Exponentialgleichungen. Wie Sie wissen, beinhaltet die NUTZUNG einfache Gleichungen. Wir haben bereits einige betrachtet - diese sind logarithmisch, trigonometrisch, rational. Hier sind Exponentialgleichungen.

In einem kürzlich erschienenen Artikel haben wir mit Exponentialausdrücken gearbeitet, das wird nützlich sein. Die Gleichungen selbst werden einfach und schnell gelöst. Es ist nur erforderlich, die Eigenschaften der Exponenten zu kennen und ... DarüberDes Weiteren.

Wir listen die Eigenschaften von Exponenten auf:

Die Nullpotenz einer beliebigen Zahl ist gleich Eins.

Folge dieser Eigenschaft:

Etwas mehr Theorie.

Eine Exponentialgleichung ist eine Gleichung, die eine Variable im Exponenten enthält, d. h. diese Gleichung hat die Form:

f(x) ein Ausdruck, der eine Variable enthält

Methoden zum Lösen von Exponentialgleichungen

1. Als Ergebnis von Transformationen kann die Gleichung auf die Form reduziert werden:

Dann wenden wir die Eigenschaft an:

2. Beim Erhalten einer Gleichung der Form ein f (x) = b die Definition des Logarithmus verwendet wird, erhalten wir:

3. Als Ergebnis der Transformationen erhalten Sie eine Gleichung der Form:

Der Logarithmus wird angewendet:

Drücken Sie aus und finden Sie x.

Bei Aufgaben USE-Optionen Es reicht aus, die erste Methode zu verwenden.

Das heißt, es ist notwendig, den linken und den rechten Teil als Grade mit derselben Basis darzustellen, und dann setzen wir die Indikatoren gleich und lösen das Übliche lineare Gleichung.

Betrachten Sie die Gleichungen:

Finden Sie die Wurzel von Gleichung 4 1-2x = 64.

Es ist darauf zu achten, dass links und richtige Teile war Exponentialausdrücke mit einer Basis. Wir können 64 als 4 hoch 3 darstellen. Wir erhalten:

4 1–2x = 4 3

1 - 2x = 3

– 2x = 2

x = - 1

Untersuchung:

4 1–2 (–1) = 64

4 1 + 2 = 64

4 3 = 64

64 = 64

Antwort 1

Finden Sie die Wurzel von Gleichung 3 x-18 = 1/9.

Es ist bekannt, dass

Also 3 x -18 = 3 -2

Die Basen sind gleich, wir können die Indikatoren gleichsetzen:

x - 18 \u003d - 2

x = 16

Untersuchung:

3 16–18 = 1/9

3 –2 = 1/9

1/9 = 1/9

Antwort: 16

Finden Sie die Wurzel der Gleichung:

Stellen wir den Bruch 1/64 als ein Viertel hoch drei dar:

2x - 19 = 3

2x = 22

x = 11

Untersuchung:

Antwort: 11

Finden Sie die Wurzel der Gleichung:

Stellen wir 1/3 als 3 -1 und 9 als 3 zum Quadrat dar, erhalten wir:

(3 –1) 8–2x = 3 2

3 –1∙(8–2х) = 3 2

3 -8 + 2x \u003d 3 2

Jetzt können wir die Indikatoren gleichsetzen:

– 8+2x = 2

2x = 10

x = 5

Untersuchung:

Antwort: 5

26654. Finden Sie die Wurzel der Gleichung:

Lösung:

Antwort: 8.75

In der Tat, in welchem ​​​​Grad wir auch erheben positive Zahl a, es gibt keine Möglichkeit, eine negative Zahl zu erhalten.

Jede Exponentialgleichung reduziert sich nach geeigneten Transformationen auf die Lösung einer oder mehrerer einfacher Gleichungen.In diesem Abschnitt werden wir auch die Lösung einiger Gleichungen betrachten, verpassen Sie es nicht!Das ist alles. Viel Glück!

Mit freundlichen Grüßen Alexander Krutitskikh.

P.S: Ich wäre Ihnen dankbar, wenn Sie in sozialen Netzwerken über die Website berichten.

Ausrüstung:

• Computer,
• Multimedia-Projektor,
• Bildschirm,
• Anhang 1(Folienpräsentation in PowerPoint) „Methoden zum Lösen von Exponentialgleichungen“
• Anhang 2(Die Lösung der Gleichung vom Typ „Drei verschiedene Basen Grad" in Word)
• Anhang 3(Handout in Word für die praktische Arbeit).
• Anhang 4(Handzettel in Word für Hausaufgaben).

Während des Unterrichts

1. Organisationsphase

• Botschaft des Unterrichtsthemas (an die Tafel geschrieben),
• die Notwendigkeit eines verallgemeinernden Unterrichts in den Klassen 10-11:

Die Phase der Vorbereitung der Schüler auf die aktive Aneignung von Wissen

Wiederholung

Definition.

Eine Exponentialgleichung ist eine Gleichung, die eine Variable im Exponenten enthält (der Schüler antwortet).

Anmerkung des Lehrers. Die Exponentialgleichungen gehören zur Klasse der transzendentalen Gleichungen. Dieser schwer auszusprechende Name deutet darauf hin, dass solche Gleichungen im Allgemeinen nicht in Form von Formeln gelöst werden können.

Sie können nur durch näherungsweise numerische Verfahren auf Computern gelöst werden. Aber was ist mit Prüfungsfragen? Der ganze Trick besteht darin, dass der Prüfer die Aufgabe so formuliert, dass sie gerade noch eine analytische Lösung zulässt. Mit anderen Worten, Sie können (und sollten!) solche identischen Transformationen durchführen, die die gegebene Exponentialgleichung auf die einfachste Exponentialgleichung reduzieren. Dies ist die einfachste Gleichung und heißt: die einfachste Exponentialgleichung. Es ist gelöst Logarithmus.

Die Situation bei der Lösung einer Exponentialgleichung ähnelt einer Reise durch ein Labyrinth, das eigens vom Ersteller des Problems erfunden wurde. Aus diesen sehr allgemeinen Überlegungen folgen ganz konkrete Empfehlungen.

Zum erfolgreiche Lösung Exponentialgleichungen ist es notwendig:

1. Kennen Sie nicht nur aktiv alle exponentiellen Identitäten, sondern finden Sie auch Wertesätze der Variablen, auf denen diese Identitäten definiert sind, damit Sie bei Verwendung dieser Identitäten keine unnötigen Wurzeln erwerben und vor allem nicht verlieren Lösungen der Gleichung.

2. Kenne aktiv alle exponentiellen Identitäten.

3. Führen Sie mathematische Transformationen von Gleichungen klar, detailliert und fehlerfrei durch (übertragen Sie Terme von einem Teil der Gleichung in einen anderen, vergessen Sie nicht, das Vorzeichen zu ändern, reduzieren Sie den Bruch auf einen gemeinsamen Nenner usw.). Das nennt man mathematische Kultur. Gleichzeitig sollten die Berechnungen selbst automatisch von Hand erfolgen und der Kopf über den allgemeinen roten Faden der Lösung nachdenken. Es ist notwendig, Transformationen so sorgfältig und detailliert wie möglich vorzunehmen. Nur so ist eine korrekte und fehlerfreie Lösung gewährleistet. Und denken Sie daran: klein Rechenfehler kann einfach eine transzendente Gleichung aufstellen, die prinzipiell nicht analytisch lösbar ist. Es stellt sich heraus, dass Sie sich verirrt haben und gegen die Wand des Labyrinths gelaufen sind.

4. Kennen Sie die Methoden zur Lösung von Problemen (dh kennen Sie alle Wege durch das Labyrinth der Lösung). Für die richtige Orientierung in jeder Phase müssen Sie (bewusst oder intuitiv!):

• definieren Gleichungstyp;
• Merken Sie sich den entsprechenden Typ Lösungsmethode Aufgaben.

Das Stadium der Verallgemeinerung und Systematisierung des untersuchten Materials.

Der Lehrer führt zusammen mit den Schülern unter Einbeziehung eines Computers eine Übersicht durch Wiederholung aller Arten von Exponentialgleichungen und Methoden zu deren Lösung, erstellt allgemeines Schema. (Mit einem Tutorial Computer Programm L. Ya. Borevsky "Kurs Mathematik - 2000", der Autor der Präsentation in PowerPoint - T.N. Kuptsov.)

Reis. eines. Die Abbildung zeigt ein allgemeines Schema aller Arten von Exponentialgleichungen.

Wie aus diesem Diagramm ersichtlich ist, besteht die Strategie zum Lösen von Exponentialgleichungen darin, diese Exponentialgleichung zunächst auf die Gleichung zu reduzieren, mit den gleichen Grundlagen , und dann - und mit denselben Exponenten.

Nachdem Sie eine Gleichung mit denselben Basen und Exponenten erhalten haben, ersetzen Sie diesen Grad durch eine neue Variable und erhalten eine einfache algebraische Gleichung (normalerweise gebrochen rational oder quadratisch) in Bezug auf diese neue Variable.

Indem Sie diese Gleichung lösen und eine umgekehrte Substitution vornehmen, erhalten Sie am Ende eine Reihe einfacher Exponentialgleichungen, die gelöst werden Gesamtansicht Logarithmen verwenden.

Abseits stehen Gleichungen, in denen nur Produkte (privater) Potenzen auftreten. Mit Hilfe von Exponentialidentitäten ist es möglich, diese Gleichungen sofort auf eine Basis zu bringen, insbesondere auf die einfachste Exponentialgleichung.

Überlegen Sie, wie eine Exponentialgleichung mit drei verschiedenen Gradbasen gelöst wird.

(Wenn der Lehrer ein Lehrcomputerprogramm von L. Ya. Borevsky "Kurs für Mathematik - 2000" hat, dann arbeiten wir natürlich mit der Diskette, wenn nicht, können Sie diese Art von Gleichung für jeden Tisch daraus ausdrucken, wie unten dargestellt .)

Reis. 2. Gleichungslösungsplan.

Reis. 3. Beginnen Sie, die Gleichung zu lösen

Reis. vier. Das Ende der Lösung der Gleichung.

Praktische Arbeit leisten

Bestimme die Art der Gleichung und löse sie.

1.
2.
3.	0,125
4.
5.
6.

Zusammenfassung der Lektion

Eine Unterrichtsstunde benoten.

Ende des Unterrichts

Für den Lehrer

Schema der praktischen Arbeitsantworten.

Übung: Wählen Sie Gleichungen aus der Liste der Gleichungen aus angegebenen Typ(Geben Sie die Antwortnummer in die Tabelle ein):

1. Drei verschiedene Basen
2. Zwei verschiedene Basen - verschiedene Exponenten
3. Potenzbasen - Potenzen einer Zahl
4. Gleiche Basen, unterschiedliche Exponenten
5. Gleiche Exponentenbasen - gleiche Exponenten
6. Produkt der Kräfte
7. Zwei verschiedene Abschlussbasen - dieselben Indikatoren
8. Die einfachsten Exponentialgleichungen

1. (Produkt der Potenzen)

2. (gleiche Basen - unterschiedliche Exponenten)

In der Phase der Vorbereitung auf die Abschlussprüfung müssen Gymnasiasten ihre Kenntnisse zum Thema "Exponentialgleichungen" verbessern. Die Erfahrung der vergangenen Jahre zeigt, dass solche Aufgaben Schulkindern gewisse Schwierigkeiten bereiten. Daher müssen Gymnasiasten unabhängig von ihrem Vorbereitungsniveau die Theorie sorgfältig beherrschen, sich die Formeln merken und das Prinzip der Lösung solcher Gleichungen verstehen. Wer gelernt hat, mit dieser Art von Aufgaben umzugehen, kann sich darauf verlassen hohe Punktzahlen beim Bestehen der Prüfung in Mathematik.

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Beim Wiederholen der behandelten Materialien stehen viele Schüler vor dem Problem, die Formeln zu finden, die zum Lösen der Gleichungen benötigt werden. Das Schulbuch ist nicht immer zur Hand, und die Auswahl notwendige Informationen zum Thema im Internet dauert lange.

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Die wichtigsten Definitionen und Formeln werden im Abschnitt „Theoretische Referenz“ vorgestellt.

Zur besseren Aneignung des Stoffes empfehlen wir Ihnen, die Aufgaben zu üben. Sehen Sie sich die Beispiele für Exponentialgleichungen mit Lösungen auf dieser Seite sorgfältig an, um den Berechnungsalgorithmus zu verstehen. Fahren Sie danach mit den Aufgaben im Abschnitt "Kataloge" fort. Sie können mit den einfachsten Aufgaben beginnen oder direkt zur Lösung komplexer Exponentialgleichungen mit mehreren Unbekannten oder übergehen. Die Übungsdatenbank auf unserer Website wird ständig ergänzt und aktualisiert.

Die Beispiele mit Indikatoren, die Ihnen Schwierigkeiten bereitet haben, können Sie zu den "Favoriten" hinzufügen. So kannst du sie schnell finden und die Lösung mit dem Lehrer besprechen.

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In diesem Artikel lernen Sie alle Typen kennen Exponentialgleichungen und Algorithmen zu ihrer Lösung, lernen Sie zu erkennen, welche Art Exponentialgleichung, die Sie lösen müssen, und wenden Sie die entsprechende Methode an, um sie zu lösen. Ausführliche Lösung von Beispielen Exponentialgleichungen jeden Typ können Sie in den entsprechenden VIDEO-TUTORIALS sehen.

Eine Exponentialgleichung ist eine Gleichung, bei der die Unbekannte im Exponenten enthalten ist.

Bevor Sie mit dem Lösen der Exponentialgleichung beginnen, ist es sinnvoll, ein paar zu tun vorläufige Aktion , was den Verlauf seiner Lösung erheblich erleichtern kann. Das sind die Aktionen:

1. Zerlege alle Potenzbasen in Primfaktoren.

2. Präsentieren Sie die Wurzeln als Abschluss.

3. Dezimalbrüche in Form von gewöhnlichen darstellen.

4. gemischte Zahlen schreibe als unechte Brüche.

Sie werden die Vorteile dieser Aktionen beim Lösen von Gleichungen erkennen.

Betrachten Sie die Haupttypen Exponentialgleichungen und Algorithmen zu ihrer Lösung.

1. Gleichung eingeben

Diese Gleichung ist äquivalent zu der Gleichung

Sehen Sie sich dieses VIDEO an, um die Gleichung zu lösen dieser Art.

2. Gleichung eingeben

In Gleichungen dieses Typs:

b) die Koeffizienten für die Unbekannte im Exponenten gleich sind.

Um diese Gleichung zu lösen, müssen Sie den Multiplikator auf den kleinsten Grad einklammern.

Ein Beispiel für das Lösen einer Gleichung dieses Typs:

schau dir das VIDEO an.

3. Gleichung eingeben

Diese Arten von Gleichungen unterscheiden sich darin

a) Alle Abschlüsse haben die gleiche Basis

b) die Koeffizienten für die Unbekannte im Exponenten unterschiedlich sind.

Gleichungen dieses Typs werden durch eine Änderung von Variablen gelöst. Vor der Einführung einer Ersetzung ist es wünschenswert, freie Terme im Exponenten loszuwerden. (, , usw)

Suchen Sie im VIDEO nach der Lösung dieser Art von Gleichung:

4. Homogene Gleichungen nett

Besonderheiten homogener Gleichungen:

a) alle Monome haben denselben Grad,

b) die freie Laufzeit gleich Null ist,

c) die Gleichung enthält Potenzen mit zwei verschiedenen Basen.

Homogene Gleichungen werden durch einen ähnlichen Algorithmus gelöst.

Um diese Art von Gleichung zu lösen, teilen Sie beide Seiten der Gleichung durch (kann durch oder durch geteilt werden)

Aufmerksamkeit! Wenn Sie die rechte und die linke Seite der Gleichung durch einen Ausdruck dividieren, der eine Unbekannte enthält, können Sie die Wurzeln verlieren. Daher muss überprüft werden, ob die Wurzeln des Ausdrucks, durch den wir beide Teile der Gleichung dividieren, die Wurzeln der ursprünglichen Gleichung sind.

Da der Ausdruck in unserem Fall für alle Werte des Unbekannten nicht gleich Null ist, können wir ohne Angst durch ihn dividieren. Wir dividieren die linke Seite der Gleichung durch diesen Ausdruck Term für Term. Wir bekommen:

Kürzen Sie Zähler und Nenner des zweiten und dritten Bruchs:

Lassen Sie uns einen Ersatz einführen:

Und title="(!LANG:t>0">при всех !} zulässige Werte Unbekannt.

Erhalten quadratische Gleichung:

Lösen wir die quadratische Gleichung, finde die Werte, die die Bedingung title="(!LANG:t>0">, а затем вернемся к исходному неизвестному.!}

Im VIDEO ansehen ausführliche Lösung homogene Gleichung:

5. Gleichung eingeben

Beim Lösen dieser Gleichung gehen wir davon aus, dass title="(!LANG:f(x)>0">!}

Die ursprüngliche Gleichheit gilt in zwei Fällen:

1. Wenn , da 1 hoch 1 gleich 1 ist,

2. Unter zwei Bedingungen:

Title="(!LANG:delim(lbrace)(matrix(2)(1)((f(x)>0) (g(x)=h(x)) (x-8y+9z=0))) ( )">!}

Sehen Sie sich das VIDEO für eine detaillierte Lösung der Gleichung an

Was ist eine Exponentialgleichung? Beispiele.

Also, eine Exponentialgleichung ... Ein neues einzigartiges Exponat auf unserer allgemeinen Ausstellung der verschiedensten Gleichungen!) Wie es fast immer vorkommt, das Stichwort irgendwelche neuen mathematischer Begriff ist das entsprechende Adjektiv, das es charakterisiert. Also auch hier. Stichwort in dem Begriff "Exponentialgleichung" ist das Wort "demonstrativ". Was bedeutet das? Dieses Wort bedeutet, dass das Unbekannte (x) ist in Bezug auf jeden Abschluss. Und nur dort! Das ist extrem wichtig.

Zum Beispiel diese einfachen Gleichungen:

3 x +1 = 81

5x + 5x +2 = 130

4 2 2 x -17 2 x +4 = 0

Oder sogar diese Monster:

2 Sünde x = 0,5

Bitte achten Sie auf eine wichtige Sache: in Gründen Grad (unten) - nur Zahlen. Aber in Indikatoren Grad (oben) - eine Vielzahl von Ausdrücken mit x. Absolut beliebig.) Alles hängt von der spezifischen Gleichung ab. Wenn x plötzlich irgendwo anders in der Gleichung auftaucht, zusätzlich zum Indikator (z. B. 3 x \u003d 18 + x 2), ist eine solche Gleichung bereits eine Gleichung gemischter Typ . Solche Gleichungen haben keine klaren Regeln zum Lösen. Daher ein diese Lektion wir werden sie nicht berücksichtigen. Zur Freude der Schüler.) Wir betrachten hier nur Exponentialgleichungen in "reiner" Form.

Generell werden auch reine Exponentialgleichungen nicht in allen Fällen und nicht immer eindeutig gelöst. Aber unter der reichen Vielfalt von Exponentialgleichungen gibt es sie bestimmte Typen die angesprochen werden können und sollten. Es sind diese Arten von Gleichungen, die wir mit Ihnen betrachten werden. Und die Beispiele werden wir auf jeden Fall lösen.) Also richten wir uns gemütlich ein und - on the road! Wie bei Computer-"Shootern" führt unsere Reise durch die Levels.) Von elementar bis einfach, von einfach bis mittel und von mittel bis komplex. Unterwegs warten Sie auch auf ein geheimes Level - Tricks und Methoden zum Lösen von nicht standardmäßigen Beispielen. Diejenigen, über die Sie die meisten nicht lesen werden Schulbücher… Nun, am Ende wartet natürlich auf Sie Endgegner wie ein Zuhause.)

Level 0. Was ist die einfachste Exponentialgleichung? Lösung der einfachsten Exponentialgleichungen.

Schauen wir uns zunächst einige offene Grundkenntnisse an. Irgendwo muss man ja anfangen, oder? Zum Beispiel diese Gleichung:

2 x = 2 2

Auch ohne Theorien, durch einfache Logik und gesunder Menschenverstand es ist klar, dass x = 2. Es gibt keinen anderen Weg, oder? Kein anderer Wert von x ist gut ... Wenden wir uns nun dem zu Entscheidungsprotokoll diese coole Exponentialgleichung:

2 x = 2 2

X = 2

Was ist mit uns passiert? Und folgendes geschah. Wir haben tatsächlich die gleichen Basen (Zweier) genommen und ... einfach weggeworfen! Völlig rausgeschmissen. Und, was gefällt, ins Schwarze treffen!

Ja, allerdings, wenn in der Exponentialgleichung links und rechts stehen das Gleiche Zahlen in beliebigem Grad, dann können diese Zahlen verworfen werden und die Exponenten einfach gleichgesetzt werden. Mathematik erlaubt.) Und dann können Sie separat mit Indikatoren arbeiten und eine viel einfachere Gleichung lösen. Es ist großartig, oder?

Das ist Schlüsselidee Lösung beliebiger (ja, genau beliebiger!) Exponentialgleichungen: mit Hilfe identische Transformationen Es ist darauf zu achten, dass links und rechts in der Gleichung stehen das Gleiche Basiszahlen ein verschiedene Abschlüsse. Und dann können Sie dieselben Basen sicher entfernen und die Exponenten gleichsetzen. Und arbeite mit einer einfacheren Gleichung.

Und jetzt erinnern wir uns an die eiserne Regel: Es ist möglich, dieselben Basen genau dann zu entfernen, wenn in der Gleichung links und rechts die Basenzahlen stehen in stolzer Einsamkeit.

Was bedeutet es, in herrlicher Isolation? Das heißt ohne Nachbarn und Koeffizienten. Ich erkläre.

Zum Beispiel in der Gleichung

3 3 x-5 = 3 2 x +1

Sie können keine Drillinge entfernen! Wieso den? Denn auf der linken Seite haben wir nicht nur eine einsame Drei im Grad, sondern Arbeit 3 3 x-5 . Ein zusätzliches Tripel kommt in die Quere: ein Koeffizient, verstehen Sie.)

Dasselbe kann über die Gleichung gesagt werden

5 3 x = 5 2 x +5 x

Auch hier sind alle Basen gleich – fünf. Aber auf der rechten Seite haben wir keinen einzigen Grad von fünf: es gibt die Summe der Grade!

Kurz gesagt, wir haben das Recht, dieselben Basen nur dann zu entfernen, wenn unsere Exponentialgleichung so und nur so aussieht:

af (x) = ein g (x)

Diese Art von Exponentialgleichung wird aufgerufen das einfachste. Oder wissenschaftlich, kanonisch . Und egal, wie die verdrehte Gleichung vor uns aussieht, auf die eine oder andere Weise werden wir sie auf eine so einfache (kanonische) Form bringen. Oder in einigen Fällen zu Aggregate Gleichungen dieser Art. Dann kann unsere einfachste Gleichung in allgemeiner Form wie folgt umgeschrieben werden:

F(x) = g(x)

Und alle. Dieser Wille äquivalente Transformation. Dabei können als f(x) und g(x) absolut beliebige Ausdrücke mit x verwendet werden. Wie auch immer.

Vielleicht wird sich ein besonders neugieriger Schüler fragen: Warum um alles in der Welt verwerfen wir so einfach und einfach die gleichen Basen links und rechts und setzen die Exponenten gleich? Intuition für Intuition, aber plötzlich, in irgendeiner Gleichung und aus irgendeinem Grund dieser Ansatz sich als falsch erweisen? Ist es immer legal, die gleichen Bases zu werfen? Leider für eine strenge mathematische Antwort darauf Interesse fragen Sie müssen tief genug und ernsthaft hineingehen Allgemeine Theorie Geräte- und Funktionsverhalten. Und ein bisschen genauer - im Phänomen strenge Monotonie. Insbesondere die strikte Monotonie Exponentialfunktionj= ein x. Weil es Exponentialfunktion und ihre Eigenschaften liegen der Lösung von Exponentialgleichungen zugrunde, ja.) Eine detaillierte Antwort auf diese Frage wird in einer separaten Speziallektion gegeben, die sich mit der Lösung komplexer Gleichungen befasst nicht standardmäßige Gleichungen Nutzung der Monotonie verschiedener Funktionen.)

Diesen Punkt jetzt im Detail zu erklären, bedeutet nur, einem durchschnittlichen Schulkind das Gehirn herauszunehmen und ihm mit einer trockenen und schweren Theorie vor der Zeit Angst zu machen. Ich werde das nicht tun.) Für unsere Hauptsache dieser Moment eine Aufgabe - lernen, Exponentialgleichungen zu lösen! Das einfachste! Deshalb, bis wir schwitzen und die gleichen Gründe mutig wegwerfen. Das kann, nehmen Sie mich beim Wort!) Und dann lösen wir auch schon die äquivalente Gleichung f (x) = g (x). Sie ist in der Regel einfacher als die ursprüngliche Exponentialfunktion.

Es wird natürlich davon ausgegangen, dass die Leute bereits wissen, wie man mindestens , und Gleichungen schon ohne x in Indikatoren löst.) Wer immer noch nicht weiß, wie, kann diese Seite gerne schließen, die entsprechenden Links entlanggehen und ausfüllen die alten Lücken. Sonst wirst du es schwer haben, ja ...

Ich schweige über irrationale, trigonometrische und andere brutale Gleichungen, die auch bei der Eliminierung von Basen auftauchen können. Aber seien Sie nicht beunruhigt, denn jetzt werden wir Frank Tin nicht in Graden betrachten: Es ist zu früh. Wir werden nur die einfachsten Gleichungen üben.)

Betrachten Sie nun Gleichungen, die zusätzlichen Aufwand erfordern, um sie auf die einfachsten zu reduzieren. Um sie zu unterscheiden, nennen wir sie einfache Exponentialgleichungen. Gehen wir also weiter zum nächsten Level!

Stufe 1. Einfache Exponentialgleichungen. Abschlüsse anerkennen! natürliche Indikatoren.

Die Schlüsselregeln beim Lösen von Exponentialgleichungen sind Regeln für den Umgang mit Abschlüssen. Ohne dieses Wissen und Können geht nichts. Ach. Also, wenn es Probleme mit den Abschlüssen gibt, dann bist du erstmal herzlich willkommen. Außerdem brauchen wir auch. Diese Transformationen (bis zu zwei!) sind die Grundlage für die Lösung aller mathematischen Gleichungen im Allgemeinen. Und nicht nur Vitrinen. Also, wer es vergessen hat, macht auch einen Spaziergang auf dem Link: Ich habe sie aus einem bestimmten Grund angelegt.

Aber nur Aktionen mit Kräften und identischen Transformationen reichen nicht aus. Es erfordert auch persönliche Beobachtung und Einfallsreichtum. Wir brauchen die gleichen Gründe, nicht wahr? Also untersuchen wir das Beispiel und suchen sie in expliziter oder getarnter Form!

Zum Beispiel diese Gleichung:

3 2x – 27x +2 = 0

Erstmal anschauen Gründen. Sie sind anders! Drei und siebenundzwanzig. Aber es ist zu früh, um in Panik zu verfallen und zu verzweifeln. Es ist Zeit, sich daran zu erinnern

27 = 3 3

Die Nummern 3 und 27 sind graduell verwandt! Außerdem Verwandte.) Daher haben wir das Recht, Folgendes aufzuschreiben:

27 x +2 = (3 3) x+2

Und jetzt verbinden wir unser Wissen über Aktionen mit Grad(und ich habe dich gewarnt!). Es gibt so eine sehr nützliche Formel:

(am) n = ein mn

Wenn Sie es jetzt im Kurs ausführen, wird es im Allgemeinen gut:

27 x +2 = (3 3) x+2 = 3 3(x +2)

Das ursprüngliche Beispiel sieht nun so aus:

3 2 x – 3 3(x +2) = 0

Toll, die Basen der Abschlüsse haben sich ausgerichtet. Was wir anstrebten. Die Hälfte der Arbeit ist erledigt.) Und jetzt starten wir die grundlegende Identitätstransformation - wir übertragen 3 3 (x +2) nach rechts. Niemand hat die elementaren Aktionen der Mathematik gestrichen, ja.) Wir erhalten:

3 2 x = 3 3(x +2)

Was gibt uns diese Art von Gleichung? Und die Tatsache, dass jetzt unsere Gleichung reduziert wird zur kanonischen Form: Links und rechts stehend gleichen Nummern(Triple) in Potenzen. Und beide Drillinge - in herrlicher Isolation. Wir entfernen mutig die Drillinge und erhalten:

2x = 3(x+2)

Wir lösen dies und erhalten:

X=-6

Das ist alles dazu. Das ist die richtige Antwort.)

Und jetzt verstehen wir den Verlauf der Entscheidung. Was hat uns in diesem Beispiel gerettet? Wir wurden durch das Wissen um die Grade des Tripels gerettet. Wie genau? Wir identifiziert Nummer 27 verschlüsselt drei! Dieser Trick (Verschlüsselung der gleichen Basis unter verschiedene Nummern) ist eine der beliebtesten in Exponentialgleichungen! Es sei denn, es ist das beliebteste. Ja, übrigens auch. Deshalb ist Beobachtung und die Fähigkeit, Potenzen anderer Zahlen in Zahlen zu erkennen, bei Exponentialgleichungen so wichtig!

Praktische Ratschläge:

Sie müssen die Macht beliebter Zahlen kennen. Ins Gesicht!

Natürlich kann jeder zwei zur siebten Potenz oder drei zur fünften Potenz erheben. Nicht in meinen Gedanken, also zumindest auf einem Entwurf. Aber in Exponentialgleichungen ist es viel häufiger notwendig, nicht zu potenzieren, sondern im Gegenteil herauszufinden, welche Zahl und in welchem ​​​​Umfang sich hinter der Zahl verbirgt, sagen wir 128 oder 243. Und das ist schon mehr komplizierter als einfache Potenzierung, sehen Sie. Spüren Sie den Unterschied, wie sie sagen!

Da die Fähigkeit, Grad im Gesicht zu erkennen, nicht nur auf dieser Stufe, sondern auch auf den folgenden nützlich ist, hier eine kleine Aufgabe für dich:

Bestimmen Sie, welche Potenzen und welche Zahlen Zahlen sind:

4; 8; 16; 27; 32; 36; 49; 64; 81; 100; 125; 128; 216; 243; 256; 343; 512; 625; 729; 1024.

Antworten (natürlich verstreut):

27 2 ; 2 10 ; 3 6 ; 7 2 ; 2 6 ; 9 2 ; 3 4 ; 4 3 ; 10 2 ; 2 5 ; 3 5 ; 7 3 ; 16 2 ; 2 7 ; 5 3 ; 2 8 ; 6 2 ; 3 3 ; 2 9 ; 2 4 ; 2 2 ; 4 5 ; 25 2 ; 4 4 ; 6 3 ; 8 2 ; 9 3 .

Ja Ja! Wundern Sie sich nicht, dass es mehr Antworten als Aufgaben gibt. Zum Beispiel sind 2 8 , 4 4 und 16 2 alle 256.

Stufe 2. Einfache Exponentialgleichungen. Abschlüsse anerkennen! Negative und gebrochene Exponenten.

Auf dieser Stufe setzen wir unser Wissen über Abschlüsse bereits voll ein. Wir beteiligen uns nämlich daran faszinierender Prozess negative und gebrochene Exponenten! Ja Ja! Wir müssen Macht aufbauen, richtig?

Zum Beispiel diese schreckliche Gleichung:

Schauen Sie sich auch hier zuerst die Fundamente an. Die Grundlagen sind unterschiedlich! Und diesmal nicht einmal im Ansatz ähnlicher Freund auf einen Freund! 5 und 0,04 ... Und um die Basen zu eliminieren, werden die gleichen benötigt ... Was tun?

Macht nichts! Eigentlich ist alles beim Alten, nur die Verbindung zwischen der Fünf und 0,04 ist optisch schlecht sichtbar. Wie kommen wir raus? Und kommen wir zur Zahl 0,04 to gewöhnlicher Bruchteil! Und dort, sehen Sie, ist alles geformt.)

0,04 = 4/100 = 1/25

Wow! Es stellt sich heraus, dass 0,04 1/25 ist! Na wer hätte das gedacht!)

Und wie? Jetzt ist die Verbindung zwischen den Zahlen 5 und 1/25 besser zu erkennen? Das ist es...

Und jetzt, nach den Regeln des Betriebs mit Befugnissen mit negativer Indikator lässt sich mit fester Hand schreiben:

Das ist großartig. Also kamen wir zur selben Basis – fünf. Wir ersetzen nun die unbequeme Zahl 0,04 in der Gleichung durch 5 -2 und erhalten:

Wiederum können wir gemäß den Regeln für Operationen mit Potenzen jetzt schreiben:

(5 -2) x -1 = 5 -2(x -1)

Für alle Fälle erinnere ich (plötzlich, wer kennt das nicht) daran Grundregeln Aktionen mit Befugnissen gelten für irgendein Indikatoren! Einschließlich für negative.) Sie können also die Indikatoren (-2) und (x-1) gemäß der entsprechenden Regel nehmen und multiplizieren. Unsere Gleichung wird immer besser:

Alles! Außer den einsamen Fünfen in den Abschlüssen links und rechts gibt es nichts weiter. Die Gleichung wird auf die kanonische Form reduziert. Und dann - entlang der Rändelspur. Wir entfernen die Fünfer und setzen die Indikatoren gleich:

x 2 –6 x+5=-2(x-1)

Das Beispiel ist fast fertig. Bleibt die elementare Mathematik des Mittelstandes – wir öffnen (richtig!) die Klammern und sammeln links alles:

x 2 –6 x+5 = -2 x+2

x 2 –4 x+3 = 0

Wir lösen dies und erhalten zwei Wurzeln:

x 1 = 1; x 2 = 3

Das ist alles.)

Jetzt denken wir noch einmal nach. BEI dieses Beispiel wir mussten wieder die gleiche nummer in erkennen unterschiedliche Grade! Nämlich die verschlüsselte Fünf in der Zahl 0,04 zu sehen. Und diesmal drin negativer Grad! Wie haben wir es gemacht? Unterwegs - auf keinen Fall. Aber nach dem Übergang von Dezimalbruch 0,04 bis zum gewöhnlichen Bruch 1/25 wurde alles hervorgehoben! Und dann lief die ganze Entscheidung wie am Schnürchen.)

Daher noch ein grüner Praxistipp.

Wenn die Exponentialgleichung Dezimalbrüche enthält, gehen wir von Dezimalbrüchen zu gewöhnlichen Brüchen über. BEI gemeinsame Brüche Es ist viel einfacher, die Potenzen vieler beliebter Zahlen zu erkennen! Nach der Erkennung gehen wir von Brüchen zu Potenzen mit negativen Exponenten über.

Denken Sie daran, dass eine solche Täuschung in Exponentialgleichungen sehr, sehr oft vorkommt! Und die Person ist nicht im Thema. Er schaut zum Beispiel auf die Zahlen 32 und 0,125 und regt sich auf. Es ist ihm nicht bekannt, dass dies dieselbe Zwei ist, nur in unterschiedliche Grade… Aber Sie sind schon im Thema!)

Löse die Gleichung:

Im! Es sieht aus wie ein stiller Horror ... Doch der Schein trügt. Dies ist die einfachste Exponentialgleichung, trotz ihrer Furcht einflößenden Aussehen. Und jetzt zeige ich es dir.)

Zuerst beschäftigen wir uns mit allen Zahlen, die in den Basen und in den Koeffizienten sitzen. Sie sind offensichtlich verschieden, ja. Aber wir gehen trotzdem das Risiko ein und versuchen sie zu machen das Gleiche! Versuchen wir, dorthin zu gelangen die gleiche Anzahl in unterschiedlichen Graden. Und am besten die Anzahl so klein wie möglich. Also, fangen wir an zu entschlüsseln!

Nun, mit den Vieren ist auf einmal alles klar - es ist 2 2 . Also schon etwas.)

Mit einem Bruchteil von 0,25 - es ist noch nicht klar. Muss geprüft werden. Wir verwenden praktische Ratschläge - gehen Sie von der Dezimalzahl zur Normalzahl:

0,25 = 25/100 = 1/4

Schon viel besser. Fürs Erste ist bereits klar ersichtlich, dass 1/4 2 -2 ist. Großartig, und die Zahl 0,25 ähnelt auch einer Zwei.)

So weit, ist es gut. Aber die schlimmste Zahl von allen bleibt - die Quadratwurzel aus zwei! Was tun mit diesem Pfeffer? Lässt es sich auch als Zweierpotenz darstellen? Und wer weiß...

Na, da steigen wir mal wieder in unsere Wissensschatzkiste zum Thema Abschlüsse! Diesmal verbinden wir zusätzlich unser Wissen über die Wurzeln. Ab dem Verlauf der 9. Klasse mussten Sie und ich es ertragen, dass jede Wurzel, wenn gewünscht, immer in einen Grad umgewandelt werden kann mit einem Bruchteil.

So:

In unserem Fall:

Wie! Es stellt sich heraus, dass die Quadratwurzel aus zwei 2 1/2 ist. Das ist es!

Das ist gut! Alle unsere unbequemen Zahlen stellten sich tatsächlich als verschlüsselte Zweien heraus.) Ich behaupte nicht, irgendwo sehr raffiniert verschlüsselt. Aber wir steigern auch unsere Professionalität beim Lösen solcher Chiffren! Und dann ist schon alles klar. Wir ersetzen die Zahlen 4, 0,25 und die Wurzel aus zwei in unserer Gleichung durch eine Zweierpotenz:

Alles! Die Basen aller Grade im Beispiel sind gleich geworden - zwei. Und jetzt werden die Standardaktionen mit Graden verwendet:

binein = bin + n

ein m: ein n = ein m-n

(am) n = ein mn

Für die linke Seite erhält man:

2 -2 (2 2) 5 x -16 = 2 -2+2(5 x -16)

Für die rechte Seite gilt:

Und jetzt begann unsere böse Gleichung so auszusehen:

Für diejenigen, die nicht herausgefunden haben, wie genau diese Gleichung ausgegangen ist, dann geht es hier nicht um Exponentialgleichungen. Die Frage bezieht sich auf Aktionen mit Befugnissen. Ich bat dringend um Wiederholung für diejenigen, die Probleme haben!

Hier ist die Ziellinie! Man erhält die kanonische Form der Exponentialgleichung! Und wie? Habe ich Sie überzeugt, dass es nicht so beängstigend ist? ;) Wir entfernen die Zweien und setzen die Indikatoren gleich:

Es bleibt nur noch, diese lineare Gleichung zu lösen. Wie? Natürlich mit Hilfe identischer Transformationen.) Löse, was schon da ist! Multiplizieren Sie beide Teile mit zwei (um den Bruch 3/2 zu entfernen), verschieben Sie die Terme mit Xs nach links, ohne Xs nach rechts, bringen Sie ähnliche Einsen, zählen Sie - und Sie werden glücklich sein!

Alles soll schön werden:

X=4

Jetzt überdenken wir die Entscheidung. In diesem Beispiel wurden wir durch den Übergang aus gerettet Quadratwurzel zu Grad mit Exponent 1/2. Außerdem hat uns nur eine so schlaue Transformation geholfen, überall zu gelangen gleiche Basis(zwei), was den Tag gerettet hat! Und wenn es nicht so wäre, hätten wir jede Chance, für immer einzufrieren und dieses Beispiel niemals zu bewältigen, ja ...

Deshalb lassen wir den nächsten Praxistipp nicht außer Acht:

Wenn es Wurzeln in der Exponentialgleichung gibt, dann gehen wir von Wurzeln zu Potenzen mit Bruchindikatoren. Sehr oft klärt erst eine solche Transformation die weitere Situation.

Natürlich sind negative und gebrochene Potenzen schon viel schwieriger. natürliche Abschlüsse. Zumindest was die visuelle Wahrnehmung und vor allem die Wiedererkennung von rechts nach links betrifft!

Es ist klar, dass es nicht so ist, zum Beispiel eine Zwei hoch -3 oder eine Vier hoch -3/2 zu potenzieren ein großes Problem. Für Kenner.)

Aber gehen Sie zum Beispiel sofort damit klar

0,125 = 2 -3

Oder

Hier regieren nur Übung und reiche Erfahrung, ja. Und natürlich freie Sicht, Was ist ein negativer und ein gebrochener exponent. Und auch - praktische Ratschläge! Ja, ja, die grün.) Ich hoffe, dass sie dir trotzdem dabei helfen, dich in der ganzen bunten Studienvielfalt besser zurechtzufinden und deine Erfolgschancen deutlich zu erhöhen! Vernachlässigen wir sie also nicht. Ich bin nicht umsonst in grün Ich schreibe manchmal.)

Wenn Sie andererseits selbst mit solch exotischen Potenzen wie negativ und gebrochen „Sie“ werden, werden Ihre Möglichkeiten beim Lösen von Exponentialgleichungen enorm erweitert, und Sie werden bereits in der Lage sein, mit fast jeder Art von Exponentialgleichungen umzugehen. Nun, wenn nicht, dann 80 Prozent aller Exponentialgleichungen – ganz sicher! Ja, ja, ich scherze nicht!

Damit ist unser erster Teil der Bekanntschaft mit Exponentialgleichungen zu seinem logischen Abschluss gekommen. Und als Training zwischendurch schlage ich traditionell vor, ein bisschen alleine zu lösen.)

Übung 1.

Damit meine Worte über die Entschlüsselung des Negativen und Teilkräfte nicht umsonst, ich schlage vor, ein kleines Spiel zu spielen!

Drücken Sie die Zahl als Zweierpotenz aus:

Antworten (durcheinander):

Passiert? Exzellent! Dann machen wir einen Kampfeinsatz - wir lösen die einfachsten und einfachsten Exponentialgleichungen!

Aufgabe 2.

Gleichungen lösen (alle Antworten sind ein Durcheinander!):

5 2x-8 = 25

2 5x-4 – 16x+3 = 0

Antworten:

x=16

x 1 = -1; x 2 = 2

x = 5

Passiert? Tatsächlich viel einfacher!

Dann lösen wir folgendes Spiel:

(2 x +4) x -3 = 0,5 x 4 x -4

35 1-x = 0,2 - x 7 x

Antworten:

x 1 = -2; x 2 = 2

x = 0,5

x 1 = 3; x 2 = 5

Und diese Beispiele von einem links? Exzellent! Du wächst! Dann haben wir hier noch ein paar Beispiele für Sie zum Naschen:

Antworten:

x = 6

x = 13/31

x = -0,75

x 1 = 1; x 2 = 8/3

Und ist es entschieden? Na, Respekt! Ich nehme meinen Hut ab.) Also war die Lektion nicht umsonst und Erste Ebene Das Lösen von Exponentialgleichungen kann als erfolgreich gemeistert angesehen werden. Voraus - nächsten Ebenen und mehr komplexe Gleichungen! Und neue Techniken und Ansätze. Und nicht standardmäßige Beispiele. Und neue Überraschungen.) All dies - in der nächsten Lektion!

Etwas hat nicht funktioniert? Die Probleme liegen also höchstwahrscheinlich in . Oder im . Oder beides gleichzeitig. Hier bin ich machtlos. Kann rein wieder bieten nur eines - seien Sie nicht faul und machen Sie einen Spaziergang durch die Links.)

Fortsetzung folgt.)