Schwankungen sogenannte Bewegungen oder Prozesse, die durch eine gewisse zeitliche Wiederholung gekennzeichnet sind. Schwankungen sind in der umgebenden Welt weit verbreitet und können sehr unterschiedlicher Natur sein. Diese können mechanisch (Pendel), elektromagnetisch ( Schwingkreis) und andere Arten von Schwingungen.
frei, oder besitzen Schwingungen nennt man Schwingungen, die in einem sich selbst überlassenen System auftreten, nachdem es durch einen äußeren Einfluss aus dem Gleichgewicht gebracht wurde. Ein Beispiel ist die Schwingung einer an einem Faden aufgehängten Kugel.

besondere Rolle in oszillierenden Prozessen hat Einfachste Form Schwankungen - harmonische Schwingungen. Harmonische Schwingungen unterliegen einem einheitlichen Ansatz zur Untersuchung von Schwingungen unterschiedlicher Natur, da die in Natur und Technik anzutreffenden Schwingungen oft harmonischen nahe kommen und periodische Vorgänge anderer Form als Überlagerung harmonischer Schwingungen dargestellt werden können.

Harmonische Schwingungen man nennt solche Schwingungen, bei denen sich der Schwingungswert mit der Zeit nach dem Gesetz ändert Sinus oder Kosinus.

Harmonische Schwingungsgleichungsieht aus wie:

wo ein - Schwingungsamplitude (der Wert der größten Abweichung des Systems von der Gleichgewichtslage); -kreisförmige (zyklische) Frequenz. Periodisch wechselndes Cosinus-Argument - aufgerufen Oszillationsphase . Die Schwingungsphase bestimmt die Verschiebung der schwingenden Größe aus der Gleichgewichtslage hinein dieser Moment Zeit t. Die Konstante φ ist der Wert der Phase zum Zeitpunkt t = 0 und wird aufgerufen die Anfangsphase der Schwingung . Der Wert der Anfangsphase wird durch die Wahl des Referenzpunktes bestimmt. Der x-Wert kann Werte von -A bis +A annehmen.

Das Zeitintervall T, nach dem sich bestimmte Zustände des schwingungsfähigen Systems wiederholen, Schwingungsdauer genannt . Der Kosinus ist eine periodische Funktion mit einer Periode von 2π, daher wiederholt sich der Zustand des Systems, das harmonische Schwingungen ausführt, über einen Zeitraum T, nach dem die Schwingungsphase ein Inkrement von 2π erhält. Diese Zeitspanne T wird als Periode harmonischer Schwingungen bezeichnet.

Die Periode der harmonischen Schwingungen ist : T = 2π/ .

Die Anzahl der Schwingungen pro Zeiteinheit wird genannt Oszillationsfrequenz ν.
Frequenz harmonischer Schwingungen ist gleich: ν = 1/T. Frequenzeinheit Hertz(Hz) - eine Schwingung pro Sekunde.

Kreisfrequenz = 2π/T = 2πν ergibt die Anzahl der Schwingungen in 2π Sekunden.

Grafisch lassen sich harmonische Schwingungen als Abhängigkeit von x von t darstellen (Abb. 1.1.A) und rotierendes Amplitudenverfahren (Vektordiagrammverfahren)(Abb.1.1.B) .

Mit der rotierenden Amplitudenmethode können Sie alle Parameter visualisieren, die in der Gleichung der harmonischen Schwingungen enthalten sind. In der Tat, wenn der Amplitudenvektor SONDERN in einem Winkel φ zur x-Achse befindet (siehe Abbildung 1.1. B), dann ist seine Projektion auf die x-Achse gleich: x = Acos(φ). Der Winkel φ ist Anfangsphase. Wenn der Vektor SONDERN mit in Rotation versetzen Winkelgeschwindigkeit, gleich der kreisförmigen Schwingungsfrequenz, dann bewegt sich die Projektion des Endes des Vektors entlang der x-Achse und nimmt Werte im Bereich von -A bis +A an, und die Koordinate dieser Projektion ändert sich im Laufe der Zeit entsprechend das Gesetz:
.

Die Länge des Vektors ist also gleich der Amplitude der harmonischen Schwingung, die Richtung des Vektors hinein Anfangsmoment bildet mit der x-Achse einen Winkel, der gleich der Anfangsphase der Schwingungen φ ist, und die zeitliche Änderung des Richtungswinkels ist gleich der Phase der harmonischen Schwingungen. Die Zeit, die der Amplitudenvektor benötigt, um einen zu bilden volle Umdrehung, gleich der Periode T der harmonischen Schwingungen. Die Anzahl der Umdrehungen des Vektors pro Sekunde ist gleich der Schwingungsfrequenz ν.

(lat. Amplitude- Größe) - dies ist die größte Abweichung des Schwingkörpers von der Gleichgewichtslage.

Für das Pendel ist es maximale Distanz, wodurch sich die Kugel aus ihrer Gleichgewichtslage bewegt (Abbildung unten). Für Schwingungen mit kleinen Amplituden kann dieser Abstand als die Länge des Bogens 01 oder 02 sowie die Längen dieser Segmente genommen werden.

Die Oszillationsamplitude wird in Längeneinheiten gemessen – Meter, Zentimeter usw. Auf dem Oszillationsdiagramm wird die Amplitude als die maximale (Modulo)-Ordinate der Sinuskurve definiert (siehe Abbildung unten).

Schwingungsdauer.

Schwingungsperiode- dies ist die kleinste Zeitspanne, nach der das System durch Schwingungen wieder in den gleichen Zustand zurückkehrt, in dem es sich im willkürlich gewählten Anfangszeitpunkt befand.

Mit anderen Worten, die Schwingungsdauer ( T) ist die Zeit, für die eine vollständige Schwingung stattfindet. In der Abbildung unten ist dies beispielsweise die Zeit, die das Gewicht des Pendels benötigt, um sich vom Punkt ganz rechts bis zum Gleichgewichtspunkt zu bewegen Ö zum linken Punkt und zurück durch den Punkt Ö wieder ganz rechts.

Hinter volle Periode Schwingungen, also durchläuft der Körper einen Weg, der vier Amplituden entspricht. Die Schwingungsdauer wird in Zeiteinheiten gemessen - Sekunden, Minuten usw. Die Schwingungsdauer kann aus dem bekannten Schwingungsdiagramm bestimmt werden (siehe Abbildung unten).

Der Begriff „Schwingungsperiode“ gilt streng genommen nur dann, wenn sich die Werte der schwankenden Größe exakt wiederholen bestimmten Intervall Zeit, also für harmonische Schwingungen. Dieses Konzept wird jedoch auch auf Fälle sich annähernd wiederholender Größen angewendet, beispielsweise z gedämpfte Schwingungen .

Oszillationsfrequenz.

Oszillationsfrequenz ist die Anzahl der Schwingungen pro Zeiteinheit, beispielsweise in 1 s.

Die SI-Einheit der Frequenz wird benannt Hertz(Hertz) zu Ehren des deutschen Physikers G. Hertz (1857-1894). Wenn die Schwingungsfrequenz ( v) entspricht 1 Hertz, dann bedeutet dies, dass jede Sekunde eine Schwingung gemacht wird. Die Frequenz und Periode der Schwingungen hängen durch die Beziehungen zusammen:

In der Schwingungstheorie wird der Begriff ebenfalls verwendet zyklisch, oder kreisförmige Frequenz ω . Es hängt mit der normalen Frequenz zusammen v und Schwingungsdauer T Verhältnisse:

.

Zyklische Frequenz ist die Anzahl der Schwingungen pro 2π Sekunden.

Zeitliche Änderungen nach einem Sinusgesetz:

wo X- der Wert der schwankenden Menge zum Zeitpunkt t, SONDERN- Amplitude , ω - Kreisfrequenz, φ ist die Anfangsphase von Schwingungen, ( φt + φ ) ist die Gesamtphase der Schwingungen . Gleichzeitig die Werte SONDERN, ω und φ - dauerhaft.

Für mechanische Schwingungen mit oszillierendem Wert X sind insbesondere Weg und Geschwindigkeit, z elektrische Schwingungen- Spannung und Strom.

Harmonische Schwingungen nehmen spezieller Ort unter allen Schwingungsarten, da dies die einzige Schwingungsart ist, deren Form beim Durchlaufen keiner verzerrt wird homogene Umgebung, d.h. Wellen, die sich von einer Quelle harmonischer Schwingungen ausbreiten, werden auch harmonisch sein. Jede nicht harmonische Schwingung kann als Summe (Integral) verschiedener harmonischer Schwingungen (in Form eines Spektrums harmonischer Schwingungen) dargestellt werden.

Energieumwandlungen bei harmonischen Schwingungen.

Bei Schwingungen findet ein Übergang der potentiellen Energie statt Wp in Kinetik W k umgekehrt. In der Position maximaler Abweichung von der Gleichgewichtslage ist die potentielle Energie maximal, die kinetische Energie Null. Bei der Rückkehr in die Gleichgewichtslage nimmt die Geschwindigkeit des Schwingkörpers zu und damit auch kinetische Energie, die in der Gleichgewichtslage ein Maximum erreicht. Die potentielle Energie fällt dann auf Null. Die weitere Halsbewegung erfolgt mit einer Abnahme der Geschwindigkeit, die auf Null abfällt, wenn die Auslenkung ihr zweites Maximum erreicht. Die potenzielle Energie steigt hier auf ihren anfänglichen (maximalen) Wert (ohne Reibung). Somit können Schwankungen in kinetischen und potenzielle Energien treten mit doppelter (im Vergleich zu den Schwingungen des Pendels selbst) Frequenz auf und sind gegenphasig (d.h. zwischen ihnen besteht eine Phasenverschiebung von gleich). π ). Gesamte Vibrationsenergie W bleibt unverändert. Für einen Körper, der unter der Wirkung einer elastischen Kraft schwingt, ist es gleich:

wo v m — maximale Geschwindigkeit Körper (in Gleichgewichtslage), x m = SONDERN- Amplitude.

Aufgrund der Reibung und des Widerstands des Mediums freie Schwingungen Zerfall: Ihre Energie und Amplitude nehmen mit der Zeit ab. Daher werden in der Praxis häufiger nicht freie, sondern erzwungene Schwingungen verwendet.

Harmonische Schwingungen

Funktionsgraphen f(x) = Sünde ( x) und g(x) = cos( x) in der kartesischen Ebene.

harmonische Schwingung- Schwankungen, bei denen sich eine physikalische (oder andere) Größe im Laufe der Zeit gemäß einem Sinus- oder Kosinusgesetz ändert. Kinematische Gleichung harmonische Schwingungen hat die Form

,

wo X- Verschiebung (Abweichung) des Schwingungspunktes von der Gleichgewichtslage zum Zeitpunkt t; SONDERN- Schwingungsamplitude, dies ist der Wert, der die maximale Abweichung des Schwingungspunktes von der Gleichgewichtsposition bestimmt; ω - zyklische Frequenz, ein Wert, der die Anzahl vollständiger Schwingungen angibt, die innerhalb von 2π Sekunden auftreten - komplette Phase Schwingungen, - Anfangsphase von Schwingungen.

Verallgemeinerte harmonische Schwingung in differentielle Form

(Jede nicht triviale Lösung dafür Differentialgleichung- es gibt eine harmonische Schwingung mit zyklischer Frequenz)

Arten von Vibrationen

Zeitliche Entwicklung von Verschiebung, Geschwindigkeit und Beschleunigung in harmonischer Bewegung

• Freie Schwingungen unter dem Einfluss gemacht werden interne Kräfte System, nachdem das System aus dem Gleichgewicht gebracht wurde. Damit freie Schwingungen harmonisch sind, ist es notwendig, dass das schwingungsfähige System linear ist (beschrieben lineare Gleichungen Bewegung), und es gab keine Energiedissipation (letzteres würde eine Dämpfung verursachen).
• Erzwungene Schwingungen unter dem Einfluss einer externen periodischen Kraft durchgeführt. Damit sie harmonisch sind, genügt es, dass das schwingungsfähige System linear ist (beschrieben durch lineare Bewegungsgleichungen) und äußere Kraft selbst als harmonische Schwingung mit der Zeit verändert (das heißt, dass die Zeitabhängigkeit dieser Kraft sinusförmig war).

Anwendung

Harmonische Schwingungen heben sich aus folgenden Gründen von allen anderen Schwingungsarten ab:

siehe auch

Anmerkungen

Literatur

• Physik. Grundschullehrbuch Physik / Ed. G. S. Lansberg. - 3. Aufl. - M., 1962. - T. 3.
• Khaykin S.E. Physikalische Grundlagen Mechanik. -M., 1963.
• A. M. Afonin. Physikalische Grundlagen der Mechanik. - Hrsg. MSTU im. Bauman, 2006.
• Gorelik G.S. Schwingungen und Wellen. Einführung in die Akustik, Radiophysik und Optik. - M.: Fizmatlit, 1959. - 572 S.

Wikimedia-Stiftung. 2010 .

Sehen Sie in anderen Wörterbüchern, was "harmonische Schwingungen" sind:

Moderne Enzyklopädie

Harmonische Schwingungen- HARMONISCHE SCHWINGUNGEN, periodische Änderungen einer physikalischen Größe, die nach dem Sinusgesetz auftreten. Grafisch werden harmonische Schwingungen durch eine Sinuskurve dargestellt. Harmonische Schwingungen sind die einfachste Art periodischer Bewegung, gekennzeichnet durch ... Illustriertes enzyklopädisches Wörterbuch

Schwankungen, bei denen sich eine physikalische Größe nach dem Sinus- oder Kosinusgesetz über die Zeit ändert. Grafisch werden G bis durch eine Sinus- oder Kosinuskurve dargestellt (siehe Abb.); sie können in der Form geschrieben werden: x = Asin (ωt + φ) oder x ... Große sowjetische Enzyklopädie

HARMONISCHE SCHWINGUNGEN, periodische Bewegung, wie die Bewegung des PENDELS, atomare Schwingungen oder Schwingungen in elektrische Schaltung. Ein Körper führt ungedämpfte harmonische Schwingungen aus, wenn er entlang einer Linie schwingt und sich an derselben bewegt ... ... Wissenschaftliches und technisches Lexikon

Schwingungen, bei k ryh physikalisch. (oder jeder andere) Wert ändert sich im Laufe der Zeit gemäß einem Sinusgesetz: x = Asin (wt + j), wobei x der Wert des oszillierenden Werts in der gegebenen ist. Zeitpunkt t (für mechanische G. bis. z. B. Weg oder Geschwindigkeit, für ... ... Physikalische Enzyklopädie

harmonische Schwingungen - Mechanische Schwingungen, bei der sich die verallgemeinerte Koordinate und (oder) die verallgemeinerte Geschwindigkeit proportional zum Sinus mit einem linear von der Zeit abhängigen Argument ändern. [Sammlung empfohlener Begriffe. Ausgabe 106. Mechanische Schwingungen. Akademie der Wissenschaften ... Handbuch für technische Übersetzer

Schwingungen, bei k ryh physikalisch. (oder jede andere) Größe ändert sich zeitlich nach einem Sinusgesetz, wobei x der Wert der oszillierenden Größe zur Zeit t ist (für mechanische G. bis. z. B. Weg und Geschwindigkeit, für elektrische Spannung und Strom) .. . Physikalische Enzyklopädie

HARMONISCHE SCHWINGUNGEN- (siehe), in dem physikalisch. der Wert ändert sich mit der Zeit nach dem Gesetz von Sinus oder Kosinus (z. B. Änderungen (siehe) und Geschwindigkeit während der Schwingung (siehe) oder Änderungen (siehe) und Stromstärke mit elektrischem G. bis.) ... Große polytechnische Enzyklopädie

Gekennzeichnet durch eine Änderung des Schwingungswertes x (z. B. Abweichungen des Pendels von der Gleichgewichtslage, Spannung im Stromkreis Wechselstrom usw.) in der Zeit t nach dem Gesetz: x = Asin (?t + ?), wobei A die Amplitude harmonischer Schwingungen ist, ? Ecke… … Großes enzyklopädisches Wörterbuch

Harmonische Schwingungen- 19. Harmonische Schwingungen Schwingungen, bei denen sich die Werte der schwingenden Größe zeitlich nach dem Gesetz ändern Quelle ... Wörterbuch-Nachschlagewerk von Begriffen der normativen und technischen Dokumentation

Periodisch Schwankungen, mit krykh zeitlicher Veränderung physikalisch. Die Größe erfolgt nach dem Sinus- bzw. Kosinusgesetz (siehe Abb.): s = Asin (wt + f0), wobei s die Abweichung des schwankenden Wertes von seinem vgl. (Gleichgewichts-)Wert, A=const Amplitude, w= const kreisförmig ... Großes enzyklopädisches polytechnisches Wörterbuch

Die einfachste Art von Schwingungen sind harmonische Schwingungen- Schwankungen, bei denen sich die Verschiebung des Schwingungspunktes aus der Gleichgewichtslage nach dem Sinus- oder Cosinusgesetz mit der Zeit ändert.

Bei einer gleichmäßigen Rotation der Kugel um den Umfang führt ihre Projektion (Schatten in parallelen Lichtstrahlen) eine harmonische Schwingungsbewegung auf einem vertikalen Bildschirm aus (Abb. 1).

Die Verschiebung aus der Gleichgewichtslage bei harmonischen Schwingungen wird durch die Gleichung beschrieben (sie wird als kinematisches Gesetz bezeichnet harmonische Bewegung) der Form:

wobei x - Verschiebung - ein Wert, der die Position des Schwingungspunkts zum Zeitpunkt t relativ zur Gleichgewichtsposition charakterisiert und durch den Abstand von der Gleichgewichtsposition zur Position des Punkts zu einem bestimmten Zeitpunkt gemessen wird; A - Schwingungsamplitude - die maximale Verschiebung des Körpers aus der Gleichgewichtsposition; T - Schwingungsdauer - die Zeit einer vollständigen Schwingung; jene. die kürzeste Zeit, nach der Werte wiederholt werden physikalische Quantitäten Charakterisieren der Schwingung; - Anfangsphase;

Die Phase der Schwingung zum Zeitpunkt t. Die Schwingungsphase ist das Argument periodische Funktion, die bei gegebener Schwingungsamplitude den Zustand des Schwingungssystems (Weg, Geschwindigkeit, Beschleunigung) des Körpers zu jedem Zeitpunkt bestimmt.

Wenn zum Anfangszeitpunkt der Schwingungspunkt maximal aus der Gleichgewichtslage verschoben ist, dann ändert sich , und die Verschiebung des Punktes aus der Gleichgewichtslage gemäß dem Gesetz

Befindet sich der Schwingungspunkt at in einer stabilen Gleichgewichtslage, so ändert sich die Verschiebung des Punktes aus der Gleichgewichtslage gesetzmäßig

Der Wert von V, der Kehrwert der Periode und gleich der Zahl Vollschwingungen in 1 s werden als Schwingungsfrequenz bezeichnet:

Wenn der Körper in der Zeit t N vollständige Schwingungen macht, dann

der Wert , die angibt, wie viele Schwingungen der Körper in s ausführt, heißt zyklische (kreisförmige) Frequenz.

Das kinematische Gesetz der harmonischen Bewegung kann geschrieben werden als:

Grafisch wird die Abhängigkeit der Verschiebung eines Schwingungspunktes von der Zeit durch eine Kosinus- (oder Sinuskurve) dargestellt.

Abbildung 2, a zeigt die Zeitabhängigkeit der Verschiebung des Schwingungspunktes aus der Gleichgewichtslage für den Fall .

Lassen Sie uns herausfinden, wie sich die Geschwindigkeit eines Schwingungspunktes mit der Zeit ändert. Dazu finden wir die zeitliche Ableitung dieses Ausdrucks:

wobei die Amplitude der Geschwindigkeitsprojektion auf der x-Achse ist.

Diese Formel zeigt, dass sich bei harmonischen Schwingungen auch die Projektion der Körpergeschwindigkeit auf die x-Achse gemäß dem harmonischen Gesetz mit gleicher Frequenz, mit anderer Amplitude ändert und der Mischphase um (Abb. 2, b) vorauseilt. .

Um die Abhängigkeit der Beschleunigung herauszufinden, finden wir die zeitliche Ableitung der Geschwindigkeitsprojektion:

wobei die Amplitude der Beschleunigungsprojektion auf der x-Achse ist.

Bei harmonischen Schwingungen eilt die Beschleunigungsprojektion der Phasenverschiebung um k voraus (Abb. 2, c).

Auf ähnliche Weise können Sie Abhängigkeitsdiagramme erstellen

Unter Berücksichtigung dessen lässt sich die Beschleunigungsformel schreiben

jene. bei harmonischen Schwingungen ist die Beschleunigungsprojektion direkt proportional zur Auslenkung und hat entgegengesetztes Vorzeichen, d.h. Die Beschleunigung ist der Verschiebung entgegengesetzt gerichtet.

Die Beschleunigungsprojektion ist also die zweite Ableitung der Verschiebung, dann kann das resultierende Verhältnis geschrieben werden als:

Die letzte Gleichheit wird aufgerufen Gleichung harmonischer Schwingungen.

Ein physikalisches System, in dem harmonische Schwingungen existieren können, wird als bezeichnet harmonischer Oszillator, und die Gleichung harmonischer Schwingungen - harmonische Oszillatorgleichung.