„Prismă de corp geometric” - Paralepiped dreptunghiular. Dreptunghi. Secțiuni diagonale. Teorema lui Pitagora. Cantitatea de suprafețe. Noduri. baza prismei. Care este numele prismei prezentate în figură. Luptă de matematică. Decizie. Prismă. Ce este o prismă dreaptă. Cunoștințe primite. Diagonala unei prisme triunghiulare regulate.
„Prismă figură” - Definiția unei prisme. Prismă înclinată și dreaptă. Să demonstrăm mai întâi teorema pentru o prismă triunghiulară. Tipuri de prisme. Volumul unei prisme înclinate. Prismă. Aria suprafeței laterale a prismei. Suprafața totală a prismei. Să demonstrăm acum teorema pentru o prismă arbitrară. prismă corectă.
„Volumul prismei” - Zona S a bazei prismei originale. Rezolvarea problemei. Obiectivele lecției. Volumul prismei originale este egal cu produsul S · h. Volumul unei prisme drepte. Prisma poate fi împărțită în prisme triunghiulare drepte cu înălțimea h. Conceptul de prismă. Desenați altitudinea triunghiului ABC. Întrebări. Studiul teoremei volumului prismei. Pași de bază în demonstrarea teoremei prismei directe?
„Conceptul unei prisme” - Aria suprafeței totale a unei prisme. prismă directă. Aria suprafeței laterale a prismei. Poligon. Secțiuni cu prisme. prismă corectă. Prisme întâlnite în viață. prisme triunghiulare. Dovada. Volumul unei prisme înclinate. Definiția prismei. Prismă înclinată și dreaptă. Tipuri de prisme. Prismă.
„Proprietățile unei prisme” - Există prisme înclinate în care poate fi înscrisă o sferă. proprietăţile prismei. Condiția formulată pentru o prismă dreaptă. Cilindru. Prismă. Secțiunea transversală a unui cilindru. Formula a trei cosinusuri. Baza. prisma triunghiulara. Teorema sinusului pentru un unghi triedric. Marginea unei prisme triunghiulare. În jurul căruia dintre varietățile de prisme poți descrie întotdeauna o sferă.
„Conceptul de poliedru prism” - În secțiune se formează un paralelogram. Consecinţă. proprietăţile prismei. Termenul „prismă” este de origine greacă și înseamnă literal „tăiat” (corp). Suprafața prismei și suprafața laterală a prismei. O astfel de secțiune se numește secțiunea diagonală a prismei. Având în vedere: Latura bazei unei prisme triunghiulare regulate este de 8 cm, marginea laterală este de 6 cm.
„Volumul corpurilor” - Ф (x). F(x1). Volumul unei prisme oblice, al unei piramide și al unui con. Ф(хi). F(x2). a x b x. Când a = x și b = x, un punct poate degenera într-o secțiune, de exemplu, la x = a.
„Sfera de aplicare a conceptului” - 1. Suprafața totală a cubului este de 6 m2. Sau volumul unui paralelipiped dreptunghiular este egal cu produsul dintre suprafața bazei și înălțimea. Volumul unui cilindru este egal cu produsul dintre suprafața bazei și înălțimea. În timpul lecției, se efectuează o muncă de testare diferențiată folosind teste. Volumele corpurilor geometrice.
„Volume” – Exercițiul 7. Exercițiul 8 *. Nervurile laterale sunt egale cu 3 și fac un unghi de 45o cu planul de bază. Volumul prismei înclinate este 3. Fața paralelipipedului este un romb cu latura de 1 și un unghi ascuțit de 60°. Volumul unei prisme înclinate 1. Răspuns: Un plan care trece prin centrele de simetrie ale paralelipipedelor. Principiul lui Cavalieri.
„Volumele corpurilor” - Volumul piramidei este egal cu o treime din produsul bazei și al înălțimii. Volumul piramidei. Volumul cilindrului. 2010 h. V=1/3S*h. Volume de corpuri similare. V=a*b*c. Volumul unei prisme drepte. volume de tel Consecinţă. Volumul unei prisme înclinate. Volumul unei prisme înclinate este egal cu produsul dintre suprafața bazei și înălțimea. Volumul unui cilindru este egal cu produsul dintre suprafața bazei și înălțimea.
EXPLICAȚIA TEXTULUI A LECȚIEI:
Astăzi vom deriva formula pentru volumul unei prisme înclinate folosind integrala.
Amintiți-vă ce este o prismă și ce fel de prismă se numește oblică?
O PRISMĂ este un poliedru ale cărui două fețe (baze) sunt poligoane egale situate în plane paralele, iar celelalte fețe (laturi) sunt paralelograme.
Dacă marginile laterale ale prismei sunt perpendiculare pe planul bazei, atunci prisma este dreaptă, în caz contrar prisma se numește oblică.
Volumul unei prisme înclinate este egal cu produsul dintre suprafața bazei și înălțimea.
1) Se consideră o prismă triunghiulară înclinată VSEB2C2E2. Volumul acestei prisme este V, aria bazei este S, iar înălțimea este h.
Să folosim formula: volumul este egal cu integrala de la 0 la h S din x de x.
V= , unde este aria secțiunii perpendiculară pe axa Ox. Alegem axa Ox, iar punctul O este originea coordonatelor și se află în planul ALL (baza inferioară a prismei înclinate). Direcția axei Ox este perpendiculară pe planul ALL. Apoi axa Ox intersectează planul în punctul h și desenăm planul E1 paralel cu bazele prismei înclinate și perpendicular pe axa Ox. Deoarece planele sunt paralele și fețele laterale sunt paralelograme, atunci BE=, CE=C1E1=C2E2; BC=B1C1=B2C2
De unde rezultă că triunghiurile ALL = E2 sunt egale pe trei laturi. Dacă triunghiurile sunt congruente, atunci ariile lor sunt egale. Aria unei secțiuni arbitrare S (x) este egală cu aria bazei Fiului.
LA acest caz aria de bază este constantă. Luăm 0 și h drept limite de integrare. Obținem formula: volumul este egal cu integrala de la 0 la h S din x de x sau integrala de la 0 la h a aria bazei din x de x, aria bazei este o constantă (valoare constantă), putem scoate-l din semnul integral și rezultă că integrala de la 0 la h de x este egală cu cenușă minus 0:
Se pare că volumul unei prisme înclinate este egal cu produsul dintre suprafața bazei și înălțimea.
2) Să demonstrăm această formulă pentru o prismă înclinată n-gonală arbitrară. Pentru a demonstra acest lucru, să luăm o prismă pentagonală înclinată. Să împărțim prisma înclinată în mai multe prisme triunghiulare, în acest caz, în trei (la fel ca în demonstrarea teoremei asupra volumului unei prisme drepte). Să notăm volumul prismei înclinate ca V. Atunci volumul prismei înclinate va consta din suma volumelor a trei prisme triunghiulare (după proprietatea volumelor).
V \u003d V1 + V2 + V3 și căutăm volumul unei prisme triunghiulare prin formula: volumul unei prisme înclinate este egal cu produsul dintre suprafața bazei și înălțimea.
Aceasta înseamnă că volumul unei prisme înclinate este egal cu suma produselor dintre ariile bazei și înălțimea, punem înălțimea h din paranteze (deoarece este același pentru trei prisme) și obținem:
Teorema a fost demonstrată.
Marginea laterală a prismei înclinate este de 4 cm, formând un unghi de 30 ° cu planul bazei. Laturile triunghiului care se află la bază sunt de 12, 12 și 14 cm. Aflați volumul prismei înclinate.
Având în vedere: - prismă înclinată,
AB = 12 cm, BC = 12 cm, AC = 14 cm, B = 4 cm, BK = 30°.
Găsiți: V - ?
Construcție suplimentară: Într-o prismă înclinată, desenăm înălțimea H.
Știm că volumul unei prisme înclinate este egal cu produsul dintre suprafața bazei și înălțimea.
Un triunghi arbitrar se află la baza prismei înclinate, pentru care toate laturile sunt cunoscute, ceea ce înseamnă că aplicăm formula lui Heron: aria triunghiului este egală cu rădăcina pătrată a produsului lui pe ori pe diferența pe și a, diferența pe și be, diferența pe și ce, unde pe este triunghiul semiperimetrul, pe care îl căutăm prin formula: jumătate din suma tuturor laturilor a, b și c:
luați în considerare semiperimetrul:
Înlocuiți valoarea semiperimetrului în formula pentru aria bazei, simplificați și obțineți răspunsul: șapte rădăcini a lui 95.
Se consideră ΔB H. Este dreptunghiulară, deoarece H este înălțimea prismei înclinate. Din definiția sinusului, catetul este egal cu produsul ipotenuzei și sinusul unghiului opus
valoarea sinusului de 30 ° este egală cu o secundă, ceea ce înseamnă
Am învățat asta
Și înălțimea H - înălțimea prismei înclinate - este egală cu 2.
Prin urmare, volumul este
Capacitatea de a determina volumul figurilor spațiale este importantă pentru rezolvarea problemelor geometrice și practice. Una dintre aceste figuri este o prismă. Să luăm în considerare în articol ce este și să arătăm cum să calculăm volumul unei prisme înclinate.
Ce se înțelege prin prismă în geometrie?
Vorbim despre un poliedru obișnuit (poliedru), care este format din două baze identice situate în planuri paralele, și mai multe paralelograme care leagă bazele marcate.
Bazele unei prisme pot fi poligoane arbitrare, cum ar fi triunghiul, patrulaterul, heptagonul și așa mai departe. Mai mult, numărul de unghiuri (laturile) poligonului determină numele figurii.
Orice prismă cu o bază n-gon (n este numărul de laturi) constă din n+2 fețe, 2 × n vârfuri și 3 × n muchii. Din numerele date se poate observa că numărul de elemente ale prismei corespunde teoremei lui Euler:
3 x n = 2 x n + n + 2 - 2
Figura de mai jos arată cum arată prismele triunghiulare și patrulatere din sticlă.
Tipuri de figuri. prismă înclinată
S-a spus deja mai sus că numele prismei este determinat de numărul de laturi ale poligonului de la bază. Cu toate acestea, există și alte caracteristici în structura sa care determină proprietățile figurii. Deci, dacă toate paralelogramele care formează suprafața laterală a prismei sunt reprezentate prin dreptunghiuri sau pătrate, atunci o astfel de figură se numește linie dreaptă. Căci distanța dintre baze este egală cu lungimea marginii laterale a oricărui dreptunghi.
Dacă unele sau toate laturile sunt paralelograme, atunci vorbim despre o prismă înclinată. Înălțimea sa va fi deja mai mică decât lungimea nervurii laterale.
Un alt criteriu prin care se realizează clasificarea figurilor luate în considerare este lungimea laturilor și unghiurile poligonului de la bază. Dacă sunt egale între ele, atunci poligonul va fi corect. O figură dreaptă cu un poligon regulat la baze se numește regulată. Este convenabil să lucrați cu el atunci când determinați suprafața și volumul. O prismă înclinată în acest sens prezintă unele dificultăți.
Figura de mai jos prezintă două prisme având o bază pătraunghiulară. Unghiul de 90° arată diferența fundamentală dintre o prismă dreaptă și cea oblică.
Formula pentru determinarea volumului unei figuri
Partea de spațiu delimitată de marginile unei prisme se numește volum. Pentru cifrele considerate de orice tip, această valoare poate fi determinată prin următoarea formulă:
Aici, simbolul h indică înălțimea prismei, care este o măsură a distanței dintre cele două baze. Simbolul S o - o zonă de bază.
Zona de bază este ușor de găsit. Având în vedere faptul că poligonul este regulat sau nu și știind numărul laturilor sale, ar trebui să aplicați formula corespunzătoare și să obțineți S o . De exemplu, pentru un n-gon obișnuit cu lungimea laturii a, aria va fi:
S n \u003d n / 4 × a 2 × ctg (pi / n)
Acum să trecem la înălțimea h. Pentru o prismă dreaptă, determinarea înălțimii nu este dificilă, dar pentru o prismă oblică, aceasta nu este o sarcină ușoară. Poate fi rezolvată prin diverse metode geometrice, pornind de la condiții inițiale specifice. Cu toate acestea, există o modalitate universală de a determina înălțimea unei figuri. Să o descriem pe scurt.
Ideea este de a afla distanța de la un punct din spațiu la un plan. Să presupunem că planul este dat de ecuația:
A × x + B × y + C × z + D = 0
Apoi de la punctul cu coordonatele (x 1; y 1; z 1) planul va fi la o distanta:
h = |A × x 1 + B × y 1 + C × z 1 + D| / √ (A 2 + B 2 + C 2)
Dacă axele de coordonate sunt aranjate astfel încât punctul (0; 0; 0) să se afle în planul bazei inferioare a prismei, atunci ecuația pentru planul bazei poate fi scrisă după cum urmează:
Aceasta înseamnă că formula pentru înălțime va fi scrisă astfel:
Este suficient să găsiți coordonatele z a oricărui punct al bazei superioare pentru a determina înălțimea figurii.
Exemplu de rezolvare a problemei
În figura de mai jos, baza unei prisme înclinate este un pătrat cu latura de 10 cm.Este necesar să se calculeze volumul acestuia dacă se știe că lungimea marginii laterale este de 15 cm, iar unghiul ascuțit al frontalului paralelogramul este de 70 °.
Deoarece înălțimea h a figurii este și înălțimea paralelogramului, folosim formule pentru a determina aria sa pentru a găsi h. Notăm laturile paralelogramului după cum urmează:
Apoi putem scrie pentru el următoarele formule pentru determinarea ariei S p:
S p \u003d a × b × sin (α);
De unde obținem:
Aici α este unghiul ascuțit al paralelogramului. Deoarece baza este un pătrat, formula pentru volumul unei prisme înclinate va lua forma:
V = a 2 × b × sin(α)
Înlocuim datele din condiție în formulă și obținem răspunsul: V ≈ 1410 cm 3.
Volumul este o caracteristică a oricărei figuri care are dimensiuni diferite de zero în toate cele trei dimensiuni ale spațiului. În acest articol, din punctul de vedere al stereometriei (geometria figurilor spațiale), vom lua în considerare o prismă și vom arăta cum să găsim volumele prismelor de diferite tipuri.
Stereometria are un răspuns exact la această întrebare. O prismă în ea este înțeleasă ca o figură formată din două fețe poligonale identice și mai multe paralelograme. Figura de mai jos prezintă patru prisme diferite.
Fiecare dintre ele poate fi obținut după cum urmează: trebuie să luați un poligon (triunghi, patrulater și așa mai departe) și un segment de o anumită lungime. Apoi fiecare vârf al poligonului ar trebui să fie transferat folosind segmente paralele într-un alt plan. În noul plan, care va fi paralel cu cel inițial, se va obține un nou poligon, similar celui ales inițial.
Prismele pot fi de diferite tipuri. Deci, ele pot fi drepte, oblice și corecte. Dacă marginea laterală a prismei (segmentul care leagă vârfurile bazelor) este perpendiculară pe bazele figurii, atunci aceasta din urmă este o linie dreaptă. În consecință, dacă această condiție nu este îndeplinită, atunci vorbim despre o prismă înclinată. O figură obișnuită este o prismă dreaptă cu o bază echiunghiulară și echilaterală.
Volumul prismelor regulate
Să începem cu cel mai simplu caz. Dăm formula pentru volumul unei prisme regulate cu o bază n-gonală. Formula de volum V pentru orice figură a clasei luate în considerare are următoarea formă:
Adică, pentru a determina volumul, este suficient să calculați aria osului bazelor S o și să o înmulțiți cu înălțimea h a figurii.
În cazul unei prisme regulate, notăm lungimea laturii bazei acesteia cu litera a, iar înălțimea, care este egală cu lungimea marginii laterale, cu litera h. Dacă baza n-gonului este corectă, atunci cel mai simplu mod de a-și calcula aria este să utilizați următoarea formulă universală:
S n \u003d n / 4 * a2 * ctg (pi / n).
Înlocuind în egalitate valoarea numărului de laturi n și lungimea unei laturi a, puteți calcula aria bazei n-cărbune. Rețineți că funcția cotangentă aici este calculată pentru unghiul pi/n, care este exprimat în radiani.
Ținând cont de egalitatea scrisă pentru S n, obținem formula finală pentru volumul unei prisme regulate:
Vn = n/4*a2*h*ctg(pi/n).
Pentru fiecare caz specific, se pot nota formulele corespunzătoare pentru V, dar toate rezultă fără ambiguitate din expresia generală scrisă. De exemplu, pentru o prismă patruunghiulară obișnuită, care în cazul general este un paralelipiped dreptunghiular, obținem:
V 4 \u003d 4/4 * a2 * h * ctg (pi / 4) \u003d a2 * h.
Dacă luăm h=a în această expresie, atunci obținem o formulă pentru volumul unui cub.
Volumul prismelor drepte
Observăm imediat că pentru cifrele drepte nu există o formulă generală pentru calcularea volumului, care a fost dată mai sus pentru prismele obișnuite. La găsirea cantității luate în considerare, trebuie folosită expresia originală:
Aici h este lungimea marginii laterale, ca în cazul precedent. În ceea ce privește aria de bază S o , aceasta poate lua o varietate de valori. Sarcina de a calcula o prismă dreaptă de volum se reduce la găsirea zonei bazei sale.
Calculul valorii lui S o ar trebui efectuat pe baza caracteristicilor bazei în sine. De exemplu, dacă este un triunghi, atunci aria poate fi calculată după cum urmează:
Aici h a este apotema triunghiului, adică înălțimea lui coborâtă la baza a.
Dacă baza este un patrulater, atunci poate fi un trapez, un paralelogram, un dreptunghi sau un tip complet arbitrar. Pentru toate aceste cazuri, ar trebui să utilizați formula de planimetrie adecvată pentru a determina zona. De exemplu, pentru un trapez, această formulă arată astfel:
S o4 \u003d 1/2 * (a 1 + a 2) * h a .
Unde h a este înălțimea trapezului, a 1 și a 2 sunt lungimile laturilor sale paralele.
Pentru a determina aria poligoanelor de ordin superior, ar trebui să le împărțim în figuri simple (triunghiuri, patrulatere) și să calculăm suma ariilor acestora din urmă.
Volumul prismelor înclinate
Acesta este cel mai dificil caz de calcul al volumului unei prisme. Se aplică și formula generală pentru astfel de cifre:
Cu toate acestea, la complexitatea găsirii zonei bazei reprezentând un tip arbitrar de poligon, se adaugă problema determinării înălțimii figurii. Într-o prismă înclinată, este întotdeauna mai mică decât lungimea marginii laterale.
Cel mai simplu mod de a găsi această înălțime este dacă cunoașteți orice unghi al figurii (plat sau diedru). Dacă este dat un astfel de unghi, atunci ar trebui să îl folosiți pentru a construi un triunghi dreptunghic în interiorul prismei, care ar conține înălțimea h ca una dintre laturi și, folosind funcții trigonometrice și teorema lui Pitagora, să găsiți valoarea h.
Problema volumului geometric
Având în vedere o prismă regulată cu bază triunghiulară, având înălțimea de 14 cm și lungimea laturii de 5 cm.Care este volumul unei prisme triunghiulare?
Din moment ce vorbim despre cifra corectă, avem dreptul să folosim formula binecunoscută. Noi avem:
V 3 = 3/4*a2*h*ctg(pi/3) = 3/4*52*14*1/√3 = √3/4*25*14 = 151,55 cm3.
O prismă triunghiulară este o figură destul de simetrică, sub forma căreia sunt adesea realizate diferite structuri arhitecturale. Această prismă de sticlă este folosită în optică.
