अगर मैं = f0g, तो एफ = आर।

VII.6. प्रमाण फ्रोबेनियस प्रमेय

अगर मैं = f0g, तो एफ = आर।

यदि आयाम उप-स्थान I 1 के बराबर है, तो एफ = सी।

VII.6. प्रमाण फ्रोबेनियस प्रमेय

अगर मैं = f0g, तो एफ = आर।

यदि आयाम उप-स्थान I 1 के बराबर है, तो F = C. मान लीजिए कि आयाम उप-स्थान I 1 से अधिक

VII.6. प्रमाण फ्रोबेनियस प्रमेय

आयाम दें उप-स्थान I 1 से अधिक

रिक्त स्थान I मान लीजिए मैं = p1 u। फिर

VII.6. प्रमाण फ्रोबेनियस प्रमेय

आयाम दें उप-स्थान I 1 से अधिक

रैखिक रूप से लें स्वतंत्र प्रणालीवैक्टर फू; वीजी रैखिक

रिक्त स्थान I चलो मैं =
i2 =

VII.6. प्रमाण फ्रोबेनियस प्रमेय

आयाम दें उप-स्थान I 1 से अधिक

वैक्टर फू की एक रैखिक रूप से स्वतंत्र प्रणाली लें; वीजी रैखिक

रिक्त स्थान I चलो मैं =

यू 2 (यू2 ) =

i2 = p1 यू 2 यू

पी 1 यू 2 यू =

VII.6. प्रमाण फ्रोबेनियस प्रमेय

आयाम दें उप-स्थान I 1 से अधिक

वैक्टर फू की एक रैखिक रूप से स्वतंत्र प्रणाली लें; वीजी रैखिक

रिक्त स्थान I चलो मैं =

यू 2 (यू2 ) = 1:

i2 = p1 यू 2 यू

पी 1 यू 2 यू =

VII.6. प्रमाण फ्रोबेनियस प्रमेय

आयाम दें उप-स्थान I 1 से अधिक

वैक्टर फू की एक रैखिक रूप से स्वतंत्र प्रणाली लें; वीजी रैखिक

रिक्त स्थान I मान लीजिए मैं = p1 u। तब i2 = 1:

योग में i v = + x, जहाँ 2 R, x 2 I।

VII.6. प्रमाण फ्रोबेनियस प्रमेय

आयाम दें उप-स्थान I 1 से अधिक

वैक्टर फू की एक रैखिक रूप से स्वतंत्र प्रणाली लें; वीजी रैखिक

रिक्त स्थान I चलो मैं =										यू तब i2 = 1:
			F . से तत्वों के अपघटन पर लेम्मा
			मैं वी = + एक्स, जहां				2 आर, एक्स 2 आई। इसके अनुसार
					(i + v) 2 मैं , in		विशेष रूप से, (i + v)2< 0.
			(आई+वी)2

VII.6. प्रमाण फ्रोबेनियस प्रमेय

आयाम दें उप-स्थान I 1 से अधिक

वैक्टर फू की एक रैखिक रूप से स्वतंत्र प्रणाली लें; वीजी रैखिक

रिक्त स्थान I चलो मैं =										यू तब i2 = 1:
			F . से तत्वों के अपघटन पर लेम्मा
			मैं वी = + एक्स, जहां				2 आर, एक्स 2 आई। इसके अनुसार
					(i + v) 2 मैं , in		विशेष रूप से, (i + v)2< 0.
			(आई+वी)2

VII.6. प्रमाण फ्रोबेनियस प्रमेय

आयाम दें उप-स्थान I 1 से अधिक

वैक्टर फू की एक रैखिक रूप से स्वतंत्र प्रणाली लें; वीजी रैखिक

रिक्त स्थान I चलो मैं =

यू तब i2 = 1:

F . से तत्वों के अपघटन पर लेम्मा

मैं वी = + एक्स, जहां

2 आर, एक्स 2 आई।

इसके अनुसार

(i + v) 2 मैं ,

विशेष रूप से, (i + v)2< 0.

(आई+वी)2

(मैं + वी)!

(आई+वी)2

VII.6. प्रमाण फ्रोबेनियस प्रमेय

आयाम दें उप-स्थान I 1 से अधिक

वैक्टर फू की एक रैखिक रूप से स्वतंत्र प्रणाली लें; वीजी रैखिक

रिक्त स्थान I चलो मैं =

यू तब i2 = 1:

F . से तत्वों के अपघटन पर लेम्मा

मैं वी = + एक्स, जहां

2 आर, एक्स 2 आई।

इसके अनुसार

(i + v) 2 मैं ,

विशेष रूप से, (i + v)2< 0.

(आई+वी)2

(मैं + वी)!

(आई+वी)2

VII.6. प्रमाण फ्रोबेनियस प्रमेय

आयाम दें उप-स्थान I 1 से अधिक

वैक्टर फू की एक रैखिक रूप से स्वतंत्र प्रणाली लें; वीजी रैखिक

रिक्त स्थान I चलो मैं =								यू तब i2 = 1:
					अपघटन के बारे में				से तत्व
				मैं वी = + एक्स, जहां					2 आर, एक्स 2 आई।
					(मैं + वी)। हमारे पास j2 = 1 है।
		(आई+वी)2

VII.6. प्रमाण फ्रोबेनियस प्रमेय

आयाम दें उप-स्थान I 1 से अधिक

वैक्टर फू की एक रैखिक रूप से स्वतंत्र प्रणाली लें; वीजी रैखिक

रिक्त स्थान I चलो मैं =

यू तब i2 = 1:

अपघटन के बारे में

से तत्व

मैं वी = + एक्स, जहां

2 आर, एक्स 2 आई।

(i1 + वी)। हमारे पास j2 = 1 है।

(आई+वी)2

मैं जे = मैं

(आई+वी)2

VII.6. प्रमाण फ्रोबेनियस प्रमेय

आयाम दें उप-स्थान I 1 से अधिक

वैक्टर फू की एक रैखिक रूप से स्वतंत्र प्रणाली लें; वीजी रैखिक

रिक्त स्थान I चलो मैं =

यू तब i2 = 1:

तत्वों के अपघटन के बारे में

मैं वी = + एक्स, जहां

एक्स 2 मैं।

(i1 + वी)। हमारे पास j2 = 1 है।

(आई+वी)2

मैं जे = मैं

(आई+वी)2

(आई+वी)2

VII.6. प्रमाण फ्रोबेनियस प्रमेय

आयाम दें उप-स्थान I 1 से अधिक

वैक्टर फू की एक रैखिक रूप से स्वतंत्र प्रणाली लें; वीजी रैखिक

रिक्त स्थान I चलो मैं =

यू तब i2 = 1:

अपघटन के बारे में

तत्वों

मैं वी = + एक्स, जहां

एक्स 2 मैं।

(i1 + वी)। हमारे पास j2 = 1 है।

(आई+वी)2

मैं जे = मैं

(आई+वी)2

(आई+वी)2

(आई+वी)2

VII.6. प्रमाण फ्रोबेनियस प्रमेय

आयाम दें उप-स्थान I 1 से अधिक

वैक्टर फू की एक रैखिक रूप से स्वतंत्र प्रणाली लें; वीजी रैखिक

रिक्त स्थान I चलो मैं =

यू तब i2 = 1:

अपघटन के बारे में

तत्वों

मैं वी = + एक्स, जहां

एक्स 2 मैं।

(i1 + वी)। हमारे पास j2 = 1 है।

(आई+वी)2

मैं जे = मैं

(आई+वी)2

(आई+वी)2

एक्स 2 मैं :

(आई+वी)2

(आई+वी)2

VII.6. प्रमाण फ्रोबेनियस प्रमेय

आयाम दें उप-स्थान I 1 से अधिक

वैक्टर फू की एक रैखिक रूप से स्वतंत्र प्रणाली लें; वीजी रैखिक

रिक्त स्थान I चलो मैं =								यू तब i2 = 1:
					अपघटन के बारे में				से तत्व
				मैं वी = + एक्स, जहां					2 आर, एक्स 2 आई।

(आई+वी)2

माध्यम, ,

VII.6. प्रमाण फ्रोबेनियस प्रमेय

आयाम दें उप-स्थान I 1 से अधिक

वैक्टर फू की एक रैखिक रूप से स्वतंत्र प्रणाली लें; वीजी रैखिक

रिक्त स्थान I चलो मैं =								यू तब i2 = 1:
					अपघटन के बारे में				से तत्व
				मैं वी = + एक्स, जहां					2 आर, एक्स 2 आई।
					(मैं + वी)। हमारे पास j2 = 1, i j 2I है:
		(आई+वी)2

मैं + जे + आई जे; ; ; 2 आर

चतुर्धातुक शरीर।

VII.6. प्रमाण फ्रोबेनियस प्रमेय

आयाम दें उप-स्थान I 1 से अधिक

वैक्टर फू की एक रैखिक रूप से स्वतंत्र प्रणाली लें; वीजी रैखिक

रिक्त स्थान I चलो मैं =								यू तब i2 = 1:
					अपघटन के बारे में				से तत्व
				मैं वी = + एक्स, जहां					2 आर, एक्स 2 आई।
					(मैं + वी)। हमारे पास j2 = 1, i j 2I है:
		(आई+वी)2
इसलिए, लेम्मा द्वारा चतुष्कोणों के तिरछे क्षेत्र को F में एम्बेड करने पर,

मैं + जे + आई जे; ; ; 2 आर

चतुर्धातुक शरीर।

इस प्रकार, यदि रैखिक स्थान I का आयाम 3 है, तो F चतुष्कोणों का एक पिंड है।

VII.6. प्रमाण फ्रोबेनियस प्रमेय

उप-स्थान I 3 से अधिक

VII.6. प्रमाण फ्रोबेनियस प्रमेय

यह उस मामले पर विचार करना बाकी है जब आयाम उप-स्थान I

चलो ले लो रैखिक रूप से स्वतंत्र

VII.6. प्रमाण फ्रोबेनियस प्रमेय

यह उस मामले पर विचार करना बाकी है जब आयाम उप-स्थान I 3 से अधिक। हमने सिद्ध किया है कि F में चतुर्भुजों का तिरछा क्षेत्र शामिल है।

चलो ले लो रैखिक रूप से स्वतंत्रवैक्टर की एक प्रणाली फाई; जे; क; mg, जहाँ i2 = j2 = k2 = 1, i j = j i = k, j k = k j = i, k i = i k = j।

							एक्स; वाई; जेड 2 मैं :

VII.6. प्रमाण फ्रोबेनियस प्रमेय

यह उस मामले पर विचार करना बाकी है जब आयाम उप-स्थान I 3 से अधिक। हमने सिद्ध किया है कि F में चतुर्भुजों का तिरछा क्षेत्र शामिल है।

चलो ले लो रैखिक रूप से स्वतंत्रवैक्टर की एक प्रणाली फाई; जे; क; mg, जहाँ i2 = j2 = k2 = 1, i j = j i = k, j k = k j = i, k i = i k = j।

F से तत्वों के योग में अपघटन पर लेम्मा के आधार पर

VII.6. प्रमाण फ्रोबेनियस प्रमेय

यह उस मामले पर विचार करना बाकी है जब आयाम उप-स्थान I 3 से अधिक। हमने सिद्ध किया है कि F में चतुर्भुजों का तिरछा क्षेत्र शामिल है।

चलो ले लो रैखिक रूप से स्वतंत्रवैक्टर की एक प्रणाली फाई; जे; क; mg, जहाँ i2 = j2 = k2 = 1, i j = j i = k, j k = k j = i, k i = i k = j।

F से तत्वों के योग में अपघटन पर लेम्मा के आधार पर

							एक्स; वाई; जेड 2 मैं :

के आधार पर सबस्पेस लेम्मास Iटी = एम + आई + जे + के 2आई। से रैखिक स्वतंत्रतावैक्टर की प्रणाली फाई; जे; क; अगले मिलीग्राम-

उस t 6 = 0 को उड़ा देता है।

VII.6. प्रमाण फ्रोबेनियस प्रमेय

यह उस मामले पर विचार करना बाकी है जब आयाम उप-स्थान I 3 से अधिक। हमने सिद्ध किया है कि F में चतुर्भुजों का तिरछा क्षेत्र शामिल है।

चलो ले लो रैखिक रूप से स्वतंत्रवैक्टर की एक प्रणाली फाई; जे; क; mg, जहाँ i2 = j2 = k2 = 1, i j = j i = k, j k = k j = i, k i = i k = j।

F से तत्वों के योग में अपघटन पर लेम्मा के आधार पर

							एक्स; वाई; जेड 2 मैं :

सबस्पेस लेम्मा I

VII.6. प्रमाण फ्रोबेनियस प्रमेय

यह उस मामले पर विचार करना बाकी है जब आयाम उप-स्थान I 3 से अधिक। हमने सिद्ध किया है कि F में चतुर्भुजों का तिरछा क्षेत्र शामिल है।

चलो ले लो रैखिक रूप से स्वतंत्रवैक्टर की एक प्रणाली फाई; जे; क; mg, जहाँ i2 = j2 = k2 = 1, i j = j i = k, j k = k j = i, k i = i k = j।

F से तत्वों के योग में अपघटन पर लेम्मा के आधार पर

							एक्स; वाई; जेड 2 मैं :

यह साबित हो गया है कि 0 6= टी = एम + आई + जे + के 2 आई। द्वारा सबस्पेस लेम्मा I

मैं टी = मैं एम + के जे =

VII.6. प्रमाण फ्रोबेनियस प्रमेय

यह उस मामले पर विचार करना बाकी है जब आयाम उप-स्थान I 3 से अधिक। हमने सिद्ध किया है कि F में चतुर्भुजों का तिरछा क्षेत्र शामिल है।

चलो ले लो रैखिक रूप से स्वतंत्रवैक्टर की एक प्रणाली फाई; जे; क; mg, जहाँ i2 = j2 = k2 = 1, i j = j i = k, j k = k j = i, k i = i k = j।

F से तत्वों के योग में अपघटन पर लेम्मा के आधार पर

							एक्स; वाई; जेड 2 मैं :

यह साबित हो गया है कि 0 6= टी = एम + आई + जे + के 2 आई। द्वारा सबस्पेस लेम्मा I

मैं टी = मैं एम + के जे = एक्स + के जे

VII.6. प्रमाण फ्रोबेनियस प्रमेय

यह उस मामले पर विचार करना बाकी है जब आयाम उप-स्थान I 3 से अधिक। हमने सिद्ध किया है कि F में चतुर्भुजों का तिरछा क्षेत्र शामिल है।

चलो ले लो रैखिक रूप से स्वतंत्रवैक्टर की एक प्रणाली फाई; जे; क; mg, जहाँ i2 = j2 = k2 = 1, i j = j i = k, j k = k j = i, k i = i k = j।

F से तत्वों के योग में अपघटन पर लेम्मा के आधार पर

							एक्स; वाई; जेड 2 मैं :

यह साबित हो गया है कि 0 6= टी = एम + आई + जे + के 2 आई। द्वारा सबस्पेस लेम्मा I

मैं टी = मैं एम + के जे = एक्स + के जे 2 मैं:

VII.6. प्रमाण फ्रोबेनियस प्रमेय

यह उस मामले पर विचार करना बाकी है जब आयाम उप-स्थान I 3 से अधिक। हमने सिद्ध किया है कि F में चतुर्भुजों का तिरछा क्षेत्र शामिल है।

चलो ले लो रैखिक रूप से स्वतंत्रवैक्टर की एक प्रणाली फाई; जे; क; mg, जहाँ i2 = j2 = k2 = 1, i j = j i = k, j k = k j = i, k i = i k = j।

F से तत्वों के योग में अपघटन पर लेम्मा के आधार पर

इसी प्रकार, हम सिद्ध कर सकते हैं कि jt 2 I, k t 2 I.

VII.6. प्रमाण फ्रोबेनियस प्रमेय

यह उस मामले पर विचार करना बाकी है जब आयाम उप-स्थान I 3 से अधिक। हमने सिद्ध किया है कि F में चतुर्भुजों का तिरछा क्षेत्र शामिल है।

चलो ले लो रैखिक रूप से स्वतंत्रवैक्टर की एक प्रणाली फाई; जे; क; mg, जहाँ i2 = j2 = k2 = 1, i j = j i = k, j k = k j = i, k i = i k = j।

F से तत्वों के योग में अपघटन पर लेम्मा के आधार पर

											एक्स; वाई; जेड 2 मैं :
साबित किया कि			0 6= टी = एम + आई + जे + के 2 मैं। सबप्रो पर विवाद-
अंतरिक्ष मैं			मैं टी 2 मैं, जे टी 2 मैं,
हम n = डालते हैं

VII.6. प्रमाण फ्रोबेनियस प्रमेय

यह उस मामले पर विचार करना बाकी है जब आयाम उप-स्थान I 3 से अधिक। हमने सिद्ध किया है कि F में चतुर्भुजों का तिरछा क्षेत्र शामिल है।

चलो ले लो रैखिक रूप से स्वतंत्रवैक्टर की एक प्रणाली फाई; जे; क; mg, जहाँ i2 = j2 = k2 = 1, i j = j i = k, j k = k j = i, k i = i k = j।

VII.6. प्रमाण फ्रोबेनियस प्रमेय

यह उस मामले पर विचार करना बाकी है जब आयाम उप-स्थान I 3 से अधिक। हमने सिद्ध किया है कि F में चतुर्भुजों का तिरछा क्षेत्र शामिल है।

चलो ले लो रैखिक रूप से स्वतंत्रवैक्टर की एक प्रणाली फाई; जे; क; mg, जहाँ i2 = j2 = k2 = 1, i j = j i = k, j k = k j = i, k i = i k = j।

हमने n 2 I को इस प्रकार पाया है कि n2 = 1, 0 6 = i n 2 I, 0 6= j n 2 I,

चतुष्कोणों के तिरछे क्षेत्र को F . में एम्बेड करने पर लेम्मा द्वारा

VII.6. प्रमाण फ्रोबेनियस प्रमेय

यह उस मामले पर विचार करना बाकी है जब आयाम उप-स्थान I 3 से अधिक। हमने सिद्ध किया है कि F में चतुर्भुजों का तिरछा क्षेत्र शामिल है।

चलो ले लो रैखिक रूप से स्वतंत्रवैक्टर की एक प्रणाली फाई; जे; क; mg, जहाँ i2 = j2 = k2 = 1, i j = j i = k, j k = k j = i, k i = i k = j।

हमने n 2 I को इस प्रकार पाया है कि n2 = 1, 0 6 = i n 2 I, 0 6= j n 2 I,

चतुष्कोणों के तिरछे क्षेत्र को F . में एम्बेड करने पर लेम्मा द्वारा

मैं एन = नी; जे एन = एन जे; के एन = एनके:

VII.6. प्रमाण फ्रोबेनियस प्रमेय

यह उस मामले पर विचार करना बाकी है जब आयाम उप-स्थान I 3 से अधिक। हमने सिद्ध किया है कि F में चतुर्भुजों का तिरछा क्षेत्र शामिल है।

चलो ले लो रैखिक रूप से स्वतंत्रवैक्टर की एक प्रणाली फाई; जे; क; mg, जहाँ i2 = j2 = k2 = 1, i j = j i = k, j k = k j = i, k i = i k = j।

हमने n 2 I को इस प्रकार पाया है कि n2 = 1, 0 6 = i n 2 I, 0 6= j n 2 I,

चतुष्कोणों के तिरछे क्षेत्र को F . में एम्बेड करने पर लेम्मा द्वारा

मैं एन = नी; जे एन = एन जे; के एन = एनके:

एन मैं जे = मैं एन जे =

VII.6. प्रमाण फ्रोबेनियस प्रमेय

यह उस मामले पर विचार करना बाकी है जब आयाम उप-स्थान I 3 से अधिक। हमने सिद्ध किया है कि F में चतुर्भुजों का तिरछा क्षेत्र शामिल है।

चलो ले लो रैखिक रूप से स्वतंत्रवैक्टर की एक प्रणाली फाई; जे; क; mg, जहाँ i2 = j2 = k2 = 1, i j = j i = k, j k = k j = i, k i = i k = j।

हमने n 2 I को इस प्रकार पाया है कि n2 = 1, 0 6 = i n 2 I, 0 6= j n 2 I,

चतुष्कोणों के तिरछे क्षेत्र को F . में एम्बेड करने पर लेम्मा द्वारा

मैं एन = नी; जे एन = एन जे; के एन = एनके:

एन के = एन मैं जे = मैं एन जे =

VII.6. प्रमाण फ्रोबेनियस प्रमेय

यह उस मामले पर विचार करना बाकी है जब आयाम उप-स्थान I 3 से अधिक। हमने सिद्ध किया है कि F में चतुर्भुजों का तिरछा क्षेत्र शामिल है।

चलो ले लो रैखिक रूप से स्वतंत्रवैक्टर की एक प्रणाली फाई; जे; क; mg, जहाँ i2 = j2 = k2 = 1, i j = j i = k, j k = k j = i, k i = i k = j।

हमने n 2 I को इस प्रकार पाया है कि n2 = 1, 0 6 = i n 2 I, 0 6= j n 2 I,

चतुष्कोणों के तिरछे क्षेत्र को F . में एम्बेड करने पर लेम्मा द्वारा

मैं एन = नी; जे एन = एन जे; k n = n k: k n = n k = n i j = i n j =

VII.6. प्रमाण फ्रोबेनियस प्रमेय

यह उस मामले पर विचार करना बाकी है जब आयाम उप-स्थान I 3 से अधिक। हमने सिद्ध किया है कि F में चतुर्भुजों का तिरछा क्षेत्र शामिल है।

चलो ले लो रैखिक रूप से स्वतंत्रवैक्टर की एक प्रणाली फाई; जे; क; mg, जहाँ i2 = j2 = k2 = 1, i j = j i = k, j k = k j = i, k i = i k = j।

हमने n 2 I को इस प्रकार पाया है कि n2 = 1, 0 6 = i n 2 I, 0 6= j n 2 I,

चतुष्कोणों के तिरछे क्षेत्र को F . में एम्बेड करने पर लेम्मा द्वारा

मैं एन = नी; जे एन = एन जे; के एन = एनके:

k n = n k = n i j = i n j = i (j n) =

VII.6. प्रमाण फ्रोबेनियस प्रमेय

यह उस मामले पर विचार करना बाकी है जब आयाम उप-स्थान I 3 से अधिक। हमने सिद्ध किया है कि F में चतुर्भुजों का तिरछा क्षेत्र शामिल है।

चलो ले लो रैखिक रूप से स्वतंत्रवैक्टर की एक प्रणाली फाई; जे; क; mg, जहाँ i2 = j2 = k2 = 1, i j = j i = k, j k = k j = i, k i = i k = j।

हमने n 2 I को इस प्रकार पाया है कि n2 = 1, 0 6 = i n 2 I, 0 6= j n 2 I,

चतुष्कोणों के तिरछे क्षेत्र को F . में एम्बेड करने पर लेम्मा द्वारा

मैं एन = नी; जे एन = एन जे; के एन = एनके:

VII.6. प्रमाण फ्रोबेनियस प्रमेय

यह उस मामले पर विचार करना बाकी है जब आयाम उप-स्थान I 3 से अधिक। हमने सिद्ध किया है कि F में चतुर्भुजों का तिरछा क्षेत्र शामिल है।

चलो ले लो रैखिक रूप से स्वतंत्रवैक्टर की एक प्रणाली फाई; जे; क; mg, जहाँ i2 = j2 = k2 = 1, i j = j i = k, j k = k j = i, k i = i k = j।

हमने n 2 I को इस प्रकार पाया है कि n2 = 1, 0 6 = i n 2 I, 0 6= j n 2 I,

चतुष्कोणों के तिरछे क्षेत्र को F . में एम्बेड करने पर लेम्मा द्वारा

मैं एन = नी; जे एन = एन जे; के एन = एनके:

k n = n k = n i j = i n j = i (j n) = k n:

इसलिए, 2k n = 0, एक अंतर्विरोध।

सातवीं। फ्रोबेनियस प्रमेय

प्रमेय 2. मान लीजिए F एक पिंड है, और R F,

9i1 ; i2 ; : : ; में		9 0;1;2; : : ;n 2 आर
z = 0 +1 i1 +2 i2 + : : : +n in :

तब F या तो R, या C, या चतुष्कोणों का पिंड है।

प्रमेय सिद्ध हो चुका है।

ध्यान!

ईमेल: [ईमेल संरक्षित]; [ईमेल संरक्षित]

वेबसाइटें: http://melnikov.k66.ru; http://melnikov.web.ur.ru

प्रमेय।किसी क्षेत्र पर कोई वैकल्पिक रैखिक बीजगणित वास्तविक संख्याविभाजन के साथ सामान्यीकृत है लीनियर अलजेब्रा.

वास्तविक संख्या R के क्षेत्र में एक वैकल्पिक रैखिक विभाजन बीजगणित बनें। आइए हम A में संयुग्मन संक्रिया का परिचय इस प्रकार दें: यदि A का तत्व a 1 के समानुपाती है, तो a = a; यदि a, 1 के समानुपाती नहीं है, तो यह सम्मिश्र उप-बीजगणित में समाहित है। इस उप-बीजगणित में, तत्व a के लिए, एक संयुग्मी तत्व a होता है, जिसे हम बीजगणित में a से संयुग्मित तत्व के रूप में लेते हैं।

यह सीधे a की परिभाषा से अनुसरण करता है कि = a और भी = ka, जहां k R।

मान लीजिए कि A, 1 के समानुपाती नहीं है। एक चतुर्भुज उप-बीजगणित (K, +, . R, .) पर विचार करें, जिसमें a हो। इस उप-बीजगणित में, A के लिए, एक संयुग्मी तत्व a भी है। आइए हम दिखाते हैं कि a, a के साथ मेल खाता है।

तत्व a और a, जैसा कि जटिल बीजगणित में संयुग्मित होते हैं, शर्तों को पूरा करते हैं:

ए+ए = 2ए* 1, जहां एक आर, (14)

a* a = d*1, जहां d R. (15)

तत्व ए और ए, क्वाटरनियन बीजगणित में संयुग्म के रूप में, शर्तों को पूरा करते हैं:

ए + ए \u003d 2 ए 1 ​​* 1, जहां एक 1 आर, (14 ")

ए * ए = डी 1 * 1, जहां डी 1 आर (15 /)

(14/) और (15") में से क्रमशः (14/) और (15") से घटाएँ। तब:

ए - ए = 2 (ए - ए 1) * 1।

ए (ए - ए) = (डी-डी 1)* 1 2(ए - ए 1)ए*1.= (डी-डी 1)* 1.

ए (ए - ए), फिर ए = * 1,

वे। और 1 के समानुपाती है, जो धारणा का खंडन करता है।

इसलिए यह इस प्रकार है कि तत्व एक ही है, चाहे हम एक जटिल उप-बीजगणित के तत्व के रूप में या एक बीजगणित के चतुर्भुज उप-बीजगणित के तत्व के रूप में मानते हैं।

इसी तरह |ए| 2 = एए जटिल उप-बीजगणित के मामले में और बीजगणित के चतुर्धातुक उप-बीजगणित के मामले में, ताकि तत्व ए का मापांक इस पर निर्भर न हो कि हम इसे जटिल या चतुर्धातुक उप-बीजगणित का एक तत्व मानते हैं या नहीं। बीजगणित।

तब किसी a, b A के लिए समानताएं सत्य हैं:

ए + और = ए *। (सोलह)

यदि ए और बी बीजगणित के एक ही जटिल उप-बीजगणित से संबंधित हैं, तो समानताएं (16) इस उप-बीजगणित में गुण, संयुग्मन हैं। यदि वे विभिन्न जटिल उप-बीजगणित से संबंधित हैं, तो वे बीजगणित के चतुर्धातुक उप-बीजगणित में संयुग्मन गुणों के रूप में मान्य होंगे।

से = बी और दूसरी समानता (16) से यह इस प्रकार है कि = बीए, जहां से

ए + बीए = सी * 1, जहां सी आर।

(ए, +, आर,।) में हम स्केलर उत्पाद (ए, बी) को परिभाषित करते हैं

ए + बीए = 2 (ए, बी) * 1.

आइए हम दिखाते हैं कि (ए, बी) सभी गुणों को संतुष्ट करता है डॉट उत्पाद:

1) (ए, ए)> 0 ए के लिए? 0 और (0, 0) = 0।

वास्तव में,

(ए, ए) * 1 = (आ + आ) = आ = |ए|* 1,

और एक जटिल संख्या का मापांक, एक चतुर्भुज के मापांक की तरह, एक के लिए सख्ती से सकारात्मक है? 0 और a = 0 के लिए 0 के बराबर है।

2) (ए, बी) = (बी ए), चूंकि

a + ba = 2(a, b)* 1, ba + a = 2(b, a)* 1,

a + ba = ba + a, तब (a, b) = (b, a)।

3) (ए, केबी) = के (ए, बी) के आर के लिए।

सच में,

(ए, केबी) = (ए () + केबीए) = (ए (के) + केबीए) = के (ए + बीए) = के (ए, बी)।

4) (ए, बी 1 + बी 2) = (ए, बी 1) + (ए, बी 2)

स्केलर उत्पाद की परिभाषा और (16) में पहली समानता से अनुसरण करता है।

से (ए, ए) = |ए| 2 1 वह = |a|, अर्थात, तत्व ए ए का मानदंड जटिल संख्या और चतुर्भुज दोनों के मॉड्यूलस ए के साथ मेल खाता है।

चूँकि बीजगणित से कोई भी दो तत्व a और b एक जटिल या एक चतुर्भुज उप-बीजगणित से संबंधित हैं, तो

|ab| 2 = |ए| 2 |बी| 2 (एबी, एबी) = (ए, ए) (बी, बी)।

इसलिए, (ए, बी) के लिए आंतरिक उत्पाद के सभी गुण संतुष्ट हैं। इसका तात्पर्य है कि बीजगणित एक मानक रैखिक बीजगणित है।

सामान्यीकृत फ्रोबेनियस प्रमेय। विभाजन और एकता के साथ वास्तविक संख्याओं के क्षेत्र में कोई भी वैकल्पिक रैखिक बीजगणित चार बीजगणितों में से एक के लिए समरूप है: वास्तविक संख्याओं का क्षेत्र, जटिल संख्याओं का क्षेत्र, चतुर्भुज का तिरछा क्षेत्र, या सप्तक का बीजगणित।

चूंकि, जैसा कि में सिद्ध किया गया है पिछला प्रमेययदि विभाजन और एकता के साथ वास्तविक संख्याओं के क्षेत्र में एक वैकल्पिक रैखिक बीजगणित एक सामान्यीकृत रैखिक बीजगणित है, और बाद वाला, हर्विट्ज़ प्रमेय द्वारा, वास्तविक संख्याओं के क्षेत्र में, या जटिल संख्याओं के क्षेत्र में, या चतुर्भुज का तिरछा क्षेत्र, या सप्तक के बीजगणित, तो प्रमेय का कथन इससे अनुसरण करता है।

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  आज्ञा देना एक शरीर युक्त एक उप-शरीर के रूप में हो आर (\displaystyle \mathbb (आर))वास्तविक संख्याएँ, और दो शर्तें पूरी होती हैं:

  दूसरे शब्दों में, एल (\displaystyle \mathbb (एल))वास्तविक संख्याओं के क्षेत्र में एक परिमित-आयामी विभाजन बीजगणित है।

  फ्रोबेनियस प्रमेय कहता है कि ऐसा कोई भी निकाय एल (\displaystyle \mathbb (एल)):

  ध्यान दें कि फ्रोबेनियस प्रमेय केवल परिमित-आयामी एक्सटेंशन पर लागू होता है आर (\displaystyle \mathbb (आर)). उदाहरण के लिए, यह गैर-मानक विश्लेषण के अतिवास्तविक संख्याओं के क्षेत्र को कवर नहीं करता है, जो एक विस्तार भी है आर (\displaystyle \mathbb (आर)), लेकिन परिमित-आयामी नहीं। एक अन्य उदाहरण परिमेय-कार्यों का बीजगणित है।

  परिणाम और टिप्पणियाँ

  अंतिम तीन कथन तथाकथित का निर्माण करते हैं सामान्यीकृत प्रमेयफ्रोबेनियस.

  संमिश्र संख्याओं के क्षेत्र में बीजगणित को विभाजित करें

  आयाम का बीजगणित एनसम्मिश्र संख्याओं के क्षेत्र में आयाम का बीजगणित है 2एनऊपर आर (\displaystyle \mathbb (आर)). चतुष्कोणीय निकाय एक क्षेत्र के ऊपर बीजगणित नहीं है सी (\displaystyle \mathbb (सी)), केंद्र के बाद से एच (\displaystyle \mathbb (एच))एक आयामी वास्तविक स्थान है। इसलिए, केवल परिमित-आयामी विभाजन बीजगणित खत्म हो गया सी (\displaystyle \mathbb (सी))बीजगणित है सी (\displaystyle \mathbb (सी)).

  फ्रोबेनियस परिकल्पना

  प्रमेय में साहचर्य की स्थिति होती है। यदि आप इस शर्त को अस्वीकार करते हैं तो क्या होगा? फ्रोबेनियस अनुमान में कहा गया है कि n के लिए साहचर्य की स्थिति के बिना भी वास्तविक रूप में 1, 2, 4, 8 से भिन्न है। रैखिक स्थान आर नहींकोई एक विभाजन बीजगणित की संरचना को परिभाषित नहीं कर सकता है। फ्रोबेनियस की परिकल्पना 60 के दशक में सिद्ध हुई थी। XX सदी।

  मैं मोटा एन> 1अंतरिक्ष में आर नहींशून्य भाजक के बिना द्विरेखीय गुणन परिभाषित किया जाता है, फिर गोले पर एस n-1 मौजूद है एन-1रैखिक रूप से स्वतंत्र वेक्टर क्षेत्र। एडम्स द्वारा नंबर पर प्राप्त परिणामों से गोले पर वेक्टर क्षेत्र, यह इस प्रकार है कि यह केवल क्षेत्रों के लिए संभव है एस 1 , एस 3 , एस 7. इससे फ्रोबेनियस अनुमान सिद्ध होता है।

  यह सभी देखें

  साहित्य

  • बख्तुरिन यू.ए.आधुनिक बीजगणित की मूल संरचनाएँ। - एम।: नौका, 1990। - 320 पी।
  • कुरोश, ए.जी.व्याख्यान-पर-सामान्य-बीजगणित। दूसरा संस्करण। - एम।: नौका, 1973। - 400 पी।
  • पोंट्रीगिन, एल।, एस।संख्याओं का सामान्यीकरण। - एम।: नौका, 1986. - 120 पी। - (लाइब्रेरी "क्वांटम", अंक 54)।

  गिनती सेट
  वास्तविक संख्या और उनके विस्तार
  विस्तार उपकरण संख्या प्रणाली
  संख्याओं का पदानुक्रम	− 1 , 0 , 1 , … (\displaystyle -1,\;0,\;1,\;\ldots )

  यह स्पष्ट है कि यदि, तो के लिए। इसके अलावा, हम दिखाएंगे कि पर्याप्त रूप से बड़े p . के लिए

  लेम्मा नंबर 1. यदि मैट्रिक्स गैर-नकारात्मक और इरेड्यूसबल है, तो

  प्रमाण:

  अगर हम एक मनमाना वेक्टर लेते हैं और, फिर। और वेक्टर होने दें, यह स्पष्ट है कि Z के पास है कम से कम y के समान शून्य धनात्मक तत्वों की संख्या। वास्तव में, यदि हम मानते हैं कि Z में कम शून्य घटक हैं, तो हम मैट्रिक्स ए को निरूपित करते हैं, और मैट्रिक्स ए को ब्लॉक में विभाजित करते हैं

  

  हमारे पास होगा

  

  यह देखते हुए, तब, हमें वह मिलता है, जो मैट्रिक्स की इर्रेड्यूसिबिलिटी का खंडन करता है

  अगले वेक्टर के लिए, हम तर्क दोहराते हैं, और इसी तरह। परिणामस्वरूप, हम पाते हैं कि कुछ अशून्य सदिश y . के लिए

  

  एक गैर-शून्य इरेड्यूसेबल मैट्रिक्स ए के लिए, विचार करें वास्तविक कार्य r(x) गैर-शून्य सदिशों के लिए निम्नानुसार परिभाषित किया गया है: , (Ax) i - मैं-वें समन्वयवेक्टर आह

  यह परिभाषा से इस प्रकार है कि, और इसके अलावा, r(x) है सबसे छोटा मान, क्या

  यह स्पष्ट है कि r(x) x के प्रतिस्थापन के संबंध में अपरिवर्तनीय है, इसलिए निम्नलिखित में हम एक बंद समुच्चय पर विचार कर सकते हैं जैसे कि

  

  हालांकि, r(x) में उन बिंदुओं पर असंतुलन हो सकता है जहां x-निर्देशांक 0 हो जाता है, इसलिए वैक्टर के एक सेट पर विचार करें और निरूपित करें। लेम्मा 1 द्वारा, N में प्रत्येक सदिश धनात्मक होगा, और इसलिए

  द्वारा निरूपित करें सबसे बड़ी संख्या, जिसके लिए, । - मैट्रिक्स ए की वर्णक्रमीय त्रिज्या। यदि यह दिखाया जा सकता है कि एक वेक्टर y ऐसा है कि

  टिप्पणी। एल में अन्य वैक्टर हो सकते हैं जिसके लिए आर (एक्स) मान आर लेता है, इसलिए ऐसे किसी भी वेक्टर को मैट्रिक्स ए (एज़ = आरजे) के लिए चरम कहा जाता है।

  संख्या r में ब्याज निम्नलिखित परिणाम द्वारा समझाया गया है:

  लेम्मा नंबर 2। यदि मैट्रिक्स गैर-ऋणात्मक और अपरिवर्तनीय है, तो संख्या मैट्रिक्स ए का एक आइजनवेल्यू है, इसके अलावा, ए के लिए प्रत्येक एक्सट्रीम वेक्टर सकारात्मक है और ए के लिए आइजेनवेल्यू आर के अनुरूप सही आइजनवेक्टर है।

  मुख्य परिणाम निरंतर आव्यूह के लिए फ्रोबेनियस-पेरोन प्रमेय है

  फ्रोबेनियस-पेरोन प्रमेय। यदि मैट्रिक्स गैर-ऋणात्मक और अपरिवर्तनीय है, तो:

  A के पास मैट्रिक्स A की वर्णक्रमीय त्रिज्या के बराबर एक धनात्मक eigenvalue है;

  एक सकारात्मक अधिकार है आइजन्वेक्टर eigenvalue r के अनुरूप।

  eigenvalue में 1 के बराबर बीजगणितीय बहुलता है।

  पेरोन की प्रमेय (उपदेश)। सकारात्मक वर्ग मैट्रिक्स A का एक धनात्मक और वास्तविक eigenvalue r है, जिसमें बीजगणितीय बहुलता 1 है और अन्य सभी के मॉड्यूल से अधिक है eigenvaluesमैट्रिक्स ए। यह आर एक सकारात्मक eigenvector से मेल खाता है

  फ्रोबेनियस-पेरोन प्रमेय का उपयोग करके, कोई मैट्रिक्स के विशेषता बहुपद का उपयोग किए बिना मैट्रिक्स का अधिकतम वास्तविक मान प्राप्त कर सकता है।

  परिणाम और टिप्पणियाँ

  • यह प्रमेय आदर्श वास्तविक बीजगणित पर हर्विट्ज़ के प्रमेय से निकटता से संबंधित है। सामान्य विभाजन बीजगणित - केवल $\backslash mathbb\; आर,\; \backslash mathbb\; सी,\; \backslash mathbb\; एच$और (गैर-सहयोगी) केली संख्याओं का बीजगणित।
  • जटिल संख्याओं की प्रणाली का विस्तार करते समय, हम अनिवार्य रूप से कुछ खो देते हैं अंकगणितीय गुण: कम्यूटेटिविटी (चतुर्भुज), सहयोगीता (केली बीजगणित), आदि।
  • दो (तीन के बजाय) quaternion इकाइयों के साथ quaternion प्रणाली का कोई एनालॉग नहीं है।
  • खेत $\backslash mathbb\; आर$और $\backslash mathbb\; सी$शून्य भाजक के बिना एकमात्र परिमित-आयामी वास्तविक सहयोगी और कम्यूटेटिव बीजगणित हैं।
  • क्वाटरनियन बॉडी $\backslash mathbb\; H$शून्य भाजक के बिना एकमात्र परिमित-आयामी वास्तविक सहयोगी लेकिन गैर-कम्यूटेटिव बीजगणित है।
  • केली बीजगणित शून्य भाजक के बिना एकमात्र परिमित-आयामी वास्तविक वैकल्पिक गैर-सहयोगी बीजगणित है।

  अंतिम तीन कथन तथाकथित का निर्माण करते हैं सामान्यीकृत फ्रोबेनियस प्रमेय.

  संमिश्र संख्याओं के क्षेत्र में बीजगणित को विभाजित करें

  आयाम का बीजगणित एनमैदान के ऊपर $\backslash mathbb\; सी$सम्मिश्र संख्याएँ आयाम का बीजगणित है 2एनऊपर $\backslash mathbb\; आर$. क्वाटरनियन बॉडी $\backslash mathbb\; H$एक क्षेत्र पर बीजगणित नहीं है $\backslash mathbb\; सी$, केंद्र के बाद से $\backslash mathbb\; H$एक आयामी वास्तविक स्थान है। इसलिए, केवल परिमित-आयामी विभाजन बीजगणित खत्म हो गया $\backslash mathbb\; सी$बीजगणित है $\backslash mathbb\; सी$.

  फ्रोबेनियस परिकल्पना

  प्रमेय में साहचर्य की स्थिति होती है। यदि आप इस शर्त को अस्वीकार करते हैं तो क्या होगा? फ्रोबेनियस अनुमान बताता है कि वास्तविक रैखिक अंतरिक्ष में 1, 2, 4, 8 से भिन्न n के लिए संबद्धता की स्थिति के बिना भी आर नहींकोई एक विभाजन बीजगणित की संरचना को परिभाषित नहीं कर सकता है। फ्रोबेनियस की परिकल्पना 60 के दशक में सिद्ध हुई थी। XX सदी।

  मैं मोटा एन> 1अंतरिक्ष में आर नहींशून्य भाजक के बिना द्विरेखीय गुणन परिभाषित किया जाता है, फिर गोले पर एस n-1 मौजूद है एन-1रैखिक रूप से स्वतंत्र वेक्टर क्षेत्र। एडम्स द्वारा नंबर पर प्राप्त परिणामों से गोले पर वेक्टर क्षेत्र, यह इस प्रकार है कि यह केवल क्षेत्रों के लिए संभव है एस 1 , एस 3 , एस 7. इससे फ्रोबेनियस अनुमान सिद्ध होता है।

  यह सभी देखें

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  साहित्य

  • बख्तुरिन यू.ए.आधुनिक बीजगणित की मूल संरचनाएँ। - एम।: नौका, 1990। - 320 पी।
  • कुरोश ए. जी.. - एम।: नौका, 1973। - 400 पी।
  • पोंट्रीगिन एल. एस.. - एम।: नौका, 1986. - 120 पी। - (लाइब्रेरी "क्वांटम", अंक 54)।

  गिनती सेट

  ) आवर्त संगणनीय अंकगणित | शीर्षलेख 2= वास्तविक संख्याएँ
  और उनके एक्सटेंशन |header3= एक्सटेंशन टूल्स
  संख्या प्रणाली |शीर्षक4= संख्याओं का पदानुक्रम |list4=

  $-1,\backslash ;0,\backslash ;1,\backslash ;\backslash ldots$ पूर्ण संख्याएं $-1,\backslash ;1,\backslash ;\backslash frac(1)(2),\backslash ;\backslash ;0(,)12,\backslash frac(2)(3),\backslash ;\backslash ldots$ परिमेय संख्या $-1,\backslash ;1,\backslash ;\backslash ;0(,)12,\backslash frac(1)(2),\backslash ;\backslash pi,\backslash ;\backslash sqrt(2),\backslash ;\backslash ldots$ वास्तविक संख्या
  $-1,\backslash ;\backslash frac(1)(2),\backslash ;0(,)12,\backslash ;\backslash pi,\backslash ;3i+2,\backslash ;e^(i\backslash pi/3),\backslash ;\backslash ldots$	जटिल आंकड़े

  $1,\backslash ;i,\backslash ;j,\backslash ;k,\backslash ;2i\; +\; \backslash pi\; j-\backslash frac(1)(2)k,\backslash ;\backslash dots$ quaternions $1,\backslash ;i,\backslash ;j,\backslash ;k,\backslash ;l,\backslash ;m,\backslash ;n,\backslash ;o,\backslash ;2\; -\; 5l\; +\; \backslash frac(\backslash pi)(3)m,\backslash ;\backslash \; डॉट्स$ Octonions $1,\backslash ;e\_1,\backslash ;e\_2,\backslash ;\backslash dots,\backslash ;e\_(15),\backslash ;7e\_2\; +\; \backslash frac(2)(5)e\_7\; -\; \backslash frac(1)(3)e\_(15),\backslash \; ;\backslash डॉट्स$ सेडेनियन्स |शीर्षक5= अन्य
  संख्या प्रणाली

  |list5=कार्डिनल नंबर ऑर्डिनल नंबर्स (ट्रांसफिनिट, ऑर्डिनल) पी-एडिक सुपरनैचुरल नंबर सब कुछ बिखरा हुआ है। अंकल ने नताशा को घोड़े से उतार दिया और उसका हाथ पकड़कर पोर्च के जर्जर बोर्ड की सीढ़ियों तक ले गए। घर में, प्लास्टर नहीं, लॉग दीवारों के साथ, यह बहुत साफ नहीं था - यह स्पष्ट नहीं था कि रहने वाले लोगों का लक्ष्य यह था कि कोई दाग नहीं था, लेकिन कोई ध्यान देने योग्य उपेक्षा नहीं थी।
  दालान में ताजे सेब की गंध आ रही थी, और भेड़िये और लोमड़ी की खाल लटकी हुई थी। चाचा ने अपने मेहमानों को सामने वाले हॉल के माध्यम से एक छोटे से हॉल में एक तह टेबल और लाल कुर्सियों के साथ ले जाया, फिर एक बर्च के साथ रहने वाले कमरे में गोल मेज़और एक सोफा, फिर एक कार्यालय में एक फटा हुआ सोफा, एक घिसा-पिटा कालीन और सुवोरोव के चित्र के साथ, मालिक के पिता और माँ, और खुद सैन्य वर्दी में। कार्यालय में तंबाकू और कुत्तों की तेज गंध आ रही थी। कार्यालय में, चाचा ने मेहमानों को घर पर बैठने और खुद को बनाने के लिए कहा, और वह चला गया। एक अशुद्ध पीठ के साथ डांट कार्यालय में प्रवेश कर गई और सोफे पर लेट गई, अपनी जीभ और दांतों से खुद को साफ किया। कार्यालय से एक गलियारा था जिसमें फटे पर्दों के परदे देखे जा सकते थे। पर्दे के पीछे से महिलाओं की हंसी और फुसफुसाहट सुनी जा सकती थी। नताशा, निकोलाई और पेट्या ने कपड़े उतारे और सोफे पर बैठ गए। पेट्या अपनी बांह पर झुक गई और तुरंत सो गई; नताशा और निकोलाई चुपचाप बैठे रहे। उनके चेहरों पर आग लगी हुई थी, वे बहुत भूखे और बहुत खुशमिजाज थे। उन्होंने एक-दूसरे को देखा (शिकार के बाद, कमरे में, निकोलाई ने अब अपनी बहन को अपनी पुरुष श्रेष्ठता दिखाना आवश्यक नहीं समझा); नताशा ने अपने भाई को देखा, और दोनों देर तक नहीं रुके और ज़ोर से हँसे, अपनी हँसी का बहाना सोचने का समय नहीं मिला।
  थोड़ी देर बाद, मेरे चाचा एक कोसैक कोट, नीली पतलून और छोटे जूते पहन कर आए। और नताशा ने महसूस किया कि यह वही सूट, जिसमें उसने अपने चाचा को आश्चर्य और उपहास के साथ ओट्राडनॉय में देखा था, एक असली सूट था, जो फ्रॉक कोट और टेलकोट से भी बदतर नहीं था। अंकल भी हसमुख थे; न केवल वह अपने भाई और बहन की हँसी से नाराज नहीं था (यह उसके सिर में प्रवेश नहीं कर सकता था कि वे उसके जीवन पर हँस सकें), लेकिन वह खुद उनकी अकारण हँसी में शामिल हो गया।
  "यह युवा काउंटेस है - एक स्वच्छ मार्च - मैंने ऐसा दूसरा नहीं देखा!" - उसने रोस्तोव को एक लंबी चिबुक के साथ एक पाइप देते हुए कहा, और दूसरी छोटी, कट चिबुक को बिछाते हुए कहा। परिचित इशारातीन अंगुलियों के बीच।
  - मैं एक दिन के लिए चला गया, भले ही आदमी समय पर था और जैसे कुछ हुआ ही नहीं था!
  चाचा के तुरंत बाद, उसने अपने पैरों की आवाज से स्पष्ट रूप से एक नंगे पांव लड़की के लिए दरवाजा खोला, और दरवाजे के माध्यम से हाथों में एक बड़ी ट्रे के साथ एक मोटी, सुर्ख, खूबसूरत महिला 40 साल की, डबल चिन वाली और भरे हुए, रूखे होंठों के साथ। वह, उसकी आँखों और हर गतिविधि में मेहमाननवाज प्रतिनिधित्व और आकर्षण के साथ, मेहमानों को चारों ओर देखा और एक स्नेही मुस्कान के साथ उन्हें सम्मानपूर्वक प्रणाम किया। सामान्य से अधिक मोटाई के बावजूद, उसे अपनी छाती और पेट को आगे बढ़ाने और अपना सिर पीछे रखने के लिए मजबूर करते हुए, इस महिला (चाचा की नौकरानी) ने बेहद हल्के से कदम रखा। वह मेज पर चली गई, ट्रे को नीचे रखा, और अपने सफेद, गोल-मटोल हाथों से चतुराई से हटा दिया और मेज पर बोतलें, स्नैक्स और ट्रीट की व्यवस्था की। यह समाप्त करके, वह चली गई और चेहरे पर मुस्कान के साथ दरवाजे पर खड़ी हो गई। "यहाँ वह है और मैं! क्या तुम अब अपने चाचा को समझते हो?" उसकी उपस्थिति ने रोस्तोव को बताया। कैसे न समझें: न केवल रोस्तोव, बल्कि नताशा भी चाचा और भौंहों के अर्थ को समझती थी, और खुश, आत्म-संतुष्ट मुस्कान जिसने उसके होंठों को थोड़ी सी झुर्रियों वाली कर दिया था, जबकि अनीस फेडोरोवना ने प्रवेश किया था। ट्रे पर एक औषधिविद, मदिरा, मशरूम, यूराग पर काले आटे के केक, मधुकोश, उबला हुआ और चमकता हुआ शहद, सेब, कच्चे और भुने हुए मेवे और शहद में मेवा थे। फिर अनीस फेडोरोवना शहद और चीनी, और हैम, और चिकन, ताजा तला हुआ जाम लाया।
  यह सब अनीस फेडोरोवना का घर, संग्रह और जाम था। यह सब गंध और प्रतिध्वनित हुआ और इसमें अनीस्या फेडोरोवना का स्वाद था। सब कुछ रस, पवित्रता, सफेदी और एक सुखद मुस्कान के साथ गूंजता था।
  "खाओ, जवान औरत काउंटेस," वह कहती रही, नताशा को एक चीज़, फिर दूसरी। नताशा ने सब कुछ खा लिया, और उसे ऐसा लग रहा था कि उसने यूरागा पर ऐसे केक कभी नहीं देखे या खाए थे, ऐसे गुलदस्ते के साथ, शहद पर मेवे, और ऐसा चिकन। अनीस फेडोरोवना बाहर चली गई। रोस्तोव और उनके चाचा, चेरी लिकर के साथ अपना रात का खाना धो रहे थे, अतीत और भविष्य के शिकार के बारे में बात कर रहे थे, रूगाई और इलागिंस्की कुत्तों के बारे में। नताशा चमकीली आँखों से उनकी बातें सुनकर सीधे सोफे पर बैठ गई। कई बार उसने पेट्या को खाने के लिए कुछ देने के लिए जगाने की कोशिश की, लेकिन उसने कुछ समझ से बाहर कहा, जाहिर तौर पर जाग नहीं रहा था। नताशा दिल से इतनी खुशमिजाज थी, अपने लिए इस नए माहौल में इतनी खुश थी कि उसे बस डर था कि उसके लिए जल्द ही शराबी आ जाएगा। एक आकस्मिक चुप्पी के बाद, जैसा कि लगभग हमेशा उन लोगों के साथ होता है जो अपने घर में पहली बार अपने परिचितों को प्राप्त करते हैं, चाचा ने इस विचार का उत्तर देते हुए कहा कि उनके मेहमान थे:
  "तो मैं अपना जीवन जी रहा हूं ... यदि आप मर जाते हैं, तो यह एक शुद्ध मार्च है - कुछ भी नहीं बचेगा।" फिर क्या गुनाह!
  जब उन्होंने यह कहा तो चाचा का चेहरा बहुत महत्वपूर्ण और सुंदर भी था। उसी समय, रोस्तोव ने अनजाने में वह सब कुछ याद किया जो उसने अपने पिता और पड़ोसियों से अपने चाचा के बारे में अच्छी बातें सुनी थी। मेरे चाचा की सूबे के पूरे मोहल्ले में एक कुलीन और सबसे उदासीन सनकी के रूप में ख्याति थी। उन्हें पारिवारिक मामलों का न्याय करने के लिए बुलाया गया था, उन्हें एक निष्पादक बनाया गया था, उन पर रहस्यों पर भरोसा किया गया था, उन्हें न्यायाधीश और अन्य पदों के लिए चुना गया था, लेकिन से सार्वजनिक सेवाउसने हठपूर्वक मना कर दिया, शरद ऋतु और वसंत को अपने भूरे रंग के जेलिंग पर खेतों में बिताया, सर्दियों में घर पर बैठे, गर्मियों में अपने ऊंचे बगीचे में लेटे हुए।