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प्रमेय

अगर सीधे, नहीं विमान से संबंधित, इस तल में किसी रेखा के समानांतर है, तो यह भी समतल के समानांतर है।

सबूत

मान लीजिए α एक समतल है, एक ऐसी रेखा है जो उसमें नहीं पड़ी है, और a1 समतल में एक रेखा है α जो रेखा a के समानांतर है। आइए हम रेखा a और a1 से होकर α1 तल बनाएं। विमान α और α1 रेखा a1 के साथ प्रतिच्छेद करते हैं। यदि रेखा a समतल α को काटती है, तो प्रतिच्छेदन बिंदु रेखा a1 से संबंधित होगा। लेकिन यह असंभव है, क्योंकि रेखाएँ a और a1 समानांतर हैं। इसलिए, रेखा a समतल α को नहीं काटती है, और इसलिए यह समतल α के समानांतर है। प्रमेय सिद्ध हो चुका है।

18. विमानों

यदि दो समांतर तल एक तिहाई के साथ प्रतिच्छेद करते हैं, तो प्रतिच्छेदन रेखाएँ समानांतर होती हैं।(चित्र। 333)।

दरअसल, परिभाषा के अनुसार समानांतर रेखाएँ वे रेखाएँ होती हैं जो एक ही तल में होती हैं और प्रतिच्छेद नहीं करती हैं।हमारी रेखाएँ एक ही तल में स्थित हैं - छेदक तल। वे प्रतिच्छेद नहीं करते हैं, क्योंकि उनमें समाहित समानांतर तल प्रतिच्छेद नहीं करते हैं।

तो रेखाएँ समानांतर हैं, जिसे हम सिद्ध करना चाहते थे।

गुण

यदि तल α दूसरे तल β में पड़ी दो प्रतिच्छेदी रेखाओं में से प्रत्येक के समानांतर है, तो ये तल समानांतर हैं

यदि दो समांतर तलों को एक तिहाई प्रतिच्छेदित किया जाता है, तो उनके प्रतिच्छेदन की रेखाएँ समानांतर होती हैं

किसी दिए गए तल के बाहर एक बिंदु के माध्यम से, किसी दिए गए विमान के समानांतर एक विमान खींचना संभव है, और इसके अलावा, केवल एक ही

दो समांतर तलों से घिरी समानांतर रेखाओं के खंड बराबर होते हैं

दो कोण जिनकी क्रमशः समान्तर और समान रूप से निर्देशित भुजाएँ समान हैं और समांतर तलों में स्थित हैं

19.

यदि दो रेखाएँ एक ही तल में होती हैं, तो उनके बीच के कोण को मापना आसान होता है - उदाहरण के लिए, एक प्रोट्रैक्टर का उपयोग करके। और कैसे मापें रेखा और समतल के बीच का कोण?

मान लीजिए कि रेखा समतल को काटती है, समकोण पर नहीं, बल्कि किसी अन्य कोण पर। ऐसी रेखा कहलाती है परोक्ष.

आइए हम अपने तल की ओर झुके किसी बिंदु से एक लंब गिराते हैं। लंबवत के आधार को झुकाव और विमान के चौराहे के बिंदु से कनेक्ट करें। हमें मिला एक तिरछे विमान का प्रक्षेपण.

एक रेखा और एक तल के बीच का कोण एक रेखा और किसी दिए गए तल पर उसके प्रक्षेपण के बीच का कोण होता है।.

कृपया ध्यान दें - हम एक न्यून कोण को रेखा और तल के बीच के कोण के रूप में चुनते हैं।

यदि एक रेखा एक समतल के समानांतर है, तो रेखा और तल के बीच का कोण है शून्य.

यदि कोई रेखा किसी समतल पर लंबवत है, तो उसका समतल पर प्रक्षेपण एक बिंदु है। स्पष्ट है कि इस स्थिति में रेखा और तल के बीच का कोण 90° होता है।

एक रेखा एक समतल पर लंबवत होती है यदि वह उस तल की किसी भी रेखा के लंबवत होती है।.

यह परिभाषा है। लेकिन उसके साथ कैसे काम करें? कैसे जांचें कि दी गई रेखा समतल में पड़ी सभी रेखाओं के लंबवत है? आखिरकार, उनकी अनंत संख्या है।

व्यवहार में, इसे लागू किया जाता है एक रेखा और एक तल के लंबवतता का चिन्ह:

एक रेखा एक समतल पर लंबवत होती है यदि वह उस तल में पड़ी दो प्रतिच्छेदी रेखाओं के लंबवत हो।

21. डायहेड्रल कोण- स्थानिक ज्यामितीय आकृति, एक सीधी रेखा से निकलने वाले दो अर्ध-तलों द्वारा निर्मित, साथ ही इन अर्ध-तलों से घिरे हुए स्थान का एक भाग।

दो तलों को लंबवत कहा जाता है यदि उनके बीच का विकर्ण कोण 90 डिग्री हो।

यदि एक तल किसी अन्य तल के लंबवत रेखा से होकर गुजरता है, तो ये तल लंबवत होते हैं।

यदि दोनों में से किसी एक के बिंदु से लंबवत विमान, दूसरे तल पर एक लंब खींचिए, तो यह लंब पूरी तरह से पहले तल में स्थित होता है।

यदि दो लंबवत तलों में से एक में हम उनके प्रतिच्छेदन रेखा पर एक लंब खींचते हैं, तो यह लंब दूसरे तल पर लंबवत होगा।

दो प्रतिच्छेदी तल एक उभयनिष्ठ किनारे के साथ चार द्विफलकीय कोण बनाते हैं: जोड़े लंब कोणबराबर हैं और दो आसन्न कोणों का योग 180° है। यदि चार कोणों में से एक समकोण है, तो अन्य तीन भी बराबर और समकोण हैं। दो तलों को लम्बवत कहा जाता है यदि उनके बीच का कोण समकोण हो.

प्रमेय। यदि एक तल किसी अन्य तल के लंबवत रेखा से होकर गुजरता है, तो वे तल लंबवत होते हैं।

मान लीजिए और ऐसे दो तल हों कि यह रेखा AB से होकर जाए, जो इसके साथ बिंदु A पर लंबवत और प्रतिच्छेद करती हो (चित्र 49)। आइए साबित करें कि _|_ । विमान और प्रतिच्छेद किसी रेखा AC और AB _|_ AC के अनुदिश काटते हैं, क्योंकि एबी _|_। आइए हम समतल में एक रेखा AD खींचते हैं, जो रेखा AC के लंबवत है।

तब कोण BAD एक रैखिक कोण है द्विफलक कोण, शिक्षित और . परंतु< ВАD - 90° (ибо AB _|_ ), а тогда, по определению, _|_ . Теорема доказана.

22. एक पॉलीहेड्रॉन एक ऐसा पिंड है जिसकी सतह में समतल बहुभुजों की एक सीमित संख्या होती है।

1. कोई भी बहुभुज जो बहुफलक को बनाता है, आप उनमें से किसी एक से सटे एक पर जाकर, और इससे, बदले में, उससे सटे एक तक, आदि तक पहुँच सकते हैं।

इन बहुभुजों को कहा जाता है चेहरे के, उनके पक्ष - पसलियां, और उनके शीर्ष हैं चोटियोंबहुफलक। पॉलीहेड्रा के सबसे सरल उदाहरण हैं उत्तल पॉलीहेड्रा, अर्थात्, यूक्लिडियन अंतरिक्ष के एक परिबद्ध उपसमुच्चय की सीमा, जो अर्ध-रिक्त स्थान की एक परिमित संख्या का प्रतिच्छेदन है।

पॉलीहेड्रॉन की उपरोक्त परिभाषा एक अलग अर्थ पर निर्भर करती है कि बहुभुज को कैसे परिभाषित किया जाता है, जिसके लिए निम्नलिखित दो विकल्प संभव हैं:

सपाट बंद टूटी हुई रेखाएं (भले ही वे आत्म-प्रतिच्छेदन हों);

विमान के कुछ हिस्से टूटी हुई रेखाओं से बंधे हैं।

पहले मामले में, हमें स्टार पॉलीहेड्रॉन की अवधारणा मिलती है। दूसरे में, एक पॉलीहेड्रॉन बहुभुज टुकड़ों से बना एक सतह है। यदि यह सतह स्वयं को नहीं काटती है, तो यह किसी ज्यामितीय निकाय की पूर्ण सतह है, जिसे बहुफलक भी कहा जाता है। इसलिए पॉलीहेड्रॉन की तीसरी परिभाषा ज्यामितीय शरीर के रूप में उत्पन्न होती है।

सीधा प्रिज्म

प्रिज्म कहलाता है सीधाअगर यह पार्श्व पसलियांआधारों के लंबवत।
प्रिज्म कहलाता है परोक्षयदि इसके पार्श्व किनारे आधारों के लंबवत नहीं हैं।
एक सीधे प्रिज्म में ऐसे फलक होते हैं जो आयताकार होते हैं।

प्रिज्म कहलाता है सहीयदि इसके आधार नियमित बहुभुज हैं।
प्रिज्म की पार्श्व सतह का क्षेत्रफलभुजाओं के फलकों के क्षेत्रफलों का योग कहलाता है।
प्रिज्म की पूरी सतहपार्श्व सतह और आधारों के क्षेत्रों के योग के बराबर

प्रिज्म तत्व:
अंक - शिखर कहलाते हैं
खंडों को पार्श्व किनारे कहा जाता है
बहुभुज और - आधार कहलाते हैं। विमानों को स्वयं भी आधार कहा जाता है।

24. समानांतर पिंड(ग्रीक παράλλος से - समानांतर और ग्रीक επιπεδον - समतल) - एक प्रिज्म, जिसका आधार एक समांतर चतुर्भुज है, या (समान रूप से) एक बहुफलक है, जिसके छह फलक हैं और उनमें से प्रत्येक एक समांतर चतुर्भुज है।

समांतर चतुर्भुज अपने विकर्ण के मध्य बिंदु के बारे में सममित है।

समानांतर चतुर्भुज की सतह से संबंधित और इसके विकर्ण के बीच से गुजरने वाले किसी भी खंड को इसके द्वारा आधे में विभाजित किया जाता है; विशेष रूप से, समांतर चतुर्भुज के सभी विकर्ण एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं और इसे समद्विभाजित करते हैं।

समांतर चतुर्भुज के विपरीत फलक समानांतर और बराबर होते हैं।

विकर्ण लंबाई का वर्ग घनाभ योग के बराबर हैइसके तीन आयामों के वर्ग।

घनाभ का पृष्ठीय क्षेत्रफलइस समांतर चतुर्भुज के तीन फलकों के क्षेत्रफलों के योग के दोगुने के बराबर है:

1.	एस= 2(एस ए+एसबी+अनुसूचित जाति)= 2(अब+बीसी+एसी)

25 .पिरामिड और उसके तत्व

एक समतल पर विचार करें, जिसमें एक बहुभुज है और एक बिंदु S उसमें नहीं पड़ा है। S को बहुभुज के सभी शीर्षों से कनेक्ट करें। परिणामी पॉलीहेड्रॉन को पिरामिड कहा जाता है। खंडों को पार्श्व किनारे कहा जाता है। बहुभुज को आधार कहा जाता है, और बिंदु S को पिरामिड का शीर्ष कहा जाता है। संख्या n के आधार पर, पिरामिड को त्रिभुजाकार (n=3), चतुर्भुज (n=4), पंचकोणीय (n=5) इत्यादि कहा जाता है। वैकल्पिक शीर्षक त्रिकोणीय पिरामिड – चतुर्पाश्वीय. पिरामिड की ऊंचाई उसके शीर्ष से आधार तल तक खींचा गया लंबवत है।

एक पिरामिड को सही कहा जाता है यदि नियमित बहुभुज, और पिरामिड की ऊंचाई का आधार (लंबवत का आधार) इसका केंद्र है।

कार्यक्रम पार्श्व सतह क्षेत्र की गणना करने के लिए डिज़ाइन किया गया है सही पिरामिड.
पिरामिड एक पॉलीहेड्रॉन है जिसका आधार बहुभुज के रूप में होता है, और शेष फलक एक सामान्य शीर्ष वाले त्रिभुज होते हैं।

एक नियमित पिरामिड के पार्श्व सतह क्षेत्र की गणना करने का सूत्र है:

जहाँ p आधार का परिमाप है (बहुभुज ABCDE),
ए - एपोथेम (ओएस);

एपोथेम एक नियमित पिरामिड के पार्श्व चेहरे की ऊंचाई है, जो इसके शीर्ष से खींचा जाता है।

एक नियमित पिरामिड के पार्श्व सतह क्षेत्र को खोजने के लिए, पिरामिड परिधि और एपोथेम मान दर्ज करें, फिर "कैलक्यूलेट" बटन पर क्लिक करें। कार्यक्रम एक नियमित पिरामिड के पार्श्व सतह क्षेत्र का निर्धारण करेगा, जिसका मूल्य हो सकता है क्लिपबोर्ड पर रखा गया।

छोटा पिरामिड

एक छोटा पिरामिड एक हिस्सा है पूरा पिरामिडआधार और उसके समानांतर एक खंड के बीच संलग्न है।
क्रॉस सेक्शन को कहा जाता है एक काटे गए पिरामिड का ऊपरी आधार, और पूर्ण पिरामिड का आधार है निचला आधारकटा हुआ पिरामिड। (आधार समान हैं।) साइड फेसकाटे गए पिरामिड - ट्रेपोजॉइड। एक काटे गए पिरामिड में 3 एनपसलियों, 2 एनचोटियाँ, एन+ 2 चेहरे, एन(एन- 3) विकर्ण। ऊपरी और निचले आधारों के बीच की दूरी काटे गए पिरामिड की ऊंचाई (पूर्ण पिरामिड की ऊंचाई से कटा हुआ खंड) है।
वर्ग पूरी सतहछोटा पिरामिड उसके फलकों के क्षेत्रफलों के योग के बराबर होता है।
काटे गए पिरामिड का आयतन ( एसतथा एस- आधार क्षेत्र, एच- कद)

रोटेशन का शरीरएक सीधी रेखा के चारों ओर एक रेखा के घूमने के परिणामस्वरूप बनने वाला पिंड कहलाता है।

एक लम्ब वृत्तीय बेलन एक गोले में अंकित होता है यदि उसके आधारों के वृत्त गोले पर स्थित हों। बेलन के आधार गेंद के छोटे वृत्त होते हैं, गेंद का केंद्र बेलन के अक्ष के मध्य के साथ मेल खाता है। [ 2 ]

एक लम्ब वृत्तीय बेलन एक गोले में अंकित होता है यदि उसके आधारों के वृत्त गोले पर स्थित हों। जाहिर है, गोले का केंद्र न तो बेलन की धुरी के बीच में होता है। [ 3 ]

किसी भी बेलन का आयतन उत्पाद के बराबर हैआधार क्षेत्र से ऊंचाई:

1.	वी=π आर 2 एच

पूरा क्षेत्रसिलेंडर की सतह सिलेंडर की पार्श्व सतह के योग के बराबर होती है और दोहरा वर्गसिलेंडर का आधार।

एक बेलन के कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल की गणना करने का सूत्र है:

27. घूर्णन द्वारा एक गोल शंकु प्राप्त किया जा सकता है सही त्रिकोणइसके एक पैर के चारों ओर, इसलिए गोल शंकु को क्रांति का शंकु भी कहा जाता है। गोल शंकु का आयतन भी देखें

एक वृत्ताकार शंकु का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफलशंकु की पार्श्व सतह और उसके आधार के क्षेत्रफलों के योग के बराबर है। एक शंकु का आधार एक वृत्त है और इसके क्षेत्रफल की गणना एक वृत्त के क्षेत्रफल के सूत्र का उपयोग करके की जाती है:

2.	एस=π आर एल+π आर 2=π आर(आर+मैं)

28. छिन्नकएक शंकु के आधार के समानांतर एक खंड खींचकर प्राप्त किया जाता है। शंकु के इस खंड, आधार और पार्श्व सतह से घिरे शरीर को काटे गए शंकु कहा जाता है। एक काटे गए शंकु का आयतन भी देखें

काटे गए शंकु का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफलकाटे गए शंकु और उसके आधारों की पार्श्व सतह के क्षेत्रफलों के योग के बराबर है। एक काटे गए शंकु के आधार वृत्त हैं और उनके क्षेत्रफल की गणना एक वृत्त के क्षेत्रफल के सूत्र का उपयोग करके की जाती है: एस= π (आर 1 2 + (आर 1 + आर 2)मैं+ आर 2 2)

29. गेंद - ज्यामितीय शरीरएक सतह से घिरा है जिसके सभी बिंदु चालू हैं समान दूरीकेंद्र से। इस दूरी को गोले की त्रिज्या कहते हैं।

वृत्त(ग्रीक αῖρα - गेंद) - एक बंद सतह, ज्यामितीय स्थानकिसी दिए गए बिंदु से समान दूरी पर अंतरिक्ष में बिंदु, जिसे गोले का केंद्र कहा जाता है। एक गोला एक दीर्घवृत्त का एक विशेष मामला है, जिसमें सभी तीन अक्ष (आधा कुल्हाड़ियों, त्रिज्या) बराबर हैं। एक गोला एक गेंद की सतह है।

गोलाकार खंड (गोलाकार क्षेत्र) और गोलाकार परत की गोलाकार सतह का क्षेत्रफल केवल उनकी ऊंचाई और गेंद की त्रिज्या पर निर्भर करता है और ऊंचाई से गुणा करके गेंद के महान वृत्त की परिधि के बराबर होता है

बॉल वॉल्यूमपिरामिड के आयतन के बराबर, जिसके आधार का क्षेत्रफल गेंद की सतह के समान है, और ऊँचाई गेंद की त्रिज्या है

एक गोले का आयतन उसके चारों ओर घिरे बेलन के आयतन से डेढ़ गुना कम होता है।

गेंद तत्व

बॉल सेगमेंट कटिंग प्लेन गेंद को दो बॉल सेगमेंट में विभाजित करता है। एच- खंड ऊंचाई, 0< एच < 2 आर, आर- खंड आधार त्रिज्या, बॉल सेगमेंट वॉल्यूम गोलाकार खंड की गोलाकार सतह का क्षेत्रफल
गोलाकार परत एक गोलाकार परत दो समानांतर वर्गों के बीच घिरे गोले का एक हिस्सा है। दूरी ( एच) वर्गों के बीच कहा जाता है परत की ऊंचाई, और अनुभाग स्वयं - परत आधार. गोलाकार सतह क्षेत्र ( मात्रा) गोलाकार परत के क्षेत्रों में अंतर के रूप में पाया जा सकता है गोलाकार सतह(वॉल्यूम) गोलाकार खंडों का।

 1. किसी सदिश को किसी संख्या से गुणा करना(चित्र 56)।

वेक्टर उत्पाद लेकिनप्रति संख्या λ वेक्टर कहा जाता है पर, जिसका मापांक वेक्टर के मापांक के उत्पाद के बराबर है लेकिनप्रति मॉड्यूल संख्या λ :

दिशा नहीं बदलती अगर λ > 0 ; विपरीत में बदल जाता है अगर λ < 0 . यदि एक = -1, फिर वेक्टर

एक वेक्टर कहा जाता है, विपरीत वेक्टर लेकिन, और निरूपित है

 2. वेक्टर जोड़. दो सदिशों का योग ज्ञात करने के लिए लेकिनतथा परवेक्टर

तब योग एक वेक्टर होगा, जिसकी शुरुआत पहले की शुरुआत के साथ मेल खाती है, और अंत - दूसरे के अंत के साथ। इस सदिश योग नियम को "त्रिकोण नियम" कहा जाता है (चित्र 57)। सममांड वैक्टर को चित्रित करना आवश्यक है ताकि दूसरे वेक्टर की शुरुआत पहले के अंत के साथ मेल खाए।

यह सिद्ध करना आसान है कि सदिशों के लिए "पदों के स्थानों में परिवर्तन से योग नहीं बदलता है।"
आइए हम वैक्टर जोड़ने के लिए एक और नियम इंगित करें - "समांतर चतुर्भुज नियम"। यदि हम सारांश वैक्टर की शुरुआत को जोड़ते हैं और उन पर एक समांतर चतुर्भुज बनाते हैं, तो योग एक वेक्टर होगा जो इस समांतर चतुर्भुज के विकर्ण के साथ मेल खाता है (चित्र 58)।

यह स्पष्ट है कि "समांतर चतुर्भुज नियम" के अनुसार जोड़ने से वही परिणाम प्राप्त होता है जो "त्रिकोण नियम" के अनुसार होता है।
"त्रिकोण नियम" को सामान्य बनाना आसान है (कई शब्दों के मामले में)। खोजने के क्रम में वैक्टर का योग

दूसरे वेक्टर की शुरुआत को पहले के अंत के साथ जोड़ना आवश्यक है, तीसरे की शुरुआत - दूसरे के अंत के साथ, आदि। फिर वेक्टर की शुरुआत सेपहले की शुरुआत और अंत के साथ मेल खाता है से- बाद के अंत के साथ (चित्र। 59)।

 3. सदिशों का घटाव. घटाव ऑपरेशन दो पिछले ऑपरेशन में कम हो गया है: दो वैक्टर का अंतर दूसरे के विपरीत वेक्टर के साथ पहले का योग है:

आप वैक्टर घटाने के लिए "त्रिकोण नियम" भी बना सकते हैं: वैक्टर की शुरुआत को जोड़ना आवश्यक है लेकिनतथा पर, तो उनका अंतर सदिश होगा

वेक्टर के अंत से खींचा गया परवेक्टर के अंत की ओर लेकिन(चित्र 60)।

हम निम्नलिखित में विस्थापन सदिश के बारे में बात करेंगे सामग्री बिंदु, अर्थात्, बिंदु की प्रारंभिक और अंतिम स्थिति को जोड़ने वाला एक सदिश। सहमत हूं कि विस्थापन वैक्टर के लिए वैक्टर पर कार्रवाई के शुरू किए गए नियम काफी स्पष्ट हैं।

 4. वैक्टर का डॉट उत्पाद. नतीजा डॉट उत्पाददो वैक्टर लेकिनतथा परसंख्या c वैक्टर के मॉड्यूल के उत्पाद और कोण के कोसाइन के बराबर है α के बीच

भौतिकी में वैक्टर के अदिश उत्पाद का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है। भविष्य में, हमें अक्सर इस तरह के ऑपरेशन से निपटना होगा।

लेख एक सीधी रेखा और एक विमान के समानांतरवाद की अवधारणाओं पर विचार करता है। मुख्य परिभाषाओं पर विचार किया जाएगा और उदाहरण दिए जाएंगे। समांतरता के लिए आवश्यक और पर्याप्त शर्तों के साथ एक सीधी रेखा के समांतरता के संकेत पर विचार करें, हम कार्यों के उदाहरणों को विस्तार से हल करेंगे।

Yandex.RTB आर-ए-339285-1 परिभाषा 1

रेखा और तल कहलाते हैं समानांतरअगर उनके पास नहीं है सामान्य बिंदु, अर्थात्, वे प्रतिच्छेद नहीं करते हैं।

समानता "∥" द्वारा इंगित की जाती है। यदि स्थिति के अनुसार कार्य में रेखा a और समतल α समानांतर हैं, तो संकेतन a α है। नीचे दिए गए चित्र पर विचार करें।

यह माना जाता है कि रेखा a, समतल α के समानांतर और समतल α, रेखा a के समानांतर, समतुल्य हैं, अर्थात रेखा और समतल किसी भी स्थिति में एक दूसरे के समानांतर हैं।

एक सीधी रेखा और एक तल का समानांतरवाद - समानता का एक संकेत और शर्तें

यह हमेशा स्पष्ट नहीं होता है कि एक रेखा और एक तल समानांतर होते हैं। अक्सर इसे साबित करने की जरूरत होती है। उपयोग करने के लिए आवश्यक पर्याप्त स्थिति, जो समानता की गारंटी देगा। इस तरह के संकेत को एक रेखा और एक विमान के समानांतरवाद का संकेत कहा जाता है। पहले समानांतर रेखाओं की परिभाषा का अध्ययन करने की सिफारिश की जाती है।

प्रमेय 1

यदि दी गई रेखा a, जो समतल α में नहीं है, रेखा b के समानांतर है, जो समतल α से संबंधित है, तो रेखा a समतल α के समानांतर है।

एक समतल के साथ एक सीधी रेखा के समानांतरवाद को स्थापित करने के लिए प्रयुक्त प्रमेय पर विचार करें।

प्रमेय 2

यदि दो समानांतर रेखाओं में से एक समतल के समानांतर है, तो दूसरी रेखा उस तल में स्थित है या उसके समानांतर है।

ज्यामिति पर कक्षा 10 - 11 की पाठ्यपुस्तक में एक विस्तृत प्रमाण पर विचार किया गया है। एक विमान के साथ एक सीधी रेखा के समानांतर के लिए एक आवश्यक और पर्याप्त शर्त संभव है यदि सीधी रेखा के निर्देशन वेक्टर और विमान के सामान्य वेक्टर की परिभाषा हो।

प्रमेय 3

लाइन ए की समानांतरता के लिए, जो विमान α से संबंधित नहीं है, और दिए गए विमान, एक आवश्यक और पर्याप्त स्थिति के साथ लाइन के लिए निर्देशन वेक्टर की लंबवतता है सामान्य वेक्टर दिया गया विमान.

शर्त तब लागू होती है जब समांतरता को सिद्ध करना आवश्यक होता है आयताकार प्रणाली COORDINATES त्रि-आयामी अंतरिक्ष. आइए विस्तृत प्रमाण देखें।

सबूत

मान लीजिए कि समन्वय प्रणाली O x y में रेखा अंतरिक्ष में रेखा के विहित समीकरणों द्वारा दी गई है, जिसका रूप x - x 1 a x \u003d y - y 1 a y \u003d z - z 1 a z या है पैरामीट्रिक समीकरणअंतरिक्ष में रेखा x = x 1 + a x y = y 1 + a y λ z = z 1 + a z , समतल α समतल A x + B y + C z + D = 0 के सामान्य समीकरणों के साथ।

अत: a → = (a x, a y, a z) सीधी रेखा a, n → = (A, B, C) के निर्देशांकों वाला एक दिशा देने वाला सदिश है, जो दिए गए समतल अल्फा का सामान्य सदिश है।

n → = (A , B , C) और a → = (a x , a y , a z) की लंबता सिद्ध करने के लिए, आपको डॉट उत्पाद की अवधारणा का उपयोग करने की आवश्यकता है। अर्थात्, उत्पाद a → , n → = a x · A + a y · B + a z · C के साथ, परिणाम वैक्टर के लंबवत होने की स्थिति से शून्य के बराबर होना चाहिए।

इसका अर्थ है कि रेखा और तल के समांतरता के लिए आवश्यक और पर्याप्त शर्त इस प्रकार लिखी गई है: a → , n → = a x · A + a y · B + a z · C । अत: a → = (a x , a y , a z) निर्देशांक वाली रेखा a का दिशा सदिश है, और n → = (A , B , C) समतल α का प्रसामान्य सदिश है।

उदाहरण 1

निर्धारित करें कि क्या रेखा x = 1 + 2 λ y = - 2 + 3 λ z = 2 - 4 समतल x + 6 y + 5 z + 4 = 0 के समानांतर है।

समाधान

हम पाते हैं कि प्रदान की गई रेखा समतल से संबंधित नहीं है, क्योंकि रेखा M (1 , - 2 , 2) के निर्देशांक फिट नहीं होते हैं। प्रतिस्थापित करने पर, हम पाते हैं कि 1 + 6 (- 2) + 5 2 + 4 = 0 3 = 0 ।

एक सीधी रेखा और एक समतल की समानता के लिए आवश्यक और पर्याप्त स्थिति की व्यवहार्यता की जाँच करना आवश्यक है। हम पाते हैं कि रेखा x = 1 + 2 y = - 2 + 3 z = 2 - 4 के निर्देशन सदिश के निर्देशांकों का मान a → = (2 , 3 , - 4) है।

x + 6 y + 5 z + 4 = 0 समतल का प्रसामान्य सदिश n → = (1 , 6 , 5) है। आइए वैक्टर a → और n → के अदिश गुणनफल की गणना के लिए आगे बढ़ें। हम पाते हैं कि a → , n → = 2 1 + 3 6 + (- 4) 5 = 0।

अत: सदिशों a → और n → की लंबता स्पष्ट है। यह इस प्रकार है कि रेखा और विमान समानांतर हैं।

उत्तर:रेखा और तल समानांतर हैं।

उदाहरण 2

निर्देशांक A (2, 3, 0) , B (4, - 1, - 7) दिए जाने पर निर्देशांक तल O y z में रेखा A B की समांतरता ज्ञात कीजिए।

समाधान

शर्त से, यह देखा जा सकता है कि बिंदु A (2, 3, 0) O x अक्ष पर नहीं है, क्योंकि x का मान 0 के बराबर नहीं है।

O x z तल के लिए, निर्देशांक i → = (1 , 0 , 0) वाले सदिश को इस तल का एक सामान्य सदिश माना जाता है। सीधी रेखा A B के दिशा सदिश को A B → के रूप में निरूपित करें। अब, शुरुआत और अंत के निर्देशांक का उपयोग करके, हम वेक्टर ए बी के निर्देशांक की गणना करते हैं। हम पाते हैं कि A B → = (2 , - 4 , - 7) । वैक्टर ए बी → = (2, - 4, - 7) और i → = (1, 0, 0) के लिए आवश्यक और पर्याप्त शर्तों की व्यवहार्यता की जांच करना आवश्यक है ताकि उनकी लंबवतता निर्धारित की जा सके।

आइए A B → , i → = 2 1 + (- 4) 0 + (- 7) 0 = 2 ≠ 0 लिखें।

इससे यह पता चलता है कि रेखा A B c कार्तिकये निर्देशांक O y z समानांतर नहीं हैं।

उत्तर:समानांतर नहीं हैं।

हमेशा निर्दिष्ट स्थिति में योगदान नहीं होता है आसान परिभाषाएक रेखा और एक तल की समानता का प्रमाण। यह जाँचने की आवश्यकता है कि क्या रेखा a समतल α से संबंधित है। एक और पर्याप्त शर्त है जिसके द्वारा समानता सिद्ध होती है।

किसी दी गई सीधी रेखा के लिए दो प्रतिच्छेद करने वाले विमानों A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 \u003d 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 \u003d 0 के समीकरण का उपयोग करके विमान α - सामान्य समीकरणसमतल A x + B y + C z + D = 0 ।

प्रमेय 4

लाइन ए और प्लेन α की समांतरता के लिए एक आवश्यक और पर्याप्त शर्त प्रणाली के समाधान की अनुपस्थिति है रेखीय समीकरण, जिसका रूप A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 A x + B y + C z + D = 0 है।

सबूत

यह परिभाषा से निम्नानुसार है कि विमान α के साथ रेखा में सामान्य बिंदु नहीं होने चाहिए, अर्थात, उन्हें प्रतिच्छेद नहीं करना चाहिए, केवल इस मामले में उन्हें समानांतर माना जाएगा। इसका मतलब यह है कि समन्वय प्रणाली O x y z से संबंधित बिंदु नहीं होने चाहिए और सभी समीकरणों को संतुष्ट करना चाहिए:

ए 1 एक्स + बी 1 वाई + सी 1 जेड + डी 1 = 0 ए 2 एक्स + बी 2 वाई + सी 2 जेड + डी 2 = 0, साथ ही विमान ए एक्स + बी वाई + सी जेड + का समीकरण डी = 0।

इसलिए, समीकरणों की एक प्रणाली जिसका रूप A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 A x + B y + C z है + डी = 0, असंगत कहा जाता है।

विपरीत सत्य है: यदि सिस्टम का कोई समाधान नहीं है A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 A x + B y + C z + D = 0 O x y z में ऐसा कोई बिंदु नहीं है जो सभी को संतुष्ट करता हो दिए गए समीकरणसाथ-साथ। हम पाते हैं कि निर्देशांक के साथ ऐसा कोई बिंदु नहीं है जो तुरंत सभी समीकरणों का समाधान हो सकता है ए 1 एक्स + बी 1 वाई + सी 1 जेड + डी 1 = 0 ए 2 एक्स + बी 2 वाई + सी 2 जेड + डी 2 = 0 और समीकरण A x + B y + C z + D = 0। इसका मतलब है कि हमारे पास एक समानांतर रेखा और एक विमान है, क्योंकि उनके चौराहे के बिंदु अनुपस्थित हैं।

समीकरणों की प्रणाली ए 1 एक्स + बी 1 वाई + सी 1 जेड + डी 1 = 0 ए 2 एक्स + बी 2 वाई + सी 2 जेड + डी 2 = 0 ए एक्स + बी वाई + सी जेड + डी = 0 नहीं है समाधान, जब मुख्य मैट्रिक्स की रैंक विस्तारित की रैंक से कम है। यह रैखिक समीकरणों को हल करने के लिए क्रोनकर-कैपेली प्रमेय द्वारा सत्यापित है। आप इसकी असंगति को निर्धारित करने के लिए गॉस विधि लागू कर सकते हैं।

उदाहरण 3

सिद्ध कीजिए कि रेखा x - 1 = y + 2 - 1 = z 3 समतल 6 x - 5 y + 1 3 z - 2 3 = 0 के समांतर है।

समाधान

समाधान के लिए यह उदाहरणसे जाना चाहिए विहित समीकरणदो प्रतिच्छेदी तलों के समीकरण के रूप में प्रत्यक्ष। आइए इसे इस तरह लिखें:

x - 1 = y + 2 - 1 = z 3 - 1 x = - 1 (y + 2) 3 x = - 1 z 3 (y + 2) = - 1 z x - y - 2 = 0 3 x + जेड = 0

दी गई रेखा x - y - 2 = 0 3 x + z = 0 के समतल 6 x - 5 y + 1 3 z - 2 3 = 0 के समानांतरवाद को सिद्ध करने के लिए, समीकरणों को एक प्रणाली में बदलना आवश्यक है समीकरण x - y - 2 = 0 3 x + z = 0 6 x - 5 y + 1 3 z - 2 3 = 0।

हम देखते हैं कि यह हल करने योग्य नहीं है, इसलिए हम गॉस विधि का सहारा लेंगे।

समीकरण लिखने के बाद, हम पाते हैं कि 1 - 1 0 2 3 0 1 0 6 - 5 1 3 2 3 ~ 1 - 1 0 2 0 3 1 - 6 0 1 1 3 - 11 1 3 ~ 1 - 1 0 2 0 3 1 - 6 0 0 0 - 9 1 3।

इससे हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि समीकरणों का निकाय असंगत है, क्योंकि रेखा और तल प्रतिच्छेद नहीं करते हैं, अर्थात् उनमें उभयनिष्ठ बिंदु नहीं होते हैं।

हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि रेखा x - 1 \u003d y + 2 - 1 \u003d z 3 और समतल 6 x - 5 y + 1 3 z - 2 3 \u003d 0 समानांतर हैं, क्योंकि समांतरता के लिए आवश्यक और पर्याप्त स्थिति है दी गई रेखा के साथ विमान मिला था।

उत्तर:रेखा और तल समानांतर हैं।

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स्वयंसिद्धों के कुछ परिणाम

प्रमेय 1:

एक रेखा और एक बिंदु के माध्यम से जो उस पर स्थित नहीं है, एक विमान गुजरता है, और इसके अलावा, केवल एक.

दिया गया: M a

सिद्ध करें: 1) α: a . होता हैα ,बी α

2) α ही है

सबूत:

1) एक सीधी रेखा पर और अंक चुनें पीतथा क्यू।तब हमारे पास 3 अंक होते हैं - आर, क्यू, एमजो एक ही लाइन पर नहीं है।

2) अभिगृहीत A1 के अनुसार, एक विमान तीन बिंदुओं से गुजरता है जो एक सीधी रेखा पर नहीं होते हैं, और इसके अलावा, केवल एक, यानी। समतल α, जिसमें रेखा a और बिंदु शामिल हैं एम, मौजूद।

3) आइए अब साबित करते हैं किα एकमात्र। मान लीजिए कि एक विमान β है जो बिंदु M और रेखा a दोनों से होकर गुजरता है, लेकिन फिर यह तल बिंदुओं से होकर जाता हैपी, क्यू, एम।और तीन अंक के बाद पी, क्यू, एम, एक सीधी रेखा पर झूठ नहीं बोलना, स्वयंसिद्ध 1 के आधार पर, केवल एक विमान गुजरता है।

4) अत: यह तल समतल α से संपाती होता है।इसलिए 1) एक सीधी रेखा पर, लेकिन अंक चुनें पीतथा क्यू. तब हमारे पास 3 अंक होते हैं - पी, क्यू, एम,जो एक ही रेखा पर स्थित नहीं है।इसलिए α अद्वितीय है।

प्रमेय सिद्ध हो चुका है।

1) रेखा b पर, एक बिंदु N लें, जो बिंदु M से मेल नहीं खाता है, अर्थात N b, N≠M

2) तब हमारे पास एक बिंदु N है, जो रेखा a से संबंधित नहीं है। पिछले प्रमेय के अनुसार, एक तल एक रेखा और उस पर न पड़े एक बिंदु से होकर गुजरता है। आइए इसे विमान α कहते हैं। इसका अर्थ यह है कि एक ऐसा तल जो रेखा a और बिंदु N से होकर गुजरता है, का अस्तित्व है।

3) आइए हम इस विमान की विशिष्टता को साबित करें। आइए इसके विपरीत मान लें। मान लीजिए कि एक समतल β ऐसा है कि यह रेखा a और रेखा b दोनों से होकर गुजरता है। लेकिन फिर यह रेखा a और बिंदु N से भी गुजरता है। लेकिन पिछले प्रमेय के अनुसार, यह तल अद्वितीय है, अर्थात। विमान β विमान α के साथ मेल खाता है।

4) इस प्रकार, हमने दो प्रतिच्छेदी रेखाओं से गुजरने वाले एक अद्वितीय तल के अस्तित्व को सिद्ध किया है।

प्रमेय सिद्ध हो चुका है।

समानांतर रेखा प्रमेय

प्रमेय:

अंतरिक्ष में किसी भी बिंदु के माध्यम से जो किसी दी गई रेखा पर स्थित नहीं है, वहां दी गई रेखा के समानांतर एक रेखा गुजरती है।

दिया गया: सीधा पूर्वाह्नए

सिद्ध करना:केवल एक प्रत्यक्ष हैबी ए, एम ∈ बी

सबूत:
1) रेखा a और बिंदु M के माध्यम से, जो उस पर स्थित नहीं है, कोई एक विमान (प्रथम उपफल) खींच सकता है। समतल α में, A के समानांतर एक रेखा b खींची जा सकती है, जो M से होकर गुजरती है।
2) आइए साबित करें कि यह केवल एक ही है। मान लीजिए कि एक अन्य रेखा c है जो बिंदु M से होकर जाती है और रेखा a के समानांतर है। मान लीजिए समांतर रेखाएं a और c समतल β में स्थित हैं। तब β M और रेखा a से होकर गुजरता है। लेकिन रेखा a से होकर बिंदु M, समतल α से होकर गुजरता है।
3) अत: α और β संपाती होते हैं। समानांतर रेखाओं के अभिगृहीत से यह निम्नानुसार है कि रेखाएँ b और c संपाती हैं, क्योंकि वहाँ से गुजरने वाले तल में केवल एक ही रेखा होती है। दिया गया बिंदुऔर दी गई रेखा के समानांतर।
प्रमेय सिद्ध हो चुका है।

समांतर रेखाओं की परिभाषा और अंतरिक्ष में उनके गुण समतल के समान हैं (आइटम 11 देखें)।

इसी समय, अंतरिक्ष में रेखाओं की व्यवस्था का एक और मामला संभव है - तिरछी रेखाएँ। वे रेखाएँ जो प्रतिच्छेद नहीं करती हैं और एक ही तल में नहीं होती हैं, प्रतिच्छेदी रेखाएँ कहलाती हैं।

चित्र 121 में लिविंग रूम का लेआउट दिखाया गया है। आप देखते हैं कि रेखाएँ जिससे AB और BC संबंधित हैं, तिरछी हैं।

प्रतिच्छेदी रेखाओं के बीच का कोण उनके समानांतर प्रतिच्छेद करने वाली रेखाओं के बीच का कोण होता है। यह कोण इस बात पर निर्भर नहीं करता है कि कौन सी प्रतिच्छेदी रेखाएँ ली गई हैं।

समांतर रेखाओं के बीच के कोण का अंश माप शून्य माना जाता है।

दो प्रतिच्छेदी रेखाओं का एक उभयनिष्ठ लंबवत एक खंड होता है जिसके सिरे इन रेखाओं पर होते हैं, जो उनमें से प्रत्येक के लिए लंबवत होता है। यह सिद्ध किया जा सकता है कि दो प्रतिच्छेदी रेखाओं का एक उभयनिष्ठ लंब होता है, और इसके अलावा, केवल एक। यह इन रेखाओं से गुजरने वाले समांतर तलों का उभयनिष्ठ लंबवत है।

प्रतिच्छेदी रेखाओं के बीच की दूरी उनके उभयनिष्ठ लंबवत की लंबाई है। यह इन रेखाओं से गुजरने वाले समांतर तलों के बीच की दूरी के बराबर है।

इस प्रकार, प्रतिच्छेदी रेखाओं a और b के बीच की दूरी ज्ञात करने के लिए (चित्र 122), यह आवश्यक है कि इन रेखाओं में से प्रत्येक के माध्यम से समांतर तल a और प्रत्येक के माध्यम से खींचा जाए। इन तलों के बीच की दूरी प्रतिच्छेदी रेखाओं a और b के बीच की दूरी होगी। आकृति 122 में, यह दूरी, उदाहरण के लिए, दूरी AB है।

उदाहरण। रेखाएँ a और b समानांतर हैं और रेखाएँ c और d प्रतिच्छेद करती हैं। क्या प्रत्येक रेखा a और दोनों रेखाओं को प्रतिच्छेद कर सकती है

समाधान। रेखाएँ a और b एक ही तल में स्थित हैं, और इसलिए उनमें से प्रत्येक को प्रतिच्छेद करने वाली कोई भी रेखा एक ही तल में होती है। इसलिए, यदि प्रत्येक रेखा a, b दोनों रेखाओं c और d को प्रतिच्छेद करती है, तो रेखाएँ a और b के साथ एक ही समतल में स्थित होंगी, और ऐसा नहीं हो सकता, क्योंकि रेखाएँ प्रतिच्छेद करती हैं।

42. एक सीधी रेखा और एक तल की समानता।

एक रेखा और एक तल को समानांतर कहा जाता है यदि वे प्रतिच्छेद नहीं करते हैं, अर्थात उनके पास सामान्य बिंदु नहीं हैं। यदि रेखा a समतल a के समानांतर है, तो वे लिखते हैं:।

चित्र 123 एक सीधी रेखा को समतल a के समानांतर दिखाता है।

यदि कोई रेखा जो किसी समतल से संबंधित नहीं है, इस तल में किसी रेखा के समानांतर है, तो वह स्वयं समतल के समानांतर भी है (रेखा और तल के समानांतर होने का संकेत)।

यह प्रमेय अनुमति देता है विशिष्ट स्थितिसिद्ध कीजिए कि एक रेखा और एक तल समानांतर हैं। चित्र 124 एक सीधी रेखा b को दर्शाता है, जो एक सीधी रेखा a के समानांतर है, जो समतल a में स्थित है, अर्थात सीधी रेखा b के साथ समतल a के समानांतर है, अर्थात।

उदाहरण। शीर्ष के माध्यम से समकोणआयताकार से त्रिभुज एबीसीकर्ण के समांतर एक तल को इससे 10 सेमी की दूरी पर खींचा जाता है। इस तल पर टाँगों का प्रक्षेपण 30 और 50 सेमी है। उसी तल पर कर्ण का प्रक्षेपण ज्ञात कीजिए।

समाधान। समकोण त्रिभुज BBVC और (चित्र 125) से हम पाते हैं:

त्रिभुज ABC से हम पाते हैं:

समतल a पर कर्ण AB का प्रक्षेपण है। चूँकि AB समतल a के समानांतर है, तो So,.

43. समानांतर विमान।

दो विमानों को समानांतर कहा जाता है। अगर वे प्रतिच्छेद नहीं करते हैं।

दो विमान समानांतर हैं" यदि उनमें से एक दूसरे विमान में पड़ी दो प्रतिच्छेदन रेखाओं के समानांतर है (दो विमानों के समानांतरता का संकेत)।

चित्र 126 में, समतल a समतल में पड़ी प्रतिच्छेदी रेखाओं a और b के समांतर है, तो इन तलों के अनुदिश समानांतर हैं।

किसी दिए गए विमान के बाहर एक बिंदु के माध्यम से, कोई दिए गए विमान के समानांतर एक विमान खींच सकता है, और इसके अलावा, केवल एक।

यदि दो समांतर तल एक तिहाई के साथ प्रतिच्छेद करते हैं, तो प्रतिच्छेदन रेखाएँ समानांतर होती हैं।

चित्र 127 दो समांतर तलों को दिखाता है, और तल y उन्हें सीधी रेखाओं a और b पर प्रतिच्छेद करता है। फिर, प्रमेय 2.7 द्वारा, हम दावा कर सकते हैं कि रेखाएँ a और b समानांतर हैं।

दो समान्तर तलों के बीच परिबद्ध समान्तर रेखाओं के खण्ड बराबर होते हैं।

T.2.8 के अनुसार, खंड AB और चित्र 128 में दिखाए गए खंड बराबर हैं, क्योंकि

इन विमानों को प्रतिच्छेद करने दें। उनके प्रतिच्छेदन की रेखा के लंबवत एक विमान बनाएं। यह इन तलों को दो सीधी रेखाओं में काटती है। इन रेखाओं के बीच के कोण को इन तलों के बीच का कोण कहते हैं (चित्र 129)। इस तरह से परिभाषित विमानों के बीच का कोण छेदक विमान की पसंद पर निर्भर नहीं करता है।