Profesorul de matematică Kochkina L.K.

Subiect SIMETRIILE AXIALE SI CENTRALE

Scopul sarcinii de lecție:

Să învețe cum să construiești puncte simetrice și să recunoști figuri cu simetrie axială și simetrie centrală, formarea reprezentărilor spațiale ale elevilor. Dezvoltarea capacității de observare și rațiune; dezvoltarea interesului pentru subiect prin utilizarea tehnologiei informaţiei. Dezvoltarea competențelor matematice ale elevilor. Creșterea unei persoane care știe să aprecieze frumosul.

Rezultatul așteptat Elevii vor putea construi figuri simetrice despre centru și linie.

Echipament pentru lecție:

Utilizarea tehnologiilor informaţionale (prezentare).

În timpul orelor

I. Moment organizatoric.

Informați subiectul lecției, formulați obiectivele lecției.

II. Prezentare care arată: „Lumea simetrică”(pentru studenti)

III. lucrați pe tema lecției(lucru de grup)

Elevii îndeplinesc temele pe cont propriu. La final, se face schimb de informații.

1 opțiune

punctul 47

simetrie axială

Opțiunea 2

punctul 47

simetrie centrală

Nu chiar

Nu chiar

Luați în considerare regulile de construire a figurilor simetrice.

1 .Simetria centrală este simetria față de un punct.

Punctele A și B sunt simetrice față de un punct O dacă punctul O este punctul de mijloc al segmentului AB.

Algoritm pentru construirea unei figuri simetrice central

Construim un triunghi A 1 B 1 C 1, simetric cu triunghiul ABC, față de centrul (punctul) O.

Pentru asta:

Conectați punctele A, B, C cu centrul O și continuați aceste segmente;

2. Măsurăm segmentele AO, VO, CO și punem deoparte pe cealaltă parte a punctului O, segmente egale cu ele (AO \u003d A 1 O 1, VO \u003d B 1 O 1, CO \u003d C 1 O 1);

3. Conectați punctele rezultate cu segmentele A 1 B 1, A 1 C 1, B 1 C 1.

4. Primit ∆A 1 LA 1 Cu 1 ∆ABC simetric.

Punctul O se numește centrul de simetrie al figurii, iar figura se numește simetric central.

Sarcina numărul 1 Figura prezintă o parte a figurii, al cărei centru de simetrie este punctul M. Explicați construcția acesteia

Sarcina numărul 2 Verificați corectitudinea construcției figurii de la nr. 1 cu un vecin în birou. Construiți un patrulater în caietul său și marcați punctul O, care nu aparține acestui patrulater. Luați-vă caietul înapoi și construiți un patrulater simetric cu cel dat în raport cu punctul O.

Verificați corectitudinea sarcinii finalizate.

2. Simetria axială - aceasta este simetria față de axa desenată (linia dreaptă).

Punctele A și B sunt simetrice față de o dreaptă a dacă aceste puncte se află pe o dreaptă perpendiculară pe cea dată și la aceeași distanță.

Axa de simetrie se numește linie dreaptă atunci când este îndoită de-a lungul căreia „jumătățile” coincid, iar figura se numește simetrică față de o anumită axă.

Algoritm pentru construirea unei figuri simetrice față de o dreaptă

Construim un triunghi A 1 B 1 C 1 , simetric cu triunghiul ABC în raport cu dreapta a.

Pentru asta:

1. Desenăm drepte din vârfurile triunghiului ABC perpendiculare pe dreapta a și le continuăm mai departe.

2. Măsurăm distanțele de la vârfurile triunghiului până la punctele rezultate de pe linia dreaptă și trasăm aceleași distanțe pe cealaltă parte a dreptei.

3. Conectați punctele rezultate cu segmentele A 1 B 1, B 1 C 1, B 1 C 1.

4. Primit ∆ A 1 LA 1 Cu 1 ∆ABC simetric.

Sarcini conform manualului nr. 248-252, nr. 261

efectuați construcția unei figuri simetrice față de dreapta a (pe tablă și în caiete).

VI. Rezumând lecția.

Reflecție Ce tipuri de simetrie ați întâlnit la lecție?

Teme pentru acasă:

Repetă definițiile. Muncă de creație: După ce ați studiat alfabetul rus (pentru opțiunea 1) și alfabetul latin (pentru opțiunea 2), alegeți acele litere care au simetrie. Emite rezultate ale cercetărilor în format A4. Cei care sunt interesați de acest subiect pot participa la proiectul creativ „Simetria în școala mea preferată”

Sarcina numărul 4 Completați tabelul:

Segment de linie

Drept

Ray

Pătrat

Un centru de simetrie

O infinitate de centre de simetrie

O axă de simetrie

Două axe de simetrie

Patru axe de simetrie

Infinit multe axe de simetrie

1 opțiune

punctul 47

simetrie axială

Opțiunea 2

punctul 47

simetrie centrală

Simetria axială este simetria despre ____________

Simetria centrală este simetria despre ________________

Două puncte A și A 1 se numesc simetrice față de dreapta a dacă ____________

Două puncte A și A 1 se numesc simetrice față de punctul O dacă _____________

Linia dreaptă a se numește _______________

Punctul O se numește _________________

O figură se numește simetrică față de o dreaptă, dacă pentru fiecare punct al figurii, punctul simetric cu aceasta aparține lui _________

O figură se numește simetrică față de punctul O dacă pentru fiecare punct al figurii, punctul simetric cu acesta aparține lui _______

Sunt figurile care sunt simetrice față de o dreaptă egală?

Nu chiar

Sunt figurile care sunt simetrice față de un punct egale?

Deci, în ceea ce privește geometria: există trei tipuri principale de simetrie.

În primul rând, simetrie centrală (sau simetrie în jurul unui punct) - aceasta este o transformare a planului (sau spațiului), în care singurul punct (punctul O - centrul de simetrie) rămâne pe loc, în timp ce restul punctelor își schimbă poziția: în loc de punctul A, obținem punctul A1 astfel încât punctul O să fie mijlocul segmentului AA1. Pentru a construi o figură Ф1, simetrică față de figura Ф față de punctul O, este necesar să se traseze o rază prin fiecare punct al figurii Ф care trece prin punctul O (centrul de simetrie), iar pe această rază să se stabilească deoparte un punct simetric cu cel ales faţă de punctul O. Mulţimea de puncte astfel construită va da o figură F1.

De mare interes sunt figurile care au un centru de simetrie: cu simetrie în jurul punctului O, orice punct al figurii F este din nou transformat într-un punct al figurii F. Există multe astfel de figuri în geometrie. De exemplu: un segment (mijlocul segmentului este centrul de simetrie), o linie dreaptă (oricare dintre punctele sale este centrul simetriei sale), un cerc (centrul cercului este centrul de simetrie), un dreptunghi (punctul de intersecție al diagonalelor sale este centrul de simetrie). Există multe obiecte simetrice central în natura animată și neînsuflețită (comunicarea elevilor). Adesea, oamenii înșiși creează obiecte care au un centru de simetrierii (exemple din lucrari de ac, exemple din inginerie mecanica, exemple din arhitectura si multe alte exemple).

În al doilea rând, simetrie axială (sau simetrie în jurul unei linii) - aceasta este o transformare a planului (sau spațiului), în care doar punctele dreptei p rămân pe loc (aceasta dreaptă este axa de simetrie), în timp ce restul punctelor își schimbă poziția: în locul punctului B , obținem un astfel de punct B1 încât dreapta p este bisectoarea perpendiculară pe segmentul BB1 . Pentru a construi o figură Φ1 simetrică cu figura Φ în raport cu dreapta p, este necesar ca fiecare punct al figurii Φ să construiască un punct simetric față de aceasta în raport cu dreapta p. Mulțimea tuturor acestor puncte construite dă cifra necesară Ф1. Există multe forme geometrice care au o axă de simetrie.

Un dreptunghi are două, un pătrat are patru, un cerc are orice linie dreaptă care trece prin centru. Dacă te uiți cu atenție la literele alfabetului, atunci printre ele le poți găsi pe cele care au o axă orizontală sau verticală și, uneori, ambele axe de simetrie. Obiectele cu axe de simetrie sunt destul de frecvente în natura animată și neînsuflețită (rapoartele elevilor). În activitatea sa, o persoană creează multe obiecte (de exemplu, ornamente) care au mai multe axe de simetrie.

______________________________________________________________________________________________________

În al treilea rând, simetrie plană (oglindă) (sau simetrie față de un plan) - aceasta este o transformare a spațiului, în care doar punctele unui plan își păstrează locația (α-planul de simetrie), punctele rămase ale spațiului își schimbă poziția: în locul punctului C se obține un astfel de punct C1 încât planul α trece prin mijlocul segmentului CC1, perpendicular pe acesta.

Pentru a construi o figură Ф1, simetrică față de figura Ф față de planul α, este necesar ca fiecare punct al figurii Ф să construiască puncte simetrice față de α, ele formând figura Ф1 în mulțimea lor.

Cel mai adesea, în lumea lucrurilor și obiectelor din jurul nostru, întâlnim corpuri tridimensionale. Și unele dintre aceste corpuri au planuri de simetrie, uneori chiar mai multe. Iar omul însuși în activitățile sale (construcții, ac, modelaj, ...) creează obiecte cu planuri de simetrie.

Este de remarcat faptul că, alături de cele trei tipuri de simetrie enumerate, există (în arhitectură)portabil și pivotant, care în geometrie sunt compoziții ale mai multor mișcări.

„Punctul de simetrie” – Simetria în arhitectură. Exemple de simetrie a figurilor plane. Două puncte A și A1 se numesc simetrice față de O dacă O este punctul de mijloc al segmentului AA1. Exemple de figuri cu simetrie centrală sunt cercul și paralelogramul. Punctul C se numește centru de simetrie. Simetrie în știință și tehnologie.

„Constructia formelor geometrice” – Aspect educativ. Controlul și corectarea asimilării. Studiul teoriei pe care se bazează metoda. În stereometrie - nu construcții stricte. Construcții stereometrice. metoda algebrică. Metoda de transformare (similaritate, simetrie, translație paralelă etc.). De exemplu: drept; bisectoare unghiulară; perpendiculară mediană.

„Figura umană” - Forma și mișcarea corpului uman sunt în mare măsură determinate de schelet. Târg cu spectacol de teatru. Crezi că există un loc de muncă pentru un artist la circ? Scheletul joacă rolul unui cadru în structura figurii. Corpul principal (burtă, piept) Nu a fost atent Cap, față, mâini. A. Mathis. Proporții. Grecia antică.

"Simetrie despre o dreaptă" - Simetria despre o dreaptă se numește simetrie axială. Linia dreaptă a este axa de simetrie. Simetrie despre o linie dreaptă. Bulavin Pavel, clasa 9B. Câte axe de simetrie are fiecare figură? O figură poate avea una sau mai multe axe de simetrie. simetria centrală. Trapez equoscel. Dreptunghi.

„Geometria pătratelor figurilor” – teorema lui Pitagora. Zone de diferite figuri. Rezolvă puzzle-ul. Figurile cu arii egale se numesc arii egale. Unități de zonă. Aria unui triunghi. Dreptunghi, triunghi, paralelogram. centimetru pătrat. Cifre de suprafață egală. Cifre egale b). milimetru pătrat. în). Care va fi aria figurii formate din figurile A și D.

„Limita unei funcții într-un punct” - Apoi, în acest caz. Când te străduiești. Limita unei funcții într-un punct. Continuă la un punct. Egal cu valoarea funcției în. Dar când se calculează limita funcției la. Egal cu valoare. Expresie. Aspiraţie. Sau poți spune așa: într-un cartier suficient de mic al punctului. Compilat din. Decizie. Continuă pe intervale. Intre.

Omotezia și asemănarea.Omotezia - o transformare în care fiecare punct M (plan sau spațiu) i se atribuie un punct M", întins pe OM (Fig. 5.16), iar raportul OM":OM= λ la fel pentru toate punctele, altele decât O. punct fix O se numește centru de homotezie. Atitudine OM": OM considerat pozitiv dacă M" și M intins pe o parte a O, negativ - pe părți opuse. Număr X se numește coeficient de homotezie. La X< 0 homotezia se numește inversă. Laλ = - 1 omotezia devine o transformare de simetrie în jurul unui punct O. Cu omotezie, o dreaptă trece într-o dreaptă, se păstrează paralelismul dreptelor și planelor, se păstrează unghiurile (liniare și diedre), fiecare figură trece în ea similare (Fig. 5.17).

Este adevărat și invers. O homotezie poate fi definită ca o transformare afină în care liniile care leagă punctele corespunzătoare trec printr-un punct - centrul homoteției. Omotetia este folosita pentru marirea imaginilor (lampa de proiectie, cinema).

Simetrie centrală și oglindă.Simetria (în sens larg) este o proprietate a unei figuri geometrice Ф, care caracterizează o anumită corectitudine a formei sale, invarianța sa sub acțiunea mișcărilor și reflexiilor. Figura Ф are simetrie (simetrică) dacă există transformări ortogonale neidentice care iau această figură în sine. Setul tuturor transformărilor ortogonale care combină figura Ф cu ea însăși este grupul acestei figuri. Deci, o figură plată (Fig. 5.18) cu un punct M, transformând-

Xia în tine cu o oglindă reflexie, simetrică față de axa dreaptă AB. Aici grupul de simetrie este format din două elemente - punctul M convertit la M".

Dacă figura Ф din plan este de așa natură încât rotațiile în jurul unui punct O printr-un unghi de 360°/n, unde n > 2 este un număr întreg, transformați-l în sine, atunci figura Ф are simetrie de ordinul n-a față de punct O - centru de simetrie. Un exemplu de astfel de figuri sunt poligoane regulate, de exemplu, în formă de stea (Fig. 5.19), care au simetrie de ordinul al optulea în jurul centrului său. Grupul de simetrie aici este așa-numitul grup ciclic de ordinul n-lea. Cercul are simetrie de ordine infinită (deoarece este combinat cu el însuși prin rotire prin orice unghi).

Cele mai simple tipuri de simetrie spațială este simetria centrală (inversiunea). În acest caz, cu privire la punct O figura Ф este combinată cu ea însăși după reflexii succesive din trei plane reciproc perpendiculare, adică punctul O - mijlocul segmentului care leagă punctele simetrice F. Deci, pentru cub (Fig. 5.20) punctul O este centrul de simetrie. puncte cub M și M".

Viața umană este plină de simetrie. Este convenabil, frumos, nu este nevoie să inventezi noi standarde. Dar ce este ea cu adevărat și este la fel de frumoasă în natură cum se crede în mod obișnuit?

Simetrie

Din cele mai vechi timpuri, oamenii au căutat să simplifice lumea din jurul lor. Prin urmare, ceva este considerat frumos și ceva nu este așa. Din punct de vedere estetic, secțiunile de aur și argintiu sunt considerate atractive, precum și, bineînțeles, simetria. Acest termen este de origine greacă și înseamnă literal „proporție”. Desigur, vorbim nu numai despre coincidență pe această bază, ci și despre unele altele. Într-un sens general, simetria este o astfel de proprietate a unui obiect atunci când, ca urmare a anumitor formațiuni, rezultatul este egal cu datele originale. Se găsește atât în ​​natura animată, cât și în cea neînsuflețită, precum și în obiectele realizate de om.

În primul rând, termenul de „simetrie” este folosit în geometrie, dar își găsește aplicare în multe domenii științifice, iar sensul său rămâne în general neschimbat. Acest fenomen este destul de comun și este considerat interesant, deoarece mai multe dintre tipurile sale, precum și elementele, diferă. Utilizarea simetriei este, de asemenea, interesantă, deoarece se găsește nu numai în natură, ci și în ornamentele de pe țesătură, construcția de granițe și multe alte obiecte create de om. Merită să luați în considerare acest fenomen mai detaliat, deoarece este extrem de incitant.

Utilizarea termenului în alte domenii științifice

În viitor, simetria va fi luată în considerare din punct de vedere al geometriei, dar este de menționat că acest cuvânt este folosit nu numai aici. Biologie, virologie, chimie, fizică, cristalografie - toate acestea reprezintă o listă incompletă de domenii în care acest fenomen este studiat din unghiuri diferite și în diferite condiții. Clasificarea, de exemplu, depinde de știința la care se referă acest termen. Astfel, împărțirea în tipuri variază foarte mult, deși unele de bază, poate, rămân neschimbate peste tot.

Clasificare

Există mai multe tipuri de simetrie de bază, dintre care trei sunt cele mai comune:

În plus, următoarele tipuri se disting și în geometrie, ele sunt mult mai puțin comune, dar nu mai puțin curioase:

• alunecare;
• rotativ;
• punct;
• progresivă;
• şurub;
• fractal;
• etc.

În biologie, toate speciile sunt numite oarecum diferit, deși de fapt pot fi la fel. Împărțirea în anumite grupe are loc pe baza prezenței sau absenței, precum și a numărului anumitor elemente, precum centrele, planurile și axele de simetrie. Ele ar trebui luate în considerare separat și mai detaliat.

Elemente de baza

Unele trăsături se disting în fenomen, dintre care una este în mod necesar prezentă. Așa-numitele elemente de bază includ plane, centre și axe de simetrie. Tipul este determinat în funcție de prezența, absența și cantitatea acestora.

Centrul de simetrie este punctul din interiorul figurii sau al cristalului, în care liniile converg, conectând în perechi toate laturile paralele între ele. Desigur, nu există întotdeauna. Dacă există laturi la care nu există o pereche paralelă, atunci un astfel de punct nu poate fi găsit, deoarece nu există. Conform definiției, este evident că centrul de simetrie este acela prin care figura poate fi reflectată în sine. Un exemplu este, de exemplu, un cerc și un punct în mijlocul acestuia. Acest element este de obicei denumit C.

Planul de simetrie, desigur, este imaginar, dar ea este cea care împarte figura în două părți egale una cu cealaltă. Poate trece printr-una sau mai multe laturi, poate fi paralelă cu aceasta sau le poate împărți. Pentru aceeași figură pot exista mai multe avioane deodată. Aceste elemente sunt denumite de obicei P.

Dar poate cel mai comun este ceea ce se numește „axe de simetrie”. Acest fenomen frecvent poate fi observat atât în ​​geometrie, cât și în natură. Și merită o analiză separată.

topoare

Adesea, elementul față de care figura poate fi numită simetrică,

este o linie dreaptă sau un segment. În orice caz, nu vorbim despre un punct sau un avion. Apoi sunt luate în considerare cifrele. Pot fi o mulțime de ele și pot fi amplasate în orice fel: împărțiți laturile sau să fie paralele cu ele, precum și colțurile transversale sau nu. Axele de simetrie sunt de obicei notate cu L.

Exemplele sunt isoscele și În primul caz va exista o axă verticală de simetrie, pe ambele părți ale cărei fețe sunt egale, iar în al doilea liniile vor intersecta fiecare unghi și vor coincide cu toate bisectoarele, medianele și înălțimile. Triunghiurile obișnuite nu o au.

Apropo, totalitatea tuturor elementelor de mai sus din cristalografie și stereometrie se numește grad de simetrie. Acest indicator depinde de numărul de axe, planuri și centre.

Exemple în geometrie

Este posibil să se împartă în mod condiționat întregul set de obiecte de studiu ale matematicienilor în figuri care au o axă de simetrie și cele care nu au. Toate cercurile, ovalele, precum și unele cazuri speciale se încadrează automat în prima categorie, în timp ce restul se încadrează în a doua grupă.

Ca și în cazul când s-a spus despre axa de simetrie a triunghiului, acest element pentru patrulater nu există întotdeauna. Pentru un pătrat, dreptunghi, romb sau paralelogram, este, dar pentru o figură neregulată, în consecință, nu este. Pentru un cerc, axa de simetrie este mulțimea de drepte care trec prin centrul său.

În plus, este interesant să luăm în considerare cifrele volumetrice din acest punct de vedere. Cel puțin o axă de simetrie, pe lângă toate poligoanele regulate și mingea, va avea unele conuri, precum și piramide, paralelograme și altele. Fiecare caz trebuie luat în considerare separat.

Exemple în natură

În viață se numește bilateral, apare cel mai mult
de multe ori. Orice persoană și foarte multe animale sunt un exemplu în acest sens. Cel axial se numește radial și este mult mai puțin obișnuit, de regulă, în lumea plantelor. Și totuși sunt. De exemplu, merită să luăm în considerare câte axe de simetrie are o stea și le are deloc? Desigur, vorbim despre viața marină, și nu despre subiectul de studiu al astronomilor. Și răspunsul corect ar fi acesta: depinde de numărul de raze ale stelei, de exemplu, cinci, dacă are cinci colțuri.

În plus, simetria radială este observată în multe flori: margarete, floarea de colț, floarea soarelui etc. Există un număr mare de exemple, ele sunt literalmente peste tot în jur.

Aritmie

Acest termen, în primul rând, amintește cel mai mult de medicină și cardiologie, dar inițial are un înțeles ușor diferit. LA acest caz un sinonim va fi „asimetrie”, adică absența sau încălcarea regularității într-o formă sau alta. Poate fi găsit ca un accident, iar uneori poate fi un dispozitiv frumos, de exemplu, în îmbrăcăminte sau arhitectură. La urma urmei, există o mulțime de clădiri simetrice, dar celebra este ușor înclinată și, deși nu este singura, acesta este cel mai faimos exemplu. Se știe că acest lucru s-a întâmplat întâmplător, dar asta are propriul său farmec.

În plus, este evident că fețele și corpurile oamenilor și animalelor nu sunt, de asemenea, complet simetrice. Au existat chiar studii, conform rezultatelor cărora fețele „corecte” erau considerate neînsuflețite sau pur și simplu neatractive. Totuși, percepția simetriei și acest fenomen în sine sunt uimitoare și nu au fost încă studiate pe deplin și, prin urmare, extrem de interesante.