Kabanata III. Mga kurba ng pangalawang pagkakasunud-sunod

§ 40. Hyperbole.

Hyperbole ay tinatawag na set mga punto ng eroplano, para sa bawat isa kung saan ang modulus ng pagkakaiba sa mga distansya sa dalawang ibinigay na mga punto ng eroplano ay pare-pareho at mas kaunting distansya sa pagitan ng mga puntong ito.

Ang mga puntong ito ay tinatawag mga trick hyperbolas, at ang distansya sa pagitan ng mga ito ay nakatutok distansya.

Tukuyin ang foci ng hyperbola sa pamamagitan ng mga titik F 1 at F 2 .
Hayaan Focal length| F 1 F 2 | = 2 kasama.

Kung M - di-makatwirang punto hyperbolas (Fig. 112), pagkatapos, sa pamamagitan ng kahulugan ng isang hyperbola, ang modulus ng pagkakaiba | F 1 M | - | F 2 M | pare-pareho. Tinutukoy ito sa pamamagitan ng 2 a, nakukuha namin

| | F 1 M | - | F 2 M | | = 2 a. (1)

Tandaan na sa pamamagitan ng kahulugan ng hyperbola 2 a< 2kasama, ibig sabihin. a< с .

Ang pagkakapantay-pantay (1) ay ang equation ng isang hyperbola.

Pumili kami ng coordinate system upang ang abscissa axis ay dumaan sa foci ng hyperbola; iguhit ang y-axis sa gitna ng segment F 1 F 2 patayo dito (Larawan 113).

Pagkatapos ang foci ng hyperbola ay ang mga puntos na F 1 (- c; 0) at F 2 ( c; 0).

Hayaan mo si M( X; sa) ay anumang punto ng hyperbola, kung gayon

| F 1 M | = √( x+c) 2 + y 2 at | F 2 M | = √( x-c) 2 + y 2 .

Pagpapalit ng mga halaga | F 1 M | at | F 2 M | sa equation (1), nakukuha natin

| √(x+c) 2 + y 2 - √(x-c) 2 + y 2 | = 2a. (2)

Ang equation na aming nakuha ay ang equation ng isang hyperbola sa napiling coordinate system. Ang equation na ito ay maaaring bawasan sa isang mas simpleng anyo.

Hayaan X > 0, kung gayon ang equation (2) ay maaaring isulat nang walang modulus sign tulad ng sumusunod:

√(x+c) 2 + y 2 - √(x-c) 2 + y 2 = 2a,

√(x+c) 2 + y 2 =2a + √(x-c) 2 + y 2 (3)

I-square natin ang magkabilang panig ng nagresultang pagkakapantay-pantay:

(x + c) 2 + sa 2 = 4a 2 + 4a √(x-c) 2 + y 2 + (x - c) 2 + sa 2 .

Pagkatapos ng naaangkop na mga pagpapasimple at pagbabago:

√(x-c) 2 + y 2 = c / a x - a, (4)

(x - c) 2 + sa 2 = (c / a x - a) 2 ,

dumating tayo sa equation

(5)

Sa pamamagitan ng kahulugan ng isang hyperbole a< kasama, Kaya naman kasama 2 - a 2 - positibong numero. Tukuyin natin ito sa pamamagitan ng b 2 , ibig sabihin, ilagay b 2 = kasama 2 - a 2. Pagkatapos ang equation (5) ay kunin ang anyo

Hinati ang termino ayon sa termino sa b 2, makuha namin ang equation

Kung ang X < 0, то уравнение (2) переписывается без знака модуля следующим образом:

√(x-c) 2 + y 2 - √(x+c) 2 + y 2 = 2a,

at sa parehong paraan tulad ng sa kaso X > 0 ay na-convert sa form (6).

Ang equation (6) ay tinatawag ang canonical equation ng hyperbola.

Magkomento. Ang pag-square sa magkabilang bahagi ng Eqs. (3) at (4) ay hindi lumalabag sa equivalence ng mga equation. Ang parehong bahagi ng equation (3) ay malinaw na hindi negatibo para sa lahat ng mga halaga X at sa. Ang kaliwang bahagi ng equation (4) ay palaging hindi negatibo. Sa X > a kanang bahagi equation (4) ay positibo, dahil

c / a x - a > c / a a - a = c - a > 0

Kaya, ang mga extraneous na puntos ay maaaring lumitaw lamang sa ilalim ng kundisyong 0 < X< а , ngunit mula sa equation (6) ito ay sumusunod na x 2 /a 2 > 1, ibig sabihin. | x | > a.

Gawain 1. Sumulat canonical equation hyperbola na dumadaan sa isang punto
M (-5; 9/4) kung ang focal length ng hyperbola ay 10.

Dahil |F 1 F 2 |= 10, pagkatapos kasama= 5. Isulat natin ang canonical equation ng hyperbola

Sa kondisyon, ang puntong M (-5; 9/4) ay kabilang sa hyperbola, samakatuwid,

Ang pangalawang equation upang matukoy a 2 at b 2 ay nagbibigay ng ratio

b 2 = kasama 2 - a 2 = 25 - a 2 .

Ang pagkakaroon ng solusyon sa sistema

hanapin a 2 =16, b 2 = 9. Ang nais na equation ay ang equation

Gawain 2. Patunayan na ang equation

20x 2 - 29y 2 = 580

ay ang equation ng isang hyperbola. Maghanap ng mga coordinate ng mga trick.

Ang paghahati sa magkabilang panig ng equation sa pamamagitan ng 580, nakukuha natin

Ito ang hyperbolic equation kung saan a 2 = 29, b 2 = 20.
Mula sa relasyon c 2 = a 2 + b 2 mahanap c 2 = 29 + 20 = 49, kasama= 7. Samakatuwid, ang foci ng hyperbola ay nasa mga puntong F 1 (-7; 0) at F 2 (7; 0).

Dahil sa equation ng isang ellipse.

Desisyon:

Isinulat namin ang equation ng ellipse sa canonical form:
.

Mula rito
. Gamit ang kaugnayan
, nahanap namin
. Kaya naman,
.

Ayon sa formula hanapin .

Mga equation ng Directtrix
kamukha
, ang layo ng pagitan nila
.

Ayon sa formula
hanapin ang abscissa ng mga punto, ang distansya mula sa kung saan patungo sa punto katumbas ng 12:

. Pagpapalit ng halaga x sa equation ng isang ellipse, makikita natin ang mga ordinate ng mga puntong ito:

Kaya, ang punto A(7;0) ay nakakatugon sa kondisyon ng problema.

Suliranin 56.

Sumulat ng isang equation para sa isang ellipse na dumadaan sa mga puntos.

Desisyon:

Hinahanap namin ang ellipse equation sa form
.

Dahil ang ellipse ay dumadaan sa mga punto
, pagkatapos ay natutugunan ng kanilang mga coordinate ang ellipse equation:
. Ang pagpaparami ng pangalawang pagkakapantay-pantay sa pamamagitan ng (-4) at pagdaragdag sa una, makikita natin
.

Pagpapalit sa nahanap na halaga sa unang equation, nakita namin
. Kaya, ang nais na equation
.

Suliranin 57.

;
.

Hyperbola

Hyperbole ay tinatawag na isang linya na binubuo ng lahat ng mga punto ng eroplano, ang modulus ng pagkakaiba sa mga distansya mula sa kung saan sa dalawang ibinigay na mga punto at ay isang pare-parehong halaga (hindi katumbas ng zero at mas mababa sa distansya sa pagitan ng mga puntos at ).

puntos at tinawag mga trick hyperbole. Hayaan ang distansya sa pagitan ng foci
. Module ng mga distansya mula sa hyperbola point hanggang foci at tukuyin ng . Sa kondisyon,
.

,

saan
- mga coordinate ng isang di-makatwirang punto ng hyperbola,

.

Ang equation
tinawag canonical equation hyperbole.

Ang hyperbole ay may dalawa asymptotes
.

eccentricity ang hyperbola ay tinatawag na numero . Para sa anumang hyperbole
.

Ang focal radii ng isang hyperbola point tinatawag na mga segment ng linya na nag-uugnay sa puntong ito sa foci at . Ang haba nila at ay ibinigay ng mga formula:

Direkta
ay tinatawag na mga directrix ng hyperbola. Tulad ng sa kaso ng isang ellipse, ang mga punto ng isang hyperbola ay nailalarawan sa pamamagitan ng kaugnayan .

Suliranin 58.

Hanapin ang distansya sa pagitan ng foci at ang eccentricity ng hyperbola
.

Sagot:
.

Suliranin 59.

Isulat ang canonical equation ng hyperbola kung (
). Tukuyin ang eccentricity ng hyperbola.

Sagot:
.

Suliranin 60.

Isulat ang canonical equation ng hyperbola symmetric tungkol sa mga coordinate axes kung ito ay dumaan sa isang punto
, at ang eccentricity ay
.

Sagot:
.

Gawain 61.

Hanapin ang mga equation ng hyperbola na ang vertices ay nasa foci at ang foci ay nasa vertices ng isang ellipse
.

Sagot:
.

Suliranin 62.

Tukuyin geometric na lugar puntos
, ang mga distansya mula sa kung saan patungo sa tuwid na linya
kalahati ng mas maraming bago ang punto
.

Sagot:
.

Suliranin 63.

Isulat ang equation ng hyperbola symmetric na may kinalaman sa coordinate system kung ito ay dumaan sa mga puntos
,
.

Sagot:
.

Gawain 64.

Sumulat ng isang equation para sa isang hyperbola kung ang mga asymptotes nito ay ibinigay ng equation
, at ang hyperbola ay dumadaan sa punto
.

Sagot:
.

Suliranin 65.

Paano matatagpuan ang mga punto sa eroplano, ang mga coordinate na kung saan ay nakakatugon sa mga kondisyon:

.

Parabola

parabola tinatawag na isang linya na binubuo ng lahat ng mga punto ng eroplano na katumbas ng layo mula sa isang naibigay na punto
(focus) at ibinigay na linya (mga direktor).

Upang makuha ang canonical equation ng parabola, ang axis
dumaan sa focus
patayo sa directrix sa direksyon mula sa directrix hanggang sa pokus; ang pinagmulan ng mga coordinate ay kinuha sa gitna ng segment sa pagitan ng focus
at tuldok
axis intersection
kasama ang punong guro . Kung tinutukoy ng distansya ng focus mula sa directrix, pagkatapos
at ang directrix equation ang magiging hitsura
.

Sa napiling coordinate system, ang parabola equation ay may anyo:
. Ang equation na ito ay tinatawag ang canonical equation ng parabola.

Kahulugan . Ang hyperbola ay isang locus ng mga puntos, ang pagkakaiba mula sa bawat isa sa dalawang ibinigay na mga punto, na tinatawag na foci, ay isang pare-parehong halaga

Kumuha tayo ng isang coordinate system upang ang foci ay nasa abscissa axis, at ang pinagmulan ng mga coordinate ay naghahati sa segment na F 1 F 2 sa kalahati (Larawan 30). Ipahiwatig ang F 1 F 2 = 2c. Pagkatapos ay F 1 (c; 0); F2 (-c; 0)

MF 2 \u003d r 2, MF 1 \u003d r 1 - focal radii hyperbole.

Ayon sa kahulugan ng hyperbola, r 1 - r 2 = const.

Tukuyin natin ito ng 2a

Pagkatapos r 2 - r 1 = ±2a kaya:

=> canonical equation ng isang hyperbola

Dahil ang equation ng hyperbola x at y ay nasa magkapantay na kapangyarihan, kung gayon kung ang puntong M 0 (x 0; y 0) ay nasa hyperbola, kung gayon ang mga puntos na M 1 (x 0; -y 0) M 2 (-x 0; -y 0) M 3 (-x 0; -y 0).

Samakatuwid, ang hyperbola ay simetriko tungkol sa parehong coordinate axes.

Kapag y \u003d 0 x 2 \u003d a 2 x \u003d ± a. Ang mga vertex ng hyperbola ay magiging mga puntos A 1 (a; 0); A 2 (-a; 0).

. Dahil sa simetrya, ang pag-aaral ay isinasagawa sa unang quarter

1) sa
y ay may haka-haka na halaga, kaya ang mga punto ng hyperbola na may abscissas
ay wala

2) sa x = a; y \u003d 0 A 1 (a; 0) ay kabilang sa isang hyperbola

3) para sa x > a; y > 0. Bukod dito, na may walang limitasyong pagtaas sa x, ang sangay ng hyperbola ay napupunta sa infinity.

Kasunod nito na ang hyperbola ay isang kurba na binubuo ng dalawang walang katapusang sangay.

P 6. Asymptotes ng hyperbola

Isaalang-alang kasama ang equation
straight line equation

Upang ang kurba ay nasa ibaba ng tuwid na linya (Larawan 31). Isaalang-alang ang mga puntos na N (x, Y) at M (x, y) na ang mga abscissas ay pareho, at Y - y \u003d MN. Isaalang-alang ang haba ng segment na MN

Hanapin natin

Kaya, kung ang punto M, na gumagalaw kasama ang hyperbola sa unang quarter, ay lumayo sa infinity, kung gayon ang distansya nito mula sa tuwid na linya.
bumababa at nagiging zero.

Dahil sa mahusay na proporsyon, ang tuwid na linya ay may parehong katangian.
.

Kahulugan. Direktang mga linya kung saan
ang kurba ay lumalapit nang walang katiyakan ay tinatawag na asymptotes.

At
kaya, ang equation ng mga asymptotes ng hyperbola
.

Ang mga asymptotes ng hyperbola ay matatagpuan sa kahabaan ng mga dayagonal ng isang rektanggulo, ang isang gilid nito ay kahanay ng x-axis at katumbas ng 2a, at ang isa ay parallel sa y-axis at katumbas ng 2b, at ang sentro namamalagi sa pinanggalingan (Larawan 32).

P 7. Eccentricity at directrixes ng isang hyperbola

r 2 – r 1 = ± 2a sign + ay tumutukoy sa kanang sangay ng hyperbola

sign - tumutukoy sa kaliwang sangay ng hyperbola

Kahulugan. Ang eccentricity ng hyperbola ay ang ratio ng distansya sa pagitan ng foci ng hyperbola na ito sa distansya sa pagitan ng mga vertices nito.

. Dahil c > a, ε > 1

Ipinapahayag namin ang focal radii ng hyperbola sa mga tuntunin ng eccentricity:

Kahulugan . Tawagan natin ang mga linya
, patayo sa focal axis ng hyperbola at matatagpuan sa malayomula sa gitna nito sa pamamagitan ng directrix ng hyperbola na tumutugma sa kanan at kaliwang foci.

T
parang hyperbole
dahil dito, ang mga directrix ng hyperbola ay matatagpuan sa pagitan ng mga vertices nito (Larawan 33). Ipakita natin na ang ratio ng mga distansya ng anumang punto ng hyperbola sa focus at ang kaukulang directrix ay pare-pareho at katumbas ng ε.

P. 8 Parabola at ang equation nito

O
kahulugan. Ang parabola ay ang locus ng mga puntos na katumbas ng layo mula sa isang partikular na punto, na tinatawag na focus, at mula sa isang partikular na linya, na tinatawag na directrix.

Upang mabuo ang equation ng isang parabola, kunin natin ang x-axis bilang isang tuwid na linya na dumadaan sa focus F 1 patayo sa directrix at isaalang-alang ang x-axis na nakadirekta mula sa directrix patungo sa focus. Para sa pinagmulan ng mga coordinate, kinukuha namin ang midpoint O ng segment mula sa punto F hanggang sa ibinigay na tuwid na linya, ang haba kung saan tinutukoy namin ng p (Larawan 34). Ang dami ng p ay tatawaging parameter ng parabola. Itutok ang coordinate point
.

Hayaang ang M(x, y) ay isang arbitraryong punto ng parabola.

Sa pamamagitan ng kahulugan

sa 2 Ang = 2px ay ang canonical equation ng parabola

Upang matukoy ang uri ng parabola, binabago namin ang equation nito
ito ay nagpapahiwatig . Samakatuwid, ang vertex ng parabola ay nasa pinanggalingan at ang axis ng symmetry ng parabola ay x. Ang equation y 2 \u003d -2px na may positibong p ay nabawasan sa equation na y 2 \u003d 2px sa pamamagitan ng pagpapalit ng x ng -x at ang graph nito ay parang (Fig. 35).

Sa
ang equation x 2 \u003d 2py ay ang equation ng isang parabola na may vertex sa punto O (0; 0) na ang mga sanga ay nakadirekta paitaas.

X
2 \u003d -2ru - ang equation ng isang parabola na nakasentro sa pinanggalingan ay simetriko tungkol sa y-axis, ang mga sanga nito ay nakadirekta pababa (Larawan 36).

Ang isang parabola ay may isang axis ng symmetry.

Kung ang x ay sa unang kapangyarihan at y ay sa pangalawang kapangyarihan, kung gayon ang axis ng simetrya ay x.

Kung ang x ay sa pangalawang kapangyarihan at ang y ay sa unang kapangyarihan, kung gayon ang axis ng symmetry ay ang y-axis.

Puna 1. Ang directrix equation ng isang parabola ay may anyo
.

Puna 2. Dahil para sa isang parabola , pagkataposε ang parabola ay 1.ε = 1 .