Die einfachste Art von Schwingungen sind harmonische Schwingungen- Schwankungen, bei denen sich die Verschiebung des Schwingungspunktes aus der Gleichgewichtslage nach dem Sinus- oder Cosinusgesetz mit der Zeit ändert.

Bei einer gleichmäßigen Drehung der Kugel um den Umfang führt ihre Projektion (Schatten in parallelen Lichtstrahlen) eine harmonische Schwingungsbewegung auf einem vertikalen Bildschirm aus (Abb. 1).

Die Verschiebung aus der Gleichgewichtslage bei harmonischen Schwingungen wird durch die Gleichung beschrieben (sie wird als kinematisches Gesetz bezeichnet harmonische Bewegung) der Form:

wo x - Verschiebung - ein Wert, der die Position des Schwingungspunkts zum Zeitpunkt t relativ zur Gleichgewichtsposition charakterisiert und durch den Abstand von der Gleichgewichtsposition zur Position des Punktes in gemessen wird dieser Moment Zeit; A - Schwingungsamplitude - die maximale Verschiebung des Körpers aus der Gleichgewichtsposition; T - Schwingungsdauer - die Zeit einer vollständigen Schwingung; jene. die kleinste Zeitspanne, nach der sich die Werte physikalischer Größen, die die Schwingung charakterisieren, wiederholen; - Anfangsphase;

Die Phase der Schwingung zum Zeitpunkt t. Die Schwingungsphase ist das Argument periodische Funktion, die bei gegebener Schwingungsamplitude den Zustand des Schwingungssystems (Weg, Geschwindigkeit, Beschleunigung) des Körpers zu jedem Zeitpunkt bestimmt.

Wenn drin Anfangsmoment Zeit wird der Schwingungspunkt maximal aus der Gleichgewichtslage verschoben, dann , und die Verschiebung des Punktes aus der Gleichgewichtslage ändert sich gemäß dem Gesetz

Befindet sich der Schwingungspunkt at in einer stabilen Gleichgewichtslage, so ändert sich die Verschiebung des Punktes aus der Gleichgewichtslage gesetzmäßig

Der Wert von V, der Kehrwert der Periode und gleich der Zahl Vollschwingungen in 1 s werden als Schwingungsfrequenz bezeichnet:

Wenn der Körper in der Zeit t N vollständige Schwingungen macht, dann

der Wert , die angibt, wie viele Schwingungen der Körper in s ausführt, heißt zyklische (kreisförmige) Frequenz.

Das kinematische Gesetz der harmonischen Bewegung kann geschrieben werden als:

Grafisch wird die Abhängigkeit der Verschiebung eines Schwingungspunktes von der Zeit durch eine Kosinus- (oder Sinuskurve) dargestellt.

Abbildung 2, a zeigt die Zeitabhängigkeit der Verschiebung des Schwingungspunktes aus der Gleichgewichtslage für den Fall .

Lassen Sie uns herausfinden, wie sich die Geschwindigkeit eines Schwingungspunktes mit der Zeit ändert. Dazu finden wir die zeitliche Ableitung dieses Ausdrucks:

wobei die Amplitude der Geschwindigkeitsprojektion auf der x-Achse ist.

Diese Formel zeigt, dass sich bei harmonischen Schwingungen auch die Projektion der Körpergeschwindigkeit auf die x-Achse gemäß dem harmonischen Gesetz mit gleicher Frequenz, mit anderer Amplitude ändert und der Mischphase um (Abb. 2, b) vorauseilt. .

Um die Abhängigkeit der Beschleunigung herauszufinden, finden wir die zeitliche Ableitung der Geschwindigkeitsprojektion:

wobei die Amplitude der Beschleunigungsprojektion auf der x-Achse ist.

Bei harmonischen Schwingungen eilt die Beschleunigungsprojektion der Phasenverschiebung um k voraus (Abb. 2, c).

Auf ähnliche Weise können Sie Abhängigkeitsdiagramme erstellen

Unter Berücksichtigung dessen lässt sich die Beschleunigungsformel schreiben

jene. bei harmonischen Schwingungen ist die Beschleunigungsprojektion direkt proportional zur Auslenkung und hat entgegengesetztes Vorzeichen, d.h. Die Beschleunigung ist der Verschiebung entgegengesetzt gerichtet.

Die Beschleunigungsprojektion ist also die zweite Ableitung der Verschiebung, dann kann das resultierende Verhältnis geschrieben werden als:

Die letzte Gleichheit wird aufgerufen Gleichung harmonischer Schwingungen.

Ein physikalisches System, in dem harmonische Schwingungen existieren können, wird als bezeichnet harmonischer Oszillator, und die Gleichung harmonischer Schwingungen - harmonische Oszillatorgleichung.

Harmonische Wellengleichung

Die harmonische Schwingungsgleichung legt die Abhängigkeit der Körperkoordinate von der Zeit fest

Das Kosinusdiagramm hat im Anfangsmoment einen Maximalwert und das Sinusdiagramm hat im Anfangsmoment einen Nullwert. Wenn wir beginnen, die Schwingung von der Gleichgewichtslage aus zu untersuchen, dann wird die Schwingung die Sinuskurve wiederholen. Wenn wir beginnen, die Schwingung von der Position der maximalen Abweichung aus zu betrachten, dann beschreibt die Schwingung den Kosinus. Oder eine solche Schwingung kann durch die Sinusformel mit einer Anfangsphase beschrieben werden.

Geschwindigkeits- und Beschleunigungsänderung bei harmonischer Schwingung

Nicht nur die Koordinate des Körpers ändert sich mit der Zeit nach dem Gesetz von Sinus oder Cosinus. Aber auch Größen wie Kraft, Geschwindigkeit und Beschleunigung ändern sich in ähnlicher Weise. Kraft und Beschleunigung sind maximal, wenn der Schwingkörper drin ist Extrempositionen, wo die Verschiebung maximal ist, und sind gleich Null, wenn der Körper die Gleichgewichtslage durchläuft. Im Gegensatz dazu ist die Geschwindigkeit in den Extrempositionen gleich Null, und wenn der Körper die Gleichgewichtsposition passiert, erreicht er seinen Maximalwert.

Beschreibt man die Schwingung nach dem Kosinussatz

Beschreibt man die Schwingung nach dem Sinusgesetz

Maximale Geschwindigkeits- und Beschleunigungswerte

Nach Analyse der Abhängigkeitsgleichungen v(t) und a(t) kann man erahnen, wann die Maximalwerte von Geschwindigkeit und Beschleunigung anfallen trigonometrischer Faktor 1 oder -1 ist. Bestimmt durch die Formel

Zeitliche Änderungen nach einem Sinusgesetz:

wo X- der Wert der schwankenden Menge zum Zeitpunkt t, SONDERN- Amplitude , ω - Kreisfrequenz, φ ist die Anfangsphase von Schwingungen, ( φt + φ ) ist die Gesamtphase der Schwingungen . Gleichzeitig die Werte SONDERN, ω und φ - dauerhaft.

Für mechanische Schwingungen mit oszillierendem Wert X sind insbesondere Weg und Geschwindigkeit, z elektrische Schwingungen- Spannung und Strom.

Harmonische Schwingungen nehmen spezieller Ort unter allen Schwingungsarten, da dies die einzige Schwingungsart ist, deren Form beim Durchlaufen keiner verzerrt wird homogene Umgebung, d.h. Wellen, die sich von einer Quelle harmonischer Schwingungen ausbreiten, werden auch harmonisch sein. Jede nicht harmonische Schwingung kann als Summe (Integral) verschiedener harmonischer Schwingungen (in Form eines Spektrums harmonischer Schwingungen) dargestellt werden.

Energieumwandlungen bei harmonischen Schwingungen.

Bei Schwingungen findet ein Übergang der potentiellen Energie statt Wp in Kinetik Wo umgekehrt. In der Position maximaler Abweichung von der Gleichgewichtslage ist die potentielle Energie maximal, die kinetische Energie Null. Bei der Rückkehr in die Gleichgewichtslage nimmt die Geschwindigkeit des Schwingkörpers zu und damit auch kinetische Energie, die in der Gleichgewichtslage ein Maximum erreicht. Die potentielle Energie fällt dann auf Null. Die weitere Halsbewegung erfolgt mit einer Abnahme der Geschwindigkeit, die auf Null abfällt, wenn die Auslenkung ihr zweites Maximum erreicht. Die potenzielle Energie steigt hier auf ihren anfänglichen (maximalen) Wert (ohne Reibung). Somit treten die Schwingungen der kinetischen und potentiellen Energie mit doppelter (im Vergleich zu den Schwingungen des Pendels selbst) Frequenz auf und sind gegenphasig (d.h. es gibt eine Phasenverschiebung zwischen ihnen gleich). π ). Gesamte Vibrationsenergie W bleibt unverändert. Für einen Körper, der unter der Wirkung einer elastischen Kraft schwingt, ist es gleich:

wo v m- die maximale Geschwindigkeit des Körpers (in der Gleichgewichtsposition), x m = SONDERN- Amplitude.

Aufgrund der Reibung und des Widerstands des Mediums freie Schwingungen Zerfall: Ihre Energie und Amplitude nehmen mit der Zeit ab. Daher werden in der Praxis häufiger nicht freie, sondern erzwungene Schwingungen verwendet.

Zusammen mit progressiven und Drehbewegungen Körper in der Mechanik sind auch Schwingungsbewegungen von großem Interesse. Mechanische Schwingungen bezeichnet die Bewegungen von Körpern, die sich genau (oder ungefähr) in regelmäßigen Abständen wiederholen. Das Bewegungsgesetz eines schwingenden Körpers ist durch eine periodische Funktion der Zeit gegeben x = f (t). Grafisches Bild Diese Funktion gibt eine visuelle Darstellung des zeitlichen Verlaufs des Schwingungsvorgangs.

Beispiele für einfache schwingungsfähige Systeme sind eine Last auf einer Feder oder mathematisches Pendel(Abb. 2.1.1).

Mechanische Schwingungen, wie oszillierende Prozesse jede andere physikalische Natur sein kann frei und gezwungen. Freie Schwingungen unter dem Einfluss gemacht werden interne Kräfte System, nachdem das System aus dem Gleichgewicht gebracht wurde. Die Schwingungen eines Gewichts an einer Feder oder die Schwingungen eines Pendels sind freie Schwingungen. Vibrationen unter der Aktion extern periodisch wechselnde Kräfte werden aufgerufen gezwungen .

Die einfachste Art von Schwingungsprozessen sind einfach harmonische Schwingungen , die durch die Gleichung beschrieben werden

x = x m cos (ω t + φ 0).

Hier x- Verschiebung des Körpers aus der Gleichgewichtslage, x m - Schwingungsamplitude, d. H. Die maximale Verschiebung aus der Gleichgewichtsposition, ω - zyklische oder kreisförmige Frequenz Zögern, t- Zeit. Der Wert unter dem Kosinuszeichen φ = ω t+ φ 0 aufgerufen wird Phase harmonischer Ablauf. Beim t= 0 φ = φ 0 , also heißt φ 0 Anfangsphase. Das minimale Zeitintervall, nach dem die Bewegung des Körpers wiederholt wird, wird genannt Periode der Schwingung T. Physikalische Größe, der Kehrwert der Schwingungsdauer, heißt Oszillationsfrequenz:

Oszillationsfrequenz f zeigt, wie viele Vibrationen in 1 s gemacht werden. Frequenzeinheit - Hertz(Hz). Oszillationsfrequenz f hängt mit der zyklischen Frequenz ω und der Schwingungsdauer zusammen T Verhältnisse:

Auf Abb. 2.1.2 zeigt die Positionen des Körpers in regelmäßigen Abständen mit harmonischen Schwingungen. Experimentell erhält man ein solches Bild, indem man einen schwingenden Körper mit kurzen periodischen Lichtblitzen beleuchtet ( Stroboskopische Beleuchtung). Die Pfeile repräsentieren die Geschwindigkeitsvektoren des Körpers zu verschiedenen Zeitpunkten.

Reis. 2.1.3 veranschaulicht die Änderungen, die auf dem Graphen eines harmonischen Prozesses auftreten, wenn sich entweder die Amplitude der Schwingungen ändert x m oder Punkt T(oder Frequenz f) oder die Anfangsphase φ 0 .

Beim oszillierende Bewegung Körper entlang einer geraden Linie (Achse OCHSE) ist der Geschwindigkeitsvektor immer entlang dieser Geraden gerichtet. Geschwindigkeit υ = υ x Körperbewegung wird durch den Ausdruck bestimmt

In der Mathematik das Verfahren zum Finden der Grenze des Verhältnisses bei Δ t→ 0 heißt die Berechnung der Ableitung der Funktion x (t) zum Zeitpunkt t und als oder als bezeichnet x"(t) oder schließlich als . Für das harmonische Bewegungsgesetz führt die Berechnung der Ableitung zu folgendem Ergebnis:

Das Erscheinen des Terms + π / 2 im Kosinusargument bedeutet eine Änderung der Anfangsphase. Maximale Modulo-Werte der Geschwindigkeit υ = ω x m werden in jenen Momenten erreicht, in denen der Körper die Gleichgewichtslagen durchläuft ( x= 0). Die Beschleunigung wird auf ähnliche Weise definiert a = ax Körper mit harmonischen Schwingungen:

daher die beschleunigung a gleich der Ableitung der Funktion υ ( t) zum Zeitpunkt t, oder die zweite Ableitung der Funktion x (t). Die Berechnungen ergeben:

Das Minuszeichen in diesem Ausdruck bedeutet, dass die Beschleunigung a (t) hat immer ein Vorzeichen, entgegengesetztem Vorzeichen Voreingenommenheit x (t), und daher ist nach dem zweiten Newtonschen Gesetz die Kraft, die den Körper zu harmonischen Schwingungen veranlaßt, immer auf die Gleichgewichtslage gerichtet ( x = 0).

Schwankungen werden Bewegungen oder Vorgänge genannt, die durch eine gewisse zeitliche Wiederholung gekennzeichnet sind. Schwingungsvorgänge sind in Natur und Technik weit verbreitet, beispielsweise der Ausschlag eines Uhrenpendels, variabel elektrischer Strom usw. Wenn das Pendel schwingt, ändert sich in dem Fall die Koordinate seines Massenmittelpunkts Wechselstrom Spannung und Strom schwanken in der Schaltung. körperliche Natur Schwingungen können unterschiedlich sein, daher unterscheidet man mechanische, elektromagnetische Schwingungen etc. Verschiedene Schwingungsvorgänge werden jedoch durch die gleichen Eigenschaften und beschrieben die gleichen Gleichungen. Daraus ergibt sich die Machbarkeit einheitlicher Ansatz zum Studium der Schwingungen unterschiedlicher körperlicher Natur.

Die Schwankungen werden aufgerufen frei, wenn sie nur unter dem Einfluss von inneren Kräften durchgeführt werden, die zwischen den Elementen des Systems wirken, nachdem das System aus der Gleichgewichtslage entfernt wurde äußere Kräfte und sich selbst überlassen. Immer freie Schwingungen gedämpfte Schwingungen , weil in reale Systeme Energieverluste sind unvermeidlich. Im idealisierten Fall eines Systems ohne Energieverlust spricht man von freien Schwingungen (die beliebig lange andauern). besitzen.

Die einfachste Art freier ungedämpfter Schwingungen sind harmonische Schwingungen - Schwankungen, bei denen sich der schwankende Wert mit der Zeit gemäß dem Sinus-(Kosinus-)Gesetz ändert. Schwingungen aus Natur und Technik haben oft einen nahezu harmonischen Charakter.

Harmonische Schwingungen werden durch eine Gleichung beschrieben, die als Gleichung der harmonischen Schwingungen bezeichnet wird:

wo SONDERN- Amplitude der Schwankungen, der Maximalwert des Schwankungswerts X; - kreisförmige (zyklische) Frequenz von Eigenschwingungen; - die Anfangsphase der Schwingung zu einem bestimmten Zeitpunkt t= 0; - die Phase der Schwingung zum Zeitpunkt der Zeit t. Die Phase der Schwingung bestimmt den Wert der schwingenden Größe zu einem bestimmten Zeitpunkt. Da der Kosinus also von +1 bis -1 variiert X kann Werte von + annehmen EIN Vor - SONDERN.

Zeit T, für die das System eine vollständige Schwingung ausführt, aufgerufen Periode der Schwingung. Während T Schwingphase wird um 2 erhöht π , d.h.

Woher . (14.2)

Der Kehrwert der Schwingungsdauer

d.h. die Anzahl der vollständigen Schwingungen pro Zeiteinheit wird als Schwingungsfrequenz bezeichnet. Durch Vergleich von (14.2) und (14.3) erhalten wir

Die Einheit der Frequenz ist Hertz (Hz): 1 Hz ist die Frequenz, bei der in 1 s eine vollständige Schwingung stattfindet.

Systeme, in denen freie Schwingungen auftreten können, werden genannt Oszillatoren . Welche Eigenschaften muss ein System haben, damit es in ihm zu freien Schwingungen kommt? Mechanisches System haben müssen Position des stabilen Gleichgewichts, beim Beenden, das erscheint Rückstellkraft zum Gleichgewicht. Diese Position entspricht bekanntermaßen einem Minimum potenzielle Energie Systeme. Betrachten wir mehrere Schwingungssysteme, die die aufgeführten Eigenschaften erfüllen.