Hier gibt es Probleme mit Zapfen, deren Zustand mit deren Oberfläche zusammenhängt. Bei einigen Problemen stellt sich insbesondere die Frage, ob sich die Fläche mit einer Zunahme (Abnahme) der Höhe eines Kegels oder des Radius seiner Basis ändert. Theorie zur Problemlösung in . Betrachten Sie die folgenden Aufgaben:

27135. Der Umfang der Kegelbasis beträgt 3, die Erzeugende beträgt 2. Finden Sie die Fläche der Mantelfläche des Kegels.

Die Fläche der Mantelfläche des Kegels beträgt:

Eingabe der Daten:

75697. Wie oft vergrößert sich die Fläche der Mantelfläche des Kegels, wenn seine Erzeugende um das 36-fache vergrößert wird und der Radius der Basis gleich bleibt?

Die Fläche der Mantelfläche des Kegels:

Die Generatrix wird um das 36-fache erhöht. Der Radius bleibt gleich, das heißt, der Umfang der Basis hat sich nicht verändert.

Die Fläche der Mantelfläche des modifizierten Kegels sieht also wie folgt aus:

Somit wird es um das 36-fache erhöht.

*Die Abhängigkeit ist unkompliziert, sodass dieses Problem leicht mündlich gelöst werden kann.

27137. Wie oft verringert sich die Fläche der Mantelfläche des Kegels, wenn der Radius seiner Basis um das 1,5-fache verringert wird?

Die Fläche der Mantelfläche des Kegels beträgt:

Der Radius verringert sich um das 1,5-fache, d.h.:

Es wurde festgestellt, dass die Mantelfläche um das 1,5-fache abnahm.

27159. Die Höhe des Kegels beträgt 6, die Erzeugende beträgt 10. Finden Sie seine Fläche Vollflächig dividiert durch Pi.

Gesamtfläche des Kegels:

Finden Sie den Radius:

Die Höhe und die Erzeugende sind bekannt, nach dem Satz des Pythagoras berechnen wir den Radius:

Auf diese Weise:

Teilen Sie das Ergebnis durch Pi und schreiben Sie die Antwort auf.

76299. Die Gesamtoberfläche des Kegels beträgt 108. Parallel zur Basis des Kegels wird ein Abschnitt gezeichnet, der die Höhe in zwei Hälften teilt. Finden Sie die Gesamtoberfläche des Kegelstumpfes.

Der Abschnitt verläuft durch die Mittelhöhe parallel zur Basis. Der Radius der Basis und die Erzeugende des Kegelstumpfes betragen also das Zweifache kleiner als Radius und die Erzeugende des ursprünglichen Kegels. Schreiben wir auf, wie groß die Oberfläche des abgeschnittenen Kegels ist:

Habe sie viermal zum Laufen gebracht weniger Fläche Oberfläche des Originals, also 108:4 = 27.

* Da es sich bei Original- und abgeschnittenem Kegel um ähnliche Körper handelt, konnte auch die Ähnlichkeitseigenschaft genutzt werden:

27167. Der Radius der Kegelbasis beträgt 3, die Höhe beträgt 4. Ermitteln Sie die Gesamtoberfläche des Kegels dividiert durch pi.

Die Formel für die Gesamtoberfläche eines Kegels lautet:

Der Radius ist bekannt, es ist notwendig, die Erzeugende zu finden.

Nach dem Satz des Pythagoras:

Auf diese Weise:

Teilen Sie das Ergebnis durch Pi und schreiben Sie die Antwort auf.

Aufgabe. Die Mantelfläche des Kegels wird vervierfacht mehr Fläche Gründe. Etwas finden gleich Kosinus der Winkel zwischen der Erzeugenden des Kegels und der Ebene der Grundfläche.

Die Grundfläche des Kegels beträgt:

Wir wissen, was ein Kegel ist. Versuchen wir, seine Oberfläche zu ermitteln. Warum ist es notwendig, ein solches Problem zu lösen? Sie müssen beispielsweise verstehen, wie viel der test wird gehen eine Waffeltüte machen? Oder wie viele Ziegelsteine ​​wären nötig, um das Ziegeldach einer Burg zu errichten?

Es ist nicht einfach, die Mantelfläche eines Kegels zu messen. Aber stellen Sie sich dasselbe Horn vor, das in Stoff gehüllt ist. Um die Fläche eines Stoffstücks zu ermitteln, müssen Sie es ausschneiden und auf dem Tisch auslegen. Es stellt sich heraus flache Figur, können wir seinen Bereich finden.

Reis. 1. Schnitt des Kegels entlang der Mantellinie

Machen wir dasselbe mit dem Kegel. Lassen Sie uns seine Seitenfläche zum Beispiel entlang einer beliebigen Mantellinie „schneiden“ (siehe Abb. 1).

Jetzt „wickeln“ wir die Seitenfläche auf eine Ebene ab. Wir bekommen einen Sektor. Der Mittelpunkt dieses Sektors ist die Spitze des Kegels, der Radius des Sektors ist gleich der Erzeugenden des Kegels und die Länge seines Bogens stimmt mit dem Umfang der Basis des Kegels überein. Ein solcher Sektor wird als Abwicklung der Mantelfläche des Kegels bezeichnet (siehe Abb. 2).

Reis. 2. Entwicklung der Seitenfläche

Reis. 3. Winkelmessung im Bogenmaß

Versuchen wir, die Fläche des Sektors anhand der verfügbaren Daten zu ermitteln. Lassen Sie uns zunächst eine Notation einführen: Der Winkel am oberen Rand des Sektors sei im Bogenmaß angegeben (siehe Abb. 3).

Bei Aufgaben werden wir häufig auf den Winkel am oberen Ende des Sweeps stoßen. Versuchen wir in der Zwischenzeit, die Frage zu beantworten: Kann dieser Winkel nicht mehr als 360 Grad betragen? Das heißt, wird es nicht dazu kommen, dass sich der Sweep überlagert? Natürlich nicht. Lassen Sie es uns mathematisch beweisen. Lassen Sie den Sweep sich „überlappen“. Dies bedeutet, dass die Länge des Sweep-Bogens größer ist als der Umfang des Radius. Aber wie bereits erwähnt, ist die Länge des Sweep-Bogens der Umfang des Radius. Und der Radius der Kegelbasis ist natürlich kleiner als die Erzeugende, weil zum Beispiel der Schenkel eines rechtwinkligen Dreiecks kleiner ist als die Hypotenuse

Dann erinnern wir uns an zwei Formeln aus dem Planimetriekurs: Bogenlänge. Branchengebiet: .

In unserem Fall übernimmt die Generatrix die Rolle , und die Länge des Bogens ist gleich dem Umfang der Kegelbasis, das heißt. Wir haben:

Schließlich erhalten wir:

Neben der Mantelfläche lässt sich auch die Gesamtoberfläche ermitteln. Dazu addieren Sie die Grundfläche zur Mantelfläche. Aber die Basis ist ein Kreis mit dem Radius, dessen Fläche nach der Formel beträgt.

Endlich haben wir: , Wo ist der Radius der Basis des Zylinders, ist die Generatrix.

Lassen Sie uns ein paar Probleme anhand der angegebenen Formeln lösen.

Reis. 4. Gewünschter Winkel

Beispiel 1. Die Entwicklung der Mantelfläche des Kegels ist ein Sektor mit einem Winkel an der Spitze. Finden Sie diesen Winkel, wenn die Höhe des Kegels 4 cm und der Radius der Basis 3 cm beträgt (siehe Abb. 4).

Reis. 5. Rechtwinkliges Dreieck einen Kegel bilden

Durch die erste Aktion ermitteln wir nach dem Satz des Pythagoras die Generatrix: 5 cm (siehe Abb. 5). Darüber hinaus wissen wir das .

Beispiel 2. Quadrat Axialschnitt Der Kegel ist , die Höhe ist . Ermitteln Sie die Gesamtoberfläche (siehe Abb. 6).

Die Oberfläche eines Kegels (oder einfach die Oberfläche eines Kegels) ist gleich der Summe der Flächen der Grundfläche und der Seitenfläche.

Die Fläche der Mantelfläche des Kegels wird nach der Formel berechnet: S = πR l, wobei R der Radius der Kegelbasis ist und l- Erzeugende eines Kegels.

Da die Grundfläche des Kegels πR 2 (als Fläche des Kreises) beträgt, ist die Fläche der gesamten Kegeloberfläche gleich : πR 2 + πR l= πR (R + l).

Das Erhalten der Formel für die Fläche der Mantelfläche eines Kegels kann durch eine solche Überlegung erklärt werden. Lassen Sie die Zeichnung eine Entwicklung der Mantelfläche des Kegels zeigen. Teilen Sie den Bogen AB in mögliche Teile mehr gleiche Teile und verbinde alle Teilungspunkte mit dem Mittelpunkt des Bogens und die benachbarten untereinander durch Akkorde.

Wir bekommen eine Serie gleiche Dreiecke. Die Fläche jedes Dreiecks beträgt Ah / 2 , wo A- Länge der Basis des Dreiecks, a H- sein High.

Die Summe der Flächen aller Dreiecke ist: Ah / 2 N = anh / 2 , wo N ist die Anzahl der Dreiecke.

Bei große Zahlen Divisionen kommt die Summe der Flächen der Dreiecke sehr nahe an die Fläche der Abwicklung, also die Fläche der Mantelfläche des Kegels. Die Summe der Grundflächen von Dreiecken, d.h. ein, kommt der Länge des Bogens AB, also dem Umfang der Kegelbasis, sehr nahe. Die Höhe jedes Dreiecks kommt dem Radius des Bogens, also der Erzeugenden des Kegels, sehr nahe.

Unter Vernachlässigung geringfügiger Größenunterschiede dieser Größen erhalten wir die Formel für die Fläche der Kegelmantelfläche (S):

S=C l / 2, wobei C der Umfang der Kegelbasis ist, l- Erzeugende eines Kegels.

Wenn wir wissen, dass C \u003d 2πR ist, wobei R der Radius des Kreises der Kegelbasis ist, erhalten wir: S \u003d πR l.

Notiz. In der Formel S = C l / 2 ist das Vorzeichen der exakten und nicht der ungefähren Gleichheit angegeben, obwohl wir diese Gleichheit aufgrund der obigen Überlegungen als ungefähr betrachten könnten. Aber in der Highschool weiterführende Schule es ist bewiesen, dass die Gleichheit

S=C l / 2 ist genau, nicht ungefähr.

Satz. Die Mantelfläche des Kegels ist gleich dem Produkt aus dem Umfang der Grundfläche und der Hälfte der Erzeugenden.

Schreiben wir etwas in einen Kegel (Abb.). richtige Pyramide und mit Buchstaben bezeichnen R Und l Zahlen, die die Länge des Umfangs der Basis und des Apothems dieser Pyramide ausdrücken.

Dann wird seine Mantelfläche durch das Produkt 1/2 ausgedrückt R l .

Nehmen wir nun an, dass die Anzahl der Seiten des in die Basis eingeschriebenen Polygons ins Unendliche zunimmt. Dann der Umfang R tendiert zu dem Grenzwert, der als Länge C des Umfangs der Basis und des Apothems angenommen wird l wird einen Kegelgenerator als Grenze haben (da ΔSAK impliziert, dass SA - SK
1 / 2 R l tendiert zum Grenzwert von 1/2 °C L. Dieser Grenzwert wird als Wert der Mantelfläche des Kegels angenommen. Wenn wir die Mantelfläche des Kegels mit dem Buchstaben S bezeichnen, können wir schreiben:

S = 1 / 2 C L = C 1/2L

Folgen.
1) Da C \u003d 2 π R, dann wird die Mantelfläche des Kegels durch die Formel ausgedrückt:

S=1/2 2π R L= π RL

2) Wir erhalten die Gesamtoberfläche des Kegels, wenn wir die Mantelfläche zur Grundfläche addieren; Wenn wir also die gesamte Oberfläche mit T bezeichnen, erhalten wir:

T= π RL+ π R2= π R(L+R)

Satz. Seitenfläche Kegelstumpf ist gleich dem Produkt aus der halben Summe der Umfänge der Basen und der Erzeugenden.

Schreiben wir in einen Kegelstumpf (Abb.) etwas Regelmäßiges ein Pyramidenstumpf und mit Buchstaben bezeichnen r, r 1 und l Zahlen, die in denselben linearen Einheiten die Längen der Umfänge der unteren und oberen Basis und des Apothems dieser Pyramide ausdrücken.

Dann beträgt die Mantelfläche der beschrifteten Pyramide 1/2 ( p + p 1) l

Mit einer unbegrenzten Zunahme der Anzahl der Seitenflächen der eingeschriebenen Pyramide werden die Umfänge größer R Und R 1 tendiere zu den Grenzen, die als Längen C und C 1 der Kreise der Basen und des Apothems angenommen werden l hat als Grenzwert die Erzeugende L des Kegelstumpfes. Folglich tendiert der Wert der Seitenfläche der eingeschriebenen Pyramide zum Grenzwert von (С + С 1) L. Dieser Grenzwert wird als Wert der Seitenfläche des Kegelstumpfes angenommen. Wenn wir die Seitenfläche des Kegelstumpfes mit dem Buchstaben S bezeichnen, erhalten wir:

S \u003d 1 / 2 (C + C 1) L

Folgen.
1) Wenn R und R 1 die Radien der Kreise der unteren und oberen Basis bedeuten, dann ist die Mantelfläche des Kegelstumpfs:

S = 1 / 2 (2 π R+2 π R 1) L = π (R+R1)L.

2) Wenn im Trapez OO 1 A 1 A (Abb.), aus dessen Drehung ein Kegelstumpf entsteht, zeichnen wir Mittellinie BC erhalten wir:

BC \u003d 1 / 2 (OA + O 1 A 1) \u003d 1 / 2 (R + R 1),

R + R 1 = 2BC.

Somit,

S=2 π BC L,

d.h. Die Mantelfläche eines Kegelstumpfes ist gleich dem Produkt aus dem Umfang des mittleren Querschnitts und der Erzeugenden.

3) Die Gesamtoberfläche T eines Kegelstumpfes wird wie folgt ausgedrückt:

T= π (R 2 + R 1 2 + RL + R 1 L)

Die in der Schule untersuchten Rotationskörper sind ein Zylinder, ein Kegel und eine Kugel.

Wenn Sie in einer USE-Aufgabe in Mathematik das Volumen eines Kegels oder die Fläche einer Kugel berechnen müssen, können Sie sich glücklich schätzen.

Wenden Sie Formeln für Volumen und Oberfläche eines Zylinders, Kegels und einer Kugel an. Alle davon sind in unserer Tabelle. Auswendig lernen. Hier beginnt das Wissen der Stereometrie.

Manchmal ist es gut, eine Draufsicht zu zeichnen. Oder, wie in diesem Problem, von unten.

2. Wie oft ist das Volumen eines Kegels, der in der Nähe des Richtigen umschrieben wird? viereckige Pyramide, größer als das Volumen des in diese Pyramide eingeschriebenen Kegels?

Alles ist einfach – wir zeichnen eine Ansicht von unten. Wir sehen, dass der Radius des größeren Kreises um ein Vielfaches größer ist als der Radius des kleineren. Die Höhe beider Kegel ist gleich. Daher die Lautstärke größerer Kegel wird doppelt so viel sein.

Noch eins wichtiger Punkt. Denken Sie daran, dass in den Aufgaben von Teil B USE-Optionen In der Mathematik wird die Antwort als ganze Zahl oder endlich geschrieben Dezimalbruch. Daher sollten Sie in Ihrer Antwort in Teil B kein oder enthalten. Es ist auch nicht notwendig, den ungefähren Wert der Zahl zu ersetzen! Es muss reduziert werden! Aus diesem Grund wird die Aufgabe bei einigen Aufgaben beispielsweise wie folgt formuliert: „Finden Sie die Fläche der Mantelfläche des Zylinders geteilt durch“.

Und wo sonst werden die Formeln für Volumen und Oberfläche von Rotationskörpern verwendet? Natürlich in Aufgabe C2 (16). Wir werden Ihnen auch davon erzählen.