slide 3

Gorner Williams George (1786-22 septembrie 1837) a fost un matematician englez. Născut în Bristol. A studiat și a lucrat acolo, apoi în școlile din Bath. Lucrări de bază pe algebră. În 1819 a publicat o metodă pentru calculul aproximativ al rădăcinilor reale ale unui polinom, care se numește acum metoda Ruffini-Horner (această metodă era cunoscută de chinezi încă din secolul al XIII-lea).Schema de împărțire a unui polinom la un binom x-a poartă numele lui Horner.

slide 4

SCHEMA cornului

O metodă de împărțire a unui polinom de gradul al n-lea la un binom liniar - a, bazată pe faptul că coeficienții coeficientului incomplet și restul r sunt legați de coeficienții polinomului divizibil și de a prin formulele:

slide 5

Calculele conform schemei Horner sunt plasate într-un tabel:

Exemplul 1 Împărțire Coeficientul incomplet este x3-x2+3x - 13, iar restul este 42=f(-3).

slide 6

Principalul avantaj al acestei metode este compactitatea notației și capacitatea de a împărți rapid un polinom într-un binom. De fapt, schema Horner este o altă formă de înregistrare a metodei de grupare, deși, spre deosebire de aceasta din urmă, este complet non-descriptivă. Răspunsul (factorizarea) aici se dovedește de la sine și nu vedem chiar procesul de obținere. Nu ne vom ocupa de o justificare riguroasă a schemei lui Horner, ci doar arătăm cum funcționează.

Slide 7

Exemplul2.

Demonstrăm că polinomul P(x)=x4-6x3+7x-392 este divizibil cu x-7 și găsim câtul. Decizie. Folosind schema lui Horner, găsim Р(7): deci obținem Р(7)=0, i.e. restul la împărțirea polinomului la x-7 este zero și, prin urmare, polinomul P (x) este un multiplu al lui (x-7).În acest caz, numerele din al doilea rând al tabelului sunt coeficienții împărțirea lui P (x) la (x-7), deci P(x)=(x-7)(x3+x2+7x+56).

Slide 8

Factorizați polinomul x3 - 5x2 - 2x + 16.

Acest polinom are coeficienți întregi. Dacă un număr întreg este rădăcina acestui polinom, atunci este un divizor de 16. Astfel, dacă polinomul dat are rădăcini întregi, atunci acestea pot fi doar numere ±1; ±2; ±4; ±8; ±16. Prin verificare directă, ne asigurăm că numărul 2 este rădăcina acestui polinom, adică x3 - 5x2 - 2x + 16 = (x - 2)Q(x), unde Q(x) este un polinom al celui de-al doilea grad

Slide 9

Numerele rezultate 1, −3, −8 sunt coeficienții polinomului, care se obțin prin împărțirea polinomului inițial la x - 2. Prin urmare, rezultatul împărțirii este: 1 x2 + (-3)x + (- 8) = x2 - 3x - 8. Gradul polinomului obținut în urma împărțirii este întotdeauna cu 1 mai mic decât gradul celui inițial. Deci: x3 - 5x2 - 2x + 16 = (x - 2)(x2 - 3x - 8).

Când se rezolvă ecuații și inegalități, adesea devine necesară factorizarea unui polinom al cărui grad este egal cu trei sau mai mare. În acest articol, vom analiza cel mai simplu mod de a face acest lucru.

Ca de obicei, să apelăm la teorie pentru ajutor.

teorema lui Bezout afirmă că restul împărțirii unui polinom la un binom este .

Dar nu teorema în sine este importantă pentru noi, ci corolar din aceasta:

Dacă numărul este rădăcina unui polinom, atunci polinomul este divizibil fără rest cu binom.

Ne confruntăm cu sarcina de a găsi cumva cel puțin o rădăcină a polinomului, apoi împărțind polinomul la , unde este rădăcina polinomului. Ca rezultat, obținem un polinom al cărui grad este cu unul mai mic decât gradul celui original. Și apoi, dacă este necesar, puteți repeta procesul.

Această sarcină este împărțită în două: cum să găsiți rădăcina unui polinom și cum să împărțiți un polinom într-un binom.

Să aruncăm o privire mai atentă asupra acestor puncte.

1. Cum să găsiți rădăcina unui polinom.

Mai întâi, verificăm dacă numerele 1 și -1 sunt rădăcinile polinomului.

Următoarele fapte ne vor ajuta aici:

Dacă suma tuturor coeficienților unui polinom este zero, atunci numărul este rădăcina polinomului.

De exemplu, într-un polinom suma coeficienților este egală cu zero: . Este ușor să verifici care este rădăcina unui polinom.

Dacă suma coeficienților unui polinom la puteri pare este egală cu suma coeficienților la puteri impare, atunci numărul este o rădăcină a polinomului. Termenul liber este considerat un coeficient la un grad par, deoarece , a este un număr par.

De exemplu, într-un polinom suma coeficienților la grade pare este : , iar suma coeficienților la grade impare este : . Este ușor să verifici care este rădăcina unui polinom.

Dacă nici 1, nici -1 nu sunt rădăcini ale polinomului, atunci mergem mai departe.

Pentru un polinom de grad redus (adică un polinom în care coeficientul principal - coeficientul lui - este egal cu unu), formula Vieta este valabilă:

Unde sunt rădăcinile polinomului.

Există și formule Vieta privind coeficienții rămași ai polinomului, dar acesta este cel care ne interesează.

Din această formulă Vieta rezultă că dacă rădăcinile polinomului sunt întregi, atunci ele sunt divizori ai termenului său liber, care este și un întreg.

Bazat pe acest lucru, trebuie să descompunăm termenul liber al polinomului în factori și, secvenţial, de la mai mic la mai mare, să verificăm care dintre factori este rădăcina polinomului.

Luați în considerare, de exemplu, polinomul

Divizori membri liberi: ; ; ;

Suma tuturor coeficienților polinomului este egală, prin urmare, numărul 1 nu este rădăcina polinomului.

Suma coeficienților la puteri pare:

Suma coeficienților la puteri impare:

Prin urmare, numărul -1 nu este, de asemenea, o rădăcină a polinomului.

Să verificăm dacă numărul 2 este rădăcina polinomului: prin urmare, numărul 2 este rădăcina polinomului. Prin urmare, conform teoremei lui Bezout, polinomul este divizibil fără rest cu binom.

2. Cum se împarte un polinom într-un binom.

Un polinom poate fi împărțit într-un binom printr-o coloană.

Împărțim polinomul într-o coloană binomială:

Există o altă modalitate de a împărți un polinom într-un binom - schema lui Horner.

Urmăriți acest videoclip pentru a înțelege cum să împărțiți un polinom cu un binom cu o coloană și folosind schema lui Horner.

Observ că, dacă, la împărțirea pe o coloană, un anumit grad de necunoscut este absent în polinomul original, scriem 0 în locul său - la fel ca atunci când compilăm un tabel pentru schema Horner.

Deci, dacă trebuie să împărțim un polinom într-un binom și ca rezultat al divizării obținem un polinom, atunci putem găsi coeficienții polinomului folosind schema Horner:

De asemenea, putem folosi Schema lui Horner pentru a verifica dacă numărul dat este rădăcina polinomului: dacă numărul este rădăcina polinomului, atunci restul împărțirii polinomului la este zero, adică în ultima coloană a celui de-al doilea rând al Hornerului schema, obținem 0.

Folosind schema lui Horner, „omorâm două păsări dintr-o singură piatră”: în același timp, verificăm dacă numărul este rădăcina unui polinom și împărțim acest polinom la un binom.

Exemplu. Rezolvați ecuația:

1. Scriem divizorii termenului liber și vom căuta rădăcinile polinomului printre divizorii termenului liber.

Divizorii lui 24:

2. Verificați dacă numărul 1 este rădăcina polinomului.

Suma coeficienților unui polinom, prin urmare, numărul 1 este rădăcina polinomului.

3. Împărțiți polinomul original într-un binom folosind schema lui Horner.

A) Scrieți coeficienții polinomului original în primul rând al tabelului.

Deoarece membrul care îl conţine este absent, scriem 0 în coloana tabelului în care trebuie scris coeficientul at. În stânga scriem rădăcina găsită: numărul 1.

B) Completați primul rând al tabelului.

În ultima coloană, așa cum era de așteptat, am primit zero, am împărțit polinomul original într-un binom fără rest. Coeficienții polinomului rezultat din împărțire sunt afișați cu albastru în al doilea rând al tabelului:

Este ușor de verificat că numerele 1 și -1 nu sunt rădăcini ale polinomului

C) Să continuăm masa. Să verificăm dacă numărul 2 este rădăcina polinomului:

Deci, gradul polinomului, care se obține ca urmare a împărțirii la unu, este mai mic decât gradul polinomului original, prin urmare, numărul de coeficienți și numărul de coloane sunt mai mici cu unu.

În ultima coloană, am obținut -40 - un număr care nu este egal cu zero, prin urmare, polinomul este divizibil cu un binom cu rest, iar numărul 2 nu este o rădăcină polinomială.

C) Să verificăm dacă numărul -2 este rădăcina polinomului. Deoarece încercarea anterioară a eșuat, astfel încât să nu existe confuzii cu coeficienții, voi șterge linia corespunzătoare acestei încercări:

Amenda! În rest, am primit zero, prin urmare, polinomul a fost împărțit într-un binom fără rest, prin urmare, numărul -2 este rădăcina polinomului. Coeficienții polinomului, care se obțin prin împărțirea polinomului la binom, sunt afișați cu verde în tabel.

Ca rezultat al împărțirii, am obținut un trinom pătrat , ale cărui rădăcini sunt ușor de găsit prin teorema lui Vieta:

Deci, rădăcinile ecuației originale:

{}

Răspuns: ( }

Site-ul „tutor profesional în matematică” continuă seria articolelor metodologice despre predare. Public descrieri ale metodelor de lucru cu cele mai complexe și problematice subiecte din programa școlară. Acest material va fi util profesorilor și tutorilor la matematică, lucrând cu elevii din clasele 8-11, atât în ​​programul obișnuit, cât și în programul orelor de matematică.

Un profesor de matematică nu poate explica întotdeauna materialul care este prost prezentat într-un manual. Din păcate, astfel de subiecte sunt din ce în ce mai multe, iar erorile de prezentare, în urma autorilor manualelor, se fac în masă. Acest lucru se aplică nu numai tutorilor începători în matematică și tutorilor cu fracțiune de normă (tutori - studenți și tutori universitari), ci și profesorilor cu experiență, tutorilor - profesioniști, tutorilor cu experiență și calificări. Departe de toți tutorii de matematică au talentul unui corector competent al rugozității manualelor școlare. De asemenea, nu toată lumea înțelege că aceste corecții (sau completări) sunt necesare. Doar câțiva sunt angajați în adaptarea materialului pentru percepția sa calitativă de către copii. Din păcate, a trecut vremea când profesorii de matematică, împreună cu metodiști și autori de publicații, discutau masiv fiecare literă a manualului. În trecut, înainte ca un manual să fie lansat în școli, au fost efectuate analize și studii serioase ale rezultatelor învățării. A venit vremea diletantilor care se străduiesc să facă manualele universale, potrivindu-le la standardele claselor puternice de matematică.

Cursa pentru creșterea cantității de informații nu duce decât la o scădere a calității asimilării acesteia și, ca urmare, la o scădere a nivelului de cunoștințe reale la matematică. Dar nimeni nu acordă atenție acestui lucru. Și copiii noștri sunt obligați deja în clasa a VIII-a să studieze prin ce am trecut la institut: teoria probabilităților, rezolvarea ecuațiilor de grade înalte și altceva. Adaptarea materialului din cărți pentru perceperea sa deplină de către copil lasă de dorit și profesorul de matematică este nevoit să se ocupe cumva de asta.

Să vorbim despre metodologia de predare a unei teme atât de specifice precum „împărțirea unui colț al unui polinom cu un polinom”, mai cunoscută în matematica adulților ca „teorema lui Bezout și schema lui Horner”. Cu doar câțiva ani în urmă, întrebarea nu era atât de acută pentru un profesor de matematică, deoarece nu era inclus în programa școlară principală. Acum, autorii respectați ai manualului, editat de Telyakovsky, au făcut modificări la cea mai recentă ediție a celui mai bun manual, după părerea mea, și, după ce l-au stricat complet, au adăugat doar griji inutile tutorului. Profesorii școlilor și claselor care nu au statutul de matematică, concentrându-se pe inovațiile autorilor, au început să includă mai des paragrafe suplimentare în lecțiile lor, iar copiii iscoditori, privind paginile frumoase ale manualului lor de matematică, îi întreabă din ce în ce mai mult pe tutore: „Ce este această împărțire după un colț? Trecem prin asta? Cum să împarți un colț? Nu se ascunde de astfel de întrebări directe. Profesorul va trebui să spună ceva copilului.

Dar ca? Probabil, nu aș descrie metoda de lucru cu subiectul dacă ar fi prezentat corect în manuale. Cum se întâmplă totul cu noi? Manualele trebuie tipărite și vândute. Și pentru asta trebuie să fie actualizate în mod regulat. Profesorii universitari se plâng că vin copiii la ei cu capul gol, fără cunoștințe și abilități? Cerințele pentru cunoștințele matematice cresc? Amenda! Să eliminăm câteva dintre exerciții și, în schimb, să introducem subiecte care sunt studiate în alte programe. De ce este mai rău manualul nostru? Să includem câteva capitole suplimentare. Scolarii nu cunosc regula impartirii dupa un colt? Aceasta este matematică elementară. Ar trebui să facem un astfel de paragraf opțional, cu titlul „pentru cei care doresc să afle mai multe”. Tutori împotriva? Și ce ne pasă de tutori în general? Metodiștii și profesorii de școală sunt și ei împotrivă? Nu vom complica materialul și vom lua în considerare cea mai simplă parte a acestuia.

Și de aici începe. Simplitatea temei și calitatea asimilării sale rezidă, în primul rând, în înțelegerea logicii acesteia, și nu în faptul că, conform prescripției autorilor manualului, să se efectueze un anumit set de operații care nu sunt în mod clar legate între ele. În caz contrar, se va asigura ceața din capul elevului. Dacă autorii se bazează pe studenți relativ puternici (dar care studiază conform programului obișnuit), atunci nu ar trebui să trimiteți subiectul într-o formă de echipă. Ce vedem în manual? Copii, este necesar să se împartă după această regulă. Obțineți polinomul din colț. Astfel, polinomul original va fi factorizat. Cu toate acestea, nu este clar de ce termenii de sub colț sunt aleși în acest fel, de ce trebuie să fie înmulțiți cu un polinom peste colț și apoi scăzuți din restul curent - nu este clar. Și cel mai important, nu este clar de ce monomiile alese trebuie adăugate în final și de ce parantezele rezultate vor fi extinderea polinomului original. Orice matematician competent va pune un semn de întrebare îndrăzneț peste explicațiile care sunt date în manual.

Aduc în atenția tutorilor și profesorilor de matematică soluția mea la problemă, care practic face ca tot ceea ce este menționat în manual să fie evident pentru elev. De fapt, vom demonstra teorema lui Bezout: dacă numărul a este rădăcina unui polinom, atunci acest polinom poate fi descompus în factori, dintre care unul este x-a, iar al doilea este obținut din cel original într-unul din trei moduri: prin extragerea unui factor liniar prin transformări, împărțirea la colț sau după schema lui Horner. Cu o astfel de formulare va fi mai ușor pentru un profesor de matematică să lucreze.

Ce este o metodologie de predare? În primul rând, este o ordine clară în succesiunea explicațiilor și exemplelor, pe baza căreia se trag concluzii matematice. Acest subiect nu face excepție. Este foarte important ca un profesor de matematică să prezinte copilul teorema lui Bezout înainte de a se efectua împărțirea colțului. Este foarte important! Cel mai bun mod de a înțelege este cu un exemplu concret. Să luăm un polinom cu o rădăcină aleasă și să arătăm tehnica factorizării acestuia folosind metoda transformărilor identice familiară elevului din clasa a VII-a. Cu explicații adecvate, accente și sfaturi de la un profesor de matematică, este foarte posibil să transmiteți materialul fără calcule matematice generale, coeficienți și grade arbitrare.

Sfaturi importante pentru profesorii de matematică- urmați instrucțiunile de la început până la sfârșit și nu modificați această secvență.

Deci, să presupunem că avem un polinom. Dacă înlocuim numărul 1 în locul lui x, atunci valoarea polinomului va fi zero. Prin urmare, x=1 este rădăcina sa. Să încercăm să descompunem în doi termeni, astfel încât unul dintre ei să fie produsul unei expresii liniare și al unui monom, iar al doilea să aibă un grad unu mai mic decât . Adică o reprezentăm sub formă

Alegem monomul pentru câmpul roșu, astfel încât atunci când este înmulțit cu termenul principal, acesta coincide complet cu termenul principal al polinomului original. Dacă elevul nu este cel mai slab, atunci el va fi destul de capabil să-i dea tutorelui la matematică expresia dorită:. Tutorului ar trebui să i se ceară imediat să-l introducă în caseta roșie și să arate ce se va întâmpla când vor fi deschise. Cel mai bine este să semnați acest polinom temporar virtual sub săgeți (sub fotografie), evidențiind-o cu o culoare, de exemplu, albastru. Acest lucru vă va ajuta să alegeți sumandu-ul pentru câmpul roșu, numit rezidual din selecție. Aș sfătui profesorii să sublinieze aici că acest rest poate fi găsit prin scădere. Efectuând această operație, obținem:

Un tutore de matematică ar trebui să atragă atenția elevului asupra faptului că, prin înlocuirea unei unități în această egalitate, avem garanția că vom obține zero pe partea stângă (deoarece 1 este rădăcina polinomului original), iar în dreapta, evident, de asemenea, vom seta primul termen la zero. Deci, fără nicio verificare, putem spune că unitatea este rădăcina „reziduului verde”.

Să ne ocupăm de ea în același mod ca și cu polinomul original, extragând din el același factor liniar. Profesorul de matematică desenează două casete în fața elevului și îi cere să completeze de la stânga la dreapta.

Elevul selectează pentru tutore monomul pentru câmpul roșu, astfel încât atunci când este înmulțit cu termenul cel mai mare al expresiei liniare, să dea termenul cel mai mare al polinomului extins. O introducem in cadru, deschidem imediat paranteza si evidentiem cu albastru expresia care trebuie scazuta din cea extinsa. Efectuând această operațiune, obținem

Și în cele din urmă, făcând același lucru cu ultimul rămas

ajunge in sfarsit

Acum scoatem expresia din paranteză și ne vom confrunta cu descompunerea polinomului original în factori, dintre care unul este „x minus rădăcina aleasă”.

Pentru ca elevul să nu creadă că ultimul „reziduu verde” a fost descompus aleatoriu în factorii necesari, profesorul de matematică ar trebui să sublinieze o proprietate importantă a tuturor reziduurilor verzi - fiecare dintre ele are rădăcina 1. Deoarece gradele acestora reziduurile scad, atunci indiferent de gradul inițialului niciun polinom ne-a fost dat, mai devreme sau mai târziu, vom obține un „reziduu verde” liniar cu rădăcina 1 și, prin urmare, trebuie descompus în produsul unui anumit număr. și o expresie.

După o astfel de muncă pregătitoare, un tutore de matematică nu va fi dificil să explice elevului ce se întâmplă la împărțirea unui colț. Acesta este același proces, doar într-o formă mai scurtă și mai compactă, fără semne egale și fără rescrierea acelorași termeni selectați. Scriem polinomul din care este alocat multiplicatorul liniar în stânga colțului, colectăm monomiile roșii selectate într-un unghi (acum devine clar de ce ar trebui să se adună), pentru a obține „polinoamele albastre”, trebuie să înmulțim „roșul” cu x-1 și apoi scădeți din curentul selectat cum se face în împărțirea obișnuită a numerelor într-o coloană (aici este o analogie cu cea studiată anterior). „Reziduurile verzi” rezultate sunt supuse unei noi selecții și selecție de „monomii roșii”. Și tot așa până se obține un „rezidu verde” zero. Cel mai important lucru este că soarta ulterioară a polinoamelor scrise deasupra și sub colț devine clară pentru elev. Evident, acestea sunt paranteze, al căror produs este egal cu polinomul original.

Următoarea etapă în munca unui tutore în matematică este formularea teoremei lui Bezout. De fapt, formularea sa cu această abordare a tutorelui devine evidentă: dacă numărul a este rădăcina polinomului, atunci el poate fi descompus în factori, dintre care unul, iar celălalt se obține din cel original într-unul din trei. moduri:

• descompunere directă (analog cu metoda de grupare)
• împărțire printr-un colț (într-o coloană)
• prin schema lui Horner

Trebuie să spun că departe de toți tutorii de matematică le arată elevilor schema de corn, și nu toți profesorii de școală (din fericire pentru tutorii înșiși) intră atât de adânc în subiect în lecții. Cu toate acestea, pentru un student la matematică, nu văd niciun motiv să mă opresc la împărțirea lungă. În plus, cel mai convenabil și rapid Tehnica de descompunere se bazează tocmai pe schema lui Horner. Pentru a explica copilului de unde provine este suficient să urmărim apariția unor coeficienți mai mari în reziduurile verzi folosind exemplul împărțirii la colț. Devine clar că cel mai mare coeficient al polinomului inițial este demolat în coeficientul primului „monom roșu” și mai departe de al doilea coeficient al polinomului superior actual. scăzut rezultatul înmulțirii coeficientului actual „monom roșu” cu . Prin urmare, puteți adăuga rezultatul înmulțirii cu . După ce a concentrat atenția elevului asupra specificului acțiunilor cu coeficienți, un tutore de matematică poate arăta cum sunt efectuate de obicei aceste acțiuni fără a nota variabilele în sine. Pentru a face acest lucru, este convenabil să introduceți rădăcina și coeficienții polinomului original în ordinea de prioritate în următorul tabel:

Dacă lipsește vreun grad în polinom, atunci coeficientul lui zero este introdus forțat în tabel. Coeficienții „polinoamelor roșii” sunt introduși alternativ în linia de jos conform regulii „cârligului”:

Rădăcina este înmulțită cu ultimul „coeficient roșu” demolat, adăugat la următorul coeficient din rândul de sus și rezultatul este demolat la linia de jos. În ultima coloană, suntem garantați să obținem cel mai mare coeficient al ultimului „bilanţ verde”, adică zero. După finalizarea procesului, numerele cuprins între o rădăcină potrivită și restul zero se dovedesc a fi coeficienții celui de-al doilea factor (neliniar).

Deoarece rădăcina a dă zero la sfârșitul rândului de jos, atunci schema lui Horner poate fi utilizată pentru a verifica numerele pentru rangul rădăcinii unui polinom. Dacă o teoremă specială privind selecția unei rădăcini raționale. Toți candidații la acest titlu obținuți cu ajutorul lui sunt pur și simplu inserați pe rând din stânga în schema lui Horner. De îndată ce obținem zero, numărul testat va fi rădăcina și, în același timp, vom obține coeficienții expansiunii polinomului original în factori. Foarte confortabil.

În concluzie, aș dori să remarc că pentru introducerea precisă a schemei Horner, precum și pentru consolidarea practică a temei, un tutore de matematică trebuie să aibă la dispoziție un număr suficient de ore. Un tutore care lucrează cu modul „o dată pe săptămână” nu ar trebui să fie angajat în împărțirea unui colț. La Examenul Unificat de Stat la matematică și la GIA la matematică, este puțin probabil ca în prima parte să existe vreodată o ecuație de gradul trei, rezolvată prin astfel de mijloace. Dacă un tutore pregătește un copil pentru un examen de matematică la Universitatea de Stat din Moscova, studiul subiectului devine obligatoriu. Profesorii universitari sunt foarte iubitori, spre deosebire de compilatorii Examenului de stat unificat, să verifice cunoștințele profunde ale solicitantului.

Kolpakov Alexander Nikolaevich, profesor de matematică Moscova, Strogino

Obiectivele lecției:

• învață elevii să rezolve ecuații de grade superioare folosind schema lui Horner;
• dezvoltarea capacității de a lucra în perechi;
• să creeze, împreună cu secțiunile principale ale cursului, o bază pentru dezvoltarea abilităților studenților;
• ajuta elevul să-și evalueze potențialul, să-și dezvolte interesul pentru matematică, capacitatea de a gândi, de a vorbi pe subiect.

Echipament: cartonașe pentru lucru în grup, un afiș cu schema lui Horner.

Metoda de predare: prelegere, poveste, explicație, efectuarea exercițiilor de antrenament.

Forma de control: verificarea problemelor de rezolvare independentă, muncă independentă.

În timpul orelor

1. Moment organizatoric

2. Actualizarea cunoștințelor elevilor

Ce teoremă vă permite să determinați dacă numărul este rădăcina unei ecuații date (pentru a formula o teoremă)?

teorema lui Bezout. Restul împărțirii polinomului P(x) la binomul x-c este egal cu P(c), numărul c se numește rădăcina polinomului P(x) dacă P(c)=0. Teorema permite, fără a efectua operația de împărțire, să se determine dacă un număr dat este o rădăcină a unui polinom.

Care afirmații fac mai ușor să găsiți rădăcini?

a) Dacă coeficientul conducător al polinomului este egal cu unu, atunci rădăcinile polinomului trebuie căutate printre divizorii termenului liber.

b) Dacă suma coeficienților unui polinom este 0, atunci una dintre rădăcini este 1.

c) Dacă suma coeficienților din locurile pare este egală cu suma coeficienților din locurile impare, atunci una dintre rădăcini este egală cu -1.

d) Dacă toți coeficienții sunt pozitivi, atunci rădăcinile polinomului sunt numere negative.

e) Un polinom de grad impar are cel puțin o rădăcină reală.

3. Învățarea de noi materiale

Când rezolvați ecuații algebrice întregi, trebuie să găsiți valorile rădăcinilor polinoamelor. Această operație poate fi mult simplificată dacă calculele sunt efectuate conform unui algoritm special numit schema lui Horner. Această schemă poartă numele savantului englez William George Horner. Schema lui Horner este un algoritm pentru calcularea coeficientului și a restului împărțirii unui polinom P(x) la x-c. Pe scurt, cum funcționează.

Fie dat un polinom arbitrar P(x)=a 0 x n + a 1 x n-1 + ...+ a n-1 x+ a n. Împărțirea acestui polinom la x-c este reprezentarea lui în forma P(x)=(x-c)g(x) + r(x). Privat g (x) \u003d la 0 x n-1 + la n x n-2 + ... + la n-2 x + la n-1, unde la 0 \u003d a 0, la n \u003d sv n- 1 + a n , n=1,2,3,…n-1. Restul r (x) \u003d St n-1 + a n. Această metodă de calcul se numește schema Horner. Cuvântul „schemă” din denumirea algoritmului se datorează faptului că, de obicei, execuția acestuia este formalizată după cum urmează. Mai întâi extrageți tabelul 2 (n+2). Numărul c este scris în celula din stânga jos, iar coeficienții polinomului P (x) sunt scrieți în linia de sus. În acest caz, celula din stânga sus este lăsată goală.

	la 0 = a 0	în 1 \u003d sv 1 + a 1	în 2 \u003d sv 1 + A 2		în n-1 \u003d sv n-2 +a n-1	r(x)=f(c)=sv n-1 +a n

Numărul, care după executarea algoritmului se dovedește a fi scris în celula din dreapta jos, este restul împărțirii polinomului P(x) la x-c. Celelalte numere de la 0 , la 1 , la 2 ,... din rândul de jos sunt coeficienții câtului.

De exemplu: Împărțiți polinomul P (x) \u003d x 3 -2x + 3 la x-2.

Obținem că x 3 -2x + 3 \u003d (x-2) (x 2 + 2x + 2) + 7.

4. Consolidarea materialului studiat

Exemplul 1: Factorizați polinomul P(x)=2x4-7x 3 -3x 2 +5x-1 cu coeficienți întregi.

Căutăm rădăcini întregi printre divizorii termenului liber -1: 1; -unu. Să facem un tabel:

X \u003d -1 - rădăcină

P (x) \u003d (x + 1) (2x 3 -9x 2 + 6x -1)

Să verificăm 1/2.

					X=1/2 - rădăcină

Prin urmare, polinomul P(x) poate fi reprezentat ca

P (x) \u003d (x + 1) (x-1/2) (x 2 -8x +2) \u003d (x + 1) (2x -1) (x 2 - 4x +1)

Exemplul 2: Rezolvați ecuația 2x 4 - 5x 3 + 5x 2 - 2 = 0

Deoarece suma coeficienților polinomului scris în partea stângă a ecuației este zero, atunci una dintre rădăcini este 1. Să folosim schema lui Horner:

						X=1 - rădăcină

Obținem P (x) \u003d (x-1) (2x 3 -3x 2 \u003d 2x +2). Vom căuta rădăcini printre divizorii termenului liber 2.

Am aflat că nu mai există rădăcini întregi. Să verificăm 1/2; -1/2.

					X \u003d -1/2 - rădăcină

Raspunsul 1; -1/2.

Exemplul 3: Rezolvați ecuația 5x 4 - 3x 3 - 4x 2 -3x + 5 = 0.

Vom căuta rădăcinile acestei ecuații printre divizorii termenului liber 5: 1; -1; 5; -5. x=1 este rădăcina ecuației, deoarece suma coeficienților este zero. Să folosim schema lui Horner:

reprezentăm ecuația ca un produs al trei factori: (x-1) (x-1) (5x 2 -7x + 5) \u003d 0. Rezolvând ecuația pătratică 5x 2 -7x+5=0, obținem D=49-100=-51, nu există rădăcini.

Cardul 1

1. Factorizați polinomul: x 4 +3x 3 -5x 2 -6x-8
2. Rezolvați ecuația: 27x 3 -15x 2 +5x-1=0

Cardul 2

1. Factorizați polinomul: x 4 -x 3 -7x 2 + 13x-6
2. Rezolvați ecuația: x 4 +2x 3 -13x 2 -38x-24=0

Cardul 3

1. Factorizare: 2x 3 -21x 2 + 37x + 24
2. Rezolvați ecuația: x 3 -2x 2 +4x-8=0

Cardul 4

1. Factorizare: 5x 3 -46x 2 + 79x-14
2. Rezolvați ecuația: x 4 +5x 3 +5x 2 -5x-6=0

5. Rezumând

Testarea cunoștințelor la rezolvarea în perechi se realizează în lecție prin recunoașterea metodei de acțiune și a numelui răspunsului.

Teme pentru acasă:

Rezolvați ecuațiile:

a) x 4 -3x 3 +4x 2 -3x + 1 \u003d 0

b) 5x 4 -36x 3 +62x 2 -36x+5=0

c) x 4 + x 3 + x + 1 \u003d 4 x 2

d) x 4 + 2x 3 -x-2 \u003d 0

Literatură

1. N.Da. Vilenkin et al., Algebra și începuturile analizei Clasa 10 (studiu aprofundat al matematicii): Enlightenment, 2005.
2. U.I. Sakharchuk, L.S. Sagatelova, Rezolvarea ecuațiilor de grade superioare: Volgograd, 2007.
3. S.B. Gashkov Sisteme numerice și aplicarea lor.

etc. este de natură generală şi mare importanță să studieze TOT cursul de matematică superioară. Astăzi vom repeta ecuațiile „școală”, dar nu doar pe cele „școală” - ci pe acelea dintre ele care se găsesc peste tot în diverse sarcini ale vyshmat-ului. Ca de obicei, povestea va merge într-un mod aplicat, adică. Nu mă voi concentra pe definiții, clasificări, dar vă voi împărtăși experiența mea personală de rezolvare. Informațiile sunt destinate în primul rând începătorilor, dar cititorii mai pregătiți vor găsi și multe puncte interesante pentru ei înșiși. Și, bineînțeles, vor exista materiale noi care depășesc liceul.

Deci ecuația... Mulți oameni își amintesc acest cuvânt cu un înfior. Care sunt ecuațiile „fanteziste” cu rădăcini... ...uitați de ele! Pentru că mai departe vei întâlni cei mai inofensivi „reprezentanți” ai acestei specii. Sau plictisitoare ecuații trigonometrice cu zeci de metode de rezolvare. Sincer sa fiu nici mie nu prea mi-au placut... Fara panica! - atunci ești așteptat în principal de „păpădie” cu o soluție evidentă în 1-2 pași. Deși „brusturele”, desigur, se agață - aici trebuie să fii obiectiv.

Destul de ciudat, în matematica superioară este mult mai comun să se ocupe de ecuații foarte primitive, cum ar fi liniar ecuații.

Ce înseamnă să rezolvi această ecuație? Aceasta înseamnă - să găsiți O AȘA valoare a lui "x" (rădăcină), care o transformă într-o egalitate adevărată. Să întoarcem „troica” la dreapta cu o schimbare de semn:

și aruncați „doi” în partea dreaptă (sau, același lucru - înmulțiți ambele părți cu) :

Pentru a verifica, înlocuim trofeul câștigat în ecuația originală:

Se obține egalitatea corectă, ceea ce înseamnă că valoarea găsită este într-adevăr rădăcina acestei ecuații. Sau, după cum se spune, satisface această ecuație.

Rețineți că rădăcina poate fi scrisă și ca fracție zecimală:
Și încercați să nu rămâneți la acest stil urât! Am repetat motivul de multe ori, în special, chiar la prima lecție despre algebră superioară.

Apropo, ecuația poate fi rezolvată și „în arabă”:

Și ceea ce este cel mai interesant - această înregistrare este complet legală! Dar dacă nu ești profesor, atunci este mai bine să nu faci asta, pentru că originalitatea se pedepsește aici =)

Și acum puțin despre

metoda de rezolvare grafica

Ecuația are forma și rădăcina ei este coordonata „x”. puncte de intersecție graficul funcției liniare cu graficul funcției liniare (axa absciselor):

S-ar părea că exemplul este atât de elementar încât nu mai este nimic de analizat aici, dar încă o nuanță neașteptată poate fi „storsă” din el: reprezentăm aceeași ecuație în formă și trasăm graficele funcției:

în care, va rog sa nu le confundati pe cele doua: o ecuație este o ecuație și funcţie este o funcție! Funcții doar ajutor găsiți rădăcinile ecuației. Dintre care pot fi două, trei, patru și chiar infinite. Cel mai apropiat exemplu în acest sens este că toată lumea știe ecuație pătratică, al cărui algoritm de soluție a primit un articol separat formule școlare „fierbinte”.. Și acesta nu este un accident! Dacă poți rezolva o ecuație pătratică și știi teorema lui Pitagora, atunci, s-ar putea spune, „etajul matematicii superioare e deja în buzunar” =) Exagerat, desigur, dar nu atât de departe de adevăr!

Și, prin urmare, nu suntem prea leneși și rezolvăm o ecuație pătratică conform algoritm standard:

, deci ecuația are două diferite valabil rădăcină:

Este ușor de verificat că ambele valori găsite satisfac cu adevărat această ecuație:

Ce să faci dacă ai uitat brusc algoritmul de soluție și nu există instrumente/mâini de ajutor la îndemână? O astfel de situație poate apărea, de exemplu, într-un test sau examen. Folosim metoda grafica! Și există două moduri: poți construirea punctual parabolă , aflând astfel unde intersectează axa (daca trece deloc). Dar este mai bine să acționăm mai viclean: prezentăm ecuația sub formă, desenăm grafice cu funcții mai simple - și coordonatele „x”. punctele lor de intersecție, dintr-o privire!


Dacă se dovedește că linia atinge parabola, atunci ecuația are două rădăcini (multiple) care coincid. Dacă se dovedește că linia nu intersectează parabola, atunci nu există rădăcini reale.

Pentru a face acest lucru, desigur, trebuie să fiți capabil să construiți grafice ale funcţiilor elementare, dar pe de altă parte, aceste abilități sunt în puterea chiar și a unui școlar.

Și din nou - o ecuație este o ecuație, iar funcțiile , sunt funcții care doar ajutat rezolva ecuatia!

Și aici, apropo, ar fi potrivit să ne amintim încă un lucru: dacă toți coeficienții ecuației sunt înmulțiți cu un număr diferit de zero, atunci rădăcinile sale nu se vor schimba.

Deci, de exemplu, ecuația are aceleasi radacini. Ca cea mai simplă „dovadă”, voi scoate constanta din paranteze:
și îndepărtați-l fără durere (Voi împărți ambele părți în „minus doi”):

DAR! Dacă luăm în considerare funcția , atunci aici deja este imposibil să scapi de constantă! Este posibil doar să scoateți multiplicatorul din paranteze: .

Mulți subestimează metoda de rezolvare grafică, considerând-o ceva „nedemn”, iar unii chiar uită complet de această posibilitate. Și acest lucru este fundamental greșit, deoarece complot uneori salvează ziua!

Un alt exemplu: să presupunem că nu vă amintiți rădăcinile celei mai simple ecuații trigonometrice:. Formula generală este în manualele școlare, în toate cărțile de referință despre matematică elementară, dar nu vă sunt disponibile. Cu toate acestea, rezolvarea ecuației este critică (altfel „două”). Există o ieșire! - construim grafice de funcții:


după care notăm calm coordonatele „x” ale punctelor lor de intersecție:

Există infinit de rădăcini, iar notația lor pliată este acceptată în algebră:
, Unde ( – mulţime de numere întregi) .

Și, fără „a pleca de la casierie”, câteva cuvinte despre metoda grafică de rezolvare a inegalităților cu o singură variabilă. Principiul este același. Deci, de exemplu, orice „x” este soluția inegalității, deoarece sinusoida se află aproape în întregime sub linia dreaptă. Soluția inegalității este setul de intervale pe care piesele sinusoidei se află strict deasupra liniei drepte. (abscisă):

sau, pe scurt:

Și iată setul de soluții la inegalitate - gol, deoarece niciun punct al sinusoidei nu se află deasupra liniei drepte.

Ceva nu este clar? Studiați urgent lecțiile despre seturiși grafice de funcții!

Încălzire:

Exercitiul 1

Rezolvați grafic următoarele ecuații trigonometrice:

Răspunsuri la sfârșitul lecției

După cum puteți vedea, pentru a studia științele exacte, nu este deloc necesar să înghesuiți formule și cărți de referință! În plus, aceasta este o abordare fundamental vicioasă.

După cum v-am asigurat deja la începutul lecției, ecuațiile trigonometrice complexe din cursul standard de matematică superioară trebuie rezolvate extrem de rar. Toată complexitatea, de regulă, se termină cu ecuații ca , a căror soluție este două grupuri de rădăcini, derivate din cele mai simple ecuații și . Nu vă faceți griji prea mult cu privire la soluția acesteia din urmă - căutați într-o carte sau găsiți-o pe Internet =)

Metoda grafică de rezolvare poate ajuta și în cazuri mai puțin banale. Luați în considerare, de exemplu, următoarea ecuație „pestriță”:

Perspectivele soluției sale arată ... nu se uită deloc, dar trebuie doar să prezinte ecuația sub forma , construct grafice de funcțiiși totul va fi incredibil de simplu. Desenul este la mijlocul articolului despre funcții infinitezimale (se deschide în fila următoare).

Folosind aceeași metodă grafică, puteți afla că ecuația are deja două rădăcini, iar una dintre ele este egală cu zero, iar cealaltă, aparent, iraţional si apartine segmentului . Această rădăcină poate fi calculată aproximativ, de exemplu, metoda tangentei. Apropo, în unele sarcini, se întâmplă să nu se găsească rădăcinile, ci să se afle ele există deloc. Și aici, un desen poate ajuta - dacă graficele nu se intersectează, atunci nu există rădăcini.

Rădăcini raționale ale polinoamelor cu coeficienți întregi.
Schema lui Horner

Și acum vă sugerez să vă întoarceți privirea către Evul Mediu și să simțiți atmosfera unică a algebrei clasice. Pentru o mai bună înțelegere a materialului, recomand măcar o mică familiarizare cu numere complexe.

Ele sunt cele mai multe. Polinomiale.

Obiectul nostru de interes vor fi cele mai comune polinoame de forma cu întreg coeficienți . Se numeste numarul natural gradul polinom, număr - coeficient la cel mai înalt grad (sau doar cel mai mare coeficient), iar coeficientul este membru liber.

Voi desemna acest polinom pliat cu .

Rădăcinile polinomiale numite rădăcinile ecuației

Iubesc logica de fier =)

De exemplu, mergem chiar la începutul articolului:

Nu există probleme cu găsirea rădăcinilor polinoamelor de gradul 1 și 2, dar pe măsură ce creșteți această sarcină devine din ce în ce mai dificilă. Dar, pe de altă parte, totul este mai interesant! Și acesta este ceea ce va fi dedicată a doua parte a lecției.

În primul rând, literalmente o jumătate de ecran de teorie:

1) Conform corolarului teorema fundamentală a algebrei, polinomul de grad are exact integrat rădăcini. Unele rădăcini (sau chiar toate) pot fi în special valabil. Mai mult, printre rădăcinile reale pot fi rădăcini identice (multiple). (minimum doua, maxim bucati).

Dacă un număr complex este o rădăcină a unui polinom, atunci conjuga numărul său este în mod necesar și rădăcina acestui polinom (rădăcinile complexe conjugate au forma ).

Cel mai simplu exemplu este ecuația pătratică, care a fost întâlnită pentru prima dată în 8 (ca) clasa, și pe care în cele din urmă l-am „terminat” în subiect numere complexe. Vă reamintesc: o ecuație pătratică are fie două rădăcini reale diferite, fie rădăcini multiple, fie conjugă rădăcini complexe.

2) De la teoremele lui Bezout rezultă că dacă numărul este rădăcina ecuației, atunci polinomul corespunzător poate fi factorizat:
, unde este un polinom de grad .

Și din nou, vechiul nostru exemplu: deoarece este rădăcina ecuației , atunci . După aceea, este ușor să obțineți binecunoscuta descompunere „școală”.

Consecința teoremei lui Bezout este de mare valoare practică: dacă cunoaștem rădăcina ecuației de gradul 3, atunci o putem reprezenta sub forma iar din ecuația pătratică se află ușor rădăcinile rămase. Dacă cunoaștem rădăcina ecuației de gradul 4, atunci este posibil să extindem partea stângă într-un produs etc.

Și aici sunt două întrebări:

Întrebarea unu. Cum să găsești această rădăcină? În primul rând, să-i definim natura: în multe probleme de matematică superioară se cere să se găsească raţional, în special întreg rădăcinile polinoamelor și, în acest sens, în continuare ne vom interesa în principal de ele .... …sunt atât de bune, atât de pufoase, încât vrei doar să le găsești! =)

Primul lucru care se sugerează este metoda de selecție. Luați în considerare, de exemplu, ecuația . Captura aici este în termenul liber - dacă ar fi egal cu zero, atunci totul ar fi ajurat - punem „x” din paranteze și rădăcinile înseși „cad” la suprafață:

Dar termenul nostru liber este egal cu „trei” și, prin urmare, începem să substituim diverse numere în ecuație care pretind că sunt numite „rădăcină”. În primul rând, înlocuirea unor valori individuale se sugerează. Inlocuitor:

Primit gresit egalitate, astfel, unitatea „nu se potrivea”. Bine, hai să-l punem în:

Primit corect egalitate! Adică, valoarea este rădăcina acestei ecuații.

Pentru a găsi rădăcinile unui polinom de gradul 3, există o metodă analitică (așa-numitele formule Cardano), dar acum ne interesează o problemă puțin diferită.

Deoarece - este rădăcina polinomului nostru, atunci polinomul poate fi reprezentat sub formă și apare A doua întrebare: cum să-l găsesc pe „fratele mai mic”?

Cele mai simple considerații algebrice sugerează că pentru aceasta trebuie să împărțiți cu. Cum se împarte un polinom la un polinom? Aceeași metodă școlară care împarte numerele obișnuite - o „coloană”! Am discutat despre această metodă în detaliu în primele exemple ale lecției. Limite complexe, iar acum vom lua în considerare o altă metodă, care se numește Schema lui Horner.

În primul rând, scriem polinomul „senior”. cu toata lumea , inclusiv coeficienți zero:
, după care introducem acești coeficienți (strict în ordine) în rândul de sus al tabelului:

În stânga scriem rădăcina:

Voi face imediat o rezervare că schema lui Horner funcționează și dacă numărul „roșu”. nu este rădăcina polinomului. Totuși, să nu grăbim lucrurile.

Luăm coeficientul senior de sus:

Procesul de umplere a celulelor inferioare amintește oarecum de broderie, unde „minus unu” este un fel de „ac” care pătrunde în etapele următoare. Înmulțim numărul „demolat” cu (-1) și adăugăm numărul din celula de sus la produs:

Înmulțim valoarea găsită cu „acul roșu” și adăugăm următorul coeficient de ecuație la produs:

Și, în sfârșit, valoarea rezultată este din nou „procesată” cu un „ac” și un coeficient superior:

Zero din ultima celulă ne spune că polinomul s-a împărțit în fără urmă (cum ar trebui să fie), în timp ce coeficienții de expansiune sunt „eliminați” direct din rândul de jos al tabelului:

Astfel, am trecut de la ecuație la o ecuație echivalentă și totul este clar cu cele două rădăcini rămase (în acest caz se obțin rădăcini complexe conjugate).

Ecuația, de altfel, poate fi rezolvată și grafic: construiți "fermoar" și vezi că graficul traversează axa x () la punctul . Sau același truc „sprețuitor” - rescriem ecuația în forma , desenăm grafice elementare și detectăm coordonatele „X” a punctului lor de intersecție.

Apropo, graficul oricărei funcții polinomiale de gradul 3 traversează axa cel puțin o dată, ceea ce înseamnă că ecuația corespunzătoare are macar unu valabil rădăcină. Acest fapt este valabil pentru orice funcție polinomială de grad impar.

Și aici vreau să mă opresc punct important referitor la terminologie: polinomși funcţie polinomială – Nu este la fel! Dar, în practică, ei vorbesc adesea, de exemplu, despre „graful polinom”, care, desigur, este neglijent.

Dar să revenim la schema lui Horner. După cum am menționat recent, această schemă funcționează și pentru alte numere, dar dacă numărul nu este rădăcina ecuației, atunci în formula noastră apare un aditiv diferit de zero (restul):

Să „conducem” valoarea „nereușită” conform schemei lui Horner. În același timp, este convenabil să folosiți același tabel - notăm un nou „ac” în stânga, demolăm cel mai mare coeficient de sus (săgeata verde stânga), și plecăm:

Pentru a verifica, deschidem parantezele și dăm termeni similari:
, BINE.

Este ușor de observat că restul („șase”) este exact valoarea polinomului la . Și de fapt - ce este:
, și chiar mai frumos - așa:

Din calculele de mai sus, este ușor de înțeles că schema lui Horner permite nu numai factorizarea polinomului, ci și efectuarea unei selecții „civilizate” a rădăcinii. Vă sugerez să reparați independent algoritmul de calcul cu o sarcină mică:

Sarcina 2

Folosind schema lui Horner, găsiți întreaga rădăcină a ecuației și factorizați polinomul corespunzător

Cu alte cuvinte, aici trebuie să verificați succesiv numerele 1, -1, 2, -2, ... - până când un rest zero este „desenat” în ultima coloană. Aceasta va însemna că „acul” acestei linii este rădăcina polinomului

Calculele sunt aranjate convenabil într-un singur tabel. Soluție detaliată și răspuns la sfârșitul lecției.

Metoda de selectare a rădăcinilor este bună pentru cazuri relativ simple, dar dacă coeficienții și/sau gradul polinomului sunt mari, atunci procesul poate fi întârziat. Sau poate unele valori din aceeași listă 1, -1, 2, -2 și nu are sens să le luăm în considerare? Și, în plus, rădăcinile se pot dovedi a fi fracționate, ceea ce va duce la o picătură complet neștiințifică.

Din fericire, există două teoreme puternice care pot reduce semnificativ enumerarea valorilor „candidate” pentru rădăcini raționale:

Teorema 1 Considera ireductibil fracție , unde . Dacă numărul este rădăcina ecuației, atunci termenul liber este divizibil cu, iar coeficientul principal este divizibil cu.

În special, dacă coeficientul principal este , atunci această rădăcină rațională este întreg:

Și începem să exploatăm teorema doar din această particularitate gustoasă:

Să revenim la ecuație. Deoarece coeficientul său de conducere este , rădăcinile raționale ipotetice pot fi exclusiv întregi, iar termenul liber trebuie să fie divizibil cu aceste rădăcini fără rest. Iar „trei” pot fi împărțiți doar în 1, -1, 3 și -3. Adică avem doar 4 „candidați pentru rădăcini”. Și, conform Teorema 1, alte numere raționale nu pot fi rădăcini ale acestei ecuații ÎN PRINCIPIUL.

Există puțin mai mulți „solicitanți” în ecuație: termenul liber este împărțit în 1, -1, 2, -2, 4 și -4.

Vă rugăm să rețineți că numerele 1, -1 sunt „obișnuite” ale listei de rădăcini posibile (o consecință evidentă a teoremei)și cea mai bună alegere pentru prima inspecție.

Să trecem la exemple mai semnificative:

Sarcina 3

Decizie: din moment ce coeficientul conducător , atunci rădăcinile raționale ipotetice pot fi doar numere întregi, în timp ce trebuie să fie divizori ai termenului liber. „Minus patruzeci” este împărțit în următoarele perechi de numere:
- în total 16 „candidați”.

Și aici apare imediat un gând tentant: este posibil să îndepărtați toate rădăcinile negative sau toate pozitive? În unele cazuri poți! Voi formula două semne:

1) Dacă toate Dacă coeficienții unui polinom sunt nenegativi, atunci acesta nu poate avea rădăcini pozitive. Din păcate, acesta nu este cazul nostru (Acum, dacă ni s-a dat o ecuație - atunci da, atunci când înlocuirea oricărei valori a polinomului este strict pozitivă, ceea ce înseamnă că toate numerele pozitive (și irațional) nu pot fi rădăcini ale ecuației.

2) Dacă coeficienții pentru puterile impare sunt nenegativi și pentru toate puterile pare (inclusiv membru gratuit) sunt negative, atunci polinomul nu poate avea rădăcini negative. Acesta este cazul nostru! Privind atent, puteți vedea că atunci când orice „x” negativ este înlocuit în ecuație, partea stângă va fi strict negativă, ceea ce înseamnă că rădăcinile negative dispar.

Astfel, 8 numere au rămas pentru cercetare:

„Încărcați” în mod constant conform schemei Horner. Sper că ai stăpânit deja calculele mentale:

Norocul ne aștepta când testăm „deuce”. Astfel, este rădăcina ecuației luate în considerare și

Rămâne de investigat ecuația . Este ușor să faci acest lucru prin discriminant, dar voi efectua un test exponențial în același mod. În primul rând, rețineți că termenul liber este egal cu 20, ceea ce înseamnă că conform Teorema 1 numerele 8 și 40 ies din lista de rădăcini posibile, iar valorile rămân pentru cercetare (unul a fost eliminat conform schemei Horner).

Scriem coeficienții trinomului în rândul de sus al noului tabel și începem să verificăm cu același „doi”. De ce? Si pentru ca radacinile pot fi multiple, va rog: - aceasta ecuatie are 10 radacini identice. Dar să nu ne divagăm:

Și aici, desigur, am fost puțin șmecher, știind că rădăcinile sunt raționale. La urma urmei, dacă ar fi iraționale sau complexe, atunci aș avea o verificare nereușită a tuturor numerelor rămase. Prin urmare, în practică, fiți ghidat de discriminant.

Răspuns: rădăcini raționale: 2, 4, 5

În problema analizată, am avut noroc, deoarece: a) valorile negative au căzut imediat și b) am găsit rădăcina foarte repede (și teoretic am putea verifica întreaga listă).

Dar, în realitate, situația este mult mai rea. Vă invit să urmăriți un joc interesant numit „Ultimul erou”:

Sarcina 4

Găsiți rădăcinile raționale ale unei ecuații

Decizie: pe Teorema 1 numeratorii rădăcinilor raționale ipotetice trebuie să îndeplinească condiția (citiți „doisprezece este divizibil cu ale”), iar numitorii condiției . Pe baza acestui lucru, obținem două liste:

"list el":
și „lista-le”: (din fericire, aici numerele sunt naturale).

Acum să facem o listă cu toate rădăcinile posibile. În primul rând, împărțim „lista de bere” la . Este destul de clar că se vor dovedi aceleași numere. Pentru comoditate, să le punem într-un tabel:

Multe fracții au fost reduse, rezultând valori care sunt deja în „lista eroilor”. Adăugăm doar „noi veniți”:

În mod similar, împărțim aceeași „listă de bere” la:

și în sfârșit pe

Astfel, echipa de participanți la jocul nostru este dotată cu:


Din păcate, polinomul acestei probleme nu satisface criteriul „pozitiv” sau „negativ” și, prin urmare, nu putem elimina rândul de sus sau de jos. Trebuie să lucrezi cu toate numerele.

Cum este starea ta de spirit? Haide, întoarce-ți nasul în sus - există o altă teoremă care poate fi numită figurativ „teorema ucigașului” .... ... „candidați”, desigur =)

Dar mai întâi trebuie să parcurgeți diagrama lui Horner pentru cel puțin una întregul numerele. În mod tradițional, luăm unul. În linia de sus scriem coeficienții polinomului și totul este ca de obicei:

Deoarece patru nu este în mod clar zero, valoarea nu este rădăcina polinomului în cauză. Dar ea ne va ajuta foarte mult.

Teorema 2 Dacă pentru unii în general valoarea polinomului este nenulă: , apoi rădăcinile sale raționale (daca sunt) satisface condiția

În cazul nostru și prin urmare toate rădăcinile posibile trebuie să satisfacă condiția (să-i spunem Condiția #1). Acești patru vor fi „ucigașul” multor „candidați”. Ca o demonstrație, voi analiza câteva verificări:

Să verificăm candidatul. Pentru a face acest lucru, îl reprezentăm artificial ca o fracție , din care se vede clar că . Să calculăm diferența de verificare: . Patru este împărțit la „minus doi”: ceea ce înseamnă că rădăcina posibilă a trecut testul.

Să verificăm valoarea. Aici, diferența de test este: . Desigur, și, prin urmare, pe listă rămâne și al doilea „subiect de testare”.