Videokurssi "Get an A" sisältää kaikki tarvitsemasi aiheet onnistunut toimitus KÄYTÄ matematiikassa 60-65 pisteelle. Täysin kaikki tehtävät 1-13 profiilikoe matematiikka. Soveltuu myös matematiikan peruskäytön suorittamiseen. Jos haluat läpäistä kokeen 90-100 pisteellä, sinun tulee ratkaista osa 1 30 minuutissa ja ilman virheitä!
Valmennuskurssi tenttiin luokille 10-11 sekä opettajille. Kaikki mitä tarvitset matematiikan tentin osan 1 (ensimmäiset 12 tehtävää) ja tehtävän 13 (trigonometria) ratkaisemiseen. Ja tämä on yli 70 pistettä yhtenäisestä valtionkokeesta, eikä sadan pisteen opiskelija eikä humanisti tule toimeen ilman niitä.
Kaikki tarvittava teoria. Nopeita tapoja ratkaisuja, ansoja ja KÄYTÄ salaisuuksia. Kaikki osan 1 asiaankuuluvat tehtävät FIPI-pankin tehtävistä on analysoitu. Kurssi täyttää täysin USE-2018:n vaatimukset.
Kurssi sisältää 5 suuria aiheita, 2,5 tuntia kukin. Jokainen aihe on annettu tyhjästä, yksinkertaisesti ja selkeästi.
Satoja koetehtäviä. Tekstitehtävät ja todennäköisyysteoria. Yksinkertaiset ja helposti muistettavat ongelmanratkaisualgoritmit. Geometria. Teoria, viitemateriaali, analyysi kaikentyyppisistä USE-tehtävistä. Stereometria. Hankalia ratkaisuja, hyödyllisiä huijauslehtiä, kehitystyötä tilallinen mielikuvitus. Trigonometria tyhjästä - tehtävään 13. Ymmärtäminen tukahdutuksen sijaan. Visuaalinen selitys monimutkaisia käsitteitä. Algebra. Juuret, potenssit ja logaritmit, funktio ja derivaatta. Pohja ratkaisulle haastavia tehtäviä 2 osaa kokeesta.
Lause
Jos suora, niin ei lentokoneeseen kuuluvaa, on yhdensuuntainen jonkin tämän tason suoran kanssa, niin se on myös yhdensuuntainen itse tason kanssa.
Todiste
Olkoon α taso, a suora, joka ei ole siinä, ja a1 suora tasossa α, joka on yhdensuuntainen suoran a kanssa. Piirretään taso α1 suorien a ja a1 kautta. Tasot α ja α1 leikkaavat linjaa a1 pitkin. Jos suora a leikkaa tason α, niin leikkauspiste kuuluisi suoralle a1. Mutta tämä on mahdotonta, koska suorat a ja a1 ovat yhdensuuntaisia. Siksi suora a ei leikkaa tasoa α ja on siten yhdensuuntainen tason α kanssa. Lause on todistettu.
18. LENTOKONEET
Jos kaksi yhdensuuntaista tasoa leikkaavat kolmannen, leikkausviivat ovat yhdensuuntaiset.(Kuva 333).
Todellakin määritelmän mukaan Rinnakkaiset suorat ovat suoria, jotka sijaitsevat samassa tasossa eivätkä leikkaa. Linjamme ovat samassa tasossa - sekanttitasossa. Ne eivät leikkaa, koska ne sisältävät yhdensuuntaiset tasot eivät leikkaa.
Joten suorat ovat yhdensuuntaisia, minkä halusimme todistaa.
Ominaisuudet
§ Jos taso α on yhdensuuntainen toisessa tasossa β olevien kahden leikkaavan suoran kanssa, nämä tasot ovat yhdensuuntaisia
§ Jos kaksi yhdensuuntaista tasoa leikkaa kolmas, niin niiden leikkausviivat ovat yhdensuuntaiset
§ Tietyn tason ulkopuolella olevan pisteen kautta on mahdollista piirtää taso, joka on yhdensuuntainen tietyn tason kanssa, ja lisäksi vain yksi
§ Kahden yhdensuuntaisen tason rajaamien yhdensuuntaisten viivojen segmentit ovat yhtä suuret
§ Kaksi kulmaa, joiden sivut ovat samansuuntaiset ja samansuuntaiset, ovat yhtä suuret ja sijaitsevat yhdensuuntaisissa tasoissa
19.
Jos kaksi suoraa ovat samassa tasossa, niiden välinen kulma on helppo mitata - esimerkiksi astemittarilla. Ja miten mitataan linjan ja tason välinen kulma?
Anna suoran leikata tason, eikä suorassa kulmassa, vaan jossain muussa kulmassa. Tällaista linjaa kutsutaan vino.
Pudotetaan kohtisuora jostain pisteestä, joka on vinossa tasoamme nähden. Yhdistä kohtisuoran kanta kaltevuuden ja tason leikkauspisteeseen. Saimme vinon tason projektio.
Suoran ja tason välinen kulma on suoran ja sen projektion välinen kulma tiettyyn tasoon..
Huomaa - valitsemme suoran ja tason väliseksi kulmaksi terävän kulman.
Jos suora on yhdensuuntainen tason kanssa, niin suoran ja tason välinen kulma on nolla.
Jos suora on kohtisuorassa tasoon nähden, sen projektio tasoon on piste. Ilmeisesti tässä tapauksessa suoran ja tason välinen kulma on 90°.
Suora on kohtisuorassa tasoa vastaan, jos se on kohtisuorassa mihin tahansa tämän tason suoraan nähden..
Tämä on määritelmä. Mutta kuinka työskennellä hänen kanssaan? Kuinka tarkistaa, että annettu suora on kohtisuorassa kaikkiin tasossa oleviin suoriin nähden? Loppujen lopuksi niitä on ääretön määrä.
Käytännössä sitä sovelletaan merkki suoran ja tason kohtisuorasta:
Suora on kohtisuorassa tasoon nähden, jos se on kohtisuorassa kahta tässä tasossa olevaa leikkaavaa suoraa vastaan.
21. Dihedral-kulma- tila geometrinen kuvio, joka muodostuu kahdesta yhdestä suorasta lähtevästä puolitasosta sekä näiden puolitasojen rajoittamasta avaruuden osasta.
Kahden tason sanotaan olevan kohtisuorassa, jos niiden välinen dihedraalikulma on 90 astetta.
§ Jos taso kulkee toiseen tasoon nähden kohtisuoran suoran läpi, nämä tasot ovat kohtisuorassa.
§ Jos pisteestä, joka kuuluu jompaankumpaan näistä kahdesta kohtisuorat tasot, piirrä kohtisuora toiseen tasoon nähden, niin tämä kohtisuora on kokonaan ensimmäisessä tasossa.
§ Jos toiseen kahdesta kohtisuorasta tasosta piirretään kohtisuora niiden leikkausviivaan nähden, tämä kohtisuora on kohtisuorassa toiseen tasoon nähden.
Kaksi leikkaavaa tasoa muodostavat neljä dihedraalista kulmaa, joilla on yhteinen reuna: parit pystysuorat kulmat ovat yhtä suuret ja kahden vierekkäisen kulman summa on 180°. Jos yksi neljästä kulmasta on oikea, niin muut kolme ovat myös yhtä suuret ja oikeat. Kahta tasoa kutsutaan kohtisuoraksi, jos niiden välinen kulma on oikea.
Lause. Jos taso kulkee toiseen tasoon nähden kohtisuorassa olevan linjan läpi, nämä tasot ovat kohtisuorassa.
Olkoon ja kaksi tasoa siten, että se kulkee suoran AB läpi, kohtisuorassa sen kanssa ja leikkaa sen pisteessä A (kuva 49). Todistetaan, että _|_ . Tasot ja leikkaavat jotakin suoraa AC, ja AB _|_ AC pitkin, koska AB _|_ . Piirretään tasoon suora AD, joka on kohtisuorassa suoraa AC vastaan.
Tällöin kulma BAD on lineaarinen kulma dihedraalinen kulma, koulutettuja ja . Mutta< ВАD - 90° (ибо AB _|_ ), а тогда, по определению, _|_ . Теорема доказана.
22. Monitahoinen on kappale, jonka pinta koostuu äärellisestä määrästä litteitä polygoneja.
1. minkä tahansa monikulmioista, jotka muodostavat monitahoisen, pääset mihin tahansa menemällä sen viereiseen ja tästä puolestaan viereiseen jne.
Näitä polygoneja kutsutaan kasvot, niiden sivut - kylkiluut, ja niiden kärjet ovat huiput monitahoinen. Yksinkertaisimmat esimerkit polyhedraista ovat kupera polyhedra, eli euklidisen avaruuden rajatun osajoukon raja, joka on äärellisen määrän puoliavaruuksien leikkauspiste.
Yllä oleva monikulmion määritelmä saa erilaisen merkityksen sen mukaan, kuinka monikulmio määritellään, jolle ovat mahdollisia seuraavat kaksi vaihtoehtoa:
§ Tasaiset suljetut katkoviivat (vaikka ne leikkaavat itsensä);
§ Katkoviivojen rajoittamat tason osat.
Ensimmäisessä tapauksessa saamme tähtipolyhedronin käsitteen. Toisessa polyhedron on pinta, joka koostuu monikulmiokappaleista. Jos tämä pinta ei leikkaa itseään, se on jonkin geometrisen kappaleen koko pinta, jota kutsutaan myös monitahoiseksi. Tästä syntyy polyhedronin kolmas määritelmä, itse geometrinen kappale.
suora prisma
Prismaa kutsutaan suoraan jos se kylkiluut kohtisuoraan pohjaan nähden.
Prismaa kutsutaan vino jos sen sivureunat eivät ole kohtisuorassa kantaan nähden.
Suoralla prismalla on pinnat, jotka ovat suorakulmioita.
Prismaa kutsutaan oikea jos sen kantat ovat säännöllisiä monikulmioita.
Prisman sivupinnan pinta-ala kutsutaan sivupintojen pinta-alojen summaksi.
Prisman koko pinta yhtä suuri kuin sivupinnan ja kantapintojen summa
Prisman elementit:
Pisteet - kutsutaan kärkipisteiksi
Segmenttejä kutsutaan sivureunoksi
Monikulmioita ja - kutsutaan kantaviksi. Itse lentokoneita kutsutaan myös tukikohtiksi.
24. Rinnakkaisputki(kreikaksi παράλλος - yhdensuuntainen ja kreikaksi επιπεδον - taso) - prisma, jonka kanta on suunnikas tai (vastaavasti) monitahoinen, jolla on kuusi pintaa ja jokainen niistä on suuntaviiva.
§ Suuntaissärmiö on symmetrinen diagonaalinsa keskipisteen suhteen.
§ Mikä tahansa segmentti, jonka päät kuuluvat suuntaissärmiön pintaan ja kulkevat sen lävistäjän keskeltä, jaetaan sillä puoliksi; erityisesti kaikki suuntaissärmiön lävistäjät leikkaavat yhdessä pisteessä ja puolittavat sen.
§ Suuntasärmiön vastakkaiset pinnat ovat yhdensuuntaiset ja tasaiset.
§ Diagonaalin pituus kuutiomainen on yhtä suuri kuin summa sen kolmen ulottuvuuden neliöitä.
Kuution pinta-ala on yhtä suuri kuin kaksi kertaa tämän suuntaissärmiön kolmen pinnan pintojen summa:
| 1. | S= 2(S a+Sb+S c)= 2(ab+eaa+ac) |
25 .Pyramidi ja sen elementit
Tarkastellaan tasoa, siinä olevaa monikulmiota ja siinä olevaa pistettä S. Yhdistä S monikulmion kaikkiin pisteisiin. Tuloksena olevaa monitahoista kutsutaan pyramidiksi. Segmenttejä kutsutaan sivureunoksi. 
Monikulmiota kutsutaan pohjaksi ja pistettä S kutsutaan pyramidin huipuksi. Numerosta n riippuen pyramidia kutsutaan kolmiomaiseksi (n=3), nelikulmaiseksi (n=4), viisikulmaiseksi (n=5) ja niin edelleen. vaihtoehtoinen nimi kolmion muotoinen pyramidi – tetraedri. Pyramidin korkeus on kohtisuora, joka on vedetty sen huipusta perustasoon. 
Pyramidia kutsutaan oikeaksi jos säännöllinen monikulmio, ja pyramidin korkeuden kanta (pystysuoran kanta) on sen keskipiste.
Ohjelma on suunniteltu laskemaan sivupinta-ala oikea pyramidi.
Pyramidi on monitahoinen, jonka kanta on monikulmion muodossa, ja loput pinnat ovat kolmioita, joilla on yhteinen kärki. 
Kaava säännöllisen pyramidin sivupinta-alan laskemiseksi on:
missä p on kannan ympärysmitta (polygoni ABCDE),
a - apoteemi (OS);
Apoteemi on säännöllisen pyramidin sivupinnan korkeus, joka on vedetty sen huipulta.
Löytääksesi säännöllisen pyramidin sivupinta-alan, syötä pyramidin ympärysmitta ja apoteemiarvot ja napsauta sitten "LASKE"-painiketta. Ohjelma määrittää säännöllisen pyramidin sivupinta-alan, jonka arvo voi olla sijoitettu leikepöydälle.
Katkaistu pyramidi
| Katkaistu pyramidi on osa täydellinen pyramidi jalustan ja sen kanssa yhdensuuntaisen osan välissä. | |
| Poikkileikkausta kutsutaan katkaistun pyramidin yläpohja, ja täyden pyramidin kanta on pohjapohja katkaistu pyramidi. (Pohjat ovat samanlaiset.) Sivukasvot katkaistu pyramidi - puolisuunnikkaan muotoinen. Katkaistussa pyramidissa 3 n kylkiluut, 2 n huiput, n+ 2 kasvoa, n(n- 3) diagonaalit. Ylemmän ja alemman kannan välinen etäisyys on katkaistun pyramidin korkeus (täyspyramidin korkeudesta leikattu segmentti). |  |
| Neliö koko pinta katkaistu pyramidi on yhtä suuri kuin sen pintojen pinta-alojen summa. | |
| Katkaistun pyramidin tilavuus ( S ja s- pohjan pinta-ala, H- korkeus) |  |
Pyörivä runko kutsutaan kappaleeksi, joka muodostuu suoran pyörimisen seurauksena suoran ympäri.
Oikeanpuoleinen ympyräsylinteri on piirretty palloon, jos sen kannan ympyrät ovat pallon päällä. Sylinterin pohjat ovat pieniä pallon ympyröitä, pallon keskipiste osuu yhteen sylinterin akselin keskikohdan kanssa. [ 2 ]
Oikeanpuoleinen ympyräsylinteri on piirretty palloon, jos sen kannan ympyrät ovat pallon päällä. Ilmeisesti pallon keskipiste ei ole sylinterin akselin keskellä. [ 3 ]
Minkä tahansa sylinterin tilavuus on yhtä suuri kuin tuote pohjapinta-ala korkeuteen:
| 1. | V=π r 2 h |
Koko alue sylinterin pinta on yhtä suuri kuin sylinterin sivupinnan summa ja kaksinkertainen neliö sylinterin pohja.
Kaava sylinterin kokonaispinta-alan laskemiseksi on:
27. Pyöreä kartio saadaan pyörittämällä suorakulmainen kolmio sen yhden jalan ympärillä, joten pyöreää kartiota kutsutaan myös vallankumouskartioksi. Katso myös Pyöreän kartion tilavuus
Pyöreän kartion kokonaispinta-ala on yhtä suuri kuin kartion sivupinnan ja sen pohjan pinta-alojen summa. Kartion kanta on ympyrä ja sen pinta-ala lasketaan ympyrän pinta-alan kaavalla:
| 2. | S=π rl+π r 2 = π r(r+l) |
28. Frustum saatu piirtämällä leikkaus, joka on yhdensuuntainen kartion pohjan kanssa. Tämän osan, pohjan ja kartion sivupinnan rajoittamaa kappaletta kutsutaan katkaistuksi kartioksi. Katso myös Katkaistun kartion tilavuus
Katkaistun kartion kokonaispinta-ala on yhtä suuri kuin katkaistun kartion sivupinnan pinta-alojen summa ja sen kantat. Katkaistun kartion kantat ovat ympyröitä ja niiden pinta-ala lasketaan ympyrän pinta-alan kaavalla: S= π (r 1 2 + (r 1 + r 2)l+ r 2 2)
29. pallo - geometrinen runko jota rajoittaa pinta, jonka kaikki pisteet ovat yhtä etäisyyttä keskustasta. Tätä etäisyyttä kutsutaan pallon säteeksi.
Pallo(kreikaksi σφαῖρα - pallo) - suljettu pinta, geometrinen paikka avaruuden pisteet, jotka ovat yhtä kaukana tietystä pisteestä, joita kutsutaan pallon keskipisteeksi. Pallo on ellipsoidin erikoistapaus, jossa kaikki kolme akselia (puoliakselit, säteet) ovat yhtä suuret. Pallo on pallon pinta.
Pallomaisen segmentin (pallomaisen sektorin) ja pallomaisen kerroksen pallomaisen kerroksen pinta-ala riippuu vain niiden korkeudesta ja pallon säteestä ja on yhtä suuri kuin pallon suuren ympyrän ympärysmitta kerrottuna korkeudella
Pallon tilavuus yhtä suuri kuin pyramidin tilavuus, jonka pohjan pinta-ala on sama kuin pallon pinnalla ja korkeus on pallon säde
Pallon tilavuus on puolitoista kertaa pienempi kuin sen ympärille piirretyn sylinterin tilavuus.
pallo elementtejä
Pallon segmentti Leikkaustaso jakaa pallon kahdeksi pallon segmentiksi. H- segmentin korkeus, 0< H < 2 R,
r- segmentin perussäde,  Pallon segmentin tilavuus  Pallomaisen segmentin pallomaisen pinnan pinta-ala |  |
| Pallomainen kerros Pallomainen kerros on osa palloa, joka on suljettu kahden yhdensuuntaisen osan väliin. Etäisyys ( H) osien välillä kutsutaan kerroksen korkeus ja itse osiot - kerrosten pohjat. Pallomainen pinta-ala ( äänenvoimakkuutta) pallomaisen kerroksen voidaan löytää pinta-alojen erona pallomaiset pinnat(tilavuudet) pallomaisten segmenttien. |  |
1. Vektorin kertominen luvulla(Kuva 56).
Vector tuote MUTTA numeroa kohti λ kutsutaan vektoriksi AT, jonka moduuli on yhtä suuri kuin vektorin moduulin tulo MUTTA per modulo numero λ :
Suunta ei muutu jos λ > 0 ; muuttuu päinvastaiseksi jos λ < 0 . Jos λ = −1, sitten vektori
kutsutaan vektoriksi, vastakkainen vektori MUTTA, ja on merkitty
2. Vektorin lisäys. Kahden vektorin summan löytäminen MUTTA ja AT vektori
Sitten summa on vektori, jonka alku on sama kuin ensimmäisen alun ja loppu - toisen lopun kanssa. Tätä vektorin summaussääntöä kutsutaan "kolmiosäännöksi" (kuva 57). summavektorit on kuvattava siten, että toisen vektorin alku on sama kuin ensimmäisen vektorin loppu.
On helppo todistaa, että vektoreille "summa ei muutu termien paikkojen muutoksesta".
Osoittakaamme vielä yksi sääntö vektorien lisäämiseksi - "rinnakkaissääntö". Jos yhdistämme summavektoreiden alun ja rakennamme niille suunnikkaan, niin summa on vektori, joka on sama kuin tämän suuntaviivan diagonaali (kuva 58).
On selvää, että "rinnakkaissäännön" mukainen lisääminen johtaa samaan tulokseen kuin "kolmiosäännön" mukaan.
"Kolmion sääntö" on helppo yleistää (usean termin tapauksessa). Löytääkseen vektorien summa
On tarpeen yhdistää toisen vektorin alku ensimmäisen loppuun, kolmannen alku - toisen loppuun jne. Sitten vektorin alku Kanssa osuu yhteen ensimmäisen alun ja lopun kanssa Kanssa- jälkimmäisen päässä (kuva 59).
3. Vektorien vähentäminen. Vähennysoperaatio pienennetään kahteen edelliseen operaatioon: kahden vektorin ero on ensimmäisen ja toisen vastakkaisen vektorin summa:
Voit myös muotoilla "kolmiosäännön" vektorien vähentämiseksi: vektorien alkukohdat on yhdistettävä MUTTA ja AT, silloin niiden ero on vektori
Piirretty vektorin lopusta AT vektorin loppua kohti MUTTA(Kuva 60).
Seuraavassa puhumme siirtymävektorista aineellinen kohta, eli vektori, joka yhdistää pisteen alku- ja loppuaseman. Ymmärrä, että käyttöönotetut vektoreihin kohdistuvat toimintasäännöt ovat melko ilmeisiä siirtymävektoreille.
4. Vektorien pistetulo. tulos pistetuote kaksi vektoria MUTTA ja AT on luku c, joka on yhtä suuri kuin vektorien moduulien ja kulman kosinin tulo α välillä
Vektorien skalaarituloa käytetään erittäin laajasti fysiikassa. Tulevaisuudessa joudumme usein käsittelemään tällaista toimintaa.
Artikkelissa tarkastellaan suoran ja tason yhdensuuntaisuuden käsitteitä, tarkastellaan tärkeimpiä määritelmiä ja annetaan esimerkkejä. Harkitse suoran yhdensuuntaisuuden merkkiä tasoon, jossa on välttämättömät ja riittävät edellytykset samansuuntaisuudelle, ratkaisemme esimerkkejä tehtävistä yksityiskohtaisesti.
Yandex.RTB R-A-339285-1 Määritelmä 1
Linjaa ja tasoa kutsutaan rinnakkain jos heillä ei ole yhteisiä kohtia, eli ne eivät leikkaa toisiaan.
Rinnakkaisuus on merkitty "∥". Jos tehtävässä ehdon mukaan suora a ja taso α ovat yhdensuuntaiset, niin merkintä on a ∥ α . Harkitse alla olevaa kuvaa.
Uskotaan, että tason α suuntainen suora a ja suoran a kanssa yhdensuuntainen taso α ovat ekvivalentteja, eli suora ja taso ovat joka tapauksessa yhdensuuntaisia toistensa kanssa.
Suoran ja tason rinnakkaisuus - yhdensuuntaisuuden merkki ja ehdot
Ei ole aina selvää, että suora ja taso ovat yhdensuuntaiset. Usein tämä on todistettava. Tarpeellista käyttää riittävä kunto, mikä takaa yhdensuuntaisuuden. Tällaista merkkiä kutsutaan suoran ja tason yhdensuuntaisuuden merkiksi, joten on suositeltavaa tutkia ensin yhdensuuntaisten viivojen määritelmä.
Lause 1
Jos tietty suora a, joka ei ole tasossa α, on yhdensuuntainen tasoon α kuuluvan suoran b kanssa, niin suora a on yhdensuuntainen tason α kanssa.
Tarkastellaan lausetta, jota käytetään määrittämään suoran yhdensuuntaisuus tason kanssa.
Lause 2
Jos toinen kahdesta yhdensuuntaisesta suorasta on yhdensuuntainen tason kanssa, toinen suora sijaitsee tai on yhdensuuntainen tämän tason kanssa.
Yksityiskohtaista todistusta käsitellään geometrian luokkien 10-11 oppikirjassa. Välttämätön ja riittävä ehto suoran yhdensuuntaisuudelle tason kanssa on mahdollinen, jos on määritelty suoran suuntavektori ja tason normaalivektori.
Lause 3
Tasoon α kuulumattoman suoran a ja annetun tason yhdensuuntaisuudelle välttämätön ja riittävä ehto on suuntausvektorin kohtisuora suoraa vastaan normaali vektori annettu lentokone.
Ehtoa sovelletaan, kun rinnakkaisuus on todistettava suorakaiteen muotoinen järjestelmä koordinaatit kolmiulotteinen tila. Katsotaanpa yksityiskohtaista todistetta.
Todiste
Oletetaan, että koordinaattijärjestelmän O x y suora a saadaan avaruuden suoran kanonisilla yhtälöillä, jotka ovat muotoa x - x 1 a x \u003d y - y 1 a y \u003d z - z 1 a z tai parametriset yhtälöt avaruuden suora x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ z = z 1 + a z λ , taso α tason A x + B y + C z + D = 0 yleisillä yhtälöillä.
Siten a → = (a x, a y, a z) on suuntausvektori, jolla on suoran a koordinaatit, n → = (A, B, C) on tietyn tason alfan normaalivektori.
Todistaaksesi kohtisuoran n → = (A , B , C) ja a → = (a x , a y , a z) , sinun on käytettävä pistetulon käsitettä. Eli tulolla a → , n → = a x · A + a y · B + a z · C tuloksen tulee olla nolla vektorien kohtisuorasta ehdosta.
Tämä tarkoittaa, että suoran ja tason yhdensuuntaisuuden välttämätön ja riittävä ehto kirjoitetaan seuraavasti: a → , n → = a x · A + a y · B + a z · C . Siten a → = (a x , a y , a z) on suoran a suuntavektori koordinaatteineen ja n → = (A , B , C) on tason α normaalivektori.
Esimerkki 1
Määritä, onko suora x = 1 + 2 λ y = - 2 + 3 λ z = 2 - 4 λ yhdensuuntainen tason x + 6 y + 5 z + 4 = 0 kanssa.
Päätös
Saatamme, että annettu suora ei kuulu tasoon, koska suoran M (1 , - 2 , 2) koordinaatit eivät sovi. Korvaamalla saamme 1 + 6 (- 2) + 5 2 + 4 = 0 ⇔ 3 = 0 .
On tarpeen tarkistaa suoran ja tason yhdensuuntaisuuden välttämättömän ja riittävän ehdon toteutettavuus. Saadaan, että suoran x = 1 + 2 λ y = - 2 + 3 λ z = 2 - 4 λ suuntausvektorin koordinaatit ovat arvot a → = (2 , 3 , - 4) .
Normaalivektori x + 6 y + 5 z + 4 = 0 tasolle on n → = (1 , 6 , 5) . Jatketaan vektorien a → ja n → skalaaritulon laskemiseen. Saadaan, että a → , n → = 2 1 + 3 6 + (- 4) 5 = 0 .
Siten vektorien a → ja n → kohtisuora on ilmeinen. Tästä seuraa, että suora ja taso ovat yhdensuuntaiset.
Vastaus: viiva ja taso ovat yhdensuuntaiset.
Esimerkki 2
Määritä koordinaattitasossa O y z olevan suoran A B yhdensuuntaisuus, kun koordinaatit on annettu A (2, 3, 0) , B (4, - 1, - 7) .
Päätös
Ehdolla voidaan nähdä, että piste A (2, 3, 0) ei ole O x -akselilla, koska x:n arvo ei ole yhtä suuri kuin 0.
O x z -tasolle vektoria, jonka koordinaatit i → = (1 , 0 , 0), pidetään tämän tason normaalivektorina. Merkitään suoran A B suuntavektoria A B → . Nyt lasketaan alun ja lopun koordinaatteja käyttäen vektorin A B koordinaatit. Saamme, että A B → = (2 , - 4 , - 7) . On tarpeen tarkistaa vektorien A B → = (2 , - 4 , - 7) ja i → = (1 , 0 , 0) välttämättömien ja riittävien ehtojen toteutettavuus niiden kohtisuoran määrittämiseksi.
Kirjoitetaan A B → , i → = 2 1 + (- 4) 0 + (- 7) 0 = 2 ≠ 0 .
Tästä seuraa, että suora A B c koordinaattitaso O y z eivät ole yhdensuuntaisia.
Vastaus: eivät ole rinnakkaisia.
Määritetty ehto ei aina vaikuta asiaan helppo määritelmä todiste suoran ja tason yhdensuuntaisuudesta. On tarkistettava, kuuluuko suora a tasoon α . On vielä yksi riittävä ehto, jonka avulla rinnakkaisuus todistetaan.
Tietylle suoralle a käyttämällä yhtälöä kahdesta leikkaavasta tasosta A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 \u003d 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 \u003d 0 taso α - yleinen yhtälö taso A x + B y + C z + D = 0 .
Lause 4
Välttämätön ja riittävä ehto suoran a ja tason α yhdensuuntaisuudelle on ratkaisujen puuttuminen systeemistä lineaariset yhtälöt, jonka muoto on A1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 A x + B y + C z + D = 0.
Todiste
Määritelmästä seuraa, että suoralla a tason α kanssa ei pitäisi olla yhteisiä pisteitä, toisin sanoen ne eivät leikkaa, vain tässä tapauksessa ne katsotaan yhdensuuntaisiksi. Tämä tarkoittaa, että koordinaattijärjestelmässä O x y z ei pitäisi olla siihen kuuluvia pisteitä, jotka täyttävät kaikki yhtälöt:
A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 sekä tason A x + B y + C z + yhtälö D = 0.
Siksi yhtälöjärjestelmä, jonka muoto on A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 A x + B y + C z + D = 0 , kutsutaan epäjohdonmukaiseksi.
Päinvastoin: jos systeemille ei ole ratkaisuja A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 A x + B y + C z + D = 0 O x y z:ssä ei ole pisteitä, jotka täyttäisivät kaikki annettuja yhtälöitä samanaikaisesti. Saadaan, että ei ole olemassa sellaista pistettä, jolla olisi koordinaatit, jotka voisivat välittömästi olla kaikkien yhtälöiden A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 ratkaisuja. ja yhtälöt A x + B y + C z + D = 0 . Tämä tarkoittaa, että meillä on yhdensuuntainen viiva ja taso, koska niiden leikkauspisteet puuttuvat.
Yhtälöjärjestelmässä A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 A x + B y + C z + D = 0 ei ole ratkaisu, kun päämatriisin sijoitus on pienempi kuin laajennetun matriisin sijoitus. Tämä varmistetaan Kronecker-Capellin lauseella lineaaristen yhtälöiden ratkaisemiseksi. Voit käyttää Gaussin menetelmää sen yhteensopimattomuuden määrittämiseen.
Esimerkki 3
Todista, että suora x - 1 = y + 2 - 1 = z 3 on yhdensuuntainen tason 6 x - 5 y + 1 3 z - 2 3 = 0 kanssa.
Päätös
Ratkaisuja varten tämä esimerkki pitäisi muuttaa pois kanoninen yhtälö suoraan kahden leikkaavan tason yhtälön muotoon. Kirjoitetaan se näin:
x - 1 = y + 2 - 1 = z 3 ⇔ - 1 x = - 1 (y + 2) 3 x = - 1 z 3 (y + 2) = - 1 z ⇔ x - y - 2 = 0 3 x + z = 0
Tietyn suoran x - y - 2 = 0 3 x + z = 0 yhdensuuntaisuuden osoittamiseksi tason 6 x - 5 y + 1 3 z - 2 3 = 0 kanssa yhtälöt on muutettava järjestelmäksi yhtälöt x - y - 2 = 0 3 x + z = 0 6 x - 5 y + 1 3 z - 2 3 = 0 .
Näemme, että se ei ole ratkaistavissa, joten turvaudumme Gaussin menetelmään.
Kun yhtälöt on kirjoitettu, saadaan, että 1 - 1 0 2 3 0 1 0 6 - 5 1 3 2 3 ~ 1 - 1 0 2 0 3 1 - 6 0 1 1 3 - 11 1 3 ~ 1 - 1 0 2 0 3 1 - 6 0 0 0 - 9 1 3 .
Tästä päätämme, että yhtälöjärjestelmä on epäjohdonmukainen, koska suora ja taso eivät leikkaa toisiaan, eli niillä ei ole yhteisiä pisteitä.
Päättelemme, että suora x - 1 \u003d y + 2 - 1 \u003d z 3 ja taso 6 x - 5 y + 1 3 z - 2 3 \u003d 0 ovat yhdensuuntaisia, koska välttämätön ja riittävä ehto yhdensuuntaisuudelle taso tietyllä linjalla saavutettiin.
Vastaus: viiva ja taso ovat yhdensuuntaiset.
Jos huomaat tekstissä virheen, korosta se ja paina Ctrl+Enter
Jotkut aksioomien seuraukset
Lause 1:
Viivan ja pisteen kautta, joka ei makaa sillä, kulkee taso, ja lisäksi vain yksi.
Annettu: M ₵ a
Todista: 1) On olemassa α: a∈ α , М ∈ b ∈ α
2)
α on ainoa
Todiste:
1) Suoralla ja valitse pisteitä P ja K. Sitten meillä on 3 pistettä - R, Q, M jotka eivät ole samalla linjalla.
2) Aksiooman A1 mukaan taso kulkee kolmen pisteen kautta, jotka eivät ole yhdellä suoralla, ja lisäksi vain yhden, ts. taso α, joka sisältää suoran a ja pisteen M, olla olemassa.
3) Nyt todistetaan seα ainoa. Oletetaan, että on taso β, joka kulkee sekä pisteen M että suoran a kautta, mutta sitten tämä taso pisteiden läpiP, Q, M. Ja kolmen pisteen jälkeen P, Q, M, ei makaa yhdellä suoralla, aksiooman 1 mukaan vain yksi taso kulkee.
4) Tämä taso siis osuu yhteen tason α kanssa.Siksi 1) Suoralla, mutta valitse pisteet P ja K. Sitten meillä on 3 pistettä - P, Q, M, jotka eivät ole samalla linjalla.Siksi α on ainutlaatuinen.
Lause on todistettu.
1) Otetaan suoralta b piste N, joka ei ole sama kuin pisteen M, eli N ∈ b, N≠M
2) Sitten meillä on piste N, joka ei kuulu suoralle a. Edellisen lauseen mukaan taso kulkee suoran ja sellaisen pisteen läpi, joka ei ole sillä. Kutsutaan sitä tasoksi α. Siten sellainen taso, joka kulkee suoran a ja pisteen N läpi, on olemassa.
3) Todistakaamme tämän tason ainutlaatuisuus. Oletetaan päinvastoin. Olkoon sellainen taso β, joka kulkee sekä suoran a että suoran b läpi. Mutta sitten se kulkee myös suoran a ja pisteen N läpi. Mutta edellisen lauseen mukaan tämä taso on ainutlaatuinen, ts. taso β osuu yhteen tason α kanssa.
4) Olemme siis todistaneet ainutlaatuisen tason olemassaolon, joka kulkee kahden leikkaavan suoran läpi.
Lause on todistettu.
Rinnakkaisten viivojen lause
Lause:
Minkä tahansa avaruuden pisteen kautta, joka ei ole tietyllä suoralla, kulkee tietyn suoran suuntainen suora.
Annettu: suora olen₵ a
Todistaa:On vain yksi suorab ∥ a, M ∈ b
Todiste:
1) Suoran a ja pisteen M kautta, joka ei ole sillä, voidaan piirtää yksi taso (1. seuraus). Tasoon α voidaan piirtää a:n suuntainen suora b, joka kulkee M:n kautta.
2) Todistakaamme, että se on ainoa. Oletetaan, että pisteen M kautta kulkee toinen suora c, joka on yhdensuuntainen suoran a kanssa. Olkoot yhdensuuntaiset suorat a ja c tasossa β. Sitten β kulkee M:n ja suoran a kautta. Mutta suoran a ja pisteen M kautta kulkee taso α.
3) Näin ollen α ja β ovat samat. Yhdensuuntaisten suorien aksioomasta seuraa, että suorat b ja c ovat yhteneväisiä, koska läpi kulkevassa tasossa on vain yksi suora. annettu piste ja yhdensuuntainen tietyn suoran kanssa.
Lause on todistettu.
Yhdensuuntaisten suorien määritelmä ja niiden ominaisuudet avaruudessa ovat samat kuin tasossa (ks. kohta 11).
Samanaikaisesti yksi tapaus linjojen järjestelystä on mahdollista avaruudessa - vinoviivat. Viivoja, jotka eivät leikkaa eivätkä ole samassa tasossa, kutsutaan leikkausviivoiksi.
Kuvassa 121 näkyy olohuoneen pohjaratkaisu. Näet, että suorat, joihin janat AB ja BC kuuluvat, ovat vinossa.
Leikkaavien viivojen välinen kulma on niiden kanssa samansuuntaisten leikkaavien viivojen välinen kulma. Tämä kulma ei riipu siitä, mitkä leikkaavat suorat otetaan.
Yhdensuuntaisten viivojen välisen kulman astemitan oletetaan olevan nolla.
Kahden leikkaavan suoran yhteinen kohtisuora on jana, jonka päät ovat näillä viivoilla ja joka on kohtisuora kumpaankin niistä. Voidaan todistaa, että kahdella leikkaavalla suoralla on yhteinen kohtisuora, ja lisäksi vain yksi. Se on näiden viivojen läpi kulkevien yhdensuuntaisten tasojen yhteinen kohtisuora.
Leikkaavien viivojen välinen etäisyys on niiden yhteisen kohtisuoran pituus. Se on yhtä suuri kuin näiden viivojen läpi kulkevien yhdensuuntaisten tasojen välinen etäisyys.
Siten leikkaavien viivojen a ja b välisen etäisyyden löytämiseksi (kuva 122) on piirrettävä yhdensuuntaiset tasot a ja kunkin suoran läpi. Näiden tasojen välinen etäisyys on leikkaavien viivojen a ja b välinen etäisyys. Kuvassa 122 tämä etäisyys on esimerkiksi etäisyys AB.
Esimerkki. Suorat a ja b ovat yhdensuuntaisia ja suorat c ja d leikkaavat. Voiko jokainen suora a ja leikata molemmat suorat
Päätös. Suorat a ja b ovat samassa tasossa, ja siksi mikä tahansa suora, joka leikkaa niitä, on samassa tasossa. Siksi, jos jokainen suora a, b leikkaa sekä suorat c että d, niin suorat olisivat samassa tasossa suorien a ja b kanssa, eikä näin voi olla, koska suorat leikkaavat.
42. Suoran ja tason rinnakkaisuus.
Suoraa ja tasoa kutsutaan yhdensuuntaisiksi, jos ne eivät leikkaa, eli niillä ei ole yhteisiä pisteitä. Jos suora a on yhdensuuntainen tason a kanssa, he kirjoittavat:.
Kuva 123 esittää suoraa a yhdensuuntaista tason a kanssa.
Jos suora, joka ei kuulu tasoon, on yhdensuuntainen jonkin tämän tason suoran kanssa, niin se on myös yhdensuuntainen itse tason kanssa (merkki suoran ja tason yhdensuuntaisuudesta).
Tämä teoreema sallii erityinen tilanne Todista, että suora ja taso ovat yhdensuuntaiset. Kuvassa 124 on esitetty suora b, joka on yhdensuuntainen tasossa a olevan suoran a kanssa, eli tason a kanssa yhdensuuntaista suoraa b pitkin, ts.
Esimerkki. Yläosan läpi oikea kulma Suorakaiteen muotoisesta kolmio ABC Taso piirretään samansuuntaisesti hypotenuusan kanssa 10 cm etäisyydelle siitä. Jalkojen projektiot tässä tasossa ovat 30 ja 50 cm. Etsi hypotenuusan projektio samasta tasosta.
Päätös. Suorakulmaisista kolmioista BBVC ja (kuva 125) löydämme:
Kolmiosta ABC löydämme:
Hypotenuusan AB projektio tasolle a on . Koska AB on yhdensuuntainen tason a kanssa, niin niin,.
43. Yhdensuuntaiset tasot.
Kahta tasoa kutsutaan rinnakkaiseksi. jos ne eivät risteä.
Kaksi tasoa ovat yhdensuuntaisia", jos toinen niistä on yhdensuuntainen kahden toisessa tasossa olevan leikkaavan suoran kanssa (merkki kahden tason yhdensuuntaisuudesta).
Kuvassa 126 taso a on yhdensuuntainen tasossa olevien leikkaavien viivojen a ja b kanssa, jolloin nämä tasot ovat yhdensuuntaiset.
Tietyn tason ulkopuolisen pisteen kautta voidaan piirtää annetun tason suuntainen taso, ja lisäksi vain yksi.
Jos kaksi yhdensuuntaista tasoa leikkaavat kolmannen, leikkausviivat ovat yhdensuuntaiset.
Kuvassa 127 on kaksi yhdensuuntaista tasoa, ja taso y leikkaa ne suoria a ja b pitkin. Sitten Lauseen 2.7 avulla voimme väittää, että suorat a ja b ovat yhdensuuntaisia.
Kahden yhdensuuntaisen tason välissä olevat yhdensuuntaisten viivojen segmentit ovat yhtä suuret.
T.2.8:n mukaan kuvassa 128 esitetyt segmentit AB ja ovat yhtä suuret, koska
Anna näiden tasojen leikata. Piirrä taso, joka on kohtisuorassa niiden leikkausviivaa vastaan. Se leikkaa nämä tasot kahta suoraa pitkin. Näiden viivojen välistä kulmaa kutsutaan näiden tasojen väliseksi kulmaksi (kuva 129). Tällä tavalla määriteltyjen tasojen välinen kulma ei riipu leikkaustason valinnasta.
