Veľa zo všetkých reálne čísla možno reprezentovať ako spojenie troch množín: množiny kladných čísel, množiny záporných čísel a množiny pozostávajúcej z jedného čísla - čísla nula. Ak chcete uviesť, že číslo a pozitívne, užite si záznam a > 0, na označenie záporného čísla použite iný záznam a< 0 .

Súčet a súčin kladných čísel sú tiež kladné čísla. Ak číslo a záporné, potom číslo -a pozitívne (a naopak). Pre každé kladné číslo a existuje kladné číslo racionálne číslo r, čo r< а . Tieto fakty sú základom teórie nerovností.

Podľa definície nerovnosť a > b (alebo ekvivalentne b< a) имеет место в том и только в том случае, если а - b >0, teda ak je číslo a - b kladné.

Zvážte najmä nerovnosť a< 0 . Čo znamená táto nerovnosť? Podľa vyššie uvedenej definície to znamená, že 0 - a > 0, t.j. -a > 0 alebo aké číslo -a pozitívne. Ale to platí vtedy a len vtedy, ak číslo a negatívne. Takže nerovnosť a< 0 znamená, že číslo ale negatívne.

Často sa používa aj notácia ab(alebo, čo je to isté, ba).
Nahrávanie ab, podľa definície znamená, že buď a > b, alebo a = b. Ak vezmeme do úvahy vstup ab ako neurčitý výrok, potom v zápise matematická logika dá sa napísať

(a b) [(a > b) V (a = b)]

Príklad 1 Sú nerovnosti 5 0, 0 0 správne?

Nerovnosť 50 je zložený výrok pozostávajúce z dvoch jednoduché výroky spojené logickým spojovacím „alebo“ (disjunkcia). Buď 5 > 0 alebo 5 = 0. Prvý výrok 5 > 0 je pravdivý, druhý výrok 5 = 0 je nepravdivý. Podľa definície disjunkcie je takýto zložený výrok pravdivý.

Záznam 00 je diskutovaný podobne.

Nerovnosti formy a > b, a< b bude nazývaný prísny, a nerovnosti formy ab, ab- neprísny.

nerovnosti a > b a c > d(alebo a< b a s< d ) sa budú nazývať nerovnosti rovnakého významu a nerovnosti a > b a c< d - nerovnosti opačného významu. Všimnite si, že tieto dva pojmy (nerovnosti rovnakého a opačného významu) sa týkajú iba formy písania nerovností, a nie samotných faktov vyjadrených týmito nerovnosťami. Takže vo vzťahu k nerovnosti a< b nerovnosť s< d je nerovnosť rovnakého významu a v písaní d > c(čo znamená to isté) - nerovnosť opačného významu.

Spolu s nerovnosťami formy a > b, ab používajú sa takzvané dvojité nerovnosti, teda nerovnosti tvaru a< с < b , eso< b , a< cb ,
acb. Podľa definície, vstup

a< с < b (1)
znamená, že obe nerovnosti platia:

a< с a s< b.

Nerovnosti majú podobný význam acb, ac< b, а < сb.

Dvojitú nerovnosť (1) možno zapísať takto:

(a< c < b) [(a < c) & (c < b)]

a dvojitá nerovnosť a ≤ c ≤ b možno napísať v nasledujúcom tvare:

(a c b) [(a< c)V(a = c) & (c < b)V(c = b)]

Prejdime teraz k predstaveniu hlavných vlastností a pravidiel konania o nerovnostiach, pričom súhlasíme s tým, že v tomto článku sú písmená a, b, c predstavujú reálne čísla a n znamená prirodzené číslo.

1) Ak a > b a b > c, potom a > c (tranzitivita).

Dôkaz.

Keďže podľa stavu a > b a b > c, potom čísla a - b a b - c sú kladné, a teda aj číslo a - c \u003d (a - b) + (b - c), ako súčet kladných čísel je tiež kladný. To podľa definície znamená, že a > c.

2) Ak a > b, tak pre ľubovoľné c platí nerovnosť a + c > b + c.

Dôkaz.

Ako a > b, potom číslo a - b pozitívne. Preto číslo (a + c) - (b + c) = a + c - b - c = a - b je aj pozitívny, t.j.
a + c > b + c.

3) Ak a + b > c, potom a > b - c, t.j. ľubovoľný člen možno preniesť z jednej časti nerovnosti na druhú zmenou znamienka tohto termínu na opačný.

Dôkaz vyplýva z vlastnosti 2) postačuje pre obe časti nerovnosti a + b > c pridať číslo - b.

4) Ak a > b a c > d, potom a + c > b + d, t.j. pridanie dvoch nerovností rovnakého významu dostane nerovnosť rovnakého významu.

Dôkaz.

Definíciou nerovnosti stačí ukázať, že rozdiel
(a + c) - (b + c) pozitívne. Tento rozdiel možno zapísať takto:
(a + c) - (b + d) = (a - b) + (c - d).
Keďže podľa podmienky čísla a - b a c - d sú teda pozitívne (a + c) - (b + d) je tiež kladné číslo.

Dôsledok. Z pravidiel 2) a 4) vyplýva ďalšie pravidlo odčítanie nerovností: ak a > b, c > d, potom a - d > b - c(na dôkaz stačí obe časti nerovnosti a + c > b + d pridať číslo - c - d).

5) Ak a > b, potom pre c > 0 máme ac > bc a pre c< 0 имеем ас < bc.

Inými slovami, pri vynásobení oboch strán nerovnosti ani jednej kladné číslo znak nerovnosti sa zachová (t.j. získa sa nerovnosť rovnakého významu) a po vynásobení záporné číslo znamienko nerovnosti sa obráti (t.j. získa sa nerovnosť opačného významu.

Dôkaz.

Ak a > b, potom a - b je kladné číslo. Preto znamenie rozdielu ac-bc = taxík) sa zhoduje so znamienkom čísla s: ak s je kladné číslo, potom rozdiel ac - bc pozitívne a preto ac > bc, A keď s< 0 , potom je tento rozdiel záporný a preto bc - ak pozitívne, t.j. bc > ak.

6) Ak a > b > 0 a c > d > 0, potom ac > bd, t.j. ak sú všetky členy dvoch nerovností rovnakého významu kladné, potom násobenie týchto nerovností po členoch vedie k nerovnosti rovnakého významu.

Dôkaz.

Máme ac - bd = ac - bc + bc - bd = c(a - b) + b(c - d). Ako c > 0, b > 0, a - b > 0, c - d > 0, potom ac - bd > 0, t.j. ac > bd.

Komentujte. Z dôkazu je zrejmé, že podm d > 0 pri formulácii vlastnosti 6) nie je dôležité: aby táto vlastnosť bola pravdivá, stačí, aby boli splnené podmienky a > b > 0, c > d, c > 0. Ak (ak sú nerovnosti a > b, c > d) čísla a, b, c nie sú všetky pozitívne, potom nerovnosť ac > bd sa nemusí vykonávať. Napríklad kedy a = 2, b =1, c= -2, d= -3 máme a > b, c > d, ale nerovnosť ac > bd(t.j. -4 > -3) zlyhalo. Podstatná je teda požiadavka, aby čísla a, b, c boli vo výkaze vlastnosti 6) kladné.

7) Ak a ≥ b > 0 a c > d > 0, potom (delenie nerovností).

Dôkaz.

Máme Čitateľ zlomku na pravej strane je kladný (pozri vlastnosti 5), 6)), menovateľ je tiež kladný. Preto,. To dokazuje vlastnosť 7).

Komentujte. Berieme na vedomie dôležité špeciálny prípad pravidlo 7) získané, keď a = b = 1: ak c > d > 0, potom. Ak sú teda členy nerovnosti kladné, potom pri prechode na recipročné dostaneme nerovnosť opačného významu. Vyzývame čitateľov, aby si overili, že toto pravidlo je zachované aj v 7) Ak ab > 0 a c > d > 0, potom (delenie nerovností).

Dôkaz. potom.

Vyššie sme dokázali niekoľko vlastností nerovností zapísaných znamienkom > (viac). Všetky tieto vlastnosti by sa však dali formulovať pomocou znaku < (menej), pretože nerovnosť b< а znamená podľa definície to isté ako nerovnosť a > b. Navyše, keďže je to ľahké skontrolovať, vyššie overené vlastnosti sú zachované aj pre nenáročné nerovnosti. Napríklad vlastnosť 1) pre neprísne nerovnosti bude mať ďalší pohľad: ak ab a bc, potom eso.

Samozrejme, všeobecné vlastnosti nerovností nie sú obmedzené na to, čo bolo povedané vyššie. Tam je stále celý riadok nerovnosti všeobecný pohľad spojené s uvažovaním mocenského, exponenciálneho, logaritmického a goniometrické funkcie. Všeobecný prístup k zapisovaniu týchto druhov nerovností je nasledujúci. Ak nejaká funkcia y = f(x) sa na segmente zvyšuje monotónne [a,b], potom pre x 1 > x 2 (kde x 1 a x 2 patria do tohto segmentu) máme f (x 1) > f(x 2). Podobne, ak funkcia y = f(x) na segmente monotónne klesá [a,b], potom o x 1 > x 2 (kde x 1 a X 2 patria do tohto segmentu) máme f(x1)< f(x 2 ). Samozrejme, to, čo bolo povedané, sa nelíši od definície monotónnosti, ale táto technika je veľmi vhodná na zapamätanie a písanie nerovností.

Takže napríklad pre akúkoľvek prirodzenú funkciu y = x n sa na lúči monotónne zvyšuje {0} {0} }