Témou tohto videonávodu budú vlastnosti pohybu, ako aj paralelný preklad. Na začiatku hodiny si ešte raz zopakujeme pojem pohybu, jeho hlavné druhy – osovú a stredovú súmernosť. Potom zvážime všetky vlastnosti pohybu. Rozoberme si pojem „paralelný prenos“, na čo slúži, vymenujme jeho vlastnosti.

Téma: Pohyb

Lekcia: Pohyb. Vlastnosti pohybu

Dokážme vetu: pri pohybe segment prechádza do segmentu.

Rozlúštime formuláciu vety pomocou obr. 1. Ak sú konce určitého segmentu MN počas pohybu zobrazené v niektorých bodoch M 1 a N 1, potom akýkoľvek bod P segmentu MN nevyhnutne pôjde do nejakého bodu P 1 segmentu M 1 N 1, a naopak, ku každému bodu Q 1 segmentu M 1 N 1 sa zobrazí nejaký bod Q segmentu MN.

Dôkaz.

Ako je zrejmé z obrázku, MN = MP + PN.

Nechajte bod P ísť do nejakého bodu P 1 "roviny. Z definície pohybu vyplýva, že dĺžky segmentov sa rovnajú MN \u003d M 1 N 1, MP \u003d M 1 P 1", PN \u003d P 1 "N 1. Z týchto rovností vyplýva, že M 1 Р 1 ", M 1 Р 1 "+ Р 1 "N 1 = MP + РN = MN = M 1 N 1, teda bod Р 1 " patrí k úsečke M 1 N 1 a zhoduje sa s bodom P 1, inak by namiesto vyššie uvedenej rovnosti platila trojuholníková nerovnosť M 1 P 1 "+ P 1" N 1 > M 1 N 1. To znamená, že sme dokázali že pri pohybe ľubovoľného bodu, ľubovoľného bodu P úsečky MN nevyhnutne pôjde do nejakého bodu P 1 úsečky M 1 N 1. Druhá časť vety (týkajúca sa bodu Q 1) sa dokáže presne tým istým spôsobom. .

Dokázaná veta platí pre všetky pohyby!

Veta: pri pohybe uhol prechádza do rovnakého uhla.

Nech je daný RAOB (obr. 2). A nech je daný nejaký pohyb, v ktorom vrchol РО ide do bodu О 1 a body A a B - respektíve do bodov А 1 a В 1 .

Uvažujme trojuholníky AOB a A 1 O 1 B 1 . Podľa podmienky vety sa body A, O a B pohybujú pri pohybe do bodov A 1, O 1 a B 1, resp. Preto existuje rovnosť dĺžok AO \u003d A 1 O 1, OB \u003d O 1 B 1 a AB \u003d A 1 B 1. Teda AOB \u003d A 1 O 1 B 1 na troch stranách. Z rovnosti trojuholníkov vyplýva rovnosť zodpovedajúcich uhlov O a O 1.

Takže každý pohyb zachováva uhly.

Mnoho dôsledkov vyplýva zo základných vlastností pohybu, najmä z toho, že každá figúra počas pohybu je mapovaná na figúru, ktorá je jej rovná.

Zvážte iný typ pohybu - paralelný prenos.

Paralelný prenos na nejaký daný vektor sa nazýva také zobrazenie roviny na seba, pri ktorom každý bod M roviny smeruje do takého bodu M 1 tej istej roviny, ktorý (obr. 3).

Dokážme to paralelný preklad je pohyb.

Dôkaz.

Zvážte ľubovoľný segment MN (obr. 4). Pri paralelnom prenose nech sa bod M presunie do bodu M 1 a bod N - do bodu N 1. V tomto prípade sú splnené podmienky paralelného prevodu: a . Zvážte štvoruholník

MM 1 N 1 N. Jeho dve protiľahlé strany (MM 1 a NN 1) sú rovnaké a rovnobežné, ako to diktujú podmienky paralelnej translácie. Preto je tento štvoruholník rovnobežníkom podľa jedného zo znakov druhého. To znamená, že ostatné dve strany (MN a M 1 N 1) rovnobežníka majú rovnaké dĺžky, čo malo byť preukázané.

Paralelný prenos je teda skutočne pohyb.

Poďme si to zhrnúť. Poznáme už tri typy pohybu: osová symetria, stredová symetria a paralelný prenos. Dokázali sme, že pri pohybe segment prechádza do segmentu a uhol do rovnakého uhla. Okrem toho sa dá ukázať, že priamka prechádza pri pohybe do priamky a kružnica prechádza do kružnice s rovnakým polomerom.

1. Atanasyan L. S. a ďalší. Geometria ročníky 7-9. Návod pre vzdelávacie inštitúcie. - M.: Vzdelávanie, 2010.

2. Farkov A. V. Testy z geometrie: 9. ročník. K učebnici L. S. Atanasyan a ďalších - M.: Skúška, 2010.

3. A. V. Pogorelov, Geometria, úč. pre 7-11 buniek. všeobecný inšt. - M.: Osveta, 1995.

1. ruský vzdelávací portál ().

2. Festival pedagogické myšlienky « Verejná lekcia» ().

1. Atanasyan (pozri odkazy), s. 293, § 1, bod 114.

Veta o pohybe ťažiska.

V niektorých prípadoch na určenie povahy pohybu sústavy (najmä tuhého telesa) stačí poznať zákon pohybu jej ťažiska. Ak napríklad hodíte kameň na cieľ, nemusíte vôbec vedieť, ako sa počas letu zrúti, dôležité je zistiť, či zasiahne cieľ alebo nie. Na to stačí zvážiť pohyb niektorého bodu tohto telesa.

Aby sme našli tento zákon, obrátime sa na pohybové rovnice systému a pridáme ich ľavú a pravú časť po členoch. Potom dostaneme:

Poďme transformovať ľavú stranu rovnosti. Zo vzorca pre vektor polomeru ťažiska máme:

Keď vezmeme z oboch častí tejto rovnosti druhú deriváciu času a všimneme si, že derivácia súčtu sa rovná súčtu derivácií, zistíme:

kde je zrýchlenie ťažiska sústavy. Keďže majetkom interných systémové sily, potom nahradením všetkých nájdených hodnôt nakoniec dostaneme:

Rovnica a vyjadruje vetu o pohybe ťažiska sústavy: súčin hmotnosti sústavy a zrýchlenia jej ťažiska je geometrický súčet všetky vonkajšie sily pôsobiace na systém. Porovnaním s pohybovou rovnicou hmotného bodu dostaneme ďalšie vyjadrenie vety: ťažisko sústavy sa pohybuje ako hmotný bod, ktorého hmotnosť sa rovná hmotnosti celej sústavy a na ktorú pôsobia všetky vonkajšie sily pôsobiace na sústavu.

Premietnutím oboch strán rovnosti na súradnicové osi dostaneme:

Tieto rovnice sú diferenciálne rovnice pohybu ťažiska v projekciách na osi karteziánskeho súradnicového systému.

Význam dokázanej vety je nasledujúci.

1) Veta poskytuje zdôvodnenie metód bodovej dynamiky. Z rovníc je vidieť, že riešenia, ktoré dostaneme, keď dané teleso považujeme za hmotný bod, určujú zákon pohybu ťažiska tohto telesa, tie. majú veľmi špecifický význam.

Najmä ak sa teleso pohybuje dopredu, potom je jeho pohyb úplne určený pohybom ťažiska. Postupne sa pohybujúce teleso teda možno vždy považovať za hmotný bod s hmotnosťou, rovná hmotnosti telo. V iných prípadoch možno teleso považovať za hmotný bod len vtedy, keď v praxi na určenie polohy telesa stačí poznať polohu jeho ťažiska.

2) Veta umožňuje pri určovaní zákona pohybu ťažiska ľubovoľného systému vylúčiť z úvahy všetky dovtedy neznáme vnútorné sily. To je jeho praktická hodnota.

Takže pohyb auta v horizontálnej rovine môže nastať iba pri pôsobení vonkajšie sily, trecie sily pôsobiace na kolesá zo strany vozovky. A brzdenie auta je tiež možné len týmito silami a nie trením medzi brzdovými doštičkami a brzdovým bubnom. Ak je cesta hladká, bez ohľadu na to, ako veľmi brzdia kolesá, budú sa šmýkať a auto nezastavia.

Alebo po výbuchu lietajúceho projektilu (pri pôsobení vnútorné sily) jeho časti, fragmenty, sa rozptýlia tak, že ich ťažisko sa bude pohybovať po rovnakej trajektórii.

Veta o pohybe ťažiska mechanického systému by sa mala použiť na riešenie problémov v mechanike, ktoré vyžadujú:

Podľa síl pôsobiacich na mechanickú sústavu (najčastejšie na pevné teleso) určte zákon pohybu ťažiska;

Autor: daný zákon pohyby telies zaradených do mechanického systému, nájsť reakcie vonkajších väzieb;

Na základe daného vzájomného pohybu telies zaradených do mechanickej sústavy určte pohybový zákon týchto telies voči nejakej pevnej vzťažnej sústave.

Pomocou tejto vety možno zostaviť jednu z pohybových rovníc mechanického systému s niekoľkými stupňami voľnosti.

Pri riešení úloh sa často využívajú dôsledky vety o pohybe ťažiska mechanický systém.

Dôsledok 1. Ak hlavný vektor vonkajšie sily pôsobiace na mechanický systém, nula, potom je ťažisko systému v pokoji alebo sa pohybuje rovnomerne a priamočiaro. Keďže zrýchlenie ťažiska je nulové, .

Dôsledok 2. Ak je priemet hlavného vektora vonkajších síl na ktorúkoľvek os rovný nule, potom ťažisko systému buď nemení svoju polohu voči tejto osi, alebo sa voči nej pohybuje rovnomerne.

Napríklad, ak na teleso začnú pôsobiť dve sily, ktoré tvoria dvojicu síl (obr. 38), potom ťažisko OD bude sa pohybovať po rovnakej trajektórii. A samotné telo sa bude otáčať okolo ťažiska. A je jedno, kde sa pár síl aplikuje.

Mimochodom, v statike sme dokázali, že účinok dvojice na teleso nezávisí od toho, kde sa aplikuje. Tu sme si ukázali, že rotácia tela bude okolo stredovej osi OD.

Obr.38

Veta o zmene kinetického momentu.

Kinetický moment mechanického systému vzhľadom na pevný stred O je mierou pohybu systému okolo tohto stredu. Pri riešení úloh sa väčšinou nepoužíva samotný vektor, ale jeho projekcie na osi pevného súradnicového systému, ktoré sa nazývajú kinetické momenty okolo osi. Napríklad - kinetický moment systému vzhľadom na pevnú os Oz .

Hybnosť mechanického systému je súčtom spád body a orgány zahrnuté v tomto systéme. Zvážte spôsoby, ako určiť moment hybnosti hmotný bod a pevné telo rôznych príležitostiach ich pohyby.

Pre hmotný bod s hmotnosťou, ktorá má rýchlosť, moment hybnosti okolo nejakej osi Oz je definovaný ako moment vektora hybnosti tohto bodu okolo zvolenej osi:

Moment hybnosti bodu sa považuje za kladný, ak zo strany kladného smeru osi nastáva pohyb bodu proti smeru hodinových ručičiek.

Ak bod vykonáva zložitý pohyb, na určenie jeho momentu hybnosti by sa mal vektor hybnosti považovať za súčet veličín relatívnych a prenosných pohybov (obr. 41).

Ale , kde je vzdialenosť od bodu k osi otáčania, a

Ryža. 41

Druhá zložka vektora momentu hybnosti môže byť definovaná rovnakým spôsobom ako moment sily okolo osi. Pokiaľ ide o moment sily, hodnota sa rovná nule, ak vektor relatívnej rýchlosti leží v rovnakej rovine ako os translačnej rotácie.

Hybnosť tuhého telesa vo vzťahu k pevnému stredu možno definovať ako súčet dvoch zložiek: prvá z nich charakterizuje translačnú časť pohybu telesa spolu s jeho ťažiskom, druhá charakterizuje pohyb sústavy. okolo ťažiska:

Ak teleso vykonáva translačný pohyb, potom sa druhá zložka rovná nule

Kinetický moment tuhého telesa sa najjednoduchšie vypočíta, keď sa otáča okolo pevnej osi

kde je moment zotrvačnosti telesa okolo osi otáčania.

Veta o zmene momentu hybnosti mechanického systému pri jeho pohybe okolo pevného stredu je formulovaná takto: celková časová derivácia vektora momentu hybnosti mechanického systému vzhľadom na nejaký pevný stred O vo veľkosti a smere sa rovná hlavnému momentu vonkajších síl pôsobiacich na mechanický systém, definovaným vzhľadom na ten istý stred

kde - Hlavným bodom všetky vonkajšie sily okolo stredu O.

Pri riešení problémov, v ktorých sa telesá považujú za rotujúce okolo pevnej osi, používajú vetu o zmene momentu hybnosti vzhľadom na pevnú os.

Pokiaľ ide o vetu o pohybe ťažiska, veta o zmene momentu hybnosti má dôsledky.

Dôsledok 1. Ak je hlavný moment všetkých vonkajších síl voči nejakému pevnému stredu rovný nule, potom kinetický moment mechanického systému voči tomuto stredu zostáva nezmenený.

Dôsledok 2. Ak je hlavný moment všetkých vonkajších síl okolo niektorej pevnej osi rovný nule, potom kinetický moment mechanického systému okolo tejto osi zostáva nezmenený.

Veta o zmene hybnosti sa používa na riešenie problémov, v ktorých sa uvažuje o pohybe mechanického systému pozostávajúceho z centrálneho telesa rotujúceho okolo pevnej osi a jedného alebo viacerých telies, ktorých pohyb je spojený s centrálnym. Ak sa vykonáva pomocou závitov, telesá sa môžu pohybovať po povrchu centrálneho telesa alebo v jeho kanáloch v dôsledku vnútorných síl. Pomocou tejto vety je možné určiť závislosť zákona rotácie centrálneho telesa od polohy alebo pohybu zostávajúcich telies.

Rovinné pohyby a ich vlastnosti. Príklady pohybu. Klasifikácia pohybov. Pohybová skupina. Aplikovanie pohybu na riešenie problémov

Doprava- ide o transformáciu obrazcov, pri ktorej sú zachované vzdialenosti medzi bodmi. Ak sú dve figúry navzájom presne spojené pomocou pohybu, potom sú tieto figúry rovnaké, rovnaké.

Doprava je bijektívna transformácia φ roviny π, pod ktorou je pre ľubovoľné rôzne body X, Y є π splnený vzťah XY  φ(X)φ(Y).

Vlastnosti pohybu:

1.Zloženie φ ◦ ψ dva pohyby ψ , φ je pohyb.

Doc-in: Nechajte postavu F preložené pohybom ψ do postavy F “ a obrázok F “ sa prekladá pohybom φ do postavy F ''. Nechajte bod X postavy F ide k veci X ' tvary F “ a počas druhej časti bod X ' tvary F “ ide k veci X '' tvary F ''. Potom transformácia postavy F do postavy F '', v ktorom je ľubovoľný bod X postavy F ide k veci X '' tvary F '', zachováva vzdialenosť medzi bodmi, a preto je tiež pohybom.

Nahrávanie piesne vždy začína od poslednej časti, pretože výsledkom kompozície je výsledný obrázok - dáva sa do súladu s originálom: X ’’= ψ (X ’) = ψ (φ (X )) = ψ ◦ φ (X )

2. Ak φ – pohyb, potom premena φ -1 je tiež pohyb.

Doc-in: Nechajte transformáciu tvaru F do postavy F prekladá rôzne body postavy F na rôznych miestach na obrázku F '. Nechajte svojvoľný bod X postavy F pod touto transformáciou ide do bodu X ' tvary F ’.

Transformácia tvaru F “ do postavy F , na ktorom je bod X “ ide k veci X , sa nazýva inverzná transformácia daného . Za každý pohyb φ je možné definovať spätný pohyb, ktorý je označený φ -1 .

Teda premena spätný pohyb, je tiež pohyb.

Je zrejmé, že transformácia φ -1 spĺňa rovnosť: f◦f-1 = f-1◦f = ε , kde ε je identický displej.

3. Asociativita skladieb: Nech φ 1 , φ 2 , φ 3 – dobrovoľné hnutia. Potom φ 1 ◦(φ 2 ◦ φ 3) = (φ 1 ◦φ 2)◦φ 3 .

Skutočnosť, že skladba pohybov má vlastnosť asociatívnosti, nám umožňuje určiť stupeň φ s prirodzený indikátor n .

Položme φ 1= φ a φ n +1= φ n◦ φ , ak n≥ 1 . Teda pohyb φ n získané od n - viacnásobný konzistentná aplikácia pohyby φ .

4. Zachovanie priamosti: Body ležiace na jednej priamke pri pohybe prechádzajú do bodov ležiacich na jednej priamke a zachováva sa poradie ich vzájomnej polohy.

To znamená, že ak body A ,B ,C ležiace na jednej priamke (takéto body sa nazývajú kolineárne), prejdite na body A 1 ,B1 ,C1 , potom tieto body tiež ležia na priamke; ak bod B leží medzi bodmi A a C , potom bod B1 leží medzi bodmi A 1 a C1 .

Docentom sa stal doc. Nechajte bod B rovno AC leží medzi bodmi A a C . Dokážme, že body A 1 ,B1 ,C1 ležať na rovnakej čiare.

Ak body A 1 ,B1 ,C1 neležte na jednej priamke, potom sú to vrcholy nejakého trojuholníka A 1 B 1 C 1 . Preto A 1 C 1 <A 1 B 1 +B1C1 .

Z definície pohybu vyplýva, že AC <AB +BC .

Avšak vlastnosťou meracích segmentov AC =AB +BC .

Dostali sme sa do rozporu. Takže pointa B1 leží medzi bodmi A 1 a C1 .

Povedzme pointu A 1 leží medzi bodmi B1 , a C1 . Potom A 1 B 1 +A 1 C 1 =B1C1 , a preto AB +AC =BC . Ale to je v rozpore s rovnosťou. AB +BC =AC .

Teda bod A 1 neleží medzi bodmi B1 , a C1 .

Dá sa dokázať podobne, že bod C1 nemôže ležať medzi bodmi A 1 a B1 . Pretože z troch bodov A 1 ,B1 ,C1 jeden leží medzi dvoma inými, potom tento bod môže byť len B1 . Veta je úplne dokázaná.

Dôsledok. Pri pohybe sa priamka mapuje na priamku, lúč na lúč, úsečka na úsečku a trojuholník na rovnaký trojuholník.

Ak označíme X množinu bodov roviny a φ(X) obraz množiny X pri pohybe φ, t.j. množinu všetkých bodov tvaru φ(x), kde x є X, potom môžeme dať presnejšiu formuláciu tejto vlastnosti:

Nech φ je pohyb, A, B, C tri odlišné kolineárne body.

Potom sú kolineárne aj body φ(A), φ(B), φ(C).

Ak l je priamka, potom φ(l) je tiež priamka.

Ak je množina X lúč (úsečka, polrovina), potom množina φ(X) je tiež lúč (úsečka, polrovina).

5. Pri pohybe sú zachované uhly medzi nosníkmi.

Docentom sa stal doc. Nechaj AB a AC - dva lúče vychádzajúce z bodu A neleží na rovnakej priamke. Pri pohybe sa tieto lúče menia na nejaké polpriamky (lúče) A 1 B 1 a A 1 C 1 . Pretože pohyb zachováva vzdialenosti, potom trojuholníky ABC a A 1 B 1 C 1 sa rovnajú podľa tretieho kritéria pre rovnosť trojuholníkov (ak sa tri strany jedného trojuholníka rovnajú trom stranám iného trojuholníka, potom sú tieto trojuholníky rovnaké). Z rovnosti trojuholníkov vyplýva rovnosť uhlov BAC a B 1 A 1 C 1 , čo malo byť preukázané.

6. Akýkoľvek pohyb zachováva spoločný smer lúčov a rovnakú orientáciu vlajok.

Lúče l A a l B volal spolusmerný(podobne orientované, označenie: l A l B ) ak je jeden z nich obsiahnutý v druhom, alebo ak sú spojené paralelným prevodom. VlajkaF = (π l , l o) je spojenie polroviny πl a lúč lo.

Bodka O - začiatok vlajky, trám lo počnúc bodom O - stožiar vlajky πl - polrovina s ohraničením l .

Docentom sa stal doc. Nechaj φ - dobrovoľný pohyb l A l B -kosmerné lúče s pôvodom v bodoch ALE a AT resp. Predstavme si notáciu: l A1 = φ (l A ), A 1 = φ (ALE ), l B1= φ (l B ),V 1 = φ (ALE ).Ak lúče l A a l B ležia na rovnakej priamke, potom je jedna z nich na základe kodirectivity obsiahnutá v druhej. Zvažujem to l A  l B , dostaneme φ (l A )  φ (l B ), t.j. l A1 l B1 (symbol  označuje zahrnutie alebo rovnosť podmnožiny prvkov k množine prvkov). l A, l B ležať na rôznych líniách, potom nechať n = (AB Potom existuje taká polrovina n , čo l A, l B  n . Odtiaľ φ (l A ),φ (l B ) φ (n ). Pretože φ (n ) je polrovina a jej hranica obsahuje body A 1 a V 1 , opäť to chápeme l A, l B spolurežírovaný.

Aplikujme pohyb φ na identicky orientované vlajky F= (π l, l A ), G= (πm ,m B Zvážte prípad, keď body A a B zápas. Ak rovno l a m sú rôzne, potom rovnaká orientácia vlajok znamená, že buď (1) l A πm , m A  π'l alebo (2) l A πm ,m A  πl . Bez straty všeobecnosti môžeme predpokladať, že podmienka (1) je splnená. Potom φ (l A )  φ (πm ), φ (m A )  φ (π'l ). To znamená rovnakú orientáciu vlajok φ (F ) a φ (G ).Ak je priamy l ,m zápas, potom buď F=G alebo F = G'. Z toho vyplýva, že vlajky φ (F ) a φ (G ) sú rovnako orientované.

Teraz nechajme bodky A a B rôzne. Označiť podľa n priamka ( AB ). Je jasné, že existujú kosmerné lúče n A a nB a polorovina n taká, že vlajka F 1 = (πn, n A ) je spolurežírovaný s F a vlajka G 1 = (π n , n B , ) je spolurežírovaný s G. Prostriedky φ (F ) a φ (G ) sú rovnako orientované.Veta je dokázaná.

Príklady pohybu:

1) paralelný preklad - taká transformácia obrazca, pri ktorej sa všetky body obrazca pohybujú rovnakým smerom o rovnakú vzdialenosť.

2) symetria vzhľadom na priamku (axiálna alebo zrkadlová symetria). transformácia σ postavy F do postavy F', kde je každý jeho bod X ide k veci X', ktorá je symetrická vzhľadom na danú čiaru l, sa nazýva transformácia symetrie vzhľadom na priamku l. Zároveň figúry F a F' nazývané symetrické vzhľadom na čiaru l.

3) otočte sa okolo bodu. Otáčaním lietadla ρ okolo tohto bodu O sa nazýva taký pohyb, pri ktorom sa každý lúč vychádzajúci z tohto bodu otáča o rovnaký uhol α rovnakým smerom

„Skúmanie pohybov roviny a niektorých ich vlastností“. strana 21 z 21

Skúmanie pohybov roviny

a niektoré ich vlastnosti

Obsah

Z histórie vývoja teórie pohybov.

Definícia a vlastnosti pohybov.

Zhoda čísel.

Druhy pohybov.

4.1. Paralelný prenos.

4.2. Otočte sa.

4.3. Symetria okolo priamky.

4.4. Posuvná symetria.

5. Štúdium špeciálnych vlastností osovej súmernosti.

6. Skúmanie možnosti existencie iných typov pohybov.

7. Veta o mobilite. Dva druhy pohybov.

8. Klasifikácia pohybov. Challova veta.

Pohyby ako skupina geometrických transformácií.

Aplikácia pohybov pri riešení problémov.

Literatúra.

História vývoja teórie pohybov.

Za prvého, kto začal dokazovať niektoré geometrické tvrdenia, sa považuje starogrécky matematik Táles z Milétu(625-547 pred Kristom). Práve vďaka Thalesovi sa geometria začala meniť zo súboru praktických pravidiel na skutočnú vedu. Pred Thalesom dôkazy jednoducho neexistovali!

Ako vykonal Thales svoje dôkazy? Na tento účel používal pohyby.

Doprava - ide o transformáciu obrazcov, pri ktorej sú zachované vzdialenosti medzi bodmi. Ak sú dve figúry navzájom presne spojené pomocou pohybu, potom sú tieto figúry rovnaké, rovnaké.

Týmto spôsobom Thales dokázal množstvo prvých geometrických teorémov. Ak sa rovina otáča ako tuhý celok okolo nejakého bodu O 180 o, lúč OA pôjde na jeho pokračovanie OA ’ . S takými sústruženie (tiež nazývaný stredová symetria vycentrované O ) každý bod ALE sa presunie do bodu ALE ’ , čo O je stredom segmentu AA ’ (obr. 1).

Obr.1 Obr.2

Nechaj O - spoločný vrchol zvislých rohov AOB a ALE ’ OV ’ . Potom je ale jasné, že pri otočení o 180° budú strany jedného z dvoch vertikálnych uhlov len prechádzať na strany druhého, t.j. tieto dva rohy sú zarovnané. To znamená, že vertikálne uhly sú rovnaké (obr. 2).

Dokazovanie rovnosti uhlov na základni rovnoramenného trojuholníka použil Thales osová súmernosť : spojil dve polovice rovnoramenného trojuholníka ohnutím kresby pozdĺž osi uhla na vrchole (obr. 3). Rovnakým spôsobom Thales dokázal, že priemer pretína kruh.

Obr.3 Obr.4

Aplikovaný Thales a ďalšie hnutie - paralelný prenos , pri ktorej sú všetky body obrazca posunuté v určitom smere o rovnakú vzdialenosť. S jeho pomocou dokázal vetu, ktorá teraz nesie jeho meno:

ak sú rovnaké segmenty odložené na jednej strane uhla a cez konce týchto segmentov sú nakreslené rovnobežné čiary, až kým sa nepretínajú s druhou stranou uhla, potom sa rovnaké segmenty získajú aj na druhej strane uhla(obr. 4).

V dávnych dobách myšlienku pohybu používali aj slávni Euklides, autor knihy „Začiatky“ – knihy, ktorá prežila viac ako dve tisícročia. Euklides bol súčasníkom Ptolemaia I., ktorý vládol v Egypte, Sýrii a Macedónii v rokoch 305-283 pred Kristom.

Pohyby boli implicitne prítomné napríklad v Euklidovom uvažovaní pri dokazovaní znakov rovnosti trojuholníkov: „Vnucujme jeden trojuholník druhému tak a tak.“ Podľa Euklida sa dve postavy nazývajú rovnocenné, ak sa dajú „spojiť“ všetkými svojimi bodmi, t.j. posunutím jednej figúry ako pevného celku ju možno presne položiť na druhú figúrku. Pre Euklida pohyb ešte nebol matematickým pojmom. Systém axióm, ktorý prvýkrát uviedol v „Princípoch“ sa stal základom geometrickej teórie tzv. Euklidovská geometria.

V modernej dobe pokračuje rozvoj matematických disciplín. Analytická geometria bola vytvorená v 11. storočí. Profesor matematiky na Univerzite v Bologni Bonaventure Cavalieri(1598-1647) publikuje esej "Geometria, vyjadrená novým spôsobom pomocou nedeliteľného spojitého." Podľa Cavalieriho možno akúkoľvek plochú postavu považovať za súbor rovnobežných čiar alebo „stôp“, ktoré čiara zanecháva, keď sa pohybuje rovnobežne so sebou samým. Podobne sa dáva predstava o telesách: vznikajú pri pohybe rovín.

Ďalší rozvoj teórie pohybu je spojený s menom francúzskeho matematika a historika vedy Michel Chall(1793-1880). V roku 1837 vydal dielo „Historický prehľad o vzniku a vývoji geometrických metód“. V procese vlastného geometrického výskumu Schall dokazuje najdôležitejšiu vetu:

každý orientačný pohyb roviny je buď

paralelný posun alebo rotácia,

každý pohyb roviny meniaci orientáciu je buď axiálny

symetria alebo posuvná symetria.

Dôkaz Challovej vety je plne vykonaný v bode 8 tohto abstraktu.

Významným obohatením, ktorému geometria vďačí za 19. storočie, je vytvorenie teórie geometrických transformácií, najmä matematickej teórie pohybov (posunov). Do tejto doby bolo potrebné klasifikovať všetky existujúce geometrické systémy. Tento problém vyriešil nemecký matematik Christian Felix Klein(1849-1925).

V roku 1872, keď sa ujal post profesora na univerzite v Erlangene, mal Klein prednášku na tému „Porovnávací prehľad najnovších geometrických výskumov“. Nazvala sa ním myšlienka prehodnotiť celú geometriu na základe teórie pohybov "Program Erlangen".

Podľa Kleina je na vytvorenie konkrétnej geometrie potrebné zadať množinu prvkov a skupinu transformácií. Úlohou geometrie je študovať tie vzťahy medzi prvkami, ktoré zostávajú invariantné pri všetkých transformáciách danej skupiny. Napríklad Euklidova geometria študuje tie vlastnosti postáv, ktoré zostávajú počas pohybu nezmenené. Inými slovami, ak sa jedna figúrka získa od druhej pohybom (takéto figúry sa nazývajú zhodné), potom majú tieto figúry rovnaké geometrické vlastnosti.

V tomto zmysle tvoria pohyby základ geometrie a päť axiómy kongruencie sú vyčlenené samostatnou skupinou v systéme axióm modernej geometrie. Tento úplný a dosť prísny systém axióm, zhŕňajúci všetky predchádzajúce štúdie, navrhol nemecký matematik David Gilbert(1862-1943). Jeho systém dvadsiatich axióm, rozdelených do piatich skupín, bol prvýkrát publikovaný v roku 1899 v knihe "Základy geometrie".

V roku 1909 nemecký matematik Friedrich Schur(1856-1932), podľa myšlienok Thalesa a Kleina, vyvinul ďalší systém axióm geometrie - založený na zvažovaní pohybov. V jeho systéme najmä namiesto Hilbertovej skupiny axióm kongruencie skupina troch axiómy pohybu.

Typy a niektoré dôležité vlastnosti pohybov sú podrobne diskutované v tejto eseji, ale možno ich stručne vyjadriť takto: pohyby tvoria skupinu, ktorá definuje a určuje euklidovskú geometriu.

Definícia a vlastnosti pohybov.

Posunutím každého bodu tohto obrazca nejakým spôsobom sa získa nový obrazec. Hovorí sa, že toto číslo je získané transformácia z tohto. Premena jednej figúry na druhú sa nazýva pohyb, ak zachováva vzdialenosti medzi bodmi, t.j. preloží ľubovoľné dva body X a Y jeden tvar na bod X ’ a Y ’ ďalšia postava tak XY = X ’Y ’.

Definícia. Transformácia tvaru, ktorá zachováva vzdialenosť

medzi bodmi sa nazýva pohyb tohto útvaru.

! komentár: pojem pohybu v geometrii je spojený s obvyklou myšlienkou posunutia. Ale ak, keď už hovoríme o premiestňovaní, predstavujeme si kontinuálny proces, potom nám v geometrii bude záležať iba na počiatočnej a konečnej (obrazovej) polohe obrazca. Tento geometrický prístup sa líši od fyzikálneho.

Pri pohybe zodpovedajú rôzne body rôznym obrázkom a každému bodu X jeden údaj zodpovedá jedinému bodka X ’ ďalšia postava. Tento typ transformácie sa nazýva one-to-one alebo bijective.

Pokiaľ ide o pohyby, namiesto pojmu „rovnosť“ obrazcov (priamky, segmenty, roviny atď.) sa používa pojem "kongruencia" a používa sa symbol  . Symbol є sa používa na označenie príslušnosti. S ohľadom na to môžeme poskytnúť presnejšiu definíciu pohybu:

Pohyb je bijektívna transformácia φ roviny π, pod ktorou pre ľubovoľné

rôzne body X, Y є π vzťah XY  φ (X ) φ (Y ).

Výsledkom postupného vykonania dvoch pohybov je tzv zloženie. Ak sa najprv vykoná ťah φ , po ktorom nasleduje pohyb ψ , potom zloženie týchto pohybov označíme ψ ◦ φ .

Najjednoduchším príkladom pohybu je zobrazenie identity (zvyčajne sa označuje - ε ), v ktorom každý bod X , prislúchajúci rovine, porovnáva sa tento samotný bod, t.j. ε (X ) = X .

Pozrime sa na niektoré dôležité vlastnosti pohybov.

C nehnuteľnosť 1.

Lema 2. 1. Zloženieφ ◦ ψ dva pohybyψ , φ je pohyb.

Dôkaz.

Nechajte postavu F preložené pohybom ψ do postavy F “ a obrázok F “ sa prekladá pohybom φ do postavy F ''. Nechajte bod X postavy F ide k veci X ' tvary F “ a počas druhej časti bod X ' tvary F “ ide k veci X '' tvary F ''. Potom transformácia postavy F do postavy F '', v ktorom je ľubovoľný bod X postavy F ide k veci X '' tvary F '', zachováva vzdialenosť medzi bodmi, a preto je tiež pohybom.

Všimnite si, že nahrávanie skladby vždy začína od poslednej časti, pretože výsledkom kompozície je výsledný obrázok - dáva sa do súladu s originálom:

X ’’= ψ (X ’) = ψ (φ (X )) = ψ ◦ φ (X )

C nehnuteľnosť 2.

Lema 2.2 . Akφ – pohyb, potom premenaφ -1 je tiež pohyb.

Dôkaz.

Nechajte transformáciu tvaru F do postavy F “ prekladá rôzne body obrázku F na rôznych miestach na obrázku F '. Nechajte svojvoľný bod X postavy F pod touto transformáciou ide do bodu X ' tvary F ’.

Transformácia tvaru F “ do postavy F , na ktorom je bod X “ ide k veci X , sa volá transformácia inverzná k danej. Za každý pohyb φ je možné definovať spätný pohyb, ktorý je označený φ -1 .

Argumentovaním podobne ako pri dôkaze vlastnosti 1 môžeme overiť, že inverzná transformácia k pohybu je tiež pohybom.

Je zrejmé, že transformácia φ -1 spĺňa rovnosť:

f ◦ f -1 = f -1 ◦ f = ε , kde ε je identický displej.

Nehnuteľnosť 3 (asociatívnosť skladieb).

Lema 2.3. Nech φ 1 , φ 2 , φ 3 - dobrovoľné pohyby. Potom φ 1 ◦(φ 2 ◦ φ 3 ) = (φ 1 ◦φ 2 )◦φ 3 .

Skutočnosť, že skladba pohybov má vlastnosť asociatívnosti, nám umožňuje určiť stupeň φ s prirodzeným indikátorom n .

Položme φ 1 = φ a φ n+1 = φ n ◦ φ , ak n ≥ 1 . Teda pohyb φ n získané od n - viacnásobné sekvenčné použitie pohybu φ .

C nehnuteľnosť 4 (udržiavanie priamosti).

Veta 2. 1. Body ležiace na rovnakej priamke pri pohybe prechádzajú do bodov,

Doprava telesá pod vplyvom gravitácie

Kurz >> Fyzika

Typ trajektórií ich pohyby potvrdzuje zvýšenú ... aero- a hydrodynamika je štúdium pohyby pevné látky v plyne a ... trenie) je nehnuteľnosť skutočné tekutiny odolať... sud a lietadlo obzor paže vytvorené niektoré roh,...

Štúdium rozvody elektrickej vodivosti v prehustených detonačných vlnách v kondenzovaných výbušninách

Diplomová práca >> Chémia

... výskumu elektrofyzikálne vlastnosti... výsledky a ich analýza 2.1 ... produkty detonácie v lietadlo Chapman-Jouguet ... vám umožňuje počítať dopravy elektrónový semiklasický. ... Kartashov A. M., Svih V. G. O niektoré systematické chyby pri meraní vodivosti...

Vlastnosti inžinierske materiály (2)

Praktická práca >> Priemysel, výroba

ODDIEL I Konštrukčné ocele a zliatiny Konštrukčné ocele sú tie, ktoré sú určené na výrobu častí strojov (strojárenské ocele), konštrukcií a konštrukcií (konštrukčné ocele). Uhlíkové konštrukčné ocele Uhlíkové konštrukčné...

Pohyby zachovávajú vzdialenosti, a preto zachovávajú všetky geometrické vlastnosti postáv, pretože sú určené vzdialenosťami. V tomto bode získame maximum všeobecné vlastnosti pohyby, citujúc dôkazy v prípadoch, keď to nie je zrejmé.

Vlastnosť 1. Tri body ležiace na tej istej priamke pri pohybe prechádzajú do troch bodov ležiacich na tej istej priamke a tri body, ktoré neležia na tej istej priamke, do troch bodov, ktoré neležia na tej istej priamke.

Nechajte pohyb premeniť body na body, v tomto poradí potom platí rovnosť

Ak body A, B, C ležia na tej istej priamke, potom jeden z nich, napríklad bod B, leží medzi ďalšími dvoma. V tomto prípade a z rovnosti (1) vyplýva, že . A táto rovnosť znamená, že bod B leží medzi bodmi A a C. Prvé tvrdenie je dokázané. Druhý vyplýva z prvého a zvratnosti pohybu (protirečením).

Vlastnosť 2. Segment sa pohybom premení na segment.

Nech sú konce úsečky AB spojené pohybom f s bodmi A a B. Vezmite ľubovoľný bod X úsečky AB. Potom, ako pri dôkaze vlastnosti 1, možno zistiť, že jeho obraz - bod leží na úsečke AB medzi bodmi A a B. Ďalej každý bod

Y úsečky A B je obrazom nejakého bodu Y úsečky AB. A to bod Y, ktorý je vzdialený od bodu A vo vzdialenosti A Y. Preto sa úsek AB presunie pohybom na úsek AB.

Vlastnosť 3. Pri pohybe sa lúč stáva lúčom, priamkou - do priamky.

Dokážte tieto tvrdenia sami. Vlastnosť 4. Trojuholník sa pohybom preloží na trojuholník, polrovina na polrovinu, rovina na rovinu, rovnobežné roviny- v rovnobežných rovinách.

Trojuholník ABC je vyplnený segmentmi spájajúcimi vrchol A s bodmi X opačná strana pred Kristom (obr. 26.1). Pohyb pridelí segmentu BC nejaký segment BC a bodu A - bod A, ktorý neleží na priamke BC. Každému segmentu AX tento pohyb priradí segment AX, kde bod X leží na BC. Všetky tieto segmenty AX vyplnia trojuholník ABC.

Trojuholník ide do nej

Polrovina môže byť reprezentovaná ako spojenie nekonečne sa rozširujúcich trojuholníkov, v ktorých jedna strana leží na hranici polroviny.

(obr. 26.2). Preto polrovina pri pohybe prejde do polroviny.

Podobne možno rovinu znázorniť ako spojenie nekonečne sa rozširujúcich trojuholníkov (obr. 26.3). Preto sa pri pohybe rovina mapuje na rovinu.

Keďže pohyb zachováva vzdialenosti, vzdialenosti medzi postavami sa pri pohybe nemenia. Z toho vyplýva najmä to, že pri pohyboch rovnobežné roviny prechádzajú do rovnobežných.

Vlastnosť 5. Pri pohybe je obrazom štvorstena štvorsten, obrazom polpriestoru je polpriestor, obrazom priestoru je celý priestor.

Tetrahedron ABCD je spojenie úsečiek spájajúcich bod D so všetkými možnými bodmi X trojuholník ABC(obr. 26.4). Pri pohybe sa segmenty mapujú na segmenty, a preto sa štvorsten zmení na štvorsten.

Polpriestor možno znázorniť ako spojenie rozširujúcich sa štvorstenov, ktorých základne ležia v hraničnej rovine polpriestoru. Preto pri pohybe bude obraz polopriestoru polopriestorom.

Priestor si možno predstaviť ako spojenie nekonečne sa rozširujúcich štvorstenov. Preto sa pri pohybe priestor mapuje na celý priestor.

Vlastnosť 6. Pri pohybe sa uhly zachovajú, t.j. každý uhol sa mapuje na uhol rovnakého typu a rovnakej veľkosti. To isté platí pre dvojstenné uhly.

Pri pohybe sa polrovina mapuje na polrovinu. Pretože konvexný uhol je priesečník dvoch polrovín a nekonvexný uhol a dihedrálny uhol sú spojením polrovín, potom pri pohybe konvexný uhol prechádza do konvexného uhla a nekonvexný

uhol a dihedrálny uhol na nekonvexný a dihedrálny uhol.

Nech sa lúče a a b, vychádzajúce z bodu O, mapujú na lúče a a b, vychádzajúce z bodu O. Zoberme trojuholník OAB s vrcholmi A na lúči a a B na lúči b (obr. 26.5). . Zobrazí sa na rovnaký trojuholník BAB s vrcholmi A na lúči a a B na lúči b. Preto sú uhly medzi lúčmi a, b a a, b rovnaké. Preto sa pri pohybe zachovávajú veľkosti uhlov.

V dôsledku toho sa zachová kolmosť priamych čiar, a tým aj čiara a rovina. Zapamätanie si definícií uhla medzi priamkou a rovinou a veličín dihedrálny uhol, zistíme, že hodnoty týchto uhlov sú zachované.

Vlastnosť 7. Pohyby zachovávajú povrchové plochy a objemy tiel.

Pretože pohyb zachováva kolmosť, pohyb výšky (trojuholníky, štvorsteny, hranoly atď.) sa premieta do výšok (obrázky týchto trojuholníkov, štvorstenov, hranolov atď.). V tomto prípade zostanú zachované dĺžky týchto výšok. Preto sa pri pohyboch zachovávajú plochy trojuholníkov a objemy štvorstenov. To znamená, že sa zachovajú plochy polygónov aj objemy mnohostenov. Získajú sa plochy zakrivených plôch a objemy telies ohraničené takýmito plochami limitné prechody na plochách polyedrických plôch a objemoch polyedrických telies. Preto sa pri pohyboch zachovávajú.