एक चतुष्फलक का आयतन।इस लेख में हम पिरामिड के साथ कई कार्यों पर विचार करेंगे। जैसा कि आप जानते हैं कि चतुष्फलक भी एक पिरामिड है। के बारे मेंचतुष्फलक की परिभाषा

चतुष्फलक सबसे सरल बहुफलक है, इसके 4 फलक होते हैं, जो त्रिभुज होते हैं। चतुष्फलक में 4 शीर्ष होते हैं, प्रत्येक शीर्ष पर 3 किनारे मिलते हैं, और कुल मिलाकर 6 किनारे होते हैं। समबाहु त्रिभुजसही कहा।

पिरामिड का आयतन (और इसलिए टेट्राहेड्रॉन):

S पिरामिड के आधार का क्षेत्रफल है एच - पिरामिड की ऊंचाई

किनारे पर नियमित टेट्राहेड्रॉन की मात्रा की गणना करें के बराबरएक।

तब प्रत्येक फलक का क्षेत्रफल बराबर होगा (में इस मामले मेंऔर एबीसी के आधार):

SO की ऊंचाई की गणना करें। विचार करना सही त्रिकोणएसओसी:

* यह ज्ञात है कि त्रिभुज के समद्विभाजकों को 1 से 2 के अनुपात में प्रतिच्छेदन बिंदु से विभाजित किया जाता है।

आइए सीएम की गणना करें। पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार:

इस तरह:

इस प्रकार, चतुष्फलक का आयतन इसके बराबर होगा:

नीचे दिए गए कार्यों का अर्थ इस प्रकार है - पिरामिड के सभी किनारे, या केवल ऊँचाई, कई गुना बढ़ जाती है। स्पष्ट है कि इससे इसका पृष्ठ क्षेत्रफल भी बढ़ जाता है। अगला, आपको यह गणना करने की आवश्यकता है कि यह वृद्धि कितनी बार हुई है।

1. यदि केवल पिरामिड की ऊंचाई बढ़ती है और वॉल्यूम बदलने के बारे में कोई सवाल है, तो यह स्पष्ट है कि यह पिरामिड की प्रारंभिक मात्रा के सीधे अनुपात में बढ़ता है, क्योंकि निर्भरता रैखिक है। सीधे शब्दों में कहें तो वॉल्यूम उसी मात्रा में बढ़ता है जैसे ऊंचाई बढ़ती है।

2. यदि हम पिरामिड के सभी किनारों को एक निश्चित संख्या में बढ़ाने की बात कर रहे हैं, तो यहां यह समझना आवश्यक है कि परिणाम मूल के समान एक पिरामिड है, और इसके चेहरे भी संबंधित चेहरों के समान हैं। परिणामी पिरामिड का।

मैं खुद को अनुमति देता हूं इस पल, आकृतियों और पिंडों की समानता के मुद्दे पर, आपको पाठ्यपुस्तक में दिए गए सिद्धांत को देखने के लिए आमंत्रित करते हैं। निकट भविष्य में मैं निश्चित रूप से इस विषय पर एक अलग लेख पोस्ट करूंगा।

प्रस्तुत कार्यों के समूह के लिए, मैं ध्यान देता हूं कि समानता गुणों का उपयोग करते हुए, ऐसे कार्यों को लगभग एक चरण में हल किया जाता है।

यहां आपको याद रखने और जानने की आवश्यकता है:

अर्थात्, यदि हम पिरामिड के सभी किनारों को k से गुणा करते हैं, तो इसके किसी भी चेहरे के क्षेत्रफल का अनुपात इसके मूल चेहरे के क्षेत्रफल के बराबर होगा k 2 । स्वाभाविक रूप से, संबंध कुल क्षेत्रफलऐसे पिरामिडों की सतहें भी k 2 के बराबर होंगी।

और:

अर्थात्, यदि हम पिरामिड के सभी किनारों को k गुना बढ़ाते हैं, तो परिणामी पिरामिड के आयतन का अनुपात मूल के आयतन के बराबर होगाकश्मीर 3 . कार्यों पर विचार करें:

एक नियमित चतुष्फलक का आयतन कितना गुना बढ़ जाएगा यदि इसके सभी किनारों को सोलह गुना बढ़ा दिया जाए?

चतुष्फलक एक पिरामिड है जिसके सभी फलक समबाहु त्रिभुज हैं।

यह पिरामिड और इसके सभी किनारों को 16 गुना बढ़ाकर प्राप्त पिरामिड समान होगा, समानता गुणांक क्रमशः 16 के बराबर होगा।

समान निकायों के आयतन समानता गुणांक के घन के रूप में संबंधित हैं।यही है, जैसा कि पहले ही उल्लेख किया गया है, परिणामी पिरामिड का आयतन उत्पाद के बराबर हैसमानता गुणांक का घन और मूल पिरामिड का आयतन:

निर्धारित करें कि वॉल्यूम कितनी बार बढ़ेगा, वॉल्यूम का अनुपात ज्ञात करें:

इस प्रकार, यदि सभी किनारों को 16 गुना बढ़ा दिया जाए, तो आयतन 4096 गुना बढ़ जाएगा।

* आप समस्या को दूसरे तरीके से हल कर सकते हैं। टेट्राहेड्रॉन के किनारे को नामित करें ए,तो इसकी ऊंचाई व्यक्त करें। उसके बाद, सूत्र का उपयोग करके पिरामिडों की मात्रा निर्धारित करें, और फिर परिणामी मात्राओं का अनुपात ज्ञात करें। लेकिन ऐसा रास्ता अनुचित रूप से लंबा होगा और इसे हल करने के लिए कई गुना अधिक समय की आवश्यकता होगी।

उत्तर: 4096

यदि पिरामिड की ऊंचाई बारह गुना बढ़ा दी जाए तो उसका आयतन कितना गुना हो जाएगा?

एक पिरामिड का आयतन आधार के क्षेत्रफल और ऊँचाई के गुणनफल के एक तिहाई के बराबर होता है:

एस- आधार क्षेत्र

एच- पिरामिड की ऊंचाई

ऊंचाई में 12 गुना वृद्धि के साथ, पिरामिड का आयतन भी 12 गुना बढ़ जाएगा (यह एक सीधी रेखा संबंध है):

उत्तर: 12

यदि इसके सभी किनारों को पाँच गुना बढ़ा दिया जाए तो एक नियमित टेट्राहेड्रॉन का सतह क्षेत्रफल कितना गुना बढ़ जाएगा?

ध्यान दें कि एक टेट्राहेड्रॉन का सतह क्षेत्र उसके चार चेहरों के क्षेत्रों के योग के बराबर है, जो नियमित त्रिकोण हैं।

पहला तरीका:

आइए मूल टेट्राहेड्रॉन और बढ़े हुए एक की सतह का क्षेत्रफल निर्धारित करें, और फिर क्षेत्रों का अनुपात ज्ञात करें।

बता दें कि टेट्राहेड्रॉन का किनारा है ए, तब चेहरे का क्षेत्रफल बराबर होगा:

* त्रिकोण का प्रयोग करें।

तो मूल टेट्राहेड्रॉन का सतह क्षेत्र बराबर होगा:

यदि टेट्राहेड्रॉन के किनारों को 5 गुना बढ़ा दिया जाए, तो सतह का क्षेत्रफल इस प्रकार बदल जाएगा:

क्षेत्र अनुपात है:

इस प्रकार, यदि चतुष्फलक के किनारों को पाँच गुना बढ़ा दिया जाए, तो इसका पृष्ठीय क्षेत्रफल 25 गुना बढ़ जाएगा।

दूसरा तरीका:

यह ज्ञात है कि एक आकृति के रैखिक आयामों में k गुना वृद्धि (कमी) के साथ, इसके समान एक आंकड़ा प्राप्त होता है, उनके क्षेत्रों को समानता गुणांक के वर्ग के रूप में संबंधित किया जाता है, अर्थात:

k समानता गुणांक है

इस समस्या में कश्मीर = 5।

अर्थात्, समानता गुण का उपयोग करके समस्या को मौखिक रूप से हल किया जाता है:

*पिरामिड के प्रत्येक चेहरे का क्षेत्रफल 25 गुना बढ़ जाएगा, जिसका मतलब है कि पूरे पिरामिड का सतह क्षेत्र भी 25 गुना बढ़ जाएगा।

उत्तर : 25

27172. यदि पिरामिड के सभी किनारों को दोगुना कर दिया जाए तो इसका सतह क्षेत्रफल कितना गुना बढ़ जाएगा?

यह कार्य पिछले वाले से अलग नहीं है। इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि हम एक चतुर्भुज, एक पिरामिड, एक घन, एक समानांतर चतुर्भुज, या एक और बहुतल के बारे में बात कर रहे हैं। यदि यह कहा जाए कि सभी किनारों में वृद्धि होती है वही संख्याकई बार, तो "नए" शरीर के परिणामी चेहरे मूल शरीर के संबंधित चेहरों के समान होंगे। और इसका मतलब है कि सतह क्षेत्र में वृद्धि k 2 बार (जहाँ k समानता गुणांक है) में होगी।

गणित में परीक्षा का प्रयोग करें।

डेमो #8।

समाधान अधिकांश कठिन कार्यसमूह बी.

तीन बजे।एक समांतर चतुर्भुज और एक आयत की भुजाएँ समान हैं। पाना तेज़ कोनेसमांतर चतुर्भुज यदि इसका क्षेत्रफल आयत के क्षेत्रफल का आधा है। अपना उत्तर डिग्रियों में दें।

समाधान.

समांतर चतुर्भुज क्षेत्र सूत्र:

एस = ए . बी. sinα, कहाँ ए, बीसमांतर चतुर्भुज की भुजाएँ हैं, sin α उनके बीच का कोण है।

आयत क्षेत्र सूत्र:

एस = ए . बी, कहाँ ए, बी- आयत की भुजाएँ।

1) आयत का क्षेत्रफल दोगुना कर दिया जाता है अधिक क्षेत्रसमांतर चतुर्भुज यदि उनकी भुजाएँ समान हैं। वह है:

ए . बी = 2 (ए . बी. sinα)।

2) कोण α की ज्या की गणना करें:

ए . बी
sinα = ———— = 1/2।
2(ए . बी)

3) स्मरण करो संख्या चक्र: यदि किसी कोण की ज्या 1/2 है, तो कोण स्वयं 30° का होता है। तो कार्य हल हो गया है।

उत्तर: 30.

प्रात: 10 बजे। जिम्नास्टिक चैंपियनशिप में 56 एथलीट भाग ले रहे हैं: 27 रूस से, 22 यूएसए से और बाकी चीन से। जिस क्रम में जिमनास्ट प्रदर्शन करते हैं वह बहुत से निर्धारित होता है। इस बात की प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि जो एथलीट पहले प्रतिस्पर्धा करता है वह चीन से है।

समाधान.

चैंपियनशिप में 7 चीनी जिमनास्ट भाग लेते हैं (56 - 27 - 22 = 7)।

इसका अर्थ है कि एक चीनी महिला के पहले बोलने की प्रायिकता 56 में से 7 है। हम इस अनुपात की रचना करते हैं और इसका अनुवाद करते हैं दशमलव, जो उत्तर होगा:

7/56 = 0,125.

उत्तर: 0,125.

11 बजे। एक नियमित चतुष्फलक का आयतन कितना गुना बढ़ जाएगा यदि इसके सभी किनारों को आठ गुना बढ़ा दिया जाए?

समाधान.

चतुष्फलक आयतन सूत्र:

वी = √2/12। ए 3, कहाँ एचतुष्फलक के किनारे की लंबाई है।

हम देखते हैं कि चतुष्फलक का आयतन केवल उसके किनारे की लंबाई पर निर्भर करता है। यानी अगर हम दो टेट्राहेड्रा की तुलना करें विभिन्न आकार, तब यह पता चला: कितनी बार अधिक एएक टेट्राहेड्रॉन के 3 दूसरे की तुलना में, इसकी मात्रा समान संख्या में अधिक है। इसलिए समस्या का समाधान आसान है।

होने देना ए= 1. फिर एक 3 = 1।

आइए किनारे की लंबाई 8 गुना बढ़ाएँ - अब चलो ए= 8. देखते हैं कि इस मामले में क्या होता है:

8 3 = 512.

निष्कर्ष: टेट्राहेड्रॉन के किनारे में 8 गुना वृद्धि के साथ, इसका आयतन 512 गुना बढ़ जाएगा।

उत्तर: 512.

बारह बजे। मांग की मात्रा की निर्भरता क्यू(इकाइयां प्रति माह) मूल्य से एक एकाधिकार उद्यम के उत्पादों के लिए पी(हजार रूबल) सूत्र द्वारा दिया गया है क्यू= 50−5पी. महीने के लिए कंपनी का राजस्व आर(हजार रूबल) की गणना सूत्र द्वारा की जाती है आर(पी) = पी क्यू. ठानना सबसे ज़्यादा कीमत पी, जिस पर मासिक राजस्व आर(पी) 120 हजार रूबल की राशि होगी। हजारों रूबल में अपना उत्तर दें।

समाधान.

सबसे पहले, आइए लिखें कि हम समस्या से क्या जानते हैं:

आर(पी) = 120,

क्यू= 50−5पी.

राजस्व सूत्र में आर(पी) = पी क्यूइन दो मूल्यों को प्रतिस्थापित करें, घटाएं और प्राप्त करें द्विघात समीकरण:

पी(50−5पी) = 120,

50पी - 5पी 2 = 120,

5पी 2 + 50पी = 120,

5पी 2 + 50पी - 120 = 0,

5पी 2 - 50पी + 120 = 0,

पी 2 - 10पी + 24 = 0.

द्विघात समीकरण को हल करने पर हमें इसके दो मूल मिलते हैं:

पी 1 = 4, पी 2 = 6.

हमें उच्चतम मूल्य निर्धारित करने की आवश्यकता है - अर्थात दो मूल्यों से पीदूसरा चुनें: 6 (हजार रूबल)।

उत्तर: 6.

बी 13।समुद्र के द्वारा, दो सूखे मालवाहक जहाज एक दिशा में समानांतर पाठ्यक्रमों का अनुसरण करते हैं: पहला 120 मीटर लंबा है, दूसरा 80 मीटर लंबा है। सबसे पहले, दूसरा बल्क कैरियर पहले से पिछड़ जाता है, और किसी समय में, पहले बल्क कैरियर के स्टर्न से दूसरे के धनुष तक की दूरी 400 मीटर होती है। उसके 12 मिनट बाद, पहला बल्क कैरियर दूसरे से इतना पिछड़ जाता है कि दूसरे बल्क कैरियर के स्टर्न से पहले के धनुष तक की दूरी 600 मीटर हो जाती है। पहले मालवाहक जहाज की गति दूसरे की गति से कितने किलोमीटर प्रति घंटा कम है?

समाधान.

यह समझना महत्वपूर्ण है: पहला स्थिर नहीं रहा, दोनों चले गए। गति में दो सूखे मालवाहक जहाजों की कल्पना करना अत्यावश्यक है ताकि कोई गलती न हो या अनावश्यक कार्रवाई न हो, जिससे गलत उत्तर भी मिलेगा।

1) इसलिए, दूसरा सूखा मालवाहक जहाज तेजी से आगे बढ़ा और 12 मिनट में पहले सूखे मालवाहक जहाज को 600 मीटर से आगे निकल गया, जबकि 400 मीटर के अंतराल और पहले सूखे मालवाहक जहाज की लंबाई और अपने बराबर की दूरी को पार कर गया लंबाई। परिणामस्वरूप, वह इन सभी मूल्यों के योग से पहले सूखे मालवाहक जहाज के सापेक्ष चला गया:

80 + 400 + 120 + 600 = 1200 (एम)।

12 मिनट - 1200 मी

60 मिनट - एक्सएम।

यहाँ से:

एक्स= 60। 1200: 12 = 6000 मीटर या 6 किमी।

इस प्रकार, दूसरे बल्क कैरियर की गति 6 किमी/घंटा है और अधिक गतिपहला।

समस्या हल हो गई।

उत्तर: 6.

नमस्ते, प्रिय मित्रों! इस लेख में, हम कुछ समस्याओं पर विचार करेंगे जिनमें हम एक शंकु के आयतन के बारे में बात कर रहे हैं। पिछले लेख में, हमारे पास कई कार्य हैं। सार सरल है - शंकु या त्रिज्या की ऊंचाई को एक निश्चित तक कम करने (बढ़ाने) के लिए एक शर्त है। सवाल यह है कि वॉल्यूम कैसे बदल गया है।एक बार फिर, शंकु के आयतन का सूत्र:

सबसे पहले, समस्या पर विचार करें, और फिर समाधान के लिए कुछ सुझाव निर्धारित करें।

27094. यदि शंकु की ऊंचाई 3 गुना कम कर दी जाए तो उसका आयतन कितने गुना कम हो जाएगा?

जाहिर है, अगर हम ऊंचाई को तीन के कारक से कम करते हैं, तो आयतन भी तीन के कारक से घट जाएगा (संबंध सीधा है)। औपचारिक रूप से, इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है:

उत्तर: 3

27095. यदि एक शंकु के आधार की त्रिज्या 1.5 गुना बढ़ा दी जाए तो उसका आयतन कितना गुना हो जाएगा?

आइए त्रिज्या को 1.5 गुना बढ़ाएँ:

वॉल्यूम 2.25 गुना बढ़ जाएगा।

उत्तर: 2.25

* अर्थात्, हम निष्कर्ष निकाल सकते हैं:

यदि शंकु के आधार की त्रिज्या को n गुना (बढ़ाया या घटाया) जाता है, तो इसका आयतन क्रमशः n 2 गुना बढ़ या घट जाएगा। औपचारिक प्रविष्टि देखें:

आइए ऐसा कार्य निर्धारित करें।एक शंकु की ऊंचाई 10 गुना बढ़ा दी जाती है और त्रिज्या 4 गुना कम कर दी जाती है, तो उसके आयतन में क्या परिवर्तन होगा?

शंकु का आयतन है:

ऊँचाई को 10 से बढ़ाएँ और त्रिज्या को 4 घटाएँ:

0.625 का मान दर्शाता है कि आयतन घटेगा। अर्थात्, परिणामी शंकु का आयतन मूल शंकु के आयतन का 0.625 होगा।

इस परिवर्तन को इस प्रकार भी व्यक्त किया जा सकता है।

परिणामी शंकु के आयतन से मूल शंकु के आयतन को विभाजित करें और निर्धारित करें कि कमी कितनी बार घटित होगी:

यानी शंकु का आयतन 1.6 गुना घट जाएगा।

हम यह कह सकते हैं - परिणामी शंकु का आयतन मूल से 1.6 कम है।

छोटा सारांश!

जैसा कि आप देख सकते हैं, कार्य बहुत सरल हैं। समाधान प्रक्रिया का सार निम्नलिखित रूप में परिणामी शंकु के आयतन के सूत्र को "कम" करना है:

*अर्थात्, ताकि परिणामी आयतन को मूल शंकु के आयतन के रूप में व्यक्त किया जा सके।

बेशक, अगर हम केवल ऊंचाई बदलने के बारे में बात कर रहे हैं, तो ऐसी समस्या को मौखिक रूप से हल किया जा सकता है (सीधा संबंध)।

अनुभव के साथ दूसरी समस्या (जहां केवल त्रिज्या बदलती है) को भी मौखिक रूप से हल किया जा सकता है, लेकिन गणना प्रक्रिया को विस्तार से लिखना बेहतर है।

कार्य जहां हम परीक्षा में दोनों मूल्यों को बदलने की बात कर रहे हैं, अपेक्षित नहीं है, लेकिन केवल मामले में तैयार रहें।

भविष्य में, हम निश्चित रूप से ऐसी तकनीक पर विचार करेंगे जो ऐसे कार्यों को हल करते समय उपयोग करने में बहुत सुविधाजनक हो। हम न केवल शंकु के बारे में बात करेंगे, बल्कि अन्य निकायों के बारे में भी बात करेंगे, इसे याद मत करो, न्यूजलेटर की सदस्यता लें।

बस इतना ही। आप सौभाग्यशाली हों!

साभार, अलेक्जेंडर क्रुतित्सिख।

पुनश्च: यदि आप सामाजिक नेटवर्क में साइट के बारे में बताते हैं तो मैं आभारी रहूंगा।