2 2 2 \u003d 8.

Atunci răspunsul este: 2 - 3 = 1 2 3 = 1 8

Exemplul 7

Ridicați 1, 43 la puterea -2.

Decizie

Reformulați: 1 , 43 - 2 = 1 (1 , 43) 2

Calculăm pătratul la numitor: 1,43 1,43. Decimalele pot fi înmulțite astfel:

Ca rezultat, am obținut (1, 43) - 2 = 1 (1, 43) 2 = 1 2 , 0449 . Rămâne să scriem acest rezultat sub forma unei fracții obișnuite, pentru care este necesar să-l înmulțim cu 10 mii (a se vedea materialul despre conversia fracțiilor).

Răspuns: (1, 43) - 2 = 10000 20449

Un caz separat este ridicarea unui număr la prima putere minus. Valoarea unui astfel de grad este egală cu numărul opus valorii inițiale a bazei: a - 1 \u003d 1 a 1 \u003d 1 a.

Exemplul 8

Exemplu: 3 − 1 = 1 / 3

9 13 - 1 = 13 9 6 4 - 1 = 1 6 4 .

Cum se ridică un număr la o putere fracțională

Pentru a efectua o astfel de operație, trebuie să ne amintim definiția de bază a unui grad cu un exponent fracționar: a m n \u003d a m n pentru orice a pozitiv, întreg m și n natural.

Definiția 2

Astfel, calculul unui grad fracționar trebuie efectuat în două etape: ridicarea la o putere întreagă și găsirea rădăcinii gradului al n-lea.

Avem egalitatea a m n = a m n , care, având în vedere proprietățile rădăcinilor, este de obicei folosită pentru a rezolva probleme sub forma a m n = a n m . Aceasta înseamnă că dacă ridicăm numărul a la o putere fracțională m / n, atunci mai întâi extragem rădăcina gradului al n-lea din a, apoi ridicăm rezultatul la o putere cu un exponent întreg m.

Să ilustrăm cu un exemplu.

Exemplul 9

Calculați 8 - 2 3 .

Decizie

Metoda 1. Conform definiției de bază, putem reprezenta aceasta ca: 8 - 2 3 \u003d 8 - 2 3

Acum să calculăm gradul sub rădăcină și să extragem a treia rădăcină din rezultat: 8 - 2 3 = 1 64 3 = 1 3 3 64 3 = 1 3 3 4 3 3 = 1 4

Metoda 2. Să transformăm egalitatea de bază: 8 - 2 3 \u003d 8 - 2 3 \u003d 8 3 - 2

După aceea, extragem rădăcina 8 3 - 2 = 2 3 3 - 2 = 2 - 2 și pătratăm rezultatul: 2 - 2 = 1 2 2 = 1 4

Vedem că soluțiile sunt identice. Puteți folosi în orice mod doriți.

Există cazuri când gradul are un indicator exprimat ca număr mixt sau fracție zecimală. Pentru a ușura calculul, este mai bine să o înlocuiți cu o fracție obișnuită și să numărați așa cum este indicat mai sus.

Exemplul 10

Ridicați 44,89 la puterea de 2,5.

Decizie

Să convertim valoarea indicatorului într-o fracție obișnuită - 44, 89 2, 5 = 49, 89 5 2.

Și acum efectuăm toate acțiunile indicate mai sus în ordine: 44 , 89 5 2 = 44 , 89 5 = 44 , 89 5 = 4489 100 5 = 4489 100 5 = 67 2 10 2 5 = 67 10 5 = 100 50 = 100 50 13 501, 25107

Răspuns: 13501, 25107.

Dacă există numere mari în numărătorul și numitorul unui exponent fracționar, atunci calcularea unor astfel de exponenți cu exponenți raționali este o muncă destul de dificilă. De obicei necesită tehnologie computerizată.

Separat, ne oprim asupra gradului cu o bază zero și un exponent fracționar. O expresie de forma 0 m n i se poate da următorul sens: dacă m n > 0, atunci 0 m n = 0 m n = 0 ; dacă m n< 0 нуль остается не определен. Таким образом, возведение нуля в дробную положительную степень приводит к нулю: 0 7 12 = 0 , 0 3 2 5 = 0 , 0 0 , 024 = 0 , а в целую отрицательную - значения не имеет: 0 - 4 3 .

Cum să ridici un număr la o putere irațională

Necesitatea de a calcula valoarea gradului, în indicatorul căruia există un număr irațional, nu apare atât de des. În practică, sarcina este de obicei limitată la calcularea unei valori aproximative (până la un anumit număr de zecimale). Acest lucru este de obicei calculat pe un computer datorită complexității unor astfel de calcule, așa că nu ne vom opri în detaliu, ci vom indica doar principalele prevederi.

Dacă trebuie să calculăm valoarea gradului a cu un exponent irațional a , atunci luăm aproximarea zecimală a exponentului și numărăm din acesta. Rezultatul va fi un răspuns aproximativ. Cu cât aproximarea zecimală luată este mai precisă, cu atât răspunsul este mai precis. Să arătăm cu un exemplu:

Exemplul 11

Calculați o valoare aproximativă de 21 , 174367 ....

Decizie

Ne restrângem la aproximarea zecimală a n = 1 , 17 . Să facem calculele folosind acest număr: 2 1 , 17 ≈ 2 , 250116 . Dacă luăm, de exemplu, aproximarea a n = 1 , 1743 , atunci răspunsul va fi puțin mai precis: 2 1 , 174367 . . . ≈ 2 1 . 1743 ≈ 2 . 256833 .

Dacă observați o greșeală în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter

Primul nivel

Gradul și proprietățile sale. Ghid cuprinzător (2019)

De ce sunt necesare diplome? Unde ai nevoie de ele? De ce trebuie să petreci timp studiindu-le?

Pentru a afla totul despre diplome, pentru ce sunt acestea, cum să vă folosiți cunoștințele în viața de zi cu zi, citiți acest articol.

Și, bineînțeles, cunoașterea diplomelor te va aduce mai aproape de promovarea cu succes a OGE sau a examenului de stat unificat și de a intra în universitatea visurilor tale.

Sa mergem sa mergem!)

Notă importantă! Dacă, în loc de formule, vedeți farfurie, ștergeți memoria cache. Pentru a face acest lucru, apăsați CTRL+F5 (pe Windows) sau Cmd+R (pe Mac).

PRIMUL NIVEL

Exponentiația este aceeași operație matematică ca și adunarea, scăderea, înmulțirea sau împărțirea.

Acum voi explica totul în limbaj uman folosind exemple foarte simple. Fiţi atenți. Exemplele sunt elementare, dar explică lucruri importante.

Să începem cu adăugarea.

Nu este nimic de explicat aici. Știți deja totul: suntem opt. Fiecare are două sticle de cola. Câtă cola? Așa este - 16 sticle.

Acum înmulțirea.

Același exemplu cu cola poate fi scris într-un mod diferit: . Matematicienii sunt oameni vicleni și leneși. Ei observă mai întâi unele modele, apoi vin cu o modalitate de a le „număra” mai repede. În cazul nostru, au observat că fiecare dintre cele opt persoane avea același număr de sticle de cola și au venit cu o tehnică numită înmulțire. De acord, este considerat mai ușor și mai rapid decât.

Deci, pentru a număra mai repede, mai ușor și fără erori, trebuie doar să vă amintiți masa înmulțirii. Desigur, poți face totul mai încet, mai greu și cu greșeli! Dar…

Iată tabla înmulțirii. Repeta.

Și încă unul, mai frumos:

Și cu ce alte trucuri complicate de numărare au venit matematicienii leneși? Corect - ridicarea unui număr la o putere.

Ridicarea unui număr la o putere

Dacă trebuie să înmulțiți un număr cu el însuși de cinci ori, atunci matematicienii spun că trebuie să ridicați acest număr la puterea a cincea. De exemplu, . Matematicienii își amintesc că puterea doi la a cincea este. Și rezolvă astfel de probleme în mintea lor - mai rapid, mai ușor și fără erori.

Pentru a face acest lucru, aveți nevoie doar amintiți-vă ce este evidențiat cu culoare în tabelul puterilor numerelor. Crede-mă, îți va face viața mult mai ușoară.

Apropo, de ce se numește gradul doi pătrat numere, iar al treilea cub? Ce înseamnă? O intrebare foarte buna. Acum veți avea atât pătrate, cât și cuburi.

Exemplul #1 din viața reală

Să începem cu un pătrat sau cu a doua putere a unui număr.

Imaginați-vă o piscină pătrată care măsoară metri pe metri. Piscina este în curtea ta. E cald și îmi doresc foarte mult să înot. Dar... o piscină fără fund! Este necesar să acoperiți fundul piscinei cu gresie. De câte plăci ai nevoie? Pentru a determina acest lucru, trebuie să cunoașteți zona fundului piscinei.

Puteți număra pur și simplu împingând cu degetul că fundul piscinei este format din cuburi metru cu metru. Dacă plăcile tale sunt metru cu metru, vei avea nevoie de bucăți. E ușor... Dar unde ai văzut o astfel de țiglă? Placa va fi mai degrabă cm cu cm. Și atunci vei fi chinuit de „numărați cu degetul”. Atunci trebuie să te înmulți. Așadar, pe o parte a fundului piscinei, vom pune gresie (bucăți) și pe cealaltă, de asemenea, gresie. Înmulțind cu, obțineți dale ().

Ați observat că am înmulțit același număr de la sine pentru a determina aria fundului piscinei? Ce înseamnă? Deoarece se înmulțește același număr, putem folosi tehnica exponențiării. (Desigur, atunci când ai doar două numere, mai trebuie să le înmulți sau să le ridici la o putere. Dar dacă ai multe dintre ele, atunci ridicarea la o putere este mult mai ușoară și există și mai puține erori în calcule. Pentru examen, acest lucru este foarte important).
Deci, treizeci la gradul doi va fi (). Sau poți spune că treizeci de pătrați vor fi. Cu alte cuvinte, a doua putere a unui număr poate fi întotdeauna reprezentată ca un pătrat. Și invers, dacă vezi un pătrat, acesta este ÎNTOTDEAUNA a doua putere a unui număr. Un pătrat este o imagine a celei de-a doua puteri a unui număr.

Exemplul #2 din viața reală

Iată o sarcină pentru tine, numără câte pătrate sunt pe tabla de șah folosind pătratul numărului... Pe o parte a celulelor și pe cealaltă. Pentru a număra numărul lor, trebuie să înmulțiți opt cu opt, sau ... dacă observați că o tablă de șah este un pătrat cu o latură, atunci puteți pătra opt. Obțineți celule. () Asa de?

Exemplul #3 din viața reală

Acum, cubul sau a treia putere a unui număr. Aceeași piscină. Dar acum trebuie să aflați câtă apă va trebui turnată în această piscină. Trebuie să calculați volumul. (Volumele și lichidele, de altfel, se măsoară în metri cubi. Neașteptat, nu?) Desenați un bazin: un fund de un metru de dimensiune și un metru adâncime și încercați să calculați câte cuburi metru cu metru vor intra în piscina dvs.

Doar arată cu degetul și numără! Unu, doi, trei, patru... douăzeci și doi, douăzeci și trei... Cât a ieșit? Nu te-ai pierdut? E greu să numeri cu degetul? Astfel încât! Luați un exemplu de la matematicieni. Sunt leneși, așa că au observat că, pentru a calcula volumul piscinei, trebuie să-i înmulțiți lungimea, lățimea și înălțimea între ele. În cazul nostru, volumul piscinei va fi egal cu cuburi... Mai ușor, nu?

Acum imaginați-vă cât de leneși și vicleni sunt matematicienii dacă fac asta prea ușor. A redus totul la o singură acțiune. Au observat că lungimea, lățimea și înălțimea sunt egale și că același număr se înmulțește cu el însuși... Și ce înseamnă asta? Aceasta înseamnă că poți folosi gradul. Deci, ceea ce ați numărat cândva cu un deget, ei fac într-o singură acțiune: trei într-un cub sunt egali. Este scris astfel:

Rămâne doar memorează tabelul de grade. Dacă, desigur, nu ești la fel de leneș și viclean ca matematicienii. Dacă îți place să muncești din greu și să faci greșeli, poți continua să numeri cu degetul.

Ei bine, pentru a te convinge in sfarsit ca gradele au fost inventate de mocasini si vicleni pentru a-si rezolva problemele vietii, si nu pentru a-ti crea probleme, iata inca cateva exemple din viata.

Exemplul #4 din viața reală

Ai un milion de ruble. La începutul fiecărui an, câștigi încă un milion pentru fiecare milion. Adică, fiecare din milionul tău la începutul fiecărui an se dublează. Câți bani vei avea peste ani? Dacă acum stai și „numărați cu degetul”, atunci ești o persoană foarte muncitoare și .. proastă. Dar cel mai probabil vei da un răspuns în câteva secunde, pentru că ești inteligent! Așadar, în primul an - de două ori de două... în al doilea an - ce s-a întâmplat, cu încă doi, în al treilea an... Stop! Ai observat că numărul se înmulțește cu el însuși o dată. Deci doi la a cincea putere este un milion! Acum imaginați-vă că aveți un concurs și cel care calculează mai repede va primi aceste milioane... Merită să vă amintiți gradele numerelor, ce părere aveți?

Exemplul #5 din viața reală

Ai un milion. La începutul fiecărui an, câștigi încă două pentru fiecare milion. E grozav nu? Fiecare milion este triplat. Câți bani vei avea într-un an? Hai să numărăm. Primul an - înmulțiți cu, apoi rezultatul cu altul... E deja plictisitor, pentru că ați înțeles deja totul: trei se înmulțesc de la sine ori. Deci, a patra putere este un milion. Trebuie doar să-ți amintești că trei până la a patra putere este sau.

Acum știi că ridicând un număr la o putere, îți vei face viața mult mai ușoară. Să aruncăm o privire în continuare la ceea ce poți face cu diplome și ce trebuie să știi despre ele.

Termeni și concepte... ca să nu se încurce

Deci, mai întâi, să definim conceptele. Ce crezi, ce este exponent? Este foarte simplu - acesta este numărul care se află „în partea de sus” a puterii numărului. Nu științific, dar clar și ușor de reținut...

Ei bine, în același timp, ce o astfel de bază de grad? Și mai simplu este numărul care se află în partea de jos, la bază.

Iată o poză ca să fii sigur.

Ei bine, în termeni generali, pentru a generaliza și a aminti mai bine ... Un grad cu o bază „” și un indicator „” se citește ca „în grad” și se scrie după cum urmează:

Puterea unui număr cu exponent natural

Probabil ați ghicit deja: pentru că exponentul este un număr natural. Da, dar ce este numar natural? Elementar! Numerele naturale sunt cele care sunt folosite la numărare la enumerarea articolelor: unu, doi, trei ... Când numărăm articole, nu spunem: „minus cinci”, „minus șase”, „minus șapte”. Nici noi nu spunem „o treime” sau „zero virgulă cinci zecimi”. Acestea nu sunt numere naturale. Ce crezi că sunt aceste numere?

Se referă numere precum „minus cinci”, „minus șase”, „minus șapte”. numere întregi.În general, numerele întregi includ toate numerele naturale, numerele opuse numerelor naturale (adică luate cu semnul minus) și un număr. Zero este ușor de înțeles - atunci când nu există nimic. Și ce înseamnă numerele negative („minus”)? Dar au fost inventate în primul rând pentru a desemna datorii: dacă aveți un sold pe telefon în ruble, aceasta înseamnă că datorați ruble operatorului.

Toate fracțiile sunt numere raționale. Cum au apărut, crezi? Foarte simplu. Cu câteva mii de ani în urmă, strămoșii noștri au descoperit că nu aveau suficiente numere naturale pentru a măsura lungimea, greutatea, suprafața etc. Și au venit cu numere rationale… Interesant, nu-i așa?

Există și numere iraționale. Care sunt aceste numere? Pe scurt, o fracție zecimală infinită. De exemplu, dacă împărțiți circumferința unui cerc la diametrul acestuia, atunci obțineți un număr irațional.

Rezumat:

Să definim conceptul de grad, al cărui exponent este un număr natural (adică, întreg și pozitiv).

Orice număr la prima putere este egal cu el însuși:
A pătra un număr înseamnă a-l înmulți cu el însuși:
A cubi un număr înseamnă a-l înmulți cu el însuși de trei ori:

Definiție. A ridica un număr la o putere naturală înseamnă a înmulți numărul cu el însuși de ori:
.

Proprietăți de grad

De unde au venit aceste proprietăți? Îți voi arăta acum.

Să vedem ce este și ?

Prioritate A:

Câți multiplicatori există în total?

Este foarte simplu: am adăugat factori factori, iar rezultatul sunt factori.

Dar, prin definiție, acesta este gradul unui număr cu exponent, adică: , care trebuia demonstrat.

Exemplu: Simplificați expresia.

Decizie:

Exemplu: Simplificați expresia.

Decizie: Este important de reținut că în regula noastră neapărat trebuie sa fie acelasi motiv!
Prin urmare, combinăm gradele cu baza, dar rămânem un factor separat:

numai pentru produse ale puterilor!

Sub nicio formă nu trebuie să scrii asta.

2. adică -a-a putere a unui număr

La fel ca și în cazul proprietății anterioare, să ne întoarcem la definiția gradului:

Se dovedește că expresia este înmulțită cu ea însăși o dată, adică, conform definiției, aceasta este puterea a treia a numărului:

De fapt, acest lucru poate fi numit „bracketing the indicator”. Dar nu poți face niciodată asta în total:

Să ne amintim formulele de înmulțire prescurtată: de câte ori am vrut să scriem?

Dar asta nu este adevărat, într-adevăr.

Grad cu o bază negativă

Până în acest punct, am discutat doar care ar trebui să fie exponentul.

Dar care ar trebui să fie baza?

În grade de la indicator natural baza poate fi orice număr. Într-adevăr, putem înmulți orice număr unul cu celălalt, indiferent dacă sunt pozitive, negative sau chiar.

Să ne gândim ce semne (" " sau "") vor avea grade de numere pozitive și negative?

De exemplu, numărul va fi pozitiv sau negativ? DAR? ? Cu primul, totul este clar: indiferent câte numere pozitive ne înmulțim între ele, rezultatul va fi pozitiv.

Dar cele negative sunt puțin mai interesante. La urma urmei, ne amintim o regulă simplă din clasa a VI-a: „un minus ori un minus dă un plus”. Adică sau. Dar dacă înmulțim cu, se dovedește.

Determinați singur ce semn vor avea următoarele expresii:

1)	2)	3)
4)	5)	6)

Ai reușit?

Iată răspunsurile: În primele patru exemple, sper că totul este clar? Pur și simplu ne uităm la bază și la exponent și aplicăm regula corespunzătoare.

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

În exemplul 5), totul nu este atât de înfricoșător pe cât pare: nu contează cu ce este egală baza - gradul este egal, ceea ce înseamnă că rezultatul va fi întotdeauna pozitiv.

Ei bine, cu excepția cazului în care baza este zero. Baza nu este aceeași, nu-i așa? Evident că nu, din moment ce (pentru că).

Exemplul 6) nu mai este atât de simplu!

6 exemple de practică

Analiza soluției 6 exemple

Dacă nu acordăm atenție gradului al optulea, ce vedem aici? Să aruncăm o privire asupra programului de clasa a VII-a. Deci, îți amintești? Aceasta este formula de înmulțire prescurtată și anume diferența de pătrate! Primim:

Ne uităm cu atenție la numitor. Seamănă foarte mult cu unul dintre factorii numărători, dar ce este în neregulă? Ordine greșită a termenilor. Dacă ar fi schimbate, regula s-ar putea aplica.

Dar cum să faci asta? Se dovedește că este foarte ușor: aici ne ajută gradul par al numitorului.

Termenii și-au schimbat locurile magic. Acest „fenomen” se aplică oricărei expresii într-un grad egal: putem schimba liber semnele dintre paranteze.

Dar este important de reținut: toate semnele se schimbă în același timp!

Să revenim la exemplu:

Și din nou formula:

întreg numim numerele naturale, contrariile lor (adica luate cu semnul "") si numarul.

număr întreg pozitiv, și nu este diferit de natural, atunci totul arată exact ca în secțiunea anterioară.

Acum să ne uităm la cazuri noi. Să începem cu un indicator egal cu.

Orice număr la puterea zero este egal cu unu:

Ca întotdeauna, ne întrebăm: de ce este așa?

Luați în considerare puțină putere cu o bază. Luați, de exemplu, și înmulțiți cu:

Deci, am înmulțit numărul cu și am obținut același lucru ca și -. Cu ce număr trebuie înmulțit ca să nu se schimbe nimic? Așa e, pe. Mijloace.

Putem face același lucru cu un număr arbitrar:

Să repetăm regula:

Orice număr la puterea zero este egal cu unu.

Dar există excepții de la multe reguli. Și aici este și acolo - acesta este un număr (ca bază).

Pe de o parte, trebuie să fie egal cu orice grad - indiferent cât de mult ai înmulți zero de la sine, tot obții zero, acest lucru este clar. Dar, pe de altă parte, ca orice număr până la gradul zero, trebuie să fie egal. Deci, care este adevărul despre asta? Matematicienii au decis să nu se implice și au refuzat să ridice zero la puterea zero. Adică, acum nu putem doar să împărțim la zero, ci și să o ridicăm la puterea zero.

Să mergem mai departe. Pe lângă numerele naturale și numerele, numerele întregi includ numere negative. Pentru a înțelege ce este un grad negativ, să facem la fel ca data trecută: înmulțim un număr normal cu același într-un grad negativ:

De aici este deja ușor de exprimat dorit:

Acum extindem regula rezultată într-un grad arbitrar:

Deci, haideți să formulăm regula:

Un număr la o putere negativă este inversul aceluiași număr la o putere pozitivă. Dar in acelasi timp baza nu poate fi nulă:(pentru că este imposibil de împărțit).

Să rezumam:

I. Expresia nu este definită în caz. Daca atunci.

II. Orice număr la puterea zero este egal cu unu: .

III. Un număr care nu este egal cu zero la o putere negativă este inversul aceluiași număr cu o putere pozitivă: .

Sarcini pentru soluție independentă:

Ei bine, ca de obicei, exemple pentru o soluție independentă:

Analiza sarcinilor pentru soluție independentă:

Știu, știu, cifrele sunt înfricoșătoare, dar la examen trebuie să fii pregătit pentru orice! Rezolvă aceste exemple sau analizează-le soluția dacă nu le-ai putut rezolva și vei învăța cum să le faci față cu ușurință la examen!

Să continuăm să extindem gama de numere „potrivite” ca exponent.

Acum luați în considerare numere rationale. Ce numere se numesc raționale?

Răspuns: tot ceea ce poate fi reprezentat ca fracție, unde și sunt numere întregi, în plus.

Pentru a înțelege ce este "grad fractionar" Să luăm în considerare o fracție:

Să ridicăm ambele părți ale ecuației la o putere:

Acum amintiți-vă regula "grad la grad":

Ce număr trebuie ridicat la o putere pentru a obține?

Această formulare este definiția rădăcinii gradului al treilea.

Permiteți-mi să vă reamintesc: rădăcina puterii-a a unui număr () este un număr care, atunci când este ridicat la o putere, este egal.

Adică rădăcina gradului al-lea este operația inversă de exponențiere: .

Se pare că. Evident, acest caz special poate fi extins: .

Acum adăugați numărătorul: ce este? Răspunsul este ușor de obținut cu regula putere-la-putere:

Dar baza poate fi orice număr? La urma urmei, rădăcina nu poate fi extrasă din toate numerele.

Nici unul!

Amintiți-vă regula: orice număr ridicat la o putere pară este un număr pozitiv. Adică, este imposibil să extragi rădăcini de grad egal din numerele negative!

Și asta înseamnă că astfel de numere nu pot fi ridicate la o putere fracțională cu numitor par, adică expresia nu are sens.

Ce zici de exprimare?

Dar aici apare o problemă.

Numărul poate fi reprezentat ca alte fracții reduse, de exemplu, sau.

Și se dovedește că există, dar nu există, iar acestea sunt doar două înregistrări diferite ale aceluiași număr.

Sau un alt exemplu: o dată, atunci îl poți nota. Dar de îndată ce scriem indicatorul într-un mod diferit, avem din nou probleme: (adică am obținut un rezultat complet diferit!).

Pentru a evita astfel de paradoxuri, luați în considerare numai exponent de bază pozitiv cu exponent fracționar.

Astfel, dacă:

- numar natural;
este un număr întreg;

Exemple:

Puterile cu exponent rațional sunt foarte utile pentru transformarea expresiilor cu rădăcini, de exemplu:

5 exemple de practică

Analiza a 5 exemple pentru antrenament

Ei bine, acum - cel mai dificil. Acum vom analiza grad cu un exponent irațional.

Toate regulile și proprietățile gradelor de aici sunt exact aceleași ca pentru grade cu exponent rațional, cu excepția

Într-adevăr, prin definiție, numerele iraționale sunt numere care nu pot fi reprezentate ca o fracție, unde și sunt numere întregi (adică numerele iraționale sunt toate numere reale, cu excepția celor raționale).

Când studiem grade cu un indicator natural, întreg și rațional, de fiecare dată am alcătuit o anumită „imagine”, „analogie” sau descriere în termeni mai familiari.

De exemplu, un exponent natural este un număr înmulțit cu el însuși de mai multe ori;

...putere zero- acesta este, parcă, un număr înmulțit cu el însuși o dată, adică nu a început încă să fie înmulțit, ceea ce înseamnă că numărul în sine nici măcar nu a apărut încă - prin urmare, rezultatul este doar o anumită „pregătire a un număr”, și anume un număr;

...exponent întreg negativ- este ca și cum a avut loc un anumit „proces invers”, adică numărul nu a fost înmulțit cu el însuși, ci împărțit.

Apropo, știința folosește adesea un grad cu un exponent complex, adică un exponent nu este nici măcar un număr real.

Dar la școală, nu ne gândim la astfel de dificultăți; vei avea ocazia să înțelegi aceste noi concepte la institut.

UNDE SUNTEM SIGURANȚI VOI MERGI! (dacă înveți cum să rezolvi astfel de exemple :))

De exemplu:

Decideți singuri:

Analiza solutiilor:

1. Să începem cu regula deja obișnuită pentru ridicarea unui grad la un grad:

Acum uită-te la scor. Îți amintește de ceva? Reamintim formula pentru înmulțirea prescurtată a diferenței de pătrate:

LA acest caz,

Se pare că:

Răspuns: .

2. Aducem fracțiile în exponenți în aceeași formă: fie ambele zecimale, fie ambele ordinare. Primim, de exemplu:

Raspuns: 16

3. Nimic special, aplicăm proprietățile obișnuite ale gradelor:

NIVEL AVANSAT

Definiţia degree

Gradul este o expresie de forma: , unde:

— baza gradului;
- exponent.

Gradul cu exponent natural (n = 1, 2, 3,...)

Ridicarea unui număr la puterea naturală n înseamnă înmulțirea numărului cu el însuși de ori:

Putere cu exponent întreg (0, ±1, ±2,...)

Dacă exponentul este număr întreg pozitiv număr:

erecție la putere zero:

Expresia este nedefinită, deoarece, pe de o parte, în orice grad este aceasta, iar pe de altă parte, orice număr până la gradul al treilea este aceasta.

Dacă exponentul este întreg negativ număr:

(pentru că este imposibil de împărțit).

Încă o dată despre nuluri: expresia nu este definită în caz. Daca atunci.

Exemple:

Gradul cu exponent rațional

- numar natural;
este un număr întreg;

Exemple:

Proprietăți de grad

Pentru a facilita rezolvarea problemelor, să încercăm să înțelegem: de unde provin aceste proprietăți? Să le dovedim.

Să vedem: ce este și?

Prioritate A:

Deci, în partea dreaptă a acestei expresii, se obține următorul produs:

Dar, prin definiție, aceasta este o putere a unui număr cu un exponent, adică:

Q.E.D.

Exemplu : Simplificați expresia.

Decizie : .

Exemplu : Simplificați expresia.

Decizie : Este important de reținut că în regula noastră neapărat trebuie să aibă aceeași bază. Prin urmare, combinăm gradele cu baza, dar rămânem un factor separat:

O altă notă importantă: această regulă - numai pentru produsele puterilor!

Sub nicio formă nu ar trebui să scriu asta.

La fel ca și în cazul proprietății anterioare, să ne întoarcem la definiția gradului:

Să o rearanjam astfel:

Se pare că expresia este înmulțită cu ea însăși o dată, adică, conform definiției, aceasta este puterea --a a numărului:

De fapt, acest lucru poate fi numit „bracketing the indicator”. Dar nu poți face niciodată asta în total:!

Să ne amintim formulele de înmulțire prescurtată: de câte ori am vrut să scriem? Dar asta nu este adevărat, într-adevăr.

Putere cu o bază negativă.

Până în acest moment, am discutat doar ce ar trebui să fie indicator grad. Dar care ar trebui să fie baza? În grade de la natural indicator baza poate fi orice număr .

Într-adevăr, putem înmulți orice număr unul cu celălalt, indiferent dacă sunt pozitive, negative sau chiar. Să ne gândim ce semne (" " sau "") vor avea grade de numere pozitive și negative?

De exemplu, numărul va fi pozitiv sau negativ? DAR? ?

Cu primul, totul este clar: indiferent câte numere pozitive ne înmulțim între ele, rezultatul va fi pozitiv.

Dar cele negative sunt puțin mai interesante. La urma urmei, ne amintim o regulă simplă din clasa a VI-a: „un minus ori un minus dă un plus”. Adică sau. Dar dacă înmulțim cu (), obținem -.

Și așa mai departe la infinit: cu fiecare înmulțire ulterioară, semnul se va schimba. Puteți formula aceste reguli simple:

chiar grad, - număr pozitiv.
Număr negativ crescut la ciudat grad, - număr negativ.
Un număr pozitiv pentru orice putere este un număr pozitiv.
Zero la orice putere este egal cu zero.

Determinați singur ce semn vor avea următoarele expresii:

1.	2.	3.
4.	5.	6.

Ai reușit? Iată răspunsurile:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

În primele patru exemple, sper că totul este clar? Pur și simplu ne uităm la bază și la exponent și aplicăm regula corespunzătoare.

În exemplul 5), totul nu este atât de înfricoșător pe cât pare: nu contează cu ce este egală baza - gradul este egal, ceea ce înseamnă că rezultatul va fi întotdeauna pozitiv. Ei bine, cu excepția cazului în care baza este zero. Baza nu este aceeași, nu-i așa? Evident că nu, din moment ce (pentru că).

Exemplul 6) nu mai este atât de simplu. Aici trebuie să aflați care este mai puțin: sau? Dacă vă amintiți asta, devine clar că, ceea ce înseamnă că baza este mai mică decât zero. Adică aplicăm regula 2: rezultatul va fi negativ.

Și din nou folosim definiția gradului:

Totul este ca de obicei - notăm definiția gradelor și le împărțim unele în altele, le împărțim în perechi și obținem:

Înainte de a analiza ultima regulă, să rezolvăm câteva exemple.

Calculați valorile expresiilor:

Soluții :

Primim:

Ne uităm cu atenție la numitor. Seamănă foarte mult cu unul dintre factorii numărători, dar ce este în neregulă? Ordine greșită a termenilor. Dacă ar fi inversate, s-ar putea aplica regula 3. Dar cum să faci asta? Se dovedește că este foarte ușor: aici ne ajută gradul par al numitorului.

Dacă îl înmulți cu, nu se schimbă nimic, nu? Dar acum arată așa:

Termenii și-au schimbat locurile magic. Acest „fenomen” se aplică oricărei expresii într-un grad egal: putem schimba liber semnele dintre paranteze. Dar este important de reținut: toate semnele se schimba in acelasi timp! Nu poate fi înlocuit prin schimbarea unui singur minus inacceptabil pentru noi!

Să revenim la exemplu:

Și din nou formula:

Deci acum ultima regulă:

Cum o să dovedim? Desigur, ca de obicei: să extindem conceptul de grad și să simplificăm:

Ei bine, acum să deschidem parantezele. Câte litere vor fi? ori prin multiplicatori - cum arată? Aceasta nu este altceva decât definiția unei operațiuni multiplicare: total s-au dovedit a fi multiplicatori. Adică, este, prin definiție, o putere a unui număr cu un exponent:

Exemplu:

Gradul cu exponent irațional

Pe lângă informații despre grade pentru nivelul mediu, vom analiza gradul cu un indicator irațional. Toate regulile și proprietățile gradelor de aici sunt exact aceleași ca pentru un grad cu exponent rațional, cu excepția - la urma urmei, prin definiție, numerele iraționale sunt numere care nu pot fi reprezentate ca o fracție, unde și sunt numere întregi (adică , numerele iraționale sunt toate numere reale, cu excepția celor raționale).

Când studiem grade cu un indicator natural, întreg și rațional, de fiecare dată am alcătuit o anumită „imagine”, „analogie” sau descriere în termeni mai familiari. De exemplu, un exponent natural este un număr înmulțit cu el însuși de mai multe ori; un număr până la gradul zero este, așa cum ar fi, un număr înmulțit cu el însuși o dată, adică nu a început încă să fie înmulțit, ceea ce înseamnă că numărul în sine nici măcar nu a apărut încă - prin urmare, rezultatul este doar un anumită „pregătire a unui număr”, și anume un număr; un grad cu un număr întreg negativ - este ca și cum a avut loc un anumit „proces invers”, adică numărul nu a fost înmulțit cu el însuși, ci împărțit.

Este extrem de dificil să-ți imaginezi un grad cu un exponent irațional (la fel cum este dificil să-ți imaginezi un spațiu cu 4 dimensiuni). Mai degrabă, este un obiect pur matematic pe care matematicienii l-au creat pentru a extinde conceptul de grad la întregul spațiu al numerelor.

Apropo, știința folosește adesea un grad cu un exponent complex, adică un exponent nu este nici măcar un număr real. Dar la școală, nu ne gândim la astfel de dificultăți; vei avea ocazia să înțelegi aceste noi concepte la institut.

Deci, ce facem dacă vedem un exponent irațional? Facem tot posibilul să scăpăm de ea! :)

De exemplu:

Decideți singuri:

Raspunsuri:

Amintiți-vă formula diferenței pătratelor. Răspuns: .
Aducem fracțiile în aceeași formă: fie ambele zecimale, fie ambele obișnuite. Obținem, de exemplu: .
Nimic special, aplicăm proprietățile obișnuite ale gradelor:

REZUMAT SECȚIUNEA ȘI FORMULA DE BAZĂ

grad se numește expresie de forma: , unde:

Gradul cu exponent întreg

grad, al cărui exponent este un număr natural (adică întreg și pozitiv).

Gradul cu exponent rațional

grad, al cărui indicator sunt numerele negative și fracționale.

Gradul cu exponent irațional

exponent al cărui exponent este o fracție zecimală infinită sau rădăcină.

Proprietăți de grad

Caracteristicile diplomelor.

Număr negativ crescut la chiar grad, - număr pozitiv.
Număr negativ crescut la ciudat grad, - număr negativ.
Un număr pozitiv pentru orice putere este un număr pozitiv.
Zero este egal cu orice putere.
Orice număr până la puterea zero este egal.

ACUM AI UN CUVÂNT...

Cum iti place articolul? Spune-mi în comentariile de mai jos dacă ți-a plăcut sau nu.

Povestește-ne despre experiența ta cu proprietățile puterii.

Poate ai intrebari. Sau sugestii.

Scrieți în comentarii.

Și mult succes la examene!

Într-unul din articolele anterioare, am menționat deja gradul unui număr. Astăzi vom încerca să navigăm în procesul de găsire a sensului său. Din punct de vedere științific, ne vom da seama cum să exponențiam corect. Vom înțelege cum se desfășoară acest proces, atingând în același timp toți exponenții posibili: natural, irațional, rațional, întreg.

Deci, să aruncăm o privire mai atentă la soluțiile exemplelor și să aflăm ce înseamnă:

Definirea conceptului.
Ridicarea la artă negativă.
Scorul întreg.
Ridicarea unui număr la o putere irațională.

Iată o definiție care reflectă cu exactitate sensul: „Ridicarea la putere este definiția valorii gradului unui număr”.

În consecință, construcția numărului a în art. r și procesul de aflare a valorii gradului a cu exponentul r sunt concepte identice. De exemplu, dacă sarcina este de a calcula valoarea gradului (0,6) 6 ″, atunci poate fi simplificată la expresia „Ridicați numărul 0,6 la puterea lui 6”.

După aceea, puteți trece direct la regulile de construcție.

Ridicarea la o putere negativă

Pentru claritate, ar trebui să acordați atenție următorului lanț de expresii:

110 \u003d 0,1 \u003d 1 * 10 în minus 1 st.,

1100 \u003d 0,01 \u003d 1 * 10 în minus 2 pași.,

11000 \u003d 0,0001 \u003d 1 * 10 minus 3 st.,

110000=0,00001=1*10 până la minus 4 grade.

Datorită acestor exemple, puteți vedea clar capacitatea de a calcula instantaneu 10 la orice putere negativă. În acest scop, este suficient să mutați pur și simplu componenta zecimală:

10 la -1 grad - înainte de unitatea 1 zero;
în -3 - trei zerouri înainte de unu;
-9 este 9 zerouri și așa mai departe.

De asemenea, este ușor de înțeles conform acestei scheme cât va fi 10 minus 5 linguri. -

1100000=0,000001=(1*10)-5.

Cum să ridici un număr la o putere naturală

Reamintind definiția, avem în vedere că numărul natural a din art. n este egal cu produsul a n factori, fiecare dintre care este egal cu a. Să ilustrăm: (a * a * ... a) n, unde n este numărul de numere care se înmulțesc. În consecință, pentru a ridica a la n, este necesar să se calculeze produsul de următoarea formă: a * a * ... și să se împartă la n ori.

De aici devine evident că erecția în arta naturală. se bazează pe capacitatea de a efectua înmulțirea(acest material este tratat în secțiunea privind înmulțirea numerelor reale). Să ne uităm la problema:

Ridicați -2 până la a 4-a lingură.

Avem de-a face cu un indicator natural. În consecință, cursul deciziei va fi următorul: (-2) la art. 4 = (-2)*(-2)*(-2)*(-2). Acum rămâne doar să efectuați înmulțirea numerelor întregi: (-2) * (-2) * (-2) * (-2). Primim 16.

Răspuns la sarcină:

(-2) la art. 4=16.

Exemplu:

Calculați valoarea: trei virgulă două șapte la pătrat.

Acest exemplu este egal cu următorul produs: trei virgulă două șapte ori trei virgulă două șapte. Amintindu-ne cum se realizează înmulțirea numerelor mixte, completăm construcția:

3 întregi 2 șapte înmulțite cu ei înșiși;
este egal cu 23 de șapte ori 23 de șapte;
este egal cu 529 patruzeci si noua;
reducem si obtinem 10 treizeci si noua patruzeci si noua.

Răspuns: 10 39/49

În ceea ce privește problema ridicării la un indicator irațional, trebuie menționat că calculele încep să fie efectuate după finalizarea rotunjirii preliminare a bazei gradului la un anumit rang, ceea ce ar permite obținerea unei valori cu un anumit grad. precizie. De exemplu, trebuie să pătratăm numărul P (pi).

Începem prin rotunjirea P la sutimi și obținem:

P pătrat \u003d (3,14) 2 \u003d 9,8596. Totuși, dacă reducem P la zece miimi, obținem P = 3,14159. Apoi pătratul obține un număr complet diferit: 9,8695877281.

Trebuie remarcat aici că în multe probleme nu este nevoie să ridicați numere iraționale la o putere. De regulă, răspunsul este introdus fie sub forma, de fapt, a unui grad, de exemplu, rădăcina lui 6 la puterea lui 3, fie, dacă expresia permite, se realizează transformarea lui: rădăcina lui 5 la 7 grade \u003d 125 rădăcină de 5.

Cum să ridici un număr la o putere întreagă

Această manipulare algebrică este adecvată luați în considerare pentru următoarele cazuri:

pentru numere întregi;
pentru indicatorul zero;
pentru un număr întreg pozitiv.

Deoarece aproape toate numerele întregi pozitive coincid cu masa numerelor naturale, stabilirea acesteia la o putere întregă pozitivă este același proces ca și stabilirea acesteia în art. natural. Am descris acest proces în paragraful anterior.

Acum să vorbim despre calculul art. nul. Am aflat deja mai sus că puterea zero a numărului a poate fi determinată pentru orice a (real) diferit de zero, în timp ce a în st. 0 va fi egal cu 1.

În consecință, construcția oricărui număr real până la zero art. va da unul.

De exemplu, 10 în st.0=1, (-3.65)0=1 și 0 în st. 0 nu poate fi determinat.

Pentru a finaliza exponențiarea la o putere întreagă, rămâne de decis asupra opțiunilor pentru valori întregi negative. Ne amintim că art. de la a cu un exponent întreg -z va fi definit ca o fracție. La numitorul fracțiunii se află art. cu o valoare întreagă pozitivă, a cărei valoare am învățat deja să o găsim. Acum rămâne doar să luăm în considerare un exemplu de construcție.

Exemplu:

Calculați valoarea numărului 2 cub cu un întreg negativ.

Proces de rezolvare:

Conform definiției unui grad cu un indicator negativ, notăm: două în minus 3 linguri. egal cu unu la doi cu a treia putere.

Numitorul se calculează simplu: două cuburi;

3 = 2*2*2=8.

Răspuns: două până la minus a 3-a lingură. = o optime.

Primul nivel

Gradul și proprietățile sale. Ghid cuprinzător (2019)

De ce sunt necesare diplome? Unde ai nevoie de ele? De ce trebuie să petreci timp studiindu-le?

Pentru a afla totul despre diplome, pentru ce sunt acestea, cum să vă folosiți cunoștințele în viața de zi cu zi, citiți acest articol.

Și, bineînțeles, cunoașterea diplomelor te va aduce mai aproape de promovarea cu succes a OGE sau a examenului de stat unificat și de a intra în universitatea visurilor tale.

Sa mergem sa mergem!)

Notă importantă! Dacă, în loc de formule, vedeți farfurie, ștergeți memoria cache. Pentru a face acest lucru, apăsați CTRL+F5 (pe Windows) sau Cmd+R (pe Mac).

PRIMUL NIVEL

Exponentiația este aceeași operație matematică ca și adunarea, scăderea, înmulțirea sau împărțirea.

Acum voi explica totul în limbaj uman folosind exemple foarte simple. Fiţi atenți. Exemplele sunt elementare, dar explică lucruri importante.

Să începem cu adăugarea.

Nu este nimic de explicat aici. Știți deja totul: suntem opt. Fiecare are două sticle de cola. Câtă cola? Așa este - 16 sticle.

Acum înmulțirea.

Deci, pentru a număra mai repede, mai ușor și fără erori, trebuie doar să vă amintiți masa înmulțirii. Desigur, poți face totul mai încet, mai greu și cu greșeli! Dar…

Iată tabla înmulțirii. Repeta.

Și încă unul, mai frumos:

Și cu ce alte trucuri complicate de numărare au venit matematicienii leneși? Corect - ridicarea unui număr la o putere.

Ridicarea unui număr la o putere

Pentru a face acest lucru, aveți nevoie doar amintiți-vă ce este evidențiat cu culoare în tabelul puterilor numerelor. Crede-mă, îți va face viața mult mai ușoară.

Apropo, de ce se numește gradul doi pătrat numere, iar al treilea cub? Ce înseamnă? O intrebare foarte buna. Acum veți avea atât pătrate, cât și cuburi.

Exemplul #1 din viața reală

Să începem cu un pătrat sau cu a doua putere a unui număr.

Exemplul #2 din viața reală

Exemplul #3 din viața reală

Exemplul #4 din viața reală

Exemplul #5 din viața reală

Acum știi că ridicând un număr la o putere, îți vei face viața mult mai ușoară. Să aruncăm o privire în continuare la ceea ce poți face cu diplome și ce trebuie să știi despre ele.

Termeni și concepte... ca să nu se încurce

Ei bine, în același timp, ce o astfel de bază de grad? Și mai simplu este numărul care se află în partea de jos, la bază.

Iată o poză ca să fii sigur.

Ei bine, în termeni generali, pentru a generaliza și a aminti mai bine ... Un grad cu o bază „” și un indicator „” se citește ca „în grad” și se scrie după cum urmează:

Puterea unui număr cu exponent natural

Rezumat:

Să definim conceptul de grad, al cărui exponent este un număr natural (adică, întreg și pozitiv).

Orice număr la prima putere este egal cu el însuși:
A pătra un număr înseamnă a-l înmulți cu el însuși:
A cubi un număr înseamnă a-l înmulți cu el însuși de trei ori:

Definiție. A ridica un număr la o putere naturală înseamnă a înmulți numărul cu el însuși de ori:
.

Proprietăți de grad

De unde au venit aceste proprietăți? Îți voi arăta acum.

Să vedem ce este și ?

Prioritate A:

Câți multiplicatori există în total?

Este foarte simplu: am adăugat factori factori, iar rezultatul sunt factori.

Dar, prin definiție, acesta este gradul unui număr cu exponent, adică: , care trebuia demonstrat.

Exemplu: Simplificați expresia.

Decizie:

Exemplu: Simplificați expresia.

Decizie: Este important de reținut că în regula noastră neapărat trebuie sa fie acelasi motiv!
Prin urmare, combinăm gradele cu baza, dar rămânem un factor separat:

numai pentru produse ale puterilor!

Sub nicio formă nu trebuie să scrii asta.

2. adică -a-a putere a unui număr

La fel ca și în cazul proprietății anterioare, să ne întoarcem la definiția gradului:

Se dovedește că expresia este înmulțită cu ea însăși o dată, adică, conform definiției, aceasta este puterea a treia a numărului:

De fapt, acest lucru poate fi numit „bracketing the indicator”. Dar nu poți face niciodată asta în total:

Să ne amintim formulele de înmulțire prescurtată: de câte ori am vrut să scriem?

Dar asta nu este adevărat, într-adevăr.

Grad cu o bază negativă

Până în acest punct, am discutat doar care ar trebui să fie exponentul.

Dar care ar trebui să fie baza?

În grade de la indicator natural baza poate fi orice număr. Într-adevăr, putem înmulți orice număr unul cu celălalt, indiferent dacă sunt pozitive, negative sau chiar.

Să ne gândim ce semne (" " sau "") vor avea grade de numere pozitive și negative?

De exemplu, numărul va fi pozitiv sau negativ? DAR? ? Cu primul, totul este clar: indiferent câte numere pozitive ne înmulțim între ele, rezultatul va fi pozitiv.

Determinați singur ce semn vor avea următoarele expresii:

1)	2)	3)
4)	5)	6)

Ai reușit?

Iată răspunsurile: În primele patru exemple, sper că totul este clar? Pur și simplu ne uităm la bază și la exponent și aplicăm regula corespunzătoare.

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

În exemplul 5), totul nu este atât de înfricoșător pe cât pare: nu contează cu ce este egală baza - gradul este egal, ceea ce înseamnă că rezultatul va fi întotdeauna pozitiv.

Ei bine, cu excepția cazului în care baza este zero. Baza nu este aceeași, nu-i așa? Evident că nu, din moment ce (pentru că).

Exemplul 6) nu mai este atât de simplu!

6 exemple de practică

Analiza soluției 6 exemple

Dar cum să faci asta? Se dovedește că este foarte ușor: aici ne ajută gradul par al numitorului.

Termenii și-au schimbat locurile magic. Acest „fenomen” se aplică oricărei expresii într-un grad egal: putem schimba liber semnele dintre paranteze.

Dar este important de reținut: toate semnele se schimbă în același timp!

Să revenim la exemplu:

Și din nou formula:

întreg numim numerele naturale, contrariile lor (adica luate cu semnul "") si numarul.

număr întreg pozitiv, și nu este diferit de natural, atunci totul arată exact ca în secțiunea anterioară.

Acum să ne uităm la cazuri noi. Să începem cu un indicator egal cu.

Orice număr la puterea zero este egal cu unu:

Ca întotdeauna, ne întrebăm: de ce este așa?

Luați în considerare puțină putere cu o bază. Luați, de exemplu, și înmulțiți cu:

Deci, am înmulțit numărul cu și am obținut același lucru ca și -. Cu ce număr trebuie înmulțit ca să nu se schimbe nimic? Așa e, pe. Mijloace.

Putem face același lucru cu un număr arbitrar:

Să repetăm regula:

Orice număr la puterea zero este egal cu unu.

Dar există excepții de la multe reguli. Și aici este și acolo - acesta este un număr (ca bază).

De aici este deja ușor de exprimat dorit:

Acum extindem regula rezultată într-un grad arbitrar:

Deci, haideți să formulăm regula:

Un număr la o putere negativă este inversul aceluiași număr la o putere pozitivă. Dar in acelasi timp baza nu poate fi nulă:(pentru că este imposibil de împărțit).

Să rezumam:

I. Expresia nu este definită în caz. Daca atunci.

II. Orice număr la puterea zero este egal cu unu: .

III. Un număr care nu este egal cu zero la o putere negativă este inversul aceluiași număr cu o putere pozitivă: .

Sarcini pentru soluție independentă:

Ei bine, ca de obicei, exemple pentru o soluție independentă:

Analiza sarcinilor pentru soluție independentă:

Să continuăm să extindem gama de numere „potrivite” ca exponent.

Acum luați în considerare numere rationale. Ce numere se numesc raționale?

Răspuns: tot ceea ce poate fi reprezentat ca fracție, unde și sunt numere întregi, în plus.

Pentru a înțelege ce este "grad fractionar" Să luăm în considerare o fracție:

Să ridicăm ambele părți ale ecuației la o putere:

Acum amintiți-vă regula "grad la grad":

Ce număr trebuie ridicat la o putere pentru a obține?

Această formulare este definiția rădăcinii gradului al treilea.

Permiteți-mi să vă reamintesc: rădăcina puterii-a a unui număr () este un număr care, atunci când este ridicat la o putere, este egal.

Adică rădăcina gradului al-lea este operația inversă de exponențiere: .

Se pare că. Evident, acest caz special poate fi extins: .

Acum adăugați numărătorul: ce este? Răspunsul este ușor de obținut cu regula putere-la-putere:

Dar baza poate fi orice număr? La urma urmei, rădăcina nu poate fi extrasă din toate numerele.

Nici unul!

Amintiți-vă regula: orice număr ridicat la o putere pară este un număr pozitiv. Adică, este imposibil să extragi rădăcini de grad egal din numerele negative!

Și asta înseamnă că astfel de numere nu pot fi ridicate la o putere fracțională cu numitor par, adică expresia nu are sens.

Ce zici de exprimare?

Dar aici apare o problemă.

Numărul poate fi reprezentat ca alte fracții reduse, de exemplu, sau.

Și se dovedește că există, dar nu există, iar acestea sunt doar două înregistrări diferite ale aceluiași număr.

Sau un alt exemplu: o dată, atunci îl poți nota. Dar de îndată ce scriem indicatorul într-un mod diferit, avem din nou probleme: (adică am obținut un rezultat complet diferit!).

Pentru a evita astfel de paradoxuri, luați în considerare numai exponent de bază pozitiv cu exponent fracționar.

Astfel, dacă:

- numar natural;
este un număr întreg;