Jos I = f0g, niin F = R.

VII.6. Todiste Frobenius-lauseet

Jos I = f0g, niin F = R.

Jos mitta aliavaruudet I on yhtä kuin 1, niin F = C.

VII.6. Todiste Frobenius-lauseet

Jos I = f0g, niin F = R.

Jos mitta aliavaruudet I on yhtä suuri kuin 1, niin F = C. Olkoon mitta aliavaruudet I enemmän kuin 1.

VII.6. Todiste Frobenius-lauseet

Anna ulottuvuuden aliavaruudet I enemmän kuin 1.

tilat I. Olkoon i = p1 u. Sitten

VII.6. Todiste Frobenius-lauseet

Anna ulottuvuuden aliavaruudet I enemmän kuin 1.

Ota lineaarisesti riippumaton järjestelmä fu-vektorit; vg lineaarinen

tilat I. Anna minun =
i2 =

VII.6. Todiste Frobenius-lauseet

Anna ulottuvuuden aliavaruudet I enemmän kuin 1.

Otetaan lineaarisesti riippumaton vektorijärjestelmä fu; vg lineaarinen

tilat I. Anna minun =

u 2 (u2 ) =

i2 = p1 u 2 u

p 1 u 2 u =

VII.6. Todiste Frobenius-lauseet

Anna ulottuvuuden aliavaruudet I enemmän kuin 1.

Otetaan lineaarisesti riippumaton vektorijärjestelmä fu; vg lineaarinen

tilat I. Anna minun =

u 2 (u2 ) = 1:

i2 = p1 u 2 u

p 1 u 2 u =

VII.6. Todiste Frobenius-lauseet

Anna ulottuvuuden aliavaruudet I enemmän kuin 1.

Otetaan lineaarisesti riippumaton vektorijärjestelmä fu; vg lineaarinen

tilat I. Olkoon i = p1 u. Sitten i2 = 1:

By summaan i v = + x, missä 2 R, x 2 I.

VII.6. Todiste Frobenius-lauseet

Anna ulottuvuuden aliavaruudet I enemmän kuin 1.

Otetaan lineaarisesti riippumaton vektorijärjestelmä fu; vg lineaarinen

tilat I. Anna minun =										u. Sitten i2 = 1:
			Lemma elementtien hajoamisesta F:stä
			i v = + x, missä				2 R, x 2 I. Mukaan
					(i + v) 2 I , in		erityisesti (i + v)2< 0.
			(i+v)2

VII.6. Todiste Frobenius-lauseet

Anna ulottuvuuden aliavaruudet I enemmän kuin 1.

Otetaan lineaarisesti riippumaton vektorijärjestelmä fu; vg lineaarinen

tilat I. Anna minun =										u. Sitten i2 = 1:
			Lemma elementtien hajoamisesta F:stä
			i v = + x, missä				2 R, x 2 I. Mukaan
					(i + v) 2 I , in		erityisesti (i + v)2< 0.
			(i+v)2

VII.6. Todiste Frobenius-lauseet

Anna ulottuvuuden aliavaruudet I enemmän kuin 1.

Otetaan lineaarisesti riippumaton vektorijärjestelmä fu; vg lineaarinen

tilat I. Anna minun =

u. Sitten i2 = 1:

Lemma elementtien hajoamisesta F:stä

i v = + x, missä

2 R, x 2 I.

Mukaan

(i + v) 2 I ,

erityisesti (i + v)2< 0.

(i+v)2

(i+v)!

(i+v)2

VII.6. Todiste Frobenius-lauseet

Anna ulottuvuuden aliavaruudet I enemmän kuin 1.

Otetaan lineaarisesti riippumaton vektorijärjestelmä fu; vg lineaarinen

tilat I. Anna minun =

u. Sitten i2 = 1:

Lemma elementtien hajoamisesta F:stä

i v = + x, missä

2 R, x 2 I.

Mukaan

(i + v) 2 I ,

erityisesti (i + v)2< 0.

(i+v)2

(i+v)!

(i+v)2

VII.6. Todiste Frobenius-lauseet

Anna ulottuvuuden aliavaruudet I enemmän kuin 1.

Otetaan lineaarisesti riippumaton vektorijärjestelmä fu; vg lineaarinen

tilat I. Anna minun =								u. Sitten i2 = 1:
					hajoamisesta				elementtejä
				i v = + x, missä					2 R, x 2 I.
					(i + v). Meillä on j2 = 1,
		(i+v)2

VII.6. Todiste Frobenius-lauseet

Anna ulottuvuuden aliavaruudet I enemmän kuin 1.

Otetaan lineaarisesti riippumaton vektorijärjestelmä fu; vg lineaarinen

tilat I. Anna minun =

u. Sitten i2 = 1:

hajoamisesta

elementtejä

i v = + x, missä

2 R, x 2 I.

(i1 + v). Meillä on j2 = 1,

(i+v)2

i j = i

(i+v)2

VII.6. Todiste Frobenius-lauseet

Anna ulottuvuuden aliavaruudet I enemmän kuin 1.

Otetaan lineaarisesti riippumaton vektorijärjestelmä fu; vg lineaarinen

tilat I. Anna minun =

u. Sitten i2 = 1:

alkuaineiden hajoamisesta

i v = + x, missä

x 2 I.

(i1 + v). Meillä on j2 = 1,

(i+v)2

i j = i

(i+v)2

(i+v)2

VII.6. Todiste Frobenius-lauseet

Anna ulottuvuuden aliavaruudet I enemmän kuin 1.

Otetaan lineaarisesti riippumaton vektorijärjestelmä fu; vg lineaarinen

tilat I. Anna minun =

u. Sitten i2 = 1:

hajoamisesta

elementtejä

i v = + x, missä

x 2 I.

(i1 + v). Meillä on j2 = 1,

(i+v)2

i j = i

(i+v)2

(i+v)2

(i+v)2

VII.6. Todiste Frobenius-lauseet

Anna ulottuvuuden aliavaruudet I enemmän kuin 1.

Otetaan lineaarisesti riippumaton vektorijärjestelmä fu; vg lineaarinen

tilat I. Anna minun =

u. Sitten i2 = 1:

hajoamisesta

elementtejä

i v = + x, missä

x 2 I.

(i1 + v). Meillä on j2 = 1,

(i+v)2

i j = i

(i+v)2

(i+v)2

x 2 I :

(i+v)2

(i+v)2

VII.6. Todiste Frobenius-lauseet

Anna ulottuvuuden aliavaruudet I enemmän kuin 1.

Otetaan lineaarisesti riippumaton vektorijärjestelmä fu; vg lineaarinen

tilat I. Anna minun =								u. Sitten i2 = 1:
					hajoamisesta				elementtejä
				i v = + x, missä					2 R, x 2 I.

(i+v)2

tarkoittaa,,

VII.6. Todiste Frobenius-lauseet

Anna ulottuvuuden aliavaruudet I enemmän kuin 1.

Otetaan lineaarisesti riippumaton vektorijärjestelmä fu; vg lineaarinen

tilat I. Anna minun =								u. Sitten i2 = 1:
					hajoamisesta				elementtejä
				i v = + x, missä					2 R, x 2 I.
					(i + v). Meillä on j2 = 1, i j 2I :
		(i+v)2

I + j + i j ; ; ; 2 R

kvaternion ruumis.

VII.6. Todiste Frobenius-lauseet

Anna ulottuvuuden aliavaruudet I enemmän kuin 1.

Otetaan lineaarisesti riippumaton vektorijärjestelmä fu; vg lineaarinen

tilat I. Anna minun =								u. Sitten i2 = 1:
					hajoamisesta				elementtejä
				i v = + x, missä					2 R, x 2 I.
					(i + v). Meillä on j2 = 1, i j 2I :
		(i+v)2
Tästä syystä kvaternionien vinokentän upottamista F:ään koskevalla lemmalla

I + j + i j ; ; ; 2 R

kvaternion ruumis.

Eli jos lineaarinen avaruus Minulla on ulottuvuus 3, silloin F on kvaternionien kappale.

VII.6. Todiste Frobenius-lauseet

aliavaruudet I enemmän kuin 3.

VII.6. Todiste Frobenius-lauseet

On vielä harkittava tapausta, kun ulottuvuus aliavaruudet I

Otetaan lineaarisesti riippumaton

VII.6. Todiste Frobenius-lauseet

On vielä harkittava tapausta, kun ulottuvuus aliavaruudet I suurempi kuin 3. Olemme osoittaneet, että silloin F sisältää kvaternionien vinokentän.

Otetaan lineaarisesti riippumaton vektorijärjestelmä fi; j; k; mg, jossa i2 = j2 = k2 = 1, i j = j i = k, j k = k j = i, k i = i k = j.

							x; y; z 2 I :

VII.6. Todiste Frobenius-lauseet

On vielä harkittava tapausta, kun ulottuvuus aliavaruudet I suurempi kuin 3. Olemme osoittaneet, että silloin F sisältää kvaternionien vinokentän.

Otetaan lineaarisesti riippumaton vektorijärjestelmä fi; j; k; mg, jossa i2 = j2 = k2 = 1, i j = j i = k, j k = k j = i, k i = i k = j.

Lemman perusteella, joka koskee elementtien hajottamista F:stä summaksi

VII.6. Todiste Frobenius-lauseet

On vielä harkittava tapausta, kun ulottuvuus aliavaruudet I suurempi kuin 3. Olemme osoittaneet, että silloin F sisältää kvaternionien vinokentän.

Otetaan lineaarisesti riippumaton vektorijärjestelmä fi; j; k; mg, jossa i2 = j2 = k2 = 1, i j = j i = k, j k = k j = i, k i = i k = j.

Lemman perusteella, joka koskee elementtien hajottamista F:stä summaksi

							x; y; z 2 I :

Nojalla aliavaruuden lemmat I t = m + i + j + k 2I. From lineaarinen riippumattomuus järjestelmät vektorit fi; j; k; mg seuraava-

puhaltaa, että t 6 = 0.

VII.6. Todiste Frobenius-lauseet

On vielä harkittava tapausta, kun ulottuvuus aliavaruudet I suurempi kuin 3. Olemme osoittaneet, että silloin F sisältää kvaternionien vinokentän.

Otetaan lineaarisesti riippumaton vektorijärjestelmä fi; j; k; mg, jossa i2 = j2 = k2 = 1, i j = j i = k, j k = k j = i, k i = i k = j.

Lemman perusteella, joka koskee elementtien hajottamista F:stä summaksi

							x; y; z 2 I :

aliavaruuden lemma I

VII.6. Todiste Frobenius-lauseet

On vielä harkittava tapausta, kun ulottuvuus aliavaruudet I suurempi kuin 3. Olemme osoittaneet, että silloin F sisältää kvaternionien vinokentän.

Otetaan lineaarisesti riippumaton vektorijärjestelmä fi; j; k; mg, jossa i2 = j2 = k2 = 1, i j = j i = k, j k = k j = i, k i = i k = j.

Lemman perusteella, joka koskee elementtien hajottamista F:stä summaksi

							x; y; z 2 I :

On todistettu, että 0 6= t = m + i + j + k 2 I . Tekijä: aliavaruuden lemma I

i t = i m + k j =

VII.6. Todiste Frobenius-lauseet

On vielä harkittava tapausta, kun ulottuvuus aliavaruudet I suurempi kuin 3. Olemme osoittaneet, että silloin F sisältää kvaternionien vinokentän.

Otetaan lineaarisesti riippumaton vektorijärjestelmä fi; j; k; mg, jossa i2 = j2 = k2 = 1, i j = j i = k, j k = k j = i, k i = i k = j.

Lemman perusteella, joka koskee elementtien hajottamista F:stä summaksi

							x; y; z 2 I :

On todistettu, että 0 6= t = m + i + j + k 2 I . Tekijä: aliavaruuden lemma I

i t = i m + k j = x + k j

VII.6. Todiste Frobenius-lauseet

On vielä harkittava tapausta, kun ulottuvuus aliavaruudet I suurempi kuin 3. Olemme osoittaneet, että silloin F sisältää kvaternionien vinokentän.

Otetaan lineaarisesti riippumaton vektorijärjestelmä fi; j; k; mg, jossa i2 = j2 = k2 = 1, i j = j i = k, j k = k j = i, k i = i k = j.

Lemman perusteella, joka koskee elementtien hajottamista F:stä summaksi

							x; y; z 2 I :

On todistettu, että 0 6= t = m + i + j + k 2 I . Tekijä: aliavaruuden lemma I

i t = i m + k j = x + k j 2 I:

VII.6. Todiste Frobenius-lauseet

On vielä harkittava tapausta, kun ulottuvuus aliavaruudet I suurempi kuin 3. Olemme osoittaneet, että silloin F sisältää kvaternionien vinokentän.

Otetaan lineaarisesti riippumaton vektorijärjestelmä fi; j; k; mg, jossa i2 = j2 = k2 = 1, i j = j i = k, j k = k j = i, k i = i k = j.

Lemman perusteella, joka koskee elementtien hajottamista F:stä summaksi

Vastaavasti voimme todistaa, että j t 2 I, k t 2 I.

VII.6. Todiste Frobenius-lauseet

On vielä harkittava tapausta, kun ulottuvuus aliavaruudet I suurempi kuin 3. Olemme osoittaneet, että silloin F sisältää kvaternionien vinokentän.

Otetaan lineaarisesti riippumaton vektorijärjestelmä fi; j; k; mg, jossa i2 = j2 = k2 = 1, i j = j i = k, j k = k j = i, k i = i k = j.

Lemman perusteella, joka koskee elementtien hajottamista F:stä summaksi

											x; y; z 2 I :
Todisti sen			0 6 = t = m + i + j + k 2 I. Polemma subpro-
tila I			i t 2 I, j t 2 I,
Laitamme n =

VII.6. Todiste Frobenius-lauseet

On vielä harkittava tapausta, kun ulottuvuus aliavaruudet I suurempi kuin 3. Olemme osoittaneet, että silloin F sisältää kvaternionien vinokentän.

Otetaan lineaarisesti riippumaton vektorijärjestelmä fi; j; k; mg, jossa i2 = j2 = k2 = 1, i j = j i = k, j k = k j = i, k i = i k = j.

VII.6. Todiste Frobenius-lauseet

On vielä harkittava tapausta, kun ulottuvuus aliavaruudet I suurempi kuin 3. Olemme osoittaneet, että silloin F sisältää kvaternionien vinokentän.

Otetaan lineaarisesti riippumaton vektorijärjestelmä fi; j; k; mg, jossa i2 = j2 = k2 = 1, i j = j i = k, j k = k j = i, k i = i k = j.

Olemme löytäneet n 2 I siten, että n2 = 1, 0 6= i n 2 I, 0 6= j n 2 I,

Lemman mukaan kvaternionien vinokentän upottamisesta F:ään

VII.6. Todiste Frobenius-lauseet

On vielä harkittava tapausta, kun ulottuvuus aliavaruudet I suurempi kuin 3. Olemme osoittaneet, että silloin F sisältää kvaternionien vinokentän.

Otetaan lineaarisesti riippumaton vektorijärjestelmä fi; j; k; mg, jossa i2 = j2 = k2 = 1, i j = j i = k, j k = k j = i, k i = i k = j.

Olemme löytäneet n 2 I siten, että n2 = 1, 0 6= i n 2 I, 0 6= j n 2 I,

Lemman mukaan kvaternionien vinokentän upottamisesta F:ään

i n = ni; jn = nj; k n = nk:

VII.6. Todiste Frobenius-lauseet

On vielä harkittava tapausta, kun ulottuvuus aliavaruudet I suurempi kuin 3. Olemme osoittaneet, että silloin F sisältää kvaternionien vinokentän.

Otetaan lineaarisesti riippumaton vektorijärjestelmä fi; j; k; mg, jossa i2 = j2 = k2 = 1, i j = j i = k, j k = k j = i, k i = i k = j.

Olemme löytäneet n 2 I siten, että n2 = 1, 0 6= i n 2 I, 0 6= j n 2 I,

Lemman mukaan kvaternionien vinokentän upottamisesta F:ään

i n = ni; jn = nj; k n = nk:

N i j = i n j =

VII.6. Todiste Frobenius-lauseet

On vielä harkittava tapausta, kun ulottuvuus aliavaruudet I suurempi kuin 3. Olemme osoittaneet, että silloin F sisältää kvaternionien vinokentän.

Otetaan lineaarisesti riippumaton vektorijärjestelmä fi; j; k; mg, jossa i2 = j2 = k2 = 1, i j = j i = k, j k = k j = i, k i = i k = j.

Olemme löytäneet n 2 I siten, että n2 = 1, 0 6= i n 2 I, 0 6= j n 2 I,

Lemman mukaan kvaternionien vinokentän upottamisesta F:ään

i n = ni; jn = nj; k n = nk:

N k = n i j = i n j =

VII.6. Todiste Frobenius-lauseet

On vielä harkittava tapausta, kun ulottuvuus aliavaruudet I suurempi kuin 3. Olemme osoittaneet, että silloin F sisältää kvaternionien vinokentän.

Otetaan lineaarisesti riippumaton vektorijärjestelmä fi; j; k; mg, jossa i2 = j2 = k2 = 1, i j = j i = k, j k = k j = i, k i = i k = j.

Olemme löytäneet n 2 I siten, että n2 = 1, 0 6= i n 2 I, 0 6= j n 2 I,

Lemman mukaan kvaternionien vinokentän upottamisesta F:ään

i n = ni; jn = nj; k n = n k: k n = n k = n i j = i n j =

VII.6. Todiste Frobenius-lauseet

On vielä harkittava tapausta, kun ulottuvuus aliavaruudet I suurempi kuin 3. Olemme osoittaneet, että silloin F sisältää kvaternionien vinokentän.

Otetaan lineaarisesti riippumaton vektorijärjestelmä fi; j; k; mg, jossa i2 = j2 = k2 = 1, i j = j i = k, j k = k j = i, k i = i k = j.

Olemme löytäneet n 2 I siten, että n2 = 1, 0 6= i n 2 I, 0 6= j n 2 I,

Lemman mukaan kvaternionien vinokentän upottamisesta F:ään

i n = ni; jn = nj; k n = nk:

k n = n k = n i j = i n j = i (j n) =

VII.6. Todiste Frobenius-lauseet

On vielä harkittava tapausta, kun ulottuvuus aliavaruudet I suurempi kuin 3. Olemme osoittaneet, että silloin F sisältää kvaternionien vinokentän.

Otetaan lineaarisesti riippumaton vektorijärjestelmä fi; j; k; mg, jossa i2 = j2 = k2 = 1, i j = j i = k, j k = k j = i, k i = i k = j.

Olemme löytäneet n 2 I siten, että n2 = 1, 0 6= i n 2 I, 0 6= j n 2 I,

Lemman mukaan kvaternionien vinokentän upottamisesta F:ään

i n = ni; jn = nj; k n = nk:

VII.6. Todiste Frobenius-lauseet

On vielä harkittava tapausta, kun ulottuvuus aliavaruudet I suurempi kuin 3. Olemme osoittaneet, että silloin F sisältää kvaternionien vinokentän.

Otetaan lineaarisesti riippumaton vektorijärjestelmä fi; j; k; mg, jossa i2 = j2 = k2 = 1, i j = j i = k, j k = k j = i, k i = i k = j.

Olemme löytäneet n 2 I siten, että n2 = 1, 0 6= i n 2 I, 0 6= j n 2 I,

Lemman mukaan kvaternionien vinokentän upottamisesta F:ään

i n = ni; jn = nj; k n = nk:

k n = n k = n i j = i n j = i (j n) = k n:

Siksi 2k n = 0, ristiriita.

VII. Frobenius-lause

Lause 2. Olkoon F kappale , ja R F ,

9i1; i2; : : : ; sisään		90;1;2; : : : ;n 2 R
z = 0 +1 i1 +2 i2 + : : : +n in :

Silloin F on joko R tai C tai kvaternionien runko.

Lause on todistettu.

Huomio!

sähköposti: [sähköposti suojattu]; [sähköposti suojattu]

verkkosivustot: http://melnikov.k66.ru; http://melnikov.web.ur.ru

Lause. Mikä tahansa vaihtoehtoinen lineaarinen algebra kentän päällä todellisia lukuja jako on normalisoitu lineaarialgebra.

Olkoon vaihtoehtoinen lineaarinen jakoalgebra reaalilukujen R kentän yli. Esitetään konjugaatiooperaatio A:ssa seuraavasti: jos A:n alkio a on verrannollinen 1:een, niin a = a; jos a ei ole verrannollinen 1:een, niin se sisältyy kompleksiseen osabalgebraan. Tässä osaalgebrassa alkiolle a on konjugaattialkio a, jonka otamme algebran elementtikonjugaatiksi a:han.

Se seuraa suoraan a:n määritelmästä, että = a ja myös =ka, missä k R.

Olkoon a A ei verrannollinen 1:een. Tarkastellaan kvaternionalibalgebraa (K, +, . R , .), joka sisältää a. Tässä aligebrassa A:lle on myös konjugaattialkio a. Osoitetaan, että a on sama kuin a.

Elementit a ja a täyttävät kompleksin algebran konjugaatteina seuraavat ehdot:

a+a = 2a* 1, missä a R, (14)

a* a = d*1, missä d R. (15)

Alkiot a ja a täyttävät kvaternionalgebran konjugaatteina seuraavat ehdot:

a + a \u003d 2a 1 * 1, jossa a 1 R, (14 ")

a * a = d 1 *1, missä d 1 R. (15 /)

Vähennä (14) ja (15) (14 /) ja (15"). Sitten:

a - a = 2(a - a1)*1.

a (a - a) = (d - d 1)* 1 2(a - a 1)a*1.= (d - d 1)* 1.

a(a - a), sitten a = *1,

nuo. ja on verrannollinen 1:een, mikä on ristiriidassa oletuksen kanssa.

Tästä seuraa, että elementtikonjugaatti a:han on sama riippumatta siitä, pidetäänkö a:ta kompleksisen osabalgebran elementtinä vai algebran kvaternionalibalgebran elementtinä.

Vastaavasti |a| 2 = aa sekä kompleksisen osabalgebran että algebran kvaternionalibalgebran tapauksessa, joten alkion a A moduuli ei riipu siitä, pidetäänkö sitä kompleksisen vai kvaternionalibalgebran elementtinä algebrasta.

Sitten minkä tahansa a, b A:n yhtäläisyydet ovat tosia:

A+ ja = a *. (16)

Jos a ja b kuuluvat samaan algebran kompleksialigebraan, niin yhtäläisyydet (16) ovat ominaisuuksia, konjugaatioita tässä aligebrassa. Jos ne kuuluvat erilaisiin monimutkaisiin osabalgebroihin, ne ovat voimassa konjugaatioominaisuuksina algebran kvaternisessa osabalgebrassa.

= b:stä ja toisesta yhtälöstä (16) seuraa, että = ba, mistä

a + ba = c* 1, missä c R.

Kohdassa (A, +, . R , .) määritellään skalaaritulo (a, b)

a + ba = 2(a, b) * 1.

Osoitetaan, että (a, b) täyttää kaikki ominaisuudet pistetuote:

1) (a, a) > 0 a? 0 ja (0, 0) = 0.

Todellakin,

(a, a) * 1 = (aa + aa) = aa = |a|* 1,

ja kompleksiluvun moduuli, kuten kvaternionin moduuli, on ehdottomasti positiivinen a:lle? 0 ja on yhtä kuin 0, kun a = 0.

2) (a, b) = (b. a), koska

a + ba = 2(a, b)* 1, ba + a = 2(b, a)* 1,

a + ba = ba + a, sitten (a, b) = (b, a).

3) (a, kb) = k(a, b) k R:lle.

Todella,

(a, kb) = (a() + kba) = (a(k) + kba) = k(a + ba) = k(a, b).

4) (a, b 1 + b 2) = (a, b 1) + (a, b 2)

seuraa skalaaritulon määritelmästä ja ensimmäisestä yhtälöstä kohdassa (16).

Alkaen (a, a) = |a| 2 1 joka = |a|, eli alkion a A normi on sama kuin kompleksiluvun ja kvaternionin moduuli a.

Koska mitkä tahansa kaksi algebran alkiota a ja b kuuluvat yhteen kompleksiseen tai yhteen kvaternionalibalgebraan, niin

|ab| 2 = |a| 2 |b| 2 (ab, ab) = (a, a) (b, b).

Siksi kaikki (a, b):n sisätuotteen ominaisuudet täyttyvät. Tämä tarkoittaa, että algebra on normaali lineaarinen algebra.

Yleistetty Frobenius-lause. Mikä tahansa vaihtoehtoinen lineaarinen algebra reaalilukukentässä, jossa on jako ja yksikkö, on isomorfinen jollekin neljästä algebrasta: reaalilukujen kenttä, kompleksilukukenttä, kvaternionien runko tai oktaavien algebra.

Koska, kuten on todistettu edellinen lause Jos vaihtoehtoinen lineaarinen algebra reaalilukujen kentän yli, jossa on jako ja yksikkö, on normalisoitu lineaarinen algebra, ja jälkimmäinen on Hurwitzin lauseen mukaan isomorfinen joko reaalilukujen kentän tai kompleksilukujen kentän kanssa tai kvaternionien vinokenttään tai oktaavien algebraan, niin tästä seuraa lauseen väite.

:

Tietosanakirja YouTube

• 1 / 5

  Antaa olla elin, joka sisältää kehon aliruumiina R (\displaystyle \mathbb (R) ) reaalilukuja, ja kaksi ehtoa täyttyy:

  Toisin sanoen, L (\displaystyle \mathbb (L) ) on äärellisulotteinen jakoalgebra reaalilukukentän yli.

  Frobenius-lause sanoo, että mikä tahansa sellainen kappale L (\displaystyle \mathbb (L) ):

  Huomaa, että Frobenius-lause koskee vain äärellisulotteisia laajennuksia R (\displaystyle \mathbb (R) ). Se ei esimerkiksi kata epästandardin analyysin hyperreaalilukujen alaa, joka on myös laajennus R (\displaystyle \mathbb (R) ), mutta ei äärellisulotteinen. Toinen esimerkki on rationaalisten funktioiden algebra.

  Seuraukset ja huomautukset

  Kolme viimeistä väitettä muodostavat ns yleistetty lause Frobenius.

  Jakolalgebrat kompleksilukujen kentällä

  Dimensioalgebra n kompleksilukujen kentän yli on ulottuvuuden algebra 2n edellä R (\displaystyle \mathbb (R) ). Kvaternionikappale ei ole kentän algebra C (\displaystyle \mathbb (C) ), keskustasta lähtien H (\displaystyle \mathbb (H) ) on yksiulotteinen todellinen tila. Siksi vain äärellisulotteinen jakoalgebra yli C (\displaystyle \mathbb (C) ) on algebra C (\displaystyle \mathbb (C) ).

  Frobeniuksen hypoteesi

  Lause sisältää assosiatiivisuusehdon. Mitä tapahtuu, jos kieltäydyt tästä ehdosta? Frobenius-oletus väittää, että jopa ilman assosiatiivisuusehtoa n:lle, joka on eri kuin 1, 2, 4, 8, todellisuudessa lineaarinen avaruus R n jakolalgebran rakennetta ei voi määritellä. Frobeniuksen hypoteesi todistettiin 60-luvulla. XX vuosisadalla.

  Jos klo n>1 avaruudessa R n määritetään bilineaarinen kertolasku ilman nollajakajia, sitten pallolla S n-1 on olemassa n-1 lineaarisesti riippumattomat vektorikentät . Adamsin numerosta saamista tuloksista vektorikentät pallolla Tästä seuraa, että tämä on mahdollista vain palloille S 1 , S 3 , S 7. Tämä todistaa Frobenius-oletuksen.

  Katso myös

  Kirjallisuus

  • Bakhtrin Yu. A. Modernin algebran perusrakenteet. - M.: Nauka, 1990. - 320 s.
  • Kurosh A. G. Luentoja yleisalgebrasta. 2. painos - M.: Nauka, 1973. - 400 s.
  • Pontryagin L. S. Numeroiden yleistykset. - M.: Nauka, 1986. - 120 s. - (Kvanttikirjasto, numero 54).

  Laskenta sarjat
  Oikeita lukuja ja niiden laajennukset
  Laajennustyökalut numerojärjestelmät
  Numeroiden hierarkia	− 1 , 0 , 1 , … (\displaystyle -1,\;0,\;1,\;\ldots )

  On selvää, että jos, niin varten. Lisäksi osoitamme, että riittävän suurelle p:lle

  Lemma nro 1. Jos matriisi on ei-negatiivinen ja redusoitumaton, niin

  Todiste:

  Jos otamme mielivaltaisen vektorin ja, niin. Ja annetaan vektorin tapahtua, on selvää, että Z:llä on vähintään sama määrä nolla positiivisia alkioita kuin y. Todellakin, jos oletetaan, että Z:lla on vähemmän nollakomponentteja, niin merkitsemme sitten ja jakamalla matriisin A lohkoiksi seuraavasti

  

  Meillä tulee olemaan

  

  Ottaen huomioon sen, saamme sen, mikä on ristiriidassa matriisin pelkistämättömyyden kanssa

  Toistamme seuraavan vektorin päättelyn ja niin edelleen. Tuloksena saamme sen jollekin nollasta poikkeavalle vektorille y

  

  Harkitse nollasta poikkeavaa redusoitumatonta matriisia A todellinen toiminto r(x) määritelty nollasta poikkeaville vektoreille seuraavasti: , (Ax) i - i-koordinaatti vektori ah

  Määritelmästä seuraa, että ja lisäksi, r(x) on pienin arvo, mitä

  On selvää, että r(x) on invariantti x:n korvaamisen suhteen, joten seuraavassa voidaan tarkastella suljettua joukkoa, kuten esim.

  

  Kuitenkin r(x):llä voi olla epäjatkuvuuksia pisteissä, joissa x-koordinaatista tulee 0, joten harkitse vektoreiden joukkoa ja merkitse. Lemmalla 1 jokainen N:n vektori on positiivinen, ja siksi

  Merkitse suurin määrä, mille, . - matriisin A spektrisäde. Jos Voidaan osoittaa, että on olemassa sellainen vektori y, että

  Kommentti. L:ssä voi olla muita vektoreita, joille r(x) saa arvon r, joten mitä tahansa tällaista vektoria kutsutaan matriisin A äärimmäiseksi (Az=rz)

  Kiinnostus lukua r kohtaan selittyy seuraavalla tuloksella

  Lemma nro 2. Jos matriisi on ei-negatiivinen ja redusoitumaton, niin luku on matriisin A ominaisarvo, lisäksi jokainen A:n äärimmäinen vektori on positiivinen ja oikea ominaisvektori A:lle, joka vastaa ominaisarvoa r

  Päätulos on Frobenius-Peronin lause jatkuville matriiseille

  Frobenius-Peronin lause. Jos matriisi on ei-negatiivinen ja redusoitumaton, niin:

  A:lla on positiivinen ominaisarvo, joka on yhtä suuri kuin matriisin A spektrisäde;

  on positiivinen oikeus ominaisvektori joka vastaa ominaisarvoa r.

  ominaisarvon algebrallinen monikertaisuus on 1.

  Perónin lause (seuraus). Positiivista neliömatriisi A:lla on positiivinen ja todellinen ominaisarvo r, jolla on algebrallinen monikertaisuus 1 ja ylittää kaikkien muiden moduulit ominaisarvot matriisi A. Tämä r vastaa positiivista ominaisvektoria

  Frobenius-Peron-lauseen avulla voidaan löytää matriisin suurin reaaliarvo ilman matriisin ominaispolynomia.

  Seuraukset ja huomautukset

  • Tämä lause liittyy läheisesti Hurwitzin lauseeseen normaaleista reaalialgebroista. Normoidut jakoalgebrat - vain $\backslash mathbb\; R,\; \backslash mathbb\; C,\; \backslash mathbb\; H$ ja (ei-assosiatiivinen) Cayley-lukujen algebra.
  • Kun laajennamme kompleksilukujärjestelmää, menetämme väistämättä joitakin aritmeettiset ominaisuudet: kommutatiivisuus (kvaternionit), assosiaatio (Cayley-algebra) jne.
  • Kvaternionijärjestelmälle ei ole analogia, jossa on kaksi (eikä kolme) kvaternioniyksikköä.
  • kentät $\backslash mathbb\; R$ ja $\backslash mathbb\; C$ ovat ainoat äärellisulotteiset todelliset assosiatiiviset ja kommutatiiviset algebrat, joissa ei ole nollajakajia.
  • Quaternion Body $\backslash mathbb\; H$ on ainoa äärellisulotteinen todellinen assosiatiivinen mutta ei-kommutatiivinen algebra ilman nollajakajia.
  • Cayley-algebra on ainoa äärellisulotteinen todellinen vaihtoehtoinen ei-assosiatiivinen algebra, jossa ei ole nollajakajia.

  Kolme viimeistä väitettä muodostavat ns yleistetty Frobenius-lause.

  Jakolalgebrat kompleksilukujen kentällä

  Dimensioalgebra n kentän yli $\backslash mathbb\; C$ kompleksiluvut on ulottuvuuden algebra 2n edellä $\backslash mathbb\; R$. Quaternion Body $\backslash mathbb\; H$ ei ole kentän yläpuolella oleva algebra $\backslash mathbb\; C$, keskustasta lähtien $\backslash mathbb\; H$ on yksiulotteinen todellinen tila. Siksi vain äärellisulotteinen jakoalgebra yli $\backslash mathbb\; C$ on algebra $\backslash mathbb\; C$.

  Frobeniuksen hypoteesi

  Lause sisältää assosiatiivisuusehdon. Mitä tapahtuu, jos kieltäydyt tästä ehdosta? Frobenius-oletus väittää, että jopa ilman assosiatiivisuusehtoa n:lle, joka on eri kuin 1, 2, 4, 8, todellisessa lineaarisessa avaruudessa R n jakolalgebran rakennetta ei voi määritellä. Frobeniuksen hypoteesi todistettiin 60-luvulla. XX vuosisadalla.

  Jos klo n>1 avaruudessa R n määritetään bilineaarinen kertolasku ilman nollajakajia, sitten pallolla S n-1 on olemassa n-1 lineaarisesti riippumattomat vektorikentät . Adamsin numerosta saamista tuloksista vektorikentät pallolla Tästä seuraa, että tämä on mahdollista vain palloille S 1 , S 3 , S 7. Tämä todistaa Frobenius-oletuksen.

  Katso myös

  Kirjoita arvio artikkelista "Frobeniuksen lause"

  Kirjallisuus

  • Bakhtrin Yu. A. Modernin algebran perusrakenteet. - M .: Nauka, 1990. - 320 s.
  • Kurosh A.G.. - M .: Nauka, 1973. - 400 s.
  • Pontryagin L.S.. - M .: Nauka, 1986. - 120 s. - (Kvanttikirjasto, numero 54).

  Laskenta sarjat

  ) Periodit Laskettavissa oleva aritmeettinen |otsikko2= Reaaliluvut
  ja niiden laajennukset |header3= Laajennustyökalut
  numerojärjestelmät |otsikko4= Lukujen hierarkia |lista4=

  $-1,\backslash ;0,\backslash ;1,\backslash ;\backslash lpistettä$ Kokonaislukuja $-1,\backslash ;1,\backslash ;\backslash frac(1)(2),\backslash ;\backslash ;0(,)12,\backslash frac(2)(3),\backslash ;\backslash ldots$ Rationaaliset luvut $-1,\backslash ;1,\backslash ;\backslash ;0(,)12,\backslash frac(1)(2),\backslash ;\backslash pi,\backslash ;\backslash sqrt(2),\backslash ;\backslash ldots$ Oikeita lukuja

  $-1,\backslash ;\backslash frac(1)(2),\backslash ;0(,)12,\backslash ;\backslash pi,\backslash ;3i+2,\backslash ;e^(i\backslash pi/3),\backslash ;\backslash ldots$

  Monimutkaiset luvut

  $1,\backslash ;i,\backslash ;j,\backslash ;k,\backslash ;2i\; +\; \backslash pi\; j-\backslash frac(1)(2)k,\backslash ;\backslash pisteet$ Quaternions $1,\backslash ;i,\backslash ;j,\backslash ;k,\backslash ;l,\backslash ;m,\backslash ;n,\backslash ;o,\backslash ;2\; -\; 5l\; +\; \backslash frac(\backslash pi)(3)m,\backslash ;\backslash \; pisteitä$ Oktonions $1,\backslash ;e\_1,\backslash ;e\_2,\backslash ;\backslash dots,\backslash ;e\_(15),\backslash ;7e\_2\; +\; \backslash frac(2)(5)e\_7\; -\; \backslash frac(1)(3)e\_(15),\backslash \; ;\backslash pisteet$ sedenions |otsikko5= Muut
  numerojärjestelmät

  |list5=Kardinaaliluvut Järjestysluvut (transfinite, ordinaal) p-adic Yliluonnolliset luvut Kaikki on hajallaan. Setä nosti Natashan hevoselta ja vei hänet kädestä pitäen ylös kuistin jähmeitä lautaportaita pitkin. Talossa, ei rapattu, hirsiseinillä, se ei ollut kovin puhdasta - ei ollut selvää, että asuvien ihmisten tavoitteena oli, että ei ollut tahroja, mutta ei havaittavaa laiminlyöntiä.
  Käytävä tuoksui tuoreilta omenilta, ja suden ja ketun nahat roikkuivat. Setä johdatti vieraansa eteisen läpi pieneen huoneeseen, jossa oli taitettava pöytä ja punaiset tuolit, sitten olohuoneeseen, jossa oli koivu pyöreä pöytä ja sohva, sitten toimistoon, jossa on repaleinen sohva, kulunut matto ja muotokuvia omistajan isästä ja äidistä sekä hänestä sotilaspukuissa. Toimistossa oli voimakas tupakan ja koirien haju. Toimistossa setä pyysi vieraita istumaan alas ja viihtymään kotonaan, ja hän lähti. Nuhteleva selkä puhdistamattomana meni toimistoon ja makasi sohvalle puhdistaen itsensä kielellään ja hampaillaan. Toimistosta avautui käytävä, josta näkyi näytöt, joissa oli repeytynyt verho. Ruutujen takaa kuului naisten naurua ja kuiskauksia. Natasha, Nikolai ja Petya riisuutuivat ja istuivat sohvalle. Petya nojasi hänen käteensä ja nukahti välittömästi; Natasha ja Nikolai istuivat hiljaa. Heidän kasvonsa olivat tulessa, he olivat hyvin nälkäisiä ja hyvin iloisia. He katsoivat toisiaan (metsästyksen jälkeen huoneessa Nikolai ei enää pitänyt tarpeellisena näyttää miesten ylivoimaisuutta siskolleen); Natasha silmää silmää veljelleen, ja kumpikaan ei pidätellyt kauan ja nauroi ääneen, koska ei ehtinyt keksiä tekosyytä naurulleen.
  Hieman myöhemmin setäni tuli sisään kasakkatakissa, siniset housut ja pienet saappaat yllään. Ja Natasha tunsi, että juuri tämä puku, jossa hän näki setänsä Otradnojessa hämmästyneenä ja pilkanneena, oli todellinen puku, joka ei ollut huonompi kuin mekkotakit ja frakit. Setä oli myös iloinen; Hän ei ainoastaan ​​loukkaantunut veljensä ja sisarensa naurusta (hänen päähän ei voinut tulla, että he voisivat nauraa hänen elämälleen), vaan hän itsekin liittyi heidän aiheettomaan nauruunsa.
  "Tällainen nuori kreivitär on - puhdas marssi - en ole nähnyt toista vastaavaa!" - hän sanoi antaen yhden piipun pitkällä chiboukilla Rostoville ja laskien toisen lyhyen, leikatun chiboukin tuttu ele kolmen sormen välissä.
  - Lähdin päiväksi, vaikka mies oli ajoissa ja kuin mitään ei olisi tapahtunut!
  Pian sedän jälkeen hän avasi oven, jalkojensa äänen perusteella ilmeisesti paljasjalkainen tyttö, ja ovesta tuli iso tarjotin käsissään lihava, punertava, kaunis nainen 40-vuotias, kaksoisleuka ja täyteläiset, punertavat huulet. Hän, vieraanvarainen edustavuus ja houkuttelevuus silmissään ja jokaisessa liikkeessään, katsoi ympärilleen vieraita ja kumarsi kunnioittavasti heitä kohtaan hellästi hymyillen. Huolimatta tavallista suuremmasta paksuudesta, joka pakotti hänet nostamaan rintaansa ja vatsaansa ja pitämään päätään taaksepäin, tämä nainen (sedän taloudenhoitaja) astui erittäin kevyesti. Hän käveli pöydän luo, asetti tarjottimen alas ja otti näppärästi pois valkoiset, pulleat kätensä ja järjesti pullot, välipalat ja herkut pöydälle. Saatuaan tämän valmiiksi hän siirtyi pois ja seisoi ovella hymy huulillaan. "Tässä hän on ja minä! Ymmärrätkö nyt setäsi?" hänen ulkonäkönsä kertoi Rostoville. Kuinka olla ymmärtämättä: ei vain Rostov, vaan myös Natasha ymmärsivät setä ja kulmien rypistyneiden kulmakarvojen merkityksen ja iloisen, itsetyytyväisen hymyn, joka rypisti hänen huuliaan hieman Anisya Fjodorovnan tullessa sisään. Tarjottimella oli yrttiläinen, liköörejä, sieniä, mustajauhokakkuja juragin päällä, hunajakennoa, keitettyä ja kuohuvaa hunajaa, omenoita, raakoja ja paahdettuja pähkinöitä sekä pähkinöitä hunajassa. Sitten Anisya Fjodorovna toi hilloa hunajalla ja sokerilla, ja kinkkua ja kanaa vastapaistettuna.
  Kaikki tämä oli Anisya Fjodorovnan kotitaloutta, kokoelmaa ja hilloa. Kaikki tämä haisi ja resonoi, ja siinä oli Anisya Fjodorovnan makua. Kaikki resonoi mehukkuudesta, puhtaudesta, valkoisuudesta ja miellyttävästä hymystä.
  "Syökää, nuori rouva kreivitär", hän sanoi jatkuvasti ja antoi Natashalle yhden asian ja sitten toisen. Natasha söi kaiken, ja hänestä tuntui, että hän ei ollut koskaan nähnyt tai syönyt sellaisia ​​kakkuja yuragan päällä, sellaisella kimpulla hilloja, pähkinöitä hunajalla ja sellaista kanaa. Anisya Fjodorovna meni ulos. Rostov ja hänen setänsä pesevät päivällisen kirsikkaliköörillä ja puhuivat menneestä ja tulevasta metsästyksestä, Rugaista ja Ilaginsky-koirista. Natasha kimaltelevin silmin istui suoraan sohvalla ja kuunteli heitä. Useita kertoja hän yritti herättää Petyan antamaan hänelle syötävää, mutta hän sanoi jotain käsittämätöntä, ilmeisesti ei herännyt. Natasha oli sydämeltään niin iloinen, niin onnellinen tässä hänelle uudessa ympäristössä, että hän pelkäsi vain, että droshky tulisi hänen luokseen liian aikaisin. Satunnaisen hiljaisuuden jälkeen, kuten lähes aina tapahtuu ihmisille, jotka vastaanottavat tuttavansa ensimmäistä kertaa taloonsa, setä vastasi vieraidensa ajatukseen:
  "Elän siis elämääni... Jos kuolet, se on puhdas marssi - mitään ei jää jäljelle." Mikä synti sitten!
  Setä kasvot olivat hyvin merkittävät ja jopa kauniit, kun hän sanoi tämän. Samaan aikaan Rostov muisti tahattomasti kaiken, mitä hän oli kuullut hyvää isältään ja naapureistaan ​​setästään. Setälläni oli maine koko maakunnan naapurustossa jaloimmana ja välinpitämättömimpänä eksentrinä. Hänet kutsuttiin tuomitsemaan perheasioita, hänet tehtiin toimeenpanijaksi, salaisuudet luotettiin hänelle, hänet valittiin tuomariksi ja muihin tehtäviin, mutta julkinen palvelu hän kieltäytyi itsepäisesti, viettäen syksyn ja kevään pelloilla ruskealla ruunallaan, istuen talvella kotona, kesällä makaamalla umpeenkasvuisessa puutarhassaan.