1 Начальное и среднее профессиональное образование М. И. Башмаков
2 НАЧАЛЬНОЕ И СРЕДНЕЕ ПРОФЕССИОНАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАНИЕ М. И. БАШМАКОВ МАТЕМАТИКА Рекомендовано Федеральным государственным учреждением «Федеральный институт развития образования» в качестве учебника для использования в учебном процессе образовательных учреждений, реализующих программы начального и среднего профессионального образования Регистрационный номер рецензии 174 от 28 апреля 2009 г. ФГУ «ФИРО» 5-е издание,исправленное academ"a Москва Издательский центр «Академия» 2012
3 ББК 22.1я722 Б336 Рецензенты: преподаватель ГОУ СПО Московский политехнический колледж Н.А.Харитонова; преподаватель математики и статистики ГОУ СПО Московский государственный техникум технологии, экономики и права им. Л.Б.Красина Т.Н.Синилова; преподаватель математики ГОУ СПО Колледж автоматизации и информационных технологий 20 г. Москвы Т.Г.Кононенко Б 336 Башмаков М.И. Математика: учебник для учреждений нач. и сред. проф. образования / М.И.Башмаков. 5-е изд., испр. М.: Издательский центр «Академия», с. ISBN Учебник написан в соответствии с программой изучения математики в учреждениях начального и среднего профессионального образования и охватывает все основные темы: теория чисел, корни, степени, логарифмы, прямые и плоскости, пространственные тела, а также основы тригонометрии, анализа, комбинаторики и теории вероятностей. Для обучающихся в учреждениях начального и среднего профессионального образования. УДК 51(075.32) ББК 22.1я722 Оригинал-макет данного издания является собственностью Издательского центра «Академия», и его воспроизведение любым способом без согласия правообладателя запрещается ISBN Башмаков М.И., 2010 Образовательно-издательский центр «Академия», 2010 Оформление. Издательский центр «Академия», 2010
4 Основные обозначения Общематематические символы а абсолютное значение (модуль) числа а [а] целая часть числа а = равно а приближенно равно > больше < меньше лг корень квадратный f корень га-й степени => следовательно <=> равносильно, тогда и только тогда, когда Комбинаторика га! га факториал А число размещений из га по гаг С число сочетаний из га по т Рп число перестановок из га элементов Множества 0 пустое множество N натуральные числа У. целые числа Q рациональные числа R действительные числа С комплексные числа AUfi объединение множеств АПВ- пересечение множеств аеа а принадлежит множеству А а«а а не принадлежит множеству А g f композиция отображений fug Комплексные числа i мнимая единица z комплексное число, сопряженное К Z \г\ абсолютное значение (модуль) комплексного числа z Геометрия А(х; у) а, b а, р а\\ь а-ъ alb a n а = Р ос р а_1_р а, АВ точка А с координатами х и у прямые плоскости прямая а параллельна прямой b прямая а скрещивается с прямой b прямая а перпендикулярна прямой b прямая а пересекает плоскость а в точке Р плоскость а параллельна плоскости р плоскость а перпендикулярна плоскости р вектор Последовательность и функции К} А/ df f\x) ь \f(x)d. x последовательность приращение функции f дифференциал функции) производная функции 1 в точке х множество первообразных, или неопределенный интеграл функции / определенный интеграл функции f от а до b
5 Предисловие Математика за 2500 лет своего существования накопила богатейший инструмент для исследования окружающего нас мира. Однако, как заметил выдающийся русский математик и кораблестроитель академик А. Н. Крылов, человек обращается к математике «не затем, чтобы любоваться неисчислимыми сокровищами». Ему прежде всего нужно ознакомиться со «столетиями испытанными инструментами и научиться ими правильно и искусно владеть». Данная книга научит вас обращаться с такими математическими инструментами, как функции и их графики, геометрические фигуры, векторы и координаты, производная и интеграл. Несмотря на то что первое знакомство с большинством из этих понятий состоялось у вас раньше, книга представляет их заново. Это удобно для тех, кто немного забыл изучавшийся ранее материал, и полезно всем, так как даже в знакомых вещах обнаружатся новые стороны и связи. Для облегчения работы с учебником самые важные положения и формулировки выделены. Большую роль играют иллюстрации, поэтому необходимо внимательно рассмотреть относящийся к тексту чертеж для лучшего понимания текста (еще в древности использовали этот способ изучения математики рисовали чертеж и говорили: «Смотри!»). Помимо несомненной практической ценности получаемых математических знаний изучение математики оставляет в душе каждого человека неизгладимый след. С математикой многие связывают объективность и честность, стремление к истине и торжеству разума. У многих на всю жизнь остается уверенность в своих силах, возникшая при преодолении тех несомненных трудностей, которые встретились при изучении математики. Наконец, большинство из вас открыто к восприятию той гармонии и красоты мира, которые вобрала з себя математика, поэтому не стоит к каждой странице учебника, к каждой задаче подходить с оценкой, будет ли это использоваться в той новой жизни, которая ждет вас после окончания учебы. Темы, которым посвящен учебник, теория чисел, пространственные тела, эсновы математического анализа, начала теории вероятностей имеют не только прикладное значение. Они содержат богатые идеи, ознакомление с которыми необходимо каждому человеку. Хочется надеяться, что изучение математики, которому должен помочь /чебник, позволит вам убедиться в высоком уровне своих возможностей, укрепит желание продолжать свое образование и доставит много радостных минут эбщения с «незыблемыми законами, которыми отмечен весь порядок мироздания».
6 < со < с; 1 Развитие понятия о числе Занятие 1 Целые и рациональные числа Что мы знаем о числе? 1. Натуральные числа. Натуральные числа строятся конструктивно, начиная с единицы, прибавлением на каждом шаге одной единицы: 1, 1 + 1,... Запись натуральных чисел имеет длинную историю. Современное общество пользуется десятичной системой, в которой введены 10 цифр: 1,2 = 1 + 1,3 = 2 + 1,..., 9 = 8+1 и 0. Число, следующее за числом 9, записывается в виде 10. Далее, считая десятками, сотнями (10 х 10), тысячами и т.д., каждое натуральное число представляем в виде а0 + + а ак10 к (ак ф 0), где 0 < а; < 9, и записываем последовательностью цифр акак_х...а0. В информатике большую роль играет двоичная система, использующая две цифры: 0 и 1 и основанная на представлении числа в виде суммы степеней числа 2, которое в двоичной системе имеет запись Целые числа. Получаются из натуральных добавлением нуля и отрицательных чисел. Множество натуральных чисел обозначается буквой N, целых чисел буквой Z. Ясно, что N с Z, т.е. это означает, что всякое натуральное число одновременно есть целое. 3. Рациональные числа. Положительные рациональные числа можно получить, считая Год первого издания этого учебника по-разному запишется в разных системах счисления Десятичная система 2010 Римская система ММХ Иероглифическая система древних египтян (= 3000 г. до н.э.) О о п 2010 = 2 X Вавилонская (шестидесятеричная) система («3500 г. до н.э.) vvl< V< У < 2010 = 3 х х х 10
7 иили единицы; т раз взятая п-я доля единицы (тип натуральные числа) есть рациональное число. Его можно записать в виде обыкновенной дроби. Одно и то же колип чество можно получить, используя разные доли. Например, ясно, что пирога и пирога одно и то же. ^ ^ Две обыкновенные дроби и равны Щ п2 между собой (т.е. являются записями одного и того же рационального числа) тогда и только тогда, когда совпадают натуральные числа тл т9 тхп2 и т2пх: - = - <=> тгп2 = т2гц. Щ п 2 Построив положительные рациональные числа, к ним обычным образом добавляют отрицательные и нуль. Множество рациональных чисел обозначается буквой Q. Целые числа т отождествляются с дробят ми. 1 Имеют место включения N с Z с Q. 4. В множестве рациональных чисел Q определены две арифметические операции сложение и умножение, подчиняющиеся известным законам переместительному, сочетательному, распределительному. Зачем людям понадобились числа? Прежде всего, для счета. Для сравнения количества предметов сначала использовались некоторые стандартные объекты (пальцы, камешки, палочки). Затем были придуманы символы для обозначения количества в наборах (коллекциях, множествах), имеющих поровну предметов. Другим источником развития понятия числа явились задачи измерения. При выборе единицы измерения какой-либо величины (например, длины) появляется возможность сравнения с ней. При этом можно использовать не только целую единицу, но и ее доли.
8 I luncmj mumnu i/шсли iiujidjudg i иьл обыкновенными дробями при вычислениях с рациональными числами? I^UITIIVId Как было отмечено, одно и то же рациональное число может быть записано разными дробями. Связь между ними описывается следующей теоремой., _ тл т9 т9 т3 Теорема. Если = - и = - Щ "з Доказательство. Щ "з то Требуется доказать, что jj^ определению равенства дробей для этого нужно проверить равенство целых чисел: т^п3 = m3ni. Используем данные равенства: т1п2 = т2пх и т2п3 = т3п2 Умножим первое из них на п3, а второе на п1. Получим mln2n3 = m2nln3, m2n3ni = m3n2rii. Целые числа т2п1п3 и т2п3пх равны между собой; используем свойство транзитивности целых чисел: тхп2п3 = т2п1п3; т2п3п1 = = т3п2п1 => тхп2п3 = т3п2п1. Равенство целых чисел т1п2п3 = т3п2пх перепишем в виде п2(т1п3 - m3rii) = 0. Число п2 (знаменатель средней дроби) не может быть равно нулю. Однако, если произведение двух целых чисел равно нулю, то хотя бы одно из них должно быть нулем. Получаем, что тхп3 - т3п1 = 0, т.е. тхп3 = т3пх, что и требовалось доказать. Как выполняют арифметические действия над обыкновенными дробями? 1. Сокращение дроби. 28 Притер. Дробь можно сократить. Это Круговая диаграмма показывает распределение голосов в парламенте между тремя партиями синими, серыми и белыми. Это распределение можно записать дробями: = 180 общее число мест; " " 4 В качестве общей доли можно выбрать^: 12 Какая часть объема колбы заполнится при сливании жидкостей из двух таких же колб? можно делать последовательно, обнаруживая общие множители у числителя и знаменателя и деля на них:
9 ml m2 _ mln2 + m2n1 Щ «2 ЩП2 n2n! ТГЦПг + ТП2Пу ЩП2 Вычитание m1 _ ТП2 _ тп1n2 _ т2щ Пj Лг ЩП2 ТЦПъ _ ТПХП2 ~ ЩП2 Умножение wii /7i2 _ m1m2 Щ п2 ПхЛг Деление mj _ m2 _ mln2 1Ц П2 /Пг^! знаменатель на их наибольший общий делитель (НОД): Т_ " Дробь несократима. Ее числитель и 15 знаменатель взаимно простые числа. 2. Сложение (вычитание) дробей. 5 3 Пример Для сложения нужно привести дроби к общему знаменателю. Для этого удобно разложить знаменатели на простые множители и взять их наименьшее общее кратное (НОК): 12 = 2 2 3; 10 = 2 5. НОК(12; 10) = = 60. Ъ_ Умножение (деление) дробей " Пример. { }:. Записываем ре- И * V25 63J 7 зультат в виде одной дроби и сокращаем ее: ~ ~ 3 5 ~ 15" ^ Вопросы и упражнения 1. Какие из следующих выражений имеют значение, равное 1: 14 и сч ^ 95 1) А = + + ; 5) А = (12-7X12 + 7) 2) A = f - 1- ; 6)А =)) А = 2,36-1,12-0,88 + 0,64; 7) А =? 4) л Л. «. Ц Стоимость товара в первый раз снизили на а %, во второй раз на Ь % от новой цены. В каких случаях в результате стоимость товара составила 60 % исходной цены: 2 1) а = 20; Ь = 20; 3) а = 25; Ь = 20; 5) а = 66-; Ь = 10? О 2) а = 20; Ь = 25; 4) а = 40; Ъ = 0; 8
10 t иодищил числовых выражений: 1) количество «счастливых» автобусных билетов: IT" " 2) вероятность того, что в классе из 30 человек есть совпадающие дни рождения: \100% J, л й 180 1, Оцените, к какому из указанных чисел ближе всего число:)0,001; 2)0,01; 3)0,1; 4)1. 5. В таблице указаны точки плавления льда и кипения воды в четырех температурных шкалах Цельсия (С), Фаренгейта (F), Кельвина (К) и Реомюра (R). Считая, что температура человеческого тела в градусах Цельсия равна 37, вычислите ее в других шкалах, если зависимость между шкалами линейная: Показатель Шкала С F К R Кипение воды Плавление льда Занятие 2 Действительные числа Что понимается под действительным числом? 1.Действительное число. Рациональных чисел оказалось недостаточно для решения задач измерения. Это было обнаружено более 2,5 тыс. лет назад древнегреческими математиками, которые доказали, что диагональ квадрата с единичной стороной не может быть измерена, если использовать только рациональные числа, а другие тогда не были известны. Как для задания натуральных чисел можно использовать конкретные объекты (пальцы, палочки), так и для задач измерения можно выбрать стандартную величину длину отрезка и задавать числа геометрически отрезками, а точнее их отношениями к выбранному единичному отрезку (единице масштаба). Е \- Т 4 Общая мера 3 А 9 4
11 Е 3" Е 4" 4 А В ~ <Гз ~ 27" 4 С = -Е общая мера от- 12 резков А и В. А = 16С; В = 27С Диагональ квадрата d = V2 d= 1, Золотое сечение Рисунок Леонардо да Винчи (1492), изображающий идеальные пропорции человеческого тела. Ф золотое число 1 + V5 Ф = 1, числом отношение отрезка к единичному, то возникнет задача записи числа. Удобна запись числа в виде десятичной дроби, отражающей некоторый процесс измерения. Например, измеряя диагональ квадрата со стороной 1, мы сначала отложим целый единичный отрезок и получим число 1. В остатке (он меньше 1) будем откладывать десятую часть единичного отрезка. Она отложится 4 раза, и останется отрезок длины, меньшей Мы получили десятичную дробь 1,4. Затем делим одну десятую снова на 10 частей, откладываем новый отрезок в остатке и записываем результат. Получим последовательность десятичных дробей с увеличивающимся количеством знаков после запятой: 1; 1,4; 1,41; 1,414; 1,4142;... Эту последовательность удобно представлять в виде одной бесконечной десятичной дроби 1, которую и можно считать числом. Итак, по определению Действительное число десятичная дробь. это бесконечная 2. Конечная десятичная дробь. Рациональное число, представленное дробью, в знаменателе которой стоят только двойки и пятерки, запишется конечной десятичной дробью, так как на каком-то шаге десятичный процесс измерения закончится некоторая доля единичного отрезка отложится в остатке целое число раз. Например, = 0, = 0, Если у несократимой дроби в знаменап теле есть простые числа, отличные от 2 и 5, то процесс десятичного измерения станет периодическим, и цифры (одна или несколько) начнут периодически повторяться. Например, 47 = 5, = 3, Иррациональные числа это числа, не являющиеся рациональными. Они записываются бесконечными непериодическими десяj
12 ных чисел являются числа V2, пятнадцать знаков которого после запятой было приведено выше, или число к (отношение длины окружности к диаметру): л = 3, Множество всех действительных чисел обозначается буквой R: N c Z c Q c R. Зачем понадобились действительные числа, и хватило ли их для решения задач? Как было отмечено, добавление к рациональным числам новых, иррациональных чисел было вызвано необходимостью измерять длины любых отрезков. С помощью так построенных действительных чисел уже оказалось можно измерять многие другие величины, которые были названы скалярными. Появление новых задач потребовало дальнейшего развития понятия числа, которое мы обсудим позже. Почему диагональ квадрата со стороной, равной единице, нельзя измерить рациональным числом? В этом вопросе содержится формулировка знаменитой теоремы, доказанной в VI в. до н.э. Доказательство. Предположим, что длину диагонали единичного квадрата можно зат писать в виде дроби, которую будем счип тать несократимой. По теореме Пифагора по- / Л 2 Г \2 лучаем равенство I = I т 1, т.е. I _ т 1 = \п) U или т 2 = 2п 2. Так как справа стоит четное число, то и слева число т г, а значит, и число т являются четными числами: т = 2k. Подставляя и сокращая на 2, получаем: 2k 2 = п 2. Таким же рассуждением получаем, что теперь п тоже должно быть четным числом. То, что у дроби niuio wiiv^vudi galinun действительных чисел Десятичная дробь - = 0, п 2 1, Непрерывная дробь - = 2 + Л Ф = Ряд п 2, Круговая диаграмма Точка на числовой оси В (-2) 0 1 Л (2,5) 11
13 Dcjmnnc MdieMdiHKH на оси времени - 600"" Пифагор числитель и знаменатель оказались четга ными числами, противоречит условию несократимости дроби. Это противоречие доказывает теорему Евклид Архимед Диофант Аль-Хорезми Фибоначчи Декарт Ньютон, Лейбниц, Эйлер, Гаусс Колмогоров Как работают с действительными числами? Бесконечная десятичная дробь это последовательность приближений конечными десятичными дробями к данному действительному числу. Для выполнения арифметических операций над бесконечными десятичными дробями эти операции делаются над конечными десятичными дробями. Например, будем складывать = 1, Получаем: = 4 1,4 + 3,1 = 4,5 1,41 + 3,14 = 4,55 1,141 = 4,555 1,1415 = 4,5557 1,14159 = 4,55580 и т.д. Аналогично л 72 = 4, Разумеется, такие вычисления нужно выполнять с помощью калькулятора, но при этом следить, сколько цифр результата можно считать верными. Действительные числа можно изобразить точками на числовой оси. Если два числа а и Ъ изображены точками А(а) и В(Ь) на числовой оси, то расстояние между точками А и В равно модулю разности чисел а и Ь: \АВ\ = \Ъ - а\. Для модуля выполняются два важнейших свойства: \аь\ = \а\ Ь{ и \а + Ь\ < а + ^ Вопросы и упражнения Всякое ли целое число является рациональным? 2. Является ли число -70,64 иррациональным? 3. Всегда ли сумма рациональных чисел является рациональным числом? 4. Может ли при сложении иррациональных чисел получиться рациональное число? 5. Может ли частное от деления рационального числа на иррациональное быть рациональным числом?
14 , Т--- П ГЛХ..f/f/u^iiv/iiiun^uui u ixiwiu лоллсхъл ^aij,nuncuibnmiu ЧИСЛИМ f 7. Запишите следующие числа в виде периодических десятичных дробей: х> 2,1, 3, 4, А; 6) Докажите иррациональность следующих чисел: 1) 0, ; 2) 0, Занятие 3 Приближенные вычисления Что полезно знать о приближенных вычислениях? 1. Л «3 Приближения к я 1. Приближенное значение. Пусть дано число х. Число а называется приближенным значением числа х, вычисленным с точностью до h > 0, если выполняется неравенство \х - а\< h. Разность \х - а\ называют погрешностью, a h оценкой погрешности приближенного вычисления. 2. Относительная погрешность. Пусть а является приближенным значением величины х, вычисленным с погрешностью h, т.е. пусть jc - а\ = h. Отношение погрешности к приближенному значению, т.е. число h I х-а I г = = называют относительной поа а грешностью вычисления. Так, если среднее расстояние от Земли до Солнца вычислено приближенно как 1, км с погрешностью < 10 5 км, то относительная погрешность такого вычисления будет меньше 0,0007, по- Ю 5 тому что -<0,0007. Часто относи- 1, тельную погрешность (а точнее, оценку для нее) указывают в процентах. 3. Стандартная запись. Приближенные значения величины часто указывают в так называемой стандартной записи. Положительные числа в стандартной записи представляют Такое приближение упоминается в Библии (строительство храма Соломона). Это приближение древнего Вавилона (2000 г. до н.э.). 13
15 3. ж 16 = 3, ГЦ. кг" А.. ж -, Ct.. и W utf «<я-.» Это приближение взято из (ревнеегипетского папируса 1650 г. до н.э.) » = 3, Это приближение Архимеда 250 г. до н.э.). в виде: а 10*, где число а выбирают так, чтобы оно лежало в промежутке ; 2) (-оо, -3]; 3) < х < 4; 4) Х>ЗУ/2. 3. Под знаком корня записано число с 40 девятками после запятой V0, Вычислите корень с 40 знаками после запятой. 4. Проверьте, что округление следующих чисел с точностью до второго знака после запятой сделано правильно: 1) а = 1,1683, а ~ 0,17; 3) 72 «1,41; 5) it 2 «9,86. 2) а = 0,2309, а ~ 0,23; 4) ^1 0,86; 2 5. Верно ли, что относительная погрешность произведенного вычисления менее 1%: 1) п «3,16; 3) площадь круга радиуса) ^ «21; 2) 2 10 «1000; примерно равна; 5) 9 11 а 3 Ю 10? Занятие 4 Комплексные числа Графическое изображение комплексных чисел м г = а + Ы М(а; Ь) Что такое комплексное число и как выполняются арифметические действия с комплексными числами? 1. Комплексные числа. Комплексным числом называется число вида а + bi, где а и b действительные числа, a i символ, называемый мнимой единицей. 16
18 Множество комплексных чисел обозначают буквой С. Действительное число а отождествляют с комплексным числом а + 0 г. Тем самым мы расширяем цепочку включений различных числовых множеств: N c Z c Q c R c C. Каждое комплексное число z это некоторый символ вида а + bi. Число а называется действительной частью числа z, а число b его мнимой частью. Определение сложения показывает, что при сложении комплексных чисел отдельно складываются их действительные и мнимые части. 2. Правила сложения и умножения комплексных чисел. Комплексные числа складывают по следующему правилу: (а! + bxi) + (а2 + b2i) = а1 + а2+ (b1 + b2)i. По правилу умножения i i = (0 + г) (0 + i) = = -1, т.е. квадрат мнимой единицы равен действительному числу -1. При умножении комплексных чисел просто раскрывают скобки по обычным правилам и заменяют г 2 на -1: (ах + Ь]1)(а2 + b2i) = аха2 - Ьф2 + (аф2 + a 2^i)i- Обратим внимание на то, что не только г 2 = = -1, но и (-i) 2 = Сопряженные комплексные числа. Комплексные числа a + bi и a - bi называют сопряженными друг с другом. Их произведение равно действительному положительному числу а 2 + Ь 2. Если z = а + Ы ф 0, то а 2 + Ъ 2 ф 0 и можно записать тождество: (a + bi)(a-bi) a 2 + b 2 = 1. bi Отсюда ясно, что число являa 2 + b 2 a 2 + b 2 ется обратным для числа а + bi. Умея вычислять обратное число, можно поделить одно комплексное число на другое (отличное от нуля). 4. Изображение комплексных чисел. Число z = а + bi можно изобразить точкой плоскости с координатами (a, Ь) (напри- Мер, M(a, b)). При таком изображении сложение комплексных чисел соответствует 2 + г Вещественная ось Сопряженные числа z = а + bi z = а - bi О М <-> z Ы = \ом\ Модуль комплексного числа 17
19 Сложение комплексных чисел екая интерпретация умножения комплексных чисел будет рассмотрена в главе, посвященной вращению и тригонометрическим функциям. Сопряженные числа z = а + bi и z = а - bi изображаются точками, симметричными относительно оси абсцисс. Число л/а 2 + Ь 2, являющееся расстоянием от точки, изображающей число z (говорят просто от точки z), до начала координат, называется модулем комплексного числа и обозначается \г\. Отметим простые тождества: 1) \z\ = \z\; 2) z-z - \zf = a 2 + b 2 ; 3) \ZiZ2\ = 2j z2 ; 4) z = z <=> действительное число. Противоположное комплексное число Вычитание комплексных чисел И = 2 Зачем понадобились комплексные числа? С использованием комплексных чисел у математиков появились новые возможности. Приведем некоторые из них. 1. Стало возможным находить корни любых алгебраических уравнений. Теорема Гаусса, которую называют основной теоремой алгебры, гласит, что всякое алгебраическое уравнение имеет хотя бы один комплексный корень. 2. Преобразования плоскости (параллельный перенос, поворот, гомотетия, осевая симметрия и их комбинации) записываются как некоторые простые операции над комплексными числами. 3. Колебательные процессы в механике и физике (распространение звуковых и световых волн, электромагнитные явления, свойства переменного тока) изучаются гораздо проще с использованием комплексных чисел. Любому инженеру представляется весьма осмысленной следующая фраза: «Рассмотрим проводник, по которому течет ток силой I = /0(coscot + isincof) А (ампер)», хотя на первый взгляд появление «мнимого» тока не может иметь физического смысла. 18
20 I IV/ J - комплексных чисел удобно задавать геометрические фигуры на плоскости? В основе этого лежит следующее простое правило. Теорема. Модуль разности двух комплексных чисел равен расстоянию между точками, изображающими эти числа. На рисунке видно, что векторы, соединяющие точку z2 с точкой zu и начало координат с точкой + (~z2), равны между собой. Поэтому число zx - z2\, равное расстоянию от точки + (~z2) до начала координат, равно расстоянию между точками и z2, что и требовалось доказать. \ z i ~ г2\ = \МгМ2\ Модуль разности двух комплексных чисел Как производятся вычисления с комплексными числами? 1. Арифметические действия: (3-4г) + (-5 + 7i) = i; (3-4i)(5 + 7i) = 3 (-5) - (-4) 7 + ((-4)(-5))i= г; i _ (-5 + 7i)(3 + 4i) _ i 3-4i ~ (3-4i)(3 + 4i) = + i; (1 + i) 4 = ((1 + if = (1 + 2i- l) 2 = = (2i) 2 = Запись уравнений различных кривых с использованием геометрической интерпретации модуля разности двух комплексных чисел: 1) окружность радиуса R с центром в начале координат: г = R; 2) окружность радиуса R с центром в точке г0: z - Zq\ = R; 3) эллипс определяется как геометрическое место точек плоскости, сумма расстояний которых до двух точек плоскости постоянна: z - Zi + z - z21 = а. \MFX\ + \MF2\ = 4 \z \z - 1 = 4 Эллипс с фокусами.fi(-1; 0) и F2(l; 0) 19
21 Вопросы и упражнения 1. Вычислите: 1) (3 + 2i) + 3(-1 + 3г); 3) (2 + г)(; 5) г 3 ; 7) -; i 2) / 2 - (6 5i); 4) (1 + Od - 0; 6) (i - о 4 ; 8) i 2. Разложите на линейные множители: 1) а 2 + 4Ь 2 ; 3) х 2 + 1; 5) х 4-4; 7) х 6-64; 2) а 4 - Ь 4 ; 4) х 2-2х + 2; 6) х 3 + 8; 8) х Изобразите на плоскости множество комплексных чисел, удовлетворяющих следующим условиям: 1) \г\ = 3; 3) г г < 3; 5) \2г - i\ = 4; 7) г - i\ = \г - 1 ; 2) \z + i\ = 2; 4) г г > 1; 6) \iz - 1 < 1; 8) г - г + г + i\ = Вычислите: 1) i 13 ; i 100 ; i 1993 ; 3) а = ~ + ^i. Найдите а 4, а 11, а 1992 ; 2) (1 + о 10 ; 4) 1+ Л1 " 1-iJ 5. Верны ли следующие высказывания: 1) число \/б является комплексным; 2) число а такое, что а 2 = -4 является действительным; 3) число а такое, что а 4 = 1 является действительным; 4) многочлен х можно разложить на линейные множители с комплексными коэффициентами; 5) точки плоскости, удовлетворяющие условию \z - 1 = 2, лежат на окружности радиуса 1; 6) если комплексное число равно своему сопряженному, то оно является действительным; 7) если z = -z, то действительная часть числа z равна нулю. Ш БЕСЕДА Числа и корни уравнений 20 Конструкции Немецкий математик JI. Кронекер однажды сказал фразу, которая стала очень знаменитой: «Бог создал натуральные числа. Все другие дело рук человека». Действительно, мы воспринимаем натуральные числа 1, 2, 3,... как нечто данное. Конструирование новых чисел на основе натуральных можно связывать с различными задачами например, строить числа, пригодные для записи решений уравнений. Уравнение вида х + а = Ь, где а и Ъ натуральные числа, не имеет решений в натуральных числах, если а > Ъ. Строя решения этого урав-
22 целые числа (и нуль). Уравнение вида ах = Ь, где а и Ъ целые числа, причем а Ф 0, также не всегда имеет целые решения. Вводя рациональные числа, мы получаем возможность записать решения этого уравнения при любых целых а и b (с тем же ограничением а Ф 0). Неразрешимость в рациональных числах уравнения х 2 = 2 вызвала появление действительных чисел, которые мы сейчас представляем себе в виде бесконечных десятичных дробей. Среди них выделились прежде всего те, которые выражались через радикалы, т.е. через корни уравнений вида х п = а (а > 0). Эти числа мы будем более подробно рассматривать в гл. 2. Разумеется, с помощью квадратных корней удалось исследовать вопрос о решении квадратных уравнений. Метод Аль-Хорезми нахождения положительного корня квадратного уравнения л: х = 39 (х + 5) 2 = 64 х + 5 = 8 х = 3 Кубическое уравнение было решено с помощью радикалов итальянскими математиками в XVI в. Решение кубического уравнения х 3 = 1 (х - 1)(х 2 + X + 1) = 0 Х1 = 1 х 2 + X + 1 = 0 _-1+гУз Х г " 3 ~ 2 алгебраическая запись комплексных корней квадратного уравнения геометрическое изображение корней уравнения х 3 = 1 Замечательно, что в случае, когда уравнение имеет три действительных корня, под квадратным радикалом будет стоять отрицательное число и действительный корень запишется как сумма сопряженных комплексных чисел. Так, еще в XVI в. математики пришли к необходимости введения «мнимых» чисел. Уравнение четвертой степени итальянцы быстро свели к кубическому метод его решения, предложенный Л.Феррари, был опубликован Д.Кардано в 1545 г. в его знаменитой книге «Ars Magna». 21
23 Д. Кардано () Н. X. Абель () Э.Галуа () Формула Кардано нахождения корней уравнения х 3 + рх + q = 0: Для следующего шага потребовалось почти триста лет, когда норвежский математик Н.Хенрик Абель (параллельно с итальянцем П.Руффини) доказал, что не существует общей формулы для решения уравнения пятой степени. Полное описание уравнений, корни которых можно выразить через их коэффициенты с помощью арифметических действий и извлечения корней, дал примерно в это же время замечательный французский математик Э.Галуа. Он прожил всего 21 год и погиб на дуэли в 1832 г., однако именно с его именем связывается рождение современной алгебры. Глубокие работы Галуа были поняты только к концу XIX в. Итак, мы кратко проследили одну линию нахождения корней многочлена выражение корней уравнения через его коэффициенты с помощью арифметически действий. Другая линия связана в большей степени с математическим анализом. Вопрос об обращении в нуль функции, задаваемой многочленом, это типичный вопрос учения о функциях. То, что действительных чисел недостаточно для описания корней многочлена, стало ясно еще после работ итальянцев в XVI в. Естественный вопрос достаточно ли комплексных чисел для нахождения корня любого многочлена, не нужно ли добавлять к комплексным числам еще какие-нибудь новые числа был решен немецким математиком К.Ф.Гауссом и опубликован в конце XVIII в. Он доказал, что любое уравнение (даже с комплексными коэффициентами) имеет комплексный корень. Аксиомы Описанный нами конструктивный путь ответа на вопрос: «Что такое число?» не является единственным. Современная математика предлагает вместо ответа на этот вопрос более точно сформулировать, каковы
24 же свойства чисел, какие операции можно с ними выполнять. Разные числовые системы обладают разными свойствами этих операций. Наиболее богатой системой является поле. Система чисел образует поле, если обе операции (сложение и умножение) позволяют совершать обратные действия (вычитание и деление). Любая числовая система, обладающая двумя операциями, для которых выполняются девять аксиом, называется полем. Множества Q рациональных чисел, R действительных чисел являются полями. Множества натуральных чисел N, целых чисел Z, положительных чисел R* не являются полями. Аксиомы поля не описывают полностью всех нужных нам свойств действительных чисел. Они говорят только об арифметических операциях над ними. Имеется еще обширная группа свойств, связанных с понятиями неравенства и расстояния между числами. К этим свойствам мы вернемся при изучении начал математического анализа (см. гл. 9). Кроме «стандартных» полей Q и R существует много других полей. Особенно важными среди них являются так называемые конечные поля, т.е. системы, состоящие из конечного числа элементов и являющиеся в то же время полями. Если взять одно произвольное простое число р и рассмотреть остатки от деления другого произвольного целого числа на р (их будет ровно р: 0, 1, 2,..., р - 1), то можно так естественно определить сложение и умножение остатков, что они будут образовывать поле. Для этого надо совершать над остатками обычные операции как над целыми числами, а получившееся число заменять остатком от деления на р (говорят: вычислять по модулю р). Например, над остатками от деления на 5 можно совершать все операции: = 2; 3-4 = 4; 3-2 = 1, т.е. -3 = 2, а -2 = 3 и т.д. Аксиомы 1. Сложение и умножение коммутативно и ассоциативно, т.е. выполняются тождества: 1) а + b = b + а; 2) ab = ba; 3) (а + b) + с = а + (b + с); 4) (ab)c = а(ьс). 2. Сложение и умножение обладают нейтральными элементами (нуль для сложения и единица для умножения): 5) а + 0 = а; 6) 1 а = а. 3. Выполнимы обратные операции: 7) для каждого числа а существует противоположное число (-а), т.е. а + + (-а) = 0; 8) для каждого числа а Ф 0 существует обратное число а -1, т.е. а-а" 1 = Дистрибутивный закон: 9) а(ь + с) = ab + ас.
25 н н м ш м н в шишшшшш < СП < 2 Корни, степени и логарифмы Занятие 1 Повторение пройденного Что мы знаем о степенях? 1. Степень числа с натуральным показа телем. Пусть п > 1 натуральное число; а произвольное число. Тогда а" произведение п множителей, каждый из которых равен а: а 2 = а-а квадрат числа а; а 3 = а-а-а куб числа а. п 2" Натуральные числа определяются последовательно, начиная с единицы (N = 1, 2, 3...). Если нам известно некоторое число п, то следующим числом будет п + 1. Точно так же последовательно можно определить степени с натуральным показателем: считаем, что а 1 = а; зная а", полагаем а п+1 = а п а. 2. Обобщение понятия степени на произвольные целые показатели. Для любого числа а * 0 определяем а п = а п где п натуральное число. Добавим определение степени с показателем: а 0 = а"" = = 1, а * О. а" нулевым 24
26 3. Свойства степеней с целыми показа щелями: умножение: а т а п = а т+п; деление: а т: а п = а т ~ п; возведение в степень: (а п) п = а тп. 4. Геометрическая прогрессия. Геометрическая прогрессия это последовательность, задаваемая первым членом а1 и рекуррентным соотношением ап+1 = an q, позволяющим вычислить любой ее член, зная предыдущий. Постоянное число q называется знаменателем прогрессии. Формула общего члена: ап = ах q п ~ 1. Сумма п членов: Sn = % q n -1 (q Ф 1). q-1 5. Степенные зависимости и функции. Выбрав любое целое число т, можно построить степенную функцию у = kx m, определенную при всех х, если т натуральное число, и при всех х, кроме нуля, если т < 0. Нам известны графики и свойства степенных функций при малых показателях т: 1) т = 1 у = kx у прямо пропорционально зависит от х; 2) т = -1 У = х у обратно пропорционально зависит от х; 3) т = 2 у = kx 2 у квадратично зависит от х (пропорционален квадрату х); 4) т = 3 у = kx 3 у пропорционален кубу х. Как решаются следующие задачи? 1. Упростить выражение, содержащее степени с целыми показателями: Прямая пропорциональная зависимость Обратная пропорциональная зависимость У - X Х Квадратичная функция у = X 2 Кубическая функция (а 3)" 2 (а" 4)" 1 = а" 6+4 = а" 2. При возведении в степень показатели перемножаются, при умножении степеней складываются. 2. Расположить степени в порядке возрастания:
27 рац/ип фуппцпп у лп приводим все степени к одному основанию: 2 6, 2 4, 2, 2" 2, 2" 3. Так как число 2 > 1 и 2* > О при любом целом к, то 2-2* > 2 к => 2 к+1 > 2 к при любом целом k. Следовательно, располагаем показатели степени в порядке возрастания: -3 < -2 < 0 < 4 < 6, 1 т 1/2 и степени в соответствии с показателями: 2" 3 < 2~ 2 < 2 < 2 4 < 2 6, 2 k Наибольшее значение функции у = ^ на [-2; -1] У V -2-1! ; о \ -Уг * -1 Сумма вклада п 1,1" 2 1,21 3 1,33 4 1,46 5 1,61 6 1,77 7 1,95 8 2,14 т.е. 8" 1 < 2" 2 < I У < 4 2 < (3. Определить параметры, прогрессии. В геометрической прогрессии а2 = 3, а5 = 81. Найти сумму ее первых десяти членов. Вычислим знаменатель прогрессии: а5 = = а4-<7 = a3q 2 = a2q 3 ; 81 = 3q 3, q 3 = 27 => q = 3. Определим первый член из формулы а2 = = ax-q, 3 = ах-3, ах = 1. г с, Сумма S10 = 1 = = Найти по графику наибольшее значение М функции у = на промежутке [-2; -1]. х На графике видно, что на указанном промежутке функция у убывает. Поэтому наибольшее значение М она принимает на левом 1_ 1 конце промежутка: М = -2 ~ 2 5. Определить сумму вклада. Банк начисляет по вкладу ежегодно х %. В конце года процент добавляется к вкладу. Каков будет вклад через п лет? Обозначим исходный вклад через А. В конх (це года он станет равным А + А ^^ = А\ 1 + х ^ 100 J ^аким образом, вклад через год по- лучается умножением на число ^ = 1 х Jqq" Геометрическая прогрессия A, Aq, Aq 2,... дает последовательность вкладов на каждый год. 26
28 ц^ормула для вклада Ап через п лет Лп =.A^l + j называется формулой сложных процентов. Формула сложных процентов А =А Вопросы и упражнения 1. Вычислите: 1) 2 10 ; 3) "2,3 5) ; 2) -з; 4) 5 ; 6) (5 3)" 2 (0,1)" 6 - (4-3)- 2. Упростите: 5 «IttI: 3. Какое из чисел больше: 1) или З 20 ; 2) а 3) З99 3 или () 3 ; 2) или; 4. Найдите х из уравнения: 4) 9" 2 или) 2 х = 2) 10 2д: " 3 = 1; 3) 1 81; 4) Первый член геометрической прогрессии (а) равен 1, а знаменатель q = 1,1. При каком наименьшем п член ап станет больше двух? 6. Определите по графику, для каких х значения функции у = 2х 2 больше или равны значениям функции у = X s. 7. Каково множество значений функций у = х к при k = -1; 1; 2; 3? 8. Найдите наименьшее и наибольшее значения функции у = х~ 2 на промежутке [-3; -2]. _8_ 27" Занятие 2 Корень п-й степени Что такое корень n-й степени и каковы его свойства? 1. Определение. Пусть п > 1 натуральное число; а произвольное число. Корнем п-й степени из числа а называется число Ъ такое, что Ъ п = а. а > 0 х 2 = а, х> 0 х = у]а л/а 2 " = а л/а" = а при а > 0 \/а" = у/а при а > 0 27
29 п sfn 2 1,41 3 1,24 6 2,45 7 2,65 8 2,16 Ребро куба /1 / V 1 а V = а 3 a = Vv Диагональ квадрата Например, число 3 является корнем 4-й степени из числа 81, так как З 4 = 81. Число -3 также является корнем 4-й степени из числа 81, так как (-3) 4 тоже равно 81. На языке уравнений можно сказать, что Корень п-й степени уравнения из числа а это корень х п = а. 2. Существование. При а > 0 для любого натурального п > 1 существует единствен ный положительный корень n-й степени из числа а. Он обозначается с помощью знака радикала: при а > 0 у/а это такое число Ь, что Ъ > 0 и Ъ п = а. Обозначение \[а распространяется на а = 0: \/0 = 0 и на а < 0 (при нечетных п): если п = = 2k + 1, то Например, ^27=-^27= Количество корней. Уравнение х п = а (n> 1, натуральное число) имеет следующее количество корней: 1) п четно: нет корней при а < 0; один корень х = 0 при а = 0; два корня х = у/а и х = -sfa при а > 0; 2) п нечетно: один корень л/а при любом а. 4. Свойства радикалов: 1) = а,ъ> 0; Диагональ куба 3) = т 7а; а > 0; 4) 0 < а < b => ^а. Зачем вводятся корни n-й степени? Нахождение корня п-й степени или, как традиционно говорят, извлечение корня n-vi степени это операция, обратная возведению в степень положительного числа:
30
а п = b <=> а = "
31 Упростить следующие выражения, содержащие радикалы:. Vl-2^3+^9. Под квадратным корнем стоит полный квадрат I-^З) 2 =1/3-1. При извлечении квадратного корня из а 2 мы учли знак а: 1_з/з<0=>^/3-1>0. Таким образом: л/l - 2 1/3 + =.XXV..U, Г... ^ш. и О IVUTUpUi"U pauii»* "" этом нам известно, что такое число является единственным. Проверим, что число у[а удовлетворяет этим условиям. Оно положительно (как произведение двух положительных чисел) и его п-я степень равна ab: (Va Ф)У = (Та)" (Tfc)" = а Ъ. Как решаются задачи с использованием корней? Дано: последовательность частот звуков образует геометрическую прогрессию; аг = а; а10 = 2а. Найти: q. Решение: так как а10 = axq 9, то q удовлетворяет уравнению 2а = а q g, т. е. q g = 2 и = V(=1/3-1; 1 Упростить выражение: Узе %/500 ^2-л/з " Домножим числитель и знаменатель на неполный квадрат суммы чисел и 1 (л/2 + 1) и получим ^4 + ^/ = ^4+^2+1. емся свойствами радикалов = 2-5= 10. %/2 7з Разложим числа, стоящие под знаком радикала, по степеням простых чисел и воспользуу} \J ^/2-л/з 5 ^ Вопросы и упражнения 1. Какие из следующих чисел являются рациональными: 1) (1 + V2) 2 ; 2) \/б4; 3) + ; 4) f? [ > sli ooo+vioooo v / 2. Всегда ли верны равенства 1) =а 3 ; 2) =а 4? 3. Вычислите: 1) Тб ТГ0 ч/15; 2) V5-Vl25-^216; 3) 4) ^9-4>/5. 30
32 1),/0,999 или 0,999; 3) 3/10000 или 21; 2) ^2009 или 2^2008; 1 + V2 4) ^ + или 2^2-3? 5. Упростите выражение: yfab 1) ^ + # + 2 >/fr Va yfa+yfb 2) л/5. 2-V5" 3) 1-4/2" 4) V2+V3+V5" Занятие 3 Степени Что понимается под степенью с произвольным показателем? 1. Степени а х при различных заданиях числа х. Пусть дано положительное число а. Как возвести его в степень х? Ответ зависит от того, как задано число х: 1) л; целое число. Как определяется степень с произвольным целым показателем, мы повторили ранее; 2) х рациональное число, записанное в k виде х-, п ральное. где и к целое число; п нату- По определению а п = \а к. Число а к нам известно (см. занятие 1). Оно положительно и для него однозначно определен положительный корень га-й степени; 3) х произвольное действительное число, заданное последовательностью рациональных приближений х0, х1г х2,..., хп,... Числа xt рациональны. Их можно записать k в виде обыкновенных дробей х, =. Тогда Щ становятся однозначно определенными числа h. ]Ji=a Xi =а щ. Последовательность у0, уи..., Ук1». является последовательностью приближений к некоторому числу у, которое и принимается за степень а х. 2. Свойства степеней. На степени с любыми показателями переносятся свойства степеней с целыми показателями: Историческая справка Положительные дробные показатели первым использовал французский ученый Н.Орем (). Нулевой и целые отрицательные показатели появились более чем через 100 лет и также во Франции (Н. Шюке). Графики степенных функций с положительными дробными показателями Пример Для вычисления степени 2 п представим числотс в виде бесконечной десятичной дроби л = 3, Запишем последовательность десятичных приближений к числу л в виде XQ 3, xt 31 10" 3141 Хо = 1000 и т.д " 31
33 Затем рассмотрим числа 2 х " = 8, 2*i = = 8,574, 2*2= 10^2 iit = 8,815 и т.д. Данная последовательность определяет некоторое число у, которое и является степенью числа 2". Первые десятичные знаки числа 2" таковы: 2" = 8, Свойства степеней (ab)" = a"b Ы ь" (a 2 b) 3 = а в Ь 3!l U 3 J г» b 12 Примеры при возведении в степень показатели степени перемножаются; З 2 З 3 = = З 5 при умножении показатели степени складываются. Действительно, если г = = =, TO Ajrtg = «2 П 1- «2 С одной стороны, а г = а"< = I - = va* 1, ас другой a r = a" 2 = Однако = = умножение: a""-a" = a" 11 ""; деление: a m:a n = a m ~ n ; возведение в степень: (a m) n = a m ". Зачем вводятся степени с произвольным показателем? 1. С помощью степеней с рациональным показателем можно свободнее выполнять преобразования. 2. Есть много величин, зависящих от времени t, значения которых при t = О, 1, 2, 3,..., п,... составляют геометрическую прогрессию со знаменателем q > 0: a0, a0<7, a0g 2,... В формуле ап = a0q n число п является натуральным числом. Однако часто оказывается так, что данная величина а - a(t) меняется непрерывно со временем и ее зависимость от времени выражается аналогичной формулой a(t) = a0q", где время t принимает не только натуральные, но любые действительные значения. Почему данные нами определения степени имеют смысл и как доказать свойства степеней? 1. Определение степени с рациональным показателем внешне зависит от записи числа в виде дроби г =. Эта запись неоднозначна п 9 3 (например, =), однако значение а г от этой записи не зависит. 2. Осмысленность (или, как говорят математики, корректность) определения степени с произвольным вещественным показателем проверить непросто. Обратим внимание лишь на два вопроса, нуждающиеся в проверке: 1) если х0, хх, х2,... последовательность рациональных приближений к некоторому числу, то будет ли последовательность а* 0, а 1, а* 2,... вообще приближаться к какому-либо числу? Для этого достаточно проверить, что эти числа сближаются между собой, т.е. что разность а Хп " 1 а Хл будет сколь угодно малой; 32
34
2) если изменить последовательность рациональных приближений к одному и тому же числу, то будут ли соответствующие последовательности степеней приближаться к одному и тому же числу? 3. Свойства степеней с рациональными показателями доказываются на основе свойств радикалов, а затем переносятся на произвольные показатели. Как используются степени с произвольным показателем при решении задач? 1. Вычисление степеней через корни: > J 9 1)) а 6 = а = ау[а. 2. Приведение к одному основанию: 1 з запишем числа 9 3, 27-1 ^ j 4, yf I в виде степеней числа 3 с рациональным показателем: X X С 93 =(3 2)з =33, 27" 1 = (З 3) 1 = З" 3, з II g I 4 * = =СЗ" (З- 1)"! Г4 = =; 3i, 3 ^81 = = з! 3. Преобразование выражений 4 1 /? 2\/ 2 2 \ X 3 -j/3 _ -уз Дх3 +у3) 1 1 ~ 1 1 Х 3 +1/3 Х 3 +у3 (х 3 - уз)(дсз + уз)(хз + уз) 1 1 х 3 + у3 = - У 3)(* 3 + У 3) 4. Решение простейших уравнений: 4 1) = 2 => л: = 2 3 ;)(лс-1)"з = 3 => = 3 2 => ЛГ = _ 2. Неравенство Бернулли При сравнении степеней часто приходится пользоваться различными неравенствами. Докажем полезное неравенство (частный случай знаменитого неравенства Бернулли): пусть х > 0, п > 1, тогда (1 + х)" > 1 + пх; (1 + х)" <1 +. п Доказательство. Заметим, что второе неравенство вытекает из первого. Подставим в первое неравенство вместо х число х и извлечем корень п-и степ пени. Для доказательства первого неравенства применяем индукционное рассуждение: (1 + х)" +1 = (1 +х)" (1 + х) > > (1 + пх) (1 + х); 1 + (п + 1)х + пх 2 > > 1 + (п + 1)х. Осталось проверить неравенство при п = 2. На самом деле неравенство Бернулли верно не только для х > 0, но и для -1 < х < 0. Оно обобщается для произвольного показателя г. С помощью неравенства Бернулли можно сделать проверку того, что а г близко к а 8, если показатели г и s близки между собой. Пусть s > г и а > 1. а" - а г = а г (а 8 " г - 1) и s-r
35 Вопросы и упражнения 1. Запишите в виде степени с рациональным показателем: 1) V2; 3) 5) V27; 2) 7з 4) 3/25; в» < 2. Запишите с помощью радикалов: 1 2 1) 32; 3) 53; з 6 2) 2"2; 4) 3"5; 6) (6) 5 0,5 ; 10 з 7) 2" 0,25 ; 8> I) ; ю) fir. 3. Выполните действия: i l l 1) * 28; 2) \ " ; 3) 4) УзЗ/9 V27 ; 2 5 а 3 а " а 2 а 3 4. Расположите числа в порядке возрастания: S 4 1) 2 2; -; 2»; 2 з; з Л 5 5) Ца 2)з J ; 6) » 1 " 93 2) I з I ; ы;9 З;34; 3) 2 4 ; ;(-3) 4 ; ; J1 4) З 3 ; (-2) 3 ; 2 е. 5. Докажите неравенство:) < ;) 33 >4^ >55; 4) >1. 6. Решите уравнения, построив графики степенных функций (или их комбинаций), стоящих в его левой и правой частях: 1) X 3 = 2 - *; 2) 2х 3 =~х + 15; 2 м 3) Зх 3 = \х - 4 ; 5) л: 4^ 4 4) х* = 5х + 6; 6) x z = х \2
36 Занятие 4 Логарифмы Что такое логарифм? 1. Определение. Логарифмом числа с по основанию а называется такое число Ъ, что а ь = с, т.е. показатель степени, в которую надо возвести основание, чтобы получить с: Ъ = logac. Основание и число, стоящее под знаком логарифма, должны быть положительными. Кроме того, предполагается, что а Ф 1. Если основание а = 10, то такой логарифм числа с называется десятичным и обозначается lgс, т.е. lgc = log10c. 2. Свойства логарифмов. Свойства степеней и логарифмов связаны между собой: Историческая справка Первые таблицы логарифмов были фактически построены немецким математиком М.Штифелем (). Шотландский математик Дж.Непер в работе «Описание удивительной таблицы логарифмов» (1614) изложил свойства логарифмов, правила пользования таблицей и привел примеры вычислений. С тех пор долгое время логарифмы называли «неперовыми». Свойства степеней a^a 62 =a bl+ " 2 а* Сa b) k =a bk г- ± yfa^ = а п Свойства логарифмов log (c1c2) = logac! + logac2 loga = logac1-logac2 logac* = k\ogac logatfc = loga с n 3. Основное логарифмическое тождество. Равенства а ь = с и Ъ = logac выражают одну и ту же связь между числами а, Ъ и с. Подставляя в равенство а ь = с представление числа b в виде логарифма, получаем основное логарифмическое тождество: a log c = с. Подставляя в равенство b = logac представление с в виде степени, получаем еще одно тождество: logaa ft = Ь. 4. Переход к новому основанию. Логариф- Мы чисел по разным основаниям пропорциональны друг другу: Дж. Непер () Независимо от Дж. Непера швейцарский математик, астроном и часовой мастер И.Бюрги (), работавший с великим И.Кеплером, опубликовал в 1620 г. аналогичные, хотя и менее совершенные, логарифмические таблицы. Основное логарифмическое тождество logax = fclogbx. alog C _с
37 Приложения логарифмов 1. Полет ракеты переменной массы. Формула Циолковского связывает скорость ракеты и с ее массой т: v = kvx\g, т где v1 скорость вылетающих газов; т0 стартовая масса ракеты; k коэффициент. Скорость истечения газов Wj при сгорании топлива невелика (в настоящее время она меньше или равна 2 км/с). Логарифм растет очень медленно, и для того чтобы достичь космической скорости, необходимо сделать большим отношено ние т.е. почти всю стартот вую массу отдать под топливо. 2. Звукоизоляция стен. Коэффициент звукоизоляции стен измеряется по следующей формуле: где р0 давление звука до поглощения; р давление звука, прошедшего через стену; А некоторая константа, которая в расчетах принимается равной 20 дб. Если коэффициент звукоизоляции D а 20 дб, то lg^- = 1 и Р р0 = Юр, т. е. стена снижает давление звука в 10 раз (такую звукоизоляцию имеет деревянная дверь). Р Применение свойств логарифмов 1. Вычисление логарифмов. log2256 = log22 8 = 8; lg0,001 = lglo" 3 = -3; Ig3/l0 = -lglo = Коэффициент пропорциональности k вычисляется следующим образом: k = log, а или k = logab. Его называют модулем перехода от одного основания логарифма к другому. В частности, logax = log!-, Г х так как loga;c = log1x/log1o = -log1x= logj. г, л rt,. ^C Зачем нужны логарифмы? Однажды на такой вопрос ответил П.Лаплас, который сказал, что изобретение логарифмов удлинило жизнь астрономов. Действительно, первое назначение логарифмов состояло в упрощении сложных вычислений, при котором умножение с помощью логарифмов заменялось сложением. Еще недавно каждый инженер носил в кармане логарифмическую линейку, с помощью которой можно было выполнять разные подсчеты, выполняемые сейчас на калькуляторе. С помощью логарифмов можно решать задачи, обратные возведению в степень: если а х = Ь, то неизвестное х можно записать как logab. При этом важна не сама возможность записи, а то, что, меняя Ъ, т.е. рассматривая х = loga& как функцию от Ъ, мы обнаруживаем новый характер функциональной зависимости. Логарифмические функции значительно пополнили запас зависимостей, доступных сравнительно простому изучению. Почему логарифмы обладают такими удобными свойствами? 1. Доказательство правил логарифмирования. Все правила логарифмирования доказываются с применением свойств степени. Докажем, например, правило логарифмирования произведения: логарифм произведения равен сумме логарифмов. 36
38 Обозначим logac! = bly logac2 = b2. По основному логарифмическому тождеству имеем У =сх, a h =с2- Перемножим эти равенства: abiabz = CiC2> По свойству степеней a^a*" 2 =a bl+b2, т.е. Clc2= a bl+b2. По определению логарифма Ьг + + Ь2 = loga(cic2), тогда l0ga(c!c2) = logac! + logac2, что и требовалось доказать. 2. Доказательство формулы для модуля перехода. Прологарифмируем основное логарифмическое тождество a l g * = х по основа- нию b: откуда loga* log6a = logfcx, log6* logax = logfta Эту формулу часто читают следующим образом: логарифм числа по новому основанию равен логарифму числа по старому основанию, деленному на логарифм нового основания по старому основанию. Коэффициент пропорциональности можно записать в виде k = log ab, так как logai> logba = 1 (положите в формуле х = Ъ). 2. Логарифмирование. 2 f Дано: А = (looa 3 &j. Найти: lga. Решение. lga = 3 lgloo + 2, + lga + Igftj = ga + 31g&. 3. Потенцирование (нахождение выражения по его логарифму). log2а = log2a - 31og26 => => log2 А = log21 + log2 a 2 - -log2fe 3 =log2 2 b 3 12 J 2 b 3 4. Переход к одному основанию. Дано: А = logj а - log^a og8a. 4 Перейти к основанию 2. Решение. Заметим, что log22* = k это поможет устно находить модуль перехода. 1=log2a log2a 2 log2a = = log2a! 1 log2v2 log28 й i 2) -2 1/2 3j 2+ 1)" П ] 6 log2a. ^ Вопросы и упражнения 1. Вычислите: 1) log a, logal, logaa 5, logai, logav^, loga^/a 3 ; 1 a f? 2) logi-,logl 2, logll, logt 8, log! >/2, logj г2 3)log327, log3i log9i, log2v2, log2-jl, log^4, log^^/ Прологарифмируйте данное выражение по основанию а: 1)А = *<; 5) А = - зтзd " 2 i -i 2) А = 2a 2 *V; 4) А = ; 6) А = a 3 (a - 2)(a - 5). ab
39 3. Найдите выражение А по логарифму: 1) log A = ogab; 2) InA = lnsinx - In cos Л; (In логарифм с основанием e (e «2,71828), называемый натуральным логарифмом); 3) lga = -l + lg(*-l)-31gx. 4. Определите, какое из чисел больше: 5) log34 или 1; 1) log32 или 0; 2) log j 3 или 0; 6) log! или 1; п 8 9) log! 7 или log, 10; з з 10) log, ИЛИ log!. З 5 з 7 3) logs-или о 7) log23 или log25; 4) logx или 0; 8) log27 или l g2-; 5. Замените логарифмы log, a, log8a, log! a, log2a, log3a логарифмами по основанию Найдите: 1) logg9, если logi218 = a; 3) log , log920 = a, lg2 = b. 2) log915, если log 25 = a; Занятие 5 Показательные и логарифмические функции Семь арифметических операций Сложение Умножение Возведение в степень а + Ь = с Вычитание Деление Извлечение корня Логарифмирование с-ь = а с-а = Ь а-ь = с I- а ь =с с ь =а logac = Ь Что нового дают степени и логарифмы для изучения функций? 1. Одна зависимость три функции. Рассмотрим три переменные х, у и z, связанные зависимостью z x = у. Зафиксируем значение переменной г = а, потребовав, чтобы выполнялись условия a > 0, а Ф 1. Можно записать связь между двумя остальными переменными в виде у = а х. Меняя произвольно х, получим показательную фун кцию, или экспоненту. Выразим из этого же соотношения у = а х переменную х как функцию от у: х = logay. Меняя у в качестве аргумента, получим логарифмическую функцию. Если в том же соотношении г х = у зафиксировать показатель х = k, то получим уже знакомую степенную функцию у = z k. Еще ПО
40 одну степенную функцию получит, 1 z через у\ z = у к. Разумеется, во всех этих переходах надо следить за ограничениями, которые накладываются на переменные. Мы уже это сделали для показательной функции у = а х, считая, что а > 0, а Ф 1. Для логарифмической функции х = logay необходимо дополнительно потребовать, чтобы у был положительным, так как а х > О, и для определения х из соотношения а х = у нужно, чтобы у был больше 0. Подумайте самостоятельно, какие ограничения нужно наложить на переменные для рассмотрения степенных функций. 2. Свойства и график показательной функции у = а х: область определения: множество всех действительных чисел R; монотонность: при а > 1 функция у = а х возрастает, при 0 < а < 1 убывает; положительность: значения функции у = = а х положительны; область значений: все положительные числа, т.е. интервал (0, +со). 3. Свойства и график логарифмической функции у = log0x: область определения: х > 0; промежутки постоянного знака: - при а> 1 у = 0 при х = 1; у < 0 при 0 < х < 1; у > 0 при х > 1; - при 0 < а < 1 у < 0 при х > 1; у > 0 при 0 < х < 1; монотонность: функция у = logax при а > 1 возрастает на всей области определения, при 0 < а < 1 убывает; область значений: множество всех действительных чисел R. 1. Продолжим примеры различных процессов, которые описываются с помощью покапоказательных функций у=а х, 0<а< 1 Графики логарифмических функций Зачем нужны показательные и логарифмические функции? 2
41 Радиоактивный распад Увеличение численности населения Барометрическая формула Таблица логарифмов а log2a lg a 2 1 0,47712 к 1,01030 (Найдите связи между чис лами этой таблицы!) зательных и логарифмических функций (два примера полет ракеты переменной массы и звукоизоляция стен были рассмотрены на предыдущем занятии). Радиоактивный распад. Изменение массы радиоактивного вещества происходит по формуле m(t) = т0-2~ ы, где т0 масса вещества в начальный момент t = 0; т масса вещества в момент времени t; k некоторая константа (период полураспада). Рост народонаселения. Изменение численности населения в стране на небольшом отрезке времени с хорошей точностью описывается формулой N = N02 at, где N0 число людей при t = 0; N число людей в момент времени t; а некоторая константа. По аналогичной формуле вычисляется изменение числа особей в популяциях животных при определенных условиях (например, когда достаточно пищи и нет внешних врагов). Барометрическая формула. Давление воздуха убывает с высотой (при постоянной температуре) по закону р = р0е н, где р0 давление на уровне моря (h = 0); р давление на высоте h; Н некоторая константа, зависящая от температуры. При температуре 20 СЯ«7,7 км. 2. Роль основания а. Нужно ли рассматривать показательные и логарифмические функции при различных основаниях а? На самом деле достаточно было бы ограничиться одним основанием, например, взяв а = 10. Действительно, а* = 10**, где k = lga: а х = (l0 lga)* = 10 (lga >* = 10**, k = lga. По формуле перехода к другому основанию получим loga* = k\gx, где k =!. lga Поэтому вместо функций вида у = а х можно рассматривать функции с одним и тем же основанием, но с коэффициентом при значении аргумента: у = 10**. Аналогично и для логарифмических функций достаточно было 40
42 Оы рассматривать функции с фиксированным основанием, но с коэффициентом при значении функции: у = k\gx. Некоторые основания а играют особую роль: а = 10 (десятичный логарифм). Поскольку мы записываем числа в десятичной системе счисления, запись числа в виде А = Ю" ед помогает понять порядок числа А. Заметим, что для натурального числа А число + 1 показывает число цифр в десятичной записи числа А ([а] обозначает целую часть числа а); а = 2 (двоичный логарифм). В информатике используется двоичная система счисления; а = е (натуральный логарифм). Это число названо в честь Л.Эйлера, оно иррационально и приблизительно равно 2,7. Почему выполняются перечисленные свойства показательных и логарифмических функций? 1. Монотонность показательной функции. Возьмем основание а > 1. Докажем, что хх < х2 => а* 1 < а Хг. Сначала заметим, что а х > 1 при х > 0 (подумайте, почему). Далее выполним преобразование: а* 2 - а* 1 = = а* 1 (а* 2- * 1-1). Оба множителя в этом произведении положительны, поэтому а* 2 > а* 1. Заменяя а на, получим доказательство а того, что у = а х при 0 < а < 1 убывает на всей числовой оси. 2. Монотонность логарифмической функции. Пусть а > 1. Докажем, что 0 < < х2 => logax! < \ogax2. Сначала заметим, что logax > 0 при х > 1 (подумайте, почему). Выполним преобразование: loga х2 - loga хг = = > 0, так как 0 < хг < х2 => > Заменим а на, тогда 0 < < 1; logx х2 - а а а - log 1 хг = log J = loga < 0, так как < 1. а а Х 2 Х 2 Таким образом мы доказали, что функция Логарифмы, имеющие примечательные основания IgA десятичный логарифм числа А (основание а = 10); log2a двоичный логарифм числа А (основание а = 2); 1пА натуральный логарифм числа А (основание е» 2,7). Показательная функция У a / У = е х -^45 0 X Касательная к графику функции у = е х в точке (0; 1) наклонена к оси абсцисс под углом 45. Это свойство определяет число е. Монотонность показательной и логарифмической функций 5 < х < 6 li 32 < 2 х < < 10* < < jc < U 3 < lg х < 3,3 41
43 графиков функций у = а" и у = logax ти определения. 3. Симметрия графиков функций у = а х и у = loga;t. Графики этих функций симметричны друг другу относительно прямой у = х. Возьмем точку Р(с; d) на графике функции у = а х. По условию d = а. Тогда с = logad и точка Q(d; с) лежит на графике функции у = = \ogax. Точки PhQ симметричны друг другу относительно прямой у = х. Как используются свойства показательных и логарифмических функций при решении задач? Сравнение значений числовых выражений а* 1 > а" 2 > х2, а > 1) а*" < а Хг (*! > х2, а < 1) Нахождение области определения функции у = lg(x 2-4х), D: лее(-оо; 0) и (4; +оо) Нахождение области значений (03) функции, заданной на промежутке У = logao*; - 3), х б ОЗ: [О; 3] 1. Сравнение значений числовых выражений. Что больше: 1) или 101 3? Ответ очевиден: = при умножении на 101 число увеличивается. Рассмотрим и как значения показательной функции у = 101* при х = 2 и х = 3 с основанием 101 > 1. Функция возрастает на всей числовой оси, поэтому для любых чисел лгг и х2 таких, что хх < х2, справедливо неравенство 101* 1 <101* 2 ; 2) 26 4 или 5 8? Число 26 близко к 25 = 5 2 и 26 4 близко к (5 2) 4 = 5 8. Однако 26 > 25 => 26 4 > 25 4 = 5 8. Мы использовали монотонность степенной функции у = х 4 при х > 0: для любых 0 < х1 < х2 верно неравенство х 4 < х2; 3) log23 + log25 или 4? Выполним преобразование: log23 + log25 = = log215. Выразим 4 через логарифм: 4 = log22 4 = = log216. Функция у = log2jc возрастает при х > 0. Поэтому 15 < 16 => log215 < log216 = Нахождение области определения функции: 1) у = lg (х 2-4х). Область определения D этой функции числа х, удовлетворяющие неравенству х 2-4х > 0; х 2-4х = х (х - 4). Ответ: х < 0 и х > 4, или х е (-оо; 0) и и (4; +оо). 2) У = lg х + lg (х - 4). Теперь необходимо выполнение одновременно двух неравенств (х > 0; s т.е. D:x > 4. х-4>0, 42
44 KSHLOKrri. JL S t, HJIil Л fc: "t-cuj. 3. Нахождение области значений (ОЗ) функции, заданной на промежутке: 1) у = 2 х1, х е , 2 х1 = 2 х -2 1 = 2 х. 2 Функция у - 2 х возрастает на всей чис- 2 ловой оси. Ее наименьшее значение на промежутке достигается на левом конце, т.е. при х = 0 (при этом у = -); наибольшее значе- 2 ние на правом конце х = 2 => у = 2. При изменении х от 0 до 2 значения функции у заполняют промежуток от до 2. 2 Ответ: < и < 2, или:; 2 2 У 2) у = log2(x - 3), х е . Функция определена и возрастает на этом промежутке. Ее наименьшее значение достигается на левом конце: х = 4, у = log2l = 0, наибольшее значение принимается при х = 11, у = log28 = 3. Область значений: 0 < у < 3, или . исновные формулы и соотношения У = А а > 0, а Ф 1; а > 1, х1 < х2 => a*i < а х 2; 0 < а < 1, лг1<*2 => я* 1 > а* 2. у = log x ле > 0, а > 0, а * 1; а>1,0<х1<х2=> => log,*! < log X2; 0 < а < 1, 0 < Xj < х2 - => logaxj > logax2. а i lo «a* = х log X log x logs a logax = logi X a ^ Вопросы и упражнения 1. Укажите, какие из следующих показательных функций возрастают, а какие убывают на всей числовой оси: 1)г/ = 5*; 3) j, = fjj ; 5) у = 2 х; 2)у = З- 1 ; = ; 6) У = ^ - 2. Постройте графики следующих функций: 1)у = 2 х; 3) у = 2-10 х; 5) г/=-3 *; 2) у = З х+1 ; 4) I/ = 2* + 2* -1 ; 6) г/ = 4 х Найдите наименьшее и наибольшее значения функций, заданных на промежутке: 1) у = 2 Х+2, [-1; 1]; 3)г/ = () " С; 1]: 2) у = х, [-2; 1]; 4) у = 2 х + 3 х, [-2; -1]. 43
45
А.. ЧЩДМЧ1 wuyu^uviuuiim V/JIV,^ J VJ/ Jllirv ЦJTA jrl 1) у = log2(* - 3); 3) y = log2fi3; 2-х 2);/ = log2(l - x 2); 4) у = lg (* + 2) + lg (x - 1). 5. Найдите области значений функций, заданных на промежутке: 1) У = log2(x + 3), [-1; 5]; 3) у = 1 - lg ; 2) j/ = 2 - log2(3x - 1), ; 4) у = lg х + log2jc, . Занятие 6 Показательные и логарифмические уравнения и неравенства Примеры 1. Решение простейших показательных уравнений: 10* = 1000; 1000 = 10 3 ; 10 х = 10 3 о х = х = 2» х = lg Решение простейших логарифмических уравнений: log2jc = 3 х = 2 3 = Решение простейших показательных неравенств:. 3 х <1; 1 = 3 Х; х < З 1 <=> * < х > 2; 2 = 10 lg 2 ; 10 х > 10" г 2 <=> х > lg Решение простейших логарифмических неравенств: log2x > -1; х>1. Си ОДЗ: х > 0; 1 < х < 10. lg(x- 1)< 1. ОДЗ: * > 1; Гх-1 < 10, <=> 1 < х < 11. \х>1 logi х > -1 <=> ОДЗ:* > 0; 2 0 < х < 2. log2(x 2 + Зх) < 2 о \х 2 + Зх < 4, <=> { ис 2 +3х > 0. Что полезно помнить при решении уравнений и неравенств, содержащих показательные и логарифмические функции? 1. Решение простейшего показательного уравнения: (а > 0, а # 1), а х = a k <=> х = k сравниваем степени с одинаковым основанием. (а > 0, а Ф 1, Ъ > 0), а х = b <=> х = logafe. 2. Решение простейшего логарифмического уравнения: (а > 0, а Ф 1), logax = logafe <=> х = k; logax = b <=> x = a b. 3. Решение простейшего показательного неравенства: (а > 1), а х > a k <=> х > k; (0 < а < 1), а х > a k <=> х < k; (а > 1, b > 0), а х > Ъ <=> х > logafc; (0 < а < 1, Ъ > 0), а х > b <=> х < logab; (b < 0), а х > b <=> х любое число. 4. Решение простейшего логарифмического неравенства: (а > 1, k > 0), logax > logafe
46 (а > 1), logax < Ь <=> О < х < а*. При решении логарифмических неравенств полезно указывать область допустимых значений (ОДЗ). Если используются логарифмы по основаниям, меньшим 1, то надо помнить, что соответствующая функция является убывающей. Основой решения показательных и логарифмических неравенств является то, что функции вида у = Аа кх и у = В logax монотонны на всей области определения. Каждое свое значение с они принимают ровно один раз, например в точке х0. По одну сторону от этой точки значения функции больше с, по другую меньше. Как сводить уравнения к простейшим? 111МЛ ПС равенства и находим общие решения: х 2 + Зх < 4 <=> х Зх-4<0«-4<х<1; х 2 + Зх > 0 <=> х < -3 или х > 0 Ответ: (-4; -3) и (0; 1). Графическое решение показательных неравенств Показатель является функцией от х х = 8 о 2 1х = 2 3 o l - i = 3 o i = х = 5 <=> 2 1 -* = <=> 1 - х = log25 о х = 1 - log25. Вместо записи 5 = 2 1о6а5 можно логарифмировать обе части уравнения по основанию 2: 1 - х = log х1 + 5 х + 5 х+ 1 = 31. Слагаемые лишь постоянными множителями отличаются от 5 х: 5 х " 1 = 5" 1 5 х = ; 5 х + 1 = 5 5 х; 5 5*- x + 5* + 5 x+1 = 5 x fi + l + 5 = 5* х = 31 <=> 5 х = 5 <=> х = 1. 2 х < 3 1 у < log23 х Чтобы не возиться с дробями, лучше выносить за скобку наименьшее слагаемое: 5 х " х + 5 Х + 1 = = 5 х " 1 () = 31 5 х х - 5 х = 20. Вводим новое неизвестное 5 х = у. Видим, что 25 х = 5 2х = у 2. Г у - 20 = 0 ух = 5, у2 = х = 5, х = 1; 5 х = -4 решений нет => х = 1. -0,37 log^ = -1 + log3 2 «-0,37 45
47 логарифмических неравенств \og2x < 2 У 3 6. log2(2 - х) = log2(5-2х) => 2-х=5-2хе>х = 3. Теперь переход не сохраняет равносильности корень линейного уравнения 2 - х = = 5-2х не попадает в ОДЗ исходного уравнения. При х = 3 значения функций под знаком логарифма действительно равны: 2-3 = = -1, но отрицательны => корней нет. 7. log! х + 21og2 х + log4 х = 3. 2 Перейдем к основанию 2: Уравнение вида 2 Пх) = 2 равносильно уравнению f(x) = а. В общем виде уравнение а 2х + ра х + q = О сводится к квадратному уравнению у 2 + ру + q = О заменой переменной а х = у. При «потенцировании» уравнения, т.е. при переходе от уравнения к уравнению log2/(x) = а fix) = 2", заботиться об ОДЗ не надо, т.е. нет необходимости проверять условие f(x) > 0, так как при всяком х, удовлетворяющем уравнению fix) = 2", значение f{x), равное 2", положительно. logtx= lqg2^ =-log2x; log4x= log24 l o g 2 X - log2 = log2x. Перепишем уравнение: (log2*)^-l lj = 3<=> log2x = 3 «<=> log2 x = 2 <=> x = 4. Переходы к простейшим неравенствам выполняются аналогично х <-<^2 2х <2" 2 <^>2-х<-2<^ х>а log2(2 -ж)<0=>2-х<1=>ж>1. Переход не был равносильным. Надо добавить условие 2-x>0<=>x<2, которое удобнее записывать до начала преобразований. Итак, имеем систему неравенств: 2 л: > 0, \х < 2, <=> { 2-х<1, х>1. Ответ: 1 < х < 2, или (1; 2). Вопросы и упражнения 1. Решите уравнения: ^ \2x-l 1) 4* = 8; 3) (JJ = 16; 5) З х+2 = 9 2х ~ 3 ; 2) 3* 1 = 27; 4) 10* 2+х = 100; 6) 2 ~* = 4^2; 46
48 7) 2 = ; 16 8) 3 Л1 =27V3 3 х; 9) 10 х = 2; 10) 3 х = 2 2 -*; 11) 2 X 5 X+1 = 100; 12) З х -5 2х_3 = 45; 13) З х+2 - З х х = 21; 1 14) 4 х +2 2х =47; Х-1 Х+1 15) 4 х -3^~ = 3^-2 2х1 ; 16) 5-2 х = 3 2 х " ; 17) 2 Х = 80; ОО 18) З х +З 1 " х = ; 3 19) 7 2х х - 7 = 0; 2 х + 2" х 17 20) 2х -2 х Решите неравенства: 1 1) 2 х < 16; 3) >1; 2 5) 4 х1 + 1 > 0; 7) З х+1-3 х + 3 х 1 < 21; 2) 3 1х > 27; 4)? 4 6) 27 х > З х+в; 8) 2 2х х > Решите уравнения: 1) log4x = 2; 2) log5* = -2; 3) log2(l - Зх) = 3; 4) log4(2 - х) = log23; 5) logl(2x-3) = -2; 6) log i (x 2-3x +1) = 0; з 4. Решите неравенства: 7) log7log3log2x = 0; 8) log2(* - 7) = log2(ll - x); 9) log3(x - 5) = log3(2 - x); 10) log5(* 2-4x) = log5(3-2x); 11) log2x + log4x = 3; 12) l2ii = 3. log23 1) lg (x - 1) < 2; 2) log2(2 - x) < 3; 3) lg (x 2-3x) > 1; 5) <1; log2 x - 2 6) lg x < (lg x) 2 ; 7) lg (x - 2) + lg (x + 2) < 1; 4) log2(2x - 3) < log2(x + 2); 8) lg log2 (x + 1) > 1. БЕСЕДА Вычисление степеней и логарифмов Общие сведения Сейчас, когда каждый человек достаточно легко может вооружиться калькулятором или более мощным вычислительным средством, трудно представить, сколько хлопот доставляли человеку вычисления в прошлом. Изобретение логарифмов было огромным шагом на пути решения практических задач, связанных с вычислениями. Возможность с помощью логарифмов сводить умножение к сложению, а возведение 47
49 в степень к умножению потреоовала составлять подрооные таблицы логарифмов, которые существуют с начала XVII в. Еще недавно в библиотеках стояли толстенные тома таблиц, в которых были приведены значения логарифмов со многими десятичными знаками, в обязательный комплект школьных учебников входила отдельная «Таблица четырехзначных логарифмов», а каждый инженер носил в кармане логарифмическую линейку, уметь работать с которой полагалось и каждому школьнику. Появившаяся легкость в выполнении самих вычислений обострила другую проблему понимает ли человек, что он хочет вычислить, как ему поставить вычислительную задачу компьютеру или другому техническому устройству, как перевести эту задачу на понятный этому устройству язык. При вычислении степеней надо научиться видеть за различными названиями и обозначениями их общую суть, ощущать связь между ними, приобрести опыт и уверенность в том, что вы всегда (может быть, с помощью книг и учителей) сможете разобраться в запутанных и громоздких формулах. Логарифмы (несмотря на сложность их обозначения) как раз и приспособлены к тому, чтобы связать воедино различные задачи, связанные со степенями. В вычислительных задачах встречаются степени различных чисел в. (2,1) разных сочетаниях, например, при вычислении выражения А = 3 надо возводить в степень разные числа, умножать и делить степени. Зачем так много степеней? Нельзя ли обойтись степенями какого-то одного основания? Конечно, можно. Для вычисления выражения А с помощью калькулятора, умеющего 10 5 *i - К) 10 * 2 вычислять 10*, надо все числа привести к степени 10: А = ^Qi2*a = = 105^+10*2-12^ где ^ k 2n k3 логарифмы чисел 2,1; 7 и 3 по основанию 10. Внимательный читатель может дополнительно заметить, что 3 7 2,1 = и сделать упрощения: А = ю -7 *»" 1 " 16 *» -6, избавившись от логарифма числа 2,1. Правила вычисления степеней Первое правило. Выбрать одно удобное основание, например а, и привести любую степень к основанию а, т.е. представить любую степень с* в виде а кх при некотором k. Этот коэффициент k и есть логарифм: с = a log e, поэтому, обозначая logac через k, получим: с х = (a"" g " c f = = a kx. Это правило позволяет пользоваться каким-то одним основанием. В некоторых задачах удобно брать a = 10 (десятичные логарифмы), в других (особенно дискретных задачах) a = 2, в третьих универсальное основание е, которое удобно в тех случаях, когда приходится оценивать скорость роста (натуральные логарифмы).
50 Второе правило. При логарифмировании можно также выбрать одно удобное основание и сводить все логарифмы к этому основанию. Для этого существует специальная формула, которая выведена ранее. В одних задачах удобно брать логарифмы по основанию 10 (десятичные логарифмы), в других задачах будут полезны натуральные логарифмы, в третьих (дискретных) задачах часто используют двоичные логарифмы логарифмы по основанию 2. Таким образом, важно запомнить, что математика создала аппарат для упрощения работы со степенями, который позволяет связать между собой по-разному представленные выражения и функции.
51 < со < ^ Прямые и плоскости в пространстве Занятие 1 Взаимное расположение прямых и плоскостей Способы задания плоскости Расположение плоскостей а п р = с Как задать и описать расположение прямых и плоскостей? 1. Способы задания плоскости: тремя точками, не лежащими на одной прямой; прямой и точкой вне ее; двумя пересекающимися прямыми. Это перечисление означает, что существует одна и только одна плоскость, проходящая через указанные объекты: три точки, не лежащие на одной прямой, прямую и точку вне ее, две пересекающиеся прямые. 2. Расположение двух плоскостей: плоскости не имеют общих точек, не пересекаются. В этом случае говорят, что плос кости параллельны; имеют общие точки, пересекаются. В этом случае утверждается, что две плоскости пере секаются по прямой. Это означает, что общие точки двух пересекающихся плоскостей составляют некоторую прямую. 3. Расположение прямой и плоскости: прямая может лежать в плоскости. При этом если две точки прямой принадлежат плоскости, то вся прямая целиком лежит в этой плоскости; прямая может иметь с плоскостью ровно одну общую точку: прямая пересекает плоскость; 50
52 прямая и плоскость не имеют общих точек: прямая параллельна плоскости. 4. Расположение двух прямых: две прямые лежат в одной плоскости. Тогда есть две возможности: либо они пересекаются, т. е. имеют одну общую точку, либо параллельны, т.е. не имеют общих точек (и не забудьте, что при этом прямые лежат в одной плоскости); не лежат в одной плоскости. Такие прямые называются скрещивающимися. Разумеется, скрещивающиеся прямые не имеют общих точек, иначе они лежали бы в одной плоскости. 5. Как узнать, являются ли две прямые скрещивающимися: найти плоскость, в которой лежит одна из этих прямых, а вторая пересекает эту плоскость, но при этом в точке, не лежащей на первой прямой; надо знать, что они не параллельны, но могут быть расположены в двух параллельных плоскостях. Почему верно приведенное перечисление взаимного расположения прямых и плоскостей? Это достаточно трудный вопрос. С наглядной точки зрения все (или почти все) изложенное очевидно. Однако все приведенные факты доказать не удастся они используют некоторые первоначальные, исходные понятия точку, прямую, плоскость, пространство и у нас не на что опереться, кроме как на свои наглядные представления и интуицию. Со времен Евклида взаимоотношения между первичными понятиями описываются некоторыми соглашениями аксиомами, из которых можно логическим путем получать новые следствия. Конечно, сделано слишком много исходных соглашений аксиом (и не сформулированы еще некоторые, также необходимые для строгих доказательств) их число можно было бы сократить. Докажем, например, первый признак скрещивающихся прямых со ссылкой на предыдущие утверждения. Расположение прямой и плоскости а а Расположение двух прямых а п Ъ = О «IIЬ 51 I
53 иjv.lli ^ииш ^ои ирпшшс Ц И 1-2, UJlUUttUUlD а, содержащая прямую и имеющая с прямой 12 лишь одну общую точку Р. Нужно доказать, что прямые Zx и 12 скрещиваются, т. е. не лежат в одной плоскости. Если бы прямые и 12 лежали в некоторой плоскости (3, то в этой плоскости лежали бы прямая li и точка Р, не лежащая на этой прямой. Эти же объекты лежат и в плоскости а. Так как существует лишь одна плоскость, содержащая прямую и не принадлежащую ей точку, то плоскость р совпадает с плоскостью а. Однако по условию прямая 12 не лежит в плоскости а и имеет с ней лишь одну общую точку. Полученное противоречие доказывает теорему. Что можно сказать о взаимном расположении прямых и плоскостей, содержащих соответственно ребра и грани куба? Первый признак скрещивающихся прямых Дано: 12 е а, п а = Р, Р е 12 Доказать: 1х-12. Рассмотрим куб ABCDA"B"C"D". Прямые и плоскости, проходящие через вершины, ребра или грани куба, будем указывать с помощью букв, обозначающих вершины. Например, прямая АВ или плоскость АА"ВВ". Зафиксируем одно ребро, например, АА". 1) Какие ребра параллельны ребру АА"? Это ребра ВВ", СС", DD". 2) Какие ребра лежат на прямых, пересекающихся с прямой АА"? Это ребра AD, AB, A"D" и А"В". 3) Какие ребра лежат на прямых, скрещивающихся с прямой АА"? Это ребра В"С", C"D", ВС и CD. Для доказательства можно воспользоваться признаком скрещивающихся прямых. Так, плоскость А"В"ВА содержит прямую АА" и пересекается с прямой В"С". Аналогичные плоскости можно найти и для остальных трех ребер. 4) Сколько всего есть пар параллельных ребер? Для одного ребра есть три ребра, ему параллельных. Всего ребер 12. Значит, упоря- 52
54 n_ ^.jy uuf/utfitfivtfiuiima pcucp ^HCpDUC параллельно второму) будет 3 12 = 36. Просто параллельных пар будет вдвое меньше, так как каждая из них засчитана дважды (например, АА" ВВ", ВВ" АА"). Ответ: 18 пар. 5) Сколько всего есть пар пересекающихся ребер и пар скрещивающихся ребер? Подсчет выполняется аналогично: (4 12) : 2 = 24 и (4 12) : 2 = 24. Проверим, учтены ли все пары ребер. Всего число пар равно (1211):2 = 66.С другой стороны, = 66. Каждая из 66 пар ребер попала ровно в одну группу пар параллельных, пересекающихся или скрещивающихся. Аналогично можно подсчитать, что из (6-5) : 2 = 15 пар плоскостей, содержащих грани куба, есть 3 пары параллельных (пары противоположных граней) и 12 пар пересекающихся: (4-6) : 2. Пар (прямая, плоскость) всего 12-6 = 72. Таких пар, для которых прямая лежит в плоскости, 6-4 = 24. Пар, для которых прямая параллельна плоскости, 6-4 = 24 и столько же пар, для которых прямая пересекает плоскость. Ответ: = 72. АА" ВВ" АА" СС" АА" DD" АА" n AD АА" пав АА" п A"D" АА" п А"В" АА" ^ В"С АА" ^ C"D" АА" ^ ВС АА" CD Вопросы и упражнения 1. Каким образом можно задать плоскость? 2. Как могут быть расположены две плоскости? 3. Как могут быть расположены прямая и плоскость? 4. Как могут быть расположены две прямые? 5. Как узнать, являются ли две прямые скрещивающимися? 6. Какие пары ребер четырехугольной пирамиды лежат на скрещивающихся прямых? 7. Дан куб ABCDA"B"C"D". Назовите ребра, параллельные ребру АА". 8. Дан куб ABCDA"B"C"D". Перечислите ребра, которые лежат на прямых, пересекающихся с прямой АА". 9. Дан куб ABCDA"B"C"D". Перечислите ребра, которые лежат на прямых, скрещивающихся с прямой АА". 53
55 вне ребра лидт MCJJCO оту иримуш п пересекает плоскость BB"D"D по некоторой прямой, которая должна быть параллельна MN (признак 2). Точка R лежит на этой линии пересечения. Мы получим, таким образом, эту линию, проведя в плоскости BB"D"D через точку R прямую, параллельную диагонали BD. Эта прямая пересекает ребра ВВ" и DD" в некоторых точках S и Т. Пятиугольник MSPTN и является искомым сечением. Если взять точку Р на прямой СС" немного выше точки С", то получим в сечении шестиугольник, одна из сторон которого будет параллельна MN (признак 3). Когда это сечение пройдет через центр куба, то получится правильный шестиугольник. Проверьте это утверждение и рассмотрите самостоятельно другие сечения куба, проходящие через прямую MN. Вопросы и упражнения 1. Сформулируйте признак параллельности прямой и плоскости. 2. Сформулируйте признак параллельности двух плоскостей. 3. Какие фигуры могут получаться в сечении треугольной призмы плоскостью? 4. Какие фигуры могут получаться в сечении куба плоскостью? 5. Докажите, что плоскости, проходящие через точки (A, D", В") и (С", В, D) куба ABCDA"B"D"C", параллельны. 6. Какие ребра куба ABCDA"B"D"C" скрещиваются с прямой MN. Занятие 3 Углы между прямыми и плоскостями Угол между прямыми Как задаются углы между прямыми и плоскостями? 1. Угол между двумя прямыми. На плоскости две пересекающиеся прямые задают две пары равных между собой углов (вертикальные углы). Чтобы задать угол между двумя прямыми в пространстве, надо выбрать произвольную точку и провести через нее прямые, параллельные данным. Величины построенных плоских углов не будут зависеть от выбора начальной точки. 56
56 две прямые в пространстве, которым соответствует прямой угол, называются перпендикулярными. 2. Прямая, перпендикулярная плоскости. Так называются прямые, перпендикулярные всякой прямой в этой плоскости. С помощью этого понятия можно определить ортогональную проекцию точки на плоскость. Проекцией на плоскость а точки Р, не лежащей в этой плоскости, называется такая точка Р", принадлежащая плоскости а, что прямая РР" перпендикулярна плоскости а. Проекцией точки, лежащей в плоскости а, считается сама эта точка. Если требуется спроектировать некоторую фигуру на плоскость а, необходимо спроектировать на нее все точки этой фигуры. 3. Угол между прямой и плоскостью. Спроектируем прямую на плоскость. Если прямая перпендикулярна плоскости, то ее проекцией будет одна точка. Если же нет, то проекцией будет некоторая прямая. В этом случае говорят, что прямая является наклонной к плоскости. Углом между наклонной и плоскостью считается угол между прямой и ее проекцией на эту плоскость. 4. Угол между двумя плоскостями. Для измерения угла между пересекающимися плоскостями надо на линии пересечения этих плоскостей выбрать точку и провести через нее в каждой плоскости прямую, перпендикулярную линии пересечения. Угол между этими прямыми и считается углом между плоскостями. Две плоскости перпендикулярны, угол между ними прямой. если Зачем нужно понятие перпендикулярности в пространстве? Прямая перпендикулярна плоскости т±п, т±а, mlb, т±с Ортогональная проекция ^^ Угол между плоскостями в С помощью перпендикулярности можно определять и вычислять различные расстоя ния в пространстве. 1. Расстояние от точки до плоскости вычисляется как длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на плоскость (расстояние от данной точки до ее проекции на плоскость). 57
57 L a ± P Определение расстояний ta 2. Расстоянием между двумя параллельными плоскостями считается длина отрезка общего перпендикуляра к этим плоскостям, заключенного между этими плоскостями. 3. Если на плоскости задана некоторая фигура, то расстояние от произвольной точки в пространстве до этой фигуры определяется как наименьшее среди расстояний от данной точки до произвольной точки этой фигуры. Спроектируем данную точку на плоскость. Тогда ближайшая к данной точке точка фигуры будет ближайшей и к ее проекции, и наоборот, чтобы найти точку фигуры, ближайшую к данной точке, достаточно найти точку, ближайшую к ее проекции. 4. Угол между прямой и плоскостью, определяемый как угол между прямой и ее проекцией, будет наименьшим среди углов, которые образует данная прямая с произвольными прямыми плоскости. 5. Расстояние между двумя скрещивающимися прямыми вычисляется как длина общего перпендикуляра. a-b, ajua, h ± a, h ± b Как аргументированно определять и вычислять углы между прямыми и плоскостями в пространстве? Для этого полезно использовать векторное исчисление и тригонометрические функции. Этот вопрос будет изложен далее (см. гл. 5). Сейчас в качестве наглядного примера рассмотрим углы между различными прямыми и плоскостями в кубе. 1. Каждое ребро куба, например ребро АА", перпендикулярно двум граням куба. Оно перпендикулярно любым прямым, лежащим в этих гранях, в частности восьми ребрам. 2. Каждая грань куба перпендикулярна четырем другим граням. 3. Рассмотрим любую диагональ куба, например АС". Ее проекцией на плоскость ABCD будет диагональ основания АС. Угол а наклона диагонали АС" к плоскости основания это угол С"АС. Легко вычислить тригоно-
58 метрические функции угла а с помощью прямоугольного треугольника АС"С: sina = i ; tga = => a «35. л/3 у/2 4. Рассмотрим сечение, проходящее через два противоположных ребра куба (диагональное сечение), например сечение AB"C"D. Его угол с плоскостью основания ABCD определяется как угол между прямыми C"D и DC. Этот угол равен Рассмотрим сечение, проходящее через одну из вершин, например, А" и диагональ BD. Как найти угол наклона этого сечения к плоскости основания? Возьмем точку О середину диагонали BD, и соединим ее с вершинами А и А". Угол А"ОА и будет искомым, так как АО и А"О перпендикулярны линии пересечения плоскостей: tga = у/2 => a я 54. ^ Вопросы и упражнения 1. Как определить угол между скрещивающимися прямыми в пространстве? 2. Какая прямая называется перпендикулярной плоскости? 3. Как определяется угол между прямой и плоскостью? 4. Как вычисляется угол между двумя плоскостями? 5. Как определяется расстояние между параллельными плоскостями? 6. Как определяется расстояние между скрещивающимися прямыми? Щ БЕСЕДА Геометрия Евклида Введение Образцом логического совершенства в течение более чем двух тысяч лет является изложение начал геометрии, предпринятое Евклидом в III в. до н.э. Можно сказать, что это изложение единственный в истории человечества пример строгой математической теории, с которой 59
59 Евклид (конец IV III в. до н.э.) Древнегреческий математик, автор труда «Начала» в 13 книгах, в котором изложены основы геометрии, теории чисел, метод определения площадей и объемов, включающий элементы теории пределов и многое другие. яанниму человеку. До сих пор большинство учебников геометрии следует пути, указанному Евклидом, а, например, вплоть до недавнего времени английские школьники просто пользовались современным переводом «Начал» Евклида в качестве учебника. Разумеется, к концу XX в. распространились и иные взгляды. Они относятся к разным вопросам. Вот некоторые из них. Можно ли (и полезно ли) изучать геометрию, отказавшись от ее аксиоматической основы? Нужно ли вообще в рамках общего образования и культуры знакомиться с какой-либо аксиоматической теорией? Если да, то подходит ли для этого геометрия Евклида и нельзя ли найти более простые и доступные примеры? Насколько безупречна сама евклидова геометрия? Мы не будем касаться этих вопросов. Само построение данной книги положительно отвечает на вопрос, можно ли, изучая математику, обойтись без знакомства с аксиоматическим методом. Но мы считаем, что каждый культурный человек должен быть знаком с историей вопроса о евклидовой геометрии, не связывая его, однако, ни с реальным изучением геометрии, ни с целью овладения новым для себя математическим методом. Аксиоматика Евклида Первая страница «Начал» Евклида (издание 1505 г.) «Начала» Евклида (а точнее, каждая из тринадцати книг, составляющих этот труд) открываются определениями основных понятий. Вот несколько определений с первой страницы «Начал»: «Точка есть то, что не имеет частей»; «Линия длина без ширины. Концы же линии точки»; «Поверхность то, что имеет только длину и ширину. Концы же поверхности линии»; «Граница то, что является оконечностью чего-либо»; «Фигура то, что содержится внутри каких-либо границ». За определениями следуют основные положения, принимаемые без доказательств, по-
60 vj. шличие, которое делал Евклид между постулатами и аксиомами, не очень ясно.) Вот несколько примеров. 1. От каждой точки до всякой другой точки можно провести прямую линию. 2. Если прямая, падающая на две прямые, образует по одну сторону внутренние углы, сумма которых меньше двух прямых, то, неограниченно продолженные, эти прямые пересекаются по эту сторону. Это и есть знаменитый пятый постулат, равносильный аксиоме о единственности параллельной. Затем с помощью основных понятий и аксиом чисто логическим путем доказываются теоремы (предложения). Так, в качестве четвертого по счету предложения Евклид доказывает «первый признак равенства треугольников». Разумеется, Евклид пользуется многим из того, чего нет на самом деле в аксиомах (например, там нет ничего о наложении фигур, которое часто используется как своего рода мысленный эксперимент). Однако, за исключением нескольких частностей редакционного и языкового характера, уровень строгости Евклида считался вполне удовлетворительным вплоть до конца XIX в. Современная аксиоматика евклидовой геометрии Как было указано, почти все школьные учебники геометрии воспроизводят ту или иную аксиоматику, причем, как правило, в начале курса. При этом стараются сделать список возможно более простым и в то же время удобным для доказательства теорем. Образцом для такого построения, учитывающим достижения и язык математики, сложившиеся к концу XIX в., служит замечательная (хотя и не очень простая) система аксиом немецкого математика Гильберта, созданная им в 1899 г. Д. Гильберт выделяет три системы неопределяемых (основных) объектов: точки, прямые и плоскости. Затем постулируются «отношения» между ними (принадлежность, находиться между, быть равными, конгруэнтными). Эти положения образуют пять групп аксиом. Например, во вторую группу аксиом («аксиомы порядка») попало следующее утверждение, на которое обратил внимание немецкий геометр Г.Паш в 1882 г. как на необходимую аксиому: «Если прямая входит внутрь треугольника через одну из его сторон, но не через его вершину, то она должна выходить из него через другую сторону». Четвертая группа состоит из одной аксиомы о параллельности: «Через всякую точку, лежащую вне прямой а, проходит не более одной прямой, параллельной а». 61
61 г» пятую группу включены две акишмы о непрерывпииги, в том числе так называемая аксиома Архимеда: «При любых отрезках а и Ъ можно отложить вдоль b отрезки, равные а, столько раз, что они покроют отрезок Ь». Неевклидова геометрия В течение двух тысяч лет никто не сомневался (и не сомневается по сей день) в ценности аксиоматики Евклида. Единственный вопрос, к которому постоянно возвращались как профессиональные математики, так и любители, состоял в следующем: «Нельзя ли доказать, вывести пятый постулат Евклида из остальных аксиом как некоторую теорему». По этому вопросу были написаны тысячи книг и статей, но лучшее, что удавалось сделать, это заменить аксиому о параллельности другим утверждением, которое казалось гораздо более очевидным (и потому часто упускалось из виду), но которое оказывалось совершенно равносильным пятому постулату. К середине XIX в. стало ясно, что пятый постулат независим от остальной аксиоматики Евклида в том замечательном смысле, что, добавив к этой остальной системе аксиому, отрицающую пятый постулат (например, в такой форме, что через всякую точку проходят по крайней мере две прямые, параллельные данной), мы получим новую, непротиворечивую, систему, в которой можно выделить столь же далекие и содержательные теоремы, как те, которые были получены в геометрии Евклида. Такая система, в которой выполняется указанный список аксиом (включая отрицание пятого постулата), стала называться «неевклидовой геометрией». Впервые такую систему четко описал замечательный русский математик Н.И.Лобачевский, который выступил с докладом в Казанском университете в 1826 г., а через четыре года подробно из- Николай Иванович Лобачевский () Русский математик; автор «Геометрических исследований по теории параллельных линий», переведенных на немецкий язык, создатель «неевклидовой геометрии» (геометрия Лобачевского). Его назвали «Коперником в геометрии», так как он полностью перевернул всю сложившуюся систему взглядов на геометрию. Для развития математики оказались важными не только конкретные теоремы, доказанные Лобачевским, но в значительно большей степени его подход к основаниям науки. Близкие результаты были получены и К.Гауссом, но ему не хватило смелости довести их до конца и опубликовать, но хватило научной честности представить Лобачевского к избранию членом-корреспондентом Геттингенского ученого общества и лично известить его об избрании.
62 математик Я.Бойаи опубликовал работу с аналогичным содержанием. Еще через 40 лет были построены примеры поверхностей, на которых выполняется геометрия Лобачевского. От геометрии к логике Смысл движения от Евклида к Лобачевскому и далее к Гильберту (или, по крайней мере, один из этих смыслов) состоит в освобождении от геометрической наглядности. В системе Гильберта не нужно знать, как «выглядят» точки и прямые. С ними можно (и нужно) обращаться как с объектами, о которых известно лишь то, что описано в аксиомах. Тем самым, исходя из аксиом, мы получаем новые результаты лишь с помощью логики. Такой взгляд порождает два новых вопроса. Прежде всего о самой геометрии. Получение в качестве следствий аксиом большого числа достаточно глубоких утверждений (как это, например, было сделано Лобачевским) само по себе не доказывает непротиворечивости построенной системы. Уже к концу XIX в. стало ясно, что доказывать непротиворечивость новых систем можно с помощью моделей, реализующих аксиомы системы. Так, Гильберт указывает модель построения евклидовой геометрии с помощью чисел. Другой вопрос связан с анализом самой логики, что и было предпринято с большой интенсивностью в XX в.
63 Комбинаторика анятие 1 омбинаторные конструкции Азбука Морзе Алфавит состоит из двух мволов: точка и тире. Построение слов Слова длины. 1 Какие построения (конструкции) чаще всего используются в комбинаторике? 1. Построение слов. Рассмотрим некоторое множество символов. Эти символы будем называть буквами, а все множество букв ал фавитом. Слова длины 2 Слово это последовательность букв данного алфавита. Слова длины 3 Каждая буква алфавита может быть использована один раз, несколько раз или ни разу «а «а а Длина слова число букв в данном слове. Задача 1. Подсчитать количество слов длины k в алфавите из п букв. В слове длины k имеется k мест. На первое место ставим любую из п букв. При заполнении очередного места число возможностей увеличивается в п раз. Ответ: п п... п = п к. Число слов длины k k раз в алфавите из п букв равно п к. 2. Размещение. Рассмотрим некоторое множество объектов. Приготовим ряд из пустых мест. Мы различаем порядок мест первое, второе и т.д. Заполнить ряд значит поместить на каждом его месте какой-либо объект из данного множества (каждый объект можно использовать лишь один раз). 54
64 Ряд, заполненный объектами данного множества, называют размещением (мы размещаем объекты на определенных местах). Пусть число объектов в множестве равно п, а длина ряда (число мест в нем) равна к. Задача 2. Подсчитать число А к п размещений п объектов на к местах. В отличие от задачи 1, где букву можно использовать не один раз, в данной задаче, поместив какой-либо объект на определенное место, мы забираем его из множества (мешка с объектами) и его больше у нас нет (вторично он появиться не может). На первое место ставим любой из п объектов. На каждом следующем шаге число возможностей уменьшается на единицу. Ответ: п(п - 1)(п - 2)... = п(п - 1)... (п - k + h множителей + 1). Обратите внимание: последний множитель равен п - (к - 1) = п - k + 1. Заметим, что если k > п, то один из множителей будет равен нулю, поскольку нельзя п объектами занять число мест, большее, чем п. 3. Перестановка. Рассмотрим множество, содержащее п объектов. Мы хотим их расставить по порядку, т.е. упорядочить. Это можно сделать, занумеровав объекты. Упорядоченный набор объектов называется переста новкой. Этот термин возник потому, что сначала брались объекты, каким-то образом расставленные, а другие способы упорядочения требовали переставить эти объекты. Задача 3. Подсчитать число Рп перестановок п объектов. Ясно, что эта задача совпадает с задачей о размещениях в том случае, когда число объектов совпадает с числом мест мы расставляем все п объектов, используя п имеющихся мест. Повторение рассуждения задачи 2 приводит к следующему ответу: п(п - 1) Так как число множителей равно п, то последним будет число 1. Удобно переставить множители и записать результат в виде произведения всех натуральных чисел от 1 до п: п = = п\ (читается «п факториал»). Двухбуквенные слова в алфавите из трех букв аа ab ас Ьа ЬЬ Ъс са сь СС Размещение Размещение трех объектов на двух местах Размещение п объектов на к местах Номера мест Число возможных размещений 1 п 2 п- 1 3 п - 2 к п - k + 1 Всего вариантов: п(п - 1) (п - 2)... (п - k + 1) Число размещений п объектов на k местах равно произведению k последовательных целых чисел, наибольшее из которых равно п. 65
65 конструкции для решения комбинаторных задач? abc acb X abed (acbd (abdc \ aedb - - adbc - adeb - L dabc dacb L- Pn = nl Примеры Перестановка P4 = 4! = = 24 Размещение P n\ K = Л ft (n-k)\ л! A = (л-0)! л! л! л! = = л! (л-л)! О! Анаграмма cab cabd cadb cdab dcab слово с переставленными буквами Главный принцип не пытаться применить готовую формулу, не выяснять, «на что» дана задача (размещения, перестановки). Следует проанализировать конструкцию, способ составления и перечисления вариантов. 1. Двоичные ответы. Человеку задают 10 вопросов. На каждый из них он отвечает «да» или «нет». Сколько имеется различных вариантов ответов на все 10 вопросов? Для ответа на первый вопрос есть 2 варианта. Если уже построены ответы на несколько вопросов, то ответ на следующий удвоит число вариантов. Ответ = 2 10 = Разумеется, в этой задаче встретилась конструкция построения слов в алфавите из двух букв. 2. Тесты с выбором ответа. Человеку предложили тест из 6 вопросов. На каждый вопрос надо дать один из предложенных 5 вариантов ответа. Сколько имеется различных ответов на все 6 вопросов теста? Для ответа на первый вопрос есть 5 вариантов ответа. При переходе к очередному вопросу число вариантов будет увеличиваться в 5 раз. Ответ: = 5 6 = Конструкция сохранилась. Изменилось число букв в алфавите теперь их стало Слова с различными буквами. В алфавите 10 букв. Сколько можно построить слов длиной 3 с неповторяющимися буквами? На первое место ставим любую из 10 букв, на второе любую, кроме той, которая уже взята первой. Получаем 10-9 вариантов. На третье место можно поставить любую из 8 неиспользованных букв. Ответ: = 720. Использована конструкция размещений на трех местах размещали (без повторений) 10 букв. 4. Анаграммы слова с различными бук вами. Сколько существует анаграмм для слова КАТЕР? Все пять букв этого слова разные. Переставить 5 букв можно 5! способами. Ответ: Р5 = 5! =
66 fy Вопросы и упражнения 1. Что понимается под словом в данном алфавите? 2. Сколько имеется слов длиной 5 в алфавите из 6 букв? 3. Имеется алфавит из п букв. Рассматриваются слова, состоящие из т неповторяющихся букв. Какое понятие комбинаторики нужно использовать для описания таких слов? 4. Сколько имеется слов длиной 3 с неповторяющимися буквами в алфавите из 6 букв? 5. Что такое перестановка? 6. Сколько существует перестановок из 6 букв? 7. Как связаны между собой понятия «размещение» и «перестановка»? 8. Во сколько раз число размещений 10 объектов на четырех местах меньше числа размещений тех же объектов на шести местах? Занятие 2 Правила комбинаторики Каковы основные правила комбинаторных подсчетов? 1. Правило сложения. Пусть в множестве А имеется т. элементов, а в множестве В п элементов. Если у множеств А и В нет общих элементов, то в их объединении число элементов равно т + п. Можно сказать так: если в двух мешках лежат разные предметы и мы ссыпаем их вместе, то чтобы найти их общее количество, надо сложить количество предметов в каждом из мешков. Если для конечного множества X через Х обозначить количество его элементов, то правило сложения можно записать так: если А п В = 0, то \А и В\ = \А\ + \В\. Это правило несложно обобщается на случай, когда у множеств А и В есть общая часть. 2. Правило включения исключения. Пусть у множеств А и В общая часть насчитывает k элементов. Тогда в объединении множеств А и В число элементов равно т + п - k, т.е. \А u В\ = \А\ + В - \А п В. Понятно, что, складывая числа тип, мы засчитываем общие элементы дважды. Правила комбинаторики Правило сложения А п В = 0 J] А и В\ = А + В 67
67 включения исключения А u В\ = А + В - \А п В\ пространяют на объединение произвольного числа множеств. 3. Правило умножения. Число пар, составленных из элементов множеств А и В, равно произведению элементов этих множеств. Множество пар элементов двух множеств часто обозначают с помощью знака произведения. Тогда правило умножения можно записать так: [А х В\ = А х В. Правило умножения легко пояснить с помощью таблицы. Если мы составим прямоугольную таблицу и занумеруем (обозначим) ее строчки элементами множества А, а столбцы элементами множества В, то клетки таблицы будут соответствовать парам (а; Ь), где а е A, b е В. Число клеток таблицы, очевидно, равно произведению числа строк и числа столбцов. \А + В + С\ = \А\ + Б + \С\ - - \А n В\ - \А n С - В п С\ + + А п В п С 68 Правило умножения \А х В = А х Б Как применяются правила комбинаторики при решении задач? 1. Число слагаемых. Рассмотрим произведение (а + b + с)(а 2 + Ь 2 + с 2 - ab - ас - be). Сколько одночленов (до приведения подобных) получится при умножении «скобки на скобку»? Этот же вопрос можно переформулировать так: «Сколько пар можно составить из одночленов в первой и второй скобках?» Выберем любой из трех одночленов в первой скобке и любой из шести во второй. Число пар равно 3-6 = 18 использовали правило умножения. 2. Меню. В меню указано 5 закусок, 3 первых блюда, 4 вторых и 3 десерта. Каким числом способов можно заказать обед из четырех блюд? При продумывании заказа составляем четверки названий: 1) закуска; 2) первое блюдо; 3) второе блюдо; 4) десерт. В первую строчку этой четверки вписываем любой из пяти данных вариантов, во вторую любой из трех и т.д. Общее число ва-
68 [ =180. Это пример на обобщение правила умножения. Мы составляем не только пары, но и наборы из двух, трех, четырех и более объектов. 3. Автомобильные номера. Автомобильный номер состоит из трех букв и трех цифр. Используется 20 букв и все 10 цифр. Номер, имеющий все 3 нуля, также допустим (например, A000AA). Сколько можно изготовить таких номеров? У номера 6 мест. Первое, пятое и шестое предназначены для букв, второе, третье, четвертое для цифр. Заполнение мест происходит независимо друг от друга. Ответ: = Число слов. В алфавите 4 буквы. Сколько можно составить слов из букв этого алфавита, имеющих не более 3 букв? Число слов длины k из алфавита в 4 буквы равно 4*. Множества слов разной длины не имеют общих элементов. Применяем правило сложения. Ответ: = = Число учеников. В классе каждый ученик изучает какой-нибудь язык. При этом 20 учеников изучают английский, 12 французский, а 7 учеников оба языка. Сколько учеников в классе? Если сложить количество учеников, изучающих английский и французский языки, то мы учтем всех учеников, но тех, которые изучают два языка, засчитаем дважды. Применяем правило включения исключения. Ответ: = «Хотя бы один раз». Два раза подряд бросают игральную кость. В каком числе случаев хотя бы один раз выпадет цифра 6? Все случаи разобьем на два класса: ни разу не выпадает цифра 6, хоть раз выпадает цифра 6. Общих элементов у этих классов нет. Всего возможных вариантов, т.е. число последовательностей из двух цифр при запасе в 6 цифр, равно б 2, при запасе в 5 цифр (все, кроме шестерки) равно 5 2. Применяем правило сложения: б 2 = х. Ответ: б = 11. Блюдо Количество блюд Закуска 5 Первое 3 Второе 4 Десерт 3 Число вариантов обеда из четырех блюд: = 180. Автомобильные номера A000AA Количество номеров: = Число слов Количество букв в алфавите 4 Длина слова k Число слов 4* k = 3 => по правилу сложения: = 84 Число учеников Число учеников в классе: = 25 «Хотя бы один раз» Класс 1: ни разу не выпадает цифра 6. Класс 2: хотя бы один раз выпадает цифра 6. 69
69 Вопросы и упражнения 1. Как определить суммарное число элементов в двух множествах, если известно число элементов в каждом множестве, причем часть элементов может быть общей? 2. В чем состоит правило умножения? 3. В тестовом задании четыре примера. На каждый пример предложено 5 ответов. Каким числом способов можно выбрать ответ на задание? 4. Игральная кость бросается два раза подряд. Для каждой возможной суммы выпавших очков подсчитайте число возможных вариантов. Проверьте: сложив варианты для каждой возможной суммы, вы должны получить общее число вариантов. Занятие 3 Число орбит Орбита множество одинаковых (равноценных) вариантов Размещения А размещение без повторений из k элементов по т. элементов Примеры рассадить 6 человек в ряд можно 6! (720) способами; рассадить 6 человек за круглый стол можно 5! (120) способами; составить колонну из пар «мальчик девочка» при наличии 5 мальчиков и 5 девочек можно 5!5!2 5 способами. Как при комбинаторных подсчетах учитываются комбинации, которые считаются одинаковыми? При подсчете числа вариантов часто приходится считать одинаковыми (отождест влять) варианты по некоторому признаку. Если объединить все варианты, которые считаются одинаковыми, то получим множество, которое называют орбитой. 1. Круглый стол. Посадим 6 человек в ряд. Это можно сделать 6! способами. Теперь посадим их за круглый стол. Будем считать одинаковыми способы расстановки людей, которые можно получить поворотом стола по кругу. Возьмем одну расстановку и будем поворачивать стол. Мы получим орбиту из шести расстановок. Общее число орбит будет в 6 раз меньше, чем число всех расстановок. 6! Ответ: = 5! = Число пар. Имеется 5 мальчиков и 5 девочек. Каким числом способов их можно расставить в колонну, составленную из пар «мальчик девочка»? Будем считать одинаковыми колонны, в которых мальчик стоит слева или справа. Тогда общее число способов можно подсчитать следующим образом: выбор ряда для мальчи- 70
70 ^V/^y pill^u ^VDUICIV 5! способов. Возьмем одну расстановку в пары и начнем менять в парах левую и правую позиции. Из одной расстановки получим 2 5 = 32 других (меняем позиции в каждой паре независимо друг от друга). Объединив варианты в орбиты и заметив, что число элементов в каждой орбите одно и то же, равное 32, получаем результат. 1 /.\ Ответ: (5!) V " Число сочетаний. Каким числом способов можно выбрать подмножество (неупорядоченное!) из k элементов из множества, содержащего п элементов? Если бы мы рассаживали людей на k мест по порядку, то получили бы ответ в виде п(п - 1)... (п - k + 1) число размещений. Объединим расстановки в орбиты, меняя местами (переставляя) выбранных k человек. Это можно сделать k\ способами. Число орбит п (n-l)-...-(n-ft + l) будет равно. Мы получили выборку элементов, в которой порядок элементов не имеет значения. Раньше подмножества называли сочетаниями, поэтому полученное число называют «числом сочетаний из п по к» и обозначают с*. Принято Т&КЖ6 обозначение = Ck _ n(n-l)- in-k + 1) A k n\ k\ r k - " _ (n - m)\ n\ " ~ p ~ ml ml(n-m)! Свойство CS = С»"* сочетаний 4. Число анаграмм. Мы подсчитали ранее число анаграмм слова с различными буквами. Если число букв в слове равно л, то это число равно числу перестановок п элементов, т. е. числу п\. II f и t Число подгрупп Каким числом способов можно выбрать подгруппу из трех человек из группы в шесть человек? Сначала подготовим три места и посадим в них трех человек по порядку. Это можно сделать = = 120 способами. Теперь объединим в одну орбиту расстановки, не отличающиеся составом тройки, но различающиеся лишь тем, в каком порядке они посажены. В каждой орбите будет по 3! = 6 расстановок Ответ: 20. 3! (Г Пример Число сочетаний Дано множество элементов: х = {1, 2, 3}. Необходимо из данного множества составить двухэлементные подмножества. Их будет три: {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}. Из элементов каждого подмножества можно образовать 2! орбит длины 2: (1, 2) (1, 3) (2, 3) (2, 1) (3, 1) (3, 2), которые являются размещениями без повторения из трех элементов по два, и их число равно Al = 3 2 = 6. С другой стороны, это число равно 2!С => а А? Al = 2!С -"З - 2! 71
71 Число сочетаний На прямой взяли десять точек. Сколько всего получилось отрезков, концами которых являются эти точки? c»=t=th 45 - Бином Ньютона (а + Ъ) п = а"(1 + х) п (вынесли а" за скобку и обозначили Ь/а через Рассмотрим разложение бинома (1 + х) п по степеням х: (1 + х)" = 1 + а^х + а2х ап _ " 1 + х". Коэффициенты ак задаются формулой _ пк _ п(п -1)... (п - k + 1) CLu (->. k\ Мы умножаем п скобок вида 1 + х друг на друга. Чтобы получить степень х к, нужно выбрать в Л из них х, ав остальных п - k единицу. Число вариантов выбора k объектов из п возможных это и есть определенное нами число сочетаний из п по k, т.е. число С*. Для удобства полагают = 1 и записывают формулу бинома так: (1 + х) л = С + С\х C2~ 1 x n - 1 +CZx n. есть одинаковые буквы. Например, найдем число анаграмм слова ОКОЛОТОК. Это слово из восьми букв, причем в нем 4 раза встречается буква О, два раза К, а буквы Л и Т по одному разу. Сделаем одинаковые буквы разными (например, напишем их разным шрифтом К и К). Теперь все 8 букв разные и число анаграмм этого слова равно 8!. Объединим их в орбиты, отождествляя одинаковые, но по-разному записанные буквы О и К. Переставляя разные написания букв О (4! способа) и К (2! способа), получим орбиту из 4! 2! = 48 слов. Чтобы получить число анаграмм исходного слова, нужно 8! разделить на длину орбиты. 8! Ответ: = ! Как возводить в степень сумму одночленов? 1. Формула бинома Ньютона. Словосочетание «бином Ньютона» давно стало символом трудности и непонятности математики. На самом деле идет речь о достаточно простой вещи: если взять двучлен (бином) а + Ъ, возвести его в степень и сложить подобные слагаемые, то получится сумма одночленов вида a k b l с некоторыми коэффициентами. Формулу вычисления этих коэффициентов связывают с именем И.Ньютона, хотя она использовалась гораздо раньше. При возведении в степень бинома а + b получаем формулу: (а + Ь) п = С а" + С^а л-1 Ь С^:}аЬ п ~ 1 +С^Ь п. Частные случаи этой формулы при п = 2, 3, 4 вам хорошо знакомы. Числа С* называют биномиальными коэффициентами. 2. Свойства биномиальных коэффициентов. 1) Частные случаи. Полезно запомнить первые коэффициенты: С =1, С\=п, 2 _ п(п-1) з _ га(га-1)(я-2) С п ~ ~ 2 ~ " 6 72
72 a) uu/iatо ч-кркз фиктириилы. ЧУОрмулу ra(ra-l)...(ra-fe + l) С - можно преобразовать к более симметричному виду, k\ домножив числитель и знаменатель на (га - А;)!. В числителе восстановятся все числа от 1 до га. Получится формула С* = П. k\ + zxk) (x2i + i/2j + z 2к). ВА АС + ВС АС = 2) \АС\: - {ва+ Вс) АС = = BD АС = 0; \AC\ 2^AB+AD\ 2 = = {ab + AD)(AB + AD) = = АВ АВ + 2АВ AD + +AD AD = a 2 + 2a 2 x х + а 2 = За 2. 2 AC = av3. Ответ: 1) 0; 2) av3. Выражения в скобках надо перемножить почленно и учесть, что i i = j j = k k = 1, a i j = = i k = j k = Расстояние. Расстояние между двумя точками АГ и А2 в пространстве можно вычислить с помощью скалярного произведения:. 2 -» IА^ А21 = АХ А2 АХ А2. Запишем скалярный квадрат в координатах: -> -» 2 2 А1А2А1А:1=(Х2-Х1) +(у 2 ~ух) + +(z2-zxf. Получаем формулу \АхАг\ = yj{x 2 -Xxf +{у 2 ~ У1 f + («2 ~ *i f, которая обобщает теорему Пифагора для пространства.
84 понятия на язык координат и векторов? Это делается для того, чтобы построить вычислительные алгоритмы для решения геометрических задач. Основой для этого являются уравнения различных фигур в пространстве и, прежде всего, уравнения плоскости и сферы (поверхности шара). 1. Уравнение плоскости. Плоскость можно задать одной содержащейся в ней точкой i^oc-^o? J/o! 2 о) и вектором п, перпендикулярным этой плоскости (его называют вектором нормали к плоскости). Необходимым и достаточным условием того, что точка Р(х; у; г) принадлежит плоскости, является следующее: [ор-ор0) 1 п или в виде - * равенства РР0 п = 0. Задав координаты нормали п(а; В; С), получим уравнение плоскости в координатной форме: А (х - х0) + В (у - у0) + С (z - z0) = 0. Раскрыв скобки и обозначив число (Ах0 + + Ву0 + Cz0) через D, получим стандартное уравнение плоскости в виде Ах + By + Cz + D = = 0. Оно является аналогом известного уравнения прямой на плоскости. Заметим, что вектор нормали п определен неоднозначно его можно умножать на любое число. 2. Уравнение сферы. Точка Р(х; у; г) находится на сфере с центром С(а; Ь; с) и радиусом R, если выполнено условие \РС\ 2 = R 2. Это условие легко переписать в координатах: (х - а) 2 + (у - Ъ) 2 + (z - с) 2 = = R 2. Данное уравнение обобщает уравнение окружности в плоскости. произведения в координатах а 1 а 2 = Х 1 Х 2 + У1У2 + z l z 2 Уравнение плоскости РР01п 1» Ах + By + Cz + D = 0 Составить уравнение плоскости при следующих условиях: п(1; 2; 3), Р0(1; 0; 0). Решение: РоР((х-1);у;г) РоР±п Р0Р п = (х -1) + 2у + Зг = 0. Уравнение плоскости имеет вид: х + 2у + Зг - 1 = 0. Уравнение сферы ^ Вопросы и упражнения 1. Как определяется скалярное произведение векторов? 2. Как вычисляется скалярное произведение в координатах? 3. Каковы основные свойства скалярного произведения? 85
85 координат? 5. Запишите уравнение плоскости. 6. Запишите уравнение сферы. Занятие 4 Перпендикулярность прямых и плоскостей Признаки перпендикулярности: прямой и плоскости 1 т I X т, I ± п, т n п = {0} => I _L а двух плоскостей На, Zep=>p_La двух прямых п ± а, т 1 I, li проекция I на a => ij _L т Как можно проверить перпендикулярность прямых и плоскостей, используя координаты и векторы? 1. Перпендикулярность прямой и плоскости. По определению прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна любой прямой в этой плоскости. Проверить такое утверждение трудно, так как в плоскости можно провести бесконечное множество прямых. Оказывается, что достаточно проверить перпендикулярность лишь двум пересекающимся прямым. Теорема (теорема о двух перпендикулярах). Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым некоторой плоскости, то она перпендикулярна любой другой прямой этой плоскости, а значит, перпендикулярна самой плоскости. 2. Перпендикулярность двух плоскостей. Теорема. Если плоскость проходит через перпендикуляр к другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны. 3. Перпендикулярность двух прямых. Теорема (теорема о трех перпендикулярах). Если прямая, не лежащая в плоскости, перпендикулярна некоторой прямой, лежащей в плоскости, то этой прямой перпендикулярна и проекция исходной прямой на плоскость. Обратно: если проекция прямой на плоскость перпендикулярна некоторой прямой, лежащей в плоскости, то этой прямой перпендикулярна и исходная прямая. 86
СОДЕРЖАНИЕ1. Числа, функции и графики 7
§ 1 Числовая ось 7
§ 2 Декартовы координаты на плоскости 12
§ 3 Понятие функции 19
§ 4 Уравнения и неравенства 35
Задачи и вопросы 42
2. Производная и ее применение 51
§ 5 Введение производной 51
§ 6 Вычисление производной 60
§ 7 Исследование функции с помощью производной 69
§ 8 Приложения производной 85
§ 9 Дифференциал 91
§ 10 Задачи на максимум и минимум 98
Задачи и вопросы 104
3. Параллельность прямых и плоскостей 114
§ 11 Взаимное расположение прямых и плоскостей Н4
§ 12 Признаки параллельности 122
§ 13 Аксиоматическое построение геометрии 130
Задачи и вопросы 134
4. Векторы
§ 14 Направленные отрезки
§ 15 Координаты вектора
§ 16 Применение векторов в механике § 17 Векторное пространство
Задачи и вопросы
5. Тригонометрические функции 166
§ 18 Углы и повороты 166
§ 19 Определение тригонометрических функций 175
§ 20 Исследование синуса и косинуса 185
§ 21 Тангенс и котангенс 193
§ 22 Производные тригонометрических функций 197
§ 23 Диаграммы приведения 201
Задачи и вопросы 205
6. Скалярное произведение 210
§ 24 Проекция вектора 210
§ 25 Свойства скалярного произведения 213
Задачи и вопросы 220
7. Тригонометрические тождества и уравнения 222
§ 26 Формулы сложения 222
§ 27 Простейшие тригонометрические уравнения 230
§ 28 Решение тригонометрических уравнений 237
§ 29 Обратные функции 242
Задачи и вопросы 252
8. Перпендикулярность прямых и плоскостей 259
§ 30 Векторное задание прямой 259
§ 31 Векторное задание плоскости 265
§ 32 Двугранные углы 274
Задачи и вопросы 278
9. Пространственные тела 283
§ 33 Цилиндры и конусы 283
§ 34 Шар и сфера 291
§ 35 Призмы и пирамиды 295
§ 36 Многогранники 303
Задачи и вопросы 310
10. Показательная и логарифмическая функции 320
§ 37 Степени и логарифмы 320
§ 38 Показательная функция 327
§ 39 Логарифмическая функция 332
§ 40 Показательные и логарифмические уравнения и неравенства 336
Задачи и вопросы 342
11. Интеграл и его приложения 348
§ 41 Определение интеграла 348
§ 42 Вычисление интеграла 356
§ 43 Приложения интеграла 362
§ 44 Дифференциальные уравнения 371
Задачи и вопросы 379
12. Площади и объемы 384
§ 45 Площади плоских фигур 384
§ 46 Объемы пространственных тел 393
§ 47 Площадь поверхности 399
Задачи и вопросы 401
13. Уравнения и неравенства 407
§ 48 Решение уравнений и неравенств с одним неизвестным 407
§ 49 Системы уравнений 418
§ 50 Составление уравнений 424
Задачи и вопросы 434
Послесловие 435
Приложение 441
Ответы 448
Предметный указатель 460
Рецензенты: лаборатория математики (НИИ профтехпедагогики АПН СССР); д-р физ.-мат. наук, проф. С. В. Востоков (Ленинградский государственный университет им. А. А. Жданова)
Пособие написано в соответствии с программой единого курса математики, разработанной группой ленинградских математиков.
Алгебра, начала анализа и геометрия излагаются как один учебный предмет «Математика». Изложение материала сопровождается большим количеством примеров. Для учащихся и преподавателей средних профтехучилищ.
Издательство «Высшая школа», 1987
Предисловие
Книга представляет собой экспериментальный курс математики, соответствующий программе старших классов общеобразовательной школы, без традиционного деления на различные дисциплины - алгебра и начала анализа, геометрия. Настоящее издание составлено на основе «Экспериментальных учебных материалов» (М., Высшая школа, 1982) и пособия «Математика» (М., Просвещение, 1983).
В ходе преподавания экспериментального курса математики в средних профтехучилищах г. Ленинграда и некоторых других регионов страны в 1974-1985 гг. нашла подтверждение правильность выбора основных методических принципов, заложенных в программе единого курса математики. Главные идеи этого курса оказались хорошо согласованными с основными направлениями реформы общеобразовательной и профессиональной школы и способствуют практической ее реализации. Программа такого курса была разработана группой ленинградских ученых в рамках научных исследований НИИ профтехпедагогики АПН СССР.
В подготовке книги принимал участие коллектив сотрудников кафедры высшей математики Ленинградского электротехнического института им. В. И. Ульянова (Ленина). Всем им, а также своим многочисленным коллегам в институтах, школах и профтехучилищах г. Ленинграда автор выражает искреннюю признательность.
Вступительное слово автора
Уважаемый читатель!
Перед вами экспериментальное учебное пособие по математике. Математика за 2500 лет своего существования накопила богатейший инструмент для исследования окружающего нас мира. Однако, как заметил выдающийся русский математик и кораблестроитель академик А. Н. Крылов, человек обращается к математике «не затем, чтобы любоваться неисчислимыми сокровищами». Ему прежде всего нужно ознакомиться со «столетиями испытанными инструментами и научиться ими правильно и искусно владеть».
Данная книга научит вас обращаться с такими математическими инстоументами, как функции и их графики, геометрические фигуры, векторы и координаты, производная и интеграл. Хотя первое ознакомление с большинством из этих понятий состоялось у вас раньше, книга представляет их вам заново. Это удобно для тех, кто забыл изучавшийся ранее материал, и полезно всем, так как даже в знакомых вещах обнаружатся новые стороны и связи.
Для облегчения работы с пособием самые важные положения и формулировки выделены. Большую роль играют иллюстрации: если вы не до конца поняли учебный текст, внимательно рассмотрите относящийся к нему чертеж. Еще в древности использовали этот способ изучения математики - рисовали чертеж и говорили: смотри!
Каждый параграф книги разделен на пункты. В конце пунктов помещены упражнения. Этих упражнений, конечно, недостаточно, чтобы овладеть нужными навыками. Их цель - показать главное направление усилий, необходимых для овладения соответствующим материалом.
Достаточно полный набор задач и упражнений помещен в конце каждой главы.
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
А
Аддитивность 361 Аксиома 118, 131 Аксиомы стереометрии 132 Аргумент 22 Арккосинус 234, 250 Арккотангенс 236, 251 Арксинус 232, 233, 250 Арктангенс 236, 251
В
Вектор 137, 138, 149, 150, 157 - нулевой 140
Векторы коллинеарные 260, 262 Г
График функции 23, 32, 33 Д
Давление 89
Диаграммы приведения 201-203 Дифференциал функции 91, 92 Дифференцирование 51, 53, 348, 355 Длина окружности 401
И
Интеграл 348-350, 352, 354, 366 К
Касательная к кривой 53 Квадрат 130
Колебания гармонические 191, 22£ Конус 285, 289, 290
- усеченный 287
Координаты вектора 148, 149, 151
- точки 7, 13, 147
- - вращающейся 175 Корни арифметические 321
- уравнения 25
- функции 25
Косинус 175, 178, 186-189, 191, 197 Котангенс 175, 179, 186, 193, 196, 199, 203
Куб 305
Л
Логарифм 325
- натуральный 331
М
Масса 368
3 - стержня 87, 93
Заряд электрический 88, 93, 368 Мера угла градусная 169
Значение функции наибольшее 98 - - радианная 170
- - наименьшее 98 Метод Гаусса 423
- интервалов 39 Многогранник 303, 308 Модуль 138
- перехода 326
- числа 9
Монотонность функции 29 Н
Направляющий вектор прямой 259 Неравенства иррациональные 413
- равносильные 409
- рациональные 413 Неравенство 35, 407
- квадратное 37
- простейшее 339
О
Область значений допустимых 409
- - функции 83
- определения функции 24, 246 Объем 393, 394
- куба 393
- цилиндра 393, 395 Октаэдр 307
Орты осей 149 Ось числовая 7
П
Палетка 393
Параллелепипед 299, 300 Первообразная 356 Параллельность прямых 126 Переменные 19 Перемещение 368 Переход предельный 56 Период 185
Периодичность 176, 185 Пирамида 297, 298
Плоскости параллельные 120, 124, 125
- пересекающиеся 120
- перпендикулярные 276 Плоскость 114, 119, 130
- касательная 293 Площадь 362
- конуса 400
- круга 90
- многоугольника 388
- параллелограмма 387
- подграфика 389
- призмы 400
- треугольника 386-388
- фигуры произвольной 389
- цилиндра 400 Плотность линейная 87 Поверхность шара 400 Погрешность 96
Правила изображения векторов 139- 141
Правило многоугольника 140
- параллелепипеда 141
- параллелограмма 140, 141
- трех точек 140 Призма 295, 296
Признак параллельности двух плоскостей 124
- - - прямых 123
- перпендикулярности прямой и плоскости 267
- скрещивающихся прямых 117 Признаки параллельности 122 Приращение аргумента 59
- функции 59 Проекция вектора 211
- ортогональная 272
- точки 210
Произведение скалярное 210, 213-216 Производительность труда 90 Производная 51-53, 57, 60-63, 69 Промежуток числовой 8 Пространство векторное 157 Прямая 114, 119, 130 Прямые параллельные 114, 132
- пересекающиеся 114, 132
- скрещивающиеся 114, 126, 132
Р
Работа 87, 88, 93, 367 Равенство векторное 260 Радиан 170
Радиус-вектор 142, 153 Разложение вектора 145, 147 Размерность 145, 158, 159
Растяжение 140 Расширение тела линейное 83 Решение уравнения 37
с
Свойства движения вращательного 172-174
- интеграла 360
- неравенств 35
- радикалов 321
- степеней 324
Сегмент параболический 103 Сечение конуса осевое 287 Синус 175, 178, 186, 187-189, 191, 197 Система координат географическая 14
- - декартова 12, 147
- несовместная 419
- совместная 419 Системы линейные 422
- симметричные 421 Скорость 85, 155, 365
- мгновенная 55, 60, 156
- роста функции 56
- средняя 55, 59
- угловая 229
Соотношения для треугольника 167 Среднее арифметическое 37
- геометрическое 37 Степень 323
Суммы интегральные 350, 351 Сфера 291
Т
Тангенс 175, 179, 186, 193-195, 198, 203
Тела вращения 288 Теорема косинусов 216
- Ньютона - Лейбница 358
- о трех перпендикулярах 270
- Пифагора 167
- - пространственная 301, 302
- Эйлера 305, 308 Теплоемкость 89 Теплота 88 Точка 114, 130
- критическая 75
- локального максимума 26
- - минимума 26
- особая 84
- экстремума 82
Тригонометрические тождества 179, 236
- уравнения 230, 237
- формулы двойных углов 224
- - сложения 240
- функции 249-251
- - половинного угл& 225
У
Угловой коэффициент касательной 52 Углы 116, 169, 170
- двугранные 274, 275
- линейные 275
- многогранные 309 Угол раствора конуса 287 Уравнение 407
- движения 372 векторное 152
- дифференциальное 371, 374
- иррациональное 413
- колебаний гармонических 376, 377
- логарифмическое 336
- порядка второго 373
- - первого 373
- показательное 337
- прямой 18, 260
- рациональное 413 Уравнения однородные 241
- простейшие 183
- равносильные 37, 409 Ускорение 86, 153
Условие параллельности прямой и плоскости 268
- - прямых 262
- перпендикулярности векторов 217- 219
- - прямой и плоскости 268
- - прямых 262
- равенства 140
Ф
Формулы приближения 94, 199, 200
- приведения 180, 222
- сложения 222-224
- тригонометрические двойных углов 224
Функции взаимно обратные 242, 243, 249
- монотонные 246
- обратные 243, 244, 245
- периодические 176, 185
- показательные 327, 329, 341, 375
- тригонометрические 175, 177, 181 Функция 22, 70
- логарифмическая 332, 333
- нечетная 81
- четная 80
Ц
Цилиндр 283, 284, 289
Четность 178 Число 7
- действительное 8
- е 330
- иррациональное 324
- натуральное 8
- отрицательное 35
- положительное 35
- рациональное 8,323
Ч
Четырехугольник 130
Ш
Шар 291, 292
Математика. Башмаков М.И.
3-е изд. - М.: 2017.- 256 с. М.: 2014.- 256 с.
Учебник написан в соответствии с программой изучения математики в учреждениях НПО и СПО и охватывает все основные темы: теория чисел, корни, степени, логарифмы, прямые и плоскости, пространственные тела, а также основы тригонометрии, анализа, комбинаторики и теории вероятностей. Для обучающихся в учреждениях начального и среднего профессионального образования.
Формат: pdf (2017, 256с.)
Размер: 8,6 Мб
Смотреть, скачать: drive.google
Формат: pdf (2014, 256с.)
Размер: 52,6 Мб
Смотреть, скачать: drive.google
Оглавление
Основные обозначения 3
Предисловие 4
Глава 1. РАЗВИТИЕ ПОНЯТИЯ О ЧИСЛЕ 7
Занятие 1. Целые и рациональные числа 7
Занятие 2. Действительные числа 11
Занятие 3. Приближенные вычисления 15
Занятие 4. Комплексные числа 18
Беседа. Числа и корни уравнений 22
Глава 2. КОРНИ, СТЕПЕНИ И ЛОГАРИФМЫ 26
Занятие 1. Повторение пройденного 26
Занятие 2. Корень п-й степени 29
Занятие 3. Степени 33
Занятие 4. Логарифмы 37
Занятие 5. Показательные и логарифмические функции 40
Занятие 6. Показательные и логарифмические уравнения и неравенства 46
Беседа. Вычисление степеней и логарифмов 49
Глава 3. ПРЯМЫЕ И ПЛОСКОСТИ В ПРОСТРАНСТВЕ 52
Занятие 1. Взаимное расположение прямых и плоскостей 52
Занятие 2. Параллельность прямых и плоскостей 56
Занятие 3. Углы между прямыми и плоскостями 58
Беседа. Геометрия Евклида 61
Глава 4. КОМБИНАТОРИКА 66
Занятие 1. Комбинаторные конструкции 66
Занятие 2. Правила комбинаторики 69
Занятие 3. Число орбит 72
Беседа. Из истории комбинаторики 77
Глава 5. КООРДИНАТЫ И ВЕКТОРЫ 79
Занятие 1. Повторение пройденного 79
Занятие 2. Координаты и векторы в пространстве 83
Занятие 3. Скалярное произведение 85
Занятие 4. Перпендикулярность прямых и плоскостей 88
Беседа. Векторное пространство 90
Глава 6. ОСНОВЫ ТРИГОНОМЕТРИИ 93
Занятие 1. Углы и вращательное движение 93
Занятие 2, Тригонометрические операции 98
Занятие 3. Преобразование тригонометрических выражений 103
Занятие 4. Тригонометрические функции 109
Занятие 5. Тригонометрические уравнения 114
Беседа. Из истории тригонометрии 120
Глава 7. ФУНКЦИИ И ГРАФИКИ 122
Занятие 1. Обзор общих понятий 122
Занятие 2. Схема исследования функции 127
Занятие 3. Преобразования функций и действия над ними 131
Занятие 4. Симметрия функций и преобразование их графиков 136
Занятие 5. Непрерывность функции 139
Беседа. Развитие понятия функции 141
Глава 8, МНОГОГРАННИКИ И КРУГЛЫЕ ТЕЛА 143
Занятие 1. Словарь геометрии 143
Занятие 2. Параллелепипеды и призмы 145
Занятие 3. Пирамиды 148
Занятие 4. Круглые тела 151
Занятие 5. Правильные многогранники 154
Беседа. Платоновы тела 157
Глава 9. НАЧАЛА МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА 159
Занятие 1. Процесс и его моделирование 159
Занятие 2. Последовательности 165
Занятие 3. Понятие производной 171
Занятие 4. Формулы дифференцирования 176
Занятие 5. Производные элементарных функций 180
Занятие 6. Применение производной к исследованию функций 183
Занятие 7. Прикладные задачи 187
Занятие 8. Первообразная 193
Беседа. Формула Тейлора 195
Глава 10. ИНТЕГРАЛ И ЕГО ПРИМЕНЕНИЕ 198
Занятие 1. Площади плоских фигур 198
Занятие 2. Теорема Ньютона-Лейбница 201
Занятие 3. Пространственные тела 207
Беседа. Интегральные величины 213
Глава 11. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ 219
Занятие 1. Вероятность и ее свойства 219
Занятие 2. Повторные испытания 222
Занятие 3. Случайная величина 225
Беседа. Происхождение теории вероятностей 228
Глава 12. УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА 230
Занятие 1, Равносильность уравнений 230
Занятие 2. Основные приемы решения уравнений 233
Занятие 3. Системы уравнений 238
Занятие 4. Решение неравенств 242
Беседа, Разрешимость алгебраических уравнений 247
Ответы 249
Предисловие
Математика за 2500 лет своего существования накопила богатейший инструмент для
исследования окружающего нас мира. Однако, как заметил выдающийся русский
математик и кораблестроитель академик А. Н. Крылов, человек обращается к
математике «не затем, чтобы любоваться неисчислимыми сокровищами». Ему прежде
всего нужно ознакомиться со «столетиями испытанными инструментами и научиться
ими правильно и искусно владеть».
Данная книга научит вас обращаться с такими математическими инструментами, как
функции и их графики, геометрические фигуры, векторы и координаты, производная и
интеграл. Несмотря на то что первое знакомство с олыиинством из этих понятий
состоялось у вас раньше, книга представляет х заново. Это удобно для тех, кто
немного забыл изучавшийся ранее материал, и полезно всем, так как даже в
знакомых вещах обнаружатся новые стороны и связи.
Для облегчения работы с учебником самые важные положения и формулировки
выделены. Большую роль играют иллюстрации, поэтому необходимо внимательно
рассмотреть относящийся к тексту чертеж для лучшего понимания текста (еще в
древности использовали этот способ изучения математики - рисовали чертеж и
говорили: «Смотри!»).
Помимо несомненной практической ценности получаемых математических знаний
изучение математики оставляет в душе каждого человека неизгладимый след. С
математикой многие связывают объективность и честность, стремление к истине и
торжеству разума. У многих на всю жизнь остается уверенность в своих силах,
возникшая при преодолении тех несомненных трудностей, которые встретились при
изучении математики. Наконец, большинство из вас открыто к восприятию той
гармонии и красоты мира, которые вобрала в себя математика, поэтому не стоит к
каждой странице учебника, к каждой задаче подходить с оценкой, будет ли это
использоваться в той новой жизни, которая ждет вас после окончания учебы.
Темы, которым посвящен учебник, - теория чисел, пространственные тела, основы
математического анализа, начала теории вероятностей - имеют не только прикладное
значение. Они содержат богатые идеи, ознакомление с которыми необходимо каждому
человеку.
Хочется надеяться, что изучение математики, которому должен помочь /учебник,
позволит вам убедиться в высоком уровне своих возможностей, укрепит желание
продолжать свое образование и доставит много радостных минут общения с
«незыблемыми законами, которыми отмечен весь порядок мироздания».
Соглашение
Правила регистрации пользователей на сайте "ЗНАК КАЧЕСТВА":
Запрещается регистрация пользователей с никами подобными: 111111, 123456, йцукенб, lox и.т.п;
Запрещается повторно регистрироваться на сайте (создавать дубль-аккаунты);
Запрещается использовать чужие данные;
Запрещается использовать чужие e-mail адреса;
Правила поведения на сайте, форуме и в комментариях:
1.2. Публикация в анкете личных данных других пользователей.
1.3. Любые деструктивные действия по отношению к данному ресурсу (деструктивные скрипты, подбор паролей, нарушение системы безопасности и т.д.).
1.4. Использование в качестве никнейма нецензурных слов и выражений; выражений, нарушающие законы Российской Федерации, нормы этики и морали; слов и фраз, похожих на никнеймы администрации и модераторов.
4. Нарушения 2-й категории: Наказываются полным запретом на отправления любых видов сообщений сроком до 7 суток. 4.1.Размещение информации, подпадающей под действие Уголовного Кодекса РФ, Административного Кодекса РФ и противоречащей Конституции РФ.
4.2. Пропаганда в любой форме экстремизма, насилия, жестокости, фашизма, нацизма, терроризма, расизма; разжигание межнациональной, межрелигиозной и социальной розни.
4.3. Некорректное обсуждение работы и оскорбления в адрес авторов текстов и заметок, опубликованных на страницах "ЗНАК КАЧЕСТВА".
4.4. Угрозы в адрес участников форума.
4.5. Размещение заведомо ложной информации, клеветы и прочих сведений, порочащих честь и достоинство как пользователей, так и других людей.
4.6. Порнография в аватарах, сообщениях и цитатах, а также ссылки на порнографические изображения и ресурсы.
4.7. Открытое обсуждение действий администрации и модераторов.
4.8. Публичное обсуждение и оценка действующих правил в любой форме.
5.1. Мат и ненормативная лексика.
5.2. Провокации (личные выпады, личная дискредитация, формирование негативной эмоциональной реакции) и травля участников обсуждений (систематическое использование провокаций по отношению к одному или нескольким участникам).
5.3. Провоцирование пользователей на конфликт друг с другом.
5.4. Грубость и хамство по отношению к собеседникам.
5.5. Переход на личности и выяснение личных отношений на ветках форума.
5.6. Флуд (идентичные или бессодержательные сообщения).
5.7. Преднамеренное неправильное написание псевдонимов и имен других пользователей в оскорбительной форме.
5.8. Редактирование цитируемых сообщений, искажающее их смысл.
5.9. Публикация личной переписки без явно выраженного согласия собеседника.
5.11. Деструктивный троллинг - целенаправленное превращение обсуждения в перепалку.
6.1. Оверквотинг (избыточное цитирование) сообщений.
6.2. Использование шрифта красного цвета, предназначенного для корректировок и замечаний модераторов.
6.3. Продолжение обсуждения тем, закрытых модератором или администратором.
6.4. Создание тем, не несущих смыслового наполнения или являющихся провокационными по содержанию.
6.5. Создание заголовка темы или сообщения целиком или частично заглавными буквами или на иностранном языке. Исключение делается для заголовков постоянных тем и тем, открытых модераторами.
6.6. Создание подписи шрифтом большим, чем шрифт поста, и использование в подписи больше одного цвета палитры.
7. Санкции, применяемые к нарушителям Правил Форума
7.1. Временный или постоянный запрет на доступ к Форуму.
7.4. Удаление учетной записи.
7.5. Блокировка IP.
8. Примечания
8.1.Применение санкций модераторами и администрацией может производиться без объяснения причин.
8.2. В данные правила могут быть внесены изменения, о чем будет сообщено всем участникам сайта.
8.3. Пользователям запрещается использовать клонов в период времени, когда заблокирован основной ник. В данном случае клон блокируется бессрочно, а основной ник получит дополнительные сутки.
8.4 Сообщение, содержащее нецензурную лексику, может быть отредактировано модератором или администратором.
9. Администрация Администрация сайта "ЗНАК КАЧЕСТВА" оставляет за собой право удаления любых сообщений и тем без объяснения причин. Администрация сайта оставляет за собой право редактировать сообщения и профиль пользователя, если информация в них лишь частично нарушает правила форумов. Данные полномочия распространяются на модераторов и администраторов. Администрация сохраняет за собой право изменять или дополнять данные Правила по мере необходимости. Незнание правил не освобождает пользователя от ответственности за их нарушение. Администрация сайта не в состоянии проверять всю информацию, публикуемую пользователями. Все сообщения отображают лишь мнение автора и не могут быть использованы для оценки мнения всех участников форума в целом. Сообщения сотрудников сайта и модераторов являются выражением их личного мнения и могут не совпадать с мнением редакции и руководства сайта.
Марк Башмаков родился 10 февраля 1937 года в городе Санкт-Петербург. Отец, выходец из крестьян Тверской губернии, мать родом из Винницы. В 1954 году окончил школу с золотой медалью и поступил на математико-механический факультет Санкт-Петербургского государственного университета. В 1959 году принят в аспирантуру, затем работал ассистентом, доцентом и профессором. Впоследствии защитил докторскую диссертацию.
Активную работу со школьниками начал еще, будучи студентом, и продолжил ее в начале 1960-х годов. Участвовал в создании и работе кружков сначала на факультете, затем в районах города Санкт-Петербург, затем и в некоторых городах Северо-Запада. Был среди организаторов первых областных олимпиад по математике в городах Мурманск, Сыктывкар, участвовал в подготовке первой Всесоюзной олимпиады школьников по математике. Параллельно с работой, с 1977 года, в течение 15 лет, Башмаков заведовал кафедрой высшей математики в Санкт-Петербургском государственном электротехническом университете имени В.И. Ульянова.
В 1980-х годах в течение трех лет преподавал в средних профтехучилищах города Санкт-Петербург. Создал инновационную для своего времени программу по математике для средних профтехучилищ, написанный им учебник по математике неоднократно переиздавался и до настоящего времени востребован в системе начального и среднего профессионального образования. Свидетельством признания заслуг стало награждение его знаком «Отличник профтехобразования СССР».
В городе Санкт-Петербург под руководством профессора в 1992 году открыли Институт продуктивного обучения. В последующие годы ИПО являлся участником и организатором ряда международных и национальных проектов, целью которых являлось развитие методов продуктивного обучения и их использование в практике образования.
С 2002 по 2010 года заведовал лабораторией продуктивного обучения Института содержания и методов обучения РАО. В 2011 году стал заведующим лабораторией продуктивной педагогики Института педагогического образования и образования взрослых РАО.
Действительным членом Российской Академии образования избран в 1993 году. Позднее, за комплект учебников «Математика для всех» присуждена Премия Правительства Российской Федерации в области образования и присвоено звание «Лауреат премии Правительства Российской Федерации в области образования».
Научная работа и основные результаты математика относятся к алгебре и теории чисел. Главное направление исследований: применение современного аппарата алгебры и топологии к решению классических задач теории диофантовых уравнений, алгебраической теории чисел, алгебраической геометрии.
Профессор получил ряд содержательных результатов, получивших широкую известность и отраженных в обзорных монографиях. В мировую математическую литературу вошли такие носящие его имя понятия, как «теорема Башмакова», «проблема Башмакова» и «метод Башмакова». Создал научную школу, из которой вышел ряд известных математиков, более двух десятков кандидатов и докторов физико-математических наук.
На основе опыта работы в школе-интернате разработал и продолжает развивать педагогическую концепцию продуктивного обучения. Концепция представляет собой педагогическую систему, реализующую образовательный процесс с помощью индивидуальных маршрутов, с действиями, обеспечивающими личный рост, социальное самоопределение участников, рост их роли в формировании, реализации и оценке своего образовательного маршрута. Подходы оказались близки к тем, что реализуются в виде международной сети школ International Network of Productive Schools. Включение российской линии в эту сеть произошла на конгрессе INEPS.
Марк Иванович является автором большой серии учебников по математике нового поколения. Эти учебники удовлетворяют основные потребности изучения математики с 1 по 11 класс общеобразовательной школы различных профилей, учреждений начального и среднего профессионального образования. В серию входят более 20 учебников, включенных в Федеральный перечень учебников, а также более 30 различных вспомогательных учебных материалов. Активный участник и организатор системы Всесоюзных олимпиад школьников, член редакционных советов научно-популярного журнала «Квант» и журнала «Математика в школе».
В рамках реализации концепции продуктивного обучения под его руководством создана система массовых дидактических игр и конкурсов. Образцом для таких конкурсов стал математический конкурс «Кенгуру», где участвуют школы более 20 стран.
